Bumuo tayo sa MS EXCEL agwat ng kumpiyansa upang tantiyahin ang ibig sabihin ng halaga ng pamamahagi sa kaso kilalang halaga mga pagkakaiba-iba.
Syempre ang pagpili antas ng pagtitiwala ganap na nakasalalay sa problemang nalulutas. Kaya, ang antas ng kumpiyansa ng isang pasahero sa hangin sa pagiging maaasahan ng isang eroplano ay dapat na walang alinlangan na mas mataas kaysa sa antas ng kumpiyansa ng isang mamimili sa pagiging maaasahan ng isang electric light bulb.
Pagbuo ng problema
Ipagpalagay natin na mula sa populasyon na kinuha sample laki n. Ito ay ipinapalagay na karaniwang lihis kilala ang pamamahagi na ito. Ito ay kinakailangan batay dito mga sample suriin ang hindi alam ibig sabihin ng pamamahagi(μ, ) at buuin ang katumbas may dalawang panig agwat ng kumpiyansa.
Pagtatantya ng punto
Tulad ng nalalaman mula sa mga istatistika(ipahiwatig natin ito X avg) ay walang pinapanigan na pagtatantya ng mean ito populasyon at may distribusyon na N(μ;σ 2 /n).
Tandaan: Ano ang gagawin kung kailangan mong magtayo agwat ng kumpiyansa sa kaso ng isang pamamahagi na ay hindi normal? Sa kasong ito, pagdating sa iligtas, na nagsasabi na may sapat na malaking sukat mga sample n mula sa pamamahagi hindi pagiging normal, sample na pamamahagi ng mga istatistika X avg kalooban humigit-kumulang tumutugma normal na pamamahagi may mga parameter na N(μ;σ 2 /n).
Kaya, pagtatantya ng punto karaniwan mga halaga ng pamamahagi mayroon kaming - ito sample ibig sabihin, ibig sabihin. X avg. Ngayon magsimula tayo agwat ng kumpiyansa.
Pagbuo ng agwat ng kumpiyansa
Karaniwan, alam ang distribusyon at ang mga parameter nito, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na ang random variable ay kukuha ng halaga mula sa pagitan na ating tinukoy. Ngayon gawin natin ang kabaligtaran: hanapin ang pagitan kung saan mahuhulog ang random variable na may ibinigay na posibilidad. Halimbawa, mula sa mga ari-arian normal na pamamahagi ito ay kilala na sa isang probabilidad ng 95%, isang random variable na ipinamamahagi sa ibabaw normal na batas, ay nasa hanay na humigit-kumulang +/- 2 mula average na halaga(tingnan ang artikulo tungkol sa). Ang agwat na ito ay magsisilbing prototype para sa atin agwat ng kumpiyansa.
Ngayon tingnan natin kung alam natin ang pamamahagi , upang kalkulahin ang agwat na ito? Upang masagot ang tanong, dapat nating ipahiwatig ang hugis ng pamamahagi at mga parameter nito.
Alam namin ang anyo ng pamamahagi - ito ay normal na pamamahagi (tandaan na pinag-uusapan natin sampling distribution mga istatistika X avg).
Ang parameter na μ ay hindi alam sa amin (kailangan lamang itong tantyahin gamit ang agwat ng kumpiyansa), ngunit mayroon kaming pagtatantya nito X avg, kinakalkula batay sa mga sample, na maaaring gamitin.
Pangalawang parameter - standard deviation ng sample mean isasaalang-alang namin itong kilala, ito ay katumbas ng σ/√n.
kasi hindi namin alam μ, pagkatapos ay bubuo kami ng interval +/- 2 standard deviations hindi galing average na halaga, at mula sa kilalang pagtatantya nito X avg. Yung. kapag nagkalkula agwat ng kumpiyansa HINDI namin ipagpalagay na X avg nasa loob ng range +/- 2 standard deviations mula sa μ na may posibilidad na 95%, at ipagpalagay namin na ang pagitan ay +/- 2 standard deviations mula sa X avg na may 95% na posibilidad na saklaw nito ang μ - average ng pangkalahatang populasyon, kung saan ito kinuha sample. Ang dalawang pahayag na ito ay katumbas, ngunit ang pangalawang pahayag ay nagpapahintulot sa amin na bumuo agwat ng kumpiyansa.
