Лекц: огтлолцох, зэрэгцээ ба огтлолцох шугамууд; шугамын перпендикуляр байдал

огтлолцсон шугамууд

Хэрэв хавтгай дээр хэд хэдэн шулуун шугам байгаа бол эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдгээр нь дур зоргоороо эсвэл зөв өнцгөөр огтлолцох эсвэл параллель байх болно. Тохиолдол бүрийг авч үзье.

Наад зах нь нэг огтлолцох цэгтэй шугамуудыг огтлолцсон гэж нэрлэж болно.

Ядаж нэг шулуун шугам яагаад нөгөө шулуун шугамыг хоёр, гурван удаа огтолж болохгүй гэж та асууж болно. Чиний зөв! Гэхдээ шулуун шугамууд бие биетэйгээ бүрэн давхцаж болно. Энэ тохиолдолд хязгааргүй тооны нийтлэг цэгүүд байх болно.

Зэрэгцээ байдал

ЗэрэгцээХэзээ ч огтлолцохгүй мөрүүдийг та хязгааргүйд ч нэрлэж болно.

Өөрөөр хэлбэл, параллель гэдэг нь нэг нийтлэг цэггүй байдаг. Энэ тодорхойлолт нь шугамууд нэг хавтгайд байгаа тохиолдолд л хүчинтэй, гэхдээ тэдгээрт нийтлэг цэгүүд байхгүй, өөр өөр хавтгайд байгаа бол тэдгээрийг огтлолцсон гэж үзнэ.

Амьдралын зэрэгцээ шугамуудын жишээ: дэлгэцийн хоёр эсрэг талын ирмэгүүд, дэвтэр дээрх шугамууд, түүнчлэн дөрвөлжин, тэгш өнцөгт болон бусад хэлбэртэй зүйлсийн бусад олон хэсгүүд.

Тэд нэг шугам нөгөө шугамтайгаа параллель байгааг бичгээр харуулахыг хүсвэл дараах тэмдэглэгээг ашиглана a||b. Энэ оруулга нь а шугам b шугамтай параллель байна гэж бичсэн байна.

Энэ сэдвийг судлахдаа өөр нэг мэдэгдлийг ойлгох нь чухал: өгөгдсөн шулуунд хамаарахгүй хавтгай дээрх тодорхой цэгээр дамжуулан нэг параллель шугам зурж болно. Гэхдээ анхаарлаа хандуулаарай, дахин залруулга онгоцонд байна. Хэрэв бид гурван хэмжээст орон зайг авч үзвэл огтлолцохгүй, огтлолцох хязгааргүй тооны шугам зурж болно.

Дээр дурдсан мэдэгдлийг гэж нэрлэдэг зэрэгцээ шугамын аксиом.

Перпендикуляр байдал

Шууд шугамыг зөвхөн хэрэв дуудаж болно перпендикуляр, хэрэв тэдгээр нь 90 градустай тэнцүү өнцгөөр огтлолцвол.

Орон зайд шугамын тодорхой цэгээр дамжуулан хязгааргүй тооны перпендикуляр шугам зурж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хавтгайн тухай ярьж байгаа бол шугамын нэг цэгээр дамжуулан нэг перпендикуляр шугам зурж болно.

Шулуун шугамыг гаталсан. Секант

Хэрэв зарим шугамууд тодорхой цэг дээр дурын өнцгөөр огтлолцдог бол тэдгээрийг дуудаж болно эрлийзжих.

Аливаа огтлолцсон шугамууд нь босоо болон зэргэлдээ өнцөгтэй байдаг.

Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгүүдийн нэг тал нь нийтлэг байвал тэдгээрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

Зэргэлдээх өнцөг нь 180 градус хүртэл нэмэгддэг.

Теорем. Хэрэв нэг шулуун өгөгдсөн хавтгайд хэвтэж, нөгөө шулуун нь энэ хавтгайг эхний шулуунд хамаарахгүй цэгээр огтолж байвал эдгээр хоёр шулуун огтлолцоно. Зуурсан шугамын тэмдэг Баталгаа. a шулуун хавтгайд хэвтэж, b шулуун нь а шулуунд хамаарахгүй B цэг дээр хавтгайг огтолно. Хэрэв a ба b шулуунууд нэг хавтгайд байвал В цэг мөн энэ хавтгайд хэвтэнэ.Энэ шулууныг дайран өнгөрөх ганц хавтгай ба энэ шулуунаас гадна цэг байгаа тул энэ хавтгай хавтгай байх ёстой. Харин дараа нь b шулуун шугам хавтгайд байх бөгөөд энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Иймээс a ба b шулуун шугамууд нэг хавтгайд оршдоггүй, өөрөөр хэлбэл. эрлийз.

