Random na halaga ay isang dami na, bilang resulta ng eksperimento, ay kumukuha ng dating hindi alam na halaga.

Bilang ng mga mag-aaral na dumalo sa panayam.

Ang bilang ng mga bahay na pinaandar sa kasalukuyang buwan.

Temperatura sa paligid.

Ang bigat ng isang fragment ng sumasabog na shell.

Mga random na variable nahahati sa discrete at tuluy-tuloy.

Discrete (hindi tuloy-tuloy) tinatawag na isang random na variable na kumukuha ng hiwalay na mga halaga, na nakahiwalay sa isa't isa, na may ilang mga probabilidad.

Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o mabibilang.

Tuloy-tuloy tinatawag na random variable na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.

Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan.

Sa mga ibinigay na halimbawa: 1 at 2 ay discrete random variable, 3 at 4 ay tuluy-tuloy na random variable.

Sa hinaharap, sa halip na mga salitang "random variable" ay madalas nating gamitin ang pagdadaglat c. V.

Bilang isang tuntunin, ang mga random na variable ay ilalarawan ng malalaking titik, at ang kanilang posibleng mga halaga- maliit.

Sa set-theoretic na interpretasyon ng mga pangunahing konsepto ng probability theory, ang random variable X ay isang function ng elementary event: X =φ(ω), kung saan ang ω ay isang elementary event na kabilang sa space Ω (ω  Ω). Sa kasong ito, ang set Ξ ng mga posibleng halaga ng c. V. Binubuo ang X ng lahat ng mga halaga na kinukuha ng function na φ(ω).

Batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay anumang panuntunan (talahanayan, function) na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang mga probabilidad ng lahat ng uri ng mga kaganapan na nauugnay sa isang random na variable (halimbawa, ang posibilidad na kukuha ito ng isang tiyak na halaga o mahulog sa loob ng isang tiyak na agwat).

Mga form para sa pagtukoy ng mga batas ng pamamahagi ng mga random na variable. Serye ng pamamahagi.

Ito ay isang talahanayan sa tuktok na hilera kung saan ang lahat ng posibleng mga halaga ng random na variable X ay nakalista sa pataas na pagkakasunud-sunod: x 1, x 2, ..., x n, at sa ilalim na linya - ang mga probabilidad ng mga halagang ito: p 1, p 2, ..., p n, kung saan p i = Р(Х = x i ).

Dahil ang mga kaganapan (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... ay hindi pare-pareho at bumubuo ng isang kumpletong grupo, ang kabuuan ng lahat ng mga probabilidad sa ilalim na linya ng serye ng pamamahagi ay katumbas ng isa

Ang serye ng pamamahagi ay ginagamit upang tukuyin ang batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable lamang.

Pamamahagi polygon

Ang graphical na representasyon ng isang serye ng pamamahagi ay tinatawag na distribution polygon. Ito ay itinayo tulad nito: para sa bawat posibleng halaga ng c. V. ang isang patayo sa x-axis ay naibalik, kung saan ang posibilidad ng isang ibinigay na halaga c ay naka-plot. V. Para sa kalinawan (at para lamang sa kalinawan!), Ang mga resultang punto ay konektado ng mga tuwid na segment.

Cumulative distribution function (o simpleng distribution function).

Ito ay isang function na, para sa bawat value ng argument x, ay katumbas ng numero sa probabilidad na ang random variable  ay mas mababa sa value ng argument x.

Ang function ng pamamahagi ay tinutukoy ng F(x): F(x) = P (X  x).

Ngayon ay maaari kang magbigay ng higit pa tumpak na kahulugan tuluy-tuloy na random na variable: ang isang random na variable ay tinatawag na tuloy-tuloy kung ang distribution function nito ay isang tuluy-tuloy, piecewise differentiable function na may tuluy-tuloy na derivative.

Ang distribution function ay ang pinaka-unibersal na anyo ng pagtukoy c. v., na maaaring gamitin upang tukuyin ang mga batas sa pamamahagi para sa parehong discrete at tuloy-tuloy na mga s. V.

