Ang partikular na kahalagahan para sa pagkilala sa pamamahagi ng isang random na variable ay ang mga numerical na katangian na tinatawag na paunang at sentral na sandali.
Ang panimulang sandali k-ika-utos α k(X) random variable X k-ika-kapangyarihan ng dami na ito, i.e.
α k(X) = M(X k) (6.8)
Formula (6.8) dahil sa depinisyon ng mathematical expectation para sa iba't-ibang mga random na variable ay may sariling anyo, ibig sabihin, para sa isang discrete random variable na may hangganan na hanay ng mga halaga
para sa tuluy-tuloy na random variable
, (6.10)
saan f(x) - density ng pamamahagi ng isang random na variable X.
Hindi wastong integral sa formula (6.10) ay nagiging tiyak na integral sa isang may hangganang pagitan, kung ang mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay umiiral lamang sa pagitan na ito.
Ang isa sa mga naunang ipinakilala na mga katangiang numero ay inaasahang halaga- ay walang iba kundi ang unang sandali ng unang pagkakasunud-sunod, o, gaya ng sinasabi nila, ang unang unang sandali:
M(X) = α 1 (X).
Sa nakaraang talata, ipinakilala ang konsepto ng isang nakasentro na random variable HM(X). Kung ang dami na ito ay itinuturing na pangunahing isa, kung gayon ang mga paunang sandali ay maaari ding matagpuan para dito. Para sa magnitude mismo X ang mga sandaling ito ay tatawaging sentro.
Gitnang sandali k-ika-utos μ k(X) random variable X tinatawag na mathematical expectation k-ika kapangyarihan ng nakasentro na random na variable, ibig sabihin.
μ k(X) = M[(HM(X))k] (6.11)
Sa madaling salita, ang gitnang punto k-th order ay ang matematikal na inaasahan k ika antas ng paglihis.
Gitnang sandali k ang ika-order para sa isang discrete random variable na may isang may hangganan na hanay ng mga halaga ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
, (6.12)
para sa tuluy-tuloy na random na variable gamit ang formula:
(6.13)
Sa hinaharap, kapag naging malinaw kung anong uri ng random na variable ang pinag-uusapan natin, hindi natin ito isusulat sa notasyon ng mga inisyal at gitnang sandali, i.e. sa halip na α k(X) At μ k(X) magsusulat lang kami α k At μ k .
Malinaw na ang gitnang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, dahil ito ay hindi hihigit sa matematikal na pag-asa ng paglihis, na katumbas ng zero ayon sa kung ano ang dati nang napatunayan, i.e. .
Ito ay hindi mahirap na maunawaan na ang pangalawang-order gitnang sandali ng isang random variable X tumutugma sa pagkakaiba-iba ng parehong random na variable, i.e.
Bilang karagdagan, mayroong mga sumusunod na formula na nag-uugnay sa paunang at gitnang mga sandali:
Kaya, ang mga sandali ng una at pangalawang mga order (pang-matematika na pag-asa at pagpapakalat) ay pinakakilala mahahalagang katangian pamamahagi: ang posisyon nito at antas ng scatter ng mga halaga. Para sa karagdagang Detalyadong Paglalarawan ang mga pamamahagi ay mga sandali ng mas mataas na mga order. Ipakita natin.
Ipagpalagay natin na ang distribusyon ng isang random na variable ay simetriko na may paggalang sa kanyang inaasahan sa matematika. Kung gayon ang lahat ng kakaibang ayos ng mga sentral na sandali, kung mayroon man, ay katumbas ng zero. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na, dahil sa simetrya ng pamamahagi, para sa bawat positibong halaga ng dami X − M(X) mayroong negatibong halaga na katumbas ng magnitude nito, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay pantay. Dahil dito, ang kabuuan sa pormula (6.12) ay binubuo ng ilang pares ng mga termino na katumbas ng magnitude ngunit magkaiba sa tanda, na nagkansela sa isa't isa sa kabuuan. Kaya, ang buong halaga, i.e. ang gitnang sandali ng anumang odd order discrete random variable ay zero. Katulad nito, ang gitnang sandali ng anumang kakaibang pagkakasunud-sunod ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay katumbas ng zero, tulad ng integral sa simetriko na mga limitasyon ng isang kakaibang function.
Ito ay natural na ipagpalagay na kung ang gitnang sandali ng isang kakaibang pagkakasunud-sunod ay naiiba sa zero, kung gayon ang pamamahagi mismo ay hindi magiging simetriko na may paggalang sa kanyang inaasahan sa matematika. Bukod dito, mas ang gitnang sandali ay naiiba mula sa zero, mas malaki ang kawalaan ng simetrya sa pamamahagi. Kunin natin ang gitnang sandali ng pinakamaliit na kakaibang pagkakasunud-sunod bilang isang katangian ng kawalaan ng simetrya. Dahil ang first-order central moment ay zero para sa random variable na mayroong anumang distribution, mas mainam na gamitin ang third-order central moment para sa layuning ito. Gayunpaman, ang sandaling ito ay may sukat ng isang kubo ng isang random na variable. Upang mapupuksa ang disbentaha na ito at lumipat sa isang walang sukat na random na variable, hatiin ang halaga ng gitnang sandali sa kubo ng standard deviation.
Asymmetry coefficient Isang s o simple lang kawalaan ng simetrya ay tinatawag na ratio ng ikatlong pagkakasunod-sunod na gitnang sandali sa kubo ng karaniwang paglihis, i.e.
Minsan ang asymmetry ay tinatawag na "skewness" at itinalaga S k kung ano ang nanggagaling salitang Ingles skew - "pahilig".
