Solusyon.
Posibilidad na walang iginuhit na emblem: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilidad na makakuha ng tatlong coat of arms: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
Batas sa pamamahagi ng random variable X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Halimbawa Blg. 2. Ang posibilidad na matamaan ng isang tagabaril ang target ng isang shot para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawang tagabaril - 0.85. Isang putok ang pinaputukan ng mga bumaril sa target. Isinasaalang-alang ang pag-hit sa target bilang mga independiyenteng kaganapan para sa mga indibidwal na shooter, hanapin ang posibilidad ng kaganapan A - eksaktong isang hit sa target.
Solusyon.
Isaalang-alang ang kaganapan A - isang hit sa target. Mga posibleng opsyon Ang paglitaw ng kaganapang ito ay ang mga sumusunod:
- Ang unang tagabaril ay tumama, ang pangalawang tagabaril ay hindi nakuha: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Hindi nakuha ng unang tagabaril, naabot ng pangalawang tagabaril ang target: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Ang una at pangalawang arrow ay tumama sa target nang hiwalay sa isa't isa: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Tulad ng nalalaman, random variable ay tinatawag na variable na dami na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay nagpapahiwatig sa malalaking titik alpabetong Latin(X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay ipinahiwatig sa kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.
Discrete random variable tinawag random na halaga, kumukuha lamang ng isang finite o infinite (countable) na hanay ng mga value na may ilang partikular na non-zero probabilities.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang kaukulang probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.
1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) sa pamamagitan ng paggamit function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x, ibig sabihin. F(x) = P(X< x).
Mga katangian ng function F(x)
3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring tukuyin nang grapiko – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).
Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema ay hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, ito ay sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng karamihan mahahalagang katangian batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapahiwatig ang average na laki paglihis ng random variable mula sa mean value nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.
Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :
- Pag-asa sa matematika
(average na halaga) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ - Pagpapakalat
discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2)− 2. Ang pagkakaiba X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ - Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
1000 lottery ticket ang inisyu: 5 sa kanila ang mananalo ng 500 rubles, 10 ang mananalo ng 100 rubles, 20 ang mananalo ng 50 rubles, 50 ang mananalo ng 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.
Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 – (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilidad: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipakita natin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:
Hanapin natin ang mathematical expectation ng value X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Gawain 3.
Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.
Solusyon. 1. Ang discrete random variable X=(ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod posibleng mga halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 (dalawang elemento ang nabigo) at x 4 =3 (tatlong elemento ang nabigo).
Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay pantay, samakatuwid ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli
. Isinasaalang-alang na, ayon sa kondisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Kaya, ang gustong binomial distribution law ng X ay may anyo:
Inilalagay namin ang mga posibleng halaga ng x i kasama ang abscissa axis, at ang kaukulang probabilities p i kasama ang ordinate axis. Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa mga segment ng tuwid na linya, nakukuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.
3. Hanapin natin ang distribution function F(x) = Р(Х
Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = Р(Х<0) = 0;para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 magkakaroon ng F(x) = 1, dahil maaasahan ang kaganapan.
 |
Graph ng function F(x)
4.
Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- variance D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Discrete random Ang mga variable ay mga random na variable na kumukuha lamang ng mga halaga na malayo sa isa't isa at maaaring mailista nang maaga.
Batas ng pamamahagi
Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay isang relasyon na nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities.
Ang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kaukulang mga probabilidad.
Ang distribution function ng isang discrete random variable ay ang function:
,
pagtukoy para sa bawat halaga ng argumentong x ang posibilidad na ang random variable na X ay kukuha ng halagang mas mababa kaysa sa x na ito.
Pag-asa ng isang discrete random variable
,
saan ang halaga ng isang discrete random variable; - ang posibilidad ng isang random na variable na tumatanggap ng mga halaga ng X.
Kung ang isang random na variable ay tumatagal ng isang mabibilang na hanay ng mga posibleng halaga, kung gayon: 
.
Pag-asa sa matematika ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n independiyenteng pagsubok:
,
Dispersion at standard deviation ng isang discrete random variable
Pagpapakalat ng isang discrete random variable: 
o 
.
Pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n independiyenteng pagsubok 
,
kung saan ang p ay ang posibilidad ng pangyayaring naganap.
Standard deviation ng isang discrete random variable: 
.
