Ekstrema funkcji kilku zmiennych. Warunek konieczny ekstremum. Warunek wystarczający na ekstremum. Ekstremum warunkowe. Metoda mnożnika Lagrange'a. Znajdowanie największych i najmniejszych wartości.

Wykład 5.

Definicja 5.1. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany maksymalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) > f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) M 0.

Definicja 5.2. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany minimalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) < f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) z jakiegoś sąsiedztwa punktu M 0.

Uwaga 1. Nazywa się punkty maksymalne i minimalne punkty ekstremalne funkcje kilku zmiennych.

Uwaga 2. W podobny sposób wyznacza się ekstremum funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Twierdzenie 5.1 (niezbędne warunki ekstremum). Jeśli M 0 (x 0, y 0)– ekstremum funkcji z = fa (x, y), wówczas w tym momencie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tej funkcji są równe zeru lub nie istnieją.

Dowód.

Ustalmy wartość zmiennej Na, liczenie y = y 0. Następnie funkcja f (x, y 0) będzie funkcją jednej zmiennej X, dla którego x = x 0 jest punktem ekstremalnym. Dlatego zgodnie z twierdzeniem Fermata lub nie istnieje. To samo stwierdzenie zostało udowodnione podobnie dla .

Definicja 5.3. Punkty należące do dziedziny funkcji kilku zmiennych, w których pochodne cząstkowe funkcji są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, nazywane są punktami punkty stacjonarne tę funkcję.

Komentarz. Zatem ekstremum można osiągnąć tylko w punktach stacjonarnych, ale niekoniecznie jest ono obserwowane w każdym z nich.

Twierdzenie 5.2 (wystarczające warunki ekstremum). Wpuśćmy jakieś sąsiedztwo punktu M 0 (x 0, y 0), który jest punktem stacjonarnym funkcji z = fa (x, y), funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe do trzeciego rzędu włącznie. Oznaczmy wtedy:

1) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 maksymalnie, jeśli AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 minimum jeśli AC–B² > 0, A > 0;

3) w punkcie krytycznym nie ma ekstremum jeśli AC–B² < 0;

4) jeśli AC–B² = 0, potrzebne są dalsze badania.

Dowód.

Napiszmy wzór Taylora drugiego rzędu dla tej funkcji f(x,y), pamiętając, że w punkcie stacjonarnym pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru:

Gdzie Jeżeli kąt pomiędzy segmentem M 0 M, Gdzie M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Na) i oś O X oznacz φ, następnie Δ x =Δ ρ sałata φ, Δ y =Δρsinφ. W tym przypadku wzór Taylora będzie miał postać: . Niech Następnie możemy dzielić i mnożyć wyrażenie w nawiasach przez A. Otrzymujemy:

Rozważmy teraz cztery możliwe przypadki:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и przy wystarczająco małym Δρ. Dlatego w jakiejś okolicy M 0 fa (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), to jest M 0– maksymalny punkt.

2) Niech AC–B² > 0, A > 0. Następnie , I M 0– punkt minimalny.

3) Niech AC-B² < 0, A> 0. Rozważ przyrost argumentów wzdłuż promienia φ = 0. Następnie z (5.1) wynika, że , czyli poruszając się wzdłuż tego promienia, funkcja wzrasta. Jeżeli poruszamy się wzdłuż promienia tak, że tg φ 0 = -A/B, To dlatego podczas poruszania się wzdłuż tego promienia funkcja maleje. Więc kropka M 0 nie jest punktem ekstremalnym.

3`) Kiedy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

podobny do poprzedniego.

3``) Jeśli AC–B² < 0, A= 0, wówczas . W której . Następnie dla dostatecznie małego φ wyrażenie 2 B cosφ + C sinφ jest bliski 2 W, czyli zachowuje stały znak, ale sinφ zmienia znak w sąsiedztwie punktu M 0. Oznacza to, że przyrost funkcji zmienia znak w pobliżu punktu stacjonarnego, który zatem nie jest punktem ekstremalnym.

4) Jeśli AC–B² = 0 i , , czyli znak przyrostu jest określony przez znak 2α 0. Jednocześnie konieczne są dalsze badania, które wyjaśnią kwestię istnienia ekstremum.

Przykład. Znajdźmy ekstrema funkcji z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Aby znaleźć punkty stacjonarne, rozwiązujemy system . Zatem punkt stacjonarny to (-2, -1). W której A = 2, W = -2, Z= 4. Następnie AC–B² = 4 > 0 zatem w punkcie stacjonarnym osiągane jest ekstremum, czyli minimum (ponieważ A > 0).

Definicja 5.4. Jeśli argumenty funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) połączony dodatkowe warunki Jak M równania ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdzie funkcje φ i mają ciągłe pochodne cząstkowe, wówczas wywołuje się równania (5.2). równania połączeń.

Definicja 5.5. Ekstremum funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) gdy spełnione są warunki (5.2), nazywa się to ekstremum warunkowe.

Komentarz. Możemy zaproponować następującą interpretację geometryczną ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych: niech argumenty funkcji f(x, y) powiązane równaniem φ (x, y)= 0, definiując pewną krzywą w płaszczyźnie O xy. Rekonstrukcja prostopadłych do płaszczyzny O z każdego punktu tej krzywej xy aż do zetknięcia się z powierzchnią z = f (x, y), otrzymujemy krzywą przestrzenną leżącą na powierzchni powyżej krzywej φ (x, y)= 0. Zadanie polega na znalezieniu ekstremów otrzymanej krzywej, które oczywiście przypadek ogólny nie pokrywają się z bezwarunkowymi ekstremami funkcji f(x, y).

Wyznaczmy warunki konieczne ekstremum warunkowego dla funkcji dwóch zmiennych, wprowadzając najpierw następującą definicję:

Definicja 5.6. Funkcjonować L (x 1 , x 2 ,…, x n) = fa (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Gdzie λi – niektóre są stałe, tzw Funkcja Lagrange'a i liczby λi– nieokreślone mnożniki Lagrange'a.