Suliranin 14. Sa cash lottery, 1 panalo ng 1,000,000 rubles, 10 panalo ng 100,000 rubles ang nilalaro. at 100 panalo ng 1000 rubles bawat isa. na may kabuuang bilang ng mga tiket na 10,000. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng mga random na panalo X para sa may-ari ng isang tiket sa lottery.

Solusyon. Mga posibleng halaga para sa X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Ang kanilang mga probabilidad ay magkapareho: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Samakatuwid, ang batas ng pamamahagi ng mga panalo X maaaring ibigay ng sumusunod na talahanayan:

Bumuo ng distribution polygon.

Solusyon. Bumuo tayo ng isang rectangular coordinate system, at mag-plot tayo ng mga posibleng value sa kahabaan ng abscissa axis x i, at kasama ang ordinate axis - ang kaukulang probabilities p i. I-plot natin ang mga puntos M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0.4) at M 4 (8;0.3). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa mga segment ng tuwid na linya, nakukuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.

§2. Mga de-numerong katangian ng mga random na variable

Ang isang random na variable ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng batas ng pamamahagi nito. Ang isang average na paglalarawan ng isang random na variable ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng mga numerical na katangian nito

2.1. Inaasahang halaga. Pagpapakalat.

Hayaan ang isang random na variable na kumuha ng mga halaga na may mga probabilidad nang naaayon.

Kahulugan. Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kaukulang mga probabilidad:

.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika.

Ang dispersion ng isang random na variable sa paligid ng mean value ay nailalarawan sa pamamagitan ng dispersion at standard deviation.

Ang pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay ang mathematical na inaasahan ng squared deviation ng isang random na variable mula sa mathematical na inaasahan nito:

Ang sumusunod na formula ay ginagamit para sa mga kalkulasyon

Mga katangian ng pagpapakalat.

2. , kung saan ang magkaparehong independiyenteng mga random na variable.

3. Pamantayang paglihis .

Suliranin 16. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable Z = X+ 2Y, kung ang mga inaasahan sa matematika ng mga random na variable ay kilala X At Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Solusyon. Ginagamit namin ang mga katangian ng pag-asa sa matematika. Pagkatapos makuha namin:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Suliranin 17. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable X ay katumbas ng 3. Hanapin ang pagkakaiba ng mga random na variable: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Solusyon. Ilapat natin ang mga katangian 3, 4 at 2 ng dispersion. Meron kami:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Suliranin 18. Nabigyan ng independent random variable Y– ang bilang ng mga puntos na bumaba kapag naghahagis dais. Hanapin ang batas sa pamamahagi, inaasahan sa matematika, dispersion at mean karaniwang lihis random variable Y.

Solusyon. Random na variable na talahanayan ng pamamahagi Y ay may anyo:

Y
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Pagkatapos M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 – 3.5) 2. 1/6 = 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Sagot: Isaalang-alang ang isang discontinuous random variable X na may mga posibleng halaga. Ang bawat isa sa mga halagang ito ay posible, ngunit hindi tiyak, at ang halaga X maaaring tanggapin ang bawat isa sa kanila nang may ilang posibilidad. Bilang resulta ng eksperimento, ang halaga X kukuha ng isa sa mga halagang ito, ibig sabihin, magaganap ang isa sa kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan:

Tukuyin natin ang mga posibilidad ng mga pangyayaring ito sa pamamagitan ng mga titik R na may kaukulang mga indeks:

