Pagtatantya ng punto at mga katangian nito. Pagtataya ng mathematical na inaasahan ng isang random na variable

s x =(1.11)

Isasaalang-alang pa natin ang isang mahalagang problema para sa pag-aaral ng isang nakikitang random variable. Magkaroon ng ilang sample (ituturing namin ito S) random variable X. Kinakailangang tantiyahin mula sa magagamit na sample hindi kilalang mga halaga m x At .

Ang teorya ng mga pagtatantya ng iba't ibang mga parameter ay sumasakop mga istatistika ng matematika makabuluhang lugar. Samakatuwid, isaalang-alang muna natin karaniwang gawain. Hayaang kailanganin na tantyahin ang ilang parameter a sa pamamagitan ng sample S. Ang bawat naturang pagtatasa a* ay ilang function a*=a*(S) mula sa mga sample na halaga. Ang mga sample na halaga ay random, samakatuwid ang pagtatantya mismo a* ay isang random na variable. Posibleng magtayo ng marami iba't ibang mga pagtatantya(ibig sabihin, mga function) a*, ngunit sa parehong oras ito ay kanais-nais na magkaroon ng isang "mabuti" o kahit na "pinakamahusay", sa isang kahulugan, pagtatasa. Ang sumusunod na tatlong natural na pangangailangan ay karaniwang ipinapataw sa mga pagtatasa.

1. Hindi nalipat. Pag-asa sa matematika ng pagtatasa a* dapat katumbas ng eksaktong halaga ng parameter: M = a. Sa madaling salita, ang iskor a* hindi dapat magkaroon ng sistematikong pagkakamali.

2. Kayamanan. Sa isang walang katapusang pagtaas sa laki ng sample, ang pagtatantya a* ay dapat magtagpo sa isang eksaktong halaga, iyon ay, habang ang bilang ng mga obserbasyon ay tumataas, ang error sa pagtatantya ay nagiging zero.

3. Kahusayan. Grade a* ay tinatawag na mahusay kung ito ay walang kinikilingan at may pinakamaliit na posibleng pagkakaiba-iba ng error. Sa kasong ito, ang pagkalat ng mga pagtatantya ay minimal a* kaugnay sa eksaktong halaga at ang pagtatantya ay sa isang tiyak na kahulugan "ang pinakatumpak".

Sa kasamaang palad, hindi laging posible na bumuo ng isang pagtatasa na nakakatugon sa lahat ng tatlong kinakailangan nang sabay-sabay.

Upang matantya ang inaasahan sa matematika, ang pagtatantya ay kadalasang ginagamit.

= , (1.12)

ibig sabihin, ang arithmetic mean ng sample. Kung ang random variable X may hangganan m x At s x, pagkatapos ay ang pagtatantya (1.12) ay hindi bias at pare-pareho. Ang pagtatantya na ito ay epektibo, halimbawa, kung X ay may normal na distribusyon (Figure 1.4, Appendix 1). Para sa iba pang mga pamamahagi, maaaring hindi ito epektibo. Halimbawa, sa kaso ng pare-parehong pamamahagi (Figure 1.1, Appendix 1), ang isang walang pinapanigan, pare-parehong pagtatantya ay

(1.13)

Kasabay nito, ang pagtatantya (1.13) para sa normal na distribusyon ay hindi magiging pare-pareho o epektibo, at lalala pa sa pagtaas ng laki ng sample.

Kaya, para sa bawat uri ng pamamahagi ng isang random na variable X dapat mong gamitin ang iyong pagtatantya ng inaasahan sa matematika. Gayunpaman, sa aming sitwasyon, ang uri ng pamamahagi ay maaari lamang malaman nang pansamantala. Samakatuwid, gagamitin namin ang pagtatantya (1.12), na medyo simple at may pinakamaraming mahahalagang katangian walang kinikilingan at pagkakapare-pareho.

Upang tantyahin ang mathematical na inaasahan para sa isang nakapangkat na sample, ang sumusunod na formula ay ginagamit:

= , (1.14)

na maaaring makuha mula sa nauna, kung isasaalang-alang natin ang lahat m i mga sample na halaga na kasama sa i-ika agwat na katumbas ng kinatawan z i agwat na ito. Ang pagtatantya na ito ay natural na mas magaspang, ngunit nangangailangan ng makabuluhang mas kaunting pag-compute, lalo na sa isang malaking sukat ng sample.

Ang pinakakaraniwang ginagamit na pagtatantya upang tantyahin ang pagkakaiba ay:

= , (1.15)

Ang pagtatantya na ito ay hindi bias at wasto para sa anumang random na variable X, pagkakaroon ng may hangganang mga sandali hanggang sa ikaapat na pagkakasunod-sunod kasama.

Sa kaso ng isang nakapangkat na sample, ang ginamit na pagtatantya ay:

= (1.16)

Ang mga pagtatantya (1.14) at (1.16), bilang isang panuntunan, ay may kinikilingan at hindi mapanindigan, dahil ang kanilang mga inaasahan sa matematika at ang mga limitasyon kung saan sila nagtatagpo ay naiiba sa m x at dahil sa pagpapalit ng lahat ng sample value na kasama sa i-ika na pagitan, bawat kinatawan ng pagitan z i.

Tandaan na para sa malaki n, koepisyent n/(n – 1) sa mga expression (1.15) at (1.16) ay malapit sa pagkakaisa, kaya maaari itong alisin.

Mga pagtatantya sa pagitan.

Hayaan eksaktong halaga ang ilang parameter ay katumbas ng a at ang pagtatantya nito ay natagpuan a*(S) sa pamamagitan ng sample S. Pagsusuri a* tumutugma sa isang punto sa numerical axis (Larawan 1.5), kaya tinawag ang pagtatantya na ito punto. Ang lahat ng mga pagtatantya na tinalakay sa nakaraang talata ay mga pagtatantya ng punto. Halos palagi, dahil sa pagkakataon

a* ¹ a, at maaari lamang tayong umasa na ang punto a* ay nasa malapit na lugar a. Ngunit gaano kalapit? Anumang iba pang pagtatantya ng punto ay magkakaroon ng parehong sagabal - ang kakulangan ng sukatan ng pagiging maaasahan ng resulta.

Fig.1.5. Pagtatantya ng parameter ng punto.

Mas tiyak sa bagay na ito ay mga pagtatantya ng pagitan. Ang marka ng pagitan ay kumakatawan sa isang pagitan I b = (a , b), kung saan matatagpuan ang eksaktong halaga ng tinantyang parameter na may ibinigay na posibilidad b. Pagitan ako b tinawag agwat ng kumpiyansa, at ang posibilidad b tinawag posibilidad ng kumpiyansa at maaaring ituring bilang pagiging maaasahan ng pagtatasa.

Ang agwat ng kumpiyansa ay batay sa magagamit na sample S, ito ay random sa kahulugan na ang mga hangganan nito ay random a(S) At b(S), na kakalkulahin namin mula sa isang (random) na sample. kaya lang b may posibilidad na ang random interval ako b sasaklawin ang isang hindi random na punto a. Sa Fig. 1.6. pagitan ako b sakop ang punto a, A Ib*- Hindi. Samakatuwid, hindi ganap na tama na sabihin iyon isang" bumagsak" sa pagitan.

Kung ang posibilidad ng kumpiyansa b malaki (halimbawa, b = 0.999), pagkatapos ay halos palaging ang eksaktong halaga a ay nasa loob ng constructed interval.

Fig.1.6. Mga agwat ng kumpiyansa ng parameter a para sa iba't ibang sample.

Isaalang-alang natin ang paraan ng pagtatayo agwat ng kumpiyansa para sa mathematical na inaasahan ng isang random variable X, batay sa Central limit theorem.

Hayaan ang random variable X ay may hindi alam na inaasahan sa matematika m x At kilalang pagkakaiba-iba. Pagkatapos, sa bisa ng central limit theorem, ang arithmetic mean ay:

= , (1.17)

resulta n mga independiyenteng pagsusulit dami X ay isang random na variable na ang distribusyon sa pangkalahatan n, malapit sa normal na pamamahagi na may katamtaman m x at karaniwang paglihis. Samakatuwid ang random variable

(1.18)

ay may probability distribution na maaaring isaalang-alang karaniwang normal na may density ng pamamahagi j(t), ang graph kung saan ay ipinapakita sa Fig. 1.7 (pati na rin sa Fig. 1.4, Appendix 1).

Fig.1.7. Probability density distribution ng isang random variable t.

Hayaang ibigay ang posibilidad ng kumpiyansa b At t b - numero na nagbibigay-kasiyahan sa equation

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

saan - Pag-andar ng Laplace. Pagkatapos ang posibilidad na mahulog sa pagitan (-t b , t b) ay magiging katumbas ng may kulay sa Fig. 1.7. lugar, at, sa bisa ng pagpapahayag (1.19), ay katumbas ng b. Kaya naman

b = P(-t b< < t b) = P( –tb< m x < + t b ) =

= P( –tb< m x < + t b).(1.20)

Kaya, bilang isang agwat ng kumpiyansa maaari nating kunin ang agwat

ako b = ( – t b ; +tb ) , (1.21)

dahil ang expression (1.20) ay nangangahulugan na ang hindi kilalang eksaktong halaga m x ay nasa ako b na may ibinigay na posibilidad ng kumpiyansa b. Para sa gusali ako b kailangan ayon sa tinukoy b hanapin t b mula sa equation (1.19). Magbigay tayo ng ilang halaga t b kailangan sa hinaharap :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3.

Kapag kumukuha ng expression (1.21), ipinapalagay na ang eksaktong halaga ng standard deviation ay kilala s x. Gayunpaman, hindi ito palaging kilala. Samakatuwid, gamitin natin ang kanyang pagtatantya (1.15) at makuha ang:

ako b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Alinsunod dito, ang mga pagtatantya ng at nakuha mula sa nakapangkat na sample ay nagbibigay ng sumusunod na formula para sa agwat ng kumpiyansa:

ako b = ( – t b ; +tb). (1.23)

LAYUNIN NG LECTURE: ipakilala ang konsepto ng pagtantya ng hindi kilalang parameter ng pamamahagi at magbigay ng klasipikasyon ng mga naturang pagtatantya; kumuha ng punto at pagitan ng mga pagtatantya ng matematikal na inaasahan at pagpapakalat.