Twierdzenie 5.3(warunki konieczne dla ekstremum warunkowego). Ekstremum warunkowe funkcji z = fa (x, y) w obecności równania sprzężenia φ ( x, y)= 0 można osiągnąć tylko w stacjonarnych punktach funkcji Lagrange'a L (x, y) = fa (x, y) + λφ (x, y).

Dowód. Równanie sprzężenia określa niejawną relację Na z X, dlatego to założymy Na istnieje funkcja z X: y = y(x). Następnie z istnieje złożona funkcja z X, a jego punkty krytyczne wyznacza warunek: . (5.4) Z równania sprzęgania wynika, że . (5.5)

Pomnóżmy równość (5.5) przez pewną liczbę λ i dodajmy do (5.4). Otrzymujemy:

, Lub .

Ostatnia równość musi być spełniona w punktach stacjonarnych, z czego wynika:

(5.6)

Otrzymuje się układ trzech równań z trzema niewiadomymi: x, y i λ, a pierwsze dwa równania są warunkami stacjonarnego punktu funkcji Lagrange'a. Wykluczając nieznaną pomocniczą λ z układu (5.6), znajdujemy współrzędne punktów, w których pierwotna funkcja może mieć ekstremum warunkowe.

Uwaga 1. Obecność ekstremum warunkowego w znalezionym punkcie można sprawdzić badając pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a drugiego rzędu analogicznie do Twierdzenia 5.2.

Uwaga 2. Punkty, w których można osiągnąć ekstremum warunkowe funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) gdy spełnione są warunki (5.2), można je zdefiniować jako rozwiązania układu (5.7)

Przykład. Znajdźmy ekstremum warunkowe funkcji z = xy jeśli się uwzględni x + y= 1. Utwórzmy funkcję Lagrange'a L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). System (5.6) wygląda następująco:

Gdzie -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. W której L(x, y) można przedstawić w postaci L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, zatem w znalezionym punkcie stacjonarnym L(x, y) ma maksimum i z = xy – maksimum warunkowe.

Ekstremum warunkowe.

Ekstrema funkcji kilku zmiennych

Metoda najmniejszych kwadratów.

Ekstremum lokalne FNP

Niech będzie podana funkcja I= F(P), РÎDÌR N i niech punkt P 0 ( A 1 , A 2 , ..., str) –wewnętrzny punkt zbioru D.

Definicja 9.4.

1) Nazywa się punkt P 0 maksymalny punkt Funkcje I= F(P), jeśli istnieje takie sąsiedztwo tego punktu U(P 0) М D takie, że dla dowolnego punktu P( X 1 , X 2 , ..., x rz)О U(P 0) , Р¹Р 0 , warunek jest spełniony F(P)£ F(P0) . Oznaczający F Wywoływana jest funkcja (P 0) w punkcie maksymalnym maksimum funkcji i jest wyznaczony F(P0) = maks F(P) .

2) Nazywa się punkt P 0 minimalny punkt Funkcje I= F(P), jeżeli istnieje otoczenie tego punktu U(P 0)Ì D takie, że dla dowolnego punktu P( X 1 , X 2 , ..., x rz)ОU(P 0), Р¹Р 0 , warunek jest spełniony F(P)³ F(P0) . Oznaczający F Wywoływana jest funkcja (P 0) w punkcie minimalnym funkcja minimalna i jest wyznaczony F(P 0) = min F(P).

Wywoływane są punkty minimalne i maksymalne funkcji punkty ekstremalne, wywoływane są wartości funkcji w punktach ekstremalnych ekstrema funkcji.

Jak wynika z definicji nierówności F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musi być spełniony tylko w pewnym sąsiedztwie punktu P 0, a nie w całej dziedzinie definicji funkcji, co oznacza, że ​​funkcja może mieć kilka ekstremów tego samego typu (kilka minimów, kilka maksimów) . Dlatego ekstrema zdefiniowane powyżej nazywane są lokalny(lokalne) skrajności.

Twierdzenie 9.1 (warunek konieczny ekstremum FNP)

Jeśli funkcja I= F(X 1 , X 2 , ..., x rz) ma ekstremum w punkcie P 0 , to jego pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym punkcie albo są równe zeru, albo nie istnieją.

Dowód. Niech w punkcie P 0 ( A 1 , A 2 , ..., str) funkcja I= F(P) ma ekstremum, na przykład maksimum. Ustalmy argumenty X 2 , ..., x rz, kładąc X 2 =A 2 ,..., x rz = str. Następnie I= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., str) jest funkcją jednej zmiennej X 1. Ponieważ ta funkcja ma X 1 = A Zatem 1 ekstremum (maksimum). F 1 ¢=0lub nie istnieje kiedy X 1 =A 1 (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej). Ale to oznacza lub nie istnieje w punkcie P 0 - punkcie ekstremalnym. Podobnie możemy rozważać pochodne cząstkowe w odniesieniu do innych zmiennych. CTD.

Punkty w dziedzinie funkcji, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, nazywa się punkt krytyczny tę funkcję.

Jak wynika z Twierdzenia 9.1, ekstremów FNP należy szukać wśród punktów krytycznych funkcji. Ale jeśli chodzi o funkcję jednej zmiennej, nie każdy punkt krytyczny jest punktem ekstremalnym.

Twierdzenie 9.2 (warunek wystarczający na ekstremum FNP)

Niech P 0 będzie punktem krytycznym funkcji I= F(P) i jest różniczką drugiego rzędu tej funkcji. Następnie

i jeśli D 2 ty(P 0) > 0 w , wówczas P 0 jest punktem minimum Funkcje I= F(P);

b) jeśli D 2 ty(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksymalny Funkcje I= F(P);

c) jeśli D 2 ty(P 0) nie jest określone znakiem, to P 0 nie jest punktem ekstremalnym;

Rozważymy to twierdzenie bez dowodu.

Należy zauważyć, że twierdzenie nie uwzględnia przypadku, gdy D 2 ty(P 0) = 0 lub nie istnieje. Oznacza to, że kwestia obecności ekstremum w punkcie P 0 w takich warunkach pozostaje otwarta - potrzebujemy dodatkowe badania na przykład badanie przyrostu funkcji w tym punkcie.

