9. Tuloy-tuloy random na halaga, ang mga numerical na katangian nito
Maaaring tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable gamit ang dalawang function. Integral probability distribution function ng random variable X ay tinatawag na function na tinukoy ng pagkakapantay-pantay 
.
Nagbibigay ang integral function pangkalahatang pamamaraan pagtatalaga ng parehong discrete at tuloy-tuloy na random variable. Sa kaso ng tuluy-tuloy na random variable. Lahat ng mga kaganapan: ay may parehong posibilidad, katumbas ng pagtaas ng integral function sa pagitan na ito, ibig sabihin, para sa discrete random variable na tinukoy sa halimbawa 26, mayroon kaming:
Kaya, ang graph ng integral function ng function na isinasaalang-alang ay isang unyon ng dalawang ray at tatlong segment na parallel sa Ox axis.
Halimbawa 27. Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinukoy ng integral probability distribution function
.
Bumuo ng isang graph ng integral function at hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang random variable na X ay kukuha ng halaga sa pagitan (0.5;1.5).
Solusyon. Sa pagitan 
ang graph ay ang tuwid na linya y = 0. Sa pagitan mula 0 hanggang 2 mayroong isang parabola na ibinigay ng equation 
. Sa pagitan 
Ang graph ay ang tuwid na linya y = 1.
Ang posibilidad na ang random variable na X bilang resulta ng pagsubok ay kukuha ng halaga sa pagitan (0.5;1.5) ay matatagpuan gamit ang formula.
Kaya, .
Mga katangian ng integral probability distribution function:
Maginhawang tukuyin ang batas sa pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable gamit ang isa pang function, ibig sabihin, probability density function
.
Ang posibilidad na ang halaga na ipinapalagay ng random na variable X ay nasa loob ng pagitan 
, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay 
.
Ang graph ng function ay tinatawag kurba ng pamamahagi. Sa geometriko, ang posibilidad ng isang random na variable X na bumabagsak sa pagitan ay katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid na nalilimitahan ng distribution curve, ang Ox axis at mga tuwid na linya 
.
Mga katangian ng probability density function:
9.1. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable
Inaasahang halaga(average na halaga) ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay 
.
Ang M(X) ay tinutukoy ng A. Ang mathematical na inaasahan ng isang tuluy-tuloy na random variable ay katulad ng discrete na dami, ari-arian:
Pagkakaiba discrete random variable X ay tinatawag inaasahang halaga ang parisukat ng paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito, i.e. . Para sa tuluy-tuloy na random variable, ang pagkakaiba ay ibinibigay ng formula 
.
Ang dispersion ay may mga sumusunod na katangian:
Ang huling katangian ay napaka-maginhawang gamitin upang mahanap ang pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random na variable.
Ang konsepto ng standard deviation ay ipinakilala nang katulad. Ang karaniwang paglihis ng tuluy-tuloy Ang random variable X ay tinatawag na square root ng variance, i.e. 
.
Halimbawa 28. Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinukoy ng probability density function 
sa pagitan (10;12), sa labas ng agwat na ito ang halaga ng function ay 0. Hanapin 1) ang halaga ng parameter A, 2) mathematical expectation M(X), variance 
, standard deviation, 3) integral function 
at bumuo ng mga graph ng integral at differential function.
1). Upang mahanap ang parameter A gamitin ang formula 
. Kukunin natin. kaya, 
.
2). Upang mahanap ang mathematical na inaasahan, ginagamit namin ang formula: , kung saan sinusundan nito iyon 
.
Hahanapin natin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula: 
, ibig sabihin. .
Hanapin natin ang karaniwang paglihis gamit ang formula: , kung saan nakukuha natin iyon 
.
3). Ang integral function ay ipinahayag sa pamamagitan ng probability density function tulad ng sumusunod: 
. Kaya naman, 
sa 
, = 0 sa 
u = 1 sa 
.
Ang mga graph ng mga function na ito ay ipinakita sa Fig. 4. at fig. 5.
Fig.4 Fig.5.
9.2. Uniform probability distribution ng tuluy-tuloy na random variable
Pamamahagi ng probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable X pantay-pantay sa pagitan kung ang probability density nito ay pare-pareho sa interval na ito at katumbas ng zero sa labas ng interval na ito, i.e. . Madaling ipakita iyon sa kasong ito 
.
Kung ang pagitan 
ay nakapaloob sa pagitan, kung gayon 
.
Halimbawa 29. Dapat mangyari ang isang instant na kaganapan ng signal sa pagitan ng ala-una hanggang alas-singko. Ang oras ng paghihintay ng signal ay isang random na variable X. Hanapin ang posibilidad na matukoy ang signal sa pagitan ng alas dos at alas tres ng hapon.
Solusyon. Ang random variable X ay may pare-parehong distribusyon, at gamit ang pormula nalaman natin na ang posibilidad na ang signal ay nasa pagitan ng 2 at 3 ng hapon ay katumbas ng 
.
Sa pang-edukasyon at iba pang panitikan ito ay madalas na tinutukoy sa panitikan sa pamamagitan ng 
.
9.3. Normal na probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable
Ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na normal kung ang probability distribution law nito ay tinutukoy ng probability density 
. Para sa mga ganoong dami A- inaasahang halaga, 
- karaniwang lihis.
Teorama. Probability ng isang normal na distributed na tuluy-tuloy na random variable na bumabagsak sa isang ibinigay na agwat 
tinutukoy ng formula 
, Saan 
- Laplace function.
Ang kinahinatnan ng teorama na ito ay tuntunin ng tatlo sigma, ibig sabihin. Ito ay halos tiyak na ang isang normal na ibinahagi, tuluy-tuloy na random variable X ay tumatagal ng mga halaga nito sa pagitan 
. Ang panuntunang ito ay nagmula sa formula 
, na isang partikular na kaso ng formulated theorem.
Halimbawa 30. Ang buhay ng pagpapatakbo ng TV ay isang random na variable X, napapailalim sa normal na batas sa pamamahagi, na may panahon ng warranty na 15 taon at isang karaniwang paglihis ng 3 taon. Hanapin ang posibilidad na ang TV ay tatagal mula 10 hanggang 20 taon.
Solusyon. Ayon sa kondisyon ng problema, ang pag-asa sa matematika A= 15, karaniwang paglihis.
Hanapin natin . Kaya, ang posibilidad ng pagpapatakbo ng TV mula 10 hanggang 20 taon ay higit sa 0.9.
9.4 Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev
Nangyayari lemma ni Chebyshev. Kung ang isang random na variable X ay tumatagal lamang ng mga hindi negatibong halaga at may inaasahan sa matematika, kung gayon para sa anumang positibong V
.
Isinasaalang-alang na , bilang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan, nakuha natin iyon 
.
Ang teorama ni Chebyshev. Kung ang random variable X ay may hangganang pagkakaiba 
at mathematical expectation M(X), pagkatapos ay para sa anumang positibo 
totoo ang hindi pagkakapantay-pantay
.
Kung saan sinusundan iyon 
.
Halimbawa 31. Ang isang batch ng mga bahagi ay ginawa. Ang average na haba ng mga bahagi ay 100 cm, at ang karaniwang paglihis ay 0.4 cm. Tantyahin sa ibaba ang posibilidad na ang haba ng isang bahagi na kinuha nang random ay hindi bababa sa 99 cm. at hindi hihigit sa 101cm.
Solusyon. Pagkakaiba. Ang inaasahan sa matematika ay 100. Samakatuwid, upang tantyahin mula sa ibaba ang posibilidad ng kaganapang pinag-uusapan 
ilapat natin ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev, kung saan 
, Pagkatapos 
.
10. Mga elemento ng mga istatistika ng matematika
Pinagsama-samang istatistika pangalanan ang isang hanay ng mga homogenous na bagay o phenomena. Numero P Ang mga elemento ng hanay na ito ay tinatawag na dami ng koleksyon. Mga naobserbahang halaga 
katangian X ang tawag mga pagpipilian. Kung ang mga pagpipilian ay nakaayos sa pagtaas ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay makuha namin discrete variation series. Sa kaso ng pagpapangkat, ang opsyon ayon sa mga pagitan ay lumalabas na serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan. Sa ilalim dalas t nauunawaan ng mga katangiang halaga ang bilang ng mga miyembro ng populasyon na may isang naibigay na variant.
Ang ratio ng dalas sa dami ng isang istatistikal na populasyon ay tinatawag relatibong dalas tanda: 
.
