Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika. Ang pagitan ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng mean (kilala ang pagkakaiba-iba) sa MS EXCEL

Kadalasan ay kailangang suriin ng appraiser ang real estate market ng segment kung saan matatagpuan ang property na tinatasa. Kung ang merkado ay binuo, maaaring mahirap pag-aralan ang buong hanay ng mga ipinakita na bagay, kaya isang sample ng mga bagay ang ginagamit para sa pagsusuri. Ang sample na ito ay hindi palaging nagiging homogenous; Para sa layuning ito ito ay ginagamit agwat ng kumpiyansa. Target itong pag aaral- magsagawa ng comparative analysis ng dalawang paraan para sa pagkalkula ng confidence interval at piliin ang pinakamainam na opsyon sa pagkalkula kapag nagtatrabaho sa iba't ibang sample sa estimatica.pro system.

Agwat ng kumpiyansa- isang pagitan ng mga halaga ng katangian na kinakalkula batay sa isang sample, na may kilalang probabilidad ay naglalaman ng tinantyang parameter populasyon.

Ang punto ng pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa ay ang pagbuo ng ganoong agwat batay sa sample na data upang maipahayag ito nang may ibinigay na posibilidad na ang halaga ng tinantyang parameter ay nasa pagitan na ito. Sa madaling salita, ang agwat ng kumpiyansa ay naglalaman ng isang tiyak na posibilidad hindi kilalang halaga tinantyang halaga. Kung mas malawak ang pagitan, mas mataas ang kamalian.

Mayroong iba't ibang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng agwat ng kumpiyansa. Sa artikulong ito titingnan natin ang 2 pamamaraan:

• sa pamamagitan ng median at standard deviation;
• sa pamamagitan ng kritikal na halaga t-statistics (koepisyent ng mag-aaral).

Mga yugto paghahambing na pagsusuri iba't ibang paraan Pagkalkula ng CI:

1. bumuo ng sample ng data;

2. pinoproseso namin ito gamit ang mga istatistikal na pamamaraan: kinakalkula namin ang average na halaga, median, pagkakaiba-iba, atbp.;

3. kalkulahin ang agwat ng kumpiyansa sa dalawang paraan;

4. pag-aralan ang mga nalinis na sample at ang mga resultang agwat ng kumpiyansa.

Stage 1. Data sampling

Ang sample ay nabuo gamit ang estimatica.pro system. Kasama sa sample ang 91 na alok para sa pagbebenta ng mga apartment na may 1 silid sa ika-3 na zone ng presyo na may uri ng layout na "Khrushchev".

Talahanayan 1. Paunang sample

	Presyo 1 sq.m., unit

Fig.1. Paunang sample

Stage 2. Pagproseso ng unang sample

Ang pagproseso ng sample gamit ang mga istatistikal na pamamaraan ay nangangailangan ng pagkalkula ng mga sumusunod na halaga:

1. Arithmetic mean

2. Median - isang numero na nagpapakilala sa sample: eksaktong kalahati ng mga elemento ng sample ay mas malaki kaysa sa median, ang isa pang kalahati ay mas mababa sa median

(para sa isang sample na may kakaibang bilang ng mga halaga)

3. Saklaw - ang pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na halaga sa sample

4. Variance - ginagamit upang mas tumpak na matantya ang variation ng data

5. Ang sample na standard deviation (simula dito - SD) ay ang pinakakaraniwang indicator ng dispersion ng mga adjustment values ​​sa paligid ng arithmetic mean.

6. Coefficient of variation - sumasalamin sa antas ng scattering ng mga halaga ng pagsasaayos

7. oscillation coefficient - sumasalamin sa kamag-anak na pagbabagu-bago ng matinding halaga ng presyo sa sample sa paligid ng average

Talahanayan 2. Mga tagapagpahiwatig ng istatistika ng orihinal na sample

Ang coefficient ng variation, na nagpapakilala sa homogeneity ng data, ay 12.29%, ngunit ang coefficient ng oscillation ay masyadong mataas. Kaya, maaari nating sabihin na ang orihinal na sample ay hindi homogenous, kaya magpatuloy tayo sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa.