Bilang karagdagan, linawin natin ang pagitan: isang random na variable na ibinahagi sa ibabaw normal na batas, na may 95% na posibilidad ay nasa pagitan ng +/- 1.960 standard deviations, hindi +/- 2 standard deviations. Ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), cm. halimbawa ng file Sheet Interval.
Ngayon ay maaari na tayong bumuo ng isang probabilistikong pahayag na magsisilbi sa atin upang mabuo agwat ng kumpiyansa:
"Ang posibilidad na ibig sabihin ng populasyon matatagpuan mula sa sample average sa loob ng 1,960" standard deviations ng sample mean", katumbas ng 95%".
Ang halaga ng posibilidad na binanggit sa pahayag ay may espesyal na pangalan , na nauugnay sa antas ng kabuluhan α (alpha) sa pamamagitan ng isang simpleng expression antas ng tiwala =1 -α . Sa kaso natin lebel ng kahalagahan α =1-0,95=0,05 .
Ngayon, batay sa probabilistikong pahayag na ito, sumusulat kami ng isang expression para sa pagkalkula agwat ng kumpiyansa:
kung saan ang Z α/2 – pamantayan normal na pamamahagi(ang halagang ito ng random variable z, Ano P(z>=Z α/2 )=α/2).
Tandaan: Itaas na α/2-quantile tumutukoy sa lapad agwat ng kumpiyansa V standard deviations sample ibig sabihin. Itaas na α/2-quantile pamantayan normal na pamamahagi palaging mas malaki sa 0, na napaka-maginhawa.
Sa aming kaso, na may α=0.05, itaas na α/2-quantile katumbas ng 1.960. Para sa iba pang antas ng kahalagahan α (10%; 1%) itaas na α/2-quantile Z α/2 maaaring kalkulahin gamit ang formula =NORM.ST.REV(1-α/2) o, kung alam antas ng tiwala, =NORM.ST.OBR((1+trust level)/2).
Kadalasan kapag nagtatayo mga agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng mean gamitin lamang itaas na α/2-dami at huwag gamitin ibaba ang α/2-dami. Posible ito dahil pamantayan normal na pamamahagi simetriko tungkol sa x axis ( density ng pamamahagi nito simetriko tungkol sa average, i.e. 0). Samakatuwid, hindi na kailangang kalkulahin mas mababang α/2-quantile(tinatawag lang itong α /2-quantile), dahil ito ay katumbas itaas na α/2-dami na may minus sign.
Alalahanin natin na, sa kabila ng hugis ng distribusyon ng halagang x, ang kaukulang random variable X avg ipinamahagi humigit-kumulang ayos lang N(μ;σ 2 /n) (tingnan ang artikulo tungkol sa). Samakatuwid, sa pangkalahatang kaso, ang expression sa itaas para sa agwat ng kumpiyansa ay pagtatantya lamang. Kung ang halaga x ay ipinamahagi sa ibabaw normal na batas N(μ;σ 2 /n), pagkatapos ay ang expression para sa agwat ng kumpiyansa ay tumpak.
Pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa sa MS EXCEL
Solusyonan natin ang problema.
Ang oras ng pagtugon ng isang elektronikong bahagi sa isang input signal ay mahalagang katangian mga device. Nais ng isang inhinyero na bumuo ng agwat ng kumpiyansa para sa average na oras ng pagtugon sa antas ng kumpiyansa na 95%. Mula sa nakaraang karanasan, alam ng inhinyero na ang karaniwang paglihis ng oras ng pagtugon ay 8 ms. Ito ay kilala na upang suriin ang oras ng pagtugon, ang inhinyero ay gumawa ng 25 mga sukat, ang average na halaga ay 78 ms.
Solusyon: Gustong malaman ng engineer ang oras ng pagtugon elektronikong kagamitan, ngunit naiintindihan niya na ang oras ng pagtugon ay hindi isang nakapirming halaga, ngunit isang random na variable na may sariling pamamahagi. Kaya, ang pinakamahusay na maaari niyang asahan ay upang matukoy ang mga parameter at hugis ng pamamahagi na ito.
Sa kasamaang palad, mula sa mga kondisyon ng problema hindi namin alam ang hugis ng pamamahagi ng oras ng pagtugon (hindi ito kailangang maging normal). , hindi rin alam ang pamamahaging ito. Siya lang ang kilala karaniwang lihisσ=8. Samakatuwid, habang hindi namin makalkula ang mga probabilidad at bumuo agwat ng kumpiyansa.