Relasyon sa pagitan ng mga pagpipilian serye ng pagkakaiba-iba at ang kanilang mga frequency ay tinatawag istatistikal na pamamahagi ng sample. Ang isang graphical na representasyon ng istatistikal na pamamahagi ay maaaring polygon dalas
Halimbawa 32. Sa pamamagitan ng pag-survey sa 25 mag-aaral sa unang taon, nakuha ang sumusunod na data tungkol sa kanilang edad: 
. Mag-compose distribusyon ng istatistika mga mag-aaral ayon sa edad, hanapin ang hanay ng variation, bumuo ng frequency polygon at mag-compile ng isang serye ng mga distribusyon ng mga relatibong frequency.
Solusyon. Gamit ang data na nakuha mula sa survey, gagawa kami ng statistical distribution ng sample
|
Ang hanay ng sample ng variation ay 23 – 17 = 6. Upang makabuo ng frequency polygon, bumuo ng mga puntos na may mga coordinate 
at ikonekta ang mga ito sa serye.
Ang serye ng pamamahagi ng relatibong dalas ay may anyo:
|
10.1.Numerical na katangian ng serye ng variation
Hayaang maibigay ang sample sa pamamagitan ng isang serye ng mga pamamahagi ng dalas ng feature X:
|
|
|
|
||
|
|
|
Ang kabuuan ng lahat ng mga frequency ay pantay P.
Arithmetic mean ng sample pangalanan ang dami 
.
Pagkakaiba o ang sukat ng pagpapakalat ng mga halaga ng isang katangian X na may kaugnayan sa arithmetic mean nito ay tinatawag na halaga 
. Ang standard deviation ay ang square root ng variance, i.e. .
Ang ratio ng standard deviation sa arithmetic mean ng sample, na ipinahayag bilang isang porsyento, ay tinatawag koepisyent ng pagkakaiba-iba:
.
Empirical relative frequency distribution function tumawag sa isang function na tumutukoy para sa bawat halaga ng relatibong dalas ng kaganapan 
, ibig sabihin. 
, Saan 
- bilang ng mga pagpipilian, mas maliit X, A P– laki ng sample.
Halimbawa 33. Sa ilalim ng mga kondisyon ng halimbawa 32, hanapin ang mga numerical na katangian 
.
Solusyon. Hanapin ang arithmetic mean ng sample gamit ang formula , pagkatapos .
Ang pagkakaiba ng katangian X ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: , ibig sabihin. Ang karaniwang paglihis ng sample ay 
. Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay 
.
10.2. Pagtatantya ng probabilidad sa pamamagitan ng relatibong dalas. Agwat ng kumpiyansa
Hayaan itong maisakatuparan P mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay pare-pareho at katumbas ng R. Sa kasong ito, ang posibilidad na ang relatibong dalas ay mag-iiba mula sa posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok sa ganap na halaga ay hindi hihigit sa , ay humigit-kumulang na katumbas ng dalawang beses ang halaga ng Laplace integral function: 
.
Pagtatantya ng pagitan tumawag sa naturang pagtatantya, na tinutukoy ng dalawang numero na ang mga dulo ng agwat na sumasaklaw sa tinantyang parameter ng istatistikal na populasyon.
Agwat ng kumpiyansa
ay tinatawag na isang pagitan na may ibinigay posibilidad ng kumpiyansa 
sumasaklaw sa tinantyang parameter ng istatistikal na populasyon. Isinasaalang-alang ang formula kung saan pinapalitan namin ang hindi kilalang dami R sa tinatayang halaga nito 
nakuha mula sa sample na data, nakuha namin ang: 
. Ang formula na ito ay ginagamit upang tantyahin ang posibilidad sa pamamagitan ng relatibong dalas. Numero 
At 
tinatawag na lower at, ayon sa pagkakabanggit, upper mga hangganan ng tiwala, - ang pinakamataas na error para sa isang ibinigay na posibilidad ng kumpiyansa 
.
Halimbawa 34. Ang factory workshop ay gumagawa ng mga ilaw na bombilya. Nang suriin ang 625 lamp, 40 ang nakitang may depekto. Hanapin, na may probability ng kumpiyansa na 0.95, ang mga hangganan kung saan matatagpuan ang porsyento ng mga may sira na bombilya na ginawa ng factory workshop.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng gawain. Ginagamit namin ang formula 
. Gamit ang Talahanayan 2 ng apendiks, makikita natin ang halaga ng argumento, kung saan ang halaga ng Laplace integral function ay katumbas ng 0.475. Nakukuha namin iyon 
. Kaya, . Samakatuwid, maaari nating sabihin na may posibilidad na 0.95 na ang bahagi ng mga depekto na ginawa ng pagawaan ay mataas, ibig sabihin, ito ay nag-iiba mula 6.2% hanggang 6.6%.
10.3. Pagtatantya ng parameter sa mga istatistika
Hayaan ang quantitative na katangian X ng buong populasyon na pinag-aaralan ( populasyon) Ito ay mayroon normal na pamamahagi.
Kung kilala ang karaniwang paglihis, kung gayon agwat ng kumpiyansa, na sumasaklaw sa inaasahan sa matematika A 
, Saan P- laki ng sample, 
- sample na arithmetic mean, t ay ang argumento ng Laplace integral function, kung saan 
. Sa kasong ito ang numero 
tinatawag na katumpakan ng pagtatantya.
Kung ang karaniwang paglihis ay hindi alam, kung gayon mula sa sample na data ay posible na bumuo ng isang random na variable na may distribusyon ng Mag-aaral na may P– 1 degree ng kalayaan, na tinutukoy ng isang parameter lamang P at hindi nakadepende sa hindi alam A At . Ang t-distribution ng mag-aaral kahit para sa maliliit na sample 
nagbibigay ng medyo kasiya-siyang rating. Pagkatapos ay ang agwat ng kumpiyansa na sumasaklaw sa inaasahan sa matematika A ng tampok na ito na may ibinigay na posibilidad ng kumpiyansa ay matatagpuan mula sa kundisyon 
, kung saan ang S ay ang corrected mean square, 
- Koepisyent ng mag-aaral, na natagpuan mula sa data 
mula sa talahanayan 3 ng apendiks.
Ang agwat ng kumpiyansa na sumasaklaw sa karaniwang paglihis ng katangiang ito na may posibilidad ng kumpiyansa ay matatagpuan gamit ang mga formula: at , kung saan 
natagpuan mula sa talahanayan ng mga halaga q
ayon kay .
10.4. Mga pamamaraan ng istatistika para sa pag-aaral ng mga dependency sa pagitan ng mga random na variable
Ang pag-asa sa ugnayan ng Y sa X ay ang functional dependence ng conditional average 
mula sa X. Ang equation 
kumakatawan sa regression equation ng Y sa X, at 
- regression equation ng X sa Y.
Ang pag-asa sa ugnayan ay maaaring linear o curvilinear. Sa kaso ng isang linear correlation dependence, ang equation ng straight regression line ay may anyo: 
, kung saan ang slope A Ang tuwid na linya ng regression Y sa X ay tinatawag na sample regression coefficient Y sa X at tinutukoy 
.
Para sa maliliit na sample, hindi nakagrupo ang data, ang mga parameter 
ay matatagpuan ayon sa pamamaraan hindi bababa sa mga parisukat mula sa sistema ng mga normal na equation:
, Saan P– bilang ng mga obserbasyon ng mga halaga ng mga pares ng magkakaugnay na dami.
Pumipili linear coefficient mga ugnayan 
nagpapakita ng malapit na ugnayan sa pagitan ng Y at X. Ang koepisyent ng ugnayan ay matatagpuan gamit ang formula 
, at 
, ibig sabihin:
Ang sample na equation ng straight regression line Y sa X ay may anyo:
.
Sa isang malaking bilang ng mga obserbasyon ng mga katangian X at Y, isang talahanayan ng ugnayan na may dalawang input ay pinagsama-sama, na may parehong halaga X sinusunod 
beses, parehong kahulugan sa sinusunod 
beses, parehong pares 
sinusunod 
minsan.
Halimbawa 35. Ang isang talahanayan ng mga obserbasyon ng mga palatandaan X at Y ay ibinigay.
|
Hanapin ang sample equation ng straight regression line Y sa X.
Solusyon. Ang relasyon sa pagitan ng mga pinag-aralan na katangian ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng equation ng isang tuwid na linya ng regression ng Y sa X: . Upang kalkulahin ang mga coefficient ng equation, gumawa tayo ng talahanayan ng pagkalkula:
Observation no. |
|
|
||
Kabanata 6. Patuloy na random variable.
§ 1. Density at distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable.
Ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi mabilang at karaniwang kumakatawan sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.
Ang isang random na variable na x(w) na tinukoy sa isang probability space (W, S, P) ay tinatawag tuloy-tuloy(ganap na tuloy-tuloy) W, kung mayroong hindi negatibong function na para sa alinmang x ang distribution function na Fx(x) ay maaaring katawanin bilang integral
Ang function ay tinatawag na function mga density ng pamamahagi ng posibilidad.