Sa pagsasagawa, sa karamihan ng mga kaso, ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay hindi alam, at ayon sa mga resulta ng mga obserbasyon
kinakailangang tantiyahin ang mga numerical na katangian (halimbawa, mathematical expectation, dispersion o iba pang mga sandali) o isang hindi kilalang parameter , na tumutukoy sa batas ng pamamahagi (densidad ng pamamahagi)
random variable na pinag-aaralan. Kaya, para sa isang exponential distribution o isang Poisson distribution, ito ay sapat na upang tantyahin ang isang parameter, ngunit para sa isang normal na distribution, dalawang mga parameter ay dapat na tantyahin - ang matematikal na inaasahan at ang pagkakaiba.

Mga uri ng pagtatasa

Random na halaga
may probability density
, Saan – hindi kilalang parameter ng pamamahagi. Bilang resulta ng eksperimento, nakuha ang mga halaga ng random variable na ito:
. Upang gumawa ng isang pagtatasa ay mahalagang nangangahulugan na ang mga sample na halaga ng isang random na variable ay dapat na nauugnay sa isang tiyak na halaga ng parameter , ibig sabihin, lumikha ng ilang function ng mga resulta ng pagmamasid
, ang halaga nito ay kinuha bilang isang pagtatantya parameter . Index ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga eksperimento na isinagawa.

Ang anumang function na nakasalalay sa mga resulta ng mga obserbasyon ay tinatawag mga istatistika. Dahil ang mga resulta ng mga obserbasyon ay mga random na variable, ang mga istatistika ay magiging isang random variable din. Samakatuwid, ang pagtatasa
hindi kilalang parameter dapat ituring bilang isang random na variable, at ang halaga nito, na kinakalkula mula sa pang-eksperimentong data sa dami , – bilang isa sa mga posibleng halaga ng random variable na ito.

Ang mga pagtatantya ng mga parameter ng pamamahagi (numerical na katangian ng isang random na variable) ay nahahati sa punto at pagitan. Pagtatantya ng punto parameter tinutukoy ng isang numero , at ang katumpakan nito ay nailalarawan sa pagkakaiba-iba ng pagtatantya. Pagtatantya ng pagitan tinatawag na marka na tinutukoy ng dalawang numero, At – mga dulo ng agwat na sumasaklaw sa tinantyang parameter na may ibinigay na posibilidad ng kumpiyansa.

Pag-uuri ng mga pagtatantya ng punto

Para sa pagtatantya ng punto ng hindi kilalang parameter
pinakamahusay sa mga tuntunin ng katumpakan, dapat itong pare-pareho, walang kinikilingan at mahusay.

Mayaman tinatawag na pagtatasa
parameter , kung ito ay nagtatagpo sa posibilidad sa tinantyang parameter, i.e.

. (8.8)

Batay sa hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev, maipapakita iyon sapat na kondisyon ang katuparan ng kaugnayan (8.8) ay ang pagkakapantay-pantay

.

Ang pagkakapare-pareho ay isang asymptotic na katangian ng pagtatantya sa
.

Walang pinapanigan tinatawag na pagtatasa
(pagtantiya nang walang sistematikong error), ang inaasahan sa matematika na katumbas ng tinantyang parameter, i.e.

. (8.9)

Kung ang pagkakapantay-pantay (8.9) ay hindi nasiyahan, kung gayon ang pagtatantya ay tinatawag na bias. Pagkakaiba
tinatawag na bias o sistematikong pagkakamali sa pagtatantya. Kung ang pagkakapantay-pantay (8.9) ay nasiyahan lamang para sa
, kung gayon ang katumbas na pagtatantya ay tinatawag na asymptotically unbiased.

Dapat tandaan na kung ang pagkakapare-pareho ay isang halos ipinag-uutos na kondisyon para sa lahat ng mga pagtatantya na ginagamit sa pagsasanay (ang hindi pare-parehong mga pagtatantya ay bihirang ginagamit), kung gayon ang pag-aari ng walang kinikilingan ay kanais-nais lamang. Maraming madalas na ginagamit na mga pagtatantya ang walang hindi pinapanigan na ari-arian.

SA pangkalahatang kaso katumpakan ng pagtatantya ng ilang parameter , nakuha batay sa pang-eksperimentong data
, na nailalarawan sa pamamagitan ng mean squared error

,

na maaaring bawasan sa anyo

,

nasaan ang pagkakaiba,
– squared estimate bias.

Kung ang pagtatantya ay walang kinikilingan, kung gayon

Sa may hangganan maaaring mag-iba ang mga pagtatantya sa pamamagitan ng mean squared error . Naturally, mas maliit ang error na ito, mas malapit ang mga halaga ng pagtatasa ay pinagsama-sama sa tinantyang parameter. Samakatuwid, palaging kanais-nais na ang error sa pagtatantya ay maliit hangga't maaari, ibig sabihin, ang kondisyon ay nasiyahan.

. (8.10)

Pagsusuri , kasiya-siyang kondisyon (8.10), ay tinatawag na pagtatantya na may pinakamababang error sa squared.

Epektibo tinatawag na pagtatasa
, kung saan ang mean squared error ay hindi mas malaki kaysa sa mean squared error ng anumang iba pang pagtatantya, i.e.

saan - anumang iba pang pagtatantya ng parameter .

Ito ay kilala na ang pagkakaiba-iba ng anumang walang pinapanigan na pagtatantya ng isang parameter natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay ng Cramer–Rao

,

saan
– conditional probability density distribution ng mga nakuhang halaga ng random variable sa totoong halaga ng parameter .

Kaya, ang walang pinapanigan na pagtatantya
, kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ng Cramer–Rao ay magiging mabisa, ibig sabihin, ang naturang pagtatantya ay may kaunting pagkakaiba.

Mga pagtatantya ng punto ng inaasahan at pagkakaiba

Kung ang isang random na variable ay isinasaalang-alang
, na may mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba , kung gayon ang parehong mga parameter na ito ay itinuturing na hindi alam. Samakatuwid, sa isang random na variable
ginawa mga independiyenteng eksperimento na nagbibigay ng mga resulta:
. Kinakailangang makahanap ng pare-pareho at walang pinapanigan na mga pagtatantya ng hindi kilalang mga parameter At .

Bilang mga pagtatantya At Karaniwan ang statistical (sample) mean at statistical (sample) variance ay pinili ayon sa pagkakabanggit:

; (8.11)

. (8.12)

Ang pagtatantya ng inaasahan sa matematika (8.11) ay pare-pareho ayon sa batas ng malalaking numero (theorem ni Chebyshev):

.

Pag-asa ng isang random na variable

.

Samakatuwid, ang pagtatantya ay walang kinikilingan.

Pagkalat ng pagtatantya ng inaasahan sa matematika:

Kung ang random variable
ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas, pagkatapos ay ang pagtatantya ay epektibo rin.

Inaasahan ng variance estimate

Sa parehong oras

.

kasi
, A
, pagkatapos makuha namin

. (8.13)

kaya,
– isang bias na pagtatasa, bagama't ito ay pare-pareho at epektibo.

Mula sa formula (8.13) ito ay sumusunod na upang makakuha ng isang walang pinapanigan na pagtatantya
ang sample na pagkakaiba-iba (8.12) ay dapat mabago tulad ng sumusunod:

na itinuturing na "mas mahusay" kumpara sa pagtatantya (8.12), bagaman sa pangkalahatan ang mga pagtatantya na ito ay halos katumbas ng bawat isa.

Mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga pagtatantya ng mga parameter ng pamamahagi

Kadalasan sa pagsasanay, batay sa isang pagsusuri ng pisikal na mekanismo na bumubuo ng random na variable
, maaari tayong gumawa ng konklusyon tungkol sa batas ng pamamahagi ng random variable na ito. Gayunpaman, ang mga parameter ng distribusyon na ito ay hindi alam at dapat na tantyahin mula sa mga pang-eksperimentong resulta, kadalasang ipinapakita sa anyo ng isang may hangganang sample
. Upang malutas ang problemang ito, dalawang pamamaraan ang madalas na ginagamit: ang paraan ng mga sandali at ang maximum na paraan ng posibilidad.

Paraan ng mga sandali. Ang pamamaraan ay binubuo sa pagtutumbas ng mga teoretikal na sandali sa kaukulang mga empirikal na sandali ng parehong pagkakasunud-sunod.

Empirical na panimulang punto -th order ay tinutukoy ng mga formula:

,

at ang kaukulang teoretikal na mga paunang sandali -ika-utos – mga formula:

para sa mga discrete random variable,

para sa tuluy-tuloy na random variable,

saan – tinantyang parameter ng pamamahagi.

Upang makakuha ng mga pagtatantya ng mga parameter ng isang distribusyon na naglalaman ng dalawang hindi kilalang parameter At , isang sistema ng dalawang equation ay pinagsama-sama

saan At – teoretikal at empirikal na mga sentral na sandali ng ikalawang pagkakasunud-sunod.

Ang solusyon sa sistema ng mga equation ay ang mga pagtatantya At hindi kilalang mga parameter ng pamamahagi At .

Pagtutumbas ng teoretikal at empirikal na mga paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod, nakukuha natin iyon sa pamamagitan ng pagtantya sa inaasahan ng matematika ng isang random na variable.
, pagkakaroon ng di-makatwirang pamamahagi, ang magiging sample mean, i.e.
. Pagkatapos, itinutumbas ang teoretikal at empirikal na mga sentral na sandali ng pangalawang pagkakasunud-sunod, nakuha namin na ang pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng random na variable
, na may arbitrary na pamamahagi, ay tinutukoy ng formula

.

Sa katulad na paraan, makakahanap ng mga pagtatantya ng mga teoretikal na sandali ng anumang pagkakasunud-sunod.

Ang paraan ng mga sandali ay simple at hindi nangangailangan ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit ang mga pagtatantya na nakuha ng pamamaraang ito ay madalas na hindi epektibo.