W bardziej szczegółowych kursach matematyki udowodniono to, w szczególności dla funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych, których różniczka drugiego rzędu jest sumą postaci

badanie obecności ekstremum w punkcie krytycznym P 0 można uprościć.

Oznaczmy , , . Stwórzmy wyznacznik

.

Okazało się:

D 2 z> 0 w punkcie P 0, tj. P 0 – punkt minimalny, jeśli A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jeśli D(P 0)< 0, то D 2 z w pobliżu punktu P 0 zmienia znak i w punkcie P 0 nie ma ekstremum;

jeżeli D(Р 0) = 0, to wymagane są dodatkowe badania funkcji w pobliżu punktu krytycznego Р 0.

Zatem dla funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych mamy następujący algorytm (nazwijmy go „algorytmem D”) znajdowania ekstremum:

1) Znajdź dziedzinę definicji D( F) Funkcje.

2) Znajdź punkty krytyczne, tj. punkty z D( F), dla których i są równe zeru lub nie istnieją.

3) W każdym punkcie krytycznym P 0 sprawdź warunki wystarczające dla ekstremum. Aby to zrobić, znajdź , gdzie , , i oblicz D(P 0) i A(P 0). Następnie:

jeśli D(P 0) >0, to w punkcie P 0 istnieje ekstremum, oraz jeżeli A(P 0) > 0 – to jest to minimum i jeżeli A(P 0)< 0 – максимум;

jeśli D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Jeśli D(P 0) = 0, potrzebne są dodatkowe badania.

4) W znalezionych ekstremach oblicz wartość funkcji.

Przykład 1.

Znajdź ekstremum funkcji z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Rozwiązanie. Dziedziną definicji tej funkcji jest cała płaszczyzna współrzędnych. Znajdźmy punkty krytyczne.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Sprawdźmy, czy spełnione są warunki wystarczające dla ekstremum. Znajdziemy

6X, = -3, = 48Na I = 288xy – 9.

Wtedy D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – w punkcie Р 1 jest ekstremum, a ponieważ A(P 1) = 3 > 0, wówczas to ekstremum jest minimum. Więc min z=z(P1) = .

Przykład 2.

Znajdź ekstremum funkcji .

Rozwiązanie: D( F) =R 2 . Punkt krytyczny: ; nie istnieje kiedy Na= 0, co oznacza, że ​​P 0 (0,0) jest punktem krytycznym tej funkcji.

2, = 0, = , = , ale D(P 0) nie jest zdefiniowane, zatem badanie jego znaku jest niemożliwe.

Z tego samego powodu niemożliwe jest bezpośrednie zastosowanie Twierdzenia 9.2 – D 2 z w tym momencie nie istnieje.

Rozważmy przyrost funkcji F(X, y) w punkcie P 0. Jeśli D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, to P 0 jest punktem minimalnym, ale jeśli D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

W naszym przypadku tak

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

w D X= 0,1 i D y= -0,008 otrzymujemy D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 i D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tj. w pobliżu punktu P 0 żaden warunek D nie jest spełniony F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) i dlatego P 0 nie jest punktem maksymalnym), ani warunkiem D F>0 (tzn. F(X, y) > F(0, 0) i wtedy P 0 nie jest punktem minimalnym). Oznacza to, że z definicji ekstremum funkcja ta nie ma ekstremów.

Ekstremum warunkowe.

Rozważane ekstremum funkcji nazywa się bezwarunkowy, ponieważ na argumenty funkcji nie są nałożone żadne ograniczenia (warunki).

Definicja 9.2. Ekstremum funkcji I = F(X 1 , X 2 , ... , x rz), znalezione pod warunkiem, że jego argumenty X 1 , X 2 , ... , x rz spełniają równania j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0, gdzie P ( X 1 , X 2 , ... , x rz) О D( F), zwany ekstremum warunkowe .

Równania j k(X 1 , X 2 , ... , x rz) = 0 , k = 1, 2,..., M, są nazywane równania połączeń.

Spójrzmy na funkcje z = f(X,y) dwie zmienne. Jeśli równanie połączenia jest jednością, tj. , to znalezienie ekstremum warunkowego oznacza, że ​​ekstremum szuka się nie w całej dziedzinie definicji funkcji, ale na jakiejś krzywej leżącej w D( F) (tj. poszukiwane są nie najwyższe ani najniższe punkty powierzchni z = f(X,y) oraz najwyższe lub najniższe punkty spośród punktów przecięcia tej powierzchni z walcem, rys. 5).

Ekstremum warunkowe funkcji z = f(X,y) dwóch zmiennych można znaleźć w następujący sposób ( metoda eliminacji). Z równania wyraź jedną ze zmiennych jako funkcję drugiej (na przykład napisz ) i podstawiając tę ​​wartość zmiennej do funkcji, zapisz ją jako funkcję jednej zmiennej (w rozpatrywanym przypadku ). Znajdź ekstremum wynikowej funkcji jednej zmiennej.

Definicja1: Mówi się, że funkcja ma w punkcie maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) nierówność zachodzi: . W tym przypadku tj. przyrost funkcji< 0.

Definicja2: Mówi się, że funkcja ma w punkcie minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) nierówność zachodzi: . W tym przypadku, czyli przyrost funkcji > 0.

Definicja 3: Nazywa się punkty lokalnego minimum i maksimum punkty ekstremalne.

Skrajności warunkowe

Przy poszukiwaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych często pojawiają się problemy związane z tzw ekstremum warunkowe. Pojęcie to można wyjaśnić na przykładzie funkcji dwóch zmiennych.

Niech będzie podana funkcja i prosta L na powierzchni 0xy. Zadanie polega na tym, aby dostać się na linię L znaleźć taki punkt P(x, y), w którym wartość funkcji jest największa lub najmniejsza w porównaniu z wartościami tej funkcji w punktach na prostej L, znajdujący się w pobliżu punktu P. Takie punkty P są nazywane warunkowe punkty ekstremalne funkcje on-line L. W przeciwieństwie do zwykłego punktu ekstremum, wartość funkcji w warunkowym punkcie ekstremum porównuje się z wartościami funkcji nie we wszystkich punktach jej sąsiedztwa, ale tylko w tych, które leżą na prostej L.