Halimbawa 1
Bumuo ng batas ng probability distribution para sa isang discrete random variable (DRV) X – ang bilang ng k na paglitaw ng hindi bababa sa isang “anim” sa n = 8 na paghagis ng isang pares ng dice. Bumuo ng distribution polygon. Hanapin ang mga numerical na katangian ng distribution (distribution mode, mathematical expectation M(X), dispersion D(X), standard deviation s(X)). Solusyon: Ipakilala natin ang notasyon: kaganapan A - "kapag naghagis ng isang pares ng dice, isang anim ang lilitaw nang hindi bababa sa isang beses." Upang mahanap ang probabilidad na P(A) = p ng kaganapan A, mas madaling mahanap ang probabilidad na P(Ā) = q ng kabaligtaran na kaganapan Ā - "kapag naghagis ng isang pares ng dice, hindi kailanman lumitaw ang anim."
Dahil ang posibilidad ng isang "anim" ay hindi lumilitaw kapag naghagis ng isang mamatay ay 5/6, pagkatapos ay ayon sa probability multiplication theorem
P(Ā) = q = = .
Kaugnay nito,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Ang mga pagsubok sa problema ay sumusunod sa Bernoulli scheme, kaya d.s.v. magnitude X- numero k ang paglitaw ng hindi bababa sa isang anim kapag naghahagis ng dalawang dice ay sumusunod sa binomial na batas ng pamamahagi ng posibilidad: 
where = ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng n Sa pamamagitan ng k.
Ang mga kalkulasyon na isinagawa para sa problemang ito ay maaaring maginhawang iharap sa anyo ng isang talahanayan:
Pamamahagi ng probabilidad d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )
| k | ||||||||||
Si Pn(k) |
Polygon (polygon) ng probability distribution ng isang discrete random variable X ipinapakita sa figure:
kanin. Pamamahagi ng probabilidad polygon d.s.v. X=k.
Ang patayong linya ay nagpapakita ng mathematical na inaasahan ng pamamahagi M(X).
Hanapin natin ang mga numerical na katangian ng probability distribution ng d.s.v. X. Ang distribution mode ay 2 (dito P 8(2) = 0.2932 maximum). Ang pag-asa sa matematika ayon sa kahulugan ay katumbas ng:
M(X) = = 2,4444,
saan xk = k– halaga na kinuha ng d.s.v. X. Pagkakaiba D(X) nahanap namin ang pamamahagi gamit ang formula:
D(X) = 
= 4,8097.
Standard deviation (RMS):
s( X) = = 2,1931.
Halimbawa2
Discrete random variable X ibinigay ng batas sa pamamahagi
Solusyon. Kung , pagkatapos (ikatlong ari-arian).
Kung, kung gayon. Talaga, X maaaring kunin ang halaga 1 na may posibilidad na 0.3.
Kung, kung gayon. Sa katunayan, kung ito ay nasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
, pagkatapos ay katumbas ng posibilidad ng isang kaganapan na maaaring mangyari kapag X kukunin ang halaga 1 (ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.3) o ang halaga 4 (ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.1). Dahil ang dalawang kaganapang ito ay hindi magkatugma, kung gayon ayon sa karagdagan theorem, ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad na 0.3 + 0.1 = 0.4. Kung, kung gayon. Sa katunayan, ang kaganapan ay tiyak, samakatuwid ang posibilidad nito ay katumbas ng isa. Kaya, ang pagpapaandar ng pamamahagi ay maaaring isulat nang analitikal tulad ng sumusunod: 
Graph ng function na ito:
Hanapin natin ang mga probabilidad na tumutugma sa mga halagang ito. Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng mga aparato ay pantay-pantay: kung gayon ang mga posibilidad na ang mga aparato ay gagana sa panahon ng warranty ay pantay: 
Ang batas sa pamamahagi ay may anyo:
Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus
akademya ng agrikultura"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
Mga Alituntunin
para pag-aralan ang paksang "Random Variables" ng mga mag-aaral ng Faculty of Accounting for Correspondence Education (NISPO)
Gorki, 2013
Mga random na variable
Mga discrete at tuluy-tuloy na random variable
Ang isa sa mga pangunahing konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto random variable . Random variable ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, ay tumatagal lamang ng isa sa maraming posibleng mga halaga nito, at hindi alam nang maaga kung alin.