Pinakamataas na paraan ng posibilidad. Ang maximum na posibilidad na paraan ng pagtatantya ng punto ng hindi kilalang mga parameter ng pamamahagi ay binabawasan upang mahanap ang maximum ng function ng isa o higit pang mga tinantyang parameter.

Hayaan
ay isang tuluy-tuloy na random variable, na bilang isang resulta ang mga pagsubok ay kumuha ng mga halaga
. Upang makakuha ng isang pagtatantya ng isang hindi kilalang parameter ito ay kinakailangan upang mahanap ang ganoong halaga , kung saan ang posibilidad ng pagpapatupad ng resultang sample ay magiging maximum. kasi
kumakatawan sa magkaparehong independiyenteng dami na may parehong probability density
, Iyon function ng posibilidad tawagan ang argument function :

Sa pamamagitan ng maximum na posibilidad na pagtatantya ng parameter ang halagang ito ay tinatawag , kung saan ang paggana ng posibilidad ay umabot sa maximum, ibig sabihin, ay isang solusyon sa equation

,

na malinaw na nakasalalay sa mga resulta ng pagsusulit
.

Dahil ang mga pag-andar
At
maabot ang maximum sa parehong mga halaga
, pagkatapos ay upang gawing simple ang mga kalkulasyon ay madalas nilang ginagamit ang logarithmic likelihood function at hanapin ang ugat ng kaukulang equation

,

na tinatawag na equation ng posibilidad.

Kung kailangan mong suriin ang ilang mga parameter
pamamahagi
, kung gayon ang function ng posibilidad ay depende sa mga parameter na ito. Upang makahanap ng mga pagtatantya
mga parameter ng pamamahagi ito ay kinakailangan upang malutas ang sistema mga equation ng posibilidad

.

Ang paraan ng maximum na posibilidad ay nagbibigay ng pare-pareho at asymptotically mahusay na mga pagtatantya. Gayunpaman, ang mga pagtatantya na nakuha ng maximum na paraan ng posibilidad ay may kinikilingan, at, bilang karagdagan, upang makahanap ng mga pagtatantya, madalas na kinakailangan upang malutas ang medyo kumplikadong mga sistema ng mga equation.

Mga pagtatantya ng parameter ng pagitan

Ang katumpakan ng mga pagtatantya ng punto ay nailalarawan sa pamamagitan ng kanilang pagpapakalat. Gayunpaman, walang impormasyon tungkol sa kung gaano kalapit ang nakuha na mga pagtatantya sa totoong mga halaga ng mga parameter. Sa isang bilang ng mga gawain, hindi mo lamang kailangang hanapin ang parameter angkop na halaga ng numero, ngunit din upang suriin ang katumpakan at pagiging maaasahan nito. Kailangan mong malaman kung anong mga error ang maaaring humantong sa pagpapalit ng isang parameter point estimate nito at anong antas ng kumpiyansa ang dapat nating asahan na ang mga pagkakamaling ito ay hindi lalampas sa mga kilalang limitasyon.

Ang ganitong mga gawain ay partikular na may kaugnayan kapag mayroong isang maliit na bilang ng mga eksperimento. , kapag ang pagtatantya ng punto higit sa lahat ay random at tinatayang kapalit sa maaaring humantong sa mga makabuluhang pagkakamali.

Mas kumpleto at maaasahang paraan Ang pagtatantya ng mga parameter ng mga distribusyon ay binubuo sa pagtukoy ng hindi isang solong halaga ng punto, ngunit isang agwat na, na may ibinigay na posibilidad, ay sumasaklaw sa tunay na halaga ng tinantyang parameter.

Hayaan ayon sa mga resulta mga eksperimento, isang walang pinapanigan na pagtatantya ang nakuha
parameter . Ito ay kinakailangan upang suriin ang posibleng pagkakamali. Napili ang ilang sapat na malaking posibilidad
(halimbawa), tulad na ang isang kaganapan na may ganitong posibilidad ay maaaring ituring na isang halos tiyak na kaganapan, at ang naturang halaga ay natagpuan , para sa

. (8.15)

Sa kasong ito, ang saklaw ng halos posibleng mga halaga ng error na nangyayari sa panahon ng pagpapalit sa , kalooban
, at ang mga malalaki ganap na halaga lalabas lamang ang mga error na may mababang posibilidad .

Ang expression (8.15) ay nangangahulugan na may posibilidad
hindi kilalang halaga ng parameter nahuhulog sa pagitan

. (8.16)

Probability
tinawag posibilidad ng kumpiyansa, at ang pagitan , na sumasaklaw sa posibilidad ang tunay na halaga ng parameter ay tinatawag agwat ng kumpiyansa. Tandaan na hindi tama na sabihin na ang value ng parameter ay nasa loob ng confidence interval na may posibilidad . Ang pormulasyon na ginamit (mga pabalat) ay nangangahulugan na kahit na ang parameter na tinatantya ay hindi alam, ito ay may pare-parehong halaga at samakatuwid ay walang spread dahil hindi ito isang random na variable.

Ang expectation ay ang probability distribution ng isang random variable

Pag-asa sa matematika, kahulugan, pag-asa sa matematika ng mga discrete at tuloy-tuloy na random na variable, sample, conditional expectation, pagkalkula, mga katangian, mga problema, pagtatantya ng inaasahan, dispersion, distribution function, mga formula, mga halimbawa ng pagkalkula

Palawakin ang mga nilalaman

I-collapse ang nilalaman

Ang pag-asa sa matematika ay ang kahulugan

Isa sa mga pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o probabilidad ng isang random na variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Malawakang ginagamit sa teknikal na pagsusuri, pag-aaral ng serye ng numero, at pag-aaral ng tuloy-tuloy at matagal na proseso. Mayroon itong mahalaga kapag tinatasa ang mga panganib, hinuhulaan ang mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nangangalakal sa mga pamilihan sa pananalapi, ginagamit ito sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika sa paglalaro sa teorya ng pagsusugal.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng isang random variable, ang probability distribution ng isang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Ang inaasahan sa matematika ay isang sukatan ng average na halaga ng isang random variable sa probability theory. Pag-asa ng isang random na variable x ipinapahiwatig ng M(x).

Ang inaasahan sa matematika ay

Ang inaasahan sa matematika ay sa probability theory, isang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable.

Ang inaasahan sa matematika ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa loob ng balangkas ng teorya ng malalaking numero at long distance.

Ang inaasahan sa matematika ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang manlalaro, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa parlance ng pagsusugal, ito ay tinatawag minsan na "player's edge" (kung ito ay positibo para sa player) o ang "house edge" (kung ito ay negatibo para sa player).

Ang inaasahan sa matematika ay ang porsyento ng tubo sa bawat panalo na pinarami ng average na kita, na binawasan ang posibilidad ng pagkatalo na pinarami ng average na pagkalugi.

Pag-asa sa matematika ng isang random na variable sa teoryang matematika

Isa sa mga mahalagang katangiang pang-numero ng isang random na variable ay ang mathematical expectation nito. Ipakilala natin ang konsepto ng isang sistema ng mga random na variable. Isaalang-alang natin ang isang hanay ng mga random na variable na mga resulta ng parehong random na eksperimento. Kung ito ay isa sa mga posibleng halaga ng system, kung gayon ang kaganapan ay tumutugma sa isang tiyak na posibilidad na nakakatugon sa mga axiom ni Kolmogorov. Ang isang function na tinukoy para sa anumang posibleng mga halaga ng mga random na variable ay tinatawag na joint distribution law. Binibigyang-daan ka ng function na ito na kalkulahin ang mga probabilidad ng anumang mga kaganapan mula sa. Sa partikular, ang magkasanib na batas sa pamamahagi ng mga random na variable at, na kumukuha ng mga halaga mula sa set at, ay ibinibigay ng mga probabilidad.

Ang terminong "mathematical expectation" ay ipinakilala ni Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) at nagmula sa konsepto ng "inaasahang halaga ng mga panalo," na unang lumitaw noong ika-17 siglo sa teorya ng pagsusugal sa mga gawa nina Blaise Pascal at Christiaan Huygens. Gayunpaman, ang unang kumpletong teoretikal na pag-unawa at pagtatasa ng konseptong ito ay ibinigay ni Pafnuty Lvovich Chebyshev (kalagitnaan ng ika-19 na siglo).

Ang batas sa pamamahagi ng mga random na variable na numero (distribution function at distribution series o probability density) ay ganap na naglalarawan ng gawi ng isang random na variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga at posibleng paglihis mula sa kanya) upang sagutin ang tanong na ibinibigay. Ang pangunahing numerical na katangian ng mga random na variable ay ang mathematical expectation, variance, mode at median.

Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad. Minsan ang inaasahan sa matematika ay tinatawag na weighted average, dahil ito ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation ay sumusunod na ang halaga nito ay hindi bababa sa pinakamaliit na posibleng halaga ng isang random variable at hindi hihigit sa pinakamalaking. Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay isang non-random (constant) variable.

Ang mathematical na inaasahan ay may isang simple pisikal na kahulugan: kung maglalagay ka ng unit mass sa isang tuwid na linya, paglalagay ng ilang mass sa ilang mga punto (para sa discrete distribution), o "pagpapahid" nito ng isang tiyak na density (para sa isang ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi), kung gayon ang punto na tumutugma sa inaasahan sa matematika ay ang coordinate ng "center of gravity" ng linya.

Ang average na halaga ng isang random na variable ay isang tiyak na numero na, kumbaga, ang "kinatawan" nito at pinapalitan ito sa halos tinatayang mga kalkulasyon. Kapag sinabi namin: "ang average na oras ng pagpapatakbo ng lamp ay 100 oras" o "ang average na punto ng epekto ay inilipat kaugnay sa target ng 2 m sa kanan," kami ay nagpapahiwatig ng isang tiyak na numerical na katangian ng isang random na variable na naglalarawan sa lokasyon nito sa numerical axis, i.e. "mga katangian ng posisyon".

Mula sa mga katangian ng posisyon sa teorya ng posibilidad mahalagang papel gumaganap ng mathematical expectation ng isang random variable, na kung minsan ay tinatawag lang na average value ng random variable.

Isaalang-alang ang random variable X, pagkakaroon ng mga posibleng halaga x1, x2, …, xn may probabilidad p1, p2, …, pn. Kailangan nating tukuyin sa ilang numero ang posisyon ng mga halaga ng isang random na variable sa x-axis, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga halagang ito ay may iba't ibang mga probabilidad. Para sa layuning ito, natural na gamitin ang tinatawag na "weighted average" ng mga halaga xi, at ang bawat halaga xi sa panahon ng pag-average ay dapat isaalang-alang na may "timbang" na proporsyonal sa posibilidad ng halagang ito. Kaya, kakalkulahin namin ang average ng random variable X, na tinutukoy namin M |X|:

Ang weighted average na ito ay tinatawag na mathematical expectation ng random variable. Kaya, ipinakilala namin sa pagsasaalang-alang ang isa sa pinakamahalagang konsepto ng teorya ng probabilidad - ang konsepto ng pag-asa sa matematika. Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilidad ng mga halagang ito.

Hayaan itong mabuo N mga independiyenteng eksperimento, kung saan ang bawat isa ay may halaga X tumatagal ng isang tiyak na halaga. Ipagpalagay natin na ang halaga x1 lumitaw m1 beses, halaga x2 lumitaw m2 minsan, sa pangkalahatang kahulugan xi lumitaw mi times. Kalkulahin natin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng halaga X, na, sa kaibahan sa inaasahan ng matematika M|X| ipinapahiwatig namin M*|X|:

Sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento N mga frequency pi lalapit (magtatagpo sa posibilidad) ang mga katumbas na probabilidad. Dahil dito, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable M|X| na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento na lalapitan nito (magtatagpo sa posibilidad) sa kanyang inaasahan sa matematika. Ang koneksyon sa pagitan ng arithmetic mean at mathematical expectation na nabuo sa itaas ay bumubuo sa nilalaman ng isa sa mga anyo ng batas ng malalaking numero.

Alam na natin na ang lahat ng anyo ng batas ng malalaking numero ay nagsasaad ng katotohanan na ang ilang mga average ay matatag sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Dito pinag-uusapan natin ang katatagan ng arithmetic mean mula sa isang serye ng mga obserbasyon ng parehong dami. Sa isang maliit na bilang ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng kanilang mga resulta ay random; na may sapat na pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay nagiging "halos hindi random" at, nagpapatatag, lumalapit sa isang pare-parehong halaga - ang inaasahan sa matematika.

Ang katatagan ng mga average sa isang malaking bilang ng mga eksperimento ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng eksperimento. Halimbawa, kapag tumitimbang ng katawan sa isang laboratoryo sa tumpak na mga kaliskis, bilang resulta ng pagtimbang ay nakakakuha tayo ng bagong halaga sa bawat oras; Upang mabawasan ang error sa pagmamasid, tinitimbang namin ang katawan ng ilang beses at ginagamit ang arithmetic mean ng mga nakuhang halaga. Madaling makita na sa isang karagdagang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (pagtimbang), ang arithmetic mean ay tumutugon sa pagtaas na ito nang mas kaunti at, na may sapat na malaking bilang ng mga eksperimento, halos huminto sa pagbabago.

Dapat ito ay nabanggit na pinakamahalagang katangian posisyon ng isang random na variable - mathematical expectation - ay hindi umiiral para sa lahat ng random variable. Posibleng bumuo ng mga halimbawa ng mga random na variable kung saan ang inaasahan sa matematika ay hindi umiiral, dahil ang katumbas na kabuuan o integral ay nag-iiba. Gayunpaman, ang mga ganitong kaso ay hindi makabuluhang interes para sa pagsasanay. Karaniwan, ang mga random na variable na ating kinakaharap ay may limitadong hanay ng mga posibleng halaga at, siyempre, may inaasahan sa matematika.

Bilang karagdagan sa pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang matematikal na inaasahan - sa pagsasanay, ang iba pang mga katangian ng posisyon ay minsan ginagamit, sa partikular, ang mode at median ng random variable.

Ang mode ng isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Ang terminong "pinaka-malamang na halaga" sa mahigpit na pagsasalita ay nalalapat lamang sa mga hindi tuluy-tuloy na dami; Para sa tuloy-tuloy na halaga Ang mode ay ang halaga kung saan ang probability density ay maximum. Ang mga numero ay nagpapakita ng mode para sa hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy na mga random na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang distribution polygon (distribution curve) ay may higit sa isang maximum, ang distribution ay tinatawag na "multimodal".

Minsan may mga distribusyon na may minimum sa gitna kaysa sa maximum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag na "anti-modal".

Sa pangkalahatang kaso, ang mode at mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa partikular na kaso, kapag ang distribusyon ay simetriko at modal (i.e. ay may mode) at mayroong matematikal na pag-asa, pagkatapos ito ay tumutugma sa mode at sentro ng simetrya ng pamamahagi.

Ang isa pang katangian ng posisyon ay madalas na ginagamit - ang tinatawag na median ng isang random na variable. Ang katangiang ito ay kadalasang ginagamit lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, bagama't maaari itong pormal na tukuyin para sa isang discontinuous variable. Sa geometriko, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nakapaloob sa curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati.

Sa kaso ng isang simetriko modal distribution, ang median ay tumutugma sa matematikal na inaasahan at mode.

Ang mathematical expectation ay ang average na halaga ng isang random variable - isang numerical na katangian ng probability distribution ng isang random variable. Sa pinaka-pangkalahatang paraan, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X(w) ay tinukoy bilang integral ng Lebesgue na may paggalang sa sukatan ng posibilidad R sa orihinal na puwang ng posibilidad:

Ang mathematical expectation ay maaari ding kalkulahin bilang Lebesgue integral ng X sa pamamagitan ng pamamahagi ng posibilidad px dami X:

Ang konsepto ng isang random na variable na may walang katapusang pag-asa sa matematika ay maaaring tukuyin sa natural na paraan. Isang tipikal na halimbawa nagsisilbing mga oras ng pagbalik sa ilang random na paglalakad.

Sa tulong ng mathematical expectation, maraming numerical at functional na mga katangian mga distribusyon (bilang ang matematikal na inaasahan ng kaukulang mga function mula sa isang random na variable), halimbawa, pagbuo ng function, katangian ng function, mga sandali ng anumang pagkakasunud-sunod, sa partikular na dispersion, covariance.

Ang pag-asa sa matematika ay isang katangian ng lokasyon ng mga halaga ng isang random na variable (ang average na halaga ng pamamahagi nito). Sa kapasidad na ito, ang mathematical expectation ay nagsisilbing ilang "typical" distribution parameter at ang papel nito ay katulad ng papel ng static moment - ang coordinate ng center of gravity ng mass distribution - sa mechanics. Mula sa iba pang mga katangian ng lokasyon sa tulong ng kung saan ang pamamahagi ay inilarawan sa pangkalahatang mga termino - median, mode, matematikal na inaasahan ay naiiba sa mas malaking halaga na ito at ang kaukulang scattering katangian - pagpapakalat - mayroon sa limitasyon theorems ng probability theory. Ang kahulugan ng pag-asa sa matematika ay lubos na ipinahayag ng batas ng malalaking numero (hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev) at ng pinalakas na batas ng malalaking numero.

Pag-asa ng isang discrete random variable

Hayaang magkaroon ng ilang random na variable na maaaring tumagal ng isa sa ilang mga numerical values ​​(halimbawa, ang bilang ng mga puntos kapag naghahagis ng dice ay maaaring 1, 2, 3, 4, 5 o 6). Kadalasan sa pagsasagawa, para sa gayong halaga, ang tanong ay lumitaw: anong halaga ang kinukuha "sa karaniwan" na may malaking bilang ng mga pagsubok? Ano ang magiging average na kita (o pagkawala) natin mula sa bawat mapanganib na transaksyon?

Sabihin nating mayroong ilang uri ng lottery. Nais naming maunawaan kung kumikita ba o hindi ang pakikilahok dito (o kahit na paulit-ulit na lumahok, regular). Sabihin nating ang bawat ikaapat na tiket ay isang nagwagi, ang premyo ay magiging 300 rubles, at ang presyo ng anumang tiket ay magiging 100 rubles. Sa isang walang katapusang malaking bilang ng mga kalahok, ito ang nangyayari. Sa tatlong quarter ng mga kaso ay matatalo tayo, bawat tatlong pagkalugi ay nagkakahalaga ng 300 rubles. Sa bawat ikaapat na kaso mananalo kami ng 200 rubles. (premyo minus gastos), iyon ay, para sa apat na paglahok nawala namin sa average na 100 rubles, para sa isa - sa average na 25 rubles. Sa kabuuan, ang average na rate ng aming pagkasira ay magiging 25 rubles bawat tiket.

Nagtatapon kami dais. Kung ito ay hindi pagdaraya (nang hindi inililipat ang sentro ng grabidad, atbp.), kung gayon gaano karaming mga puntos ang mayroon tayo sa karaniwan sa isang pagkakataon? Dahil pare-pareho ang posibilidad ng bawat opsyon, kunin lang natin ang arithmetic mean at makakuha ng 3.5. Dahil ito ay AVERAGE, hindi na kailangang magalit na walang tiyak na roll na magbibigay ng 3.5 puntos - mabuti, ang kubo na ito ay walang mukha na may ganoong numero!

Ngayon ay ibubuod natin ang ating mga halimbawa:

Tingnan natin ang ibinigay na larawan. Sa kaliwa ay isang talahanayan ng pamamahagi ng isang random na variable. Ang halaga X ay maaaring tumagal ng isa sa n posibleng mga halaga (ipinapakita sa tuktok na linya). Hindi maaaring magkaroon ng anumang iba pang mga kahulugan. Sa ilalim ng bawat isa posibleng kahulugan ang posibilidad nito ay nakasulat sa ibaba. Sa kanan ay ang formula, kung saan ang M(X) ay tinatawag na mathematical expectation. Ang kahulugan ng halagang ito ay na sa isang malaking bilang ng mga pagsubok (na may isang malaking sample), ang average na halaga ay may posibilidad sa parehong matematikal na inaasahan.