Ang kahulugan ay nagpapahiwatig ng mga katangian ng distribution density function:
1..gif" width="97" height="51">
3. Sa mga punto ng pagpapatuloy, ang density ng pamamahagi ay katumbas ng derivative ng function ng pamamahagi: .
4. Tinutukoy ng density ng pamamahagi ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable, dahil tinutukoy nito ang posibilidad ng isang random variable na nahuhulog sa pagitan:
5. Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable ay kukuha ng isang tiyak na halaga ay zero: . Samakatuwid, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay wasto:
Ang graph ng distribution density function ay tinatawag kurba ng pamamahagi, at ang lugar na nililimitahan ng kurba ng pamamahagi at ang x-axis ay katumbas ng pagkakaisa. Pagkatapos, sa geometriko, ang halaga ng distribution function na Fx(x) sa puntong x0 ay ang lugar na nililimitahan ng distribution curve at ang x-axis at nakahiga sa kaliwa ng point x0.
Gawain 1. Ang density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay may anyo:
Tukuyin ang pare-parehong C, buuin ang distribution function na Fx(x) at kalkulahin ang probabilidad.
Solusyon. Ang pare-parehong C ay matatagpuan mula sa kondisyong Mayroon Kami:
saan ang C=3/8.
Upang mabuo ang function ng pamamahagi Fx(x), tandaan na hinahati ng agwat ang hanay ng mga halaga ng argumento x (numeric axis) sa tatlong bahagi: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
dahil ang density x sa semi-axis ay zero. Sa pangalawang kaso
Sa wakas, sa huling kaso, kapag x>2,
Dahil ang density ay naglalaho sa semi-axis. Kaya, nakuha ang function ng pamamahagi
Probability Magkalkula tayo gamit ang formula. kaya,
§ 2. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable
Inaasahang halaga para sa patuloy na ibinahagi na mga random na variable ay tinutukoy ng formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
kung ang integral sa kanan ay ganap na nagtatagpo.
Pagpapakalat x ay maaaring kalkulahin gamit ang formula 
, at gayundin, tulad ng sa discrete case, ayon sa formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Ang lahat ng katangian ng mathematical na inaasahan at dispersion na ibinigay sa Kabanata 5 para sa mga discrete random variable ay valid din para sa tuluy-tuloy na random variable.
Gawain 2. Para sa random variable x mula sa Problema 1, kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba .
Solusyon.
At ang kahulugan niyan ay
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Graph ng density pare-parehong pamamahagi tingnan ang fig. .
Fig.6.2. Distribution function at distribution density. pare-parehong batas
Ang distribution function na Fx(x) ng isang pare-parehong ibinahagi na random variable ay katumbas ng
Fx(x)= 
Inaasahan at pagkakaiba-iba; .
Exponential (exponential) distribution. Ang tuluy-tuloy na random variable x na kumukuha ng mga hindi negatibong halaga ay may exponential distribution na may parameter l>0 kung ang probability density distribution ng random variable ay katumbas ng
рx(x)= 
kanin. 6.3. Distribution function at distribution density ng exponential law.
Ang distribution function ng exponential distribution ay may form
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> at kung ang density ng pamamahagi nito ay katumbas ng
.
Ang Through ay tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga random na variable na ibinahagi ayon sa isang normal na batas na may mga parameter na parameter at .
Ang distribution function ng isang normally distributed random variable ay katumbas ng
.
kanin. 6.4. Distribution function at normal distribution density
Ang mga parameter ng normal na distribution ay ang mathematical na inaasahan https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Sa espesyal na kaso kapag https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> tinatawag na normal na distribution pamantayan, at ang klase ng naturang mga pamamahagi ay tinutukoy ng https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
at ang function ng pamamahagi
Ang nasabing integral ay hindi maaaring kalkulahin nang analytical (hindi ito kinuha sa "quadratures"), at samakatuwid ang mga talahanayan ay pinagsama-sama para sa function. Ang function ay nauugnay sa Laplace function na ipinakilala sa Kabanata 4
,
sa pamamagitan ng sumusunod na kaugnayan 
. Sa kaso ng mga arbitrary na halaga ng parameter https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ang distribution function ng isang random variable ay nauugnay sa Laplace function gamit ang kaugnayan:
.
Samakatuwid, ang posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random na variable na bumabagsak sa isang pagitan ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
.
Ang isang non-negative random variable x ay tinatawag na lognormally distributed kung ang logarithm h=lnx nito ay sumusunod sa normal na batas. Ang inaasahang halaga at pagkakaiba ng isang lognormally distributed random variable ay Mx= at Dx=.
Gawain 3. Hayaang maibigay ang isang random na variable https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Solusyon. Dito https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Pamamahagi ng Laplace ay ibinigay ng function na fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> at ang kurtosis ay gx=3.
Larawan.6.5. Laplace distribution density function.
Ang random na variable x ay ibinahagi sa ibabaw Batas ng Weibull, kung mayroon itong distribution density function na katumbas ng https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Ang pamamahagi ng Weibull ay namamahala sa mga oras ng operasyon na walang kabiguan ng maraming mga teknikal na aparato. Sa mga gawain ng profile na ito mahalagang katangian ay ang rate ng pagkabigo (mortality rate) l(t) ng mga pinag-aralan na elemento ng edad t, na tinutukoy ng kaugnayan l(t)=. Kung a=1, ang pamamahagi ng Weibull ay magiging exponential distribution, at kung a=2 - sa tinatawag na distribution Rayleigh.
Pag-asa sa matematika ng pamamahagi ng Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kung saan ang Г(а) ay ang Euler function. .
SA iba't ibang gawain Sa mga inilapat na istatistika, ang tinatawag na "pinutol" na mga pamamahagi ay madalas na nakatagpo. Halimbawa, ang mga awtoridad sa buwis ay interesado sa pamamahagi ng kita ng mga indibidwal na ang taunang kita ay lumampas sa isang partikular na threshold c0 na itinatag ng mga batas sa buwis. Ang mga pamamahaging ito ay lumalabas na humigit-kumulang na tumutugma sa pamamahagi ng Pareto. Pamamahagi ng Pareto ibinigay ng mga function
Fx(x)=P(x
Dito https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Gawain 4. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin ang density ng isang random variable.
Solusyon. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na
Susunod, ang function ay isang monotone at differentiable function sa isang interval at may inverse function 
, na ang derivative ay katumbas ng Samakatuwid,
§ 5. Pares ng tuluy-tuloy na random variable
Hayaang ibigay ang dalawang tuluy-tuloy na random na variable na x at h. Pagkatapos ay tinukoy ng pares (x, h) ang isang "random" na punto sa eroplano. Ang pares (x, h) ay tinatawag random na vector o dalawang-dimensional na random na variable.
Pinagsamang pagpapaandar ng pamamahagi random variables x at h at ang function ay tinatawag na F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. magkasanib na density probability distribution ng random variables x and h is called a function such that 
.
Ang kahulugan ng kahulugang ito ng joint distribution density ay ang mga sumusunod. Ang posibilidad na ang isang "random point" (x, h) ay mahuhulog sa isang rehiyon sa isang eroplano ay kinakalkula bilang ang dami ng isang three-dimensional figure - isang "curvilinear" cylinder na nakatali sa ibabaw https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Ang pinakasimpleng halimbawa ng pinagsamang pamamahagi ng dalawang random na variable ay ang two-dimensional pare-parehong pamamahagi sa setA. Hayaang ibigay ang isang bounded set M na may lugar. Ito ay tinukoy bilang ang distribusyon ng pares (x, h), na tinukoy ng sumusunod na joint density:
Gawain 5. Hayaang ang isang dalawang-dimensional na random na vector (x, h) ay pantay na maipamahagi sa loob ng tatsulok. Kalkulahin ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay x>h.
Solusyon. Ang lugar ng ipinahiwatig na tatsulok ay katumbas ng (tingnan ang Fig. No.?). Sa bisa ng kahulugan ng isang dalawang-dimensional na pare-parehong pamamahagi, ang magkasanib na density ng mga random na variable x, h ay katumbas ng
Ang isang kaganapan ay tumutugma sa isang set 
sa isang eroplano, i.e. isang kalahating eroplano. Tapos yung probability
Sa half-plane B, ang joint density ay zero sa labas ng set https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Kaya, ang ang half-plane B ay nahahati sa dalawang set at https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> at , at ang pangalawang integral ay katumbas ng zero, dahil ang joint density doon ay katumbas ng zero. kaya lang
Kung ang joint distribution density para sa isang pares (x, h) ay ibinigay, kung gayon ang mga densidad ng parehong bahagi x at h ay tinatawag pribadong densidad at kinakalkula gamit ang mga formula:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Para sa tuluy-tuloy na ipinamahagi na mga random na variable na may densidad рx(х), рh(у), ibig sabihin ng independence na
Gawain 6. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, alamin kung ang mga bahagi ng random na vector x at h ay independyente?