Kung ang koepisyent ng kawalaan ng simetrya ay negatibo, kung gayon ang halaga nito ay malakas na naiimpluwensyahan ng mga negatibong termino (mga paglihis) at ang pamamahagi ay magkakaroon kaliwang kawalaan ng simetrya, at ang distribution graph (curve) ay mas patag sa kaliwa ng mathematical expectation. Kung ang koepisyent ay positibo, kung gayon asymmetry tama, at ang kurba ay mas patag sa kanan ng inaasahan sa matematika (Larawan 6.1).
 |
Tulad ng ipinakita, upang makilala ang pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika nito, ginagamit ang pangalawang sentral na sandali, i.e. pagpapakalat. Kung ang sandaling ito ay napakahalaga numerong halaga, kung gayon ang random na variable na ito ay may malaking pagkalat ng mga halaga at ang kaukulang kurba ng pamamahagi ay may mas patag na hugis kaysa sa kurba kung saan ang pangalawang gitnang sandali ay may mas maliit na halaga. Samakatuwid, ang pangalawang gitnang sandali ay nagpapakilala, sa ilang lawak, ang "flat-topped" o "sharp-topped" distribution curve. Gayunpaman, ang katangiang ito ay hindi masyadong maginhawa. Ang pangalawang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay may sukat katumbas ng parisukat mga sukat ng isang random na variable. Kung susubukan nating makakuha ng walang sukat na dami sa pamamagitan ng paghahati ng halaga ng sandali sa parisukat ng karaniwang paglihis, kung gayon para sa anumang random na variable ay makukuha natin: 
. Kaya, ang koepisyent na ito ay hindi maaaring maging anumang katangian ng pamamahagi ng isang random na variable. Ito ay pareho para sa lahat ng mga pamamahagi. Sa kasong ito, maaaring gamitin ang pang-apat na pagkakasunod-sunod na gitnang sandali.
Sobra E k ay ang dami na tinutukoy ng formula
(6.15)
Pangunahing ginagamit ang Kurtosis para sa tuluy-tuloy na mga random na variable at nagsisilbing katangian ng tinatawag na "steepness" ng distribution curve, o kung hindi man, gaya ng nabanggit na, upang makilala ang "flat-topped" o "sharp-topped" distribution curve. Ang reference distribution curve ay itinuturing na ang curve normal na pamamahagi(ito ay tatalakayin nang detalyado sa susunod na kabanata). Para sa isang random na variable na ibinahagi ayon sa isang normal na batas, ang pagkakapantay-pantay ay hawak. Samakatuwid, ang kurtosis na ibinigay ng formula (6.15) ay nagsisilbing ihambing ang distribusyon na ito sa isang normal, kung saan ang kurtosis ay katumbas ng zero.
Kung ang isang positibong kurtosis ay nakuha para sa ilang random na variable, kung gayon ang distribution curve ng halagang ito ay mas mataas kaysa sa normal na distribution curve. Kung ang kurtosis ay negatibo, ang curve ay mas flat-topped kumpara sa normal na distribution curve (Larawan 6.2).
 |
Lumipat tayo ngayon sa mga partikular na uri ng mga batas sa pamamahagi para sa mga discrete at tuluy-tuloy na random variable.
Bilang karagdagan sa mga katangian ng posisyon - average, tipikal na mga halaga ng isang random na variable - isang bilang ng mga katangian ang ginagamit, na ang bawat isa ay naglalarawan ng isa o ibang pag-aari ng pamamahagi. Ang tinatawag na mga sandali ay kadalasang ginagamit bilang mga katangian.
Ang konsepto ng sandali ay malawakang ginagamit sa mekanika upang ilarawan ang pamamahagi ng mga masa (static na sandali, mga sandali ng pagkawalang-galaw, atbp.). Eksakto ang parehong mga diskarte ay ginagamit sa probability theory upang ilarawan ang mga pangunahing katangian ng pamamahagi ng isang random variable. Kadalasan, dalawang uri ng mga sandali ang ginagamit sa pagsasanay: una at sentral.
Ang unang sandali ng sth order ng isang discontinuous random variable ay isang kabuuan ng form:
. (5.7.1)
Malinaw, ang kahulugan na ito ay tumutugma sa kahulugan ng paunang sandali ng order s sa mekanika, kung ang mga masa ay puro sa abscissa axis sa mga punto.
Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable X, ang unang sandali ng sth order ay tinatawag na integral
. (5.7.2)
Madaling makita na ang pangunahing katangian ng posisyon na ipinakilala sa nakaraang n° - ang inaasahan sa matematika - ay walang iba kundi ang unang unang sandali ng random variable.
Gamit ang mathematical expectation sign, maaari mong pagsamahin ang dalawang formula (5.7.1) at (5.7.2) sa isa. Sa katunayan, ang mga formula (5.7.1) at (5.7.2) ay ganap na magkatulad sa istruktura sa mga formula (5.6.1) at (5.6.2), na may pagkakaiba na sa halip na at mayroong, ayon sa pagkakabanggit, at . Samakatuwid, maaari tayong magsulat ng pangkalahatang kahulugan ng paunang sandali ng ika-utos, na wasto para sa parehong hindi nagpapatuloy at tuloy-tuloy na dami:
, (5.7.3)
mga. Ang paunang sandali ng ika-order ng isang random na variable ay ang matematikal na inaasahan ng ika-degree ng random variable na ito.
Bago tukuyin ang gitnang sandali, ipinakilala namin ang isang bagong konsepto ng "nakasentro na random na variable."
Hayaang magkaroon ng isang random na variable na may inaasahan sa matematika. Ang isang nakasentro na random na variable na tumutugma sa halaga ay ang paglihis ng random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito:
Sa hinaharap, sasang-ayon kami na tukuyin saanman ang nakasentro na random na variable na tumutugma sa isang ibinigay na random na variable sa pamamagitan ng parehong titik na may simbolo sa itaas.
Madaling i-verify na ang mathematical na inaasahan ng isang nakasentro na random variable ay katumbas ng zero. Sa katunayan, para sa isang hindi tuloy-tuloy na dami
katulad para sa tuluy-tuloy na dami.
Ang pagsentro sa isang random na variable ay malinaw na katumbas ng paglipat ng pinagmulan ng mga coordinate sa gitna, "gitnang" na punto, na ang abscissa ay katumbas ng inaasahan sa matematika.
Ang mga sandali ng isang nakasentro na random na variable ay tinatawag na mga gitnang sandali. Ang mga ito ay kahalintulad sa mga sandali tungkol sa sentro ng grabidad sa mekanika.