Bumalik tayo muli sa parehong playing cube. Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos kapag naghahagis ay 3.5 (kalkulahin ito sa iyong sarili gamit ang formula kung hindi ka naniniwala sa akin). Sabihin nating hinagis mo ito ng ilang beses. Ang mga resulta ay 4 at 6. Ang average ay 5, na malayo sa 3.5. Inihagis nila ito ng isang beses, nakakuha sila ng 3, iyon ay, sa average (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... Kahit papaano malayo sa inaasahan ng matematika. Ngayon gumawa ng isang nakatutuwang eksperimento - igulong ang kubo ng 1000 beses! At kahit na ang average ay hindi eksaktong 3.5, ito ay magiging malapit sa iyon.

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa lottery na inilarawan sa itaas. Ang plato ay magiging ganito:

Kung gayon ang inaasahan sa matematika ay, tulad ng itinatag namin sa itaas:

Ang isa pang bagay ay ang paggawa nito "sa mga daliri", nang walang pormula, ay magiging mahirap kung mayroong higit pang mga pagpipilian. Well, sabihin natin na magkakaroon ng 75% na matatalo na mga tiket, 20% na nanalong mga tiket at 5% lalo na sa mga nanalo.

Ngayon ang ilang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Madaling patunayan:

Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring kunin bilang isang tanda ng pag-asa sa matematika, iyon ay:

Ito ay isang espesyal na kaso ng linearity property ng mathematical expectation.

Isa pang kinahinatnan ng linearity ng mathematical expectation:

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng random variables.

Hayaan ang X, Y na maging independent random variable, Pagkatapos:

Madali din itong patunayan) Trabaho XY mismo ay isang random na variable, at kung ang mga paunang halaga ay maaaring tumagal n At m mga halaga nang naaayon, kung gayon XY maaaring kumuha ng mga halaga ng nm. Ang posibilidad ng bawat halaga ay kinakalkula batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay pinarami. Bilang resulta, nakukuha namin ito:

Pag-asa ng tuluy-tuloy na random variable

Ang mga tuluy-tuloy na random na variable ay may katangian tulad ng density ng pamamahagi (probability density). Ito ay mahalagang katangian ng sitwasyon na ang isang random na variable ay kumukuha ng ilang mga halaga mula sa hanay ng mga tunay na numero nang mas madalas, at ang ilan ay mas madalas. Halimbawa, isaalang-alang ang graph na ito:

Dito X- aktwal na random na variable, f(x)- density ng pamamahagi. Sa paghusga sa graph na ito, sa panahon ng mga eksperimento ang halaga X kadalasan ay isang numerong malapit sa zero. Ang mga pagkakataon ay nalampasan 3 o maging mas maliit -3 sa halip ay puro teoretikal.

Hayaan, halimbawa, magkaroon ng pantay na pamamahagi:

Ito ay medyo pare-pareho sa intuitive na pag-unawa. Sabihin natin kung makarating tayo sa pare-parehong pamamahagi maraming random na totoong numero, bawat isa mula sa isang segment |0; 1| , kung gayon ang arithmetic mean ay dapat na mga 0.5.

Ang mga katangian ng mathematical expectation - linearity, atbp., na naaangkop para sa mga discrete random variable, ay naaangkop din dito.

Relasyon sa pagitan ng inaasahan sa matematika at iba pang mga istatistikal na tagapagpahiwatig

Sa pagtatasa ng istatistika, kasama ang inaasahan sa matematika, mayroong isang sistema ng magkakaugnay na mga tagapagpahiwatig na sumasalamin sa homogeneity ng mga phenomena at ang katatagan ng mga proseso. Kadalasan, ang mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay walang independiyenteng kahulugan at ginagamit para sa karagdagang pagsusuri ng data. Ang pagbubukod ay ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa homogeneity ng data, na isang mahalagang istatistikal na katangian.

Ang antas ng pagkakaiba-iba o katatagan ng mga proseso sa istatistikal na agham ay maaaring masukat gamit ang ilang mga tagapagpahiwatig.

Karamihan mahalagang tagapagpahiwatig, na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba ng isang random na variable, ay Pagpapakalat, na pinaka malapit at direktang nauugnay sa inaasahan sa matematika. Ang parameter na ito ay aktibong ginagamit sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri (pagsusuri ng hypothesis, pagsusuri ng mga ugnayang sanhi-at-epekto, atbp.). Tulad ng average na linear deviation, ang pagkakaiba ay sumasalamin din sa lawak ng pagkalat ng data sa paligid ng mean na halaga.

Kapaki-pakinabang na isalin ang wika ng mga palatandaan sa wika ng mga salita. Ito ay lumiliko na ang pagpapakalat ay ang average na parisukat ng mga deviations. Iyon ay, ang average na halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat orihinal at average na halaga ay kinuha, squared, idinagdag, at pagkatapos ay hinati sa bilang ng mga halaga sa populasyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng isang indibidwal na halaga at ang average ay sumasalamin sa sukatan ng paglihis. Ito ay parisukat upang ang lahat ng mga paglihis ay maging eksklusibong positibong mga numero at upang maiwasan ang magkaparehong pagkasira ng mga positibo at negatibong mga paglihis kapag nagbubuod ng mga ito. Pagkatapos, dahil sa mga squared deviations, kinakalkula lang namin ang arithmetic mean. Average - parisukat - deviations. Ang mga deviations ay squared at ang average ay kinakalkula. Ang sagot sa magic word na "dispersion" ay nasa tatlong salita lamang.

Gayunpaman, sa purong anyo, gaya ng arithmetic mean, o index, variance ay hindi ginagamit. Ito ay isang pantulong at intermediate na tagapagpahiwatig na ginagamit para sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri. Wala man lang itong normal na yunit ng pagsukat. Sa paghusga sa formula, ito ang parisukat ng yunit ng pagsukat ng orihinal na data.

Sukatin natin ang isang random na variable N beses, halimbawa, sinusukat namin ang bilis ng hangin nang sampung beses at gustong hanapin ang average na halaga. Paano nauugnay ang average na halaga sa function ng pamamahagi?

O magpapagulong tayo ng dice ng maraming beses. Ang bilang ng mga puntos na lilitaw sa mga dice sa bawat paghagis ay isang random na variable at maaaring tumagal ng anumang natural na halaga mula 1 hanggang 6. Ang arithmetic average ng mga ibinabang puntos na kinakalkula para sa lahat ng dice throws ay isa ring random na variable, ngunit para sa malaking N ito ay may posibilidad sa isang napaka-tiyak na numero - mathematical na inaasahan Mx. SA sa kasong ito Mx = 3.5.

Paano mo nakuha ang halagang ito? Papasukin N mga pagsubok n1 1 puntos ay pinagsama nang isang beses n2 isang beses - 2 puntos at iba pa. Pagkatapos ang bilang ng mga kinalabasan kung saan nahulog ang isang punto:

Katulad din para sa mga resulta kapag ang 2, 3, 4, 5 at 6 na puntos ay pinagsama.

Ipagpalagay natin ngayon na alam natin ang batas ng pamamahagi ng random variable x, iyon ay, alam natin na ang random variable x ay maaaring kumuha ng mga halaga x1, x2, ..., xk na may probabilities p1, p2, ..., pk.

Ang mathematical expectation Mx ng random variable x ay katumbas ng:

Ang inaasahan sa matematika ay hindi palaging isang makatwirang pagtatantya ng ilang random na variable. Kaya, upang tantyahin ang average sahod Mas makatuwirang gamitin ang konsepto ng median, iyon ay, ang isang halaga na ang bilang ng mga taong tumatanggap ng suweldo na mas mababa kaysa sa median at mas malaki ay nag-tutugma.

Ang posibilidad na p1 na ang random variable x ay mas mababa sa x1/2, at ang probabilidad na p2 na ang random variable x ay magiging mas malaki sa x1/2, ay pareho at katumbas ng 1/2. Ang median ay hindi natutukoy nang natatangi para sa lahat ng mga pamamahagi.

Pamantayan o Standard Deviation sa statistics, tinatawag ang degree ng deviation ng observational data o sets mula sa AVERAGE value. Tinutukoy ng mga letrang s o s. Ang isang maliit na standard deviation ay nagpapahiwatig na ang data clusters sa paligid ng mean, habang ang isang malaking standard deviation ay nagpapahiwatig na ang paunang data ay matatagpuan malayo mula dito. Karaniwang lihis katumbas parisukat na ugat dami na tinatawag na dispersion. Ito ay ang average ng kabuuan ng mga squared na pagkakaiba ng paunang data na lumihis mula sa average na halaga. Ang standard deviation ng isang random variable ay ang square root ng variance:

Halimbawa. Sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok kapag bumaril sa isang target, kalkulahin ang dispersion at standard deviation ng random variable:

pagkakaiba-iba- pagbabagu-bago, pagbabago ng halaga ng isang katangian sa mga yunit ng populasyon. Hiwalay mga numerong halaga Ang mga katangiang makikita sa populasyon na pinag-aaralan ay tinatawag na variant ng kahulugan. Hindi sapat na average na halaga para sa buong katangian pinipilit tayo ng populasyon na dagdagan ang mga average na halaga ng mga tagapagpahiwatig na nagbibigay-daan sa amin upang masuri ang tipikal ng mga average na ito sa pamamagitan ng pagsukat ng pagkakaiba-iba (variation) ng katangiang pinag-aaralan. Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay kinakalkula gamit ang formula:

Saklaw ng pagkakaiba-iba Ang (R) ay kumakatawan sa pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na halaga ng katangian sa populasyon na pinag-aaralan. Ang tagapagpahiwatig na ito ay nagbibigay ng pinakamaraming Pangkalahatang ideya tungkol sa pagkakaiba-iba ng pinag-aralan na katangian, dahil ipinapakita lamang nito ang pagkakaiba sa pagitan ng mga limitasyon ng mga halaga ng mga pagpipilian. Ang pag-asa sa matinding halaga ng isang katangian ay nagbibigay sa saklaw ng pagkakaiba-iba ng isang hindi matatag, random na karakter.