Solusyon. Kalkulahin natin ang mga bahagyang densidad at . Meron kami:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Malinaw, sa aming kaso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> ay ang magkasanib na density ng mga dami x at h, at j( x, y) ay isang function ng dalawang argumento, kung gayon
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Gawain 7. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, kalkulahin .
Solusyon. Ayon sa formula sa itaas mayroon kami:
.
Kinakatawan ang tatsulok bilang
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Densidad ng kabuuan ng dalawang tuluy-tuloy na random na variable
Hayaan ang x at h na maging independiyenteng mga random na variable na may mga density https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Ang density ng random variable x + h ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula pagkakagulo
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Kalkulahin ang density ng kabuuan.
Solusyon. Dahil ang x at h ay ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter , ang kanilang mga densidad ay pantay
Kaya naman,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Kung x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">ay negatibo, at samakatuwid . Samakatuwid, kung https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Kaya nakuha namin ang sagot:
Ang https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> ay karaniwang ipinamamahagi na may mga parameter 0 at 1. Ang mga random na variable na x1 at x2 ay independyente at may normal mga distribusyon na may mga parameter na a1, at a2, ayon sa pagkakabanggit. Patunayan na ang x1 + x2 ay may normal na distribusyon. Ang mga random na variable na x1, x2, ... xn ay distributed at independiyente at may parehong density function
.
Hanapin ang distribution function at density ng distribution ng mga value:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)
Ang mga random na variable na x1, x2, ... xn ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa pagitan [a, b]. Maghanap ng mga function ng pamamahagi at mga function ng density ng mga distribusyon ng mga dami
x(1) = min (x1,x2, ... xn) at x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Patunayan na Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Ang random variable ay ibinahagi ayon sa batas ni Cauchy Hanapin ang: a) koepisyent a; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na mahulog sa pagitan (-1, 1). Ipakita na ang mathematical na inaasahan ng x ay hindi umiiral. Ang random variable ay napapailalim sa batas ni Laplace na may parameter na l (l>0): Hanapin ang koepisyent a; bumuo ng mga distribution density graph at distribution function; hanapin ang Mx at Dx; hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Sumulat ng formula para sa density ng pamamahagi, hanapin ang Mx at Dx.
Mga gawain sa computational.
Ang isang random na punto A ay may pare-parehong distribusyon sa isang bilog na radius R. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng distansya r ng punto sa gitna ng bilog. Ipakita na ang halaga r2 ay pantay na ipinamamahagi sa segment. 
Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo: 
Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad 
Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo: 
Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad 
Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo: 
Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), , variance at probability. Ang isang random variable ay may distribution function 
Kalkulahin ang density ng isang random variable, mathematical expectation, variance at probability Suriin na ang function ay = 
maaaring isang distribution function ng isang random variable. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito: Mx at Dx. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Isulat ang density ng pamamahagi. Hanapin ang function ng pamamahagi. Hanapin ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa segment at sa segment. Ang density ng pamamahagi x ay katumbas ng
.
Hanapin ang pare-pareho c, ang density ng pamamahagi h = at ang posibilidad
P (0.25 Ang failure-free operation time ng isang computer ay ipinamamahagi ayon sa exponential law na may parameter l = 0.05 (failure per hour), ibig sabihin, mayroon itong density function p(x) = Ang paglutas ng isang partikular na problema ay nangangailangan ng walang problemang pagpapatakbo ng makina sa loob ng 15 minuto. Kung ang isang pagkabigo ay nangyari habang nilulutas ang isang problema, ang error ay makikita lamang pagkatapos na makumpleto ang solusyon, at ang problema ay malulutas muli. Hanapin: a) ang posibilidad na sa panahon ng paglutas ng problema ay walang isang pagkabigo na magaganap; b) ang average na oras kung saan malulutas ang problema. Ang isang baras na 24 cm ang haba ay nahahati sa dalawang bahagi; Ipagpalagay namin na ang break point ay ibinahagi nang pantay-pantay sa buong haba ng baras. Ano ang karaniwang haba ng karamihan sa pamalo? Ang isang piraso ng haba na 12 cm ay random na pinutol sa dalawang bahagi. Ang cut point ay pantay na ibinahagi sa buong haba ng segment. Ano ang average na haba ng maliit na bahagi ng segment? Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin ang density ng distribution ng random variable a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . Ipakita na kung ang x ay may tuluy-tuloy na function ng pamamahagi F(x) = P(x Hanapin ang density function at distribution function ng kabuuan ng dalawang independent quantity x at h na may pare-parehong mga batas sa pamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable ay independyente at may exponential distribution na may density Pag-andar ng pamamahagi random variable X tinatawag na function F(X), pagpapahayag para sa bawat isa X ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa X:. Function F(X) ay tinatawag minsan integral distribution function, o integral na batas ng pamamahagi. Random na halaga X tinawag tuloy-tuloy, kung ang pagpapaandar ng pamamahagi nito ay tuloy-tuloy sa anumang punto at naiba sa lahat ng dako, maliban, marahil, sa mga indibidwal na punto. Mga halimbawa tuluy-tuloy na random na mga variable: ang diameter ng bahagi kung saan ang turner ay lumiliko sa isang partikular na laki, ang taas ng isang tao, ang hanay ng paglipad ng isang projectile, atbp. Teorama. Ang posibilidad ng anumang indibidwal na halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay zero Bunga. Kung X ay isang tuluy-tuloy na random variable, pagkatapos ay ang posibilidad ng random variable na bumabagsak sa pagitan Kung tuluy-tuloy na random variable X maaari lamang kumuha ng mga halaga sa pagitan A dati b(Saan A At b- ilang mga constants), kung gayon ang function ng pamamahagi nito ay katumbas ng zero para sa lahat ng mga halaga Ang lahat ng mga katangian ng mga function ng pamamahagi ng mga discrete random variable ay nasisiyahan din para sa mga function ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random variable. Ang pagtukoy ng tuluy-tuloy na random na variable gamit ang distribution function ay hindi ang tanging paraan. Densidad ng probabilidad
(density ng pamamahagi o densidad)
R(X) tuluy-tuloy na random variable X ay tinatawag na derivative ng distribution function nito Probability Density R(X), pati na rin ang function ng pamamahagi F(X), ay isa sa mga anyo ng batas sa pamamahagi, ngunit hindi katulad ng function ng pamamahagi, ito ay umiiral lamang para sa tuloy-tuloy mga random na variable. Minsan tinatawag ang probability density differential function, o differential distribution law. Ang probability density graph ay tinatawag na distribution curve. Ari-arian probability density ng tuluy-tuloy na random variable: kanin. 8.1 kanin. 8.2 4.