Jest całkowicie jasne, że punkt zwykłego ekstremum (mówią też bezwarunkowe ekstremum) jest także ekstremum warunkowym dla dowolnej linii przechodzącej przez ten punkt. Odwrotna sytuacja nie jest oczywiście prawdą: ekstremum warunkowe może nie być zwykłym punktem ekstremum. Wyjaśnię to, co powiedziałem, na prostym przykładzie. Wykresem funkcji jest górna półkula (załącznik 3 (ryc. 3)).

Ta funkcja ma maksimum na początku; wierzchołek mu odpowiada M półkule. Jeśli linia L istnieje prosta przechodząca przez te punkty A I W(jej równanie x+y-1=0), to geometrycznie jasne jest, że dla punktów tej prostej najwyższa wartość funkcja jest osiągnięta w punkcie leżącym pośrodku pomiędzy punktami A I W. Jest to punkt ekstremum warunkowego (maksimum) funkcji na tej prostej; odpowiada punktowi M 1 na półkuli i z rysunku widać, że nie można tu mówić o żadnym zwykłym ekstremum.

Zauważ, że w końcowej części problemu znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji w teren zamknięty musimy znaleźć ekstremalne wartości funkcji na granicy tego obszaru, tj. na jakiejś linii i w ten sposób rozwiązać problem ekstremum warunkowego.

Przejdźmy teraz do praktycznego poszukiwania ekstremów warunkowych funkcji Z= f(x, y) pod warunkiem, że zmienne x i y są powiązane równaniem (x, y) = 0. Relację tę nazwiemy równanie połączenia. Jeżeli z równania sprzężenia y można wyrazić wprost w postaci x: y=(x), to otrzymujemy funkcję jednej zmiennej Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Po znalezieniu wartości x, przy której funkcja ta osiąga ekstremum, a następnie wyznaczeniu z równania połączenia odpowiednich wartości y, otrzymujemy pożądane punkty ekstremum warunkowego.

Zatem w powyższym przykładzie z równania relacji x+y-1=0 mamy y=1-x. Stąd

Łatwo sprawdzić, że z osiąga maksimum przy x = 0,5; ale wtedy z równania połączenia y = 0,5 i otrzymujemy dokładnie punkt P, znaleziony na podstawie rozważań geometrycznych.

Problem ekstremum warunkowego można bardzo łatwo rozwiązać, nawet jeśli można przedstawić równanie połączenia równania parametryczne x=x(t), y=y(t). Podstawianie wyrażeń x i y do tę funkcję, ponownie dochodzimy do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.

Jeśli równanie sprzężenia ma więcej niż złożony wygląd i nie jesteśmy w stanie ani wyraźnie wyrazić jednej zmiennej za pomocą drugiej, ani zastąpić jej równaniami parametrycznymi, wówczas zadanie znalezienia ekstremum warunkowego staje się trudniejsze. Będziemy nadal zakładać, że w wyrażeniu funkcji z= f(x, y) zmienna (x, y) = 0. Całkowita pochodna funkcji z= f(x, y) jest równa:

Gdzie pochodną y` wyznacza się stosując zasadę różniczkowania funkcji ukrytej. W punktach ekstremum warunkowego znaleziona pochodna całkowita musi być równa zero; daje to jedno równanie powiązane z x i y. Ponieważ muszą one również spełniać równanie sprzęgania, otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Przekształćmy ten układ na znacznie wygodniejszy, zapisując pierwsze równanie w postaci proporcji i wprowadzając nową niewiadomą pomocniczą:

(znak minus z przodu jest dla wygody). Z tych równości łatwo przejść do następującego układu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

co wraz z równaniem połączenia (x, y) = 0 tworzy układ trzech równań z niewiadomymi x, y i.

Równania te (*) najłatwiej zapamiętać stosując następującą regułę: w celu znalezienia punktów, które mogą być punktami ekstremum warunkowego funkcji

Z= f(x, y) przy równaniu połączenia (x, y) = 0 należy utworzyć funkcję pomocniczą

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdzie jest pewna stała i utwórz równania, aby znaleźć ekstrema tej funkcji.

Wskazany układ równań zapewnia z reguły tylko warunki niezbędne, tj. nie każda para wartości x i y spełniająca ten układ jest koniecznie ekstremum warunkowym. Nie podam warunków wystarczających dla punktów ekstremum warunkowego; bardzo często już sama treść problemu sugeruje, jaki jest znaleziony punkt. Opisana technika rozwiązywania problemów z ekstremum warunkowym nazywana jest metodą mnożnika Lagrange'a.

