Zobacz, co „EKSTREMAL WARUNKOWY” znajduje się w innych słownikach:

Ekstremum względne, ekstremum funkcji f (x1,..., xn + m) od n + m zmiennych przy założeniu, że zmienne te podlegają także m równaniom (warunkom) połączenia: φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (patrz Ekstremum).… …

Niech zbiór będzie otwarty i podane zostaną funkcje. Zostawiać. Równania te nazywane są równaniami więzów (terminologia jest zapożyczona z mechaniki). Niech funkcja zostanie zdefiniowana w G... Wikipedia

- (od łacińskiego ekstremum) wartość funkcji ciągłej f (x), która jest albo maksimum, albo minimum. Dokładniej: funkcja f (x) ciągła w punkcie x0 ma maksimum (minimum) w x0, jeśli istnieje sąsiedztwo (x0 + δ, x0 δ) tego punktu,... ... Wielka encyklopedia radziecka

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Extremum (znaczenia). Ekstremum (łac. ekstremum ekstremum) w matematyce to maksymalna lub minimalna wartość funkcji w danym zbiorze. Punkt, w którym osiągane jest ekstremum... ... Wikipedia

Funkcja używana przy rozwiązywaniu problemów skrajność warunkowa funkcje wielu zmiennych i funkcjonałów. Z pomocą L. f. są nagrywane niezbędne warunki optymalność w problemach z ekstremum warunkowym. W tym przypadku nie jest konieczne wyrażanie tylko zmiennych... Encyklopedia matematyczna

Dyscyplina matematyczna poświęcona znajdowaniu ekstremalnych (największych i najmniejszych) wartości funkcjonałów zmiennych, które zależą od wyboru jednej lub większej liczby funkcji. W I. jest naturalnym rozwinięciem tego rozdziału... ... Wielka encyklopedia radziecka

Zmienne, za pomocą których konstruowana jest funkcja Lagrange'a podczas badania problemów z ekstremum warunkowym. Zastosowanie metod liniowych i funkcji Lagrange'a pozwala w sposób jednolity uzyskać niezbędne warunki optymalności w problemach z ekstremum warunkowym... Encyklopedia matematyczna

Rachunek wariacyjny to dziedzina analizy funkcjonalnej, która bada wariacje funkcjonałów. Najbardziej typowym problemem rachunku wariacyjnego jest znalezienie funkcji, przy której dany funkcjonał osiąga... ... Wikipedia

Dział matematyki zajmujący się badaniem metod znajdowania ekstremów funkcjonałów zależnych od wyboru jednej lub kilku funkcji pod różnego rodzaju ograniczeniami (fazowymi, różniczkowymi, całkowymi itp.) nałożonymi na nie... ... Encyklopedia matematyczna

Rachunek wariacyjny to dział matematyki zajmujący się badaniem wariacji funkcjonałów. Najbardziej typowym problemem rachunku wariacyjnego jest znalezienie funkcji, przy której funkcjonał osiąga wartość ekstremalną. Metody... ...Wikipedia

Książki

• Wykłady z teorii sterowania. Tom 2. Optymalna kontrola, V. Boss. Rozważane są klasyczne problemy teorii sterowania optymalnego. Prezentacja rozpoczyna się od podstawowych pojęć optymalizacji w przestrzeniach skończenie wymiarowych: ekstremum warunkowe i bezwarunkowe,...

Przykład

Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem, że X I Na powiązane są zależnością: . Geometrycznie problem oznacza: na elipsie
samolot
.

Problem ten można rozwiązać w ten sposób: z równania
znaleźliśmy
X:

pod warunkiem że
, sprowadza się do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej na przedziale
.

Geometrycznie problem oznacza: na elipsie , uzyskany przez przejście przez cylinder
samolot
, musisz znaleźć maksymalną lub minimalną wartość aplikacji (ryc. 9). Problem ten można rozwiązać w ten sposób: z równania
znaleźliśmy
. Podstawiając znalezioną wartość y do równania płaszczyzny, otrzymujemy funkcję jednej zmiennej X:

Stąd problem znalezienia ekstremum funkcji
pod warunkiem że
, sprowadza się do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej na przedziale.

Więc, problem znalezienia ekstremum warunkowego– jest to problem znalezienia ekstremum funkcji celu
, pod warunkiem, że zmienne X I Na podlega ograniczeniom
, zwany równanie połączenia.

Powiedzmy tak kropka
, spełniający równanie sprzężenia, jest punktem lokalnego maksimum warunkowego (minimum), jeśli istnieje sąsiedztwo
tak, że dla dowolnych punktów
, którego współrzędne spełniają równanie połączenia, nierówność jest spełniona.

Jeśli z równania sprzężenia można znaleźć wyrażenie dla Na, następnie zastępując to wyrażenie pierwotną funkcją, zamieniamy tę ostatnią w złożoną funkcję jednej zmiennej X.

Ogólna metoda rozwiązywania problemu ekstremum warunkowego jest następująca Metoda mnożnika Lagrange'a. Stwórzmy funkcję pomocniczą, gdzie ─ jakaś liczba. Ta funkcja nazywa się Funkcja Lagrange'a, A ─ Mnożnik Lagrange'a. Zatem zadanie znalezienia ekstremum warunkowego zostało zredukowane do znalezienia lokalnych ekstremów dla funkcji Lagrange'a. Aby znaleźć możliwe ekstrema, należy rozwiązać układ 3 równań z trzema niewiadomymi x, y I.

Następnie powinieneś zastosować następujący warunek wystarczający dla ekstremum.

TWIERDZENIE. Niech ten punkt będzie możliwym ekstremum funkcji Lagrange'a. Załóżmy, że w pobliżu punktu
istnieją ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji I . Oznaczmy

A następnie, jeśli
, To
─ ekstremum warunkowe funkcji
z równaniem sprzężenia
w tym przypadku, jeśli
, To
─ warunkowy punkt minimalny, jeśli
, To
─ warunkowy punkt maksymalny.

