നിരവധി വൈരുദ്ധ്യമുള്ള കക്ഷികൾ (വ്യക്തികൾ) ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത നിയമങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിശ്ചിത തീരുമാനം എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ ഓരോ കക്ഷികൾക്കും മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള പേയ്‌മെൻ്റുകൾക്കൊപ്പം സംഘർഷ സാഹചര്യത്തിൻ്റെ അന്തിമ അവസ്ഥ ഓരോ വ്യക്തിക്കും അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു ഗെയിം നടക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.
ഗെയിം തിയറിയുടെ ചുമതല, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ പെരുമാറ്റത്തിൻ്റെ ഒരു ലൈൻ തിരഞ്ഞെടുക്കലാണ്, അതിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം അവൻ്റെ വിജയങ്ങളെ കുറയ്ക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ.
ഗെയിമിൻ്റെ ചില നിർവചനങ്ങൾ
ഗെയിമിൻ്റെ ഫലങ്ങളുടെ അളവ് വിലയിരുത്തലിനെ പേയ്മെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഡബിൾസ് (രണ്ട് വ്യക്തികൾ) പേയ്‌മെൻ്റുകളുടെ തുക പൂജ്യമാണെങ്കിൽ സീറോ-സം ഗെയിം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ നഷ്ടം മറ്റേയാളുടെ നേട്ടത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.
സാധ്യമായ ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിൻ്റെ അവ്യക്തമായ വിവരണം, അവൻ വ്യക്തിപരമായ നീക്കം നടത്തണം. കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം .
ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രത്തെ ഒപ്റ്റിമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഗെയിം നിരവധി തവണ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അത് കളിക്കാരന് സാധ്യമായ പരമാവധി നൽകുന്നു ശരാശരി വിജയങ്ങൾ(അല്ലെങ്കിൽ, അതുതന്നെയാണ്, സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ശരാശരി വിജയം).
ഒരു മാട്രിക്സ് നിർവചിച്ച ഗെയിം എഉള്ളത് എംവരികളും എൻകോളങ്ങളെ ഒരു പരിമിത ജോഡി ഗെയിം ഓഫ് ഡൈമൻഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം* എൻ;
എവിടെ ഐ=
- mstrategy ഉള്ള ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം;
ജെ=
- n തന്ത്രങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം;
ij- ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ വിജയങ്ങൾ ഐ- രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ തന്ത്രം ജെതന്ത്രം (അല്ലെങ്കിൽ, അതേ കാര്യം, അതിൽ രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ നഷ്ടം ജെ-th തന്ത്രം, ആദ്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ഐ th);
എ = ij– ഗെയിമിൻ്റെ പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സ്.
1.1 ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കളിക്കുന്നു
കുറഞ്ഞ ഗെയിം വില (ആദ്യ കളിക്കാരന്)
= പരമാവധി (മിനിറ്റ് ij). (1.2)
ഐ ജെ
മികച്ച ഗെയിം വില (രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരന്):
= മിനിറ്റ്
(പരമാവധി
ij)
. (1.3)
ജെ ഐ
എങ്കിൽ = , ഗെയിമിനെ സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഗെയിം (1.4) അല്ലെങ്കിൽ ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളുള്ള ഗെയിം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൽ വി = = വിലയേറിയ ഗെയിം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ( വി- കളിയുടെ വില).
ഉദാഹരണം. 2 വ്യക്തികളുള്ള ഗെയിമിൻ്റെ പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു. നിർണ്ണയിക്കുക ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾഓരോ കളിക്കാരനും ഗെയിമിൻ്റെ വിലയും:
(1.4)
പരമാവധി 10 9 12 6
ഐ
മിനിറ്റ് 6
ജെ
- ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം (വരി).
രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം (നിരകൾ).
- കളിയുടെ വില.
അതിനാൽ, ഗെയിമിന് ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഉണ്ട്. തന്ത്രം ജെ = 4 - രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരന് അനുയോജ്യമായ തന്ത്രം ഐ=2 - ആദ്യത്തേതിന്. ഞങ്ങൾക്ക് ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളുള്ള ഒരു കളിയുണ്ട്.
1.2 സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളുള്ള ഗെയിമുകൾ
പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സിന് ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഇല്ലെങ്കിൽ, അതായത്. 
, ഗെയിമിലെ ആർക്കും അവരുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രമായി ഒരു പ്ലാൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയില്ല, കളിക്കാർ "മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജികളിലേക്ക്" മാറുന്നു. മാത്രമല്ല, ഓരോ കളിക്കാരനും തൻ്റെ ഓരോ തന്ത്രങ്ങളും ഗെയിമിൽ നിരവധി തവണ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഒരു വെക്റ്റർ, അതിൻ്റെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും കളിക്കാരൻ്റെ അനുബന്ധ പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജിയുടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി കാണിക്കുന്നു, ഈ കളിക്കാരൻ്റെ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എക്സ്= (എക്സ് 1 …എക്സ് ഐ …എക്സ് എം) - ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ സമ്മിശ്ര തന്ത്രം.
യു= (ചെയ്തത് 1 ...വൈ ജെ ...വൈ എൻ) - രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ്റെ സമ്മിശ്ര തന്ത്രം.
xഐ , വൈ ജെ- കളിക്കാർ അവരുടെ തന്ത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ആപേക്ഷിക ആവൃത്തികൾ (സാധ്യതകൾ).
സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ
.
(1.5)
എങ്കിൽ എക്സ്* = (എക്സ് 1 * ….എക്സ്ഞാൻ*… എക്സ് എം*) - ആദ്യ കളിക്കാരൻ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം; വൈ* = (ചെയ്തത് 1 * …ചെയ്തത്ജ*... ചെയ്തത് എൻ*) രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജിയാണ്, അപ്പോൾ നമ്പർ ഗെയിമിൻ്റെ വിലയാണ്.
(1.6)
നമ്പറിന് വേണ്ടി വികളിയുടെ വില ആയിരുന്നു, ഒപ്പം എക്സ്* ഒപ്പം ചെയ്തത്* - ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ അത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണ്
(1.7)
കളിക്കാരിൽ ഒരാൾ ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് തന്ത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവൻ്റെ പ്രതിഫലം ഗെയിമിൻ്റെ വിലയ്ക്ക് തുല്യമാണ് വിശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ, ഒപ്റ്റിമലിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന തന്ത്രങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ആവൃത്തി പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ.
ഗെയിം തിയറി പ്രശ്‌നങ്ങളെ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്‌നങ്ങളാക്കി കുറയ്ക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം. പേഓഫ് മാട്രിക്സ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക എ.
എ = 
(1.8)
വൈ 1 വൈ 2 വൈ 3
പരിഹാരം:
നമുക്ക് ഒരു ഇരട്ട ജോടി ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാം.
ആദ്യ കളിക്കാരന്
(1.9)
ചെയ്തത് 1 +ചെയ്തത് 2 +ചെയ്തത് 3 = 1 (1.10)
വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സ്വയം മോചിപ്പിക്കുന്നു വി(ഗെയിം വില), എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ (1.9), (1.10) എന്നിങ്ങനെ വിഭജിക്കുക വി. സ്വീകരിച്ചു കഴിഞ്ഞു ചെയ്തത് ജെ /വിഒരു പുതിയ വേരിയബിളിനായി z ഐ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു പുതിയ സംവിധാനംനിയന്ത്രണങ്ങൾ (1.11) കൂടാതെ ലക്ഷ്യം പ്രവർത്തനം (1.12)
(1.11)
.
(1.12)
അതുപോലെ, രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരനുള്ള ഗെയിം മോഡൽ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:
(1.13)
എക്സ് 1 +എക്സ് 2 +എക്സ് 3 = 1 . (1.14)
മോഡൽ (1.13), (1.14) വേരിയബിൾ ഇല്ലാത്ത ഒരു ഫോമിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു വി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
(1.15)
,
(1.16)
എവിടെ 
.
ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ പെരുമാറ്റ തന്ത്രം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കണമെങ്കിൽ, അതായത്. അവൻ്റെ തന്ത്രങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി ( എക്സ് 1 ….എക്സ് ഐ …എക്സ് എം), ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പ്ലെയർ മോഡൽ ഉപയോഗിക്കും, കാരണം ഈ വേരിയബിളുകൾ അവൻ്റെ പേഓഫ് മോഡലിലാണ് (1.13), (1.14).
നമുക്ക് (1.15), (1.16) കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാം
(1.17)
ചുമതല:
മാട്രിക്സ് ഗെയിം ഇനിപ്പറയുന്ന പേഓഫ് മാട്രിക്സ് നൽകുന്നു:
| തന്ത്രങ്ങൾ "ബി" | ||||||||
| തന്ത്രങ്ങൾ "എ" | ബി 1 | ബി 2 | ||||||
| എ 1 | 3 | 5 | ||||||
| എ 2 | 6 |
|
||||||
മാട്രിക്സ് ഗെയിമിനുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക, അതായത്:
- ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്ന വില കണ്ടെത്തുക;
- കുറഞ്ഞ വിലഗെയിമുകൾ;
- കളിയുടെ മൊത്തം വില;
- കളിക്കാരുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുക;
- കൊണ്ടുവരിക ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം(ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം), ആവശ്യമെങ്കിൽ.
ഘട്ടം 1
ഗെയിമിൻ്റെ കുറഞ്ഞ വില നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം - α
ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗെയിം വിലα എന്നത് മുഴുവൻ ഗെയിമിലുടനീളം ഒരേയൊരു തന്ത്രം മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കൂ (ഈ തന്ത്രത്തെ "ശുദ്ധം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു) ന്യായമായ ഒരു എതിരാളിക്കെതിരായ ഗെയിമിൽ നമുക്ക് ഉറപ്പുനൽകാൻ കഴിയുന്ന പരമാവധി വിജയമാണ്.പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഓരോ വരിയിലും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്മൂലകം ഒരു അധിക കോളത്തിൽ എഴുതുക (തിരഞ്ഞെടുത്തത് മഞ്ഞപട്ടിക 1 കാണുക).
അപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും പരമാവധിഅധിക നിരയുടെ ഘടകം (നക്ഷത്രചിഹ്നം കൊണ്ട് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു), ഇത് ഗെയിമിൻ്റെ കുറഞ്ഞ വിലയായിരിക്കും.