Mayroong mga random na variable discrete at tuloy-tuloy . Discrete random variable (DRV) ay isang random na variable na maaaring tumagal sa isang tiyak na bilang ng mga halaga na nakahiwalay sa isa't isa, i.e. kung ang mga posibleng halaga ng dami na ito ay maaaring muling kalkulahin. Continuous random variable (CNV) ay isang random na variable, lahat ng posibleng mga halaga na ganap na punan ang isang tiyak na pagitan ng linya ng numero.
Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng Latin na alpabeto X, Y, Z, atbp. Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable ay ipinahiwatig ng kaukulang maliliit na titik.
Itala 
ay nangangahulugang "ang posibilidad na ang isang random na variable X kukuha ng halaga na 5, katumbas ng 0.28."
Halimbawa 1 . Ang dice ay inihagis nang isang beses. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang mga numero mula 1 hanggang 6, na nagpapahiwatig ng bilang ng mga puntos. Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga puntos na pinagsama). Ang random variable na ito bilang resulta ng pagsubok ay maaari lamang tumagal ng isa sa anim na value: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Samakatuwid, ang random variable X may DSV.
Halimbawa 2 . Kapag ang isang bato ay itinapon, ito ay naglalakbay sa isang tiyak na distansya. Tukuyin natin ang random variable X=(stone flight distance). Ang random na variable na ito ay maaaring tumagal ng anuman, ngunit isa lamang, na halaga mula sa isang tiyak na agwat. Samakatuwid, ang random variable X may NSV.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
Ang isang discrete random variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga halaga na maaari nitong kunin at ang mga probabilidad kung saan ang mga halagang ito ay kinuha. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable at ang kanilang kaukulang probabilities ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable .
Kung alam ang lahat ng posibleng halaga 
random variable X at mga probabilidad 
hitsura ng mga halagang ito, pagkatapos ay pinaniniwalaan na ang batas ng pamamahagi ng DSV X ay kilala at maaaring isulat sa anyo ng talahanayan:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ang batas sa pamamahagi ng DSV ay maaaring ilarawan nang graphic kung ang mga punto ay inilalarawan sa isang hugis-parihaba na coordinate system 
,
,
…,
at ikonekta ang mga ito sa mga segment ng tuwid na linya. Ang resultang figure ay tinatawag na distribution polygon.
Halimbawa 3 . Ang butil na inilaan para sa paglilinis ay naglalaman ng 10% na mga damo. 4 na butil ang napili nang random. Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga damo sa apat na napili). Bumuo ng batas sa pamamahagi ng DSV X at polygon ng pamamahagi.
Solusyon . Ayon sa mga kondisyon ng halimbawa. Pagkatapos:
Isulat natin ang batas ng pamamahagi ng DSV X sa anyo ng isang talahanayan at bumuo ng isang polygon ng pamamahagi:
|
|
Pag-asa ng isang discrete random variable
Ang pinakamahalagang katangian ng isang discrete random variable ay inilalarawan ng mga katangian nito. Isa sa mga katangiang ito ay inaasahang halaga random variable.
Ipaalam ang batas sa pamamahagi ng DSV X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Pag-asa sa matematika
DSV X ay ang kabuuan ng mga produkto ng bawat halaga ng dami na ito at ang katumbas na posibilidad: 
.
Ang mathematical expectation ng isang random variable ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng lahat ng value nito. Samakatuwid, sa mga praktikal na problema, ang average na halaga ng random variable na ito ay madalas na kinuha bilang ang matematikal na inaasahan.
Halimbawa 8 . Ang tagabaril ay nakakuha ng 4, 8, 9 at 10 puntos na may probabilidad na 0.1, 0.45, 0.3 at 0.15. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos sa isang shot.
Solusyon . Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga puntos na nakuha). Tapos . Kaya, ang inaasahang average na bilang ng mga puntos na nakuha sa isang shot ay 8.2, at may 10 shot - 82.
Pangunahing katangian ang inaasahan sa matematika ay:
.
.
, Saan 
,
.
.
, Saan X At Y ay mga independiyenteng random na variable.
Pagkakaiba 
tinawag paglihis
random variable X mula sa inaasahan nito sa matematika. Ang pagkakaibang ito ay isang random na variable at ang mathematical expectation nito ay zero, i.e. 
.
