Unipormeng pamamahagi.Random na halaga X ay may kahulugan ng mga coordinate ng isang punto na pinili nang random sa isang segment

[a, b. Unipormeng density random variable distribution X(Larawan 10.5, A) maaaring tukuyin bilang:

kanin. 10.5. Uniform distribution ng random variable: A- density ng pamamahagi; b- function ng pamamahagi

Random Variable Distribution Function X ay may anyo:

Ang graph ng pare-parehong function ng pamamahagi ay ipinapakita sa Fig. 10.5, b.

Kinakalkula namin ang pagbabago ng Laplace ng isang pare-parehong pamamahagi gamit ang (10.3):

Ang inaasahang halaga at pagkakaiba ay madaling kalkulahin nang direkta mula sa kaukulang mga kahulugan:

Ang mga katulad na formula para sa mathematical na inaasahan at dispersion ay maaari ding makuha gamit ang Laplace transform gamit ang mga formula (10.8), (10.9).

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang sistema ng serbisyo na maaaring ilarawan ng isang pare-parehong pamamahagi.

Ang trapiko sa intersection ay kinokontrol ng isang awtomatikong traffic light, kung saan naka-on ang berdeng ilaw sa loob ng 1 minuto at pula sa loob ng 0.5 minuto. Papalapit ang mga driver sa isang intersection mga random na sandali oras na may pare-parehong pamamahagi na hindi nauugnay sa pagpapatakbo ng ilaw ng trapiko. Hanapin natin ang posibilidad na madaanan ng kotse ang intersection nang walang tigil.

Ang sandaling dumaan ang isang kotse sa intersection ay ibinahagi nang pantay sa pagitan ng 1 + 0.5 = 1.5 minuto. Ang sasakyan ay dadaan sa intersection nang hindi humihinto kung ang sandali ng pagdaan sa intersection ay nasa loob ng agwat ng oras. Para sa isang pare-parehong ibinahagi na random na variable sa isang pagitan, ang posibilidad na mahulog sa pagitan ay 1/1.5=2/3. Ang oras ng paghihintay Гож ay isang mixed random variable. Sa probabilidad na 2/3 ito ay katumbas ng zero, at sa probabilidad na 0.5/1.5 ito ay tumatagal ng anumang halaga sa pagitan ng 0 at 0.5 min. Samakatuwid, ang average na oras ng paghihintay at pagkakaiba sa intersection

Exponential (exponential) distribution. Para sa isang exponential distribution, ang distribution density ng isang random variable ay maaaring isulat bilang:

kung saan ang A ay tinatawag na parameter ng pamamahagi.

Ang probability density graph ng exponential distribution ay ipinapakita sa Fig. 10.6, A.

Ang distribution function ng isang random variable na may exponential distribution ay may anyo

kanin. 10.6. Exponential distribution ng random variable: A- density ng pamamahagi; b - function ng pamamahagi

Ang graph ng exponential distribution function ay ipinapakita sa Fig. 10.6, 6.

Kinakalkula namin ang pagbabago ng Laplace ng exponential distribution gamit ang (10.3):

Ipakita natin iyon para sa isang random na variable X, pagkakaroon ng exponential distribution, inaasahang halaga katumbas ng standard deviation a at inversely sa parameter A:

Kaya, para sa exponential distribution mayroon tayo: Maaari din itong ipakita na

mga. Ang exponential distribution ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng mean o parameter X .

Ang exponential distribution ay may numero mga kapaki-pakinabang na katangian, na ginagamit sa pagmomodelo ng mga sistema ng serbisyo. Halimbawa, wala itong memorya. Kailan , Iyon

Sa madaling salita, kung ang random na variable ay tumutugma sa oras, kung gayon ang pamamahagi ng natitirang tagal ay hindi nakasalalay sa oras na lumipas na. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan sa Fig. 10.7.

kanin. 10.7.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang system na ang mga operating parameter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang exponential distribution.

Kapag gumagana ang isang device, nangyayari ang mga malfunction sa random na oras. Oras ng pagpapatakbo ng device T mula sa paglipat nito hanggang sa paglitaw ng isang malfunction ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter X. Kung ang isang madepektong paggawa ay napansin, ang aparato ay agad na nag-aayos, na tumatagal ng oras / 0. Hanapin natin ang density at distribution function ng time interval Г sa pagitan ng dalawang magkatabing fault, ang mathematical expectation at dispersion, pati na rin ang probabilidad na ang oras T x magkakaroon pa 2t 0 .

Simula noon

Normal na pamamahagi. Ang normal ay ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na inilalarawan ng density

Mula sa (10.48) sinusundan iyon normal na pamamahagi tinutukoy ng dalawang parameter - inaasahan sa matematika T at pagpapakalat a 2. Probability density graph ng isang random variable na may normal na distribution sa t= 0, at 2 =1 ay ipinapakita sa Fig. 10.8, A.

kanin. 10.8. Normal na batas sa pamamahagi ng isang random na variable sa T= 0, st 2 = 1: A- density ng posibilidad; 6 - function ng pamamahagi

Ang function ng pamamahagi ay inilalarawan ng formula

Graph ng probability distribution function ng isang normally distributed random variable sa T= 0, at 2 = 1 ay ipinapakita sa Fig. 10.8, b.

Alamin natin ang posibilidad na X kukuha ng halagang kabilang sa pagitan (a, p):

saan ay ang Laplace function, at ang posibilidad na

na ang absolute value ng deviation ay mas mababa sa positive number 6:

Sa partikular, kapag t = 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Tulad ng nakikita mo, ang isang random na variable na may normal na distribusyon ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Samakatuwid, upang makalkula ang mga sandali, kinakailangan na gumamit ng two-way na pagbabago ng Laplace

Gayunpaman, ang integral na ito ay hindi kinakailangang umiiral. Kung ito ay umiiral, sa halip na (10.50) ang expression ay karaniwang ginagamit

na tinatawag na katangiang pag-andar o pagbuo ng function ng mga sandali.