പട്ടിക 1
| തന്ത്രങ്ങൾ "ബി" | |||||||||||||||
| തന്ത്രങ്ങൾ "എ" | ബി 1 | ബി 2 | റോ മിനിമ | ||||||||||||
| എ 1 | 3 | 5 | 3 * | ||||||||||||
| എ 2 | 6 |
|
|
||||||||||||
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഗെയിമിൻ്റെ കുറഞ്ഞ വില ഇതാണ്: α = 3, കൂടാതെ 3-നേക്കാൾ മോശമല്ലാത്ത ഒരു വിജയം ഉറപ്പുനൽകുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ A 1 എന്ന തന്ത്രത്തിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കണം
ഘട്ടം: 2
ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്ന വില നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം - β
മികച്ച ഗെയിം വിലകളിയിലുടനീളം ഒരേയൊരു തന്ത്രം ഉപയോഗിച്ചാൽ, ന്യായമായ ഒരു എതിരാളിക്കെതിരായ ഗെയിമിൽ B കളിക്കാരന് ഉറപ്പുനൽകാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ നഷ്ടമാണ് β.പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഓരോ കോളത്തിലും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം പരമാവധിമൂലകം താഴെ ഒരു അധിക വരിയിൽ എഴുതുക (മഞ്ഞയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, പട്ടിക 2 കാണുക).
അപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്അധിക വരിയുടെ ഘടകം (പ്ലസ് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു), ഇത് ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്ന വിലയായിരിക്കും.
പട്ടിക 2
| തന്ത്രങ്ങൾ "ബി" | ||||||||||||
| തന്ത്രങ്ങൾ "എ" | ബി 1 | ബി 2 | റോ മിനിമ | |||||||||
| എ 1 | 3 | 5 | 3 * | |||||||||
| എ 2 | 6 |
| ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്ന വില ഇതാണ്: β = 5, കൂടാതെ 5 നേക്കാൾ മോശമല്ലാത്ത നഷ്ടം ഉറപ്പുനൽകുന്നതിന്, എതിരാളി (പ്ലയർ "ബി") B 2 തന്ത്രം പാലിക്കണം. ഘട്ടം:3 സമ്മിശ്ര തന്ത്രം, ഇവ ചില സംഭാവ്യതകളോടെ (ആവൃത്തികൾ) ക്രമരഹിതമായി മാറിമാറി വരുന്ന ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളാണ്. പ്ലെയർ "എ" യുടെ സമ്മിശ്ര തന്ത്രത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു
|
|||||||||
ഇവിടെ B 1, B 2 എന്നത് "B" എന്ന കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രങ്ങളാണ്, കൂടാതെ q 1, q 2 യഥാക്രമം ഈ തന്ത്രങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന സാധ്യതകളും q 1 + q 2 = 1 ഉം ആണ്.
"എ" എന്ന കളിക്കാരനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് തന്ത്രമാണ് അദ്ദേഹത്തിന് പരമാവധി പ്രതിഫലം നൽകുന്നത്. അതനുസരിച്ച്, "ബി" യ്ക്ക് കുറഞ്ഞ നഷ്ടമുണ്ട്. ഈ തന്ത്രങ്ങൾ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു എസ്എ* ഒപ്പം എസ്ബി* യഥാക്രമം. ഒരു ജോടി ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടാക്കുന്നു.
IN പൊതുവായ കേസ്കളിക്കാരൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജിയിൽ എല്ലാ പ്രാരംഭ തന്ത്രങ്ങളും ഉൾപ്പെടണമെന്നില്ല, എന്നാൽ അവയിൽ ചിലത് മാത്രം. അത്തരം തന്ത്രങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സജീവ തന്ത്രങ്ങൾ.
ഘട്ടം: 4
എവിടെ: പി 1 , പി 2 - യഥാക്രമം A 1, A 2 എന്നീ തന്ത്രങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന സാധ്യതകൾ (ആവൃത്തികൾ)
ഗെയിം തിയറിയിൽ നിന്ന്, കളിക്കാരൻ "എ" തൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം ഉപയോഗിക്കുകയും "ബി" കളിക്കാരൻ അവൻ്റെ സജീവ തന്ത്രങ്ങളുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ തുടരുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിഫലം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും ഗെയിമിൻ്റെ വിലയ്ക്ക് തുല്യമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. വികളിക്കാരൻ "B" തൻ്റെ സജീവ തന്ത്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, രണ്ട് തന്ത്രങ്ങളും സജീവമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ഗെയിമിന് ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ പരിഹാരമുണ്ടാകും. അതിനാൽ, പ്ലേയർ "ബി" ഒരു ശുദ്ധമായ തന്ത്രം ബി 1 ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിഫലം വിആയിരിക്കും:
k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)
എവിടെ: കെ ij - പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ.
മറുവശത്ത്, പ്ലെയർ "B" ഒരു ശുദ്ധമായ തന്ത്രം B 2 ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിഫലം ഇതായിരിക്കും:
k 12 p 1 + k 22 p 2 = v (2)
(1), (2) സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
k 11 p 1 + k 21 p 2 = k 12 p 1 + k 22 p 2
എന്ന വസ്തുതയും കണക്കിലെടുക്കുന്നു പി 1 + പി 2 = 1 നമുക്ക് ഉണ്ട്:
k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1 ) = k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1 )
എ 1 തന്ത്രത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ ഫ്രീക്വൻസി കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമുള്ളിടത്ത്:
| പി 1 = |
| (3) |
ഈ ടാസ്ക്കിൽ:
| പി 1 = |
| = |
|
സാധ്യത ആർ 2 കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്തുക ആർ 1 യൂണിറ്റിൽ നിന്ന്:
| പി 2 = 1 - പി 1 = | 1 | - |
| = | + | 6 | · |
എവിടെ: q 1 , q 2 - യഥാക്രമം B 1, B 2 തന്ത്രങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന സാധ്യതകൾ (ആവൃത്തികൾ)
ഗെയിം തിയറിയിൽ നിന്ന്, കളിക്കാരൻ "ബി" തൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം ഉപയോഗിക്കുകയും "എ" കളിക്കാരൻ അവൻ്റെ സജീവ തന്ത്രങ്ങളുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ തുടരുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിഫലം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും ഗെയിമിൻ്റെ വിലയ്ക്ക് തുല്യമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. വികളിക്കാരൻ എ തൻ്റെ സജീവ തന്ത്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ. അതിനാൽ, പ്ലേയർ "A" ഒരു ശുദ്ധമായ തന്ത്രം A 1 ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിഫലം വിആയിരിക്കും:
k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)
കളിയുടെ വില മുതൽ വി ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം അറിയുകയും പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു q 1 + q 2 = 1 , അപ്പോൾ തന്ത്രം B 1 ൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ ഫ്രീക്വൻസി ഇങ്ങനെ കണ്ടെത്താം:
| q 1 = |
| (5) |
ഈ ടാസ്ക്കിൽ:
| q 1 = |
| = |
|
സാധ്യത q 2 കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്തുക q 1 യൂണിറ്റിൽ നിന്ന്:
| q 2 = 1 - q 1 = | 1 | - |
| = |
|
ഉത്തരം:
| ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗെയിം വില: | α = | 3 | |||
| മികച്ച ഗെയിം വില: | β = | 5 | |||
| ഗെയിം വില: | വി = |
|
| പ്ലെയർ എയുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം: |
|
|||||||||||||||
| "ബി" എന്ന കളിക്കാരനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം: |
|
ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം (ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം):
പരിഗണിക്കുന്ന ഗെയിമിന് നമുക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നൽകാം. യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള abscissa അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം എടുത്ത് അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ ലംബമായ നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുക എ 1 ഒപ്പം എ 2 ഞങ്ങളുടെ തന്ത്രങ്ങൾ A 1, A 2 എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. പ്ലെയർ "B" തന്ത്രം B 1 ഇഞ്ച് ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ശുദ്ധമായ രൂപം. തുടർന്ന്, ഞങ്ങൾ (പ്ലേയർ "A") ഒരു ശുദ്ധമായ തന്ത്രം A 1 ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമ്മുടെ പ്രതിഫലം 3 ആയിരിക്കും. നമുക്ക് അച്ചുതണ്ടിൽ അനുബന്ധ പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം എ 1 .നമ്മൾ പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജി എ 2 ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ പ്രതിഫലം 6 ആയിരിക്കും. നമുക്ക് അച്ചുതണ്ടിൽ അനുബന്ധ പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം എ 2
(ചിത്രം 1 കാണുക). വ്യത്യസ്തമായ അനുപാതങ്ങളിൽ A 1, A 2 സ്‌ട്രാറ്റജികൾ മിക്സ് ചെയ്‌ത് ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ (0, 3), (1, 6) ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ നമ്മുടെ വിജയങ്ങൾ മാറും, അതിനെ നമുക്ക് സ്ട്രാറ്റജി ബി എന്ന് വിളിക്കാം. 1 (ചിത്രം. 1 ൽ ചുവപ്പ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു). തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിലെ ഏത് ബിന്ദുവിൻ്റെയും abscissa പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് തുല്യമാണ് പി 2 (ആവൃത്തി) ഞങ്ങൾ സ്ട്രാറ്റജി A 2 പ്രയോഗിക്കുന്നു, ഒപ്പം ഓർഡിനേറ്റ് - ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേട്ടം കെ (ചിത്രം 1 കാണുക).
ചിത്രം 1.
പേഓഫ് ഗ്രാഫ് കെ
ആവൃത്തിയിൽ നിന്ന് p 2
, ശത്രു തന്ത്രം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ബി 1.
പ്ലെയർ "B" അതിൻ്റെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ തന്ത്രം B 2 ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ, ഞങ്ങൾ (പ്ലെയർ "എ") ശുദ്ധമായ സ്ട്രാറ്റജി എ 1 ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ പ്രതിഫലം 5 ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾ പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജി എ 2 ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ പ്രതിഫലം 3/2 ആയിരിക്കും (ചിത്രം 2 കാണുക). അതുപോലെ, നമ്മൾ തന്ത്രങ്ങൾ A 1, A 2 എന്നിവ വ്യത്യസ്ത അനുപാതങ്ങളിൽ മിക്സ് ചെയ്താൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ (0, 5), (1, 3/2) ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ നമ്മുടെ വിജയങ്ങൾ മാറും, അതിനെ നമുക്ക് തന്ത്രത്തിൻ്റെ രേഖ എന്ന് വിളിക്കാം. ബി 2. മുമ്പത്തെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഈ ലൈനിലെ ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ഞങ്ങൾ തന്ത്രം A 2 പ്രയോഗിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഓർഡിനേറ്റ് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേട്ടമാണ്, പക്ഷേ തന്ത്രം B 2 ന് മാത്രം (ചിത്രം 2 കാണുക).