Average na linear deviation kumakatawan sa arithmetic mean ng absolute (modulo) deviations ng lahat ng halaga ng nasuri na populasyon mula sa kanilang average na halaga:

Pag-asa sa teorya ng pagsusugal

Ang inaasahan sa matematika ay Ang average na halaga ng pera na maaaring manalo o matalo ng isang sugarol sa isang naibigay na taya. Ito ay isang napakahalagang konsepto para sa manlalaro dahil ito ay mahalaga sa pagtatasa ng karamihan sa mga sitwasyon sa paglalaro. Ang pag-asa sa matematika ay isa ring pinakamainam na tool para sa pagsusuri ng mga pangunahing layout ng card at mga sitwasyon sa paglalaro.

Sabihin nating naglalaro ka ng coin game kasama ang isang kaibigan, tumataya ng pantay na $1 sa bawat pagkakataon, anuman ang mangyari. Ang ibig sabihin ng mga buntot ay panalo ka, ang ibig sabihin ng ulo ay natalo ka. Ang posibilidad ay isa sa isa na ito ay lalabas, kaya tumaya ka ng $1 hanggang $1. Kaya, ang iyong inaasahan sa matematika ay zero, dahil Mula sa isang mathematical point of view, hindi mo malalaman kung mangunguna ka o matatalo pagkatapos ng dalawang throws o pagkatapos ng 200.

Ang iyong bawat oras na kita ay zero. Ang oras-oras na panalo ay ang halaga ng pera na inaasahan mong manalo sa isang oras. Maaari kang maghagis ng barya ng 500 beses sa isang oras, ngunit hindi ka mananalo o matatalo dahil... ang iyong mga pagkakataon ay hindi positibo o negatibo. Kung titingnan mo, mula sa punto ng view ng isang seryosong manlalaro, ang sistema ng pagtaya ay hindi masama. Ngunit ito ay isang pag-aaksaya lamang ng oras.

Ngunit sabihin nating may gustong tumaya ng $2 laban sa iyong $1 sa parehong laro. Pagkatapos ay mayroon kang positibong inaasahan na 50 cents mula sa bawat taya. Bakit 50 cents? Sa karaniwan, nanalo ka ng isang taya at matatalo ang pangalawa. Tumaya sa unang dolyar at matatalo ka ng $1, tumaya sa pangalawa at mananalo ka ng $2. Tumaya ka ng $1 nang dalawang beses at nangunguna ka ng $1. Kaya bawat isa sa iyong isang dolyar na taya ay nagbigay sa iyo ng 50 sentimo.

Kung ang isang barya ay lumabas ng 500 beses sa isang oras, ang iyong oras-oras na panalo ay magiging $250 na, dahil... Sa karaniwan, natalo ka ng isang dolyar nang 250 beses at nanalo ng dalawang dolyar nang 250 beses. $500 minus $250 ay katumbas ng $250, na siyang kabuuang panalo. Pakitandaan na ang inaasahang halaga, na siyang average na halagang napanalunan mo sa bawat taya, ay 50 cents. Nanalo ka ng $250 sa pagtaya ng isang dolyar ng 500 beses, na katumbas ng 50 cents bawat taya.

Ang pag-asa sa matematika ay walang kinalaman sa mga panandaliang resulta. Ang iyong kalaban, na nagpasyang tumaya ng $2 laban sa iyo, ay maaaring matalo sa unang sampung sunod-sunod na rolyo, ngunit ikaw, na mayroong 2 sa 1 na bentahe sa pagtaya, lahat ng iba pang bagay ay pantay, ay kikita ng 50 sentimo sa bawat $1 na taya sa alinmang mga pangyayari. Walang pagkakaiba kung manalo ka o matalo sa isang taya o ilang taya, basta't mayroon kang sapat na pera upang kumportableng mabayaran ang mga gastos. Kung patuloy kang tumaya sa parehong paraan, kung gayon para sa mahabang panahon Sa paglaon, ang iyong mga panalo ay lalapit sa kabuuan ng inaasahang halaga sa mga indibidwal na roll.

Sa bawat oras na gumawa ka ng isang pinakamahusay na taya (isang taya na maaaring maging kumikita sa katagalan), kapag ang mga logro ay pabor sa iyo, ikaw ay tiyak na manalo ng isang bagay dito, hindi mahalaga kung matalo mo ito o hindi sa binigay na kamay. Sa kabaligtaran, kung gumawa ka ng isang underdog na taya (isang taya na hindi kumikita sa katagalan) kapag ang mga logro ay laban sa iyo, may natatalo ka kahit na manalo ka man o matalo ang kamay.

Naglalagay ka ng isang taya na may pinakamahusay na kinalabasan kung ang iyong inaasahan ay positibo, at ito ay positibo kung ang mga posibilidad ay nasa iyong panig. Kapag naglagay ka ng taya na may pinakamasamang kinalabasan, mayroon kang negatibong inaasahan, na nangyayari kapag ang mga posibilidad ay laban sa iyo. Ang mga seryosong manlalaro ay tumaya lamang sa pinakamahusay na kinalabasan kung ang pinakamasama ay mangyayari, sila ay tumiklop. Ano ang ibig sabihin ng mga posibilidad na pabor sa iyo? Maaari kang manalo ng higit pa kaysa sa tunay na posibilidad. Ang tunay na posibilidad ng mga landing head ay 1 hanggang 1, ngunit makakakuha ka ng 2 hanggang 1 dahil sa odds ratio. Sa kasong ito, ang mga posibilidad ay pabor sa iyo. Siguradong makukuha mo ang pinakamahusay na kinalabasan na may positibong inaasahan na 50 cents bawat taya.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa ng pag-asa sa matematika. Ang isang kaibigan ay nagsusulat ng mga numero mula isa hanggang lima at tumaya ng $5 laban sa iyong $1 na hindi mo mahulaan ang nakatagong numero. Dapat ka bang sumang-ayon sa gayong taya? Ano ang inaasahan dito?

Sa karaniwan, apat na beses kang magkakamali. Batay dito, ang mga posibilidad laban sa paghula mo sa numero ay 4 hanggang 1. Ang mga posibilidad na mawalan ka ng isang dolyar sa isang pagtatangka. Gayunpaman, nanalo ka ng 5 sa 1, na may posibilidad na matalo 4 sa 1. Kaya ang mga logro ay pabor sa iyo, maaari mong kunin ang taya at umaasa para sa pinakamahusay na resulta. Kung gagawin mo ang taya na ito ng limang beses, sa karaniwan ay matatalo ka ng $1 ng apat na beses at manalo ng $5 nang isang beses. Batay dito, para sa lahat ng limang pagtatangka ay makakakuha ka ng $1 na may positibong inaasahan sa matematika na 20 cents bawat taya.

Ang isang manlalaro na umaasang manalo ng higit pa kaysa sa kanyang taya, tulad ng sa halimbawa sa itaas, ay nagsasagawa ng mga pagkakataon. Sa kabaligtaran, sinisira niya ang kanyang mga pagkakataon kapag inaasahan niyang manalo ng mas mababa kaysa sa kanyang taya. Ang isang bettor ay maaaring magkaroon ng alinman sa positibo o negatibong inaasahan, na depende sa kung siya ay nanalo o sumira sa mga posibilidad.

Kung tumaya ka ng $50 para manalo ng $10 na may 4 hanggang 1 na pagkakataong manalo, makakakuha ka ng negatibong inaasahan na $2 dahil Sa karaniwan, mananalo ka ng $10 ng apat na beses at matatalo ng $50 nang isang beses, na nagpapakita na ang talo sa bawat taya ay magiging $10. Ngunit kung tumaya ka ng $30 para manalo ng $10, na may parehong posibilidad na manalo ng 4 hanggang 1, sa kasong ito mayroon kang positibong inaasahan na $2, dahil muli kang manalo ng $10 ng apat na beses at matatalo ng $30 nang isang beses, para sa tubo na $10. Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang unang taya ay masama, at ang pangalawa ay mabuti.

Ang pag-asa sa matematika ay ang sentro ng anumang sitwasyon sa paglalaro. Kapag hinikayat ng isang bookmaker ang mga tagahanga ng football na tumaya ng $11 para manalo ng $10, mayroon siyang positibong inaasahan na 50 cents sa bawat $10. Kung magbabayad ang casino ng kahit na pera mula sa pass line sa mga craps, ang positibong inaasahan ng casino ay magiging humigit-kumulang $1.40 para sa bawat $100, dahil Ang larong ito ay nakabalangkas upang ang sinumang tumaya sa linyang ito ay matalo ng 50.7% sa karaniwan at manalo ng 49.3% ng kabuuang oras. Walang alinlangan, ito ang tila minimal na positibong inaasahan na nagdudulot ng napakalaking kita sa mga may-ari ng casino sa buong mundo. Gaya ng sinabi ng may-ari ng Vegas World casino na si Bob Stupak, “isang-isang-libo ng isang porsyentong negatibong probabilidad sa isang sapat na mahabang distansya ay masisira. pinakamayamang tao sa mundo".

Inaasahan kapag naglalaro ng Poker

Ang laro ng Poker ay ang pinaka-naglalarawan at naglalarawan na halimbawa mula sa punto ng view ng paggamit ng teorya at mga katangian ng matematikal na inaasahan.

Ang Inaasahang Halaga sa Poker ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa loob ng balangkas ng teorya ng malalaking numero at long distance. Ang isang matagumpay na laro ng poker ay ang palaging pagtanggap ng mga galaw na may positibong inaasahang halaga.

Ang mathematical na kahulugan ng mathematical expectation kapag naglalaro ng poker ay madalas tayong makatagpo ng mga random variable kapag gumagawa ng mga desisyon (hindi natin alam kung anong mga card ang nasa kamay ng kalaban, anong mga card ang darating sa mga susunod na round ng pagtaya). Dapat nating isaalang-alang ang bawat isa sa mga solusyon mula sa punto ng view ng teorya ng malaking numero, na nagsasaad na sa isang sapat na malaking sample, ang average na halaga ng isang random na variable ay may posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika.