Stage 3. Pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa

Paraan 1. Pagkalkula gamit ang median at standard deviation.

Ang agwat ng kumpiyansa ay tinutukoy bilang mga sumusunod: pinakamababang halaga - ang karaniwang paglihis ay ibinabawas mula sa median; maximum na halaga - ang karaniwang paglihis ay idinagdag sa median.

Kaya, ang agwat ng kumpiyansa (47179 CU; 60689 CU)

kanin. 2. Mga halagang bumabagsak sa pagitan ng kumpiyansa 1.

Paraan 2. Pagbuo ng confidence interval gamit ang kritikal na halaga ng t-statistics (Student coefficient)

S.V. Gribovsky sa aklat na " Mga pamamaraan sa matematika Ang pagtatantya ng halaga ng ari-arian" ay naglalarawan ng isang paraan para sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa gamit ang koepisyent ng Mag-aaral. Kapag nagkalkula gamit ang pamamaraang ito, ang estimator ay dapat mismo ang magtakda ng antas ng kahalagahan ∝, na tumutukoy sa posibilidad na mabuo ang pagitan ng kumpiyansa. Karaniwan, ginagamit ang mga antas ng kahalagahan ng 0.1; 0.05 at 0.01. Tumutugma sila sa mga probabilidad ng kumpiyansa na 0.9; 0.95 at 0.99. Sa pamamaraang ito, ipinapalagay ang mga tunay na halaga inaasahan sa matematika at ang mga pagkakaiba ay halos hindi alam (na halos palaging totoo kapag nilulutas ang mga problema sa praktikal na pagtatantya).

Formula sa pagitan ng kumpiyansa:

n - laki ng sample;

Ang kritikal na halaga ng t-statistics (Pamamahagi ng mag-aaral) na may antas ng kahalagahan ∝, ang bilang ng mga antas ng kalayaan n-1, na tinutukoy mula sa mga espesyal na talahanayan ng istatistika o gamit ang MS Excel (→"Statistical"→ STUDIST);

∝ - antas ng kahalagahan, kunin ang ∝=0.01.

kanin. 2. Ang mga halaga ay bumabagsak sa pagitan ng kumpiyansa 2.

Stage 4. Pagsusuri ng iba't ibang paraan para sa pagkalkula ng confidence interval

Dalawang paraan ng pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa - sa pamamagitan ng median at koepisyent ng Mag-aaral - na humantong sa iba't ibang kahulugan mga pagitan. Alinsunod dito, nakakuha kami ng dalawang magkaibang nalinis na sample.

Talahanayan 3. Mga istatistika para sa tatlong sample.

Index	Paunang sample	1 opsyon	Opsyon 2
Average na halaga
Pagpapakalat
Coef. mga pagkakaiba-iba
Coef. mga oscillations
Bilang ng mga retiradong bagay, mga pcs.

Batay sa mga kalkulasyon na isinagawa, masasabi nating ang nakuha iba't ibang pamamaraan ang mga halaga ng mga agwat ng kumpiyansa ay nagsalubong, kaya maaari mong gamitin ang alinman sa mga pamamaraan ng pagkalkula sa pagpapasya ng evaluator.

Gayunpaman, naniniwala kami na kapag nagtatrabaho sa estimatica.pro system, ipinapayong pumili ng paraan para sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa depende sa antas ng pag-unlad ng merkado:

• kung ang merkado ay hindi binuo, gamitin ang paraan ng pagkalkula gamit ang median at standard deviation, dahil ang bilang ng mga retiradong bagay sa kasong ito ay maliit;
• kung ang merkado ay binuo, ilapat ang pagkalkula sa pamamagitan ng kritikal na halaga ng t-statistics (estudyante's coefficient), dahil posible na bumuo ng isang malaking paunang sample.