Kaya, ang gitnang sandali ng pagkakasunud-sunod s ng isang random na variable ay ang matematikal na inaasahan ng ika-kapangyarihan ng kaukulang centered random variable:
, (5.7.6)
at para sa tuluy-tuloy – sa pamamagitan ng integral
. (5.7.8)
Sa kung ano ang mga sumusunod, sa mga kaso kung saan walang pag-aalinlangan tungkol sa kung aling random na variable ang isang naibigay na sandali, para sa kaiklian ay isusulat namin nang simple at sa halip na at .
Malinaw, para sa anumang random na variable ang gitnang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero:
, (5.7.9)
dahil ang inaasahan sa matematika ng isang nakasentro na random na variable ay palaging katumbas ng zero.
Kunin natin ang mga ugnayang nag-uugnay sa gitna at unang mga sandali ng iba't ibang pagkakasunud-sunod. Isasagawa namin ang konklusyon para lamang sa mga hindi tuluy-tuloy na dami; madaling i-verify na ang eksaktong parehong mga relasyon ay wasto para sa tuluy-tuloy na dami kung papalitan natin ang mga may hangganan na kabuuan ng mga integral, at ang mga probabilidad ng mga elemento ng probabilidad.
Isaalang-alang natin ang pangalawang sentral na punto:
Katulad din para sa ikatlong gitnang sandali na nakuha namin:
Mga expression para sa atbp. maaaring makuha sa katulad na paraan.
Kaya, para sa mga sentral na sandali ng anumang random na variable ang mga formula ay wasto:
(5.7.10)
Sa pangkalahatan, ang mga sandali ay maaaring ituring na hindi lamang nauugnay sa pinagmulan (mga paunang sandali) o inaasahan sa matematika (mga gitnang sandali), ngunit nauugnay din sa isang arbitrary na punto:
. (5.7.11)
Gayunpaman, ang mga sentral na sandali ay may kalamangan sa lahat ng iba pa: ang unang sentral na sandali, tulad ng nakita natin, ay palaging katumbas ng zero, at ang susunod na isa, ang pangalawang sentral na sandali, na may ganitong sistema ng sanggunian ay may pinakamababang halaga. Patunayan natin. Para sa isang discontinuous random variable sa, ang formula (5.7.11) ay may anyo:
. (5.7.12)
Ibahin natin ang ekspresyong ito:
Malinaw, ang halagang ito ay umabot sa pinakamababa kapag , i.e. kapag kinuha ang sandali ayon sa punto.
Sa lahat ng mga sandali, ang unang unang sandali (pang-matematika na inaasahan) at ang pangalawang gitnang sandali ay kadalasang ginagamit bilang mga katangian ng isang random na variable.
Ang pangalawang gitnang sandali ay tinatawag na pagkakaiba ng random variable. Dahil sa labis na kahalagahan ng katangiang ito, bukod sa iba pang mga punto, ipinakilala namin ang isang espesyal na pagtatalaga para dito:
Ayon sa kahulugan ng gitnang sandali
mga. ang variance ng random variable X ay ang mathematical expectation ng square ng kaukulang centered variable.
Ang pagpapalit ng dami sa expression (5.7.13) ng expression nito, mayroon din tayong:
. (5.7.14)
Upang direktang kalkulahin ang pagkakaiba, gamitin ang mga sumusunod na formula:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Alinsunod dito para sa hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy na dami.
Ang pagpapakalat ng isang random na variable ay isang katangian ng dispersion, ang pagkakalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang salitang "dispersion" mismo ay nangangahulugang "dispersion".
Kung bumaling tayo sa mekanikal na interpretasyon ng pamamahagi, kung gayon ang pagpapakalat ay hindi hihigit sa sandali ng pagkawalang-galaw ng isang naibigay na pamamahagi ng masa na may kaugnayan sa sentro ng grabidad (pang-matematika na inaasahan).
Ang pagkakaiba ng isang random na variable ay may sukat ng parisukat ng random na variable; Upang biswal na makilala ang pagpapakalat, mas maginhawang gumamit ng isang dami na ang sukat ay tumutugma sa sukat ng random na variable. Upang gawin ito, kunin ang square root ng variance. Ang resultang halaga ay tinatawag na standard deviation (kung hindi man ay "standard") ng random variable. Ipapahiwatig namin ang karaniwang paglihis:
, (5.7.17)
Upang pasimplehin ang mga notasyon, madalas naming gagamitin ang mga pagdadaglat para sa karaniwang paglihis at pagpapakalat: at . Sa kaso kung walang alinlangan kung aling random na variable ang nauugnay sa mga katangiang ito, minsan ay aalisin natin ang simbolo na x y at at isusulat nang simple at . Ang mga salitang "standard deviation" ay minsan ay dadagsain upang papalitan ng mga letrang r.s.o.
Sa pagsasagawa, ang isang formula ay kadalasang ginagamit na nagpapahayag ng pagpapakalat ng isang random na variable sa pamamagitan ng pangalawang paunang sandali nito (ang pangalawa ng mga formula (5.7.10)). Sa bagong notasyon ito ay magiging ganito:
Ang pag-asa at pagkakaiba (o karaniwang paglihis) ay ang pinakakaraniwang ginagamit na katangian ng isang random na variable. Nailalarawan nila ang pinakamahalagang katangian ng pamamahagi: ang posisyon nito at antas ng pagkalat. Para sa mas detalyadong paglalarawan ng pamamahagi, ginagamit ang mga sandali ng mas matataas na order.
Ang ikatlong gitnang punto ay nagsisilbing katangian ng kawalaan ng simetrya (o "skewness") ng pamamahagi. Kung ang distribusyon ay simetriko na may paggalang sa inaasahan sa matematika (o, sa isang mekanikal na interpretasyon, ang masa ay ibinahagi nang simetriko na may paggalang sa sentro ng grabidad), kung gayon ang lahat ng mga kakaibang-ayos na sandali (kung mayroon sila) ay katumbas ng zero. Sa katunayan, sa kabuuan
kapag ang batas sa pamamahagi ay simetriko sa paggalang sa batas at kakaiba, ang bawat positibong termino ay tumutugma sa isang katumbas ganap na halaga negatibong termino, kaya ang kabuuan ay zero. Ang parehong ay malinaw na totoo para sa integral
,
na katumbas ng zero bilang integral sa simetriko na limitasyon ng isang kakaibang function.