Iyon ay, ang pamamahagi ng posibilidad ng iba't ibang mga halaga ay maaaring tukuyin ng isang talahanayan ng pamamahagi, kung saan ang lahat ng mga halaga na kinuha ng isang naibigay na discrete random variable ay ipinahiwatig sa tuktok na linya, at ang mga probabilidad ng mga kaukulang halaga ay ay ipinahiwatig sa ilalim na linya. Dahil ang mga hindi tugmang kaganapan (3.1) ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, kung gayon, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng mga halaga ng random variable ay katumbas ng isa. Ang pamamahagi ng posibilidad ng tuluy-tuloy na mga random na variable ay hindi maaaring ipakita sa anyo ng isang talahanayan, dahil ang bilang ng mga halaga ng naturang mga random na variable ay walang katapusan kahit na sa isang limitadong pagitan. Bukod dito, ang posibilidad na makakuha ng anumang partikular na halaga ay zero. Ang isang random na variable ay ganap na ilalarawan mula sa isang probabilistikong punto ng view kung tutukuyin namin ang distribusyon na ito, iyon ay, eksaktong ipinapahiwatig namin kung ano ang posibilidad na mayroon ang bawat isa sa mga kaganapan. Sa pamamagitan nito ay itatatag natin ang tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang random variable. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay anumang relasyon na nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kaukulang probabilities. Sasabihin natin ang tungkol sa isang random na variable na ito ay napapailalim sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi. Itatag natin ang anyo kung saan maaaring tukuyin ang batas ng pamamahagi ng isang discontinuous random variable X. Ang pinakasimpleng anyo Ang kahulugan ng batas na ito ay isang talahanayan na naglilista ng mga posibleng halaga ng random variable at ang kaukulang mga probabilidad:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	p 1	p 2	× × ×	p n

Tatawagin namin ang naturang talahanayan na isang serye ng mga distribusyon ng isang random na variable X.

kanin. 3.1

Upang bigyan ang serye ng pamamahagi ng isang mas visual na hitsura, madalas nilang ginagamit ang graphical na representasyon nito: ang mga posibleng halaga ng random variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot kasama ang ordinate axis. Para sa kalinawan, ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na segment. Ang nasabing figure ay tinatawag na distribution polygon (Fig. 3.1). Ang polygon ng pamamahagi, pati na rin ang serye ng pamamahagi, ay ganap na nagpapakilala sa random variable. ito ay isa sa mga anyo ng batas ng pamamahagi. Minsan ang tinatawag na "mekanikal" na interpretasyon ng serye ng pamamahagi ay maginhawa. Isipin natin na ang isang tiyak na masa na katumbas ng pagkakaisa ay ibinahagi sa kahabaan ng abscissa axis upang sa n ang masa ay puro sa mga indibidwal na punto, ayon sa pagkakabanggit . Pagkatapos ang serye ng pamamahagi ay binibigyang-kahulugan bilang isang sistema ng mga materyal na puntos na may ilang masa na matatagpuan sa abscissa axis.

Ang karanasan ay anumang pagpapatupad ng ilang partikular na kundisyon at pagkilos kung saan sinusunod ang random na phenomenon na pinag-aaralan. Ang mga eksperimento ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng husay at dami. Ang random na dami ay isang dami na, bilang resulta ng eksperimento, ay maaaring tumagal sa isa o ibang halaga, at hindi alam nang maaga kung alin.

Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy (X,Y,Z), at ang mga katumbas na halaga (x,y,z)

Ang discrete ay mga random na variable na kumukuha ng mga indibidwal na halaga na nakahiwalay sa isa't isa na maaaring labis na tantiyahin. Patuloy na dami ang mga posibleng halaga na patuloy na pinupuno ang isang tiyak na hanay. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay anumang kaugnayan na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng mga random na variable at ang kaukulang probabilities. Hilera ng pamamahagi at polygon. Ang pinakasimpleng anyo ng batas sa pamamahagi discrete na halaga ay ang serye ng pamamahagi. Ang graphical na interpretasyon ng serye ng pamamahagi ay ang polygon ng pamamahagi.