Sa paghahanda ng artikulo ang mga sumusunod ay ginamit:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Mga pamamaraan ng matematika para sa pagtatasa ng halaga ng ari-arian. Moscow, 2014

2. System data estimatica.pro

Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika - ito ay isang agwat na kinakalkula mula sa data na, na may kilalang probabilidad, ay naglalaman ng mathematical na inaasahan ng pangkalahatang populasyon. Ang natural na pagtatantya para sa mathematical na inaasahan ay ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga nito. Samakatuwid, sa buong aralin ay gagamitin natin ang mga katagang "average" at "average na halaga". Sa mga problema sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa, ang isang sagot na kadalasang kinakailangan ay tulad ng "Ang agwat ng kumpiyansa ng mean [halaga sa isang partikular na problema] ay mula sa [mas maliit na halaga] hanggang sa [mas malaking halaga]." Gamit ang isang agwat ng kumpiyansa, maaari mong suriin hindi lamang ang mga average na halaga, kundi pati na rin ang proporsyon ng isang partikular na katangian ng pangkalahatang populasyon. Mga average, pagkakaiba-iba, karaniwang lihis at ang mga pagkakamali kung saan tayo makakarating sa mga bagong kahulugan at pormula ay tinalakay sa aralin Mga katangian ng sample at populasyon .

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng mean

Kung ang average na halaga ng populasyon ay tinatantya ng isang numero (punto), kung gayon ang isang tiyak na average, na kinakalkula mula sa isang sample ng mga obserbasyon, ay kinuha bilang isang pagtatantya ng hindi kilalang average na halaga ng populasyon. Sa kasong ito, ang halaga ng sample mean - isang random na variable - ay hindi tumutugma sa mean na halaga ng pangkalahatang populasyon. Samakatuwid, kapag ipinapahiwatig ang ibig sabihin ng sample, dapat mong sabay na ipahiwatig ang error sa sampling. Ang sukat ng error sa sampling ay ang karaniwang error, na ipinahayag sa parehong mga yunit bilang mean. Samakatuwid, ang sumusunod na notasyon ay kadalasang ginagamit: .

Kung ang pagtatantya ng average ay kailangang iugnay sa isang tiyak na posibilidad, kung gayon ang parameter ng interes sa populasyon ay dapat na tantyahin hindi sa pamamagitan ng isang numero, ngunit sa pamamagitan ng isang pagitan. Ang agwat ng kumpiyansa ay isang agwat kung saan, na may tiyak na posibilidad P matatagpuan ang halaga ng tinantyang indicator ng populasyon. Ang pagitan ng kumpiyansa kung saan ito ay malamang P = 1 - α ang random na variable ay matatagpuan, kinakalkula tulad ng sumusunod:

,

α = 1 - P, na makikita sa apendiks sa halos anumang aklat sa mga istatistika.

Sa pagsasagawa, ang ibig sabihin ng populasyon at pagkakaiba ay hindi alam, kaya ang pagkakaiba ng populasyon ay pinapalitan ng sample na pagkakaiba, at ang ibig sabihin ng populasyon ng sample na mean. Kaya, ang agwat ng kumpiyansa sa karamihan ng mga kaso ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

.

Ang formula ng confidence interval ay maaaring gamitin upang tantyahin ang ibig sabihin ng populasyon kung

• ang karaniwang paglihis ng populasyon ay kilala;
• o ang karaniwang paglihis ng populasyon ay hindi alam, ngunit ang laki ng sample ay higit sa 30.

Ang sample mean ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng average ng populasyon. Sa turn, ang sample variance ay hindi isang walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon. Upang makakuha ng walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon sa sample na formula ng pagkakaiba, laki ng sample n dapat palitan ng n-1.