Sa geometriko, ang mga katangian ng probability density ay nangangahulugan na ang graph nito - ang distribution curve - ay hindi nasa ibaba ng abscissa axis, at ang kabuuang lugar ng figure na nalilimitahan ng distribution curve at ang abscissa axis ay katumbas ng isa. Halimbawa 8.1. Ang minutong kamay ng isang de-koryenteng orasan ay gumagalaw nang palukso-lukso bawat minuto. Napatingin ka sa relo mo. Nagpapakita sila A minuto. Pagkatapos para sa iyo ang totoong oras sa isang naibigay na sandali ay magiging isang random na variable. Hanapin ang function ng pamamahagi nito. Solusyon. Malinaw, ang tunay na function ng pamamahagi ng oras ay katumbas ng 0 para sa lahat TUNGKOL SA kanin. 8.3 Halimbawa 8.2. Ang distribution ba ng function ng ilang random variable ang function Solusyon. Ang lahat ng mga halaga ng function na ito ay nabibilang sa segment Ang pagkakapantay-pantay ay mayroon din: Samakatuwid, ang pag-andar Halimbawa 8.3. Ang distribution ba ng function ng ilang random variable ang function Solusyon. Ang function na ito ay hindi isang distribution function ng isang random variable, dahil sa pagitan kanin. 8.5 Halimbawa 8.4. Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi Maghanap ng coefficient A at ang probability density ng random variable X. Tukuyin ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay Solusyon. Ang density ng pamamahagi ay katumbas ng unang derivative ng distribution function Coefficient A tinutukoy gamit ang pagkakapantay-pantay Ang parehong resulta ay maaaring makuha gamit ang pagpapatuloy ng function Kaya naman, Samakatuwid ang probability density ay may anyo Probability Halimbawa 8.5. Random na halaga X ay may probability density (batas ni Cauchy) Maghanap ng coefficient A at ang posibilidad na ang random variable X kukuha ng ilang halaga mula sa pagitan Solusyon. Hanapin natin ang coefficient A mula sa pagkakapantay-pantay Kaya naman, Kaya, Ang posibilidad na ang isang random variable X kukuha ng ilang halaga mula sa pagitan Hanapin natin ang distribution function ng random variable na ito P kanin. 8.6 Solusyon. Gamit ang graph, isusulat namin ang analytical expression para sa probability distribution density ng isang naibigay na random variable Hanapin natin ang function ng pamamahagi. Kung Kung Kung Kung Samakatuwid, ang function ng pamamahagi ay may anyo
Kabanata 1. Discrete random variable
§
1. Mga konsepto ng isang random na variable. Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable. Kahulugan
: Ang random ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, kumukuha lamang ng isang halaga mula sa isang posibleng hanay ng mga halaga nito, hindi alam nang maaga at depende sa mga random na dahilan. Mayroong dalawang uri ng mga random na variable: discrete at tuloy-tuloy. Kahulugan
: Ang random variable X ay tinatawag discrete
(hindi tuloy-tuloy) kung ang hanay ng mga halaga nito ay may hangganan o walang hanggan ngunit mabibilang. Sa ibang salita, posibleng mga halaga Maaaring palitan ng numero ang isang discrete random variable. Maaaring ilarawan ang isang random na variable gamit ang batas ng pamamahagi nito. Kahulugan
: Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
tawagan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga probabilidad. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay maaaring tukuyin sa anyo ng isang talahanayan, sa unang hilera kung saan ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable ay ipinahiwatig sa pataas na pagkakasunud-sunod, at sa pangalawang hilera ang kaukulang mga probabilidad ng mga ito. mga halaga, i.e. kung saan р1+ р2+…+ рn=1 Ang nasabing talahanayan ay tinatawag na isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Kung ang hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay walang katapusan, ang seryeng p1+ p2+…+ pn+… ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng 1. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay maaaring ilarawan nang grapiko, kung saan ang isang putol na linya ay itinayo sa isang hugis-parihaba na coordinate system, na magkakasunod na nagkokonekta ng mga puntos na may mga coordinate (xi; pi), i=1,2,…n. Ang resultang linya ay tinatawag polygon ng pamamahagi
(Larawan 1). Ang organic chemistry" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organic chemistry ay 0.7 at 0.8, ayon sa pagkakabanggit. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa random variable X - ang bilang ng mga pagsusulit na ipapasa ng mag-aaral. Solusyon.
Ang itinuturing na random na variable X bilang resulta ng pagsusulit ay maaaring kumuha ng isa sa mga sumusunod na halaga: x1=0, x2=1, x3=2. Hanapin natin ang posibilidad ng mga halagang ito. Tukuyin natin ang mga kaganapan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src="> Kaya, ang batas ng pamamahagi ng random variable X ay ibinibigay ng talahanayan: Kontrol: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. Pag-andar ng pamamahagi Ang kumpletong paglalarawan ng isang random na variable ay ibinibigay din ng function ng pamamahagi. Kahulugan: Distribution function ng isang discrete random variable X
ay tinatawag na function F(x), na tumutukoy para sa bawat value x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value na mas mababa sa x: F(x)=P(X<х) Sa geometrically, ang distribution function ay binibigyang-kahulugan bilang ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value na kinakatawan sa number line sa pamamagitan ng isang puntong nakahiga sa kaliwa ng point x.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) Ang F(x) ay isang hindi bumababa na function sa (-∞;+∞); 3) F(x) - tuloy-tuloy sa kaliwa sa mga puntong x= xi (i=1,2,...n) at tuloy-tuloy sa lahat ng iba pang punto; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Kung ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay ibinigay sa anyo ng isang talahanayan: pagkatapos ay ang distribution function na F(x) ay tinutukoy ng formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 0 para sa x≤ x1, р1 sa x1< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 sa x2< х≤ х3 1 para sa x>xn. Ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. 2: §
3. Mga numerical na katangian ng isang discrete random variable. Ang isa sa mga mahalagang katangian ng numero ay ang inaasahan sa matematika. Kahulugan: Pag-asa sa matematika M(X)
Ang discrete random variable X ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng mga halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilidad: M(X) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Ang mathematical expectation ay nagsisilbing katangian ng average na halaga ng isang random variable. Mga katangian ng inaasahan sa matematika:
1)M(C)=C, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), kung saan ang X, Y ay mga independent random variable; 5)M(X±C)=M(X)±C, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga; Upang makilala ang antas ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable sa paligid ng average na halaga nito, ginagamit ang pagpapakalat. Kahulugan:
Pagkakaiba
D
(
X
)
Ang random variable X ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito:
Mga katangian ng pagpapakalat:
1)D(C)=0, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga; 2)D(X)>0, kung saan ang X ay isang random na variable; 3)D(C X)=C2 D(X), kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kung saan ang X, Y ay mga independent random variable; Upang kalkulahin ang pagkakaiba-iba madalas na maginhawang gamitin ang formula: D(X)=M(X2)-(M(X))2, kung saan ang M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn Ang variance D(X) ay may sukat ng isang squared random variable, na hindi palaging maginhawa. Samakatuwid, ang halaga √D(X) ay ginagamit din bilang isang tagapagpahiwatig ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable. Kahulugan: Karaniwang lihis σ(X)
Ang random variable X ay tinatawag na square root ng variance: Gawain Blg. 2. Ang discrete random variable X ay tinukoy ng batas ng pamamahagi: Hanapin ang P2, ang distribution function na F(x) at i-plot ang graph nito, pati na rin ang M(X), D(X), σ(X). Solusyon:
Dahil ang kabuuan ng mga probabilidad ng posibleng mga halaga ng random variable X ay katumbas ng 1, kung gayon Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 Hanapin natin ang distribution function F(x)=P(X Sa geometriko, ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: Ang F(x) ay ang posibilidad na ang random variable ay kukuha ng halaga na kinakatawan sa numero ng axis ng puntong nakahiga sa kaliwa ng puntong x. Kung x≤-1, pagkatapos ay F(x)=0, dahil walang iisang value ng random variable na ito sa (-∞;x); Kung -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Kung 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) mayroong dalawang halaga x1=-1 at x2=0; Kung 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Kung 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Kung x>3, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, dahil apat na value x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ang nahuhulog sa pagitan (-∞;x) at x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 sa x≤-1, 0.1 sa -1<х≤0, 0.2 sa 0<х≤1, F(x)= 0.5 sa 1<х≤2, 0.7 sa 2<х≤3, 1 sa x>3 Katawanin natin ang function na F(x) nang grapiko (Larawan 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomial distribution law discrete random variable, batas ni Poisson. Kahulugan: Binomial
ay tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng paulit-ulit na pagsubok, sa bawat isa sa kung saan ang kaganapan A ay maaaring mangyari na may probabilidad p o hindi mangyari na may probabilidad q = 1-p. Pagkatapos P(X=m) - ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A eksaktong m beses sa n pagsubok ay kinakalkula gamit ang Bernoulli formula: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Ang mathematical expectation, dispersion at standard deviation ng random variable X na ibinahagi ayon sa binary law ay matatagpuan, ayon sa pagkakabanggit, gamit ang mga formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Ang posibilidad ng kaganapan A - "paglunsad ng lima" sa bawat pagsubok ay pareho at katumbas ng 1/6 , ibig sabihin, P(A)=p=1/6, pagkatapos ay P(A)=1-p=q=5/6, kung saan - "pagkabigong makakuha ng A." Maaaring kunin ng random variable na X ang mga sumusunod na halaga: 0;1;2;3. Nahanap namin ang posibilidad ng bawat isa sa mga posibleng halaga ng X gamit ang formula ni Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. yun. ang batas ng pamamahagi ng random variable X ay may anyo: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Hanapin natin ang mga numerical na katangian ng random variable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Gawain Blg. 4. Isang awtomatikong makina ang nagtatak ng mga bahagi. Ang posibilidad na ang isang manufactured na bahagi ay may depekto ay 0.002. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 napiling bahagi ay magkakaroon ng: a) 5 may depekto; b) kahit isa ay may depekto. Solusyon:
Ang bilang n=1000 ay malaki, ang posibilidad na makagawa ng isang may sira na bahagi p=0.002 ay maliit, at ang mga kaganapang isinasaalang-alang (ang bahagi ay lumalabas na may sira) ay independiyente, samakatuwid ang Poisson formula ay mayroong: Рn(m)= e-
λ
λm Hanapin natin ang λ=np=1000 0.002=2. a) Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng 5 may sira na bahagi (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng hindi bababa sa isang may sira na bahagi. Event A - "kahit isa sa mga napiling bahagi ay may depekto" ay kasalungat na pangyayari- "lahat ng napiling bahagi ay hindi may depekto." Samakatuwid, P(A) = 1-P(). Kaya't ang gustong probabilidad ay katumbas ng: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. Mga gawain para sa malayang gawain.
