Batas ng pamamahagi. Pamamahagi polygon

Pahina 2

Graphically ang batas sa pamamahagi discrete na halaga ay ibinibigay sa anyo ng tinatawag na distribution polygon.  

Ang graphical na representasyon ng isang serye ng pamamahagi (tingnan ang Fig. 5) ay tinatawag na distribution polygon.  

Upang makilala ang batas sa pamamahagi, hindi natuloy random variable Kadalasan ginagamit ang isang row (table) at isang distribution polygon.  

Upang ilarawan ito, ang mga puntos (Y Pi) (x - i Pa) ay itinayo sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate at konektado ng mga segment ng linya. Ang polygon ng pamamahagi ay nagbibigay ng tinatayang visual na representasyon ng katangian ng pamamahagi ng isang random na variable.  

Para sa kalinawan, ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaari ding ilarawan sa grapiko, kung saan ang mga puntos (x/, p) ay itinayo sa isang hugis-parihaba na coordinate system, at pagkatapos ay konektado sa pamamagitan ng mga segment ng linya.  

M (xn; pn) (hp - - posibleng mga halaga Xt pi - ang kaukulang mga probabilidad) at ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na segment. Ang resultang figure ay tinatawag na distribution polygon.  

Isaalang-alang ang probability distribution ng kabuuan ng mga puntos sa dais. Ang mga figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga polygon ng pamamahagi para sa kaso ng isa, dalawa at tatlong buto.  

Sa kasong ito, sa halip na isang distribution polygon ng isang random na variable, isang distribution density function ang itinayo, na tinatawag na differential distribution function at kumakatawan sa differential distribution law. Sa probability theory, ang distribution density ng random variable x (x Xr) ay nauunawaan bilang limitasyon ng ratio ng probability ng value x na bumabagsak sa pagitan (x, x - Ax) hanggang Ax, kapag Al; may posibilidad na zero. Bilang karagdagan sa differential function, ang integral distribution function, na kadalasang tinatawag na distribution function o integral distribution law, ay ginagamit upang makilala ang distribution ng isang random variable.  

Sa pagbuo na ito, ang mga kamag-anak na frequency ng pagbagsak sa mga pagitan ay magiging katumbas ng mga lugar ng kaukulang histogram bar, tulad ng mga probabilidad ay katumbas ng mga lugar ng kaukulang curvilinear trapezoids Kung ang ipinapalagay na teoretikal na pamamahagi ay sumasang-ayon nang mabuti sa eksperimento, kung gayon na may sapat na malaking n at isang matagumpay na pagpili ng mga agwat (YJ-I, y. Minsan, para sa kalinawan ng paghahambing, ang isang polygon ng pamamahagi ay itinayo sa pamamagitan ng pagkonekta sa serye sa mga midpoint ng itaas na mga base ng histogram bar.  

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng m iba't ibang mga halaga mula 0 hanggang i, ang mga probabilidad na PQ, P RF - Pn ay nakuha, na naka-plot sa graph. Ibinigay p; z11, bumuo ng probability distribution polygon.  

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang anumang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga probabilidad. Ang batas ay maaaring tukuyin sa tabularly (distribution series), graphically (distribution polygon, atbp.) at analytically.  

Ang paghahanap ng kurba ng pamamahagi, sa madaling salita, ang pagtatatag ng distribusyon ng random na variable mismo, ay ginagawang posible na mas malalim na pag-aralan ang isang kababalaghan na malayo sa ganap na ipinahayag ng isang partikular na serye ng pamamahagi. Sa pamamagitan ng pagguhit ng parehong nakitang leveling distribution curve at ang distribution polygon na binuo mula sa bahagyang populasyon, malinaw na nakikita ng mananaliksik katangian likas sa kababalaghang pinag-aaralan. Dahil dito, itinutuon ng pagsusuri ng istatistika ang atensyon ng mananaliksik sa mga paglihis ng naobserbahang data mula sa ilang natural na pagbabago sa kababalaghan, at nahaharap ang mananaliksik sa gawaing alamin ang mga dahilan para sa mga paglihis na ito.  

Pagkatapos, ang mga abscissas (sa isang sukat) ay iginuhit mula sa gitna ng mga agwat, na tumutugma sa bilang ng mga buwan na may pagkonsumo sa pagitan na ito. Ang mga dulo ng mga abscissas na ito ay konektado at sa gayon ay nakuha ang isang polygon, o distribution polygon.  