Halimbawa 1. Ang impormasyon ay nakolekta mula sa 100 random na piniling mga cafe sa isang tiyak na lungsod na ang average na bilang ng mga empleyado sa kanila ay 10.5 na may karaniwang paglihis na 4.6. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa bilang ng mga empleyado ng cafe.

nasaan ang kritikal na halaga ng pamantayan normal na pamamahagi para sa antas ng kahalagahan α = 0,05 .

Kaya, ang 95% confidence interval para sa average na bilang ng mga empleyado ng cafe ay mula 9.6 hanggang 11.4.

Halimbawa 2. Para sa isang random na sample mula sa isang populasyon ng 64 na mga obserbasyon, ang mga sumusunod na kabuuang halaga ay kinakalkula:

kabuuan ng mga halaga sa mga obserbasyon,

kabuuan ng mga squared deviations ng mga halaga mula sa mean .

Kalkulahin ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika.

Kalkulahin natin ang karaniwang paglihis:

,

Kalkulahin natin ang average na halaga:

.

Pinapalitan namin ang mga halaga sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan ng matematika ng sample na ito ay mula 7.484 hanggang 11.266.

Halimbawa 3. Para sa random na sample ng populasyon ng 100 obserbasyon, ang kinakalkula na mean ay 15.2 at ang standard deviation ay 3.2. Kalkulahin ang 95% confidence interval para sa inaasahang halaga, pagkatapos ay ang 99% confidence interval. Kung ang sample power at ang variation nito ay mananatiling hindi nagbabago at ang confidence coefficient ay tumaas, magpapaliit ba o lalawak ang confidence interval?

Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.57 hanggang 15.82.

Muli naming pinapalitan ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,01 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 99% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.37 hanggang 16.02.

Tulad ng nakikita natin, habang tumataas ang koepisyent ng kumpiyansa, tumataas din ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon, at, dahil dito, ang mga panimulang punto at pagtatapos ng pagitan ay matatagpuan sa malayo mula sa mean, at sa gayon ang agwat ng kumpiyansa para sa pag-asa sa matematika ay tumataas. .

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng tiyak na gravity

Ang bahagi ng ilang sample na katangian ay maaaring bigyang-kahulugan bilang pagtatantya ng punto tiyak na gravity p ng parehong katangian sa pangkalahatang populasyon. Kung kailangang iugnay ang value na ito sa probabilidad, dapat kalkulahin ang confidence interval ng specific gravity p katangian sa populasyon na may posibilidad P = 1 - α :

.

Halimbawa 4. Sa ilang lungsod mayroong dalawang kandidato A At B tumatakbong mayor. Ang 200 residente ng lungsod ay random na na-survey, kung saan 46% ang tumugon na iboboto nila ang kandidato A, 26% - para sa kandidato B at 28% ang hindi alam kung sino ang kanilang iboboto. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa proporsyon ng mga residente ng lungsod na sumusuporta sa kandidato A.

Agwat ng kumpiyansa- limitahan ang mga halaga istatistikal na halaga, na may ibinigay na probabilidad ng kumpiyansa na γ ay nasa pagitan na ito kapag nagsa-sample ng mas malaking volume. Tinutukoy bilang P(θ - ε. Sa pagsasagawa, ang probabilidad ng kumpiyansa na γ ay pinili mula sa mga halagang medyo malapit sa pagkakaisa: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Layunin ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito, matutukoy mo:

• agwat ng kumpiyansa para sa pangkalahatang mean, agwat ng kumpiyansa para sa pagkakaiba;
• confidence interval para sa standard deviation, confidence interval para sa general share;

Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file (tingnan ang halimbawa). Nasa ibaba ang isang video na pagtuturo kung paano punan ang paunang data.