§8. Pochodna gradientowa i kierunkowa

Niech funkcja
zdefiniowany w jakimś (otwartym) regionie. Rozważ dowolny punkt
ten obszar i dowolna skierowana linia prosta (oś) , przechodząc przez ten punkt (ryc. 1). Pozwalać
- jakiś inny punkt na tej osi,
– długość odcinka pomiędzy
I
, zrobione ze znakiem plus, jeśli kierunek
pokrywa się z kierunkiem osi i ze znakiem minus, jeśli ich kierunki są przeciwne.

Pozwalać
zbliża się w nieskończoność
. Limit

zwany pochodna funkcji
w kierunku (lub wzdłuż osi ) i jest oznaczony następująco:

.

Pochodna ta charakteryzuje „szybkość zmiany” funkcji w punkcie
w kierunku . W szczególności zwykłe pochodne cząstkowe ,można je również traktować jako pochodne „ze względu na kierunek”.

Załóżmy teraz, że funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe w rozważanym regionie. Niech oś tworzy kąty z osiami współrzędnych
I . Zgodnie z przyjętymi założeniami pochodna kierunkowa istnieje i wyraża się wzorem

.

Jeśli wektor
podane przez jego współrzędne
, to pochodna funkcji
w kierunku wektora
można obliczyć korzystając ze wzoru:

.

Wektor ze współrzędnymi
zwany wektor gradientu Funkcje
w tym punkcie
. Wektor gradientu wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w danym punkcie.

Przykład

Dana jest funkcja, punkt A(1, 1) i wektor
. Znajdź: 1)grad z w punkcie A; 2) pochodna w punkcie A w kierunku wektora .

Pochodne cząstkowe danej funkcji w punkcie
:

;
.

Wtedy wektor gradientu funkcji w tym punkcie wynosi:
. Wektor gradientu można również zapisać za pomocą rozkładu wektorów I :

. Pochodna funkcji w kierunku wektora :

Więc,
,
.◄

Ekstremum warunkowe.

Ekstrema funkcji kilku zmiennych

Metoda najmniejszych kwadratów.

Ekstremum lokalne FNP

Niech będzie podana funkcja I= F(P), РÎDÌR N i niech punkt P 0 ( A 1 , A 2 , ..., str) –wewnętrzny punkt zbioru D.

Definicja 9.4.

1) Nazywa się punkt P 0 maksymalny punkt Funkcje I= F(P), jeśli istnieje takie sąsiedztwo tego punktu U(P 0) М D takie, że dla dowolnego punktu P( X 1 , X 2 , ..., x rz)О U(P 0) , Р¹Р 0 , warunek jest spełniony F(P)£ F(P0) . Oznaczający F Wywoływana jest funkcja (P 0) w punkcie maksymalnym maksimum funkcji i jest wyznaczony F(P0) = maks F(P) .

2) Nazywa się punkt P 0 minimalny punkt Funkcje I= F(P), jeżeli istnieje otoczenie tego punktu U(P 0)Ì D takie, że dla dowolnego punktu P( X 1 , X 2 , ..., x rz)ОU(P 0), Р¹Р 0 , warunek jest spełniony F(P)³ F(P0) . Oznaczający F Wywoływana jest funkcja (P 0) w punkcie minimalnym funkcja minimalna i jest wyznaczony F(P 0) = min F(P).

Wywoływane są punkty minimalne i maksymalne funkcji punkty ekstremalne, wywoływane są wartości funkcji w punktach ekstremalnych ekstrema funkcji.

Jak wynika z definicji nierówności F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musi być spełniony tylko w pewnym sąsiedztwie punktu P 0, a nie w całej dziedzinie definicji funkcji, co oznacza, że ​​funkcja może mieć kilka ekstremów tego samego typu (kilka minimów, kilka maksimów) . Dlatego ekstrema zdefiniowane powyżej nazywane są lokalny(lokalne) skrajności.

Twierdzenie 9.1 (warunek konieczny ekstremum FNP)

Jeśli funkcja I= F(X 1 , X 2 , ..., x rz) ma ekstremum w punkcie P 0 , to jego pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym punkcie albo są równe zeru, albo nie istnieją.

Dowód. Niech w punkcie P 0 ( A 1 , A 2 , ..., str) funkcja I= F(P) ma ekstremum, na przykład maksimum. Ustalmy argumenty X 2 , ..., x rz, kładąc X 2 =A 2 ,..., x rz = str. Następnie I= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., str) jest funkcją jednej zmiennej X 1. Ponieważ ta funkcja ma X 1 = A Zatem 1 ekstremum (maksimum). F 1 ¢=0lub nie istnieje kiedy X 1 =A 1 (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej). Ale to oznacza lub nie istnieje w punkcie P 0 - punkcie ekstremalnym. Podobnie możemy rozważać pochodne cząstkowe w odniesieniu do innych zmiennych. CTD.

Punkty w dziedzinie funkcji, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, nazywa się punkt krytyczny tę funkcję.

Jak wynika z Twierdzenia 9.1, ekstremów FNP należy szukać wśród punktów krytycznych funkcji. Ale jeśli chodzi o funkcję jednej zmiennej, nie każdy punkt krytyczny jest punktem ekstremalnym.

Twierdzenie 9.2 (warunek wystarczający na ekstremum FNP)

Niech P 0 będzie punktem krytycznym funkcji I= F(P) i jest różniczką drugiego rzędu tej funkcji. Następnie

i jeśli D 2 ty(P 0) > 0 w , wówczas P 0 jest punktem minimum Funkcje I= F(P);

b) jeśli D 2 ty(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksymalny Funkcje I= F(P);

c) jeśli D 2 ty(P 0) nie jest określone znakiem, to P 0 nie jest punktem ekstremalnym;

Rozważymy to twierdzenie bez dowodu.