Pagkakaiba ng isang discrete random variable
Upang makilala ang isang random na variable, bilang karagdagan sa inaasahan ng matematika, ginagamit din namin pagpapakalat , na ginagawang posible na tantyahin ang pagpapakalat (pagkalat) ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika nito. Kapag naghahambing ng dalawang homogenous na random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika, ang "pinakamahusay" na halaga ay itinuturing na ang isa na may mas kaunting pagkalat, i.e. mas kaunting dispersion.
Pagkakaiba random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation nito: .
Sa mga praktikal na problema, isang katumbas na pormula ang ginagamit upang kalkulahin ang pagkakaiba.
Ang mga pangunahing katangian ng pagpapakalat ay:
.
Maaari naming i-highlight ang pinakakaraniwang mga batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable:
- Binomial distribution law
- Batas sa pamamahagi ng Poisson
- Batas sa pamamahagi ng geometriko
- Batas sa pamamahagi ng hypergeometric
Para sa mga ibinigay na distribusyon ng mga discrete random variable, ang pagkalkula ng mga probabilidad ng kanilang mga halaga, pati na rin ang mga numerical na katangian (pang-matematika na inaasahan, pagkakaiba, atbp.) ay isinasagawa gamit ang ilang "mga formula". Samakatuwid, napakahalagang malaman ang mga ganitong uri ng pamamahagi at ang kanilang mga pangunahing katangian.
1. Binomial distribution law.
Ang isang discrete random variable na $X$ ay napapailalim sa binomial probability distribution law kung ito ay kukuha ng mga value na $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kaliwa(1-p\kanan))^(n-k)$. Sa katunayan, ang random na variable na $X$ ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapang $A$ sa $n$ na mga independyenteng pagsubok. Batas ng probability distribution ng random variable $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang mathematical na inaasahan ay $M\left(X\right)=np$, ang variance ay $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Halimbawa . Ang pamilya ay may dalawang anak. Ipagpalagay na ang mga probabilidad ng pagkakaroon ng isang lalaki at isang babae ay katumbas ng $0.5$, hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $\xi$ - ang bilang ng mga lalaki sa pamilya.
Hayaang ang random variable na $\xi $ ang bilang ng mga lalaki sa pamilya. Mga value na maaaring kunin ng $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay matatagpuan gamit ang formula na $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kung saan ang $n =2$ ay ang bilang ng mga independiyenteng pagsubok, ang $p=0.5$ ay ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang serye ng mga $n$ na pagsubok. Nakukuha namin:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable na $\xi $ ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halaga $0,\ 1,\ 2$ at ang kanilang mga probabilidad, iyon ay:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$
Ang kabuuan ng mga probabilidad sa batas sa pamamahagi ay dapat na katumbas ng $1$, ibig sabihin, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
Inaasahan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variance $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, karaniwang deviation $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.
2. Batas sa pamamahagi ng Poisson.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga non-negative integer values $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities na $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Magkomento. Ang kakaiba ng distribusyon na ito ay, batay sa pang-eksperimentong data, nakakakita kami ng mga pagtatantya na $M\kaliwa(X\kanan),\ D\kaliwa(X\kanan)$, kung ang nakuhang mga pagtatantya ay malapit sa isa't isa, kung gayon mayroon kaming dahilan upang igiit na ang random na variable ay napapailalim sa batas ng pamamahagi ng Poisson.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na napapailalim sa batas sa pamamahagi ng Poisson ay maaaring: ang bilang ng mga sasakyan na ihahatid ng isang gasolinahan bukas; bilang ng mga may sira na item sa mga ginawang produkto.
Halimbawa . Nagpadala ang pabrika ng $500$ ng mga produkto sa base. Ang posibilidad ng pagkasira ng produkto sa pagpapadala ay $0.002$. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$ na katumbas ng bilang ng mga nasirang produkto; ano ang $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.