Kalkulahin natin ang pagbuo ng function ng mga sandali ng normal na distribusyon gamit ang formula (10.51):

Matapos baguhin ang numerator ng subexponential expression sa form na nakukuha natin

integral

dahil ito ang integral ng normal na probability density sa mga parameter t + kaya 2 at isang 2. Kaya naman,

Differentiating (10.52), nakuha namin

Mula sa mga ekspresyong ito makikita mo ang mga sumusunod na punto:

Ang normal na distribusyon ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, dahil, ayon sa central limit theorem, kung ang isang random na variable ay ang kabuuan ng isang napakalaking bilang ng mutually independent random variable, ang impluwensya ng bawat isa sa kabuuan ay bale-wala, kung gayon ito ay may distribusyon na malapit sa normal.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang sistema na ang mga parameter ay maaaring ilarawan ng isang normal na distribusyon.

Ang kumpanya ay gumagawa ng isang bahagi ng isang naibigay na laki. Ang kalidad ng isang bahagi ay tinatasa sa pamamagitan ng pagsukat sa laki nito. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na batas na may standard deviation A- Yumkm. Hanapin natin ang posibilidad na ang error sa pagsukat ay hindi lalampas sa 15 microns.

Mula sa (10.49) nakita namin

Para sa kadalian ng paggamit ng mga isinasaalang-alang na pamamahagi, ibubuod namin ang mga nakuhang formula sa Talahanayan. 10.1 at 10.2.

Talahanayan 10.1. Mga pangunahing katangian ng tuluy-tuloy na pamamahagi

Talahanayan 10.2. Bumubuo ng mga function ng tuluy-tuloy na pamamahagi

CONTROL QUESTIONS

• 1. Anong mga pamamahagi ng posibilidad ang itinuturing na tuloy-tuloy?
• 2. Ano ang pagbabago ng Laplace-Stieltjes? Ano ang gamit nito?
• 3. Paano makalkula ang mga sandali ng mga random na variable gamit ang pagbabagong-anyo ng Laplace-Stieltjes?
• 4. Ano ang pagbabago ng Laplace ng isang kabuuan ng mga independiyenteng random na variable?
• 5. Paano makalkula ang average na oras at pagkakaiba-iba ng oras ng paglipat ng isang system mula sa isang estado patungo sa isa pa gamit ang mga signal graph?
• 6. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng pare-parehong pamamahagi. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 7. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng exponential distribution. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 8. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng isang normal na distribusyon. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.

Kabanata 6. Patuloy na random variable.

§ 1. Density at distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable.

Ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi mabilang at karaniwang kumakatawan sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.

Ang isang random na variable na x(w) na tinukoy sa isang probability space (W, S, P) ay tinatawag tuloy-tuloy(ganap na tuloy-tuloy) W, kung mayroong hindi negatibong function na para sa alinmang x ang distribution function na Fx(x) ay maaaring katawanin bilang integral

Ang function ay tinatawag na function mga density ng pamamahagi ng posibilidad.

Ang kahulugan ay nagpapahiwatig ng mga katangian ng distribution density function:

1..gif" width="97" height="51">

3. Sa mga punto ng pagpapatuloy, ang density ng pamamahagi ay katumbas ng derivative ng function ng pamamahagi: .

4. Tinutukoy ng density ng pamamahagi ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable, dahil tinutukoy nito ang posibilidad ng isang random variable na nahuhulog sa pagitan:

5. Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable ay kukuha ng isang tiyak na halaga ay zero: . Samakatuwid, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay wasto:

Ang graph ng distribution density function ay tinatawag kurba ng pamamahagi, at ang lugar na nililimitahan ng kurba ng pamamahagi at ang x-axis ay katumbas ng pagkakaisa. Pagkatapos, sa geometriko, ang halaga ng distribution function na Fx(x) sa puntong x0 ay ang lugar na nililimitahan ng distribution curve at ang x-axis at nakahiga sa kaliwa ng point x0.

Gawain 1. Ang density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay may anyo:

Tukuyin ang pare-parehong C, buuin ang distribution function na Fx(x) at kalkulahin ang probabilidad.

Solusyon. Ang pare-parehong C ay matatagpuan mula sa kondisyong Mayroon Kami:

saan ang C=3/8.

Upang mabuo ang function ng pamamahagi Fx(x), tandaan na hinahati ng agwat ang hanay ng mga halaga ng argumento x (numeric axis) sa tatlong bahagi: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

dahil ang density x sa semi-axis ay zero. Sa pangalawang kaso

Sa wakas, sa huling kaso, kapag x>2,

Dahil ang density ay naglalaho sa semi-axis. Kaya, nakuha ang function ng pamamahagi

Probability Magkalkula tayo gamit ang formula. kaya,

§ 2. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable

Inaasahang halaga para sa patuloy na ibinahagi na mga random na variable ay tinutukoy ng formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

kung ang integral sa kanan ay ganap na nagtatagpo.

Pagpapakalat x ay maaaring kalkulahin gamit ang formula , at gayundin, tulad ng sa discrete case, ayon sa formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Ang lahat ng katangian ng mathematical na inaasahan at dispersion na ibinigay sa Kabanata 5 para sa mga discrete random variable ay valid din para sa tuluy-tuloy na random variable.

Problema 2. Para sa random variable x mula sa Problema 1, kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba .

Solusyon.

At ang kahulugan niyan ay

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Para sa isang pare-parehong distribution density graph, tingnan ang Fig. .

Fig.6.2. Distribution function at distribution density. pare-parehong batas

Ang distribution function na Fx(x) ng isang pare-parehong ibinahagi na random variable ay katumbas ng

Fx(x)=

Inaasahan at pagkakaiba-iba; .

Exponential (exponential) distribution. Ang tuluy-tuloy na random variable x na kumukuha ng mga hindi negatibong halaga ay may exponential distribution na may parameter l>0 kung ang probability density distribution ng random variable ay katumbas ng

рx(x)=

kanin. 6.3. Distribution function at distribution density ng exponential law.

Ang distribution function ng exponential distribution ay may form

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> at kung ang density ng pamamahagi nito ay katumbas ng

.