Niech funkcja z - /(x, y) będzie zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D i niech Mo(xo, Vo) będzie punktem wewnętrznym tej dziedziny. Definicja. Jeżeli istnieje taka liczba, że ​​dla wszystkich spełniających warunki nierówność jest prawdziwa, to punkt Mo(xo, y) nazywany jest lokalnym maksimum funkcji /(x, y); jeśli dla wszystkich Dx, Du, spełniających warunki | wówczas punkt Mo(xo,yo) nazywany jest cienkim minimum lokalnym. Innymi słowy, punkt M0(x0, y0) jest punktem maksimum lub minimum funkcji f(x, y), jeśli istnieje 6-sąsiedztwo punktu A/o(x0, y0) takie, że w ogóle punktów M(x, y) tej w sąsiedztwie, przyrost funkcji zachowuje swój znak. Przykłady. 1. Dla punktu funkcyjnego - punkt minimalny (rys. 17). 2. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest punktem maksymalnym (rys. 18). 3. Dla funkcji punkt 0(0,0) jest lokalnym maksimum. 4 Faktycznie istnieje otoczenie punktu 0(0, 0), np. okrąg o promieniu j (patrz rys. 19), w którym w dowolnym punkcie, różnym od punktu 0(0,0), wartość funkcji /(x,y) mniejsza niż 1 = Rozważymy tylko punkty ścisłego maksimum i minimum funkcji, gdy ścisła nierówność lub ścisła nierówność jest spełniona dla wszystkich punktów M(x) y) z jakiegoś przebitego 6-sąsiedztwa punktu Mq. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się maksimum, a wartość funkcji w punkcie minimalnym nazywa się minimum tej funkcji. Maksymalne i minimalne punkty funkcji nazywane są ekstremami funkcji, a maksima i minima samej funkcji nazywane są jej ekstremami. Twierdzenie 11 (warunek konieczny ekstremum). Jeżeli funkcja jest ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych mają ekstremum w tym punkcie, to w tym punkcie każda pochodna cząstkowa u albo znika, albo nie istnieje. Niech w punkcie M0(x0, y®) funkcja z = f(x) y) ma ekstremum. Nadajmy zmiennej y wartość yo. Wtedy funkcja z = /(x, y) będzie funkcją jednej zmiennej x\ Ponieważ w x = xo ma ekstremum (maksimum lub minimum, rys. 20), to jej pochodną po x = „o, | (*o,l>)" Równe zero lub nie istnieje. Podobnie jesteśmy przekonani, że) albo jest równe zeru, albo nie istnieje. Punkty, w których = 0 i χ = 0 lub nie istnieją, nazywane są krytycznymi punkty funkcji z = Dx, y).Punkty, w których $£ = φ = 0, nazywane są także punktami stacjonarnymi funkcji.Twierdzenie 11 wyraża tylko warunki konieczne dla ekstremum, które nie są wystarczające.Przykład: Funkcja Rys. 18 Rys. 20 pochodne immmt, które zwracają się do zera w. Ale ta funkcja jest cienka na imvacie brzdąka. Rzeczywiście, funkcja jest równa zero w punkcie 0(0,0) i przyjmuje wartości dodatnie i ujemne w punktach M(x,y), dowolnie blisko punktu 0(0,0). Dla niego więc w punktach w punktach (0, y) dla dowolnie małego punktu 0(0,0) wskazanego typu nazywa się punktem mini-max (ryc. 21). Warunki wystarczające na ekstremum funkcji dwóch zmiennych wyraża następujące twierdzenie. Twierdzenie 12 (warunki wystarczające na ekstremum w dwóch zmiennych). Niech punkt Mo(xo»Yo) będzie punktem stacjonarnym funkcji f(x, y), a w pewnym sąsiedztwie punktu /, włączając sam punkt Mo, funkcja f(z, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie. Wtedy”. w punkcie Mo(xo, V0) funkcja /(xo, y) nie ma ekstremum, jeśli D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum funkcji f(x, y) może istnieć lub nie. W tym przypadku wymagane są dalsze badania. m Ograniczmy się do udowodnienia twierdzeń 1) i 2) twierdzenia. Napiszmy wzór Taylora drugiego rzędu dla funkcji /(i, y): gdzie. Z warunku wynika, że ​​znak przyrostu D/ wyznacza znak trójmianu po prawej stronie (1), czyli znak drugiej różniczki d2f. Oznaczmy to dla zwięzłości. Wtedy równość (l) można zapisać następująco: Niech w punkcie MQ(so, V0) mamy... Ponieważ zgodnie z warunkiem pochodne cząstkowe funkcji f(s, y) drugiego rzędu są ciągłe, to nierówność (3) będzie obowiązywać także w pewnym sąsiedztwie punktu M0(s0,yo). Jeżeli warunek jest spełniony (w punkcie А/0 i na mocy ciągłości pochodna /,z(s,y) zachowa swój znak w pewnym sąsiedztwie punktu Af0. W obszarze А Ф 0 mamy Wynika z tego, że jeśli ЛС - В2 > 0 w jakimś sąsiedztwie punktu M0(x0) y0), to znak trójmianu AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 pokrywa się ze znakiem A w tym punkcie (czyli , V0) (jak również ze znakiem C, gdyż dla AC - B2 > 0 A i C nie mogą mieć różnych znaków). Ponieważ znak sumy AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 w punkcie (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) wyznacza znak różnicy, dochodzimy do następującego wniosku: jeśli dla funkcji /(s,y) w warunek punktu stacjonarnego (s0, V0), to dla dostatecznie małego || nierówność zostanie spełniona. Zatem w punkcie (sq, V0) funkcja /(s, y) ma maksimum. Jeżeli warunek jest spełniony w punkcie stacjonarnym (s0, y0), to dla wszystkich wystarczająco małych |Dr| i |Du| nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że ​​w punkcie (so,yo) funkcja /(s,y) ma minimum. Przykłady. 1. Badanie funkcji dla ekstremum. 4 Korzystając z niezbędnych warunków dla ekstremum, szukamy punktów stacjonarnych funkcji. Aby to zrobić, znajdujemy pochodne cząstkowe u i przyrównujemy je do zera. Otrzymujemy układ równań skąd - punkt stacjonarny. Skorzystajmy teraz z Twierdzenia 12. Mamy To oznacza, że ​​w punkcie Ml istnieje ekstremum. Bo to jest minimum. Jeśli przekształcimy funkcję r w formę, łatwo to zobaczyć prawa część(„) będzie minimalne, gdy będzie absolutnym minimum tej funkcji. 