Natural, samakatuwid, na pumili ng isa sa mga kakaibang sandali bilang isang katangian ng kawalaan ng simetrya sa pamamahagi. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang ikatlong sentral na sandali. Mayroon itong sukat ng kubo ng isang random na variable: upang makakuha ng isang walang sukat na katangian, ang ikatlong sandali ay hinati sa kubo ng karaniwang paglihis. Ang resultang halaga ay tinatawag na "asymmetry coefficient" o simpleng "asymmetry"; ipapakilala natin ito:
Sa Fig. 5.7.1 ay nagpapakita ng dalawang asymmetric distribution; isa sa mga ito (curve I) ay may positibong kawalaan ng simetrya (); ang isa (curve II) ay negatibo ().
Ang ikaapat na sentral na punto ay nagsisilbing katangian ng tinatawag na "coolness", i.e. peaked o flat-topped distribution. Ang mga katangian ng pamamahagi ay inilarawan gamit ang tinatawag na kurtosis. Ang kurtosis ng isang random variable ay ang dami
Ang bilang 3 ay ibinabawas sa ratio dahil para sa napakaimportante at laganap sa kalikasan normal na batas sa pamamahagi (na malalaman natin nang detalyado sa ibang pagkakataon) . Kaya, para sa isang normal na pamamahagi ang kurtosis ay zero; ang mga kurba na mas matataas kumpara sa normal na kurba ay may positibong kurtosis; Ang mga curve na mas flat-topped ay may negatibong kurtosis.
Sa Fig. Ipinapakita ng 5.7.2: normal na distribusyon (curve I), distribution na may positibong kurtosis (curve II) at distribution na may negatibong kurtosis (curve III).
Bilang karagdagan sa mga panimulang sandali at gitnang mga sandali na tinalakay sa itaas, sa pagsasagawa, ang tinatawag na ganap na mga sandali (inisyal at sentral) ay minsan ginagamit, na tinutukoy ng mga formula
Malinaw, ang ganap na mga sandali ng kahit na mga order ay nag-tutugma sa mga ordinaryong sandali.
Sa mga ganap na sandali, ang pinakakaraniwang ginagamit ay ang unang ganap na sentral na sandali.
, (5.7.21)
tinatawag na arithmetic mean deviation. Kasama ng dispersion at standard deviation, minsan ginagamit ang arithmetic mean deviation bilang isang katangian ng dispersion.
Ang expectation, mode, median, initial at central moments at, sa partikular, dispersion, standard deviation, skewness at kurtosis ay ang pinakakaraniwang ginagamit na numerical na katangian ng mga random na variable. Sa maraming problema sa pagsasanay buong katangian random variable - ang batas sa pamamahagi - ay maaaring hindi kailangan o hindi makuha. Sa mga kasong ito, ang isa ay limitado sa isang tinatayang paglalarawan ng random na variable gamit ang tulong. Mga de-numerong katangian, ang bawat isa ay nagpapahayag ng ilang katangiang katangian ng pamamahagi.
Kadalasan, ang mga numerical na katangian ay ginagamit upang humigit-kumulang na palitan ang isang pamamahagi sa isa pa, at kadalasan ay sinusubukan nilang gawin ang pagpapalit na ito sa paraang hindi nagbabago ang ilang mahahalagang punto.
Halimbawa 1. Ang isang eksperimento ay isinasagawa, bilang isang resulta kung saan ang isang kaganapan ay maaaring lumitaw o hindi, ang posibilidad nito ay katumbas ng . Ang isang random na variable ay isinasaalang-alang - ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan (characteristic random variable ng isang kaganapan). Tukuyin ang mga katangian nito: mathematical expectation, dispersion, standard deviation.
Solusyon. Ang serye ng pamamahagi ng halaga ay may anyo:
kung saan ang posibilidad ng kaganapan ay hindi nagaganap.
Gamit ang formula (5.6.1) makikita natin ang mathematical na inaasahan ng halaga:
Ang pagpapakalat ng halaga ay tinutukoy ng formula (5.7.15):
(Iminumungkahi namin na makuha ng mambabasa ang parehong resulta sa pamamagitan ng pagpapahayag ng pagpapakalat sa mga tuntunin ng pangalawang paunang sandali).
Halimbawa 2. Tatlong independyenteng mga putok ang pinaputok sa isang target; Ang posibilidad na matamaan ang bawat shot ay 0.4. random variable – bilang ng mga hit. Tukuyin ang mga katangian ng isang dami - mathematical expectation, dispersion, r.s.d., asymmetry.
Solusyon. Ang serye ng pamamahagi ng halaga ay may anyo:
Kinakalkula namin ang mga numerical na katangian ng dami.
Ang panimulang sandali k ika utos random variableX X k :
Sa partikular,
Gitnang sandali k ika utos random variableXay tinatawag na mathematical expectation ng quantity k :
.
(5.11)
Sa partikular,
Gamit ang mga kahulugan at katangian ng pag-asa at pagpapakalat ng matematika, makukuha natin iyon
,
,
Ang mga sandali ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ay bihirang ginagamit.
Ipagpalagay natin na ang distribusyon ng random na variable ay simetriko na may paggalang sa inaasahan sa matematika. Pagkatapos ang lahat ng odd-order central ay katumbas ng zero. Ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na para sa bawat positibong halaga ng paglihis X–M[X] mayroong (dahil sa simetrya ng pamamahagi) isang negatibong halaga na katumbas ng ganap na halaga, at ang kanilang mga probabilidad ay magiging pareho. Kung ang gitnang sandali ay may kakaibang pagkakasunud-sunod at hindi katumbas ng zero, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang kawalaan ng simetrya ng pamamahagi at kung mas malaki ang sandali, mas malaki ang kawalaan ng simetrya. Samakatuwid, ito ay pinaka-makatwirang kumuha ng ilang kakaibang sentral na sandali bilang isang katangian ng kawalaan ng simetrya sa pamamahagi. Dahil ang gitnang sandali ng 1st order ay palaging katumbas ng zero, ipinapayong gamitin ang gitnang sandali ng 3rd order para sa layuning ito. Gayunpaman, hindi maginhawang tanggapin ang puntong ito para sa pagtatasa ng kawalaan ng simetrya dahil ang halaga nito ay nakasalalay sa mga yunit kung saan sinusukat ang random variable. Upang alisin ang disbentaha na ito, ang 3 ay hinati sa 3 at sa gayon ay makakuha ng isang katangian.