Kabilang sa mga partikular na formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan, ang mga sumusunod ay pinaka-naaangkop sa poker:

Kapag naglalaro ng poker, ang inaasahang halaga ay maaaring kalkulahin para sa parehong taya at tawag. Sa unang kaso, dapat isaalang-alang ang fold equity, sa pangalawa, ang sariling logro ng bangko. Kapag tinatasa ang mathematical na inaasahan ng isang partikular na paglipat, dapat mong tandaan na ang isang fold ay palaging may zero na inaasahan. Kaya, ang pagtatapon ng mga card ay palaging magiging isang mas kumikitang desisyon kaysa sa anumang negatibong hakbang.

Sinasabi sa iyo ng pag-asa kung ano ang maaari mong asahan (kita o pagkawala) para sa bawat dolyar na iyong ipagsapalaran. Ang mga casino ay kumikita dahil ang mathematical expectation ng lahat ng larong nilalaro sa kanila ay pabor sa casino. Sa sapat na mahabang serye ng mga laro, maaari mong asahan na ang kliyente ay mawawalan ng kanyang pera, dahil ang "mga logro" ay pabor sa casino. Gayunpaman, nililimitahan ng mga propesyonal na manlalaro ng casino ang kanilang mga laro sa maiikling panahon, at sa gayo'y itinatakda ang mga posibilidad na pabor sa kanila. Ganoon din sa pamumuhunan. Kung positibo ang iyong inaasahan, maaari kang kumita ng mas maraming pera sa pamamagitan ng paggawa ng maraming trade sa maikling panahon. Ang pag-asa ay ang iyong porsyento ng kita sa bawat panalo na pinarami ng iyong average na kita, binawasan ang iyong posibilidad ng pagkalugi na pinarami ng iyong average na pagkatalo.

Ang poker ay maaari ding isaalang-alang mula sa pananaw ng pag-asa sa matematika. Maaari mong ipagpalagay na ang isang tiyak na paglipat ay kumikita, ngunit sa ilang mga kaso ay maaaring hindi ito ang pinakamahusay dahil ang isa pang paglipat ay mas kumikita. Sabihin nating naabot mo ang isang buong bahay sa five-card draw poker. Ang iyong kalaban ay tumataya. Alam mo na kung tataasan mo ang taya, siya ay tutugon. Samakatuwid, ang pagtaas ay tila ang pinakamahusay na taktika. Ngunit kung tataasan mo ang taya, tiyak na tupitik ang natitirang dalawang manlalaro. Pero kung tatawag ka, buo ang tiwala mo na gagawin din ng dalawa pang manlalaro sa likod mo. Kapag tinaasan mo ang iyong taya makakakuha ka ng isang unit, at kapag tumawag ka lang ay makakakuha ka ng dalawa. Kaya, ang pagtawag ay nagbibigay sa iyo ng mas mataas na positibong inaasahang halaga at magiging pinakamahusay na taktika.

Ang pag-asa sa matematika ay maaari ring magbigay ng ideya kung aling mga taktika ng poker ang hindi gaanong kumikita at kung alin ang mas kumikita. Halimbawa, kung naglalaro ka ng isang partikular na kamay at sa tingin mo ang iyong pagkawala ay magiging average ng 75 cents kasama ang ante, dapat mong laruin ang kamay na iyon dahil ito ay mas mahusay kaysa sa pagtiklop kapag ang ante ay $1.

Isa pa mahalagang dahilan upang maunawaan ang kakanyahan ng pag-asa sa matematika ay nagbibigay ito sa iyo ng pakiramdam ng kapayapaan kung nanalo ka sa taya o hindi: kung nakagawa ka ng isang mahusay na taya o nakatiklop sa oras, malalaman mo na ikaw ay nakakuha o nag-save ng isang tiyak na halaga ng pera na ang mahinang manlalaro ay hindi nakapagligtas. Mas mahirap magtiklop kung naiinis ka dahil mas malakas ang kamay ng kalaban mo. Sa lahat ng ito, ang perang naipon mo sa pamamagitan ng hindi paglalaro sa halip na pagtaya ay idinagdag sa iyong mga panalo para sa gabi o buwan.

Tandaan lamang na kung binago mo ang iyong mga kamay, tatawagin ka sana ng iyong kalaban, at tulad ng makikita mo sa artikulong Fundamental Theorem of Poker, ito ay isa lamang sa iyong mga pakinabang. Dapat masaya ka kapag nangyari ito. Maaari mo ring matutunan na masiyahan sa pagkawala ng isang kamay dahil alam mo na ang iba pang mga manlalaro sa iyong posisyon ay mas maraming mawawala.

Gaya ng tinalakay sa halimbawa ng larong coin sa simula, ang ratio ng tubo bawat oras ay nauugnay sa inaasahan sa matematika, at konseptong ito lalong mahalaga para sa mga propesyonal na manlalaro. Kapag naglaro ka ng poker, dapat mong tantiyahin sa isip kung magkano ang maaari mong manalo sa isang oras ng paglalaro. Sa karamihan ng mga kaso, kakailanganin mong umasa sa iyong intuwisyon at karanasan, ngunit maaari ka ring gumamit ng ilang matematika. Halimbawa, naglalaro ka ng draw lowball at nakakita ka ng tatlong manlalaro na tumaya ng $10 at pagkatapos ay mag-trade ng dalawang baraha, na isang napakasamang taktika, malalaman mo na sa tuwing tumaya sila ng $10, matatalo sila ng humigit-kumulang $2. Ginagawa ito ng bawat isa sa kanila ng walong beses kada oras, na nangangahulugan na silang tatlo ay nawalan ng humigit-kumulang $48 kada oras. Isa ka sa natitirang apat na manlalaro na humigit-kumulang pantay, kaya ang apat na manlalarong ito (at ikaw sa kanila) ay dapat hatiin ang $48, bawat isa ay kumikita ng $12 kada oras. Ang iyong oras-oras na logro sa kasong ito ay katumbas lamang ng iyong bahagi sa halaga ng pera na nawala ng tatlong masamang manlalaro sa isang oras.

Sa mahabang panahon, ang kabuuang panalo ng manlalaro ay ang kabuuan ng kanyang mga inaasahan sa matematika sa mga indibidwal na kamay. Kung mas maraming kamay ang iyong nilalaro na may positibong pag-asa, mas panalo ka, at sa kabaligtaran, mas maraming kamay ang iyong nilalaro na may negatibong pag-asa, mas matatalo ka. Bilang isang resulta, dapat kang pumili ng isang laro na maaaring mapakinabangan ang iyong positibong pag-asa o pabayaan ang iyong negatibong inaasahan upang ma-maximize mo ang iyong oras-oras na panalo.

Positibong pag-asa sa matematika sa diskarte sa paglalaro

Kung marunong kang magbilang ng mga baraha, maaari kang magkaroon ng kalamangan sa casino kung hindi ka nila mapapansin at itapon ka. Gustung-gusto ng mga casino ang mga lasing na manlalaro at hindi kayang panindigan ang mga manlalarong nagbibilang ng baraha. Ang kalamangan ay magbibigay-daan sa iyo na manalo sa paglipas ng panahon. mas malaking bilang beses kaysa sa mawala. Magandang pamamahala Ang kapital kapag gumagamit ng inaasahang pagkalkula ng halaga ay makakatulong sa iyo na kunin ang mas maraming kita mula sa iyong kalamangan at bawasan ang iyong mga pagkalugi. Kung walang kalamangan, mas mabuting ibigay mo ang pera sa kawanggawa. Sa laro sa stock exchange, ang kalamangan ay ibinibigay ng sistema ng laro, na lumilikha ng mas malaking kita kaysa sa mga pagkalugi, mga pagkakaiba sa presyo at mga komisyon. Walang halaga ng pamamahala ng pera ang makakapagligtas sa isang masamang sistema ng paglalaro.

Ang isang positibong inaasahan ay tinukoy bilang isang halaga na higit sa zero. Kung mas malaki ang bilang na ito, mas malakas ang inaasahan sa istatistika. Kung ang halaga ay mas mababa sa zero, ang mathematical na inaasahan ay magiging negatibo din. Kung mas malaki ang module ng negatibong halaga, mas malala ang sitwasyon. Kung zero ang resulta, break-even ang paghihintay. Maaari ka lamang manalo kapag mayroon kang positibong inaasahan sa matematika at isang makatwirang sistema ng paglalaro. Ang paglalaro sa pamamagitan ng intuwisyon ay humahantong sa kapahamakan.

Pag-asa sa matematika at pangangalakal ng stock

Ang pag-asa sa matematika ay isang medyo malawak na ginagamit at tanyag na tagapagpahiwatig ng istatistika kapag nagsasagawa ng exchange trading sa mga financial market. Una sa lahat, ang parameter na ito ay ginagamit upang pag-aralan ang tagumpay ng pangangalakal. Hindi mahirap hulaan na kung mas mataas ang halagang ito, mas maraming dahilan upang isaalang-alang na matagumpay ang kalakalan na pinag-aaralan. Siyempre, ang pagsusuri sa gawain ng isang negosyante ay hindi maaaring isagawa gamit lamang ang parameter na ito. Gayunpaman, ang kinakalkula na halaga, kasama ng iba pang mga pamamaraan ng pagtatasa ng kalidad ng trabaho, ay maaaring makabuluhang taasan ang katumpakan ng pagsusuri.

Ang pag-asa sa matematika ay madalas na kinakalkula sa mga serbisyo sa pagsubaybay sa trading account, na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na suriin ang gawaing isinagawa sa deposito. Kasama sa mga pagbubukod ang mga diskarte na gumagamit ng "pag-upo sa labas" ng mga hindi kumikitang trade. Ang isang negosyante ay maaaring mapalad sa loob ng ilang panahon, at samakatuwid ay maaaring walang pagkalugi sa kanyang trabaho. Sa kasong ito, hindi posible na magabayan lamang ng inaasahan sa matematika, dahil ang mga panganib na ginamit sa trabaho ay hindi isasaalang-alang.

Sa market trading, ang mathematical expectation ay kadalasang ginagamit kapag hinuhulaan ang kakayahang kumita ng anumang diskarte sa pangangalakal o kapag hinuhulaan ang kita ng isang negosyante batay sa istatistikal na data mula sa kanyang nakaraang kalakalan.