Ang Through ay tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga random na variable na ibinahagi ayon sa isang normal na batas na may mga parameter na parameter at .

Ang distribution function ng isang normally distributed random variable ay katumbas ng

.

kanin. 6.4. Distribution function at normal distribution density

Ang mga parameter ng normal na distribution ay ang mathematical na inaasahan https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Sa espesyal na kaso kapag https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> tinatawag na normal na distribution pamantayan, at ang klase ng naturang mga pamamahagi ay tinutukoy ng https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

at ang function ng pamamahagi

Ang nasabing integral ay hindi maaaring kalkulahin nang analytical (hindi ito kinuha sa "quadratures"), at samakatuwid ang mga talahanayan ay pinagsama-sama para sa function. Ang function ay nauugnay sa Laplace function na ipinakilala sa Kabanata 4

,

sa pamamagitan ng sumusunod na kaugnayan . Sa kaso ng mga arbitrary na halaga ng parameter https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ang distribution function ng isang random variable ay nauugnay sa Laplace function gamit ang kaugnayan:

.

Samakatuwid, ang posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random na variable na bumabagsak sa isang pagitan ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

.

Ang isang non-negative random variable x ay tinatawag na lognormally distributed kung ang logarithm h=lnx nito ay sumusunod sa normal na batas. Ang inaasahang halaga at pagkakaiba ng isang lognormally distributed random variable ay Mx= at Dx=.

Gawain 3. Hayaang maibigay ang isang random na variable https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Solusyon. Dito https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Pamamahagi ng Laplace ay ibinigay ng function na fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> at ang kurtosis ay gx=3.

Larawan.6.5. Laplace distribution density function.

Ang random na variable x ay ipinamamahagi sa ibabaw Batas ng Weibull, kung mayroon itong distribution density function na katumbas ng https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Ang pamamahagi ng Weibull ay namamahala sa mga oras ng operasyon na walang kabiguan ng maraming mga teknikal na aparato. Sa mga gawain ng profile na ito mahalagang katangian ay ang rate ng pagkabigo (mortality rate) l(t) ng mga pinag-aralan na elemento ng edad t, na tinutukoy ng kaugnayan l(t)=. Kung a=1, ang pamamahagi ng Weibull ay magiging exponential distribution, at kung a=2 - sa tinatawag na distribution Rayleigh.

Pag-asa sa matematika ng pamamahagi ng Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kung saan ang Г(а) ay ang Euler function. .

SA iba't ibang gawain Sa mga inilapat na istatistika, ang tinatawag na "pinutol" na mga pamamahagi ay madalas na nakatagpo. Halimbawa, ang mga awtoridad sa buwis ay interesado sa pamamahagi ng kita ng mga indibidwal na ang taunang kita ay lumampas sa isang partikular na threshold c0 na itinatag ng mga batas sa buwis. Ang mga pamamahaging ito ay lumalabas na humigit-kumulang na tumutugma sa pamamahagi ng Pareto. Pamamahagi ng Pareto ibinigay ng mga function

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> ng isang random variable x at isang monotonic differentiable function ..gif" width="200" height="51">

Dito https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Gawain 4. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin ang density ng isang random variable.

Solusyon. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na

Susunod, ang function ay isang monotone at differentiable function sa isang interval at may inverse function , na ang derivative ay katumbas ng Samakatuwid,

§ 5. Pares ng tuluy-tuloy na random variable

Hayaang ibigay ang dalawang tuluy-tuloy na random na variable na x at h. Pagkatapos ay tinukoy ng pares (x, h) ang isang "random" na punto sa eroplano. Ang pares (x, h) ay tinatawag random na vector o dalawang-dimensional na random na variable.

Pinagsamang pagpapaandar ng pamamahagi random variables x at h at ang function ay tinatawag na F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. magkasanib na density probability distribution ng random variables x and h is called a function such that .

Ang kahulugan ng kahulugang ito ng joint distribution density ay ang mga sumusunod. Ang posibilidad na ang isang "random point" (x, h) ay mahuhulog sa isang rehiyon sa isang eroplano ay kinakalkula bilang ang dami ng isang three-dimensional figure - isang "curvilinear" cylinder na nakatali sa ibabaw https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pinagsamang pamamahagi ng dalawang random na variable ay ang two-dimensional pare-parehong pamamahagi sa setA. Hayaang ibigay ang isang bounded set M na may lugar. Ito ay tinukoy bilang ang distribusyon ng pares (x, h), na tinukoy ng sumusunod na joint density:

Gawain 5. Hayaang ang isang dalawang-dimensional na random na vector (x, h) ay pantay na maipamahagi sa loob ng tatsulok. Kalkulahin ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay x>h.

Solusyon. Ang lugar ng ipinahiwatig na tatsulok ay katumbas ng (tingnan ang Fig. No.?). Sa bisa ng kahulugan ng isang dalawang-dimensional na pare-parehong pamamahagi, ang magkasanib na density ng mga random na variable x, h ay katumbas ng

Ang isang kaganapan ay tumutugma sa isang set sa isang eroplano, i.e. isang kalahating eroplano. Tapos yung probability

Sa half-plane B, ang joint density ay zero sa labas ng set https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Kaya, ang ang half-plane B ay nahahati sa dalawang set at https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> at , at ang pangalawang integral ay katumbas ng zero, dahil ang joint density doon ay katumbas ng zero. kaya lang

Kung ang joint distribution density para sa isang pares (x, h) ay ibinigay, kung gayon ang mga densidad ng parehong bahagi x at h ay tinatawag pribadong densidad at kinakalkula gamit ang mga formula:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Para sa tuluy-tuloy na ipinamahagi na mga random na variable na may densidad рx(х), рh(у), ibig sabihin ng independence na

Gawain 6. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, alamin kung ang mga bahagi ng random na vector x at h ay independyente?

Solusyon. Kalkulahin natin ang mga bahagyang densidad at . Meron kami:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Malinaw, sa aming kaso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> ay ang magkasanib na density ng mga dami x at h, at j( x, y) ay isang function ng dalawang argumento, kung gayon

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Gawain 7. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, kalkulahin .