Asymmetry coefficient A ay tinatawag na dami
.
(5.12)
kanin.
5.1Kung negatibo ang koepisyent ng kawalaan ng simetrya, nangangahulugan ito ng malaking impluwensya sa halaga ng 3 negatibong paglihis. Sa kasong ito, ang mga curve ng pamamahagi ay mas patag sa kaliwa ng M[X]. Kung ang koepisyent A ay positibo, kung gayon ang kurba ay mas patag sa kanan. x Tulad ng nalalaman, ang pagpapakalat (ika-2 sentral na sandali) ay nagsisilbi upang makilala ang pagpapakalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika. Kung mas malaki ang dispersion, mas flatter ang kaukulang kurba ng pamamahagi. Gayunpaman, ang normalized na sandali ng 2nd order 2 / 2 ay hindi maaaring magsilbi bilang isang katangian ng "flat-topped" o "sharp-topped" distribution dahil para sa anumang distribution D[
]/ 2 =1. Sa kasong ito, ginagamit ang 4th order central moment. Sobra ay tinatawag na dami
.
(5.13)
E
H
5.2 Napili ang numero 3 dito dahil para sa pinakakaraniwang batas ng normal na pamamahagi 4 / 4 =3. Samakatuwid, nagsisilbi ang kurtosis upang ihambing ang mga umiiral na distribusyon sa normal, na ang kurtosis ay zero. Nangangahulugan ito na kung ang isang distribusyon ay may positibong kurtosis, kung gayon ang kaukulang kurba ng pamamahagi ay mas "mataas" kumpara sa normal na kurba ng pamamahagi; Kung ang isang distribution ay may negatibong kurtosis, ang katumbas na curve ay mas "flat-topped."
Halimbawa 5.6.
Ang DSV X ay ibinibigay ng sumusunod na batas sa pamamahagi:
Ngayon kalkulahin natin ang mga gitnang sandali:
Hanapin natin ang mathematical expectation X 2 :
M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Nakikita natin yan M(X 2) marami pa M(X). Ito ay dahil pagkatapos ng kuwadrado posibleng kahulugan dami X 2 na tumutugma sa halaga x=100 magnitude X, naging katumbas ng 10,000, ibig sabihin, tumaas nang malaki; mababa ang posibilidad ng halagang ito (0.01).
Kaya, ang paglipat mula sa M(X)Sa M(X 2) ginawang posible na mas mahusay na isaalang-alang ang impluwensya sa matematikal na inaasahan ng posibleng halaga, na malaki at may mababang posibilidad. Siyempre, kung ang halaga X nagkaroon ng maraming malaki at hindi malamang na mga halaga, pagkatapos ay ang paglipat sa halaga X 2, at higit pa sa dami X 3 , X 4, atbp., ay magbibigay-daan sa amin upang higit pang "palakasin ang tungkulin" ng mga malalaking halaga, ngunit hindi malamang na posibleng mga halaga. Iyon ang dahilan kung bakit lumalabas na maipapayo na isaalang-alang ang matematikal na inaasahan ng isang integer na positibong kapangyarihan ng isang random na variable (hindi lamang discrete, kundi pati na rin tuloy-tuloy).
Paunang sandali ng order k random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng isang quantity Xk:
v k = M(X).
Sa partikular,
v 1 = M(X),v 2 = M(X 2).
Gamit ang mga puntong ito, ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 ay maaaring isulat ng ganito:
D(X)=v 2 – . (*)
Bilang karagdagan sa mga sandali ng random variable X ipinapayong isaalang-alang ang mga sandali ng paglihis X-M(X).
Ang gitnang sandali ng order k ng isang random na variable X ay ang matematikal na inaasahan ng dami(HM(X))k:
Sa partikular,
Ang mga ugnayang nag-uugnay sa una at gitnang mga sandali ay madaling makuha. Halimbawa, ang paghahambing ng (*) at (***), nakukuha namin
m 2= v 2 – .
Hindi mahirap, batay sa kahulugan ng gitnang sandali at paggamit ng mga katangian ng inaasahan sa matematika, upang makuha ang mga formula:
m 3= v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m 4= v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
Ang mga sandali ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ay bihirang ginagamit.
Magkomento. Tinatawag ang mga puntong tinalakay dito teoretikal. Sa kaibahan sa mga teoretikal na sandali, ang mga sandali na kinakalkula mula sa data ng pagmamasid ay tinatawag empirical. Ang mga kahulugan ng empirical na sandali ay ibinigay sa ibaba (tingnan ang Kabanata XVII, § 2).
Mga gawain
1. Ang mga pagkakaiba-iba ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay kilala: D(X) = 4, D(Y)=3. Hanapin ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga dami na ito.
Sinabi ni Rep. 7.
2. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable X ay katumbas ng 5. Hanapin ang pagkakaiba ng mga sumusunod na dami: a) X-1; b) -2 X; V) ZH + 6.
Sinabi ni Rep. a) 5; b) 20; c) 45.
3. Random na halaga X tumatagal lamang ng dalawang halaga: +C at -C, bawat isa ay may posibilidad na 0.5. Hanapin ang pagkakaiba ng dami na ito.
Sinabi ni Rep. SA 2 .
4. , alam ang batas ng pamamahagi nito
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Sinabi ni Rep. 67,6404.
5. Random na halaga X maaaring tumagal ng dalawang posibleng halaga: X 1 na may posibilidad na 0.3 at x 2 na may posibilidad na 0.7, at X 2 > x 1 . Hanapin x 1 at x 2, alam iyon M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.
Sinabi ni Rep. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X-bilang ng mga pangyayari A sa dalawa mga independiyenteng pagsusulit, Kung M(X) = 0, 8.
Tandaan. Isulat ang binomial law ng probability distribution ng bilang ng mga pangyayari ng isang kaganapan A sa dalawang independiyenteng pagsubok.
Sinabi ni Rep. 0, 48.