1.1
1.2.
Ang dispersed random variable X ay tinukoy ng batas ng pamamahagi: Hanapin ang p4, ang distribution function na F(X) at i-plot ang graph nito, gayundin ang M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Mayroong 9 na marker sa kahon, 2 sa mga ito ay hindi na nagsusulat. Kumuha ng 3 marker nang random. Ang random variable X ay ang bilang ng mga pananda sa pagsulat sa mga kinuha. Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable. 1.4.
Mayroong 6 na aklat-aralin na random na nakaayos sa isang istante ng aklatan, 4 sa mga ito ay nakatali. Ang librarian ay kumukuha ng 4 na aklat-aralin nang random. Ang random na variable X ay ang bilang ng mga nakatali na mga aklat-aralin sa mga kinuha. Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable. 1.5.
Mayroong dalawang gawain sa tiket. Ang posibilidad ng wastong paglutas ng unang problema ay 0.9, ang pangalawa ay 0.7. Ang random variable X ay ang bilang ng mga tamang nalutas na problema sa ticket. Gumuhit ng batas sa pamamahagi, kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito, at hanapin din ang distribution function na F(x) at buuin ang graph nito. 1.6.
Tatlong shooters ang bumaril sa isang target. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.5 para sa unang tagabaril, 0.8 para sa pangalawa, at 0.7 para sa pangatlo. Ang random na variable X ay ang bilang ng mga hit sa target kung ang mga shooter ay nagpaputok ng isang shot sa isang pagkakataon. Hanapin ang batas sa pamamahagi, M(X),D(X). 1.7.
Ang isang manlalaro ng basketball ay itinapon ang bola sa basket na may posibilidad na matamaan ang bawat shot na 0.8. Para sa bawat hit, nakakatanggap siya ng 10 puntos, at kung makaligtaan siya, walang mga puntos na ibibigay sa kanya. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa random variable X - ang bilang ng mga puntos na natanggap ng isang basketball player sa 3 shot. Hanapin ang M(X),D(X), pati na rin ang posibilidad na makakuha siya ng higit sa 10 puntos. 1.8.
Ang mga titik ay nakasulat sa mga kard, sa kabuuan ay 5 patinig at 3 katinig. 3 card ang pinipili nang random, at sa tuwing ibabalik ang kinuhang card. Ang random variable X ay ang bilang ng mga patinig sa mga kinuha. Gumuhit ng batas sa pamamahagi at hanapin ang M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Sa karaniwan, 60% ng mga kontrata Insurance Company nagbabayad ng mga halaga ng insurance na may kaugnayan sa paglitaw ng isang nakasegurong kaganapan. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa random na variable X - ang bilang ng mga kontrata kung saan binayaran ang halaga ng insurance sa apat na kontratang pinili nang random. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito. 1.10.
Nagpapadala ang istasyon ng radyo ng mga call sign (hindi hihigit sa apat) sa ilang partikular na pagitan hanggang sa magkaroon ng two-way na komunikasyon. Ang posibilidad na makatanggap ng tugon sa isang call sign ay 0.3. Ang random variable X ay ang bilang ng mga call sign na ipinadala. Gumuhit ng batas sa pamamahagi at hanapin ang F(x). 1.11.
Mayroong 3 susi, kung saan isa lamang ang kasya sa lock. Gumuhit ng batas para sa pamamahagi ng random variable na X-bilang ng mga pagtatangka upang buksan ang lock, kung ang sinubukang susi ay hindi lumahok sa mga kasunod na pagtatangka. Hanapin ang M(X),D(X). 1.12.
Ang magkakasunod na independiyenteng pagsusuri ng tatlong aparato ay isinasagawa para sa pagiging maaasahan. Ang bawat kasunod na aparato ay nasubok lamang kung ang nauna ay naging maaasahan. Ang posibilidad na makapasa sa pagsusulit para sa bawat aparato ay 0.9. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa random na variable na X-number ng mga nasubok na device. 1.13
.May tatlong posibleng value ang discrete random variable X: x1=1, x2, x3, at x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Ang bloke ng elektronikong aparato ay naglalaman ng 100 magkaparehong elemento. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa panahon ng T ay 0.002. Ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa. Hanapin ang posibilidad na hindi hihigit sa dalawang elemento ang mabibigo sa panahon ng T. 1.15.
Ang aklat-aralin ay nai-publish sa isang sirkulasyon ng 50,000 mga kopya. Ang posibilidad na ang isang aklat-aralin ay mali ang pagkakatali ay 0.0002. Hanapin ang posibilidad na ang sirkulasyon ay naglalaman ng: a) apat na may sira na libro, b) mas mababa sa dalawang may sira na libro. 1
.16.
Ang bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX bawat minuto ay ipinamamahagi ayon sa batas ni Poisson na may parameter na λ=1.5. Hanapin ang posibilidad na sa isang minuto ay magkakaroon ng: a) dalawang tawag; b) kahit isang tawag. 1.17.
Hanapin ang M(Z),D(Z) kung Z=3X+Y. 1.18.
Ang mga batas ng pamamahagi ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay ibinigay: Hanapin ang M(Z),D(Z) kung Z=X+2Y. Mga sagot:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; 0 sa x≤-2, 0.3 sa -2<х≤0, F(x)= 0.5 sa 0<х≤2, 0.9 sa 2<х≤5, 1 sa x>5 0.3 sa -1<х≤0, 0.4 sa 0<х≤1, F(x)= 0.6 sa 1<х≤2, 0.7 sa 2<х≤3, 1 sa x>3 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 para sa x≤0, 0.03 sa 0<х≤1, F(x)= 0.37 sa 1<х≤2, 1 para sa x>2 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 e-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; b) 0.00049 1.16.
a)0.0702; b)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Kabanata 2 Patuloy na random variable
Kahulugan: Tuloy-tuloy
ay isang dami na ang lahat ng posibleng mga halaga ay ganap na pumupuno sa isang may hangganan o walang katapusang span ng linya ng numero. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan. Maaaring tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable gamit ang distribution function. Kahulugan: F function ng pamamahagi
ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinatawag na function F(x), na tumutukoy sa bawat value xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Ang pagpapaandar ng pamamahagi ay tinatawag na pinagsama-samang pagpapaandar ng pamamahagi. Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang distribution function ay tuluy-tuloy sa anumang punto at naiba saanman, maliban, marahil, sa mga indibidwal na punto. 3) Ang posibilidad ng isang random variable X na nahuhulog sa isa sa mga pagitan (a;b), [a;b], [a;b], ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function na F(x) sa mga puntong a at b, i.e. R(a)<Х 4) Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable X ay kukuha ng isang hiwalay na halaga ay 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Ang pagtukoy ng tuluy-tuloy na random na variable gamit ang distribution function ay hindi ang tanging paraan. Ipakilala natin ang konsepto ng probability distribution density (distribution density). Kahulugan
:
Densidad ng pamamahagi ng probabilidad
f
(
x
)
ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ang hinango ng function ng pamamahagi nito, i.e.: Ang probability density function ay tinatawag minsan na differential distribution function o differential distribution law. Ang graph ng probability density distribution f(x) ay tinatawag kurba ng pamamahagi ng posibilidad
.
Mga katangian ng probability density distribution:
1) f(x) ≥0, sa xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 sa x≤2, f(x)= c(x-2) sa 2<х≤6, 0 para sa x>6. Hanapin: a) ang halaga ng c; b) distribution function F(x) at i-plot ito; c) P(3≤x<5) Solusyon:
+
∞ a) Nahanap namin ang halaga ng c mula sa kondisyon ng normalisasyon: ∫ f(x)dx=1. Samakatuwid, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x kung 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 sa x≤2, F(x)= (x-2)2/16 sa 2<х≤6, 1 para sa x>6. Ang graph ng function na F(x) ay ipinapakita sa Fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 sa x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π sa 0<х≤√3, 1 para sa x>√3. Hanapin ang differential distribution function f(x) Solusyon:
Dahil f(x)= F’(x), kung gayon https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Ang lahat ng mga katangian ng pag-asa at pagpapakalat ng matematika, na tinalakay kanina para sa mga dispersed na random na variable, ay may bisa din para sa mga tuluy-tuloy. Gawain Blg. 3. Ang random variable X ay tinukoy ng differential function f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Mga problema para sa malayang solusyon.
2.1.