Энгийн гурвалжин призмийн ирмэгийг агуулсан хэдэн хос хазайсан шугам байдаг вэ? Шийдэл: Суурийн ирмэг бүрийн хувьд түүнтэй огтлолцсон гурван ирмэг байна. Хажуугийн ирмэг бүрийн хувьд түүнтэй огтлолцсон хоёр хавирга байдаг. Тиймээс шаардлагатай тооны хос муруй шугам нь 5-р дасгал юм

Ердийн зургаан өнцөгт призмийн ирмэгийг агуулсан хэдэн хос хазайсан шугам байдаг вэ? Шийдэл: Суурийн ирмэг бүр 8 хос огтлолцох шугамд оролцдог. Хажуугийн ирмэг бүр 8 хос огтлолцох шугамд оролцдог. Иймд шаардлагатай тооны хос хазайсан шугам нь 6-р дасгал юм

Орон зай дахь хоёр шугамын харьцангуй байрлал.

Орон зай дахь хоёр шугамын харьцангуй байрлал нь дараах гурван боломжоор тодорхойлогддог.

Шулуун нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд нийтлэг цэгүүд байдаггүй - зэрэгцээ шугамууд.

Шугамууд нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд нэг нийтлэг цэгтэй байдаг - шугамууд огтлолцдог.

Орон зайд хоёр шулуун шугамыг ямар ч хавтгайд хэвтэхгүй байхаар байрлуулж болно. Ийм шугамыг хазайлт гэж нэрлэдэг (тэдгээр нь огтлолцдоггүй эсвэл параллель байдаг).

ЖИШЭЭ:

АСУУДАЛ 434 ABC гурвалжин хавтгайд орших, a

ABC гурвалжин хавтгайд байрладаг боловч D цэг нь энэ хавтгайд байхгүй. M, N, K цэгүүд нь DA, DB, DC сегментүүдийн дунд цэгүүд юм

Теорем.Хэрэв хоёр шулууны нэг нь тодорхой хавтгайд хэвтэж, нөгөө нь энэ хавтгайг эхний мөрөнд ороогүй цэгээр огтолж байвал эдгээр шулуунууд огтлолцоно.

Зураг дээр. 26 шулуун шугам a хавтгайд орших ба c шулуун шугам нь N цэг дээр огтлолцоно. a ба c шулуунууд огтлолцоно.

Теорем.Хоёр огтлолцсон шулуун тус бүрээр нөгөө шулуунтай параллель нэг хавтгай өнгөрдөг.

Зураг дээр. a ба b 26 шугам огтлолцоно. Шулуун шугам зурж, хавтгай зурсан (альфа) || b (В (бета) хавтгайд a1 || b шулуун шугамыг зааж өгсөн).

Теорем 3.2.

Гурав дахь параллель хоёр шугам нь зэрэгцээ байна.

Энэ өмчийг нэрлэдэг дамжин өнгөрөх чадваршугамын параллелизм.

Баталгаа

a ба b шугамууд c шулуунтай зэрэг зэрэгцээ байг. a шугам нь b-тэй параллель биш гэж үзье, тэгвэл а шулуун нь b шугамыг нөхцөлөөр c шулуун дээр хэвтэхгүй А цэг дээр огтолно. Үүний үр дүнд бид өгөгдсөн c шулуун дээр хэвтээгүй, А цэгийг дайран өнгөрч буй a ба b хоёр шулуунтай бөгөөд үүнтэй зэрэгцээ байна. Энэ нь аксиом 3.1-тэй зөрчилдөж байна. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 3.3.

Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг бөгөөд зөвхөн нэг шулуун зурж болно.

Баталгаа

(AB) нь өгөгдсөн шулуун, C түүн дээр хэвтээгүй цэг байг. АС шугам нь онгоцыг хоёр хагас хавтгайд хуваана. B цэг нь тэдгээрийн аль нэгэнд байрладаг. Аксиом 3.2-ын дагуу C A туяанаас өнцөг (CAB)-тай тэнцүү өнцгийг (ACD) өөр хагас хавтгайд буулгах боломжтой. ACD ба CAB нь AB ба CD шулуунууд ба секант (AC) -тай тэнцүү дотоод хөндлөн огтлолтой байна Дараа нь теорем 3.1 (AB) || (CD). Аксиом 3.1-ийг харгалзан үзэх. Теорем нь батлагдсан.