ചിത്രം 2.
വി
ഒപ്റ്റിമൽ ഫ്രീക്വൻസിയും p 2
കളിക്കാരന് "എ".
ഒരു യഥാർത്ഥ ഗെയിമിൽ, ഒരു ന്യായമായ കളിക്കാരൻ "B" അവൻ്റെ എല്ലാ തന്ത്രങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങളുടെ വിജയങ്ങൾ ചുവപ്പിൽ ചിത്രം 2-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന തകർന്ന വരയിൽ മാറും. ഈ വരി വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെ നിർവചിക്കുന്നു വിജയങ്ങളുടെ താഴ്ന്ന പരിധി. വ്യക്തമായും ഏറ്റവും ഉയര്ന്ന സ്ഥാനംഈ തകർന്ന ലൈൻ ഞങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രവുമായി യോജിക്കുന്നു. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബി 1, ബി 2 എന്നീ തന്ത്രങ്ങളുടെ വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റാണിത്. നിങ്ങൾ ഒരു ആവൃത്തി തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക പി 2 അതിൻ്റെ abscissa ന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ നമ്മുടെ നേട്ടം മാറ്റമില്ലാതെ തുല്യമായി തുടരും വി പ്ലെയർ "ബി" യുടെ ഏത് തന്ത്രത്തിനും, കൂടാതെ, നമുക്ക് സ്വയം ഉറപ്പ് നൽകാൻ കഴിയുന്ന പരമാവധി ആയിരിക്കും. ആവൃത്തി (സംഭാവ്യത) പി 2 , ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് തന്ത്രത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ആവൃത്തിയാണ്. വഴിയിൽ, ചിത്രം 2 ൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ആവൃത്തി കാണാൻ കഴിയും പി 1 , ഞങ്ങളുടെ ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ് [ പി 2 ; 1] x-അക്ഷത്തിൽ. (കാരണം പി 1 + പി 2 = 1 )
തികച്ചും സമാനമായ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച്, ചിത്രം 3 ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന "ബി" പ്ലേയറിനായുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജിയുടെ ആവൃത്തികൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.
ചിത്രം 3.
ഗെയിം വിലയുടെ ഗ്രാഫിക് നിർണ്ണയം വി
ഒപ്റ്റിമൽ ഫ്രീക്വൻസിയും q 2
കളിക്കാരന് "IN".
അവനു വേണ്ടി മാത്രം വിളിക്കപ്പെടണം ഉയർന്ന പരിധിനഷ്ടപ്പെടുന്നു(ചുവപ്പ് തകർന്ന ലൈൻ) കൂടാതെ അതിൽ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പോയിൻ്റിനായി നോക്കുക, കാരണം "ബി" എന്ന കളിക്കാരൻ്റെ ലക്ഷ്യം നഷ്ടം കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്. ഒരേ ആവൃത്തി മൂല്യം q 1 , ഇതാണ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം [ q 2 ; 1] x-അക്ഷത്തിൽ.
ഉള്ളടക്കം 1 പൊതുവിവരം 2 1.1 ഗെയിമുകൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 നീക്കങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 തന്ത്രങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 മാട്രിക്സ് ഗെയിം. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 ട്രയൽ പോയിൻ്റ്. ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങൾ 7 2.1 ഉദാഹരണങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ഉദാഹരണം 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ഉദാഹരണം 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 മിക്സഡ് തന്ത്രങ്ങൾ 9 3.1 ഗെയിം 2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.1 ഉദാഹരണങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ഉദാഹരണം 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ഉദാഹരണം 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 ഗെയിമുകൾ 2×n, m×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ഉദാഹരണം 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1. ഗെയിം തിയറിയിൽ നിന്നുള്ള പൊതുവായ വിവരങ്ങൾ 1.1. ഗെയിംസ് ഗെയിം സിദ്ധാന്തം സംഘർഷ സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തമാണ്, അതായത്. വ്യത്യസ്ത ലക്ഷ്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്ന രണ്ടോ അതിലധികമോ കക്ഷികളുടെ താൽപ്പര്യങ്ങൾ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ. ചില നിയമങ്ങളാൽ നിയന്ത്രിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു സംഘട്ടന സാഹചര്യമാണ് ഗെയിം, അത് സൂചിപ്പിക്കണം: പങ്കെടുക്കുന്നവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ; ഗെയിമിൻ്റെ അളവ് ഫലം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത നീക്കങ്ങൾ നയിക്കുന്ന പേയ്മെൻ്റ് (വിജയം, തോൽവി), വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും പെരുമാറ്റത്തെക്കുറിച്ച്. രണ്ട് കക്ഷികൾ (രണ്ട് കളിക്കാർ) മാത്രം പങ്കെടുക്കുന്ന ഗെയിമാണ് ഡബിൾസ് ഗെയിം. പേയ്‌മെൻ്റുകളുടെ തുക പൂജ്യമായ ഒരു ജോടിയാക്കിയ ഗെയിമാണ് സീറോ-സം ജോടിയാക്കിയ ഗെയിം, അതായത്. ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ നഷ്ടം രണ്ടാമൻ്റെ നേട്ടത്തിന് തുല്യമാണ്. പേയ്ഓഫ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തോടുള്ള ഓരോ കളിക്കാരൻ്റെയും മനോഭാവത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ജോടിയാക്കിയ ഗെയിമുകൾ ഉപവിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: സീറോ-സം ജോടിയാക്കിയ ഗെയിം (വിരുദ്ധ) - പേയ്‌മെൻ്റുകളുടെ തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ജോടിയാക്കിയ ഗെയിം, അതായത്. ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ നഷ്ടം രണ്ടാമൻ്റെ നേട്ടത്തിന് തുല്യമാണ്. കളിക്കാർ വ്യത്യസ്തമായ, എന്നാൽ നേർവിപരീതമായ ലക്ഷ്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്ന ജോടിയാക്കിയ ഗെയിമാണ് എതിരാളികളല്ലാത്ത ഗെയിം. 2 1.2. നീക്കങ്ങൾ നീക്കുക - ഗെയിമിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ നൽകുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്; ഈ ചോയിസ് നടപ്പിലാക്കൽ. നീക്കങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിലാണ്: വ്യക്തിഗത നീക്കം - + ഗെയിമിൻ്റെ നിയമങ്ങൾക്കായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ ബോധപൂർവമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് + നടപ്പിലാക്കൽ ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിൻ്റെ റാൻഡം മൂവ് - ഒരു റാൻഡം മൂവ് എന്നത് കളിക്കാരൻ്റെ തീരുമാനത്തിലൂടെയല്ല, മറിച്ച് റാൻഡം സെലക്ഷൻ്റെ ചില സംവിധാനങ്ങളാൽ നടപ്പിലാക്കപ്പെടുന്ന നിരവധി സാധ്യതകളിൽ നിന്നുള്ള ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. വ്യക്തിഗത നീക്കങ്ങൾ മാത്രം അടങ്ങിയ സീറോ-സം ജോടിയാക്കിയ ഗെയിമുകൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കുന്നു. ഓരോ വശത്തും മറ്റുള്ളവരുടെ പെരുമാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഇല്ല. 3 1.3. തന്ത്രങ്ങൾ ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രം എന്നത് ഗെയിമിനിടെ ഉണ്ടാകുന്ന സാഹചര്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഈ കളിക്കാരൻ്റെ ഓരോ വ്യക്തിഗത നീക്കത്തിനുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം നിയമങ്ങളാണ്. സാധ്യമായ തന്ത്രങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഗെയിമുകളെ പരിമിതവും അനന്തവുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു അനന്തമായ ഗെയിം എന്നത് കളിക്കാരിൽ ഒരാളെങ്കിലും ഉള്ള ഒരു ഗെയിമാണ് അനന്തമായ സംഖ്യതന്ത്രങ്ങൾ. ഓരോ കളിക്കാരനും പരിമിതമായ തന്ത്രങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഒരു ഗെയിമാണ് ഫിനിറ്റ് ഗെയിം. ഏതൊരു കളിക്കാരൻ്റെയും തുടർച്ചയായ നീക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം ഗെയിമുകളെ സിംഗിൾ-മൂവ്, മൾട്ടി-മൂവ്, അല്ലെങ്കിൽ പൊസിഷണൽ എന്നിങ്ങനെ വിഭജിക്കുന്നു. + ഒരു ടേൺ ഗെയിമിൽ, ഓരോ കളിക്കാരനും സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് മാത്രം നടത്തുകയും ഗെയിമിൻ്റെ ഫലം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. + മൾട്ടി-മൂവ്, അല്ലെങ്കിൽ പൊസിഷണൽ, ഗെയിം കാലക്രമേണ വികസിക്കുന്നു, ഒരു പരമ്പരയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ ഘട്ടങ്ങൾ, ഓരോന്നും കളിക്കാരിൽ ഒരാളുടെ നീക്കത്തിനും സാഹചര്യത്തിലെ അനുബന്ധ മാറ്റത്തിനും ശേഷം സംഭവിക്കുന്നു. ഒരു ടേൺ ഗെയിമിൽ, ഓരോ കളിക്കാരനും ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് മാത്രമേ നടത്തൂ സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾതുടർന്ന് കളിയുടെ ഫലം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി എന്നത്, ഗെയിം പല തവണ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഈ കളിക്കാരന് പരമാവധി ശരാശരി വിജയം നൽകുന്ന ഒരു തന്ത്രമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ, എന്താണ്, സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ശരാശരി നഷ്ടം). ഗെയിം സിദ്ധാന്തത്തിൽ, എല്ലാ ശുപാർശകളും കളിക്കാരുടെ ന്യായമായ പെരുമാറ്റത്തിൻ്റെ അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. കളിക്കാരുടെ തെറ്റായ കണക്കുകൂട്ടലുകളും പിഴവുകളും, എല്ലാ സംഘട്ടന സാഹചര്യങ്ങളിലും അനിവാര്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ ആവേശത്തിൻ്റെയും അപകടസാധ്യതയുടെയും ഘടകങ്ങളും ഗെയിം തിയറിയിൽ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. 