Solusyon. Ayon sa formula sa itaas mayroon kami:

.

Kinakatawan ang tatsulok bilang

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Densidad ng kabuuan ng dalawang tuluy-tuloy na random na variable

Hayaan ang x at h na maging independiyenteng random na variable na may densidad https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Ang density ng random variable x + h ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula pagkakagulo

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Kalkulahin ang density ng kabuuan.

Solusyon. Dahil ang x at h ay ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter , ang kanilang mga densidad ay pantay

Kaya naman,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Kung x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">ay negatibo, at samakatuwid . Samakatuwid, kung https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Kaya nakuha namin ang sagot:

Ang https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> ay karaniwang ipinamamahagi na may mga parameter 0 at 1. Ang mga random na variable na x1 at x2 ay independyente at may normal mga distribusyon na may mga parameter na a1, at a2, ayon sa pagkakabanggit. Patunayan na ang x1 + x2 ay may normal na distribusyon. Ang mga random na variable na x1, x2, ... xn ay distributed at independiyente at may parehong density function

.

Hanapin ang distribution function at density ng distribution ng mga value:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Ang mga random na variable na x1, x2, ... xn ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa pagitan [a, b]. Maghanap ng mga function ng pamamahagi at mga function ng density ng mga distribusyon ng mga dami

x(1) = min (x1,x2, ... xn) at x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Patunayan na Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Ang random variable ay ibinahagi ayon sa batas ni Cauchy Hanapin ang: a) koepisyent a; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na mahulog sa pagitan (-1, 1). Ipakita na ang mathematical na inaasahan ng x ay hindi umiiral. Ang random variable ay napapailalim sa batas ni Laplace na may parameter na l (l>0): Hanapin ang koepisyent a; bumuo ng mga distribution density graph at distribution function; hanapin ang Mx at Dx; hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Sumulat ng formula para sa density ng pamamahagi, hanapin ang Mx at Dx.

Mga gawain sa computational.

Ang isang random na punto A ay may pare-parehong distribusyon sa isang bilog na radius R. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng distansya r ng punto sa gitna ng bilog. Ipakita na ang halaga r2 ay pantay na ipinamamahagi sa segment.

Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:
Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), , variance at probability. Ang isang random variable ay may distribution function

Kalkulahin ang density ng isang random variable, mathematical expectation, variance at probability Suriin na ang function ay =
maaaring isang distribution function ng isang random variable. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito: Mx at Dx. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Isulat ang density ng pamamahagi. Hanapin ang function ng pamamahagi. Hanapin ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa segment at sa segment. Ang density ng pamamahagi x ay katumbas ng

.

Hanapin ang pare-pareho c, ang density ng pamamahagi h = at ang posibilidad

P (0.25

Ang failure-free operation time ng isang computer ay ipinamamahagi ayon sa exponential law na may parameter l = 0.05 (failure per hour), ibig sabihin, mayroon itong density function

p(x) = .

Ang paglutas ng isang partikular na problema ay nangangailangan ng walang problemang pagpapatakbo ng makina sa loob ng 15 minuto. Kung ang isang pagkabigo ay nangyari habang nilulutas ang isang problema, ang error ay makikita lamang pagkatapos na makumpleto ang solusyon, at ang problema ay malulutas muli. Hanapin: a) ang posibilidad na sa panahon ng paglutas ng problema ay walang isang pagkabigo na magaganap; b) ang average na oras kung saan malulutas ang problema.

Ang isang baras na 24 cm ang haba ay nahahati sa dalawang bahagi; Ipagpalagay namin na ang break point ay ibinahagi nang pantay-pantay sa buong haba ng baras. Ano ang karaniwang haba ng karamihan sa pamalo? Ang isang piraso ng haba na 12 cm ay random na pinutol sa dalawang bahagi. Ang cut point ay pantay na ibinahagi sa buong haba ng segment. Ano ang average na haba ng maliit na bahagi ng segment? Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin ang density ng distribution ng random variable a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Ipakita na kung ang x ay may tuluy-tuloy na function ng pamamahagi

F(x) = P(x

Hanapin ang density function at distribution function ng kabuuan ng dalawang independent quantity x at h na may pare-parehong mga batas sa pamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable ay independyente at may exponential distribution na may density . Hanapin ang density ng pamamahagi ng kanilang kabuuan. Hanapin ang distribusyon ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable na x at h, kung saan ang x ay may pare-parehong distribusyon sa pagitan, at ang h ay may exponential distribution na may parameter na l. Hanapin si P , kung ang x ay may: a) normal na distribusyon na may mga parameter na a at s2; b) exponential distribution na may parameter l; c) pare-parehong pamamahagi sa segment [-1;1]. Ang pinagsamang pamamahagi ng x, h ay parisukat na uniporme
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Maghanap ng posibilidad . Independent ba ang x at h? Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng tatsulok na K=. Kalkulahin ang mga densidad x at h. Independyente ba ang mga random na variable na ito? Hanapin ang posibilidad. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at [-1,1]. Hanapin ang posibilidad. Ang dalawang-dimensional na random na variable (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa isang parisukat na may mga vertices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Hanapin ang halaga ng joint distribution function sa punto (1, -1). Ang isang random na vector (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang bilog na radius 3 na nakasentro sa pinanggalingan. Sumulat ng isang expression para sa joint distribution density. Tukuyin kung ang mga random na variable na ito ay umaasa. Kalkulahin ang posibilidad. Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang trapezoid na may mga vertices sa mga puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Hanapin ang pinagsamang density ng pamamahagi para sa pares na ito ng mga random na variable at ang density ng mga bahagi. Nakadepende ba ang x at h? Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng kalahating bilog. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Ang magkasanib na density ng dalawang random na variable na x at h ay katumbas ng .
Hanapin ang mga densidad x, h. Siyasatin ang tanong ng dependence ng x at h. Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa set. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Hanapin ang M(xh). Ang mga random na variable na x at h ay independyente at ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter na Find

Sa tulong kung saan maraming mga tunay na proseso ang ginagaya. At ang pinakakaraniwang halimbawa ay ang iskedyul ng pampublikong sasakyan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na bus (trolleybus/tram) tumatakbo tuwing 10 minuto, at huminto ka sa isang random na sandali sa oras. Ano ang posibilidad na dumating ang bus sa loob ng 1 minuto? Malinaw na 1/10th. Ano ang posibilidad na kailangan mong maghintay ng 4-5 minuto? Parehong . Ano ang posibilidad na maghintay ka ng bus nang higit sa 9 na minuto? Isang ikasampu!