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinukoy ng distribution function: 0 sa x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤ π/6, F(x)= - cos 3x sa π/6<х≤ π/3, 1 para sa x> π/3. Hanapin ang differential distribution function f(x), at gayundin Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 sa x≤2, f(x)= c x sa 2<х≤4, 0 para sa x>4. 2.4.
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinukoy ng density ng pamamahagi: 0 sa x≤0, f(x)= c √x sa 0<х≤1, 0 para sa x>1. Hanapin ang: a) numero c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> sa x, 0 sa x. Hanapin ang: a) F(x) at buuin ang graph nito; b) M(X),D(X), σ(X); c) ang posibilidad na sa apat mga independiyenteng pagsusulit ang halaga X ay kukuha ng eksaktong 2 beses ng halaga na kabilang sa pagitan (1;4). 2.6.
Ang probability distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay: f(x)= 2(x-2) sa x, 0 sa x. Hanapin ang: a) F(x) at buuin ang graph nito; b) M(X),D(X), σ (X); c) ang posibilidad na sa tatlong independiyenteng pagsubok ang halaga ng X ay kukuha ng eksaktong 2 beses ng halaga na kabilang sa segment . 2.7.
Ang function na f(x) ay ibinibigay bilang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Ang function na f(x) ay ibinibigay bilang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Hanapin: a) ang halaga ng constant c kung saan ang function ay ang probability density ng ilang random variable X; b) function ng pamamahagi F(x). 2.9.
Ang random variable na X, na puro sa pagitan (3;7), ay tinukoy ng distribution function F(x)= . Hanapin ang posibilidad na Kukunin ng random variable X ang halaga: a) mas mababa sa 5, b) hindi bababa sa 7. 2.10.
Random na variable X, puro sa pagitan (-1;4), ay ibinibigay ng distribution function F(x)= . Hanapin ang posibilidad na Kukunin ng random variable X ang halaga: a) mas mababa sa 2, b) hindi bababa sa 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Hanapin ang: a) numero c; b) M(X); c) posibilidad P(X> M(X)). 2.12.
Ang random na variable ay tinukoy ng differential distribution function: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Hanapin ang: a) M(X); b) posibilidad P(X≤M(X)) 2.13.
Ang pamamahagi ng Rem ay ibinibigay ng probability density: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> para sa x ≥0. Patunayan na ang f(x) ay talagang isang probability density function. 2.14.
Ang probability distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) 2.16.
Ang random variable X ay ipinamamahagi ayon sa batas " kanang tatsulok"sa pagitan (0;4) (Larawan 5). Maghanap ng analytical expression para sa probability density f(x) sa buong number line. Mga sagot
0 sa x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x sa π/6<х≤ π/3, 0 para sa x> π/3. Ang isang tuluy-tuloy na random na variable na X ay mayroon pare-parehong batas pamamahagi sa isang tiyak na pagitan (a;b), na naglalaman ng lahat ng posibleng mga halaga ng X, kung ang probability distribution density f(x) ay pare-pareho sa interval na ito at katumbas ng 0 sa labas nito, i.e. 0 para sa x≤a, f(x)= para sa a<х 0 para sa x≥b. Ang graph ng function na f(x) ay ipinapakita sa Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Gawain Blg. 1. Ang random na variable na X ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin: a) probability distribution density f(x) at i-plot ito; b) ang distribution function F(x) at i-plot ito; c) M(X),D(X), σ(X). Solusyon:
Gamit ang mga formula na tinalakay sa itaas, na may a=3, b=7, makikita natin ang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> sa 3≤х≤7, 0 para sa x>7 Buuin natin ang graph nito (Larawan 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 sa x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 sa x<0, f(x)= λе-λх para sa x≥0. Ang distribution function ng isang random variable X, na ibinahagi ayon sa exponential law, ay ibinibigay ng formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Kaya, ang inaasahan sa matematika at ang karaniwang paglihis ng exponential distribution ay pantay sa bawat isa. Ang posibilidad na mahulog ang X sa pagitan (a;b) ay kinakalkula ng formula: P(a<Х Gawain Blg. 2. Ang average na oras ng pagpapatakbo ng device na walang failure ay 100 oras. Sa pag-aakalang may exponential distribution law ang failure-free operation time ng device, hanapin ang: a) density ng pamamahagi ng posibilidad; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na lalampas sa 120 oras ang walang kabiguan na oras ng pagpapatakbo ng device. Solusyon:
Ayon sa kondisyon, ang mathematical distribution M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) f(x)= 0.01e -0.01x para sa x≥0. b) F(x)= 0 sa x<0, 1-e -0.01x sa x≥0. c) Nahanap namin ang gustong probabilidad gamit ang distribution function: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3. Normal na batas sa pamamahagi Kahulugan:
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable na X ay mayroon batas ng normal na pamamahagi (batas ni Gauss),
kung ang density ng pamamahagi nito ay may anyo: kung saan ang m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Ang normal na curve ng pamamahagi ay tinatawag normal o Gaussian curve
(fig.7) Ang distribution function ng isang random variable X, na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay ipinahayag sa pamamagitan ng Laplace function na Ф (x) ayon sa formula: nasaan ang Laplace function. Komento:
Ang function na Ф(x) ay kakaiba (Ф(-х)=-Ф(х)), bilang karagdagan, para sa x>5 maaari nating ipagpalagay na Ф(х) ≈1/2. Ang graph ng distribution function F(x) ay ipinapakita sa Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Ang posibilidad na ang absolute value ng deviation ay mas mababa sa isang positibong numero δ ay kinakalkula ng formula: Sa partikular, para sa m=0 ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan: "Three Sigma Rule"
Kung ang isang random na variable X ay may normal na batas sa pamamahagi na may mga parameter na m at σ, kung gayon halos tiyak na ang halaga nito ay nasa pagitan (a-3σ; a+3σ), dahil https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Gamitin natin ang pormula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Mula sa talahanayan ng mga halaga ng function Ф(х) nakita namin ang Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Kaya, ang nais na posibilidad: P(28 Mga gawain para sa malayang gawain
3.1.
Ang random variable X ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-3;5). Hanapin: b) function ng pamamahagi F(x); c) mga katangiang numero; d) posibilidad P(4<х<6). 3.2.
Ang random na variable na X ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) function ng pamamahagi F(x); c) mga katangiang numero; d) posibilidad P(3≤х≤6). 3.3.
Mayroong awtomatikong traffic light sa highway, kung saan naka-on ang berdeng ilaw sa loob ng 2 minuto, dilaw sa loob ng 3 segundo, pula sa loob ng 30 segundo, atbp. Isang kotse ang nagmamaneho sa kahabaan ng highway nang paminsan-minsan. Hanapin ang posibilidad na ang isang sasakyan ay dumaan sa isang traffic light nang hindi humihinto. 3.4.
Ang mga tren sa subway ay regular na tumatakbo sa pagitan ng 2 minuto. Isang pasahero ang pumapasok sa platform sa random na oras. Ano ang posibilidad na ang isang pasahero ay kailangang maghintay ng higit sa 50 segundo para sa isang tren? Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable X - ang oras ng paghihintay para sa tren. 3.5.
Hanapin ang variance at standard deviation ng exponential distribution na ibinigay ng distribution function: F(x)= 0 sa x<0, 1st-8x para sa x≥0. 3.6.
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinukoy ng probability distribution density: f(x)= 0 sa x<0, 0.7 e-0.7x sa x≥0. a) Pangalanan ang batas ng pamamahagi ng random variable na isinasaalang-alang. b) Hanapin ang distribution function na F(X) at ang mga numerical na katangian ng random variable X. 3.7.
Ang random variable X ay ipinamamahagi ayon sa exponential law na tinukoy ng probability distribution density: f(x)= 0 sa x<0, 0.4 e-0.4 x sa x≥0. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha ng halaga ang X mula sa pagitan (2.5;5). 3.8.
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ipinamamahagi ayon sa exponential law na tinukoy ng distribution function: F(x)= 0 sa x<0, 1st-0.6x sa x≥0 Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay kukuha ng halaga mula sa segment. 3.9.
Ang inaasahang halaga at standard deviation ng isang normally distributed random variable ay 8 at 2, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan (10;14). 3.10.
Ang random na variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan sa matematika na 3.5 at isang pagkakaiba-iba ng 0.04. Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok X ay kukuha ng halaga mula sa segment . 3.11.
Ang random na variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at D(X)=1. Alin sa mga kaganapan: |X|≤0.6 o |X|≥0.6 ang mas malamang? 3.12.
Ang random variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at D(X)=1. Mula sa aling pagitan (-0.5;-0.1) o (1;2) mas malamang na kumuha ng halaga sa isang pagsubok? 3.13.