Зэрэгцээ шулуунуудын шинж чанарыг теорем 3.1-ийн эсрэгээр дараах теоремоор өгнө.

Теорем 3.4.

Хоёр зэрэгцээ шугамыг гурав дахь шугамаар огтолж байгаа бол огтлолцох дотоод өнцөг нь тэнцүү байна.

Баталгаа

(AB) || (CD). ACD ≠ BAC гэж үзье. А цэгээр дамжуулан бид AE шулуун шугамыг EAC = ACD болгоно. Харин дараа нь теорем 3.1 (AE ) || (CD), нөхцөлөөр – (AB) || (CD). Теорем 3.2-ын дагуу (AE ) || (AB). Энэ нь теорем 3.3-тай зөрчилдөж байгаа бөгөөд үүний дагуу CD шулуун дээр оршдоггүй А цэгээр дамжуулан түүнтэй параллель өвөрмөц шулуун зурж болно. Теорем нь батлагдсан.

Зураг 3.3.1.

Энэ теорем дээр үндэслэн дараах шинж чанаруудыг хялбархан зөвтгөж болно.

Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугам гурав дахь шугамаар огтлолцсон бол харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна.

Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг гуравдахь шугамаар огтолж байгаа бол дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180 ° байна.

Дүгнэлт 3.2.

Хэрэв шугам нь параллель шулуунуудын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна.

Зэрэгцээ үзэл баримтлал нь 11-р бүлэгт хожим хэрэг болох дараах шинэ ойлголтыг нэвтрүүлэх боломжийг бидэнд олгодог.

Хоёр цацраг гэж нэрлэгддэг адил чиглүүлсэн, хэрэв шугам байгаа бол нэгдүгээрт, тэдгээр нь энэ шулуунд перпендикуляр, хоёрдугаарт, цацрагууд энэ шулуунтай харьцуулахад нэг хагас хавтгайд байрладаг.

Хоёр цацраг гэж нэрлэгддэг эсрэг чиглэсэн, хэрэв тэдгээр нь тус бүр нь нөгөөдөө нэмэлт туяагаар ижил чиглэгдсэн бол.

Бид ижил чиглэлтэй AB ​​ба CD туяаг, мөн эсрэг чиглэлтэй AB ​​ба CD туяаг тэмдэглэнэ.

Зураг 3.3.2.

Шугам огтлолцох тэмдэг.

Хэрэв хоёр шулууны нэг нь тодорхой хавтгайд хэвтэж, нөгөө шулуун нь энэ хавтгайг эхний мөрөнд ороогүй цэгээр огтолж байвал эдгээр шулуунууд огтлолцоно.

Орон зайд шугамыг харилцан байрлуулах тохиолдлууд.

1. Орон зайд хоёр шугамыг байрлуулах дөрвөн өөр тохиолдол байдаг.

   
   

   – шулуун гарц, өөрөөр хэлбэл. нэг хавтгайд хэвтэж болохгүй;

   – шулуун шугамууд огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл. нэг хавтгайд хэвтэж, нэг нийтлэг цэгтэй байх;

   - зэрэгцээ шугамууд, өөрөөр хэлбэл. нэг хавтгайд хэвтэж, огтлолцохгүй байх;

   - шугамууд давхцаж байна.

   
   

   Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамуудын харьцангуй байрлалын эдгээр тохиолдлын шинж чанарыг олж авцгаая

   
   
   Хаана - шугаманд хамаарах цэгүүдТэгээд үүний дагуу, a- чиглэлийн векторууд (Зураг 4.34). -ээр тэмдэглэеӨгөгдсөн цэгүүдийг холбосон вектор.
   
   

   Дараах шинж чанарууд нь дээр дурдсан шугамуудын харьцангуй байрлалтай тохирч байна.

   
   

   – шулуун ба огтлолцох векторууд хоорондоо уялдаатай биш;

   
   

   – шулуун ба огтлолцох векторууд хос хавтгай, харин векторууд коллинеар биш;

   
   

   – шууд ба зэрэгцээ векторууд нь коллинеар боловч векторууд нь коллинеар биш;

   
   

   – шулуун ба давхцсан векторууд нь коллинеар байна.