Isaalang-alang natin ang ilan may hangganan pagitan, hayaan para sa katiyakan na ito ay isang segment. Kung random na halaga may pare-pareho density ng pamamahagi ng posibilidad sa isang ibinigay na segment at zero density sa labas nito, pagkatapos ay sinasabi nila na ito ay ipinamamahagi pantay-pantay. Sa kasong ito, ang pagpapaandar ng density ay mahigpit na tutukuyin:

Sa katunayan, kung ang haba ng segment (tingnan ang pagguhit) ay , kung gayon ang halaga ay hindi maiiwasang pantay - upang ang unit area ng rektanggulo ay makuha, at ito ay sinusunod kilalang ari-arian:


Suriin natin ito nang pormal:
, atbp. Mula sa isang probabilistic point of view, nangangahulugan ito na ang random variable mapagkakatiwalaan will take one of the values ​​of the segment..., eh, unti-unti na akong nagiging boring na matanda =)

Ang kakanyahan ng pagkakapareho ay ang anumang panloob na puwang nakapirming haba hindi namin isinasaalang-alang (tandaan ang "bus" minuto)– ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa pagitan na ito ay magiging pareho. Sa pagguhit ay na-shade ko ang tatlong gayong mga probabilidad - muli kong binibigyang-diin iyon ang mga ito ay tinutukoy ng mga lugar, hindi mga halaga ng function!

Isaalang-alang natin ang isang karaniwang gawain:

Halimbawa 1

Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinukoy ng density ng pamamahagi nito:

Hanapin ang pare-pareho, kalkulahin at i-compose ang distribution function. Bumuo ng mga graph. Hanapin

Sa madaling salita, lahat ng pwede mong pangarapin :)

Solusyon: dahil sa pagitan (may hangganang pagitan) , pagkatapos ay ang random na variable ay may pare-parehong pamamahagi, at ang halaga ng "ce" ay matatagpuan gamit ang direktang formula . Ngunit mas mabuti ito sa pangkalahatang paraan - gamit ang isang property:

...bakit mas maganda? Upang walang mga hindi kinakailangang katanungan;)

Kaya ang density function ay:

Gawin natin ang pagguhit. Mga halaga imposible , at samakatuwid ang mga bold na tuldok ay inilalagay sa ibaba:


Bilang isang mabilis na pagsusuri, kalkulahin natin ang lugar ng rektanggulo:
, atbp.

Hanapin natin inaasahang halaga, at malamang na mahulaan mo na kung ano ang katumbas nito. Tandaan ang "10 minutong" bus: kung nang random papalapit sa hintuan ng maraming, maraming araw, pagkatapos karaniwan kailangan mo siyang hintayin ng 5 minuto.

Oo, tama iyan - ang inaasahan ay dapat na eksaktong nasa gitna ng pagitan ng "kaganapan":
, tulad ng inaasahan.

Kalkulahin natin ang pagkakaiba gamit pormula . At dito kailangan mo ng mata at mata kapag kinakalkula ang integral:

kaya, pagpapakalat:

Mag-compose tayo function ng pamamahagi . Walang bago dito:

1) kung , pagkatapos at ;

2) kung , pagkatapos at:

3) at sa wakas, kung kailan , Kaya naman:

Ang resulta:

Gawin natin ang pagguhit:


Sa "live" na pagitan, ang distribution function lumalaki linear, at ito ay isa pang senyales na mayroon tayong pantay na ipinamamahaging random variable. Well, siyempre, pagkatapos ng lahat derivative linear function- may pare-pareho.

Ang kinakailangang probabilidad ay maaaring kalkulahin sa dalawang paraan, gamit ang nahanap na function ng pamamahagi:

o paggamit ng isang tiyak na integral ng density:

Kung sino man ang may gusto nito.

At dito ka rin magsulat sagot: ,
, ang mga graph ay binuo kasama ang solusyon.

... “posible” dahil karaniwang walang parusa sa kawalan nito. Karaniwan;)

Mayroong mga espesyal na formula para sa pagkalkula ng isang pare-parehong random na variable, na iminumungkahi kong kunin mo ang iyong sarili:

Halimbawa 2

Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay ibinibigay sa pamamagitan ng density .

Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba. Pasimplehin ang mga resulta hangga't maaari (pinaikling mga pormula ng pagpaparami para tumulong).

Ang mga resultang formula ay maginhawang gamitin para sa pag-verify; sa partikular, suriin ang problema na kakalutas mo lang sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga partikular na halaga ng "a" at "b" sa kanila. Maikling solusyon sa ibaba ng pahina.

At sa pagtatapos ng aralin, titingnan natin ang ilang mga problema sa "teksto":

Halimbawa 3

Ang halaga ng paghahati ng sukat ng aparato sa pagsukat ay 0.2. Ang mga pagbabasa ng instrumento ay bilugan sa pinakamalapit na buong dibisyon. Ipagpalagay na ang mga error sa pag-ikot ay naipamahagi nang pantay, hanapin ang posibilidad na sa susunod na pagsukat ay hindi ito lalampas sa 0.04.

Para sa mas magandang pang-unawa mga solusyon Isipin natin na ito ay isang uri ng mekanikal na aparato na may isang arrow, halimbawa, isang sukat na may halaga ng paghahati na 0.2 kg, at kailangan nating timbangin ang isang baboy sa isang sundot. Ngunit hindi upang malaman ang kanyang katabaan - ngayon ay magiging mahalaga kung SAAN huminto ang arrow sa pagitan ng dalawang katabing dibisyon.