2. Zbadaj funkcję pod kątem ekstremum.Znajdujemy stacjonarne punkty funkcji, dla których układamy układ równań.W ten sposób punkt jest stacjonarny. Ponieważ na mocy Twierdzenia 12 w punkcie M nie ma ekstremum. * 3. Zbadaj ekstremum funkcji. Znajdź punkty stacjonarne funkcji. Z układu równań wynika, że ​​punkt jest nieruchomy. Następnie mamy, że Twierdzenie 12 nie odpowiada na pytanie o obecność lub brak ekstremum. Zróbmy to w ten sposób. Dla funkcji o wszystkich punktach różnych od punktu więc z definicji i punktu A/o(0,0) funkcja r ma minimum absolutne. Za pomocą podobnych obliczeń ustalamy, że funkcja ma maksimum w punkcie, ale nie ma w tym punkcie ekstremum. Niech funkcja n zmiennych niezależnych będzie różniczkowalna w punkcie.Punkt Mo nazywany jest punktem stacjonarnym funkcji, jeżeli Twierdzenie 13 (do warunków wystarczających dla ekstremum). Niech funkcja będzie zdefiniowana i będzie miała ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym sąsiedztwie grzywny Mt(xi..., która jest stacjonarną funkcją subtelną, jeśli postać kwadratowa (druga różniczka funkcji f w subtelnej jest dodatnia określony (ujemnie określony), punkt minimalny (odpowiednio dokładne maksimum) funkcji f jest w porządku. Jeśli postać kwadratowa (4) ma przemienny znak, to w drobnym LG0 nie ma ekstremum. postać (4) będzie dodatnia lub ujemnie określona, ​​można zastosować np. kryterium Sylwestra dla dodatniej (ujemnej) pewności formy kwadratowej Ekstremum warunkowe Do tej pory szukaliśmy lokalne ekstrema funkcja w całym jej obszarze definicji, gdy argumenty funkcji nie są związane żadnymi dodatkowymi warunkami. Takie ekstrema nazywane są bezwarunkowymi. Często jednak pojawiają się problemy ze znalezieniem tzw. ekstremów warunkowych. Niech funkcja z = /(x, y) będzie zdefiniowana w dziedzinie D. Załóżmy, że w tej dziedzinie dana jest krzywa L i ekstrema funkcji f(x> y) musimy znaleźć tylko wśród tych jej wartości odpowiadających punktom krzywej L. Te same ekstrema nazywane są ekstremami warunkowymi funkcji z = f(x) y) na krzywej L. Definicja Mówią, że w punkcie leżącym na krzywej L , funkcja f(x, y) ma warunkowe maksimum (minimum), jeśli nierówność jest spełniona we wszystkich punktach M (s, y) y) krzywa L, należąca do pewnego sąsiedztwa punktu M0(x0, V0) i różne z punktu M0 (Jeżeli krzywa L jest dana równaniem, to problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji r - f(x,y) na krzywej! można sformułować następująco: znajdź ekstrema funkcji x = /(z, y) w obszarze D, pod warunkiem, że Zatem przy znajdowaniu ekstremów warunkowych funkcji z = y) argumenty gnu nie mogą być już traktowane jako zmienne niezależne: są one ze sobą powiązane przez relacja y) = 0, co nazywa się równaniem połączenia. Aby wyjaśnić różnicę między ekstremum bezwarunkowym i warunkowym, spójrzmy na przykład, w którym bezwarunkowe maksimum funkcji (ryc. 23) jest równe jeden i osiągane jest w punkcie (0,0). Odpowiada to punktowi M - wierzchołkowi pvvboloidy.Dodajmy równanie połączenia y = j. Wtedy maksimum warunkowe będzie oczywiście jej równe, osiągane w punkcie (o,|) i odpowiada wierzchołkowi Afj kuli, czyli linii przecięcia kuli z płaszczyzną y = j. W przypadku bezwarunkowego mvximum mamy zastosowanie mvximum wśród wszystkich vpplicvt powierzchni * = 1 - l;2 ~ y1; summvv warunkowy - tylko wśród punktów vllikvt pvraboloidv, odpowiadających punktowi* prostej y = j, a nie płaszczyźnie xOy. Jedna z metod znajdowania ekstremum warunkowego funkcji w obecności i połączeniu jest następująca. Niech równanie połączenia y) - O zdefiniuje y jako jedyną różniczkowalną funkcję argumentu x: Podstawiając do funkcji zamiast y funkcję, otrzymujemy funkcję jednego argumentu, w której warunek połączenia jest już uwzględniony. (Bezwarunkowe) ekstremum funkcji jest pożądanym ekstremum warunkowym. Przykład. Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem Ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych A Z równania połączenia (2") znajdujemy y = 1-x. Podstawiając tę ​​wartość y do (V), otrzymujemy funkcję jednego argumentu x: Zbadajmy to dla ekstremum: gdzie x = 1 jest punktem krytycznym; , tak że zapewnia minimum warunkowe funkcji r (ryc. 24). Wskażmy inny sposób rozwiązania problemu ekstremum warunkowego, zwany metodą mnożnika Lagrange'a. Niech istnieje warunkowe ekstremum funkcji w obecności połączenia.Załóżmy, że równanie związku definiuje jedyną, ciągle różniczkowalną funkcję w pewnym sąsiedztwie punktu xx. Biorąc pod uwagę, że otrzymujemy, że pochodna po x funkcji /(r, ip(x)) w punkcie xq musi być równa zero lub, co jest temu równoważne, różniczką f(x, y) w punkt Mo" O musi być równy zero ) Z równania połączenia mamy (5) Mnożąc ostatnią równość przez jeszcze nieokreślony współczynnik numeryczny A i dodając wyraz po wyrazie z równością (4), otrzymamy (zakładamy, że ).Następnie, ze względu na arbitralność dx, otrzymujemy Równości (6) i (7) wyrażają warunki konieczne dla ekstremum bezwarunkowego w punkcie funkcji, który nazywa się funkcją Lagrange'a. Zatem ekstremum warunkowe funkcji funkcja /(x, y), if, jest koniecznie punktem stacjonarnym funkcji Lagrange'a, gdzie A jest pewnym współczynnikiem liczbowym. Stąd otrzymujemy regułę znajdowania ekstremów warunkowych: znaleźć punkty, które mogą być punktami ekstremum ogólnego funkcji w obecności połączenia: 1) układamy funkcję Lagrange'a, 2) przyrównując pochodne i U tej funkcji do zera i dodając równanie połączenia do otrzymanych równań, otrzymujemy układ trzech równań, z którego znajdujemy wartości A i współrzędne x, y możliwych punktów ekstremalnych. Kwestię istnienia i natury ekstremum warunkowego rozwiązuje się na podstawie badania znaku drugiej różniczki funkcji Lagrange'a dla rozpatrywanego układu wartości x0, V0, A, otrzymanego z (8) pod warunkiem, że Jeśli , to w punkcie (x0, V0) funkcja /(x, y ) ma maksimum warunkowe; jeśli d2F > 0 - to minimum warunkowe. W szczególności, jeśli w punkcie stacjonarnym (xo, J/o) wyznacznik D dla funkcji F(x, y) jest dodatni, to w punkcie (®o, V0) występuje maksimum warunkowe funkcji f( x, y), jeśli i minimum warunkowe funkcji /(x, y), jeśli Przykład. Wróćmy jeszcze do warunków z poprzedniego przykładu: znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem, że x + y = 1. Zadanie rozwiążemy metodą mnożnika Lagrange'a. Funkcja Lagrange'a w w tym przypadku ma postać Aby znaleźć punkty stacjonarne, tworzymy układ.Z pierwszych dwóch równań układu otrzymujemy, że x = y. Następnie z trzeciego równania układu (równania połączenia) dowiadujemy się, że x - y = j są współrzędnymi możliwego punktu ekstremum. W tym przypadku (wskazuje się, że A = -1. Zatem funkcja Lagrange'a. jest warunkowym punktem minimalnym funkcji * = x2 + y2 pod warunkiem, że nie ma ekstremum bezwarunkowego dla funkcji Lagrange'a. P(x, y ) nie oznacza jeszcze braku ekstremum warunkowego dla funkcji /(x, y) w obecności połączenia Przykład: Znajdź ekstremum funkcji pod warunkiem y 4 Tworzymy funkcję Lagrange'a i piszemy system dla wyznaczenie A i współrzędnych możliwych punktów