Gayunpaman, sa kabila ng katotohanan na hindi namin alam ang pamamahagi oras hiwalay na tugon, alam namin na ayon sa CPT, sampling distribution average na oras ng pagtugon ay humigit-kumulang normal(Ipapalagay namin na ang mga kondisyon CPT ay isinasagawa, dahil laki mga sample medyo malaki (n=25)) .
Bukod dito, karaniwan ang pamamahagi na ito ay katumbas ng average na halaga pamamahagi ng iisang tugon, i.e. μ. A karaniwang lihis ng distribusyon na ito (σ/√n) ay maaaring kalkulahin gamit ang formula =8/ROOT(25) .
Nabatid din na nakatanggap ang engineer pagtatantya ng punto parameter μ katumbas ng 78 ms (X avg). Samakatuwid, ngayon maaari naming kalkulahin ang mga probabilidad, dahil alam natin ang anyo ng pamamahagi ( normal) at mga parameter nito (X avg at σ/√n).
Gustong malaman ng engineer inaasahang halaga μ mga pamamahagi ng oras ng pagtugon. Gaya ng nakasaad sa itaas, ang μ na ito ay katumbas ng mathematical expectation ng sample distribution ng average response time. Kung gagamitin natin normal na pamamahagi N(X avg; σ/√n), kung gayon ang nais na μ ay nasa hanay na +/-2*σ/√n na may posibilidad na humigit-kumulang 95%.
Lebel ng kahalagahan katumbas ng 1-0.95=0.05.
Panghuli, hanapin natin ang kaliwa at kanang hangganan agwat ng kumpiyansa.
Kaliwang hangganan: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) =
74,864
Kanang hangganan: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136
Kaliwang hangganan: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
kanang hangganan: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
Sagot: agwat ng kumpiyansa sa 95% na antas ng kumpiyansa at σ=8msec katumbas 78+/-3.136 ms.
SA halimbawa ng file sa Sigma sheet kilala, lumikha ng isang form para sa pagkalkula at pagtatayo may dalawang panig agwat ng kumpiyansa para sa arbitraryo mga sample na may ibinigay na σ at antas ng kahalagahan.
CONFIDENCE.NORM() function
Kung ang mga halaga mga sample ay nasa hanay B20:B79
, A lebel ng kahalagahan katumbas ng 0.05; pagkatapos ay ang MS EXCEL formula:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
ibabalik ang kaliwang hangganan agwat ng kumpiyansa.
Ang parehong limitasyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))
Tandaan: Ang CONFIDENCE.NORM() function ay lumabas sa MS EXCEL 2010. Sa mga naunang bersyon ng MS EXCEL, ang TRUST() function ay ginamit.
Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika - ito ay isang agwat na kinakalkula mula sa data na, na may kilalang probabilidad, ay naglalaman ng mathematical na inaasahan ng pangkalahatang populasyon. Ang natural na pagtatantya para sa mathematical na inaasahan ay ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga nito. Samakatuwid, sa buong aralin ay gagamitin natin ang mga katagang "average" at "average na halaga". Sa mga problema sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa, ang isang sagot na kadalasang kinakailangan ay tulad ng "Ang agwat ng kumpiyansa ng average na numero [halaga sa isang partikular na problema] ay mula sa [mas maliit na halaga] hanggang sa [mas malaking halaga]." Gamit ang isang agwat ng kumpiyansa, maaari mong suriin hindi lamang ang mga average na halaga, kundi pati na rin ang proporsyon ng isang partikular na katangian ng pangkalahatang populasyon. Ang mga average na halaga, dispersion, standard deviation at error, kung saan makakarating tayo sa mga bagong kahulugan at formula, ay tinalakay sa aralin Mga katangian ng sample at populasyon .
Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng mean
Kung ang average na halaga ng populasyon ay tinatantya ng isang numero (punto), kung gayon ang isang tiyak na average, na kinakalkula mula sa isang sample ng mga obserbasyon, ay kinuha bilang isang pagtatantya ng hindi kilalang average na halaga ng populasyon. Sa kasong ito, ang halaga ng sample mean - isang random na variable - ay hindi tumutugma sa mean na halaga ng pangkalahatang populasyon. Samakatuwid, kapag ipinapahiwatig ang ibig sabihin ng sample, dapat mong sabay na ipahiwatig ang error sa sampling. Ang sukat ng error sa sampling ay ang karaniwang error, na ipinahayag sa parehong mga yunit bilang ang ibig sabihin. Samakatuwid, ang sumusunod na notasyon ay kadalasang ginagamit: .