Isaalang-alang natin ang isang random na variable - distansya mga arrow mula sa pinakamalapit kaliwang dibisyon. O mula sa pinakamalapit sa kanan, hindi mahalaga.

Buuin natin ang probability density function:

1) Dahil ang distansya ay hindi maaaring negatibo, pagkatapos ay sa pagitan . Lohikal.

2) Mula sa kondisyon na sumusunod na ang arrow ng mga kaliskis na may pantay na posibilidad maaaring huminto kahit saan sa pagitan ng mga dibisyon * , kabilang ang mga dibisyon mismo, at samakatuwid ay nasa pagitan:

* Ito ay isang mahalagang kondisyon. Kaya, halimbawa, kapag tumitimbang ng mga piraso ng cotton wool o kilo na pakete ng asin, pananatilihin ang pagkakapareho sa mas makitid na pagitan.

3) At dahil ang distansya mula sa PINAKAMlapit na kaliwang dibisyon ay hindi maaaring mas malaki sa 0.2, kung gayon ang sa ay katumbas din ng zero.

kaya:

Dapat pansinin na walang nagtanong sa amin tungkol sa pagpapaandar ng density, at ipinakita ko ang kumpletong pagtatayo nito nang eksklusibo sa mga cognitive chain. Kapag natapos ang gawain, sapat na upang isulat lamang ang 2nd point.

Ngayon sagutin natin ang tanong ng problema. Kailan hindi lalampas sa 0.04 ang error sa pag-round sa pinakamalapit na dibisyon? Mangyayari ito kapag huminto ang arrow nang hindi hihigit sa 0.04 mula sa kaliwang dibisyon sa kanan o hindi hihigit sa 0.04 mula sa tamang dibisyon umalis. Sa pagguhit ay nilagyan ko ng kulay ang mga kaukulang lugar:

Ito ay nananatili upang mahanap ang mga lugar na ito gamit ang mga integral. Sa prinsipyo, maaari silang kalkulahin "sa fashion ng paaralan" (tulad ng mga lugar ng mga parihaba), ngunit ang pagiging simple ay hindi palaging nauunawaan;)

Sa pamamagitan ng ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan:

– ang posibilidad na ang error sa pag-ikot ay hindi lalampas sa 0.04 (40 gramo para sa aming halimbawa)

Madaling makita na ang maximum na posibleng error sa pag-ikot ay 0.1 (100 gramo) at samakatuwid posibilidad na ang error sa pag-ikot ay hindi lalampas sa 0.1 katumbas ng isa.

Sagot: 0,4

May mga alternatibong paliwanag/pormulasyon ng problemang ito sa iba pang pinagmumulan ng impormasyon, at pinili ko ang opsyon na tila pinakanaiintindihan ko. Espesyal na atensyon ito ay kinakailangan upang bigyang-pansin ang katotohanan na sa kondisyon maaari naming makipag-usap tungkol sa mga error HINDI rounding, ngunit tungkol sa random mga error sa pagsukat, na kadalasan (ngunit hindi palagi), ipinamahagi sa ibabaw normal na batas. kaya, Isang salita lang ang makakapagpabago ng iyong desisyon! Maging alerto at unawain ang kahulugan.

At sa sandaling lumiko ang lahat, dinadala kami ng aming mga paa sa parehong hintuan ng bus:

Halimbawa 4

Ang mga bus sa isang partikular na ruta ay tumatakbo nang mahigpit sa iskedyul at bawat 7 minuto. Bumuo ng isang function ng density ng isang random na variable - ang oras ng paghihintay para sa susunod na bus ng isang pasahero na random na lumapit sa hintuan. Hanapin ang posibilidad na maghintay siya ng bus nang hindi hihigit sa tatlong minuto. Hanapin ang distribution function at ipaliwanag ang makabuluhang kahulugan nito.

Tulad ng nabanggit kanina, mga halimbawa ng mga pamamahagi ng posibilidad tuluy-tuloy na random variable Ang X ay:

• pare-parehong pamamahagi ng probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable;
• exponential probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable;
• normal na pamamahagi mga probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable.

Ibigay natin ang konsepto ng uniporme at exponential distribution laws, probability formula at numerical na katangian ng mga function na isinasaalang-alang.

Index	Unipormeng pamamahagi ng batas	Batas ng exponential distribution
Kahulugan	Tinatawag na uniporme probability distribution ng tuluy-tuloy na random variable X, ang density nito ay nananatiling pare-pareho sa segment at may anyo	Exponential (exponential) ang tawag probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na inilalarawan ng isang density na may anyo
		kung saan ang λ ay isang pare-parehong positibong halaga
Pag-andar ng pamamahagi
Probability bumabagsak sa pagitan
Inaasahang halaga
Pagpapakalat
Karaniwang lihis

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga uniporme at exponential distribution laws"

Gawain 1.

Ang mga bus ay tumatakbo nang mahigpit sa iskedyul. Interval ng paggalaw 7 min. Hanapin: a) ang posibilidad na ang isang pasaherong darating sa hintuan ay maghihintay ng wala pang dalawang minuto para sa susunod na bus; b) ang posibilidad na ang isang pasaherong darating sa hintuan ay maghihintay ng hindi bababa sa tatlong minuto para sa susunod na bus; c) mathematical expectation at standard deviation ng random variable X - oras ng paghihintay ng pasahero.

Solusyon. 1. Ayon sa mga kondisyon ng problema, isang tuluy-tuloy na random na variable X = (oras ng paghihintay ng pasahero) pantay na ipinamahagi sa pagitan ng pagdating ng dalawang bus. Ang haba ng distribution interval ng random variable X ay katumbas ng b-a=7, kung saan a=0, b=7.

2. Ang oras ng paghihintay ay magiging mas mababa sa dalawang minuto kung ang random variable X ay bumaba sa pagitan (5;7). Nahanap namin ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat gamit ang formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Ang oras ng paghihintay ay hindi bababa sa tatlong minuto (i.e., mula tatlo hanggang pitong minuto) kung ang random variable na X ay bumaba sa pagitan (0;4). Nahanap namin ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat gamit ang formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Ang mathematical na inaasahan ng tuluy-tuloy, pantay na distributed na random variable X – oras ng paghihintay ng pasahero – ay makikita gamit ang formula: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5.