Maaari mo ring mahanap ang impormasyong interesado ka sa siyentipikong search engine na Otvety.Online. Gamitin ang form sa paghahanap:

Higit pa sa paksa 13. Discrete random variable. Pamamahagi polygon. Mga operasyon na may mga random na variable, halimbawa:

1. 13. Discrete random variable at ang batas ng distribusyon nito. Pamamahagi polygon. Mga operasyon na may mga random na variable. Halimbawa.
2. Ang konsepto ng "random variable" at ang paglalarawan nito. Discrete random variable at ang batas nito (serye) ng distribusyon. Mga independiyenteng random na variable. Mga halimbawa.
3. 14. Random na mga variable, ang kanilang mga uri. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable (DRV). Mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga random na variable (SV).
4. 16. Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable. Mga numerical na katangian ng isang discrete random variable: mathematical expectation, dispersion at standard deviation.
5. Mga operasyong matematikal sa mga discrete random variable at mga halimbawa ng pagbuo ng mga batas sa pamamahagi para sa KX, X"1, X + K, XV batay sa mga ibinigay na distribusyon ng mga independiyenteng random na variable X at Y.
6. Ang konsepto ng isang random variable. Batas ng pamamahagi ng mga discrete cases. dami. Mga pagpapatakbo ng matematika nang random. dami.

2.1. Kamag-anak na dalas. Relatibong katatagan ng dalas

2.2. Mga limitasyon ng klasikal na kahulugan ng posibilidad. Probabilidad ng istatistika

2.3. Geometric na mga probabilidad

2.4. Probability addition theorem

2.5. Kumpletuhin ang pangkat ng mga kaganapan

2.6. Kabaligtaran ng mga pangyayari

2.7. Ang prinsipyo ng praktikal na imposibilidad ng hindi malamang na mga kaganapan

2.8. Paggawa ng mga kaganapan. Kondisyon na maaaring mangyari

2.9. Probability multiplication theorem

2.10. Mga malayang kaganapan. Multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan

2.10. Probability ng hindi bababa sa isang kaganapan na naganap

Lecture No. 3 Corollaries ng karagdagan at multiplication theorems

3.1. Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan

3.2. Kabuuang Formula ng Probability

3.3. Probability ng hypotheses. Mga formula ng Bayes

4. Pag-uulit ng mga pagsusulit

4.1. Formula ni Bernoulli

4.2. Limitahan ang mga theorems sa scheme ni Bernoulli

4.3. Lokal at integral theorems ng Moivre-Laplace

4.3. Probability ng relative frequency deviation mula sa pare-parehong probabilidad sa mga independiyenteng pagsubok

5. Random na mga variable

5.1. Ang konsepto ng isang random variable. Batas sa pamamahagi ng isang random na variable

5.2. Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable. Pamamahagi polygon