Należy zauważyć, że twierdzenie nie uwzględnia przypadku, gdy D 2 ty(P 0) = 0 lub nie istnieje. Oznacza to, że kwestia obecności ekstremum w punkcie P 0 w takich warunkach pozostaje otwarta - potrzebujemy dodatkowe badania na przykład badanie przyrostu funkcji w tym punkcie.

W bardziej szczegółowych kursach matematyki udowodniono to, w szczególności dla funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych, których różniczka drugiego rzędu jest sumą postaci

badanie obecności ekstremum w punkcie krytycznym P 0 można uprościć.

Oznaczmy , , . Stwórzmy wyznacznik

.

Okazało się:

D 2 z> 0 w punkcie P 0, tj. P 0 – punkt minimalny, jeśli A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jeśli D(P 0)< 0, то D 2 z w pobliżu punktu P 0 zmienia znak i w punkcie P 0 nie ma ekstremum;

jeżeli D(Р 0) = 0, to wymagane są dodatkowe badania funkcji w pobliżu punktu krytycznego Р 0.

Zatem dla funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych mamy następujący algorytm (nazwijmy go „algorytmem D”) znajdowania ekstremum:

1) Znajdź dziedzinę definicji D( F) Funkcje.

2) Znajdź punkty krytyczne, tj. punkty z D( F), dla których i są równe zeru lub nie istnieją.

3) W każdym punkcie krytycznym sprawdzić P 0 wystarczające warunki ekstremum. Aby to zrobić, znajdź , gdzie , , i oblicz D(P 0) i A(P 0). Następnie:

jeśli D(P 0) >0, to w punkcie P 0 istnieje ekstremum, oraz jeżeli A(P 0) > 0 – to jest to minimum i jeżeli A(P 0)< 0 – максимум;

jeśli D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Jeśli D(P 0) = 0, potrzebne są dodatkowe badania.

4) W znalezionych ekstremach oblicz wartość funkcji.

Przykład 1.

Znajdź ekstremum funkcji z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Rozwiązanie. Dziedziną definicji tej funkcji jest cała płaszczyzna współrzędnych. Znajdźmy punkty krytyczne.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Sprawdźmy, czy spełnione są warunki wystarczające dla ekstremum. Znajdziemy

6X, = -3, = 48Na I = 288xy – 9.

Wtedy D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – w punkcie Р 1 jest ekstremum, a ponieważ A(P 1) = 3 > 0, wówczas to ekstremum jest minimum. Więc min z=z(P1) = .

Przykład 2.

Znajdź ekstremum funkcji .

Rozwiązanie: D( F) =R 2 . Punkt krytyczny: ; nie istnieje kiedy Na= 0, co oznacza, że ​​P 0 (0,0) jest punktem krytycznym tej funkcji.

2, = 0, = , = , ale D(P 0) nie jest zdefiniowane, zatem badanie jego znaku jest niemożliwe.

Z tego samego powodu niemożliwe jest bezpośrednie zastosowanie Twierdzenia 9.2 – D 2 z w tym momencie nie istnieje.

Rozważmy przyrost funkcji F(X, y) w punkcie P 0 . Jeśli D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, to P 0 jest punktem minimalnym, ale jeśli D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

W naszym przypadku tak

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

w D X= 0,1 i D y= -0,008 otrzymujemy D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 i D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tj. w pobliżu punktu P 0 żaden warunek D nie jest spełniony F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) i dlatego P 0 nie jest punktem maksymalnym), ani warunkiem D F>0 (tzn. F(X, y) > F(0, 0) i wtedy P 0 nie jest punktem minimalnym). Zatem z definicji ekstremum tę funkcję nie ma skrajności.

Ekstremum warunkowe.

Rozważane ekstremum funkcji nazywa się bezwarunkowy, ponieważ na argumenty funkcji nie są nałożone żadne ograniczenia (warunki).

Definicja 9.2. Ekstremum funkcji I = F(X 1 , X 2 , ... , x rz), znalezione pod warunkiem, że jego argumenty X 1 , X 2 , ... , x rz spełniają równania j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0, gdzie P ( X 1 , X 2 , ... , x rz) О D( F), zwany ekstremum warunkowe .

Równania j k(X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0 , k = 1, 2,..., M, są nazywane równania połączeń.

Spójrzmy na funkcje z = f(X,y) dwie zmienne. Jeśli równanie połączenia jest jednością, tj. , to znalezienie ekstremum warunkowego oznacza, że ​​ekstremum szuka się nie w całej dziedzinie definicji funkcji, ale na jakiejś krzywej leżącej w D( F) (tj. poszukiwane są nie najwyższe ani najniższe punkty powierzchni z = f(X,y) oraz najwyższe lub najniższe punkty spośród punktów przecięcia tej powierzchni z walcem, rys. 5).

Ekstremum warunkowe funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych można znaleźć w następujący sposób ( metoda eliminacji). Z równania wyraź jedną ze zmiennych jako funkcję drugiej (na przykład napisz ) i podstawiając tę ​​wartość zmiennej do funkcji, zapisz ją jako funkcję jednej zmiennej (w rozpatrywanym przypadku ). Znajdź ekstremum wynikowej funkcji jednej zmiennej.

Ekstrema funkcji kilku zmiennych. Warunek konieczny ekstremum. Warunek wystarczający na ekstremum. Ekstremum warunkowe. Metoda mnożnika Lagrange'a. Znajdowanie największych i najmniejszych wartości.

Wykład 5.

Definicja 5.1. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany maksymalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) > f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) M 0.

Definicja 5.2. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany minimalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) < f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) z jakiegoś sąsiedztwa punktu M 0.

Uwaga 1. Nazywa się punkty maksymalne i minimalne punkty ekstremalne funkcje kilku zmiennych.