Halimbawa Blg. 1. Sa isang kolektibong bukid, sa kabuuang kawan ng 1000 tupa, 100 tupa ang sumailalim sa selective control shearing. Bilang isang resulta, ang isang average na gupit ng lana na 4.2 kg bawat tupa ay itinatag. Tukuyin na may probabilidad na 0.99 ang mean square error ng sample kapag tinutukoy ang average na paggugupit ng lana bawat tupa at ang mga limitasyon kung saan nakapaloob ang halaga ng paggugupit kung ang pagkakaiba ay 2.5. Ang sample ay hindi paulit-ulit.
Halimbawa Blg. 2. Mula sa isang batch ng mga imported na produkto sa post ng Moscow Northern Customs, 20 sample ng produktong "A" ang kinuha sa pamamagitan ng random na paulit-ulit na sampling. Bilang resulta ng pagsubok, ang average na nilalaman ng kahalumigmigan ng produkto na "A" sa sample ay itinatag, na naging katumbas ng 6% na may karaniwang paglihis ng 1%.
Tukuyin na may posibilidad na 0.683 ang mga limitasyon ng average na moisture content ng produkto sa buong batch ng mga imported na produkto.
Halimbawa Blg. 3. Ang isang survey sa 36 na mga mag-aaral ay nagpakita na ang average na bilang ng mga textbook na kanilang binabasa bawat taon Taong panuruan, naging katumbas ng 6. Ipagpalagay na ang bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre ay may normal na batas sa pamamahagi na may karaniwang paglihis na katumbas ng 6, hanapin ang: A) na may pagiging maaasahan na 0.99, isang pagtatantya ng pagitan para sa matematikal inaasahan ng random variable na ito; B) sa anong posibilidad na masasabi natin na ang average na bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre, na kinakalkula mula sa isang ibinigay na sample, ay lilihis mula sa inaasahan sa matematika ayon sa ganap na halaga hindi hihigit sa 2.

Pag-uuri ng mga agwat ng kumpiyansa

Sa pamamagitan ng uri ng parameter na sinusuri:

Ayon sa uri ng sample:

1. Agwat ng kumpiyansa para sa isang walang katapusang sample;
2. Agwat ng kumpiyansa para sa huling sample;

Ang sample ay tinatawag na resampling, kung ang napiling bagay ay ibinalik sa populasyon bago piliin ang susunod. Ang sample ay tinatawag na non-repeat, kung ang napiling bagay ay hindi ibinalik sa populasyon. Sa pagsasagawa, kadalasan ay nakikitungo kami sa mga hindi paulit-ulit na sample.

Pagkalkula ng average sampling error para sa random sampling

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng mga tagapagpahiwatig na nakuha mula sa sample at ang kaukulang mga parameter ng pangkalahatang populasyon ay tinatawag pagkakamali sa pagiging kinatawan.
Mga pagtatalaga ng mga pangunahing parameter ng pangkalahatan at sample na populasyon.

Average na mga formula ng error sa pag-sample
muling pagpili		hindi paulit-ulit na pagpili
para sa karaniwan	para ibahagi	para sa karaniwan	para ibahagi

Ang ugnayan sa pagitan ng limitasyon ng error sa pag-sample (Δ) ay ginagarantiyahan na may ilang posibilidad Р(t), At average na error ang sample ay may anyo: o Δ = t·μ, kung saan t– koepisyent ng kumpiyansa, tinutukoy depende sa antas ng posibilidad na P(t) ayon sa talahanayan ng Laplace integral function.

Mga formula para sa pagkalkula ng laki ng sample gamit ang isang random na paraan ng sampling

Hayaan ang isang random na variable (maaari nating pag-usapan ang tungkol sa isang pangkalahatang populasyon) na ipamahagi ayon sa isang normal na batas, kung saan ang pagkakaiba D = 2 (> 0) ay kilala. Mula sa pangkalahatang populasyon (sa hanay ng mga bagay kung saan tinutukoy ang isang random na variable), isang sample ng laki n ang ginawa. Ang sample na x 1 , x 2 ,..., x n ay itinuturing bilang isang set ng n independiyenteng random na mga variable na ibinahagi sa parehong paraan tulad ng (ang diskarte na ipinaliwanag sa itaas sa teksto).

Ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay tinalakay at napatunayan nang mas maaga:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Ito ay sapat na upang patunayan lamang (inaalis namin ang patunay) na ang random na variable ay nasa sa kasong ito ay ipinamamahagi din ayon sa normal na batas.

Tukuyin natin ang hindi kilalang dami ng M sa pamamagitan ng a at piliin, batay sa ibinigay na pagiging maaasahan, ang numerong d > 0 upang ang kundisyon ay masiyahan:

P(- a< d) = (1)

Dahil ang random na variable ay ibinahagi ayon sa normal na batas na may matematikal na inaasahan M = M = a at variance D = D / n = 2 / n, nakuha namin ang:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Ito ay nananatiling pumili d upang ang pagkakapantay-pantay ay humahawak

Para sa sinuman, maaari mong gamitin ang talahanayan upang makahanap ng isang numerong t tulad ng (t)= / 2. Ang numerong ito ay tinatawag minsan dami.

Ngayon mula sa pagkakapantay-pantay

tukuyin natin ang halaga ng d:

Nakukuha namin ang huling resulta sa pamamagitan ng pagpapakita ng formula (1) sa form:

Ang kahulugan ng huling formula ay ang mga sumusunod: na may pagiging maaasahan, ang agwat ng kumpiyansa

sumasaklaw sa hindi kilalang parameter a = M ng populasyon. Maaari mong sabihin ito nang iba: pagtatantya ng punto tinutukoy ang halaga ng parameter M na may katumpakan d= t / at pagiging maaasahan.

Gawain. Hayaang magkaroon ng isang populasyon na may isang tiyak na katangian na ibinahagi ayon sa isang normal na batas na may pagkakaiba na katumbas ng 6.25. Isang sample na laki ng n = 27 ang kinuha at ang average na sample value ng katangian ay nakuha = 12. Humanap ng confidence interval na sumasaklaw sa hindi alam na mathematical expectation ng pinag-aralan na katangian ng pangkalahatang populasyon na may reliability = 0.99.

Solusyon. Una, gamit ang talahanayan para sa Laplace function, makikita natin ang halaga ng t mula sa pagkakapantay-pantay (t) = / 2 = 0.495. Batay sa nakuhang halaga t = 2.58, tinutukoy namin ang katumpakan ng pagtatantya (o kalahati ng haba ng agwat ng kumpiyansa) d: d = 2.52.58 / 1.24. Mula dito nakuha namin ang kinakailangang agwat ng kumpiyansa: (10.76; 13.24).

istatistikal na hypothesis pangkalahatang variasyonal

Agwat ng kumpiyansa para sa mathematical na inaasahan ng isang normal na distribusyon kapag hindi kilalang pagkakaiba-iba

Hayaan ang isang random na variable na ibinahagi ayon sa isang normal na batas na may hindi alam na matematikal na inaasahan M, na tinutukoy namin ng titik a. Gumawa tayo ng sample ng volume n. Alamin natin ang average na sample at naitama ang sample variance s 2 gamit ang mga kilalang formula.

Random na halaga

ibinahagi ayon sa batas ng Mag-aaral na may n - 1 antas ng kalayaan.

Ang gawain ay upang makahanap ng isang numero t para sa isang naibigay na pagiging maaasahan at ang bilang ng mga antas ng kalayaan n - 1 upang ang pagkakapantay-pantay

o katumbas na pagkakapantay-pantay

Dito sa mga bracket ay nakasulat ang kondisyon na ang halaga ng hindi kilalang parameter a ay kabilang sa isang tiyak na pagitan, na kung saan ay ang agwat ng kumpiyansa. Ang mga hangganan nito ay nakasalalay sa pagiging maaasahan gayundin sa mga parameter ng sampling at s.