5.3. Binomial na pamamahagi

5.4. Pamamahagi ng Poisson

5.5. Geometric na pamamahagi

5.6. Hypergeometric distribution

6. Mathematical expectation ng isang discrete random variable

6.1. Mga numerical na katangian ng discrete random variable

6.2. Pag-asa ng isang discrete random variable

6.3. Ang probabilistikong kahulugan ng pag-asa sa matematika

6.4. Mga katangian ng pag-asa sa matematika

6.5. Pag-asa sa matematika ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok

7. Pagpapakalat ng isang discrete random variable

7.1. Ang pagiging posible ng pagpapakilala ng isang numerical na katangian ng scattering ng isang random variable

7.2. Paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan nito sa matematika

7.3. Pagkakaiba ng isang discrete random variable

7.4. Formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba

7.5. Mga katangian ng pagpapakalat

7.6. Pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok

7.7. Karaniwang lihis

7.8. Standard deviation ng kabuuan ng mutually independent random variables

7.9. Identically distributed mutually independent random variables

7.10. Inisyal at sentral na teoretikal na mga punto

8. Batas ng Malaking Bilang

8.1. Mga panimulang pahayag

8.2. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev

8.3. Ang teorama ni Chebyshev

8.4. Ang kakanyahan ng teorama ni Chebyshev

8.5. Ang kahalagahan ng teorama ni Chebyshev para sa pagsasanay

8.6. Ang teorama ni Bernoulli

Probability distribution function ng isang random variable

9.1. Kahulugan ng function ng pamamahagi

9.2. Mga katangian ng function ng pamamahagi

9.3. Grap ng pagpapaandar ng pamamahagi

10. Probability density ng tuluy-tuloy na random variable

10.1. Pagpapasiya ng density ng pamamahagi

10.2. Probability ng isang tuluy-tuloy na random variable na bumabagsak sa isang ibinigay na agwat

10.3. Batas ng pare-parehong pamamahagi ng posibilidad

11. Normal na pamamahagi

11.1. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable

11.2. Normal na pamamahagi

11.3. Normal na kurba

11.4. Impluwensya ng normal na mga parameter ng pamamahagi sa hugis ng normal na kurba

11.5. Posibilidad ng pagbagsak sa isang ibinigay na pagitan ng isang normal na random variable

11.6. Kinakalkula ang posibilidad ng isang naibigay na paglihis

11.7. Tatlong sigma na panuntunan

11.8. Ang konsepto ng teorama ni Lyapunov. Pahayag ng central limit theorem

11.9. Pagtataya ng paglihis ng teoretikal na pamamahagi mula sa normal. Pagkahilig at kurtosis

11.10. Function ng isang random na argumento at ang pamamahagi nito

11.11. Pag-asa sa matematika ng isang function ng isang random na argumento

11.12. Pag-andar ng dalawang random na argumento. Pamamahagi ng kabuuan ng mga independiyenteng termino. Katatagan ng normal na pamamahagi

11.13. Pamamahagi ng Chi square

11.14. Pamamahagi ng mag-aaral

11.15. Pamamahagi ng Fischer–Snedecor f

12. Exponential distribution

12.1. Kahulugan ng exponential distribution

12.2. Posibilidad ng pagbagsak sa isang ibinigay na pagitan ng isang exponentially distributed random variable

§ 3. Mga numerical na katangian ng exponential distribution

12.4. Pag-andar ng pagiging maaasahan

12.5. Exponential Reliability Law

12.6. Katangiang katangian ng exponential reliability law

5.2. Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable. Pamamahagi polygon

Sa unang sulyap, maaaring mukhang upang tukuyin ang isang discrete random variable ay sapat na upang ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito. Sa katotohanan, hindi ito ganoon: ang mga random na variable ay maaaring magkaroon ng parehong mga listahan ng mga posibleng halaga, ngunit ang kanilang mga probabilidad ay maaaring magkaiba. Samakatuwid, upang tukuyin ang isang discrete random variable, hindi sapat na ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito; kailangan mo ring ipahiwatig ang kanilang mga probabilidad.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable tawagan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga at ang kanilang mga probabilidad; maaari itong tukuyin sa tabularly, analytically (sa anyo ng isang formula) at graphically.

Kahulugan. Anumang panuntunan (talahanayan, function, graph) na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang mga probabilidad ng mga arbitrary na kaganapan A S (S– -algebra ng mga kaganapan sa espasyo ), sa partikular, na nagpapahiwatig ng mga probabilidad ng mga indibidwal na halaga ng isang random na variable o isang set ng mga halagang ito, ay tinatawag batas ng random variable distribution(o simpleng: pamamahagi). Tungkol kay s.v. sinasabi nila na "ito ay sumusunod sa isang ibinigay na batas ng pamamahagi."

Hayaan X– d.s.v., na kumukuha ng mga halaga X 1 , X 2 , …, x n,… (ang hanay ng mga halagang ito ay may hangganan o mabibilang) na may ilang posibilidad p i, Saan i = 1,2,…, n,… Batas sa pamamahagi d.s.v. maginhawang itakda gamit ang formula p i = P{X = x i)Saan i = 1,2,…, n,..., na tumutukoy sa posibilidad na bilang resulta ng eksperimento r.v. X kukunin ang halaga x i. Para sa d.s.v. X ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay sa anyo mga talahanayan ng pamamahagi:

				x n
				R n

Kapag tinukoy ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable sa isang talahanayan, ang unang hilera ng talahanayan ay naglalaman ng mga posibleng halaga, at ang pangalawa - ang kanilang mga probabilidad. ganyang table ang tawag malapit sa pamamahagi.