Uwaga 2. W podobny sposób wyznacza się ekstremum funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Twierdzenie 5.1(warunki konieczne dla ekstremum). Jeśli M 0 (x 0, y 0)– ekstremum funkcji z = fa (x, y), wówczas w tym momencie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tej funkcji są równe zeru lub nie istnieją.

Dowód.

Ustalmy wartość zmiennej Na, liczenie y = y 0. Następnie funkcja f (x, y 0) będzie funkcją jednej zmiennej X, dla którego x = x 0 jest punktem ekstremalnym. Dlatego zgodnie z twierdzeniem Fermata lub nie istnieje. To samo stwierdzenie zostało udowodnione podobnie dla .

Definicja 5.3. Punkty należące do dziedziny funkcji kilku zmiennych, w których pochodne cząstkowe funkcji są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, nazywane są punktami punkty stacjonarne tę funkcję.

Komentarz. Zatem ekstremum można osiągnąć tylko w punktach stacjonarnych, ale niekoniecznie jest ono obserwowane w każdym z nich.

Twierdzenie 5.2(warunki wystarczające na ekstremum). Wpuśćmy jakieś sąsiedztwo punktu M 0 (x 0, y 0), który jest punktem stacjonarnym funkcji z = fa (x, y), funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe do trzeciego rzędu włącznie. Oznaczmy wtedy:

1) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 maksymalnie, jeśli AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 minimum jeśli AC–B² > 0, A > 0;

3) w punkcie krytycznym nie ma ekstremum jeśli AC–B² < 0;

4) jeśli AC–B² = 0, potrzebne są dalsze badania.

Dowód.

Napiszmy wzór Taylora drugiego rzędu dla tej funkcji f(x,y), pamiętając, że w punkcie stacjonarnym pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru:

Gdzie Jeżeli kąt pomiędzy segmentem M 0 M, Gdzie M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Na) i oś O X oznacz φ, następnie Δ x =Δ ρ sałata φ, Δ y =Δρsinφ. W tym przypadku wzór Taylora będzie miał postać: . Niech Następnie możemy dzielić i mnożyć wyrażenie w nawiasach przez A. Otrzymujemy:

Rozważmy teraz cztery możliwe przypadki:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и przy wystarczająco małym Δρ. Dlatego w jakiejś okolicy M 0 fa (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), to jest M 0– maksymalny punkt.

2) Niech AC–B² > 0, A > 0. Następnie , I M 0– punkt minimalny.

3) Niech AC-B² < 0, A> 0. Rozważ przyrost argumentów wzdłuż promienia φ = 0. Następnie z (5.1) wynika, że , czyli poruszając się wzdłuż tego promienia, funkcja wzrasta. Jeżeli poruszamy się wzdłuż promienia tak, że tg φ 0 = -A/B, To dlatego podczas poruszania się wzdłuż tego promienia funkcja maleje. Więc kropka M 0 nie jest punktem ekstremalnym.

3`) Kiedy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

podobny do poprzedniego.

3``) Jeśli AC–B² < 0, A= 0, wówczas . W której . Następnie dla dostatecznie małego φ wyrażenie 2 B cosφ + C sinφ jest bliski 2 W, czyli zachowuje stały znak, ale sinφ zmienia znak w sąsiedztwie punktu M 0. Oznacza to, że przyrost funkcji zmienia znak w pobliżu punktu stacjonarnego, który zatem nie jest punktem ekstremalnym.

4) Jeśli AC–B² = 0 i , , czyli znak przyrostu jest określony przez znak 2α 0. Jednocześnie konieczne są dalsze badania, które wyjaśnią kwestię istnienia ekstremum.

Przykład. Znajdźmy ekstrema funkcji z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Aby znaleźć punkty stacjonarne, rozwiązujemy system . Zatem punkt stacjonarny to (-2, -1). W której A = 2, W = -2, Z= 4. Następnie AC–B² = 4 > 0 zatem w punkcie stacjonarnym osiągane jest ekstremum, czyli minimum (ponieważ A > 0).

Definicja 5.4. Jeśli argumenty funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) połączony dodatkowe warunki Jak M równania ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdzie funkcje φ i mają ciągłe pochodne cząstkowe, wówczas wywołuje się równania (5.2). równania połączeń.

Definicja 5.5. Ekstremum funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) gdy spełnione są warunki (5.2), nazywa się to ekstremum warunkowe.

Komentarz. Możemy zaproponować następującą interpretację geometryczną ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych: niech argumenty funkcji f(x, y) powiązane równaniem φ (x, y)= 0, definiując pewną krzywą w płaszczyźnie O xy. Rekonstrukcja prostopadłych do płaszczyzny O z każdego punktu tej krzywej xy aż do zetknięcia się z powierzchnią z = f (x, y), otrzymujemy krzywą przestrzenną leżącą na powierzchni powyżej krzywej φ (x, y)= 0. Zadanie polega na znalezieniu ekstremów otrzymanej krzywej, które oczywiście przypadek ogólny nie pokrywają się z bezwarunkowymi ekstremami funkcji f(x, y).

Wyznaczmy warunki konieczne ekstremum warunkowego dla funkcji dwóch zmiennych, wprowadzając najpierw następującą definicję:

Definicja 5.6. Funkcjonować L (x 1 , x 2 ,…, x n) = fa (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Gdzie λ ja – niektóre są stałe, tzw Funkcja Lagrange'a i liczby λi– nieokreślone mnożniki Lagrange’a.

Twierdzenie 5.3(warunki konieczne dla ekstremum warunkowego). Ekstremum warunkowe funkcji z = fa (x, y) w obecności równania sprzężenia φ ( x, y)= 0 można osiągnąć tylko w stacjonarnych punktach funkcji Lagrange'a L (x, y) = fa (x, y) + λφ (x, y).

Dowód. Równanie sprzężenia określa niejawną relację Na z X, dlatego to założymy Na istnieje funkcja z X: y = y(x). Następnie z istnieje złożona funkcja z X, a jego punkty krytyczne wyznacza warunek: . (5.4) Z równania sprzęgania wynika, że . (5.5)

Pomnóżmy równość (5.5) przez pewną liczbę λ i dodajmy do (5.4). Otrzymujemy:

, Lub .