Hayaang ang discrete random variable na $X$ ang bilang ng mga nasirang produkto. Ang nasabing random variable ay napapailalim sa Poisson distribution law na may parameter na $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Ang mga probabilidad ng mga halaga ay katumbas ng $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Batas sa pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang mathematical expectation at variance ay katumbas ng isa't isa at katumbas ng parameter na $\lambda $, ibig sabihin, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Batas sa pamamahagi ng geometriko.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga natural na halaga $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, pagkatapos ay sinasabi nila na ang naturang random variable na $X$ ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Sa katunayan, ang geometric distribution ay isang Bernoulli test hanggang sa unang tagumpay.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na may geometric distribution ay maaaring: ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target; bilang ng mga pagsubok sa device hanggang sa unang pagkabigo; ang bilang ng mga paghagis ng barya hanggang sa lumabas ang unang ulo, atbp.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang random na variable na napapailalim sa geometric distribution ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Halimbawa . Sa paraan ng paggalaw ng isda patungo sa lugar ng pangingitlog ay mayroong $4$ lock. Ang posibilidad ng isda na dumaan sa bawat lock ay $p=3/5$. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng random variable na $X$ - ang bilang ng mga kandado na ipinasa ng isda bago ang unang detensyon sa lock. Hanapin ang $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga kandado na ipinasa ng isda bago ang unang pag-aresto sa lock. Ang nasabing random variable ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Mga value na maaaring kunin ng random variable na $X:$ 1, 2, 3, 4. Ang mga probabilidad ng mga value na ito ay kinakalkula gamit ang formula: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kung saan: $ p=2/5$ - posibilidad na makulong ang isda sa pamamagitan ng lock, $q=1-p=3/5$ - posibilidad na dumaan ang isda sa lock, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ higit sa (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ mahigit (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$
Inaasahang halaga:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Dispersion:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kaliwa(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kaliwa(3-2,176\kanan))^2+$
$+\0.216\cdot (\kaliwa(4-2,176\kanan))^2\approx 1.377.$
Karaniwang lihis:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
4. Batas sa pamamahagi ng hypergeometric.
Kung ang mga bagay na $N$, kung saan ang mga bagay na $m$ ay may ibinigay na katangian. Ang mga $n$ na bagay ay random na kinukuha nang hindi bumabalik, kung saan mayroong $k$ na mga bagay na may ibinigay na pag-aari. Ginagawang posible ng hypergeometric distribution na matantya ang posibilidad na ang eksaktong $k$ na mga bagay sa sample ay may ibinigay na katangian. Hayaang ang random na variable na $X$ ang bilang ng mga bagay sa sample na may ibinigay na property. Pagkatapos ang mga probabilidad ng mga halaga ng random variable na $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Magkomento. Ang statistical function na HYPERGEOMET ng Excel $f_x$ function wizard ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang posibilidad na ang isang tiyak na bilang ng mga pagsubok ay magiging matagumpay.
$f_x\to$ istatistika$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. May lalabas na dialog box na kailangan mong punan. Sa column Bilang_ng_mga_tagumpay_sa_sample ipahiwatig ang halaga $k$. sample_size katumbas ng $n$. Sa column Bilang_ng_mga_tagumpay_sa_sama ipahiwatig ang halaga $m$. laki ng populasyon katumbas ng $N$.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang discrete random variable na $X$, na napapailalim sa geometric distribution law, ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Halimbawa . Ang departamento ng kredito ng bangko ay gumagamit ng 5 mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi at 3 mga espesyalista na may mas mataas na legal na edukasyon. Nagpasya ang pamunuan ng bangko na magpadala ng 3 mga espesyalista upang mapabuti ang kanilang mga kwalipikasyon, na pinili sila sa random na pagkakasunud-sunod.
a) Gumawa ng serye ng pamamahagi para sa bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi na maaaring ipadala upang mapabuti ang kanilang mga kasanayan;
b) Hanapin ang mga numerical na katangian ng distribusyon na ito.
Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyong pinansyal sa tatlong napili. Mga value na maaaring kunin ng $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ang random variable na ito na $X$ ay ipinamamahagi ayon sa isang hypergeometric distribution na may mga sumusunod na parameter: $N=8$ - laki ng populasyon, $m=5$ - bilang ng mga tagumpay sa populasyon, $n=3$ - laki ng sample, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - bilang ng mga tagumpay sa sample. Pagkatapos ay ang mga probabilidad na $P\left(X=k\right)$ ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ higit sa C_( N)^(n) ) $. Meron kami:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$
Pagkatapos ang serye ng pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$
Kalkulahin natin ang mga numerical na katangian ng random variable na $X$ gamit ang pangkalahatang hyper formula geometric na pamamahagi.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\kanan))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$