Ang mga puntos na nagbibigay ng isang graphical na representasyon ng batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable sa coordinate plane ng halaga ng dami - ang posibilidad ng mga halaga, ay karaniwang konektado ng mga tuwid na segment at ang resulta ay tinatawag na geometric na pigura polygon ng pamamahagi. Sa Fig. 3 sa talahanayan 46 (pati na rin sa mga figure 4 at 5) ang mga polygon ng pamamahagi ay ipinapakita.  

discrete tinatawag na isang random na variable na maaaring tumagal sa indibidwal, nakahiwalay na mga halaga na may ilang mga probabilidad.

HALIMBAWA 1. Ang dami ng beses na lumilitaw ang coat of arms sa tatlong coin tosses. Mga posibleng halaga: 0, 1, 2, 3, ang kanilang mga probabilidad ay pantay ayon sa pagkakabanggit:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

HALIMBAWA 2. Ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang device na binubuo ng limang elemento. Mga posibleng value: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ang kanilang mga probabilidad ay nakasalalay sa pagiging maaasahan ng bawat elemento.

Discrete random variable X maaaring ibigay ng isang serye ng pamamahagi o isang function ng pamamahagi (ang integral na batas sa pamamahagi).

Malapit sa pamamahagi ay ang hanay ng lahat ng posibleng halaga Xi at ang kanilang mga katumbas na probabilidad Rako = P(X = xi), maaari itong tukuyin bilang isang talahanayan:

x i				x n
p i				р n

Kasabay nito, ang mga probabilidad Ri masiyahan ang kondisyon

Ri= 1 kasi

kung saan ang bilang ng mga posibleng halaga n maaaring may hangganan o walang katapusan.

Graphical na representasyon ng serye ng pamamahagi tinatawag na distribution polygon . Upang mabuo ito, posibleng mga halaga ng random variable ( Xi) ay naka-plot kasama ang x-axis, at ang mga probabilidad Ri- kasama ang ordinate axis; puntos Ai may mga coordinate ( Xako,рi) ay konektado sa pamamagitan ng mga putol na linya.

Pag-andar ng pamamahagi random variable X tinatawag na function F(X), na ang halaga sa punto X ay katumbas ng posibilidad na ang random variable X magiging mas mababa sa halagang ito X, yan ay

F(x) = P(X< х).

Function F(X) Para sa discrete random variable kinakalkula ng formula

F(X) = Ri , (1.10.1)

kung saan ang pagsusuma ay isinasagawa sa lahat ng mga halaga i, para sa Xi< х.

HALIMBAWA 3. Mula sa isang batch na naglalaman ng 100 produkto, kung saan mayroong 10 may depekto, limang produkto ang random na pinili upang suriin ang kanilang kalidad. Bumuo ng isang serye ng mga distribusyon random na numero X mga may sira na produkto na nakapaloob sa sample.

Solusyon. Dahil sa sample ang bilang ng mga may sira na produkto ay maaaring maging anumang integer mula 0 hanggang 5 kasama, kung gayon ang mga posibleng halaga Xi random variable X ay pantay:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probability R(X = k) na eksaktong naglalaman ang sample k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) mga produktong may sira, katumbas

P (X = k) = .

Bilang resulta ng mga kalkulasyon gamit ang formula na ito na may katumpakan na 0.001, nakuha namin ang:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Paggamit ng pagkakapantay-pantay upang suriin Rk=1, tinitiyak namin na ang mga kalkulasyon at pag-round ay ginawa nang tama (tingnan ang talahanayan).

x i
p i

HALIMBAWA 4. Ibinigay ang isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable X :

x i
p i

Hanapin ang probability distribution function F(X) ng random variable na ito at buuin ito.

Solusyon. Kung X£10 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0;

kung 10<X£20 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

kung 20<X£30 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

kung 30<X£40 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

kung 40<X£50 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Kung X> 50, pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Sagot: Isaalang-alang ang isang hindi tuluy-tuloy na random na variable X na may mga posibleng halaga. Ang bawat isa sa mga halagang ito ay posible, ngunit hindi tiyak, at ang halaga X maaaring tanggapin ang bawat isa sa kanila na may ilang posibilidad. Bilang resulta ng eksperimento, ang halaga X kukuha ng isa sa mga halagang ito, ibig sabihin, magaganap ang isa sa kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan:

Tukuyin natin ang mga probabilidad ng mga pangyayaring ito sa pamamagitan ng mga titik R na may kaukulang mga indeks:

Iyon ay, ang pamamahagi ng posibilidad ng iba't ibang mga halaga ay maaaring tukuyin ng isang talahanayan ng pamamahagi, kung saan ang lahat ng mga halaga na kinuha ng isang naibigay na discrete random variable ay ipinahiwatig sa tuktok na linya, at ang mga probabilidad ng kaukulang mga halaga ay ipinahiwatig sa ilalim na linya. Dahil ang mga hindi tugmang kaganapan (3.1) ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, kung gayon, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng mga halaga ng random variable ay katumbas ng isa. Ang pamamahagi ng posibilidad ng tuluy-tuloy na mga random na variable ay hindi maaaring ipakita sa anyo ng isang talahanayan, dahil ang bilang ng mga halaga ng naturang mga random na variable ay walang katapusan kahit na sa isang limitadong pagitan. Bukod dito, ang posibilidad na makakuha ng anumang partikular na halaga ay zero. Ang isang random na variable ay ganap na ilalarawan mula sa isang probabilistikong pananaw kung tutukuyin namin ang distribusyon na ito, ibig sabihin, eksaktong ipinapahiwatig namin kung ano ang posibilidad na mayroon ang bawat isa sa mga kaganapan. Sa pamamagitan nito ay itatatag natin ang tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang random variable. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay anumang relasyon na nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at ang kaukulang probabilities. Sasabihin namin ang tungkol sa isang random na variable na ito ay napapailalim sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi. Itatag natin ang anyo kung saan maaaring tukuyin ang batas ng pamamahagi ng isang discontinuous random variable X. Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas na ito ay isang talahanayan na naglilista ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilidad:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	p 1	p 2	× × ×	p n

Tatawagin namin ang naturang talahanayan na isang serye ng mga distribusyon ng isang random na variable X.

kanin. 3.1

Upang bigyan ang serye ng pamamahagi ng isang mas visual na hitsura, madalas nilang ginagamit ang graphical na representasyon nito: ang mga posibleng halaga ng random variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot kasama ang ordinate axis. Para sa kalinawan, ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na segment. Ang nasabing figure ay tinatawag na distribution polygon (Fig. 3.1). Ang polygon ng pamamahagi, pati na rin ang serye ng pamamahagi, ay ganap na nagpapakilala sa random variable. ito ay isa sa mga anyo ng batas ng pamamahagi. Minsan ang tinatawag na "mekanikal" na interpretasyon ng serye ng pamamahagi ay maginhawa. Isipin natin na ang isang tiyak na masa na katumbas ng pagkakaisa ay ibinahagi sa kahabaan ng abscissa axis upang sa n ang masa ay puro sa mga indibidwal na punto, ayon sa pagkakabanggit . Pagkatapos ang serye ng pamamahagi ay binibigyang-kahulugan bilang isang sistema ng mga materyal na puntos na may ilang masa na matatagpuan sa abscissa axis.

Random variable ay isang dami na, bilang resulta ng eksperimento, ay maaaring tumagal sa isa o ibang halaga na hindi alam nang maaga. Mayroong mga random na variable di-tuloy (discrete) At tuloy-tuloy uri. Ang mga posibleng halaga ng mga hindi tuluy-tuloy na dami ay maaaring mailista nang maaga. Ang mga posibleng halaga ng tuluy-tuloy na dami ay hindi mailista nang maaga at patuloy na punan ang isang tiyak na puwang.

Halimbawa ng mga discrete random variable:

1) Ang dami ng beses na lumilitaw ang coat of arms sa tatlong coin tosses. (mga posibleng halaga 0;1;2;3)

2) Dalas ng paglitaw ng coat of arms sa parehong eksperimento. (mga posibleng halaga)

3) Ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang device na binubuo ng limang elemento. (Mga posibleng halaga 0;1;2;3;4;5)

Mga halimbawa ng tuluy-tuloy na random na variable:

1) Abscissa (ordinate) ng punto ng impact kapag pinaputok.

2) Distansya mula sa punto ng epekto hanggang sa gitna ng target.

3) Uptime ng device (radio tube).

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik, at ang kanilang mga posibleng halaga ay tinutukoy ng kaukulang maliliit na titik. Halimbawa, ang X ay ang bilang ng mga hit na may tatlong shot; posibleng mga halaga: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Isaalang-alang natin ang isang discontinuous random variable X na may posibleng mga halaga X 1, X 2, ..., X n. Ang bawat isa sa mga halagang ito ay posible, ngunit hindi tiyak, at ang halaga ng X ay maaaring kunin ang bawat isa sa kanila na may ilang posibilidad. Bilang resulta ng eksperimento, ang halaga ng X ay kukuha ng isa sa mga halagang ito, iyon ay, isa sa kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan ang magaganap.