4 1.4. മാട്രിക്സ് ഗെയിം ഒരു മാട്രിക്സ് ഗെയിം ഒരു നീക്കി പരിമിതമായ സീറോ-സം ഗെയിമാണ്. ഒരു മാട്രിക്സ് ഗെയിം ഒരു സൈദ്ധാന്തികമാണ് ഗെയിമിംഗ് മോഡൽഎതിരാളികൾ, തികച്ചും വിപരീതമായ ലക്ഷ്യങ്ങൾ നേടുന്നതിന്, ഒരു പരിമിത സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് (നീക്കം) നടത്തുന്ന സംഘർഷ സാഹചര്യം സാധ്യമായ വഴികൾതിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രവർത്തന രീതികൾ (തന്ത്രങ്ങൾ) അനുസരിച്ച്, നേടിയ ഫലം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. എ, ബി എന്നീ രണ്ട് കളിക്കാർ ഉണ്ടാകട്ടെ, അവരിൽ ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം i-th തന്ത്രം m-ൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ സാധ്യമായ തന്ത്രങ്ങൾ A1, A2, ...Am, രണ്ടാമത്തേത് അതിൻ്റെ സാധ്യമായ തന്ത്രങ്ങളായ B1, B2, ...Bm എന്നിവയിൽ നിന്ന് j-th സ്ട്രാറ്റജി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ആദ്യ കളിക്കാരൻ ഐജ് മൂല്യം നേടുന്നു, രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരന് ഈ മൂല്യം നഷ്ടപ്പെടും. aij സംഖ്യകളിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഒരു മാട്രിക്സ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു a11 a11 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = (aij) = .. .. .. . . . . am1 am2 · · · amn മാട്രിക്സ് A = (aij), i = 1, m, j = 1, n എന്നതിനെ പേഓഫ് മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ m × n ഗെയിം മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ മാട്രിക്സിൽ, വരികൾ എല്ലായ്പ്പോഴും വിജയിക്കുന്ന (പരമാവധി) പ്ലെയർ A യുടെ തന്ത്രങ്ങൾക്കുള്ളതാണ്, അതായത്, തൻ്റെ വിജയങ്ങൾ പരമാവധിയാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന കളിക്കാരൻ. നഷ്ടപ്പെട്ട കളിക്കാരനായ ബിയുടെ തന്ത്രങ്ങൾക്കായി നിരകൾ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, കാര്യക്ഷമത മാനദണ്ഡം കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന കളിക്കാരൻ. ഒരു ഗെയിമിൻ്റെ നോർമലൈസേഷൻ എന്നത് ഒരു പൊസിഷനൽ ഗെയിമിനെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഗെയിമിലേക്ക് ചുരുക്കുന്ന പ്രക്രിയയാണ്. സാധാരണ ഫോമിലുള്ള ഗെയിം ഒരു പൊസിഷണൽ ഗെയിമാണ്, ഒരു മാട്രിക്സ് ഗെയിമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഒരു പൊസിഷണൽ മൾട്ടി-മൂവ് ഗെയിം എന്നത് ഒരു ഗെയിം-തിയറിറ്റിക് മോഡലാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൻ്റെ വികാസത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും സാധ്യമായ പരിമിതമായ പ്രവർത്തന കോഴ്സുകളിൽ നിന്ന് എതിരാളികൾ തുടർച്ചയായി ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് (നീക്കം) ചെയ്യുന്ന സംഘർഷ സാഹചര്യം. കളിയുടെ പരിഹാരം രണ്ട് കളിക്കാരുടെയും ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ഗെയിമിൻ്റെ വില നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. കളിയുടെ വില കളിക്കാർ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന നേട്ടമാണ് (നഷ്ടം). ഗെയിമിനുള്ള പരിഹാരം ഒന്നുകിൽ ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ കണ്ടെത്താനാകും - കളിക്കാരൻ ഒരൊറ്റ തന്ത്രം പിന്തുടരുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ മിശ്രിതമായവയിൽ, കളിക്കാരൻ ചില സാധ്യതകളോടെ രണ്ടോ അതിലധികമോ ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ. ഈ കേസിൽ രണ്ടാമത്തേതിനെ സജീവമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. 5 ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്, അതിലെ ഓരോ ഘടകവും അനുബന്ധ പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജിയുടെ കളിക്കാരൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ആവൃത്തി കാണിക്കുന്നു. ഗെയിമിൻ്റെ മാക്സിമിൻ അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ വില - നമ്പർ α = പരമാവധി മിനിറ്റ് AIj i j മാക്സിമിൻ സ്ട്രാറ്റജി (ലൈൻ) - കളിക്കാരൻ തൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വിജയങ്ങൾ പരമാവധിയാക്കാൻ തിരഞ്ഞെടുത്ത തന്ത്രം. വ്യക്തമായും, ഏറ്റവും ജാഗ്രതയുള്ള മാക്സിമിൻ തന്ത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, കളിക്കാരൻ A സ്വയം (എതിരാളിയുടെ പെരുമാറ്റം പരിഗണിക്കാതെ) കുറഞ്ഞത് α യുടെ ഉറപ്പായ പ്രതിഫലം നൽകുന്നു. ഗെയിമിൻ്റെ മാക്സിമിൻ അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്ന വില - നമ്പർ β = മിനിറ്റ് max aij j i Minimax സ്ട്രാറ്റജി (കോളം) - കളിക്കാരൻ തൻ്റെ പരമാവധി നഷ്ടം കുറയ്ക്കാൻ തിരഞ്ഞെടുത്ത തന്ത്രം. വ്യക്തമായും, ഏറ്റവും ജാഗ്രതയോടെയുള്ള മിനിമാക്സ് തന്ത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, പ്ലെയർ B ഒരു സാഹചര്യത്തിലും, β-നേക്കാൾ കൂടുതൽ വിജയിക്കാൻ കളിക്കാരനെ അനുവദിക്കില്ല. ഗെയിമിൻ്റെ കുറഞ്ഞ വില എല്ലായ്പ്പോഴും ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്ന വിലയെ കവിയരുത് α = max min aij 6 min max aij = β i j j i സിദ്ധാന്തം 1 (മാട്രിക്സ് ഗെയിമുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന സിദ്ധാന്തം). എല്ലാ പരിമിത ഗെയിമുകൾക്കും കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും, ഒരുപക്ഷേ സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ. 6 2. ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റുള്ള ഗെയിമുകൾ. ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ പരിഹാരം ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റുള്ള ഗെയിം ഒരു ഗെയിമാണ്, അതിനുള്ള ഗെയിമാണ് α = max min aij = min max aij = β i j j i ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റുള്ള ഗെയിമുകൾക്ക്, ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ മാക്സിമിൻ, മിനിമാക്സ് തന്ത്രങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലാണ്. കളിയുടെ ശുദ്ധമായ ചിലവ് - പൊതുവായ അർത്ഥംഗെയിമിൻ്റെ താഴ്ന്നതും ഉയർന്നതുമായ വിലകൾ α=β=ν 2.1. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉദാഹരണം 1 മാട്രിക്സ് 8 4 7 A= 6 5 9 7 7 8 പരിഹാരം നൽകുന്ന ഗെയിമിൻ്റെ ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക: ഗെയിമിൻ്റെ ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതുമായ വില നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു i-th ലൈൻ αi = min aij j ഉം jth നിരയിലെ AIj എന്ന പരമാവധി സംഖ്യകളും βj = max aij i വലതുവശത്തുള്ള പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സിന് അടുത്തായി ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ αi (റോ മിനിമ) ഒരു അധിക കോളത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതും. ഒരു അധിക വരിയുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിന് കീഴിൽ βi (കോളം മാക്സിമ) അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്നു: αi 8 4 7 4 6 5 9 5 7 7 8 7 βj 8 7 9 7 സംഖ്യകളുടെ പരമാവധി കണ്ടെത്തുക αi α = max αi = 7 i, സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് βj β = മിനിറ്റ് βj = 7 j α = β - ഗെയിമിന് ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഉണ്ട്. കളിക്കാരനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി സ്ട്രാറ്റജി A3 ആണ്, കൂടാതെ പ്ലെയർ B എന്നത് സ്ട്രാറ്റജി B2 ആണ്, നെറ്റ് ഗെയിം വില ν = 7 ഉദാഹരണം 2 പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു: 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 A= 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക. പരിഹാരം: 2 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 βj 2 2 1 1 2 α = β = 1. ഗെയിമിന് ആറ് സാഡിൽ പോയിൻ്റുകളുണ്ട്. ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ ഇതായിരിക്കും: A1, B3 അല്ലെങ്കിൽ B4 A3, B3 അല്ലെങ്കിൽ B4 A4, B3 അല്ലെങ്കിൽ B4 8 3. α = β ആയിരിക്കുമ്പോൾ സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളിൽ ഗെയിമിൻ്റെ പരിഹാരം. അവരുടെ തന്ത്രങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് കളിക്കാർക്കും മറ്റൊരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഒരു വിവരവുമില്ലെങ്കിൽ, ഗെയിമിന് സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളിൽ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. SA = (p1, p2, ..., pm) - A1, A2, ..., Am എന്ന തന്ത്രങ്ങൾ ∑ m p1, p2, ..., pm, pi = എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം പ്രയോഗിക്കുന്ന A-യുടെ സമ്മിശ്ര തന്ത്രം 1, pi > 0, i = 1, m i=1 SB = (q1, q2, ..., qn) - B പ്ലെയറിൻ്റെ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി, ഇതിൽ B1, B2, ..., Bm തന്ത്രങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റികൾക്കൊപ്പം പ്രയോഗിക്കുന്നു ∑ n q1, q2 , ..., qm , qi = 1, qi > 0, i = 1, n i=1 എങ്കിൽ: SA∗ എന്നത് കളിക്കാരൻ A യുടെ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജിയാണ്, SB∗ ആണ് പ്ലെയറിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം, പിന്നെ ഗെയിമിൻ്റെ വില ∑ n ∑ m ν = aij · p∗i · qi∗ j=1 i=1 2 × 2, 2 × n, m × ഗെയിമുകൾക്ക് എങ്ങനെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ഉത്തരം നൽകുന്നു 2 സിദ്ധാന്തം 2 (2 × 2, 2 × n, m × 2 ഗെയിമുകൾക്കുള്ള പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം). കളിക്കാരിൽ ഒരാൾ ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ ഒപ്റ്റിമൽ ഒന്നിൽ (ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ) ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന തന്ത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകൾ പരിഗണിക്കാതെ, അവൻ്റെ പ്രതിഫലം ഗെയിമിൻ്റെ വിലയ്ക്ക് തുല്യമാണ് ν. 9 3.1. ഗെയിം 2 × 2 മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു 2 × 2 ഗെയിം പരിഗണിക്കുക: () a11 a21 a21 a22 ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരവും ഉണ്ടാകാതിരിക്കട്ടെ. SA∗, SB∗ എന്നീ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ തന്ത്രം നിർവചിക്കുന്നു SA∗ = (p∗1 , p∗2). സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, പാർട്ടി എ തന്ത്രം ν പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പാർട്ടി ബിയുടെ പ്രവർത്തന ഗതി പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, പ്രതിഫലം ν കളിക്കുന്നതിനുള്ള ചെലവിന് തുല്യമായിരിക്കും. തൽഫലമായി, A വശം SA∗ = (p∗1 , p∗2) ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജിക്ക് അനുസൃതമാണെങ്കിൽ, B വശം അതിൻ്റെ പ്രതിഫലം മാറ്റാതെ തന്നെ അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും തന്ത്രങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. തുടർന്ന്, പ്ലെയർ B പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജി B1 അല്ലെങ്കിൽ B2 ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, കളിക്കാരന് ഗെയിമിൻ്റെ വിലയ്ക്ക് തുല്യമായ ശരാശരി പ്രതിഫലം ലഭിക്കും: a11 p∗1 + a21 p∗2 = ν ← തന്ത്രത്തിന് B1 a12 p∗1 + a22 p∗ 2 = ν ← സ്ട്രാറ്റജി B2 കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ p∗1 + p∗2 = 1: p∗1 = a2 2−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 p∗2 = a1 1−a1 2 a11 +a2 −a12 −a21 ഗെയിം വില: a22 a11 - a12 a21 ν= a11 + a22 - a12 - a21 പ്ലെയറിൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം സമാനമായി കാണപ്പെടുന്നു: SB∗ = (q1∗ , q2∗). q1∗ + q2∗ = 1: q1∗ = a2 2−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 q2∗ = a1 1−a2 1 a11 +a22 −a12 −a12.3.3. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉദാഹരണം 3 മാട്രിക്സ് () −1 1 A= 1 −1 10 പരിഹാരം: ഗെയിമിന് ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഇല്ല, കാരണം α= -1, β = 1, α ̸= β. സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ പരിഹാരം തേടുകയാണ്. p∗, q∗ എന്നിവയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് p∗1 = p∗2 = 0.5, q1∗ = q2∗ = 0.5, ν = 0 അങ്ങനെ, SA∗ = (0.5, 0.5) SB∗ = (0.5, 0.5. ) ഉദാഹരണം 4 മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക () 2 5 A= 6 4 പരിഹാരം: ഗെയിമിന് ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഇല്ല, കാരണം α= 4, β = 5, α ̸= β. സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ പരിഹാരം തേടുകയാണ്. p∗, q∗ എന്നിവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് p∗1 = 0.4, p∗2 = 0.6, q1∗ = 0.2 q2∗ = 0.8, ν = 4.4 ഇങ്ങനെ, SA∗ = (0.4, 0.6) SB∗ = (0.4, 0.6) SB∗ 0.2, 0.8) 11 3.1.2. ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം 2 × 2 ഗെയിമിന് ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നൽകാം. നമുക്ക് abscissa അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ഒരു വിഭാഗം എടുക്കാം, അതിൽ ഓരോ പോയിൻ്റും ഞങ്ങൾ ചില മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു S = (p1, p2) = (p1, 1 - p1) കൂടാതെ A1 തന്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി p1 യിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. വിഭാഗത്തിൻ്റെ വലത് അറ്റത്തേക്ക് പോയിൻ്റ് SA, പ്രോബബിലിറ്റി p2 , സ്ട്രാറ്റജി A2 - ഇടത് അറ്റത്തേക്കുള്ള ദൂരം. .y .I .I I .B1′ .N .B1 .a21 .a11 .I I .I. തന്ത്രം A1-ലേക്ക്, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ വലത് അവസാനം (x = 1) - സ്ട്രാറ്റജി A2 സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത്, x-അക്ഷത്തിന് രണ്ട് ലംബങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു: അക്ഷം I - I - സ്ട്രാറ്റജി A1-നുള്ള പ്രതിഫലം മാറ്റിവച്ചു; ആക്സിസ് II - II - സ്ട്രാറ്റജി A2-നുള്ള പ്രതിഫലം മാറ്റിവച്ചു. B1 സ്ട്രാറ്റജി പ്രയോഗിക്കാൻ കളിക്കാരനെ അനുവദിക്കുക; ഇത് യഥാക്രമം I - I, II - II എന്നീ അക്ഷങ്ങളിൽ a11, a21 എന്നീ ഓർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ നൽകുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ B1 - B1′ വരയ്ക്കുന്നു. ഏതൊരു സമ്മിശ്ര തന്ത്രത്തിനും SA = (p1, p2), കളിക്കാരൻ്റെ പ്രതിഫലം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് B1 - B1′ എന്ന നേർരേഖയിലെ പോയിൻ്റ് N ആണ്, ഇത് p2: p1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ വിഭജിക്കുന്ന x-അക്ഷത്തിലെ പോയിൻ്റ് SA യുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, B2 തന്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രതിഫലം നിർണ്ണയിക്കുന്ന നേർരേഖ B2 - B2′, കൃത്യമായി അതേ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. 12 .y .I .I I .B2 .N .a21 .B2′ a . 22 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി SA∗ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. എ കളിക്കാരൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രതിഫലം (ബി കളിക്കാരൻ്റെ ഏറ്റവും മോശം പെരുമാറ്റം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ) പരമാവധി ആയി മാറും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, B1, B2 എന്നീ തന്ത്രങ്ങൾക്കായി കളിക്കാരൻ A യുടെ പ്രതിഫലത്തിന് ഒരു താഴ്ന്ന പരിധി നിർമ്മിക്കുക, അതായത്. തകർന്ന ലൈൻ B1 N B2′;. ഈ ബൗണ്ടറിയിൽ, കളിക്കാരൻ്റെ ഏതെങ്കിലും സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങൾക്കായുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രതിഫലം, പോയിൻ്റ് N ആയിരിക്കും, ഈ പ്രതിഫലം പരമാവധി എത്തുകയും ഗെയിമിൻ്റെ തീരുമാനവും വിലയും നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. .y .I .I I .B2 .B1′ .N .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2. എ∗ എസ്. 1∗ P പോയിൻ്റ് N ൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ν ഗെയിമിൻ്റെ വിലയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല, അതിൻ്റെ abscissa ∗2 ന് തുല്യമാണ്, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ വലത് അറ്റത്തേക്കുള്ള ദൂരം ∗1 ന് തുല്യമാണ്, അതായത്. പോയിൻ്റ് എസ് ബി 1, ബി 2 എന്നീ തന്ത്രങ്ങളുടെ പോയിൻ്റ്. കളിക്കാരൻ്റെ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി പ്യുവർ സ്ട്രാറ്റജി A2 ആയ ഒരു കേസ് ചുവടെയുണ്ട്. ഇവിടെ തന്ത്രം A2 (ഏത് ശത്രു തന്ത്രത്തിനും) A1, 13 .y .y .I .I I .I I. I .B2′ എന്നതിനേക്കാൾ ലാഭകരമാണ്. 1′ ബി .ബി 1′ ബി 2 .ബി2′ ബി. 2 .B1 .ν = a21 .B1 .ν = a21 I. I I. I .I. .എക്സ് .ഐ. .x. 2∗ പി. A∗S = A2. 2∗ പി. A∗ S = A2 പ്ലെയർ B ന് വ്യക്തമായും ലാഭകരമല്ലാത്ത തന്ത്രം ഉള്ളപ്പോൾ വലത് വശത്ത് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഗെയിമിൻ്റെ കുറഞ്ഞ വിലയും β .y .I .I .B2 ഉയർന്ന വിലയും ദൃശ്യവൽക്കരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. .B1′ .N .B1 .B2′ .β = a21 .α = a22 .I I .I .∗ .x .P2. എ∗ എസ്. 1∗ പി അതേ ഗ്രാഫിൽ, പ്ലെയർ ബിയുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനവും നമുക്ക് നൽകാം. ഒപ്റ്റിമൽ മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി SB∗ = (q1∗ , q2∗) എന്ന തന്ത്രം B1 ൻ്റെ q1∗ ഷെയർ, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ KB2 ൻ്റെ നീളവും KB1 സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. കൂടാതെ I - I അക്ഷത്തിൽ KB2: .y .I .I I .B2 . B1′ .N .K .L .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . എ∗ എസ്. 1∗ P 14 KB2 q1∗ = KB2 + KB1 അല്ലെങ്കിൽ LB2′ q1∗ = LB2′ + LB1′ ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി SB∗ = (q1∗ , q2∗) നമ്മൾ കളിക്കാരെ B, B എന്നിവ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതിയിൽ കണ്ടെത്താനാകും. വിജയങ്ങളുടെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പരിധിക്ക് പകരം, ഉയർന്ന പരിധിയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് പരിഗണിക്കുക. .y .I .I I .A2 .A′1 .N .A1 .A′2 .I I .I. .x .q2∗ B∗ S .q1∗ 15 3.2. 