Upang matukoy ang halaga ng t ayon sa magnitude, binabago namin ang pagkakapantay-pantay (2) sa anyo:

Ngayon, gamit ang talahanayan para sa isang random na variable t na ibinahagi ayon sa batas ng Mag-aaral, gamit ang probabilidad 1 - at ang bilang ng mga antas ng kalayaan n - 1, makikita natin ang t. Ang pormula (3) ay nagbibigay ng sagot sa problemang iniharap.

Gawain. Sa panahon ng control test ng 20 electric lamp average na tagal ang kanilang trabaho ay katumbas ng 2000 oras na may karaniwang paglihis (kinakalkula bilang square root ng itinamang sample variance) na katumbas ng 11 oras. Ito ay kilala na ang tagal ng pagpapatakbo ng lamp ay normal na ipinamamahagi random variable. Tukuyin na may reliability na 0.95 ang isang confidence interval para sa matematikal na inaasahan ng random variable na ito.

Solusyon. Halaga 1 - sa kasong ito ay katumbas ng 0.05. Ayon sa talahanayan ng pamamahagi ng Mag-aaral, na may bilang ng mga antas ng kalayaan na katumbas ng 19, makikita natin ang: t = 2.093. Kalkulahin natin ngayon ang katumpakan ng pagtatantya: 2.093121/ = 56.6. Mula dito nakuha namin ang kinakailangang agwat ng kumpiyansa: (1943.4; 2056.6).

Hayaang maipamahagi nang normal ang random variable X ng populasyon, na isinasaalang-alang na ang pagkakaiba at karaniwang paglihis ng distribusyon na ito ay kilala. Kinakailangang tantyahin ang hindi alam na inaasahan sa matematika gamit ang sample mean. Sa kasong ito, bumababa ang gawain sa paghahanap ng agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika na may pagiging maaasahan b. Kung itinakda mo ang halaga posibilidad ng kumpiyansa(pagiging maaasahan) b, pagkatapos ay mahahanap mo ang posibilidad na mahulog sa pagitan para sa isang hindi kilalang inaasahan sa matematika gamit ang formula (6.9a):

kung saan ang Ф(t) ay ang Laplace function (5.17a).

Bilang resulta, maaari tayong magbalangkas ng isang algorithm para sa paghahanap ng mga hangganan ng agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika kung ang pagkakaiba D = s 2 ay kilala:

1. Itakda ang halaga ng pagiging maaasahan – b.
2. Mula sa (6.14) ipahayag ang Ф(t) = 0.5× b. Piliin ang value ng t mula sa table para sa Laplace function ayon sa value na Ф(t) (tingnan ang Appendix 1).
3. Kalkulahin ang deviation e gamit ang formula (6.10).
4. Isulat ang pagitan ng kumpiyansa gamit ang formula (6.12) na may posibilidad na b ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:

.

Halimbawa 5.

Ang random variable X ay may normal na distribusyon. Maghanap ng mga agwat ng kumpiyansa para sa isang pagtatantya na may pagiging maaasahan b = 0.96 ng hindi alam na inaasahan sa matematika a, kung ibinigay:

1) pangkalahatang karaniwang paglihis s = 5;

2) sample average;

3) laki ng sample n = 49.

Sa formula (6.15) para sa pagtatantya ng pagitan ng inaasahan sa matematika A may pagiging maaasahan b lahat ng dami maliban sa t ay kilala. Ang halaga ng t ay matatagpuan gamit ang (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Gamit ang talahanayan sa Appendix 1 para sa Laplace function na Ф(t) = 0.48, hanapin ang katumbas na halaga t = 2.06. Kaya naman, . Sa pamamagitan ng pagpapalit ng kinakalkula na halaga ng e sa formula (6.12), maaari kang makakuha ng agwat ng kumpiyansa: 30-1.47< a < 30+1,47.

Ang kinakailangang agwat ng kumpiyansa para sa isang pagtatantya na may pagiging maaasahan b = 0.96 ng hindi alam na inaasahan sa matematika ay katumbas ng: 28.53< a < 31,47.