Kung ang pagtatantya ng average ay kailangang maiugnay sa isang tiyak na posibilidad, kung gayon ang parameter ng interes sa populasyon ay dapat na tasahin hindi sa pamamagitan ng isang numero, ngunit sa pamamagitan ng isang pagitan. Ang agwat ng kumpiyansa ay isang agwat kung saan, na may tiyak na posibilidad P matatagpuan ang halaga ng tinantyang indicator ng populasyon. Ang pagitan ng kumpiyansa kung saan ito ay malamang P = 1 - α ang random na variable ay matatagpuan, kinakalkula tulad ng sumusunod:
,
α = 1 - P, na makikita sa apendiks sa halos anumang aklat sa mga istatistika.
Sa pagsasagawa, hindi alam ang ibig sabihin at pagkakaiba ng populasyon, kaya ang pagkakaiba ng populasyon ay pinapalitan ng sample na variance, at ang ibig sabihin ng populasyon ng sample mean. Kaya, ang agwat ng kumpiyansa sa karamihan ng mga kaso ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
.
Ang formula ng confidence interval ay maaaring gamitin upang tantyahin ang ibig sabihin ng populasyon kung
- ang karaniwang paglihis ng populasyon ay kilala;
- o ang karaniwang paglihis ng populasyon ay hindi alam, ngunit ang laki ng sample ay higit sa 30.
Ang sample mean ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng average ng populasyon. Sa turn, ang sample variance 
ay hindi isang walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon. Upang makakuha ng walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon sa sample na formula ng pagkakaiba, laki ng sample n dapat palitan ng n-1.
Halimbawa 1. Ang impormasyon ay nakolekta mula sa 100 random na napiling mga cafe sa isang tiyak na lungsod na ang average na bilang ng mga empleyado sa kanila ay 10.5 na may karaniwang paglihis na 4.6. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa bilang ng mga empleyado ng cafe.
nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .
Kaya, ang 95% confidence interval para sa average na bilang ng mga empleyado ng cafe ay mula 9.6 hanggang 11.4.
Halimbawa 2. Para sa isang random na sample mula sa isang populasyon ng 64 na mga obserbasyon, ang mga sumusunod na kabuuang halaga ay kinakalkula:
kabuuan ng mga halaga sa mga obserbasyon,
kabuuan ng mga squared deviations ng mga halaga mula sa average 
.
Kalkulahin ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika.
Kalkulahin natin ang karaniwang paglihis:
,
Kalkulahin natin ang average na halaga:
.
Pinapalitan namin ang mga halaga sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:
nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .
Nakukuha namin:
Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan ng matematika ng sample na ito ay mula 7.484 hanggang 11.266.
Halimbawa 3. Para sa random na sample ng populasyon ng 100 obserbasyon, ang kinakalkula na mean ay 15.2 at ang standard deviation ay 3.2. Kalkulahin ang 95% confidence interval para sa inaasahang halaga, pagkatapos ay ang 99% confidence interval. Kung ang sample power at ang variation nito ay mananatiling hindi nagbabago at ang confidence coefficient ay tumaas, magpapaliit ba o lalawak ang confidence interval?
Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:
nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .
Nakukuha namin:
.
Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.57 hanggang 15.82.
Muli naming pinapalitan ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:
nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,01 .
Nakukuha namin:
.
Kaya, ang 99% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.37 hanggang 16.02.
Tulad ng nakikita natin, habang tumataas ang koepisyent ng kumpiyansa, tumataas din ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon, at, dahil dito, ang mga panimulang punto at pagtatapos ng pagitan ay matatagpuan sa malayo mula sa mean, at sa gayon ang agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika ay tumataas. .
Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng tiyak na gravity
Ang bahagi ng ilang sample na katangian ay maaaring bigyang-kahulugan bilang pagtatantya ng punto tiyak na gravity p ng parehong katangian sa pangkalahatang populasyon. Kung ang value na ito ay kailangang iugnay sa probabilidad, dapat kalkulahin ang confidence interval ng specific gravity p katangian sa populasyon na may posibilidad P = 1 - α :
.