7. Sinusuri ang isang device na binubuo ng apat na independyenteng operating device. Ang mga posibilidad ng pagkabigo ng device ay ang mga sumusunod: R 1 = 0,3; R 2 = 0,4; p 3 = 0,5; R 4 = 0.6. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga nabigong device.
Sinabi ni Rep. 1,8; 0,94.
8. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X- ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa 100 independiyenteng mga pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng kaganapan na naganap ay 0.7.
Sinabi ni Rep. 21.
9. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable D(X) = 6.25. Hanapin ang standard deviation s( X).
Sinabi ni Rep. 2, 5.
10. Ang random na variable ay tinukoy ng batas ng pamamahagi
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Hanapin ang standard deviation ng value na ito.
Sinabi ni Rep. 2, 2.
11. Ang pagkakaiba ng bawat isa sa 9 na magkaparehong ibinahagi na magkaparehong independiyenteng mga random na variable ay katumbas ng 36. Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic mean ng mga variable na ito.
Sinabi ni Rep. 4.
12. Ang standard deviation ng bawat isa sa 16 identically distributed mutually independent random variables ay 10. Hanapin ang standard deviation ng arithmetic mean ng mga variable na ito.
Sinabi ni Rep. 2,5.
Ika-siyam na Kabanata
BATAS NG MALAKING BILANG
Mga panimulang pahayag
Tulad ng alam na, imposibleng kumpiyansa na mahulaan nang maaga kung alin sa mga posibleng halaga ang kukunin ng isang random na variable bilang resulta ng pagsubok; depende ito sa marami random na dahilan, na hindi maaaring isaalang-alang. Tila dahil mayroon tayong napakakaunting impormasyon tungkol sa bawat random na variable sa ganitong kahulugan, halos hindi posible na magtatag ng mga pattern ng pag-uugali at ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mga random na variable. Sa totoo lang hindi ito totoo. Ito ay lumiliko out na para sa ilang medyo malawak na kondisyon ang pangkalahatang pag-uugali ng isang sapat na malaking bilang ng mga random na variable ay halos nawawala ang random na karakter nito at nagiging natural.
Para sa pagsasanay, napakahalagang malaman ang mga kondisyon kung saan ang pinagsamang pagkilos ng maraming random na dahilan ay humahantong sa isang resulta na halos independyente sa pagkakataon, dahil pinapayagan nito ang isa na mahulaan ang kurso ng mga phenomena. Ang mga kundisyong ito ay ipinahiwatig sa theorems bearing karaniwang pangalan batas malalaking numero. Kabilang dito ang theorems ng Chebyshev at Bernoulli (may iba pang theorems na hindi tinalakay dito). Ang theorem ni Chebyshev ay ang pinaka-pangkalahatang batas ng malalaking numero, ang theorem ni Bernoulli ang pinakasimple. Upang patunayan ang mga teorema na ito, gagamitin natin ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev
Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev ay may bisa para sa mga discrete at tuloy-tuloy na random variable. Para sa pagiging simple, nililimitahan namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay na ito para sa mga discrete na dami.
Isaalang-alang ang isang discrete random variable X, tinukoy ng talahanayan ng pamamahagi:
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| p | p 1 | P 2 | … | p n |
Itakda natin sa ating sarili ang gawain ng pagtantya ng posibilidad na ang paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan nitong matematikal ay hindi lalampas sa ganap na halaga ng positibong numero e. Kung ang e ay sapat na maliit, pagkatapos ay tantiyahin namin ang posibilidad na iyon X kukuha ng mga halaga na medyo malapit sa inaasahan ng matematika nito. Pinatunayan ni P. L. Chebyshev ang isang hindi pagkakapantay-pantay na nagpapahintulot sa amin na ibigay ang pagtatantya kung saan kami interesado.
Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev. Ang posibilidad na ang paglihis ng isang random na variable X mula sa mathematical na inaasahan nito sa absolute value ay mas mababa sa isang positibong numero e ay hindi bababa sa 1-D(X)/e 2 :
R(|X -M(X)|< e ) 1-D(X)/e 2 .
Patunay. Dahil ang mga kaganapan na binubuo sa pagpapatupad ng hindi pagkakapantay-pantay |X-M(X)|
R(|X -M(X)|< e )+ R(|X -M(X)| e)= 1.
Kaya ang posibilidad na interesado tayo
R(|X -M(X)|< e )= 1- R(|X -M(X)| e). (*)
Kaya, bumababa ang problema sa pagkalkula ng posibilidad R(| HM(X)| e).
Isulat natin ang expression para sa variance ng random variable X:
D(X)= [x 1 -M(X)] 2 p 1 + [x 2 -M(X)] 2 p 2 +…+ [x n -M(X)]2pn.
Malinaw, ang lahat ng mga tuntunin ng kabuuan na ito ay hindi negatibo.
Iwaksi natin ang mga terminong iyon kung saan | x i-M(X)|<e(para sa mga natitirang termino | x j-M(X)| e), Bilang resulta, ang halaga ay maaari lamang mabawasan. Sumang-ayon tayo na ipagpalagay, para sa katiyakan, na ang k ang mga unang termino (nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na sa talahanayan ng pamamahagi ang mga posibleng halaga ay binibilang sa eksaktong pagkakasunud-sunod na ito). kaya,
D(X) [x k + 1 -M(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z + ... +[x n -M(X)] 2 pn.
Tandaan na ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay | x j - M(X)| e (j = k+1, k+ 2, ..., P) ay positibo, samakatuwid, pag-squaring sa kanila, nakukuha namin ang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay | x j - M(X)| 2 e 2 Gamitin natin ang pangungusap na ito at, pinapalitan ang bawat isa sa mga salik sa natitirang kabuuan | x j - M(X)| 2 sa bilang e 2(sa kasong ito ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaari lamang tumaas), nakukuha natin
D(X) e 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)
Ayon sa karagdagan theorem, ang kabuuan ng mga probabilidad r k+ 1 + p k + 2 + … + р n may posibilidad na X kukuha ng isa, kahit alin, sa mga halaga x k + 1 , x k+ 2 ,....x p, at para sa alinman sa kanila ang paglihis ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay | x j - M(X)| e Kasunod nito ang halaga r k+ 1 + p k + 2 + … + р n nagpapahayag ng posibilidad
P(|X - M(X)| e).