2 × n, m × 2 ഗെയിമുകൾ 2 × n, m × 2 ഗെയിമുകൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. സിദ്ധാന്തം 3. ഏതൊരു പരിമിത ഗെയിമിനും m × n എന്നതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, അതിൽ ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും സജീവ തന്ത്രങ്ങളുടെ എണ്ണം m, n എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറുത് കവിയരുത്. ഈ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, 2 × n ഗെയിമിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, അതിൽ ഓരോ കളിക്കാരനും പരമാവധി രണ്ട് സജീവ തന്ത്രങ്ങളുണ്ട്. നിങ്ങൾ ഈ തന്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, 2 × n ഗെയിം 2 × 2 ഗെയിമായി മാറുന്നു, അത് പ്രാഥമിക രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സജീവമായ തന്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഗ്രാഫിക്കായി ചെയ്യാം: 1) ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനം നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു; 2) വിജയങ്ങളുടെ താഴ്ന്ന പരിധി നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു; 3) രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ്റെ രണ്ട് തന്ത്രങ്ങൾ പേഓഫിൻ്റെ താഴത്തെ പരിധിയിൽ തിരിച്ചറിയുന്നു, ഇത് പരമാവധി ഓർഡിനേറ്റുള്ള പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് വരികളുമായി യോജിക്കുന്നു (ഈ ഘട്ടത്തിൽ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വരികൾ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും ജോഡി എടുക്കും) - ഈ തന്ത്രങ്ങൾ പ്ലെയർ ബിയുടെ സജീവ തന്ത്രങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഗെയിം 2 × n ഗെയിമിനെ 2 × 2 ആയി ചുരുക്കി. ഗെയിം m × 2 എന്ന വ്യത്യാസവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, വ്യത്യാസം കുറവല്ല, മറിച്ച് പ്രതിഫലത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധിയാണ് നിർമ്മിച്ചത്, പരമാവധി അല്ല, മിനിമം അതിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം 5 ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക () 7 9 8 A= 10 6 9 പരിഹാരം: ജ്യാമിതീയ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ സജീവമായ തന്ത്രങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. നേരിട്ടുള്ള ലൈനുകൾ B1 - B1′, B2 - B2′, B3 - B3′ എന്നിവ B1, B2, B3 തന്ത്രങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. തകർന്ന ലൈൻ B1 N B2 കളിക്കാരൻ്റെ വിജയങ്ങളുടെ താഴ്ന്ന പരിധിയാണ്. ഗെയിമിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് S∗A = (23, 31); S∗B = (0.5; 0.5; 0); v = 8. 16 .y .I .I I . 1′ ബി ബി. 2 .B3′ .N .B3 .B1 .B2′ .I I .I . .x. 2∗ പി. എ∗ എസ്. 1∗ P 17 ഇൻഡക്സ് ഗെയിം, 2 നീക്കം, 3 2 × 2, 10 വ്യക്തിഗത, 3 2 × 2, 9 ക്രമരഹിതം, 3 ജ്യാമിതി, 12 നെറ്റ് ഗെയിം വില, 7 ഉദാഹരണങ്ങൾ, 10 2 × n, 9, 16 മീ × 2, 9 , 16 അനന്തം, 4 സാധാരണ രൂപത്തിൽ, 5 പരിമിതം, 4 മൾട്ടി-മൂവ്, 4 ഒറ്റ-ചലനം, 4 മാട്രിക്സ്, 5 ജോടിയാക്കിയത്, 2 പൂജ്യം-തുക, 2 വിപരീതം, 2 വിരുദ്ധമല്ലാത്തത്, 2 പരിഹാരം, 5 സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളിൽ, 5 , ശുദ്ധമായ തന്ത്രങ്ങളിൽ 9, സാഡിൽ പോയിൻ്റുള്ള 5, 7 വില, 5 അപ്പർ, 6 ലോവർ, 6 പ്യൂവർ, 7 മാക്സിമിൻ, 6 ഗെയിം മാട്രിക്സ്, 5 പേഓഫ്, 5 മിനിമാക്സ്, 6 ഗെയിം നോർമലൈസേഷൻ, 5 സ്ട്രാറ്റജി, 4 മാക്സിമിൻ, 6 മിനിമാക്സ്, 6 ഒപ്റ്റിമൽ, 4 മിക്സഡ്, 5 ഗെയിം തിയറി, 2 18
Cracked എന്ന ജനപ്രിയ അമേരിക്കൻ ബ്ലോഗിൽ നിന്ന്.
മികച്ച മുന്നേറ്റം നടത്താനുള്ള വഴികൾ പഠിക്കുന്നതിനാണ് ഗെയിം തിയറി, തൽഫലമായി, മറ്റ് കളിക്കാരിൽ നിന്ന് ചിലത് വെട്ടിക്കളഞ്ഞ് വിജയിക്കുന്ന പൈ പരമാവധി നേടുക. പല ഘടകങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യാനും യുക്തിസഹമായി സമതുലിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനും ഇത് നിങ്ങളെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. അക്കങ്ങൾക്ക് ശേഷവും അക്ഷരമാലയ്ക്ക് മുമ്പും ഇത് പഠിക്കണമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. വളരെയധികം ആളുകൾ അവബോധം, രഹസ്യ പ്രവചനങ്ങൾ, നക്ഷത്രങ്ങളുടെ സ്ഥാനം തുടങ്ങിയവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രധാനപ്പെട്ട തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കുന്നത്. ഞാൻ ഗെയിം സിദ്ധാന്തം നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളോട് പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ഇത് നിങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിലേക്ക് കുറച്ച് സാമാന്യബുദ്ധി ചേർക്കും.
1. തടവുകാരുടെ ആശയക്കുഴപ്പം
രക്ഷപ്പെടാൻ മോഷ്ടിച്ച കാർ ശരിയായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെട്ടതിനെത്തുടർന്ന് ബാങ്ക് കവർച്ചയ്ക്ക് ബെർട്ടോയും റോബർട്ടും അറസ്റ്റിലായി. ബാങ്ക് കവർച്ച നടത്തിയത് ഇവരാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ പോലീസിന് കഴിയുന്നില്ലെങ്കിലും മോഷ്ടിച്ച കാറിൽ വെച്ച് ഇവരെ കൈയോടെ പിടികൂടി. അവരെ വ്യത്യസ്ത മുറികളിലേക്ക് കൊണ്ടുപോയി, ഓരോരുത്തർക്കും ഒരു കരാർ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു: ഒരു കൂട്ടാളിയെ കൈമാറാനും അവനെ 10 വർഷത്തേക്ക് ജയിലിലേക്ക് അയയ്ക്കാനും സ്വയം മോചിപ്പിക്കാനും. എന്നാൽ ഇരുവരും പരസ്പരം ഒറ്റിക്കൊടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഓരോരുത്തർക്കും 7 വർഷം ലഭിക്കും. ആരും ഒന്നും പറഞ്ഞില്ലെങ്കിൽ വെറും കാർ മോഷണത്തിന് 2 വർഷം ജയിലിൽ കിടക്കും.
ബെർട്ടോ മൗനം പാലിച്ചാലും റോബർട്ട് അവനെ അകറ്റുകയാണെങ്കിൽ, ബെർട്ടോ 10 വർഷത്തേക്ക് ജയിലിൽ പോകുകയും റോബർട്ട് സ്വതന്ത്രനാകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഓരോ തടവുകാരനും ഒരു കളിക്കാരനാണ്, എല്ലാവരുടെയും പ്രയോജനം ഒരു "ഫോർമുല" ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം (ഇരുവർക്കും എന്താണ് ലഭിക്കുന്നത്, മറ്റുള്ളവർക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും). ഉദാഹരണത്തിന്, ഞാൻ നിങ്ങളെ അടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എൻ്റെ വിജയ പാറ്റേൺ ഇതുപോലെയായിരിക്കും (എനിക്ക് ഒരു പരുക്കൻ വിജയം ലഭിക്കുന്നു, നിങ്ങൾ അനുഭവിക്കുന്നത് അതികഠിനമായ വേദന). ഓരോ തടവുകാരനും രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഫലങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിക്കാം.
പ്രായോഗിക പ്രയോഗം: സാമൂഹ്യരോഗികളെ തിരിച്ചറിയൽ
ഗെയിം തിയറിയുടെ പ്രധാന പ്രയോഗം ഇവിടെ കാണാം: തങ്ങളെക്കുറിച്ച് മാത്രം ചിന്തിക്കുന്ന സാമൂഹ്യരോഗികളെ തിരിച്ചറിയുന്നു.യഥാർത്ഥ ഗെയിം സിദ്ധാന്തം ഒരു ശക്തമായ വിശകലന ഉപകരണമാണ്, അമേച്വറിസം പലപ്പോഴും ഒരു ചെങ്കൊടിയായി വർത്തിക്കുന്നു, അത് ബഹുമാനബോധമില്ലാത്ത ഒരാളെ ഉയർത്തിപ്പിടിക്കുന്നു. വൃത്തികെട്ട എന്തെങ്കിലും ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് അവബോധജന്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്ന ആളുകൾ വിശ്വസിക്കുന്നു, കാരണം മറ്റ് കളിക്കാരൻ എന്ത് ചെയ്താലും അത് ചെറിയ ജയിൽ ശിക്ഷയ്ക്ക് കാരണമാകും. സാങ്കേതികമായി ഇത് ശരിയാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു ഹ്രസ്വദൃഷ്ടിയുള്ള വ്യക്തിയാണെങ്കിൽ മാത്രം മനുഷ്യ ജീവിതങ്ങൾ. അതുകൊണ്ടാണ് ഗെയിം തിയറി ഫിനാൻസിൽ വളരെ ജനപ്രിയമായത്.
തടവുകാരൻ്റെ ധർമ്മസങ്കടത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം അത് ഡാറ്റയെ അവഗണിക്കുന്നു എന്നതാണ്.ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ 10 വർഷത്തേക്ക് ജയിലിലേക്ക് അയച്ച വ്യക്തിയുടെ സുഹൃത്തുക്കളുമായോ ബന്ധുക്കളുമായോ കടക്കാരുമായോ നിങ്ങൾ കൂടിക്കാഴ്ച നടത്താനുള്ള സാധ്യത ഇത് പരിഗണിക്കുന്നില്ല.
ഏറ്റവും മോശമായ കാര്യം, തടവുകാരൻ്റെ ധർമ്മസങ്കടത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന എല്ലാവരും അതിനെക്കുറിച്ച് കേട്ടിട്ടില്ലാത്തതുപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതാണ്.
ഏറ്റവും നല്ല നീക്കം നിശബ്ദത പാലിക്കുക എന്നതാണ്, രണ്ട് വർഷത്തിന് ശേഷം, ഒരു നല്ല സുഹൃത്തിനൊപ്പം, അതേ പണം ഉപയോഗിക്കുക.
2. ആധിപത്യ തന്ത്രം
നിങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നൽകുന്ന ഒരു സാഹചര്യമാണിത് ഏറ്റവും വലിയ വിജയം, എതിരാളിയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കാതെ.എന്ത് സംഭവിച്ചാലും, നിങ്ങൾ എല്ലാം ശരിയായി ചെയ്തു. അതുകൊണ്ടാണ് തടവുകാരൻ്റെ ആശയക്കുഴപ്പമുള്ള പലരും വിശ്വാസവഞ്ചന മറ്റേയാൾ എന്ത് ചെയ്താലും "മികച്ച" ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് വിശ്വസിക്കുന്നത്, ഈ രീതിയിൽ അന്തർലീനമായ യാഥാർത്ഥ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അജ്ഞത അത് വളരെ എളുപ്പമുള്ളതായി തോന്നുന്നു.