Halimbawa 4. Sa ilang lungsod mayroong dalawang kandidato A At B tumatakbong mayor. Ang 200 residente ng lungsod ay random na na-survey, kung saan 46% ang tumugon na iboboto nila ang kandidato A, 26% - para sa kandidato B at 28% ang hindi alam kung sino ang kanilang iboboto. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa proporsyon ng mga residente ng lungsod na sumusuporta sa kandidato A.
Upang magsimula, alalahanin natin ang sumusunod na kahulugan:
Isaalang-alang natin ang sumusunod na sitwasyon. Hayaang magkaroon ng normal na distribusyon ang mga variant ng populasyon na may mathematical expectation na $a$ at standard deviation $\sigma$. Sample mean sa sa kasong ito ay ituturing bilang isang random na variable. Kapag ang dami na $X$ ay normal na naipamahagi, ang sample mean ay normal ding ipapamahagi kasama ang mga parameter
Maghanap tayo ng confidence interval na sumasaklaw sa value na $a$ na may reliability na $\gamma $.
Para magawa ito, kailangan natin ang pagkakapantay-pantay
Mula dito nakukuha natin
Mula dito madali nating mahahanap ang $t$ mula sa talahanayan ng mga halaga ng function $Ф\left(t\right)$ at, bilang resulta, hanapin ang $\delta $.
Alalahanin natin ang talahanayan ng mga halaga ng function na $Ф\left(t\right)$:
Figure 1. Talaan ng mga halaga ng function $Ф\left(t\right).$
Mahalaga ang kumpiyansa para sa pagtatantya ng inaasahan sa matematika para sa hindi kilalang $(\mathbf \sigma )$
Sa kasong ito, gagamitin namin ang itinamang halaga ng variance na $S^2$. Ang pagpapalit ng $\sigma $ ng $S$ sa formula sa itaas, makuha namin ang:
Mga halimbawang problema para sa paghahanap ng agwat ng kumpiyansa
Halimbawa 1
Hayaang ang dami na $X$ ay may normal na distribusyon na may variance $\sigma =4$. Hayaang ang laki ng sample ay $n=64$ at ang pagiging maaasahan ay $\gamma =0.95$. Hanapin ang agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng inaasahan sa matematika ng distribusyon na ito.
Kailangan nating hanapin ang pagitan ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.
Tulad ng nakita natin sa itaas
\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]
Ang parameter na $t$ ay makikita mula sa formula
\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]
Mula sa Talahanayan 1 makikita natin na $t=1.96$.
Hayaang bumuo ang CB X ng pangkalahatang populasyon at hayaang ang β ay ang hindi kilalang parameter CB X. Kung pare-pareho ang istatistikal na pagtatantya sa *, kung gayon mas malaki ang sukat ng sample, mas tumpak na makuha natin ang halaga ng β. Gayunpaman, sa pagsasagawa, wala kaming napakalaking sample, kaya hindi namin magagarantiya ang higit na katumpakan.
Hayaang ang b* ay isang istatistikal na pagtatantya para sa c. Halaga |in* - in| ay tinatawag na katumpakan ng pagtatantya. Malinaw na ang katumpakan ay CB, dahil ang β* ay isang random na variable. Tukuyin natin ang isang maliit na positibong numero 8 at hinihiling na ang katumpakan ng pagtatantya |в* - в| ay mas mababa sa 8, ibig sabihin. | sa* - sa |< 8.
Pagiging maaasahan g o posibilidad ng kumpiyansa ang mga pagtatantya sa by in * ay ang probabilidad g kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay |in * - in|< 8, т. е.
Karaniwan, ang pagiging maaasahan ng g ay tinukoy nang maaga, at ang g ay itinuturing na isang numerong malapit sa 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...).
Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay |sa * - sa|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:
Ang interval (sa * - 8, sa * + 5) ay tinatawag na confidence interval, ibig sabihin, ang confidence interval ay sumasaklaw sa hindi alam na parameter sa may probability y. Tandaan na ang mga dulo ng agwat ng kumpiyansa ay random at nag-iiba mula sa sample hanggang sa sample, kaya mas tumpak na sabihin na ang agwat (sa * - 8, sa * + 8) ay sumasaklaw sa hindi kilalang parameter sa, sa halip na sa ay kabilang dito. pagitan.