5. Ang karaniwang paglihis ng tuluy-tuloy, pantay na ipinamamahagi na random variable X – oras ng paghihintay ng pasahero – ay makikita gamit ang formula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Gawain 2.

Ang exponential distribution ay ibinibigay para sa x ≥ 0 ng density f(x) = 5e – 5x. Kinakailangan: a) isulat ang isang expression para sa function ng pamamahagi; b) hanapin ang probabilidad na bilang resulta ng pagsusulit ay nahulog ang X sa pagitan (1;4); c) hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X ≥ 2; d) kalkulahin ang M(X), D(X), σ(X).

Solusyon. 1. Dahil ibinigay ang kondisyon exponential distribution , pagkatapos ay mula sa formula para sa probability distribution density ng random variable X makuha natin ang λ = 5. Pagkatapos ang distribution function ay magkakaroon ng form:

2. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ay nahuhulog sa pagitan (1;4) ay makikita ng formula:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ≥ 2 ay makikita ng formula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Hanapin ang exponential distribution:

• inaasahan sa matematika ayon sa formula M(X) = 1/λ = 1/5 = 0.2;
• pagkakaiba ayon sa formula D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0.04;
• standard deviation ayon sa formula σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

Ang isyung ito ay matagal nang pinag-aralan nang detalyado, at ang pinakamalawak na ginagamit na paraan ay ang polar coordinate method, na iminungkahi nina George Box, Mervyn Muller at George Marsaglia noong 1958. Binibigyang-daan ka ng pamamaraang ito na makakuha ng isang pares ng mga independiyenteng normally distributed random variable na may mathematical expectation 0 at variance 1 gaya ng sumusunod:

Kung saan ang Z 0 at Z 1 ay ang nais na mga halaga, ang s = u 2 + v 2, at ang u at v ay mga random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-1, 1), pinili sa paraang nasiyahan ang kundisyon 0< s < 1.
Maraming mga tao ang gumagamit ng mga formula na ito nang hindi nag-iisip, at marami ang hindi naghihinala sa kanilang pag-iral, dahil gumagamit sila ng mga handa na pagpapatupad. Ngunit may mga taong may mga tanong: “Saan nanggaling ang pormula na ito? At bakit nakakakuha ka ng ilang dami nang sabay-sabay?" Susunod, susubukan kong magbigay ng malinaw na sagot sa mga tanong na ito.

Upang magsimula sa, hayaan mo akong ipaalala sa iyo kung ano ang probability density, distribution function ng isang random variable at inverse function. Ipagpalagay na mayroong isang tiyak na random na variable, ang pamamahagi nito ay tinukoy ng density function f(x), na mayroong sumusunod na anyo:

Nangangahulugan ito na ang posibilidad na ang halaga ng isang naibigay na random na variable ay nasa pagitan (A, B) ay katumbas ng lugar ng may kulay na lugar. At bilang kinahinatnan, ang lugar ng buong shaded area ay dapat na katumbas ng isa, dahil sa anumang kaso ang halaga ng random variable ay mahuhulog sa domain ng kahulugan ng function f.
Ang distribution function ng isang random variable ay ang integral ng density function. At sa kasong ito, ang tinatayang hitsura nito ay magiging ganito:

Ang kahulugan dito ay ang halaga ng random na variable ay magiging mas mababa sa A na may probabilidad B. At bilang kinahinatnan, ang function ay hindi kailanman bumababa, at ang mga halaga nito ay nasa pagitan.

Ang inverse function ay isang function na nagbabalik ng argument sa orihinal na function kung ang halaga ng orihinal na function ay ipinasa dito. Halimbawa, para sa function na x 2 ang inverse ay ang function ng pagkuha ng ugat, para sa sin(x) ito ay arcsin(x), atbp.

Dahil karamihan sa mga generator ng pseudorandom na numero ay gumagawa lamang ng isang pare-parehong pamamahagi bilang output, madalas na kailangan itong i-convert sa iba. Sa kasong ito, sa normal na Gaussian:

Ang batayan ng lahat ng mga pamamaraan para sa pagbabago ng isang pare-parehong pamamahagi sa anumang iba pa ay ang kabaligtaran na paraan ng pagbabagong-anyo. Gumagana ito bilang mga sumusunod. Nahanap ang isang function na kabaligtaran sa function ng kinakailangang distribusyon, at isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (0, 1) ay ipinapasa dito bilang isang argumento. Sa output nakakakuha kami ng isang halaga na may kinakailangang pamamahagi. Para sa kalinawan, ibinibigay ko ang sumusunod na larawan.

Kaya, ang isang pare-parehong segment ay, kumbaga, pinahiran alinsunod sa bagong pamamahagi, na inaasahang papunta sa isa pang axis sa pamamagitan ng isang inverse function. Ngunit ang problema ay ang integral ng density ng isang Gaussian distribution ay hindi madaling kalkulahin, kaya ang mga siyentipiko sa itaas ay kailangang mandaya.

Mayroong chi-square distribution (Pearson distribution), na siyang distribusyon ng kabuuan ng mga parisukat ng k independent normal random variables. At sa kaso kung k = 2, ang distribusyon na ito ay exponential.

Nangangahulugan ito na kung ang isang punto sa isang rectangular coordinate system ay may random na X at Y na mga coordinate na ipinamamahagi nang normal, pagkatapos ay pagkatapos i-convert ang mga coordinate na ito sa polar system (r, θ), ang parisukat ng radius (ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto) ipapamahagi ayon sa exponential law, dahil ang parisukat ng radius ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate (ayon sa batas ng Pythagorean). Ang density ng pamamahagi ng naturang mga punto sa eroplano ay magiging ganito:

Dahil ito ay pantay sa lahat ng direksyon, ang anggulo θ ay magkakaroon ng pare-parehong distribusyon sa hanay mula 0 hanggang 2π. Totoo rin ang kabaligtaran: kung tutukuyin mo ang isang punto sa polar coordinate system gamit ang dalawang independiyenteng random na mga variable (isang anggulo na ibinahagi nang pantay at isang radius na ipinamamahagi nang exponential), kung gayon ang mga parihaba na coordinate ng puntong ito ay magiging independiyenteng normal na mga random na variable. At mas madaling makakuha ng exponential distribution mula sa isang unipormeng gamit ang parehong inverse transformation method. Ito ang kakanyahan ng pamamaraang polar Box-Muller.
Ngayon kunin natin ang mga formula.