Tukuyin natin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito sa pamamagitan ng mga titik p na may kaukulang mga indeks:

Dahil ang mga hindi magkatugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, kung gayon

ibig sabihin, ang kabuuan ng probabilidad ng lahat ng posibleng halaga ng isang random na variable ay katumbas ng 1. Ang kabuuang probabilidad na ito ay kahit papaano ay ibinahagi sa mga indibidwal na halaga. Ang isang random na variable ay ganap na ilalarawan mula sa isang probabilistikong pananaw kung tutukuyin natin ang distribusyon na ito, ibig sabihin, eksaktong ipinapahiwatig namin kung ano ang posibilidad na mayroon ang bawat isa sa mga kaganapan. (Ito ay magtatatag ng tinatawag na batas ng pamamahagi ng mga random na variable.)

Batas ng pamamahagi ng isang random variable ay anumang kaugnayan na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kaukulang probabilidad. (Sasabihin namin ang tungkol sa isang random na variable na napapailalim ito sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi)

Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay isang talahanayan na naglilista ng mga posibleng halaga ng random variable at ang kaukulang mga probabilidad.

Talahanayan 1.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	P n

Ang talahanayang ito ay tinatawag na malapit sa pamamahagi mga random na variable.

Upang bigyan ang serye ng pamamahagi ng isang mas visual na hitsura, ginagamit nila ang graphical na representasyon nito: ang mga posibleng halaga ng random variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot kasama ang ordinate axis. (Para sa kalinawan, ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng mga segment ng tuwid na linya.)

Figure 1 – polygon ng pamamahagi

Ang figure na ito ay tinatawag na polygon ng pamamahagi. Ang polygon ng pamamahagi, tulad ng serye ng pamamahagi, ay ganap na nagpapakilala sa random variable; ito ay isa sa mga anyo ng batas ng pamamahagi.

Halimbawa:

isang eksperimento ang ginagawa kung saan ang kaganapan A ay maaaring lumitaw o hindi Ang posibilidad ng kaganapan A = 0.3. Isinasaalang-alang namin ang isang random na variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa isang naibigay na eksperimento. Ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang serye at polygon ng pamamahagi ng halaga ng X.

Talahanayan 2.

X i
P i	0,7	0,3

Figure 2 - Distribution function

Pag-andar ng pamamahagi ay isang unibersal na katangian ng isang random na variable. Ito ay umiiral para sa lahat ng mga random na variable: parehong hindi tuloy-tuloy at hindi tuloy-tuloy. Ang function ng pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa isang random na variable mula sa isang probabilistikong punto ng view, iyon ay, ito ay isa sa mga anyo ng batas ng pamamahagi.

Upang matukoy ang dami ng probability distribution na ito, maginhawang gamitin hindi ang probabilidad ng kaganapan X=x, ngunit ang probabilidad ng kaganapan X

Ang distribution function na F(x) ay tinatawag ding cumulative distribution function o ang cumulative distribution law.

Mga katangian ng distribution function ng isang random variable

1. Ang distribution function na F(x) ay isang non-decreasing function ng argument nito, iyon ay, para sa ;

2. Sa minus infinity:

3. Sa plus infinity:

Figure 3 – graph ng function ng pamamahagi

Grap ng pagpapaandar ng pamamahagi sa pangkalahatan, ito ay isang graph ng isang hindi bumababa na function na ang mga halaga ay nagsisimula sa 0 at napupunta sa 1.

Alam ang serye ng pamamahagi ng isang random na variable, posible na bumuo ng distribution function ng random variable.

Halimbawa:

para sa mga kondisyon ng nakaraang halimbawa, buuin ang distribution function ng random variable.

Buuin natin ang function ng pamamahagi X:

Figure 4 – function ng pamamahagi X

Pag-andar ng pamamahagi ng anumang discontinuous discrete random variable mayroong palaging isang discontinuous step function, ang mga paglukso ay nangyayari sa mga punto na tumutugma sa mga posibleng halaga ng random variable at katumbas ng mga probabilidad ng mga halagang ito. Ang kabuuan ng lahat ng mga jump ng distribution function ay katumbas ng 1.