ekstremalnych: Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy x + y = 0 i dochodzimy do układu, z którego x = y = A = 0. Odpowiednia funkcja Lagrange'a ma zatem postać W punkcie (0,0) funkcja F(x, y; 0) nie ma ekstremum bezwarunkowego, natomiast ekstremum warunkowe funkcji r = xy. Gdy y = x, istnieje „. Rzeczywiście w tym przypadku r = x2 Stąd widać, że w punkcie (0,0) istnieje minimum warunkowe. „Metodę mnożników Lagrange’a przenosimy na przypadek funkcji o dowolnej liczbie argumentów/ Poszukajmy ekstremum funkcji w obecności równań połączenia Ułóż funkcję Lagrange'a gdzie A|, Az,..., A„, są nieokreślonymi stałymi czynnikami. Przyrównując do zera wszystkie pochodne cząstkowe funkcji F pierwszego rzędu i dodając równania połączenia (9) do otrzymanych równań, otrzymujemy układ n + m równań, z którego wyznaczamy Ab A3|..., At i współrzędne x \) x2). » xn możliwych punktów ekstremum warunkowego. Kwestię, czy punkty znalezione metodą Lagrange'a są w rzeczywistości punktami ekstremum warunkowego, często można rozwiązać w oparciu o rozważania natury fizycznej lub geometrycznej. 15.3. Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych Niech konieczne będzie znalezienie największej (najmniejszej) wartości funkcji z = /(x, y), ciągłej w jakiejś domkniętej ograniczonej dziedzinie D. Zgodnie z Twierdzeniem 3, w tej dziedzinie istnieje jest punktem (xo, V0), w którym funkcja przyjmuje największą (najmniejszą) wartość. Jeżeli punkt (xo, y0) leży wewnątrz dziedziny D, to funkcja / ma w sobie maksimum (minimum), zatem w tym przypadku interesujący nas punkt zawiera się w punktach krytycznych funkcji /(x, y). Jednakże funkcja /(x, y) może osiągnąć największą (najmniejszą) wartość na granicy obszaru. Aby więc znaleźć największą (najmniejszą) wartość, jaką przyjmuje funkcja z = /(x, y) w ograniczonym zamkniętym obszarze 2), należy znaleźć wszystkie maksima (minimum) funkcji osiągnięte wewnątrz tego obszaru, oraz największą (najmniejszą) wartość funkcji na granicy tego obszaru. Największa (najmniejsza) ze wszystkich tych liczb będzie pożądaną największą (najmniejszą) wartością funkcji z = /(x,y) w obszarze 27. Pokażmy, jak to się robi w przypadku funkcji różniczkowalnej. Prmmr. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji obszaru 4. Znajdujemy punkty krytyczne funkcji wewnątrz obszaru D. W tym celu tworzymy układ równań.Stąd otrzymujemy x = y « 0, więc punkt 0 (0,0) jest punktem krytycznym funkcji x. Ponieważ Znajdźmy teraz największe i najmniejsze wartości funkcji na granicy Г obszaru D. Na części granicy mamy, że y = 0 jest punktem krytycznym, a ponieważ = wtedy w tym punkcie funkcja z = 1 + y2 ma minimum równe jeden. Na końcach odcinka Г”, w punktach (, mamy. Korzystając z rozważań o symetrii, otrzymujemy te same wyniki dla pozostałych części granicy. Ostatecznie otrzymujemy: najmniejszą wartość funkcji z = x2+y2 w obszarze „B jest równe zeru i osiągane jest w wewnętrznym obszarze punktu 0( 0, 0), a maksymalna wartość tej funkcji, równa dwa, osiągana jest w czterech punktach granicy (rys. 25) Rys. 25 Ćwiczenia Znajdź dziedzinę definicji funkcji: Konstruuj linie poziomów funkcji: 9 Znajdź powierzchnie poziome funkcji trzech zmiennych niezależnych: Oblicz granice funkcji: Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i ich pełne dyferencjały : Znajdź pochodne funkcji zespolonych: 3 Znajdź J. Ekstremum funkcji kilku zmiennych Pojęcie ekstremum funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum Ekstremum warunkowe Największe i najmniejsze wartości funkcji ciągłych 34. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej dwóch zmiennych, znajdź i funkcje: 35. Korzystając ze wzoru na pochodną kompleksu funkcja dwóch zmiennych, znajdź |J i funkcje: Znajdź jj funkcje dane w sposób dorozumiany: 40. Znajdź współczynnik kątowy krzywej stycznej w punkcie jej przecięcia z prostą x = 3. 41. Znajdź punkty, w których styczna krzywej x jest równoległa do osi Wółu. . W poniższych zadaniach znajdź i T: Zapisz równania płaszczyzny stycznej i normalnej powierzchni: 49. Zapisz równania płaszczyzn stycznych powierzchni x2 + 2y2 + 3z2 = 21, równolegle do płaszczyzny x + 4y + 6z = 0. Znajdź pierwsze trzy lub cztery wyrazy rozwinięcia, korzystając ze wzoru Taylora : 50. y w pobliżu punktu (0, 0). Korzystając z definicji ekstremum funkcji, sprawdź następujące funkcje pod kątem ekstremum:). Stosując warunki wystarczające dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych, zbadaj ekstremum funkcji: 84. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji z = x2 - y2 w zamkniętym okręgu 85. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji * = x2y(4-x-y) w trójkącie ograniczonym liniami prostymi x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Określ wymiary prostokątnego otwartego basenu o najmniejszej powierzchni, pod warunkiem, że jego objętość jest równa V. 87. Znajdź wymiary prostokątnego równoległościanu, który ma maksymalną objętość przy całkowitej powierzchni 5. Odpowiedzi 1. i | Kwadrat utworzony z odcinków x łącznie z bokami. 3. Rodzina pierścieni koncentrycznych 2= 0,1,2,... .4. Cała płaszczyzna z wyjątkiem punktów na prostych. Część płaszczyzny znajdująca się nad parabolą y = -x?. 8. Punkty okręgu x. Cała płaszczyzna z wyjątkiem prostych x Wyrażenie rodnikowe jest nieujemne w dwóch przypadkach j * ^ lub j x ^ ^, co odpowiada odpowiednio nieskończonemu szeregowi nierówności.Domeną definicji są zacienione kwadraty (ryc. 26); l, co jest równoważne nieskończonemu szeregowi. Funkcja jest definiowana w punktach. a) Proste równoległe do linii prostej x b) Koncentryczne okręgi ze środkiem w początku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Samoloty xc. 13.Prime - hiperboloidy jednownękowe obracające się wokół osi Oz; gdy i są hiperboloidami dwuarkuszowymi obracającymi się wokół osi Oz, obie rodziny powierzchni oddzielone są stożkiem; Nie ma limitu, b) 0. 18. Ustalmy y = kxt, a następnie z lim z = -2, więc dana funkcja w punkcie (0,0) nie ma granicy. 19. a) Punkt (0,0); b) punkt (0,0). 20. a) Linia przerwania - okrąg x2 + y2 = 1; b) linia załamania jest linią prostą y = x. 21. a) Linie przerwania - osie współrzędnych Ox i Oy; b) 0 (zestaw pusty). 22. Wszystkie punkty (m, n), gdzie i n są liczbami całkowitymi

Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Punkt nazywa się punktem minimalnym (maksymalnym) funkcji, jeśli w pewnym otoczeniu tego punktu funkcja jest zdefiniowana i spełnia nierówność (odpowiednio punkty maksymalne i minimalne nazywane są punktami ekstremalnymi funkcji).

Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli w ekstremum funkcja ma pierwsze pochodne cząstkowe, to w tym punkcie one zanikają. Wynika z tego, że aby znaleźć ekstrema takiej funkcji, należy rozwiązać układ równań, a punkty, których współrzędne spełniają ten układ, nazywane są punktami krytycznymi funkcji. Wśród nich mogą znajdować się punkty maksymalne, minimalne, a także punkty niebędące punktami ekstremalnymi.

Wystarczające warunki ekstremalne służą do identyfikacji punktów ekstremalnych na podstawie zestawu punktów krytycznych i są wymienione poniżej.

Niech funkcja ma w punkcie krytycznym ciągłe drugie pochodne cząstkowe. Jeśli w tym momencie

warunek, to jest to punkt minimalny i punkt maksymalny. Jeśli w punkcie krytycznym, to nie jest to punkt ekstremalny. W tym przypadku wymagane jest bardziej subtelne badanie natury punktu krytycznego, który w tym przypadku może, ale nie musi, być punktem ekstremalnym.

Ekstrema funkcji trzech zmiennych. W przypadku funkcji trzech zmiennych definicje punktów ekstremalnych powtarzają dosłownie odpowiednie definicje funkcji dwóch zmiennych. Ograniczamy się do przedstawienia procedury badania funkcji dla ekstremum. Rozwiązując układ równań należy znaleźć punkty krytyczne funkcji, a następnie w każdym z punktów krytycznych obliczyć wartości

Jeżeli wszystkie trzy wielkości są dodatnie, wówczas rozpatrywanym punktem krytycznym jest punkt minimalny; jeśli wówczas ten punkt krytyczny jest punktem maksymalnym.

Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych. Punkt nazywa się warunkowym punktem minimalnym (maksymalnym) funkcji, jeśli istnieje otoczenie punktu, w którym funkcja jest zdefiniowana i w którym (odpowiednio) dla wszystkich punktów, których współrzędne spełniają równanie

Aby znaleźć ekstrema warunkowe, użyj funkcji Lagrange'a

gdzie liczba nazywana jest mnożnikiem Lagrange'a. Rozwiązywanie układu trzech równań

znajdź punkty krytyczne funkcji Lagrange'a (oraz wartość współczynnika pomocniczego A). W tych punktach krytycznych może wystąpić ekstremum warunkowe. Powyższy układ zapewnia jedynie warunki konieczne dla ekstremum, ale niewystarczające: mogą go spełniać współrzędne punktów niebędących punktami ekstremum warunkowego. Jednak na podstawie istoty problemu często można ustalić charakter punktu krytycznego.

Ekstremum warunkowe funkcji kilku zmiennych. Rozważmy funkcję zmiennych pod warunkiem, że są one powiązane równaniami