Hayaan populasyon ay ibinibigay ng isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa isang normal na batas, at ang standard deviation a ay kilala. Ang hindi alam ay ang matematikal na inaasahan a = M (X). Kinakailangang hanapin ang agwat ng kumpiyansa para sa a para sa isang naibigay na pagiging maaasahan y.
Sample ibig sabihin
ay isang istatistikal na pagtatantya para sa xr = a.
Teorama. Random na halaga Ang xB ay may normal na distribusyon kung ang X ay may normal na distribusyon at M(XB) = a,
A (XB) = a, kung saan a = y/B (X), a = M (X). l/i
Ang agwat ng kumpiyansa para sa a ay may anyo:
Nahanap namin ang 8.
Gamit ang ratio
kung saan ang Ф(r) ay ang Laplace function, mayroon kaming:
P ( | XB - isang |<8} = 2Ф
talahanayan ng mga halaga ng Laplace function na nakita namin ang halaga ng t.
Ang pagkakaroon ng itinalaga
T, nakukuha natin ang F(t) = g Dahil ang g ay ibinigay, pagkatapos ay sa pamamagitan ng
Mula sa pagkakapantay-pantay nalaman namin na ang pagtatantya ay tumpak.
Nangangahulugan ito na ang agwat ng kumpiyansa para sa isang ay may anyo:
Ibinigay ang isang sample mula sa populasyon X
| ng | kay" | X2 | Xm |
| n. | n1 | n2 | nm |
n = U1 + ... + nm, kung gayon ang pagitan ng kumpiyansa ay magiging:
Halimbawa 6.35. Hanapin ang agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng mathematical expectation a ng normal na distribution na may reliability na 0.95, alam ang sample mean Xb = 10.43, sample size n = 100 at standard deviation s = 5.
Gamitin natin ang formula
Hayaang maipamahagi nang normal ang random variable X ng populasyon, na isinasaalang-alang na alam ang variance at standard deviation s ng distribution na ito. Kinakailangang tantyahin ang hindi alam na inaasahan sa matematika gamit ang sample mean. Sa kasong ito, bumababa ang gawain sa paghahanap ng agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika na may pagiging maaasahan b. Kung tinukoy mo ang halaga ng probabilidad ng kumpiyansa (pagiging maaasahan) b, makikita mo ang posibilidad na mahulog sa pagitan para sa hindi kilalang inaasahan sa matematika gamit ang formula (6.9a):
kung saan ang Ф(t) ay ang Laplace function (5.17a).
Bilang resulta, maaari tayong bumuo ng isang algorithm para sa paghahanap ng mga hangganan ng agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika kung ang pagkakaiba D = s 2 ay kilala:
- Itakda ang halaga ng pagiging maaasahan – b.
- Mula sa (6.14) ipahayag ang Ф(t) = 0.5× b. Piliin ang halaga ng t mula sa talahanayan para sa Laplace function batay sa halaga Ф(t) (tingnan ang Appendix 1).
- Kalkulahin ang deviation e gamit ang formula (6.10).
- Isulat ang pagitan ng kumpiyansa gamit ang formula (6.12) na may posibilidad na b ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
|
|
.Halimbawa 5.
Ang random variable X ay may normal na distribusyon. Maghanap ng mga agwat ng kumpiyansa para sa isang pagtatantya na may pagiging maaasahan b = 0.96 ng hindi alam na inaasahan sa matematika a, kung ibinigay:
1) pangkalahatang karaniwang paglihis s = 5;
2) sample average;
3) laki ng sample n = 49.
Sa formula (6.15) ng pagtatantya ng pagitan ng inaasahan sa matematika A may pagiging maaasahan b lahat ng dami maliban sa t ay kilala. Ang halaga ng t ay matatagpuan gamit ang (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.
Gamit ang talahanayan sa Appendix 1 para sa Laplace function na Ф(t) = 0.48, hanapin ang katumbas na halaga t = 2.06. Kaya naman, 
. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng kinakalkula na halaga ng e sa formula (6.12), maaari kang makakuha ng agwat ng kumpiyansa: 30-1.47< a < 30+1,47.
Ang kinakailangang agwat ng kumpiyansa para sa isang pagtatantya na may pagiging maaasahan b = 0.96 ng hindi alam na inaasahan sa matematika ay katumbas ng: 28.53< a < 31,47.