   
   

   Эдгээр нөхцлийг холимог ба вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бичиж болно. Зөв тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторуудын холимог үржвэрийг дараах томъёогоор олдог гэдгийг санаарай.

   
   
   ба тодорхойлогч огтлолцох нь тэг бөгөөд түүний хоёр ба гурав дахь эгнээ нь пропорциональ биш, i.e.
   

   – тодорхойлогчийн шулуун ба зэрэгцээ хоёр, гурав дахь шугамууд нь пропорциональ, i.e. ба эхний хоёр мөр нь пропорциональ биш, i.e.

   
   

   – шулуун шугамууд болон тодорхойлогчийн бүх шугамууд давхцаж, пропорциональ, өөрөөр хэлбэл.

Хажуу шугамын туршилтын баталгаа.

Хэрэв хоёр шулууны нэг нь хавтгайд хэвтэж, нөгөө нь энэ хавтгайг эхний шулуунд хамаарахгүй цэгээр огтолж байвал эдгээр хоёр шулуун огтлолцоно.

Баталгаа

a нь α-д харьяалагдана, b нь α = A-г огтолно, A нь a-д хамаарахгүй (Зураг 2.1.2). a ба b шулуунууд огтлолцдоггүй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдог гэж үзье. Дараа нь a ба b шулуунууд хамаарах β хавтгай байна. Энэ хавтгайд β шулуун ба А цэг оршино. А шулуун ба түүний гаднах А цэг нь нэг хавтгайг тодорхойлох тул β = α болно. Харин b хөтчүүд β ба b нь α-д хамаарахгүй тул β = α тэгшитгэл нь боломжгүй юм.

Хэрэв огторгуйн хоёр шулуун нийтлэг цэгтэй бол энэ хоёр шулуун огтлолцсон гэж хэлнэ. Дараах зурагт a ба b шулуунууд А цэг дээр огтлолцдог. a ба c шугамууд огтлолцдоггүй.

Аливаа хоёр шулуун шугам нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй эсвэл нийтлэг цэггүй байдаг.

Зэрэгцээ шугамууд

Сансар огторгуйн хоёр шулуун нэг хавтгайд оршдог, огтлолцдоггүй бол тэдгээрийг параллель гэнэ. Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд тусгай дүрс ашиглана уу - ||.

a||b тэмдэглэгээ нь а мөр b шулуунтай параллель байна гэсэн үг. Дээрх зурагт a ба c шугамууд зэрэгцээ байна.

Зэрэгцээ шугамын теорем

Өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй огторгуйн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель шугам, үүнээс гадна зөвхөн нэг шулуун дамждаг.

Хөндлөнгийн шугамууд

Нэг хавтгайд байрлах хоёр шулуун огтлолцох эсвэл параллель байж болно. Гэхдээ огторгуйд хоёр шулуун шугам энэ хавтгайд хамаарах албагүй. Тэд хоёр өөр хавтгайд байрлаж болно.

Янз бүрийн хавтгайд байрлах шугамууд огтлолцохгүй, зэрэгцээ шугам биш гэдэг нь ойлгомжтой. Нэг хавтгайд ороогүй хоёр шулууныг нэрлэдэг шулуун шугамыг гатлах.

Дараах зурагт өөр өөр хавтгайд орших хоёр огтлолцсон a ба b шулуун шугамыг үзүүлэв.

Ташуу шугам дээрх тест ба теорем

Хэрэв хоёр шулууны нэг нь тодорхой хавтгайд хэвтэж, нөгөө шулуун нь энэ хавтгайг эхний мөрөнд ороогүй цэгээр огтолж байвал эдгээр шулуунууд огтлолцоно.

Ташуу шугам дээрх теорем: огтлолцсон хоёр шулуун тус бүрээр нөгөө шулуунтай параллель хавтгай, үүнээс гадна зөвхөн нэг хавтгай дамждаг.

Тиймээс бид орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлалын бүх боломжит тохиолдлыг авч үзсэн. Тэдний гурав нь л байна.

1. Шугамууд огтлолцдог. (Тэдэнд зөвхөн нэг нийтлэг зүйл бий.)

2. Шугамууд зэрэгцээ байна. (Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрт нийтлэг цэг байдаггүй бөгөөд нэг хавтгайд байрладаг.)

3. Шулуун шугамууд хөндлөн гардаг. (өөрөөр хэлбэл тэд өөр өөр онгоцонд байрладаг.)