Ang pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahintulot sa amin na muling isulat ang hindi pagkakapantay-pantay (**) bilang sumusunod:
D(X) e 2 P(|X - M(X)| e),
P(|X - M(X)| e)D(X) /e 2 (***)
Ang pagpapalit ng (***) sa (*), sa wakas ay nakuha namin
P(|X - M(X)| <e) 1- D(X) /e 2 ,
Q.E.D.
Magkomento. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev ay may limitadong praktikal na kahalagahan dahil madalas itong nagbibigay ng magaspang at kung minsan ay walang kuwenta (walang interes) na pagtatantya. Halimbawa, kung D(X)> e 2 at samakatuwid D(X)/e 2 > 1 tapos 1 - D(X)/e 2 < 0; Kaya, sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev ay nagpapahiwatig lamang na ang posibilidad ng paglihis ay hindi negatibo, at ito ay malinaw na, dahil ang anumang posibilidad ay ipinahayag ng isang hindi negatibong numero.
Ang teoretikal na kahalagahan ng hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev ay napakahusay. Sa ibaba ay gagamitin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito upang makuha ang teorama ni Chebyshev.
Ang teorama ni Chebyshev
Ang teorama ni Chebyshev. Kung si X 1 , X 2 ,…, X n, ...-magkapares na independyenteng mga random na variable, at ang kanilang mga pagkakaiba ay pare-parehong hangganan(huwag lumampas sa isang pare-parehong bilang C), kung gaano man kaliit ang positibong numero e, ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay
Sa madaling salita, sa ilalim ng mga kondisyon ng teorama
Kaya, ang teorama ni Chebyshev ay nagsasaad na kung ang isang sapat na malaking bilang ng mga independiyenteng random na mga variable na may limitadong mga pagkakaiba ay isinasaalang-alang, kung gayon ang kaganapan ay maaaring ituring na halos maaasahan, na binubuo sa katotohanan na ang paglihis ng arithmetic mean ng mga random na variable mula sa arithmetic mean ng kanilang mathematical expectations ay arbitraryong malaki sa absolute value maliit
Patunay. Ipakilala natin ang isang bagong random na variable sa pagsasaalang-alang - ang arithmetic mean ng mga random na variable
=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.
Hanapin natin ang mathematical expectation . Gamit ang mga katangian ng inaasahan sa matematika (maaaring alisin ang pare-parehong kadahilanan mula sa tanda ng inaasahan sa matematika, ang inaasahan ng matematika ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino), nakuha namin
M 
=
. (*)
Ang paglalapat ng hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev sa dami, mayroon tayo
Ang pagpapalit sa kanang bahagi (***) sa hindi pagkakapantay-pantay (**) (kaya naman ang huli ay mapapalakas lamang), mayroon tayong
Mula dito, ang pagpasa sa limitasyon sa , makuha namin
Sa wakas, isinasaalang-alang na ang posibilidad ay hindi maaaring lumampas sa isa, maaari tayong magsulat sa wakas
Ang teorama ay napatunayan.
Sa itaas, kapag binabalangkas ang teorama ni Chebyshev, ipinapalagay namin na ang mga random na variable ay may iba't ibang mga inaasahan sa matematika. Sa pagsasagawa, madalas na nangyayari na ang mga random na variable ay may parehong inaasahan sa matematika. Malinaw, kung muli nating ipagpalagay na ang mga pagpapakalat ng mga dami na ito ay limitado, kung gayon ang teorama ni Chebyshev ay mailalapat sa kanila.
Tukuyin natin ang mathematical na inaasahan ng bawat isa sa mga random na variable sa pamamagitan ng A; sa kaso na isinasaalang-alang, ang arithmetic mean ng mga inaasahan sa matematika, na madaling makita, ay katumbas din ng A. Maaari naming bumalangkas ng teorama ni Chebyshev para sa partikular na kaso na isinasaalang-alang.
Kung si X 1 , X 2 , ..., Hp...-magkapares na independyenteng mga random na variable na may parehong matematikal na inaasahan a, at kung ang mga pagkakaiba-iba ng mga variable na ito ay pantay na limitado, gaano man kaliit ang bilang e>Oh, posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay
ay magiging kasing lapit sa pagkakaisa gaya ng ninanais kung ang bilang ng mga random na variable ay sapat na malaki.
Sa madaling salita, sa ilalim ng mga kondisyon ng teorama ay magkakaroon ng pagkakapantay-pantay
Ang kakanyahan ng teorama ni Chebyshev
Ang kakanyahan ng napatunayang teorama ay ang mga sumusunod: kahit na ang mga indibidwal na independiyenteng random na mga variable ay maaaring tumagal ng mga halaga na malayo sa kanilang mga inaasahan sa matematika, ang arithmetic mean ng isang sapat na malaking bilang ng mga random na variable na may mataas na posibilidad ay tumatagal ng mga halaga na malapit sa isang tiyak na pare-pareho. numero, ibig sabihin ang numero ( M(X 1)+ M(X 2)+...+M(X p))/P(o sa numero A sa isang espesyal na kaso). Sa madaling salita, ang mga indibidwal na random na variable ay maaaring magkaroon ng isang makabuluhang scatter, at ang kanilang arithmetic mean ay scatteredly maliit.
Kaya, ang isang tao ay hindi maaaring kumpiyansa na mahulaan kung anong posibleng halaga ang kukunin ng bawat isa sa mga random na variable, ngunit maaaring mahulaan ng isa kung anong halaga ang kukunin ng kanilang arithmetic mean.
Kaya, arithmetic mean ng isang sapat na malaking bilang ng mga independent random variable(na ang mga pagkakaiba ay pare-parehong hangganan) nawawala ang katangian ng isang random na variable. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga paglihis ng bawat isa sa mga dami mula sa kanilang mga inaasahan sa matematika ay maaaring maging positibo at negatibo, at sa aritmetika ay nangangahulugang kinansela nila ang isa't isa.
Ang teorama ni Chebyshev ay wasto hindi lamang para sa discrete, kundi pati na rin para sa tuluy-tuloy na random variable; siya nga pala isang maliwanag na halimbawa, na nagpapatunay sa bisa ng doktrina ng dialectical materialism tungkol sa koneksyon sa pagitan ng pagkakataon at pangangailangan.