ഞങ്ങൾ കളിക്കുന്ന മിക്ക ഗെയിമുകൾക്കും കർശനമായ ആധിപത്യ തന്ത്രങ്ങൾ ഇല്ല, അല്ലാത്തപക്ഷം അവ ഭയങ്കരമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ കാര്യം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ സങ്കൽപ്പിക്കുക. റോക്ക്-പേപ്പർ-കത്രിക കളിയിൽ പ്രബലമായ ഒരു തന്ത്രവുമില്ല. എന്നാൽ ഓവൻ മിറ്റുകൾ ധരിച്ച് പാറയോ പേപ്പറോ മാത്രം കാണിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വ്യക്തിയുമായി നിങ്ങൾ കളിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രധാന തന്ത്രം ഉണ്ടാകും: പേപ്പർ. നിങ്ങളുടെ പേപ്പർ അവൻ്റെ കല്ല് പൊതിയുകയോ സമനിലയിൽ കലാശിക്കുകയോ ചെയ്യും, നിങ്ങളുടെ എതിരാളിക്ക് കത്രിക കാണിക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് തോൽക്കാനാവില്ല. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രബലമായ തന്ത്രമുണ്ട്, വ്യത്യസ്തമായ എന്തെങ്കിലും പരീക്ഷിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു വിഡ്ഢിയായിരിക്കും.
3. ലൈംഗികതയുടെ യുദ്ധം
കർശനമായ ആധിപത്യ തന്ത്രം ഇല്ലാത്തപ്പോൾ ഗെയിമുകൾ കൂടുതൽ രസകരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലിംഗങ്ങളുടെ യുദ്ധം. അഞ്ജലിയും ബോറിസ്ലാവും ഒരു തീയതിയിൽ പോകുന്നു, പക്ഷേ ബാലെയും ബോക്‌സിംഗും തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. അഞ്ജലിക്ക് ബോക്‌സിംഗിനെ ഇഷ്ടമാണ്, കാരണം ആരുടെയെങ്കിലും തല തകർക്കാൻ പണം നൽകിയതിനാൽ തങ്ങൾ പരിഷ്‌കൃതരാണെന്ന് കരുതുന്ന കാണികളുടെ നിലവിളിയുടെ ആഹ്ലാദത്തിൽ രക്തം ഒഴുകുന്നത് അവൾ ആസ്വദിക്കുന്നു.
ബോറിസ്ലാവ് ബാലെ കാണാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, കാരണം ബാലെരിനാസ് എന്താണ് കടന്നുപോകുന്നതെന്ന് അവൻ മനസ്സിലാക്കുന്നു വലിയ തുകപരിക്കുകളും ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പരിശീലനവും, ഒരു പരിക്കിന് എല്ലാം അവസാനിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്. ബാലെ നർത്തകർ - ഏറ്റവും വലിയ കായികതാരങ്ങൾനിലത്ത്. ഒരു ബാലെറിനയ്ക്ക് നിങ്ങളെ തലയിൽ ചവിട്ടാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അവൾ ഒരിക്കലും അത് ചെയ്യില്ല, കാരണം അവളുടെ കാലിന് നിങ്ങളുടെ മുഖത്തേക്കാൾ വിലയുണ്ട്.
അവരോരോരുത്തരും അവരുടെ പ്രിയപ്പെട്ട ഇവൻ്റിലേക്ക് പോകാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് ഒറ്റയ്ക്ക് ആസ്വദിക്കാൻ അവർ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ അവർ എങ്ങനെ വിജയിക്കുന്നുവെന്ന് ഇതാ: ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യം- അവർക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത് ചെയ്യുക, ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം- വേറൊരു വ്യക്തിയോടൊപ്പം ആയിരിക്കുക, പൂജ്യം - തനിച്ചായിരിക്കുക.
ചിലർ ധാർഷ്ട്യമുള്ള വഞ്ചന നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: നിങ്ങൾ എന്തുതന്നെയായാലും നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് ചെയ്താൽ, മറ്റേയാൾ നിങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനോട് പൊരുത്തപ്പെടണം അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാം നഷ്ടപ്പെടണം. ഞാൻ ഇതിനകം പറഞ്ഞതുപോലെ, ലളിതമായ ഗെയിം സിദ്ധാന്തം വിഡ്ഢികളെ തിരിച്ചറിയുന്നതിൽ മികച്ചതാണ്.
പ്രായോഗിക പ്രയോഗം: മൂർച്ചയുള്ള കോണുകൾ ഒഴിവാക്കുക
തീർച്ചയായും, ഈ തന്ത്രത്തിന് കാര്യമായ പോരായ്മകളും ഉണ്ട്. ഒന്നാമതായി, നിങ്ങളുടെ ഡേറ്റിംഗിനെ "ലിംഗ യുദ്ധം" ആയി കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് പ്രവർത്തിക്കില്ല. നിങ്ങൾ ഓരോരുത്തർക്കും അവരവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന ഒരാളെ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ വേർപിരിയുക. രണ്ടാമത്തെ പ്രശ്നം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവർക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ലെന്ന് സ്വയം ഉറപ്പില്ല എന്നതാണ്.
എല്ലാവരുടെയും യഥാർത്ഥ വിജയ തന്ത്രം അവർ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് ചെയ്യുക എന്നതാണ്.അതിനുശേഷം, അല്ലെങ്കിൽ അടുത്ത ദിവസം, അവർ സ്വതന്ത്രരാകുമ്പോൾ, ഒരുമിച്ച് ഒരു കഫേയിൽ പോകുക. അല്ലെങ്കിൽ വിനോദ ലോകത്ത് ഒരു വിപ്ലവം സംഭവിക്കുകയും ബോക്സിംഗ് ബാലെ കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതുവരെ ബോക്‌സിംഗും ബാലെയും തമ്മിൽ മാറിമാറി നടത്തുക.
4. നാഷ് സന്തുലിതാവസ്ഥ
യാഥാർത്ഥ്യത്തിന് ശേഷം വ്യത്യസ്തമായി ഒന്നും ചെയ്യാൻ ആരും ആഗ്രഹിക്കാത്ത നീക്കങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് നാഷ് സന്തുലിതാവസ്ഥ.നമുക്ക് ഇത് പ്രാവർത്തികമാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഗെയിം തിയറി ഈ ഗ്രഹത്തിലെ മുഴുവൻ ദാർശനികവും മതപരവും സാമ്പത്തികവുമായ വ്യവസ്ഥയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും, കാരണം "തകരാൻ പോകില്ല" എന്നത് മനുഷ്യരാശിക്ക് കൂടുതൽ ശക്തമാണ്. ചാലകശക്തിതീയെക്കാൾ.
നമുക്ക് $100 വേഗത്തിൽ വിഭജിക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള നൂറിൽ എത്രയെന്ന് നിങ്ങളും ഞാനും തീരുമാനിക്കുകയും അതേ സമയം തുകകൾ പ്രഖ്യാപിക്കുകയും ചെയ്യുക. എങ്കിൽ നമ്മുടെ മൊത്തം തുകനൂറിൽ താഴെ, എല്ലാവർക്കും അവർ ആഗ്രഹിച്ചത് ലഭിക്കുന്നു. എങ്കിൽ ആകെനൂറിൽ കൂടുതൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തുക ചോദിച്ചയാൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള തുക ലഭിക്കും, അത്യാഗ്രഹിയായ വ്യക്തിക്ക് അവശേഷിക്കുന്നത് ലഭിക്കും. നമ്മൾ ഒരേ തുക ചോദിച്ചാൽ എല്ലാവർക്കും $50 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾ എത്ര ചോദിക്കും? നിങ്ങൾ എങ്ങനെ പണം വിഭജിക്കും? വിജയിക്കുന്ന ഒരു നീക്കം മാത്രമേയുള്ളൂ.
$51 ക്ലെയിം ചെയ്യുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും പരമാവധി തുകനിങ്ങളുടെ എതിരാളി എന്ത് തിരഞ്ഞെടുത്താലും പ്രശ്നമില്ല. അവൻ കൂടുതൽ ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, നിങ്ങൾക്ക് $51 ലഭിക്കും. അവൻ $50 അല്ലെങ്കിൽ $51 ചോദിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് $50 ലഭിക്കും. അവൻ $50 ൽ താഴെ ചോദിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് $51 ലഭിക്കും. ഏതുവിധേനയും, ഇതിലും കൂടുതൽ പണം നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടാക്കുന്ന മറ്റൊരു ഓപ്ഷനുമില്ല. Nash equilibrium - ഞങ്ങൾ രണ്ടുപേരും $51 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഒരു സാഹചര്യം.
പ്രായോഗിക പ്രയോഗം: ആദ്യം ചിന്തിക്കുക
ഗെയിം തിയറിയുടെ മുഴുവൻ പോയിൻ്റും ഇതാണ്. നിങ്ങൾ വിജയിക്കേണ്ടതില്ല, മറ്റ് കളിക്കാരെ ദോഷകരമായി ബാധിക്കുക, എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുമുള്ളവർ നിങ്ങൾക്കായി സംഭരിക്കുന്നതെന്തും പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ നിങ്ങൾക്കായി ഏറ്റവും മികച്ച നീക്കം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ നീക്കം മറ്റ് കളിക്കാർക്ക് പ്രയോജനകരമാണെങ്കിൽ അതിലും നല്ലത്. സമൂഹത്തെ മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന ഗണിതമാണിത്.
ഈ ആശയത്തിൻ്റെ രസകരമായ ഒരു വ്യതിയാനം മദ്യപാനമാണ്, അതിനെ സമയത്തെ ആശ്രയിക്കുന്ന നാഷ് സന്തുലിതാവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കാം. നിങ്ങൾ ആവശ്യത്തിന് കുടിക്കുമ്പോൾ, മറ്റുള്ളവരുടെ പ്രവൃത്തികൾ അവർ എന്ത് ചെയ്താലും നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കില്ല, എന്നാൽ അടുത്ത ദിവസം വ്യത്യസ്തമായി എന്തെങ്കിലും ചെയ്യാത്തതിൽ നിങ്ങൾ ഖേദിക്കുന്നു.