Sa pagsasaalang-alang sa pamamahala ng pera, napakahalagang maunawaan na kapag gumagawa ng mga pangangalakal na may negatibong mga inaasahan, walang pamamaraan sa pamamahala ng pera na tiyak na makapagbibigay ng mataas na kita. Kung magpapatuloy ka sa paglalaro ng stock market sa ilalim ng mga kundisyong ito, hindi alintana kung paano mo pinamamahalaan ang iyong pera, mawawala ang iyong buong account, gaano man ito kalaki sa simula.

Ang axiom na ito ay totoo hindi lamang para sa mga laro o trade na may negatibong inaasahan, totoo rin ito para sa mga laro na may pantay na pagkakataon. Samakatuwid, ang tanging oras na magkakaroon ka ng pagkakataong kumita sa mahabang panahon ay kung kukuha ka ng mga trade na may positibong inaasahang halaga.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng negatibong pag-asa at positibong inaasahan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng buhay at kamatayan. Hindi mahalaga kung gaano ka positibo o gaano ka negatibo ang inaasahan; Ang mahalaga ay kung ito ay positibo o negatibo. Samakatuwid, bago isaalang-alang ang pamamahala ng pera, dapat kang maghanap ng isang laro na may positibong inaasahan.

Kung wala kang larong iyon, hindi ka ililigtas ng lahat ng pamamahala ng pera sa mundo. Sa kabilang banda, kung mayroon kang isang positibong inaasahan, maaari mong, sa pamamagitan ng wastong pamamahala ng pera, gawin itong isang function ng paglago ng exponential. Hindi mahalaga kung gaano kaliit ang positibong inaasahan! Sa madaling salita, hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema ng kalakalan ay batay sa isang kontrata. Kung mayroon kang system na nanalo ng $10 bawat kontrata sa bawat trade (pagkatapos ng mga komisyon at slippage), maaari mong gamitin ang mga diskarte sa pamamahala ng pera upang gawin itong mas kumikita kaysa sa isang sistema na may average na $1,000 bawat trade (pagkatapos ng bawas ng mga komisyon at slippage).

Ang mahalaga ay hindi kung gaano kumikita ang sistema, ngunit kung gaano katiyak na ang sistema ay masasabing magpakita ng hindi bababa sa kaunting tubo sa hinaharap. Samakatuwid, ang pinakamahalagang paghahanda na maaaring gawin ng isang mangangalakal ay upang matiyak na ang sistema ay magpapakita ng isang positibong inaasahang halaga sa hinaharap.

Upang magkaroon ng positibong inaasahang halaga sa hinaharap, napakahalagang huwag limitahan ang antas ng kalayaan ng iyong system. Ito ay nakakamit hindi lamang sa pamamagitan ng pag-aalis o pagbabawas ng bilang ng mga parameter na i-optimize, ngunit din sa pamamagitan ng pagbabawas ng maraming mga panuntunan ng system hangga't maaari. Bawat parameter na idaragdag mo, bawat panuntunang gagawin mo, bawat maliliit na pagbabagong gagawin mo sa system ay binabawasan ang bilang ng mga antas ng kalayaan. Sa isip, kailangan mong bumuo ng isang medyo primitive at simpleng sistema, na patuloy na bubuo ng maliliit na kita sa halos anumang merkado. Muli, mahalagang maunawaan mo na hindi mahalaga kung gaano kumikita ang sistema, basta ito ay kumikita. Ang perang kikitain mo sa pangangalakal ay kikitain sa pamamagitan ng epektibong pamamahala pera.

Ang sistema ng pangangalakal ay isang tool lamang na nagbibigay sa iyo ng positibong inaasahang halaga upang magamit mo ang pamamahala ng pera. Ang mga system na gumagana (nagpapakita ng hindi bababa sa kaunting kita) sa isa o ilang market lang, o may iba't ibang panuntunan o parameter para sa iba't ibang market, ay malamang na hindi gagana sa real time nang matagal. Ang problema sa karamihan ng mga trader na nakatuon sa teknikal ay ang gumugugol sila ng masyadong maraming oras at pagsisikap sa pag-optimize iba't ibang mga patakaran at mga halaga ng mga parameter ng sistema ng kalakalan. Nagbibigay ito ng ganap na kabaligtaran na mga resulta. Sa halip na mag-aksaya ng enerhiya at oras ng computer sa pagtaas ng kita ng sistema ng pangangalakal, idirekta ang iyong enerhiya sa pagtaas ng antas ng pagiging maaasahan ng pagkuha ng pinakamababang kita.

Dahil alam na ang pamamahala sa pera ay isang larong numero lamang na nangangailangan ng paggamit ng mga positibong inaasahan, maaaring huminto ang isang negosyante sa paghahanap para sa "holy grail" ng stock trading. Sa halip, maaari niyang simulan ang pagsubok sa kanyang paraan ng pangangalakal, alamin kung gaano lohikal ang pamamaraang ito, at kung nagbibigay ito ng mga positibong inaasahan. Mga Tamang Pamamaraan pamamahala ng pera, na inilapat sa anuman, kahit na napakapangkaraniwan na mga pamamaraan ng pangangalakal, ang gagawa ng natitirang bahagi ng gawain mismo.

Para magtagumpay ang sinumang mangangalakal sa kanyang trabaho, kailangan niyang lutasin ang tatlo mahahalagang gawain: . Upang matiyak na ang bilang ng mga matagumpay na transaksyon ay lumampas sa hindi maiiwasang mga pagkakamali at maling kalkulasyon; I-set up ang iyong trading system upang magkaroon ka ng pagkakataong kumita ng pera nang madalas hangga't maaari; Makamit ang matatag na positibong resulta mula sa iyong mga operasyon.

At dito, para sa aming mga nagtatrabahong mangangalakal, ang pag-asa sa matematika ay maaaring maging malaking tulong. Ang terminong ito ay isa sa mga susi sa teorya ng posibilidad. Sa tulong nito, maaari kang magbigay ng average na pagtatantya ng ilang random na halaga. Ang pag-asa sa matematika ng isang random na variable ay katulad ng sentro ng grabidad, kung akala mo ang lahat ng posibleng probabilidad bilang mga puntos na may iba't ibang masa.

Kaugnay ng isang diskarte sa pangangalakal, ang matematikal na inaasahan ng kita (o pagkalugi) ay kadalasang ginagamit upang suriin ang pagiging epektibo nito. Ang parameter na ito ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga ibinigay na antas ng kita at pagkawala at ang posibilidad ng paglitaw ng mga ito. Halimbawa, ipinapalagay ng binuong diskarte sa pangangalakal na 37% ng lahat ng mga transaksyon ay magdadala ng tubo, at ang natitirang bahagi - 63% - ay hindi kumikita. Kasabay nito, ang average na kita mula sa isang matagumpay na transaksyon ay magiging $7, at ang average na pagkawala ay magiging $1.4. Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan ng pangangalakal gamit ang sistemang ito:

Ano ang ibig sabihin ng numerong ito? Sinasabi nito na, sa pagsunod sa mga patakaran ng sistemang ito, sa karaniwan ay makakatanggap kami ng $1,708 mula sa bawat saradong transaksyon. Dahil ang resultang rating ng kahusayan ay mas malaki kaysa sa zero, maaaring gamitin ang naturang sistema para sa totoong trabaho. Kung, bilang isang resulta ng pagkalkula, ang pag-asa sa matematika ay lumabas na negatibo, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang average na pagkalugi at ang naturang kalakalan ay hahantong sa pagkasira.

Ang halaga ng tubo sa bawat transaksyon ay maaari ding ipahayag bilang isang kamag-anak na halaga sa anyo ng %. Halimbawa:

– porsyento ng kita sa bawat 1 transaksyon - 5%;

– porsyento ng matagumpay na operasyon ng kalakalan - 62%;

– porsyento ng pagkawala sa bawat 1 transaksyon - 3%;

– porsyento ng mga hindi matagumpay na transaksyon - 38%;

Iyon ay, ang average na kalakalan ay magdadala ng 1.96%.

Posibleng bumuo ng isang sistema na, sa kabila ng pamamayani ng mga hindi kumikitang kalakalan, ay magbibigay positibong resulta, dahil ang MO>0 nito.

Gayunpaman, hindi sapat ang paghihintay nang mag-isa. Mahirap kumita ng pera kung ang sistema ay nagbibigay ng napakakaunting mga signal ng kalakalan. Sa kasong ito, ang kakayahang kumita nito ay maihahambing sa interes ng bangko. Hayaan ang bawat operasyon na makagawa sa average lamang ng 0.5 dolyar, ngunit paano kung ang sistema ay may kasamang 1000 na operasyon bawat taon? Ito ay magiging isang napakaseryosong halaga sa medyo maikling panahon. Ito ay lohikal na sumusunod mula dito na ang isa pang natatanging katangian ng isang mahusay na sistema ng kalakalan ay maaaring isaalang-alang panandalian may hawak na mga posisyon.

Mga mapagkukunan at link

dic.academic.ru – akademikong online na diksyunaryo

mathematics.ru – website na pang-edukasyon sa matematika

nsu.ru – pang-edukasyon na website ng Novosibirsk Pambansang Unibersidad

webmath.ru – portal ng edukasyon para sa mga estudyante, aplikante at mga mag-aaral.

exponenta.ru website na pang-edukasyon sa matematika

ru.tradimo.com – libreng online trading school

crypto.hut2.ru – multidisciplinary mapagkukunan ng impormasyon

poker-wiki.ru – libreng encyclopedia ng poker

sernam.ru – Science Library mga piling publikasyong pangkalikasan sa agham

reshim.su – website SOLUSYON NAMIN ang mga problema sa pagsubok sa coursework

unfx.ru – Forex sa UNFX: pagsasanay, mga signal ng kalakalan, pamamahala ng tiwala

slovopedia.com – Malaki encyclopedic Dictionary Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Ang iyong gabay sa mundo ng poker

statanaliz.info - blog ng impormasyon "Pagsusuri ng istatistika ng data"

forex-trader.rf – portal ng Forex-Trader

megafx.ru – kasalukuyang Forex analytics

fx-by.com – lahat para sa isang mangangalakal