Inaasahang halaga. Pag-asa sa matematika discrete random variable X, kumukuha ng limitadong bilang ng mga halaga Xi may probabilidad Ri, ang halaga ay tinatawag na:
Pag-asa sa matematika tuluy-tuloy na random variable X ay tinatawag na integral ng produkto ng mga halaga nito X sa density ng pamamahagi ng posibilidad f(x):
(6b)
Hindi wastong integral (6 b) ay ipinapalagay na ganap na nagtatagpo (kung hindi, sinasabi nila na ang inaasahan sa matematika M(X) ay wala). Ang pag-asa sa matematika ay nailalarawan average na halaga random variable X. Ang sukat nito ay tumutugma sa sukat ng random variable.
Mga katangian ng inaasahan sa matematika:
Pagpapakalat. Pagkakaiba random variable X ang numero ay tinatawag na:
Ang pagkakaiba ay katangian ng scattering random variable na mga halaga X kaugnay sa average na halaga nito M(X). Ang dimensyon ng variance ay katumbas ng dimensyon ng random variable squared. Batay sa mga kahulugan ng variance (8) at mathematical expectation (5) para sa discrete random variable at (6) para sa tuluy-tuloy na random variable, nakakakuha tayo ng mga katulad na expression para sa variance:
(9)
Dito m = M(X).
Mga katangian ng pagpapakalat:
Karaniwang lihis:
(11)
Dahil ang sukat ng average parisukat na paglihis katulad ng sa isang random na variable, ito ay mas madalas na ginagamit bilang isang sukatan ng dispersion kaysa sa pagkakaiba-iba.
Mga sandali ng pamamahagi. Ang mga konsepto ng mathematical na pag-asa at pagpapakalat ay mga espesyal na kaso ng higit pa pangkalahatang konsepto para sa mga numerical na katangian ng mga random na variable - mga sandali ng pamamahagi. Ang mga sandali ng pamamahagi ng isang random na variable ay ipinakilala bilang matematikal na mga inaasahan ng ilang mga simpleng function ng isang random variable. Kaya, sandali ng pagkakasunud-sunod k kaugnay sa punto X 0 ay tinatawag na mathematical expectation M(X–X 0 )k. Mga sandali tungkol sa pinagmulan X= 0 ang tinatawag mga paunang sandali at itinalaga:
(12)
Ang unang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay ang sentro ng pamamahagi ng random na variable na isinasaalang-alang:
(13)
Mga sandali tungkol sa sentro ng pamamahagi X= m ay tinatawag gitnang mga punto at itinalaga:
(14)
Mula sa (7) sumusunod na ang unang-order na gitnang sandali ay palaging katumbas ng zero:
Ang mga gitnang sandali ay hindi nakasalalay sa pinagmulan ng mga halaga ng random na variable, dahil kapag inilipat ng isang pare-parehong halaga SA ang sentro ng pamamahagi nito ay nagbabago sa parehong halaga SA, at ang paglihis mula sa gitna ay hindi nagbabago: X – m = (X – SA) – (m – SA).
Ngayon ay halata na pagpapakalat- Ito pangalawang order gitnang sandali:
Kawalaan ng simetrya. Pangatlong order gitnang sandali:
(17)
nagsisilbi para sa pagsusuri mga kawalaan ng simetrya sa pamamahagi. Kung ang distribusyon ay simetriko tungkol sa punto X= m, pagkatapos ay magiging zero ang third-order central moment (tulad ng lahat ng central moments ng mga kakaibang order). Samakatuwid, kung ang third-order central moment ay iba sa zero, ang distribution ay hindi maaaring simetriko. Ang magnitude ng kawalaan ng simetrya ay tinasa gamit ang isang walang sukat koepisyent ng kawalaan ng simetrya:
(18)
Ang tanda ng asymmetry coefficient (18) ay nagpapahiwatig ng right-sided o left-sided asymmetry (Fig. 2).
kanin. 2. Mga uri ng kawalaan ng simetrya sa pamamahagi.
Sobra. Pang-apat na utos sa gitnang sandali:
(19)
nagsisilbing pagsusuri sa tinatawag na sobra, na tumutukoy sa antas ng steepness (peakedness) ng distribution curve malapit sa gitna ng distribution kaugnay ng normal distribution curve. Dahil para sa isang normal na distribusyon, ang halaga na kinuha bilang kurtosis ay:
(20)
Sa Fig. Ang Figure 3 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng distribution curves na may iba't ibang kurtosis value. Para sa normal na pamamahagi E= 0. Ang mga curves na mas matulis kaysa sa normal ay may positibong kurtosis, ang mga mas flat-topped ay may negatibong kurtosis.
kanin. 3. Distribution curves na may iba't ibang antas lamig (labis).
Higher-order na sandali sa mga application ng engineering mga istatistika ng matematika karaniwang hindi ginagamit.
Fashion
discrete ang isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Fashion tuloy-tuloy ang isang random na variable ay ang halaga nito kung saan ang probability density ay pinakamataas (Fig. 2). Kung ang kurba ng pamamahagi ay may isang maximum, kung gayon ang pamamahagi ay tinatawag unimodal. Kung ang isang kurba ng pamamahagi ay may higit sa isang maximum, kung gayon ang pamamahagi ay tinatawag multimodal. Minsan may mga distribusyon na ang mga kurba ay may minimum kaysa sa maximum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag anti-modal. SA pangkalahatang kaso ang mode at mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa espesyal na kaso, para sa modal, ibig sabihin. pagkakaroon ng mode, simetriko distribusyon at sa kondisyon na mayroong matematikal na inaasahan, ang huli ay tumutugma sa mode at sentro ng simetriya ng distribusyon.
Median random variable X- ito ang kahulugan nito Meh, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay hawak: i.e. ito ay pantay na posibilidad na ang random variable X magiging mas kaunti o higit pa Meh. Sa geometriko panggitna ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar sa ilalim ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati (Larawan 2). Sa kaso ng simetriko modal distribution, ang median, mode at mathematical na inaasahan ay pareho.