5. ടോസ് ഗെയിം
പ്ലെയർ 1-നും പ്ലെയർ 2-നും ഇടയിലാണ് ടോസ് കളിക്കുന്നത്. ഓരോ കളിക്കാരനും ഒരേസമയം തലയോ വാലുകളോ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അവർ ശരിയായി ഊഹിച്ചാൽ, പ്ലെയർ 1-ന് പ്ലെയർ 2-ൻ്റെ പെന്നി ലഭിക്കും. ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്ലെയർ 2-ന് പ്ലേയർ 1-ൻ്റെ നാണയം ലഭിക്കും.
വിജയിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് ലളിതമാണ് ...
... ഒപ്റ്റിമൽ സ്ട്രാറ്റജി: പൂർണ്ണമായും ക്രമരഹിതമായി കളിക്കുക.നിങ്ങൾ വിചാരിക്കുന്നതിലും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം തിരഞ്ഞെടുപ്പ് തികച്ചും ക്രമരഹിതമായിരിക്കണം. നിങ്ങൾക്ക് തലയോ ടെയിലോ മുൻഗണനയുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ പണം എടുക്കാൻ നിങ്ങളുടെ എതിരാളിക്ക് അത് ഉപയോഗിക്കാം.
തീർച്ചയായും, ഇവിടെ യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം, അവർ പരസ്പരം ഒരു പൈസ എറിഞ്ഞാൽ അത് വളരെ മികച്ചതായിരിക്കും എന്നതാണ്. തൽഫലമായി, അവരുടെ ലാഭം ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആഘാതം ഈ നിർഭാഗ്യവാന്മാർക്ക് ഭയങ്കര വിരസതയല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും അനുഭവിക്കാൻ സഹായിച്ചേക്കാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഏറ്റവും മോശം ഗെയിംഎന്നെങ്കിലും നിലവിലുണ്ട്. പെനാൽറ്റി ഷൂട്ടൗട്ടിന് അനുയോജ്യമായ മാതൃകയാണിത്.
പ്രായോഗിക ആപ്ലിക്കേഷൻ: പിഴ
ഫുട്ബോളിലും ഹോക്കിയിലും മറ്റു പല കളികളിലും അധിക സമയം പെനാൽറ്റി ഷൂട്ടൗട്ടാണ്. കളിക്കാർ എത്ര തവണ എന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെങ്കിൽ അവ കൂടുതൽ രസകരമായിരിക്കും പൂർണ്ണ രൂപംഅവർക്ക് ഒരു കാർട്ട് വീൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും, കാരണം അത് അവരുടെ ശാരീരിക ശേഷിയുടെ സൂചനയായിരിക്കും, അത് കാണാൻ രസകരമായിരിക്കും. ഗോൾകീപ്പർമാർക്ക് അതിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഒരു പന്തിൻ്റെയോ പക്കിൻ്റെയോ ചലനം വ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം, നിർഭാഗ്യവശാൽ, റോബോട്ടുകൾ ഇപ്പോഴും നമ്മുടെ കായിക മത്സരങ്ങളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ല. ഗോൾകീപ്പർ ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് ദിശ തിരഞ്ഞെടുക്കണം, ഒപ്പം തൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് ഷൂട്ട് ചെയ്യുന്ന എതിരാളിയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. നാണയങ്ങൾ കളിക്കുന്നതുമായി ഇതിന് പൊതുവായ ചിലത് ഉണ്ട്.
എന്നിരുന്നാലും, തലയുടെയും വാലിൻ്റെയും കളിയുമായുള്ള സാമ്യത്തിന് ഇത് ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്തുന്നുദിശയിൽ, ഗോൾകീപ്പർക്ക് പന്ത് പിടിക്കാൻ കഴിയില്ല, ആക്രമണകാരി ഗോൾ അടിക്കാതിരിക്കാം.
അപ്പോൾ ഗെയിം തിയറി പ്രകാരം നമ്മുടെ നിഗമനം എന്താണ്? ബോൾ ഗെയിമുകൾ "മൾട്ടി-ബോൾ" രീതിയിൽ അവസാനിക്കണം, അവിടെ ഓരോ മിനിറ്റിലും ഓരോ കളിക്കാരനും ഒരു വശത്ത് ഒരു നിശ്ചിത ഫലം നേടുന്നതുവരെ ഒരു അധിക ബോൾ/പക്ക് നൽകും, ഇത് കളിക്കാരുടെ യഥാർത്ഥ കഴിവിൻ്റെ സൂചനയാണ്, കൂടാതെ അതിശയകരമായ യാദൃശ്ചികതയല്ല.
ദിവസാവസാനം, ഗെയിം മികച്ചതാക്കാൻ ഗെയിം തിയറി ഉപയോഗിക്കണം. അതായത് നല്ലത്.
ഗെയിം സിദ്ധാന്തംപ്രവർത്തന ഗവേഷണത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖ എന്ന നിലയിൽ, വ്യത്യസ്ത താൽപ്പര്യങ്ങളുള്ള നിരവധി കക്ഷികളുടെ അനിശ്ചിതത്വത്തിലോ സംഘർഷത്തിലോ ഒപ്റ്റിമൽ തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ സിദ്ധാന്തമാണിത്. ഗെയിം തിയറി ഗെയിമിംഗ് സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രീയവും സാമ്പത്തികവുമായ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തിനായി ഏറ്റവും ലാഭകരമായ ഉൽപാദന പരിഹാരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സാഹചര്യങ്ങൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, സംഘടന സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിയന്ത്രണം, വ്യവസായ സംരംഭങ്ങളും മറ്റ് മേഖലകളും തമ്മിലുള്ള സാമ്പത്തിക ബന്ധങ്ങൾ. ഔപചാരികമാക്കുന്നു സംഘർഷ സാഹചര്യങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, അവയെ രണ്ട്, മൂന്ന്, മുതലായവയുടെ ഗെയിമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. കളിക്കാർ, ഓരോരുത്തരും അവരുടെ നേട്ടം പരമാവധിയാക്കുക എന്ന ലക്ഷ്യം പിന്തുടരുന്നു, മറ്റുള്ളവരുടെ ചെലവിൽ അവരുടെ വിജയങ്ങൾ."ഗെയിം തിയറി" വിഭാഗത്തെ മൂന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ:
- കളിക്കാരുടെ ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്സ് വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. കളിക്കാരുടെ ശുദ്ധമോ മിശ്രിതമോ ആയ തന്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഗെയിം വില. പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മാട്രിക്സിൻ്റെ അളവും പരിഹാര രീതിയും വ്യക്തമാക്കണം. സേവനം നടപ്പിലാക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന രീതികൾരണ്ട് കളിക്കാർക്കുള്ള ഗെയിമിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:
- മിനിമാക്സ്. നിങ്ങൾക്ക് കളിക്കാരുടെ ശുദ്ധമായ തന്ത്രം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഗെയിമിൻ്റെ സാഡിൽ പോയിൻ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകണമെങ്കിൽ, ഈ പരിഹാര രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
- ലളിതമായ രീതി. ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി ഗെയിമുകൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
- ഗ്രാഫിക് രീതി. മിക്സഡ് സ്ട്രാറ്റജി ഗെയിമുകൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു സാഡിൽ പോയിൻ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരം നിർത്തുന്നു. ഉദാഹരണം: നൽകിയിരിക്കുന്ന പേയ്മെൻ്റ് മാട്രിക്‌സിനായി, കളിക്കാരുടെ ഒപ്റ്റിമൽ സമ്മിശ്ര തന്ത്രങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗെയിമിൻ്റെ വിലയും കണ്ടെത്തുക ഗ്രാഫിക് രീതിഗെയിം പരിഹാരങ്ങൾ.
- ബ്രൗൺ-റോബിൻസൺ ആവർത്തന രീതി. ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ബാധകമല്ലാത്തപ്പോഴും ബീജഗണിതവും എപ്പോൾ ആവർത്തന രീതിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു മാട്രിക്സ് രീതികൾ. ഈ രീതി ഗെയിമിൻ്റെ വിലയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം നൽകുന്നു, കൂടാതെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ആവശ്യമുള്ള ഏത് അളവിലും കൃത്യതയോടെ ലഭിക്കും. ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ രീതി പര്യാപ്തമല്ല, എന്നാൽ ടേൺ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഗെയിമിൻ്റെ ചലനാത്മകത ട്രാക്കുചെയ്യാനും ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ഓരോ കളിക്കാരനും ഗെയിമിൻ്റെ വില നിർണ്ണയിക്കാനും ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
എല്ലാ രീതികളും പ്രബലമായ വരികൾക്കും നിരകൾക്കുമായി ഒരു ചെക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നു. - ബിമാട്രിക്സ് ഗെയിം. സാധാരണയായി അത്തരം ഒരു ഗെയിമിൽ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തെയും കളിക്കാരുടെ ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള രണ്ട് മെട്രിക്സുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഈ മെട്രിക്സുകളുടെ വരികൾ ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മെട്രിക്സുകളുടെ നിരകൾ രണ്ടാമത്തെ കളിക്കാരൻ്റെ തന്ത്രങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യ മെട്രിക്സ് ആദ്യ കളിക്കാരൻ്റെ വിജയങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തെ മെട്രിക്സ് രണ്ടാമൻ്റെ വിജയങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
- പ്രകൃതിയുമായുള്ള കളികൾ. നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ട സമയത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നു മാനേജ്മെൻ്റ് തീരുമാനം Maximax, Bayes, Laplace, Wald, Savage, Hurwitz എന്നിവയുടെ മാനദണ്ഡങ്ങൾ അനുസരിച്ച്.
ബയേസ് മാനദണ്ഡത്തിന്, സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ നൽകേണ്ടതും ആവശ്യമാണ്. അവ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, സ്ഥിരസ്ഥിതി മൂല്യങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കുക (തത്തുല്യമായ ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകും).
Hurwitz മാനദണ്ഡത്തിന്, ശുഭാപ്തിവിശ്വാസത്തിൻ്റെ അളവ് സൂചിപ്പിക്കുക λ. വ്യവസ്ഥകളിൽ ഈ പരാമീറ്റർ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 0, 0.5, 1 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.
പല പ്രശ്നങ്ങൾക്കും കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. മുകളിലുള്ള സേവനങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉപകരണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.