(1)

Upang makakuha ng r at θ, kinakailangan na makabuo ng dalawang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (0, 1) (tawagin natin silang u at v), ang distribusyon ng isa kung saan (sabihin nating v) ay dapat i-convert sa exponential sa makuha ang radius. Ang exponential distribution function ay ganito ang hitsura:

Ang inverse function nito ay:

Dahil ang pare-parehong pamamahagi ay simetriko, ang pagbabago ay gagana nang katulad sa function

Mula sa chi-square distribution formula sumusunod na λ = 0.5. Palitan ang λ, v sa function na ito at kunin ang parisukat ng radius, at pagkatapos ay ang radius mismo:

Nakukuha namin ang anggulo sa pamamagitan ng pag-stretch ng segment ng unit sa 2π:

Ngayon ay pinapalitan natin ang r at θ sa mga formula (1) at makuha ang:

(2)

Ang mga formula na ito ay handa nang gamitin. Ang X at Y ay magiging independyente at normal na namamahagi na may pagkakaiba-iba ng 1 at isang mathematical na inaasahan na 0. Upang makakuha ng distribusyon na may iba pang mga katangian, sapat na upang i-multiply ang resulta ng function sa pamamagitan ng standard deviation at idagdag ang mathematical expectation.
Ngunit posible na mapupuksa ang mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng pagtukoy sa anggulo na hindi direkta, ngunit hindi direkta sa pamamagitan ng mga parihabang coordinate ng isang random na punto sa bilog. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga coordinate na ito, posibleng kalkulahin ang haba ng radius vector, at pagkatapos ay hanapin ang cosine at sine sa pamamagitan ng paghahati ng x at y nito, ayon sa pagkakabanggit. Paano at bakit ito gumagana?
Pumili tayo ng random na punto mula sa mga pantay na ibinahagi sa isang bilog ng unit radius at tukuyin ang parisukat ng haba ng radius vector ng puntong ito sa pamamagitan ng titik s:

Ginagawa ang pagpili sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga random na rectangular coordinate x at y, pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-1, 1), at pagtatapon ng mga puntos na hindi kabilang sa bilog, pati na rin ang gitnang punto kung saan ang anggulo ng radius vector hindi nakalagay. Ibig sabihin, dapat matugunan ang kundisyon 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Nakukuha namin ang mga formula tulad ng sa simula ng artikulo. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang pagtatapon ng mga puntos na hindi kasama sa bilog. Iyon ay, gamit lamang ang 78.5% ng nabuong mga random na variable. Sa mas lumang mga computer, ang kakulangan ng mga function ng trigonometry ay isang malaking kalamangan. Ngayon, kapag kinakalkula ng isang utos ng processor ang parehong sine at cosine sa isang iglap, sa palagay ko ay maaari pa ring makipagkumpitensya ang mga pamamaraang ito.

Sa personal, mayroon pa akong dalawang katanungan:

• Bakit pantay-pantay ang halaga ng s?
• Bakit ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang normal na random na mga variable ay ipinamamahagi nang exponentially?

Dahil ang s ay ang parisukat ng radius (para sa pagiging simple, tinatawag ko ang radius ang haba ng radius vector na tumutukoy sa posisyon ng isang random na punto), alamin muna natin kung paano ipinamamahagi ang radii. Dahil ang bilog ay napuno nang pantay, malinaw na ang bilang ng mga puntos na may radius r ay proporsyonal sa haba ng bilog ng radius r. At ang circumference ng isang bilog ay proporsyonal sa radius. Nangangahulugan ito na ang density ng pamamahagi ng radii ay tumataas nang pantay mula sa gitna ng bilog hanggang sa mga gilid nito. At ang density function ay may anyo na f(x) = 2x sa pagitan (0, 1). Coefficient 2 upang ang lugar ng figure sa ilalim ng graph ay katumbas ng isa. Kapag ang density na ito ay parisukat, ito ay nagiging pare-pareho. Dahil theoretically sa kasong ito kinakailangan upang hatiin ang density function sa pamamagitan ng derivative nito ng transformation function (iyon ay, x 2). At malinaw na ito ay nangyayari tulad nito:

Kung ang isang katulad na pagbabago ay ginawa para sa isang normal na random na variable, kung gayon ang density ng function ng parisukat nito ay magiging katulad ng isang hyperbola. At ang pagdaragdag ng dalawang parisukat ng mga normal na random na variable ay isang mas kumplikadong proseso na nauugnay sa dobleng pagsasama. At ang katotohanan na ang resulta ay magiging exponential distribution, kailangan ko lang suriin gamit ang praktikal na paraan o tanggapin bilang axiom. At para sa mga interesado, iminumungkahi ko na tingnan mo ang paksa, pagkakaroon ng kaalaman mula sa mga aklat na ito:

• Ventzel E.S. Teorya ng posibilidad
• Knut D.E. Ang Sining ng Programming, Tomo 2

Sa konklusyon, narito ang isang halimbawa ng pagpapatupad ng isang karaniwang ibinahagi na random na generator ng numero sa JavaScript:

Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) habang (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // lumikha ng isang bagay a = g.next(); // bumuo ng isang pares ng mga halaga at kunin ang una b = g.next(); // kunin ang pangalawang c = g.next(); // bumuo muli ng isang pares ng mga halaga at makuha ang una
Ang ibig sabihin ng mga parameter (pang-mathematical expectation) at dev (standard deviation) ay opsyonal. Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang logarithm ay natural.