Ostatnia równość musi być spełniona w punktach stacjonarnych, z czego wynika:

(5.6)

Otrzymuje się układ trzech równań z trzema niewiadomymi: x, y i λ, a pierwsze dwa równania są warunkami stacjonarnego punktu funkcji Lagrange'a. Wykluczając nieznaną pomocniczą λ z układu (5.6), znajdujemy współrzędne punktów, w których pierwotna funkcja może mieć ekstremum warunkowe.

Uwaga 1. Obecność ekstremum warunkowego w znalezionym punkcie można sprawdzić badając pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a drugiego rzędu analogicznie do Twierdzenia 5.2.

Uwaga 2. Punkty, w których można osiągnąć ekstremum warunkowe funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) gdy spełnione są warunki (5.2), można je zdefiniować jako rozwiązania układu (5.7)

Przykład. Znajdźmy ekstremum warunkowe funkcji z = xy jeśli się uwzględni x + y= 1. Utwórzmy funkcję Lagrange'a L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). System (5.6) wygląda następująco:

Gdzie -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. W której L(x, y) można przedstawić w postaci L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, zatem w znalezionym punkcie stacjonarnym L(x, y) ma maksimum i z = xy – maksimum warunkowe.

Niech funkcja z - /(x, y) będzie zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D i niech Mo(xo, Vo) będzie punktem wewnętrznym tej dziedziny. Definicja. Jeżeli istnieje taka liczba, że ​​dla wszystkich spełniających warunki nierówność jest prawdziwa, to punkt Mo(xo, yo) nazywany jest lokalnym maksimum funkcji /(x, y); jeśli dla wszystkich Dx, Du, spełniających warunki | wówczas punkt Mo(xo,yo) nazywany jest cienkim minimum lokalnym. Innymi słowy, punkt M0(x0, y0) jest punktem maksimum lub minimum funkcji f(x, y), jeśli istnieje 6-sąsiedztwo punktu A/o(x0, y0) takie, że w ogóle punktów M(x, y) tej w sąsiedztwie, przyrost funkcji zachowuje swój znak. Przykłady. 1. Dla punktu funkcyjnego - punkt minimalny (rys. 17). 2. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest punktem maksymalnym (rys. 18). 3. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest lokalnym maksimum. 4 Rzeczywiście istnieje otoczenie punktu 0(0, 0), np. okrąg o promieniu j (patrz rys. 19), w którym w dowolnym punkcie innym niż punkt 0(0,0) wartość funkcji /(x,y) mniejsza niż 1 = Rozważymy tylko punkty ścisłego maksimum i minimum funkcji, gdy ścisła nierówność lub ścisła nierówność jest spełniona dla wszystkich punktów M(x) y) z pewnego przebitego 6-sąsiedztwa punkt Mq. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się maksimum, a wartość funkcji w punkcie minimalnym nazywa się minimum tej funkcji. Maksymalne i minimalne punkty funkcji nazywane są ekstremami funkcji, a maksima i minima samej funkcji nazywane są jej ekstremami. Twierdzenie 11 (warunek konieczny ekstremum). Jeżeli funkcja jest ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych mają ekstremum w tym punkcie, to w tym punkcie każda pochodna cząstkowa u albo znika, albo nie istnieje. Niech w punkcie M0(x0, y®) funkcja z = f(x) y) ma ekstremum. Nadajmy zmiennej y wartość oo. Wtedy funkcja z = /(x, y) będzie funkcją jednej zmiennej x\ Ponieważ w x = xo ma ekstremum (maksimum lub minimum, rys. 20), to jej pochodną po x = „o, | (*o,l>)" Równe zero lub nie istnieje. Podobnie jesteśmy przekonani, że) albo jest równe zeru, albo nie istnieje. Punkty, w których = 0 i χ = 0 lub nie istnieją, nazywane są krytycznymi punkty funkcji z = Dx, y).Punkty, w których $£ = φ = 0, nazywane są także punktami stacjonarnymi funkcji.Twierdzenie 11 wyraża tylko warunki konieczne dla ekstremum, które nie są wystarczające.Przykład: Funkcja Rys. 18 Rys. 20 pochodne immmt, które zwracają się do zera w. Ale ta funkcja jest cienka na imvacie brzdąka. Rzeczywiście, funkcja jest równa zero w punkcie 0(0,0) i przyjmuje wartości dodatnie i ujemne w punktach M(x,y), dowolnie blisko punktu 0(0,0). Dla niego więc w punktach w punktach (0, y) dla dowolnie małego punktu 0(0,0) wskazanego typu nazywa się punktem mini-max (ryc. 21). Warunki wystarczające na ekstremum funkcji dwóch zmiennych wyraża następujące twierdzenie. Twierdzenie 12 (warunki wystarczające na ekstremum w dwóch zmiennych). Niech punkt Mo(xo»Yo) będzie punktem stacjonarnym funkcji f(x, y), a w pewnym sąsiedztwie punktu /, włączając sam punkt Mo, funkcja f(z, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie. Wtedy”. w punkcie Mo(xo, V0) funkcja /(xo, y) nie ma ekstremum, jeśli D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum funkcji f(x, y) może istnieć lub nie. W tym przypadku wymagane są dalsze badania. m Ograniczmy się do udowodnienia twierdzeń 1) i 2) twierdzenia. Napiszmy wzór Taylora drugiego rzędu dla funkcji /(i, y): gdzie. Z warunku wynika, że ​​znak przyrostu D/ wyznacza znak trójmianu po prawej stronie (1), czyli znak drugiej różniczki d2f. Oznaczmy to dla zwięzłości. Wtedy równość (l) można zapisać następująco: Niech w punkcie MQ(so, V0) mamy... Ponieważ zgodnie z warunkiem pochodne cząstkowe funkcji f(s, y) drugiego rzędu są ciągłe, to nierówność (3) będzie obowiązywać także w pewnym sąsiedztwie punktu M0(s0,yo). Jeżeli warunek jest spełniony (w punkcie А/0 i na mocy ciągłości pochodna /,z(s,y) zachowa swój znak w pewnym sąsiedztwie punktu Af0. W obszarze А Ф 0 mamy Wynika z tego, że jeśli ЛС - В2 > 0 w jakimś sąsiedztwie punktu M0(x0) y0), to znak trójmianu AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 pokrywa się ze znakiem A w tym punkcie (czyli , V0) (jak również ze znakiem C, gdyż dla AC - B2 > 0 A i C nie mogą mieć różnych znaków). Ponieważ znak sumy AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 w punkcie (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) wyznacza znak różnicy, dochodzimy do następującego wniosku: jeśli dla funkcji /(s,y) w warunek punktu stacjonarnego (s0, V0), to dla dostatecznie małego || nierówność zostanie spełniona. Zatem w punkcie (sq, V0) funkcja /(s, y) ma maksimum. Jeżeli warunek jest spełniony w punkcie stacjonarnym (s0, y0), to dla wszystkich wystarczająco małych |Dr| i |Du| nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że ​​w punkcie (so,yo) funkcja /(s,y) ma minimum. Przykłady. 1. Badanie funkcji dla ekstremum. 4 Korzystając z niezbędnych warunków dla ekstremum, szukamy punktów stacjonarnych funkcji. Aby to zrobić, znajdujemy pochodne cząstkowe u i przyrównujemy je do zera. Otrzymujemy układ równań skąd - punkt stacjonarny. Skorzystajmy teraz z Twierdzenia 12. Mamy To oznacza, że ​​w punkcie Ml istnieje ekstremum. Bo to jest minimum. Jeśli przekształcimy funkcję r w formę, łatwo to zobaczyć prawa część („) będzie minimalne, gdy będzie absolutnym minimum tej funkcji. 2. Zbadaj funkcję pod kątem ekstremum.Znajdujemy stacjonarne punkty funkcji, dla których układamy układ równań.W ten sposób punkt jest stacjonarny. Ponieważ na mocy Twierdzenia 12 w punkcie M nie ma ekstremum. * 3. Zbadaj ekstremum funkcji. Znajdź punkty stacjonarne funkcji. Z układu równań wynika, że ​​punkt jest nieruchomy. Następnie mamy, że Twierdzenie 12 nie odpowiada na pytanie o obecność lub brak ekstremum. Zróbmy to w ten sposób. Dla funkcji o wszystkich punktach różnych od punktu więc z definicji i punktu A/o(0,0) funkcja r ma minimum absolutne. Za pomocą podobnych obliczeń ustalamy, że funkcja ma maksimum w punkcie, ale nie ma w tym punkcie ekstremum. Niech funkcja n zmiennych niezależnych będzie różniczkowalna w punkcie.Punkt Mo nazywany jest punktem stacjonarnym funkcji, jeżeli Twierdzenie 13 (do warunków wystarczających dla ekstremum). Niech funkcja będzie zdefiniowana i będzie miała ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym sąsiedztwie grzywny Mt(xi..., która jest stacjonarną funkcją subtelną, jeśli postać kwadratowa (druga różniczka funkcji f w subtelnej jest dodatnia określony (ujemnie określony), punkt minimalny (odpowiednio dokładne maksimum) funkcji f jest w porządku. Jeśli postać kwadratowa (4) ma przemienny znak, to w drobnym LG0 nie ma ekstremum. postać (4) będzie dodatnia lub ujemnie określona, ​​można zastosować np. kryterium Sylwestra dla dodatniej (ujemnej) pewności formy kwadratowej 15.2 Ekstrema warunkowe Do tej pory szukaliśmy ekstremów lokalnych funkcji w całym jej obszarze definicyjnym, gdy argumenty funkcji nie są związane żadnymi dodatkowymi warunkami.Ekstrema takie nazywane są bezwarunkowymi.Często jednak pojawiają się problemy ze znalezieniem tzw.ekstremów warunkowych.Niech funkcja z = /(x, y ) być zdefiniowane w dziedzinie D. Załóżmy, że w tej dziedzinie dana jest krzywa L i ekstrema funkcji f(x> y) musimy znaleźć tylko wśród tych jej wartości, które odpowiadają punktom krzywej L. Te same ekstrema nazywane są ekstremami warunkowymi funkcji z = f(x) y) na krzywej L. Definicja Mówią, że w punkcie leżącym na krzywej L funkcja f(x, y) ma maksimum (minimum) warunkowe, jeżeli nierówność jest spełniona we wszystkich punktach M (s, y) y) krzywa L, należąca do pewnego otoczenia punktu M0(x0, V0) i różna od punktu M0 (jeżeli krzywa L jest dane równaniem, to problem polega na znalezieniu ekstremum warunkowego funkcji r - f(x,y) na krzywej! można sformułować w następujący sposób: znajdź ekstrema funkcji x = /(z, y) w obszarze D, pod warunkiem, że Zatem przy znajdywaniu ekstremów warunkowych funkcji z = y) argumenty gnu nie mogą już być traktowane jako zmienne niezależne: są ze sobą powiązane zależnością y ) = 0, którą nazywamy równaniem sprzężenia. Aby wyjaśnić różnicę między ekstremum bezwarunkowym i warunkowym, spójrzmy na przykład, w którym bezwarunkowe maksimum funkcji (ryc. 23) jest równe jeden i osiągane jest w punkcie (0,0). Odpowiada to punktowi M - wierzchołkowi pvvboloidy.Dodajmy równanie połączenia y = j. Wtedy maksimum warunkowe będzie oczywiście jej równe, osiągane w punkcie (o,|) i odpowiada wierzchołkowi Afj kuli, czyli linii przecięcia kuli z płaszczyzną y = j. W przypadku bezwarunkowego mvximum mamy zastosowanie mvximum wśród wszystkich vpplicvt powierzchni * = 1 - l;2 ~ y1; summvv warunkowy - tylko wśród punktów vllikvt pvraboloidv, odpowiadających punktowi* prostej y = j, a nie płaszczyźnie xOy. Jedna z metod znajdowania ekstremum warunkowego funkcji w obecności i połączeniu jest następująca. Niech równanie połączenia y) - O zdefiniuje y jako jedyną różniczkowalną funkcję argumentu x: Podstawiając do funkcji zamiast y funkcję, otrzymujemy funkcję jednego argumentu, w której warunek połączenia jest już uwzględniony. (Bezwarunkowe) ekstremum funkcji jest pożądanym ekstremum warunkowym. Przykład. Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem Ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych A Z równania połączenia (2") znajdujemy y = 1-x. Podstawiając tę ​​wartość y do (V) otrzymujemy funkcję jeden argument x: Zbadajmy to dla ekstremum: gdzie x = 1 jest punktem krytycznym, czyli dostarcza minimum warunkowe funkcji r (rys. 24). Wskażmy inny sposób rozwiązania problemu warunkowego ekstremum, zwane metodą mnożnika Lagrange'a. Niech będzie punkt ekstremum warunkowego funkcji w obecności połączenia. Załóżmy, że równanie związku definiuje jedną, ciągle różniczkowalną funkcję w pewnym sąsiedztwie punktu xx. Zakładając że otrzymujemy, że pochodna po x funkcji /(r, ip(x)) w punkcie xq musi być równa zeru lub, co jest temu równoważne, różniczką f(x, y) w punkcie punkt Mo" O) Z równania połączenia mamy (5) Mnożąc ostatnią równość przez jeszcze nieokreślony współczynnik numeryczny A i dodając wyraz po wyrazie z równością (4), otrzymamy (zakładamy, że). Następnie, ze względu na arbitralność dx, otrzymujemy Równości (6) i (7) wyrażające warunki konieczne dla bezwarunkowego ekstremum w punkcie funkcji, które nazywa się funkcją Lagrange'a. Zatem warunkowe ekstremum funkcji /(x, y), if, jest koniecznie punktem stacjonarnym funkcji Lagrange'a, gdzie A jest pewnym współczynnikiem liczbowym. Stąd otrzymujemy regułę znajdowania ekstremów warunkowych: aby znaleźć punkty, które mogą być punktami konwencjonalnego ekstremum funkcji w obecności połączenia, 1) tworzymy funkcję Lagrange'a, 2) przyrównując pochodne tej funkcji funkcję do zera i dodając równanie połączenia do otrzymanych równań, otrzymujemy układ trzech równań, z których znajdujemy wartości A i współrzędne x, y możliwych punktów ekstremalnych. Kwestię istnienia i natury ekstremum warunkowego rozwiązuje się na podstawie badania znaku drugiej różniczki funkcji Lagrange'a dla rozpatrywanego układu wartości x0, V0, A, otrzymanego z (8) pod warunkiem, że Jeśli , to w punkcie (x0, V0) funkcja /(x, y ) ma maksimum warunkowe; jeśli d2F > 0 - to minimum warunkowe. W szczególności, jeśli w punkcie stacjonarnym (xo, J/o) wyznacznik D dla funkcji F(x, y) jest dodatni, to w punkcie (®o, V0) występuje maksimum warunkowe funkcji f( x, y), jeśli i minimum warunkowe funkcji /(x, y), jeśli Przykład. Wróćmy jeszcze do warunków z poprzedniego przykładu: znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem, że x + y = 1. Zadanie rozwiążemy metodą mnożnika Lagrange'a. Funkcja Lagrange'a w w tym przypadku ma postać Aby znaleźć punkty stacjonarne, tworzymy układ.Z pierwszych dwóch równań układu otrzymujemy, że x = y. Następnie z trzeciego równania układu (równania połączenia) dowiadujemy się, że x - y = j są współrzędnymi możliwego punktu ekstremum. W tym przypadku (wskazuje się, że A = -1. Zatem funkcja Lagrange'a. jest warunkowym punktem minimalnym funkcji * = x2 + y2 pod warunkiem, że nie ma ekstremum bezwarunkowego dla funkcji Lagrange'a. P(x, y ) nie oznacza jeszcze braku ekstremum warunkowego dla funkcji /(x, y) w obecności połączenia Przykład: Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem y 4 Tworzymy funkcję Lagrange'a i piszemy system dla wyznaczenie A i współrzędnych możliwych punktów ekstremalnych: Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy x + y = 0 i dochodzimy do układu, z którego x = y = A = 0. Odpowiednia funkcja Lagrange'a ma zatem postać W punkcie (0,0) funkcja F(x, y; 0) nie ma ekstremum bezwarunkowego, natomiast ekstremum warunkowe funkcji r = xy. Gdy y = x, istnieje „. Rzeczywiście w tym przypadku r = x2 Stąd widać, że w punkcie (0,0) istnieje minimum warunkowe. „Metodę mnożników Lagrange’a przenosimy na przypadek funkcji o dowolnej liczbie argumentów/ Poszukajmy ekstremum funkcji w obecności równań połączenia Ułóż funkcję Lagrange'a gdzie A|, Az,..., A„, są nieokreślonymi stałymi czynnikami. Przyrównując do zera wszystkie pochodne cząstkowe funkcji F pierwszego rzędu i dodając równania połączenia (9) do otrzymanych równań, otrzymujemy układ n + m równań, z którego wyznaczamy Ab A3|..., At i współrzędne x \) x2). » xn możliwych punktów ekstremum warunkowego. Kwestię, czy punkty znalezione metodą Lagrange'a są w rzeczywistości punktami ekstremum warunkowego, często można rozwiązać w oparciu o rozważania natury fizycznej lub geometrycznej. 15.3. Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych Niech konieczne będzie znalezienie największej (najmniejszej) wartości funkcji z = /(x, y), ciągłej w jakiejś domkniętej ograniczonej dziedzinie D. Zgodnie z Twierdzeniem 3, w tej dziedzinie istnieje jest punktem (xo, V0), w którym funkcja przyjmuje największą (najmniejszą) wartość. Jeżeli punkt (xo, y0) leży wewnątrz dziedziny D, to funkcja / ma w sobie maksimum (minimum), zatem w tym przypadku interesujący nas punkt zawiera się w punktach krytycznych funkcji /(x, y). Jednakże funkcja /(x, y) może osiągnąć największą (najmniejszą) wartość na granicy obszaru. Dlatego, aby znaleźć największą (najmniejszą) wartość przyjętą przez funkcję z = /(x, y) w ograniczonym teren zamknięty 2), należy znaleźć wszystkie maksima (minimum) funkcji, które osiągane są wewnątrz tego obszaru, a także największą (najmniejszą) wartość funkcji na granicy tego obszaru. Największa (najmniejsza) ze wszystkich tych liczb będzie pożądaną największą (najmniejszą) wartością funkcji z = /(x,y) w obszarze 27. Pokażmy, jak to się robi w przypadku funkcji różniczkowalnej. Prmmr. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji obszaru 4. Znajdujemy punkty krytyczne funkcji wewnątrz obszaru D. W tym celu układamy układ równań.Stąd otrzymujemy x = y « 0, więc punkt 0 (0,0) jest punktem krytycznym funkcji x. Ponieważ Znajdźmy teraz największe i najmniejsze wartości funkcji na granicy Г obszaru D. Na części granicy mamy, że y = 0 jest punktem krytycznym, a ponieważ = wtedy w tym punkcie funkcja z = 1 + y2 ma minimum równe jeden. Na końcach odcinka Г”, w punktach (, mamy. Korzystając z rozważań o symetrii, otrzymujemy te same wyniki dla pozostałych części granicy. Ostatecznie otrzymujemy: najmniejszą wartość funkcji z = x2+y2 w obszarze „B jest równe zeru i osiągane jest w obszarach punktów wewnętrznych 0( 0, 0), oraz najwyższa wartość tej funkcji równą dwa osiąga się w czterech punktach granicy (rys. 25) Rys. 25 Ćwiczenia Znajdź dziedzinę definicji funkcji: Konstruuj linie poziomów funkcji: 9 Znajdź powierzchnie poziome funkcji trzech zmiennych niezależnych: Oblicz granice funkcji. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i ich pełne dyferencjały : Znajdź pochodne funkcji zespolonych: 3 Znajdź J. Ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych 34. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej dwóch zmiennych, znajdź i funkcje: 35. Korzystając ze wzoru na pochodną kompleksu funkcję dwóch zmiennych, znajdź |J i funkcje: Znajdź jj funkcje dane w sposób dorozumiany: 40. Znajdź współczynnik kątowy krzywej stycznej w punkcie jej przecięcia z prostą x = 3. 41. Znajdź punkty, w których styczna krzywej x jest równoległa do osi Wółu. . W poniższych zadaniach znajdź i T: Zapisz równania płaszczyzny stycznej i normalnej powierzchni: 49. Zapisz równania płaszczyzn stycznych powierzchni x2 + 2y2 + 3z2 = 21, równolegle do płaszczyzny x + 4y + 6z = 0. Znajdź pierwsze trzy lub cztery wyrazy rozwinięcia, korzystając ze wzoru Taylora : 50. y w pobliżu punktu (0, 0). Korzystając z definicji ekstremum funkcji, sprawdź następujące funkcje pod kątem ekstremum:). Stosując warunki wystarczające dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych, zbadaj ekstremum funkcji: 84. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji z = x2 - y2 w zamkniętym okręgu 85. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji * = x2y(4-x-y) w trójkącie ograniczonym liniami prostymi x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Określ wymiary prostokątnego otwartego basenu o najmniejszej powierzchni, pod warunkiem, że jego objętość jest równa V. 87. Znajdź wymiary prostokątnego równoległościanu, który ma maksymalną objętość przy całkowitej powierzchni 5. Odpowiedzi 1. i | Kwadrat utworzony z odcinków x łącznie z bokami. 3. Rodzina pierścieni koncentrycznych 2= 0,1,2,... .4. Cała płaszczyzna z wyjątkiem punktów na prostych. Część płaszczyzny znajdująca się nad parabolą y = -x?. 8. Punkty okręgu x. Cała płaszczyzna z wyjątkiem prostych x Wyrażenie rodnikowe jest nieujemne w dwóch przypadkach j * ^ lub j x ^ ^, co odpowiada odpowiednio nieskończonemu szeregowi nierówności.Domeną definicji są zacienione kwadraty (ryc. 26); l, co jest równoważne nieskończonemu szeregowi. Funkcja jest definiowana w punktach. a) Proste równoległe do linii prostej x b) Koncentryczne okręgi ze środkiem w początku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Samoloty xc. 13.Prime - hiperboloidy jednownękowe obracające się wokół osi Oz; gdy i są hiperboloidami dwuarkuszowymi obracającymi się wokół osi Oz, obie rodziny powierzchni oddzielone są stożkiem; Nie ma limitu, b) 0. 18. Ustalmy y = kxt, a następnie z lim z = -2, więc dana funkcja w punkcie (0,0) nie ma granicy. 19. a) Punkt (0,0); b) punkt (0,0). 20. a) Linia przerwania - okrąg x2 + y2 = 1; b) linia załamania jest linią prostą y = x. 21. a) Linie przerwania - osie współrzędnych Ox i Oy; b) 0 (zestaw pusty). 22. Wszystkie punkty (m, n), gdzie i n są liczbami całkowitymi