Isinasaalang-alang na sa isang pagsubok ang random na variable ay tumatagal ng isa at isang posibleng halaga, napagpasyahan namin na ang mga kaganapan X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n bumuo ng isang kumpletong grupo; samakatuwid, ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. ang kabuuan ng mga probabilidad ng ikalawang hanay ng talahanayan ay katumbas ng isa, iyon ay.

Kung ang hanay ng mga posibleng halaga X infinitely (countably), pagkatapos ay ang serye R 1 + R 2 + ... nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng isa.

Halimbawa. Mayroong 100 tiket na inisyu para sa cash lottery. Isang panalo ng 50 rubles ang mabubunot. at sampung panalo ng 1 kuskusin. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable X– ang halaga ng posibleng mga panalo para sa may-ari ng isang tiket sa lottery.

Solusyon. Isulat natin ang mga posibleng halaga X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Ang mga probabilidad ng mga posibleng halaga na ito ay: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Isulat natin ang kinakailangang batas sa pamamahagi:

Kontrol: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.

Halimbawa. Mayroong 8 bola sa urn, 5 sa mga ito ay puti, ang iba ay itim. 3 bola ay iginuhit nang random mula dito. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng bilang ng mga puting bola sa sample.

Solusyon. Mga posibleng halaga ng r.v. X– may mga bilang ng mga puting bola sa sample X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Ang kanilang mga probabilidad ay magiging naaayon

;
;
.

Isulat natin ang batas sa pamamahagi sa anyo ng isang talahanayan.

Kontrol:
.

Batas sa pamamahagi d.s.v. maaaring tukuyin nang grapiko kung ang mga posibleng halaga ng r.v. ay naka-plot sa abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot sa ordinate axis. isang putol na linya na nagdudugtong sa mga puntong magkakasunod ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... tinawag polygon(o polygon) pamamahagi(tingnan ang Fig. 5.1).

kanin. 5.1. Pamamahagi polygon

Ngayon ay maaari na tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng d.s.v.

Kahulugan. Random na halaga Ang X ay discrete, kung may hangganan o mabibilang na hanay ng mga numero X 1 , X 2 , ... ganyan P{X = x i } = p i > 0 (i= 1,2,…) at p 1 + p 2 + R 3 +… = 1.

Tukuyin natin ang mga mathematical operations sa discrete r.v.

Kahulugan.Halaga (pagkakaiba, trabaho) d.s.v. X, pagkuha ng mga halaga x i may probabilidad p i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, at d.s.v. Y, pagkuha ng mga halaga y j may probabilidad p j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, ay tinatawag na d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), pagkuha ng mga halaga z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j) na may mga probabilidad p ij = P{X = x i , Y = y j) para sa lahat ng tinukoy na halaga i At j. Kung nagtutugma ang ilang halaga x i + y j (mga pagkakaiba x i – y j, gumagana x i  y j) ang mga kaukulang probabilidad ay idinagdag.

Kahulugan.Trabaho d.s.v. sa numero tinatawag na d.s.v. cX, pagkuha ng mga halaga Sax i may probabilidad p i = P{X = x i }.

Kahulugan. Dalawang d.s.v. X At Y ay tinatawag malaya, kung ang mga pangyayari ( X = x i } = A i At ( Y = y j } = B j independyente para sa alinman i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, yan ay

Kung hindi r.v. tinawag umaasa. Ilang r.v. ay tinatawag na mutually independent kung ang batas sa pamamahagi ng alinman sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang kinuha ng iba pang mga dami.

Isaalang-alang natin ang ilan sa mga pinakakaraniwang ginagamit na batas sa pamamahagi.