Ang kasalukuyang presyo sa bawat bahagi ay maaaring imodelo gamit ang normal na batas sa pamamahagi na may M(X)=10 den. mga yunit at σ (X)=0.3 den. mga yunit Hanapin: a) ang posibilidad na ang kasalukuyang presyo ng pagbabahagi ay mula sa 9.8 den. mga yunit hanggang 10.4 araw mga yunit; b) gamit ang "three sigma rule", hanapin ang mga hangganan kung saan matatagpuan ang kasalukuyang presyo ng stock. 3.14.
Ang sangkap ay tinitimbang nang walang sistematikong mga pagkakamali. Ang mga random na error sa pagtimbang ay napapailalim sa normal na batas na may mean square ratio σ=5g. Hanapin ang posibilidad na sa apat na independiyenteng mga eksperimento ang isang error sa tatlong pagtimbang ay hindi mangyayari sa ganap na halaga 3r. 3.15.
Ang random variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=12.6. Ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa pagitan (11.4;13.8) ay 0.6826. Hanapin ang karaniwang paglihis σ. 3.16.
Ang random variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=12 at D(X)=36. Hanapin ang pagitan kung saan mahuhulog ang random variable X bilang resulta ng pagsubok na may probabilidad na 0.9973. 3.17.
Ang isang bahagi na ginawa ng isang awtomatikong makina ay itinuturing na may sira kung ang paglihis X ng kinokontrol na parameter nito mula sa nominal na halaga ay lumampas sa modulo 2 mga yunit ng pagsukat. Ipinapalagay na ang random variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at σ(X)=0.7. Ilang porsyento ng mga may sira na bahagi ang ginagawa ng makina? 3.18.
Ang X parameter ng bahagi ay karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan sa matematika na 2 katumbas ng nominal na halaga at isang karaniwang paglihis na 0.014. Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng X mula sa nominal na halaga ay hindi lalampas sa 1% ng nominal na halaga. Mga sagot
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 para sa x≤-3, F(x)= kaliwa"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Pagpapakalat tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng Ox, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay: Layunin ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang malutas ang mga problema kung saan ang alinman density ng pamamahagi f(x) o distribution function F(x) (tingnan ang halimbawa). Kadalasan sa mga ganitong gawain kailangan mong hanapin mathematical expectation, standard deviation, plot functions f(x) at F(x). Mga tagubilin. Piliin ang uri ng source data: distribution density f(x) o distribution function F(x). Ang density ng pamamahagi f(x) ay ibinibigay: Ang distribution function na F(x) ay ibinigay: Ang tuluy-tuloy na random na variable ay tinukoy ng probability density Ang random variable X ay tinatawag tuloy-tuloy
, kung ang function ng pamamahagi nito F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Hanapin ang density ng pamamahagi ng kanilang kabuuan. Hanapin ang distribusyon ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable na x at h, kung saan ang x ay may pare-parehong distribusyon sa pagitan, at ang h ay may exponential distribution na may parameter na l. Hanapin si P 
, kung ang x ay may: a) normal na distribusyon na may mga parameter na a at s2; b) exponential distribution na may parameter l; c) pare-parehong pamamahagi sa segment [-1;1]. Ang pinagsamang pamamahagi ng x, h ay parisukat na uniporme
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Maghanap ng posibilidad 
. Independent ba ang x at h? Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng tatsulok na K=. Kalkulahin ang mga densidad x at h. Independyente ba ang mga random na variable na ito? Hanapin ang posibilidad. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at [-1,1]. Hanapin ang posibilidad. Ang dalawang-dimensional na random na variable (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa isang parisukat na may mga vertices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Hanapin ang halaga ng joint distribution function sa punto (1, -1). Ang isang random na vector (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang bilog na radius 3 na nakasentro sa pinanggalingan. Sumulat ng isang expression para sa joint distribution density. Tukuyin kung ang mga random na variable na ito ay umaasa. Kalkulahin ang posibilidad. Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang trapezoid na may mga vertices sa mga puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Hanapin ang pinagsamang density ng pamamahagi para sa pares na ito ng mga random na variable at ang density ng mga bahagi. Nakadepende ba ang x at h? Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng kalahating bilog. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Ang magkasanib na density ng dalawang random na variable na x at h ay katumbas ng 
.
Hanapin ang mga densidad x, h. Siyasatin ang tanong ng dependence ng x at h. Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa set. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Hanapin ang M(xh). Ang mga random na variable na x at h ay independyente at ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter na Find
.
ay hindi nakasalalay sa kung ang agwat na ito ay bukas o sarado, i.e.
at yunit para sa mga halaga 
.Para sa tuluy-tuloy na random variable
.
.
at unit para sa 
. Pantay-pantay ang daloy ng oras. Samakatuwid, ang posibilidad na ang totoong oras ay mas mababa A+ 0.5 min, katumbas ng 0.5, dahil pare-pareho ang posibilidad kung pumasa ito pagkatapos A wala pang kalahating minuto o higit pa. Ang posibilidad na ang totoong oras ay mas kaunti A+ 0.25 min, katumbas ng 0.25 (ang posibilidad ng oras na ito ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa posibilidad na ang totoong oras ay mas malaki A+ 0.25 min, at ang kanilang kabuuan ay katumbas ng isa, bilang ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan). Nangangatuwiran din, nakita namin na ang posibilidad na ang totoong oras ay mas kaunti A+ 0.6 min, katumbas ng 0.6. Sa pangkalahatan, ang posibilidad na ang totoong oras ay mas mababa A
+ + α
min 
, ay katumbas α
. Samakatuwid, ang tunay na function ng pamamahagi ng oras ay may sumusunod na expression:
on ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, at ang derivative nito ay tuloy-tuloy sa lahat ng punto, maliban sa dalawa: x = a At x = a+ 1. Ang graph ng function na ito ay mukhang (Larawan 8.3):
, ibig sabihin. 
. Function F(X) ay hindi bumababa: sa pagitan 
ito ay pare-pareho, katumbas ng zero, sa pagitan 
tumataas sa pagitan 
ay pare-pareho din, katumbas ng pagkakaisa (tingnan ang Fig. 8.4). Ang function ay tuloy-tuloy sa bawat punto X 0 lugar ng kahulugan nito - agwat 
, samakatuwid ay tuloy-tuloy sa kaliwa, i.e. pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay
,
.
,
.
natutugunan ang lahat ng katangiang katangian ng function ng pamamahagi. Kaya ang function na ito 
ay ang distribution function ng ilang random variable X.
ito ay bumababa at hindi tuloy-tuloy. Ang function graph ay ipinapakita sa Fig. 8.5.
.
,
.
sa punto 
,
.
.
mga hit ng isang random na variable X sa isang naibigay na panahon ay kinakalkula ng formula
.
. Hanapin ang distribution function ng random variable na ito.
,
.
.
, ay katumbas
Halimbawa 8.6. Probability density plot ng isang random variable X ipinapakita sa Fig. 8.6 (batas ni Simpson). Sumulat ng isang expression para sa probability density at ang distribution function ng random variable na ito.
, Iyon 
.
, Yung .
, Iyon
, Iyon
1.2.
p4=0.1; 0 sa x≤-1,
(Fig.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤a,
,
Ang normal na curve ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x=m, ay may maximum sa x=a, katumbas ng .
,
(Batas sa pamamahagi ng Rayleigh - ginagamit sa engineering ng radyo). Hanapin ang M(x) , D(x) .
Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ginagamit upang kalkulahin ang posibilidad ng isang random variable na bumabagsak sa isang naibigay na pagitan:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Bukod dito, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, hindi mahalaga kung ang mga hangganan nito ay kasama sa agwat na ito o hindi:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad ng pamamahagi
Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na function
f(x)=F’(x) , derivative ng distribution function.Mga katangian ng density ng pamamahagi
1. Ang density ng pamamahagi ng random variable ay hindi negatibo (f(x) ≥ 0) para sa lahat ng value ng x.
2. Kondisyon ng normalisasyon:
Ang geometric na kahulugan ng kondisyon ng normalisasyon: ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay katumbas ng pagkakaisa.
3. Maaaring kalkulahin ang posibilidad ng isang random variable X na bumabagsak sa pagitan mula α hanggang β gamit ang formula 
Sa geometriko, ang posibilidad ng isang tuluy-tuloy na random na variable X na bumabagsak sa pagitan (α, β) ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid sa ilalim ng distribution density curve batay sa interval na ito.
4. Ang distribution function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng density tulad ng sumusunod:
Ang halaga ng density ng pamamahagi sa punto x ay hindi katumbas ng posibilidad ng pagtanggap ng halagang ito; para sa isang tuluy-tuloy na random na variable maaari lamang nating pag-usapan ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat. hayaan )