Habang ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay tumataas at ang mga agwat sa pagitan ng mga ito ay bumababa, ang bilang ng mga jump ay nagiging mas malaki, at ang mga jumps mismo ay nagiging mas maliit:

Larawan 5

Ang stepped curve ay nagiging mas makinis:

Larawan 6

Ang random na variable ay unti-unting lumalapit sa isang tuluy-tuloy na halaga, at ang pamamahagi ng function nito ay lumalapit sa isang tuluy-tuloy na function. Mayroon ding mga random na variable na ang mga posibleng halaga ay patuloy na pinupuno ang isang tiyak na agwat, ngunit kung saan ang pagpapaandar ng pamamahagi ay hindi tuloy-tuloy sa lahat ng dako. At sa ilang mga punto ito masira. Ang ganitong mga random na variable ay tinatawag na mixed.

Larawan 7

Ang konsepto ng isang random variable. Batas sa pamamahagi ng isang random na variable

Ang mga random na variable (pinaikling: r.v.) ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin na X, Y, Z,...(o maliliit na letrang Griyego ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi), atbp.), at ang mga halagang kinukuha nila ay naaayon sa maliliit na titik x 1 , x 2 ,…, sa 1 , sa 2 , sa 3 …

Mga halimbawa Sa. V. maaaring magsilbi: 1) X- ang bilang ng mga puntos na lumilitaw kapag naghahagis ng die; 2) Y - ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target; 3) Z- oras ng walang problemang pagpapatakbo ng device, atbp. (taas ng tao, halaga ng palitan ng dolyar, bilang ng mga may sira na bahagi sa isang batch, temperatura ng hangin, mga panalo ng manlalaro, coordinate ng isang punto kung ito ay random na pinili sa, kita ng kumpanya, . ..).

Random na variable XΏ w

X(w), ibig sabihin. X= X(w), wО Ώ (o X = f(w)) (31)

Halimbawa 1. Ang eksperimento ay binubuo ng paghagis ng barya ng 2 beses. Sa PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), kung saan w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, maaari mong isaalang-alang ang p. V. X- bilang ng mga pagpapakita ng coat of arms. S.v. X ay isang function ng elementary event w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. na may mga halagang x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p ako, saan ako = 1,2,3, ...,n,… .

Batas ng pamamahagi d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

Sa. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	p 1	p2	….	p n	…

Mula sa mga pangyayari (X = x 1 ), (X = x 2 ),…, (X = x n ), ibig sabihin. .

(x 1 , p 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) ay tinatawag polygon(o polygon) pamamahagi(tingnan ang Fig. 17).

Random na halaga Ang X ay discrete, kung may hangganan o mabibilang na hanay ng mga numero x 1 , x 2 , ..., x n ganyan P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) p 1 + p2 + p 3 +…= 1 (32)

Halaga d.s. V. X, kumukuha ng mga halaga x i na may probabilities p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, at d.s. V. Y, ang pagkuha ng mga halaga y j na may probabilities p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, ay tinatawag na d.s. V. Z = X + Y, kumukuha ng mga halaga z ij = x i + y j na may mga probabilidad p ij = P( X = x i,Y = y j), para sa lahat ng tinukoy na halaga i at j. Kung ang ilang mga sums x i + y j ay nagtutugma, ang mga katumbas na probabilidad ay idinagdag.

Sa pamamagitan ng pagkakaiba d.s. V. X, pagkuha ng mga halaga x i na may probabilities p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, at d.s. V. Y, ang pagkuha ng mga halaga y j na may probabilities p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, ay tinatawag na d.s. V. Z = X - Y, kumukuha ng mga halaga z ij = x i – y j na may probabilities p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), para sa lahat ng tinukoy na halaga i at j. Kung ang ilang mga pagkakaiba x i – y j ay nag-tutugma, ang mga katumbas na probabilidad ay idinagdag.

Ang trabaho d.s. V. X, pagkuha ng mga halaga x i na may probabilities p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, at d.s. V. Y, ang pagkuha ng mga halaga y j na may probabilities p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, ay tinatawag na d.s. V. Z = X × Y, kumukuha ng mga halaga z ij = x i × y j na may mga probabilidad p ij = P( X = x i,Y = y j), para sa lahat ng tinukoy na halaga i at j. Kung ang ilang mga produkto x i × y j ay nagtutugma, ang mga katumbas na probabilidad ay idaragdag.

d.s. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

Ang mga kaganapan sa X at Y (X = x i) = A i at (Y = y j) = B j ay independiyente para sa alinmang i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Halimbawa 2. Mayroong 8 bola sa urn, 5 sa mga ito ay puti, ang iba ay itim. 3 bola ay iginuhit nang random mula dito. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng bilang ng mga puting bola sa sample.