Orijinal denklemi eşdeğeriyle değiştirelim ve kurala göre yinelemeler oluşturalım 
. Dolayısıyla basit yineleme yöntemi tek adımlı yinelemeli bir süreçtir. Bu işlemi başlatmak için ilk yaklaşımı bilmeniz gerekir. Yöntemin yakınsaması ve ilk yaklaşımın seçimi için koşulları bulalım.
Bilet#29
Seidel yöntemi
Seidel yöntemi (bazen Gauss-Seidel yöntemi olarak da adlandırılır), basit yineleme yönteminin bir modifikasyonudur; bu, bir sonraki x (k+1) yaklaşımını hesaplarken (bkz. formül (1.13), (1.14)) halihazırda elde edilen bileşenler x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) hemen x i (k+1)'i hesaplamak için kullanılır.
Koordinat gösterimi formunda Seidel yöntemi şu forma sahiptir:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
burada x (0) çözüme yönelik bir başlangıç yaklaşımıdır.
Böylece (k+1)-th yaklaşımının i-th bileşeni aşağıdaki formülle hesaplanır:
| x ben (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d ben , ben = 1, ..., n | (1.20) |
Basitleştirilmiş bir formda ε doğruluğuna ulaşıldığında Seidel yinelemeli sürecinin sonu için koşul şu şekildedir:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Bilet#30
Geçiş yöntemi
A x = b sistemlerini üç köşegen matrisle çözmek için, Gauss yönteminin bu duruma uyarlanması olan tarama yöntemi en sık kullanılır.
Denklem sistemini yazalım
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
matris formunda: A x = b burada
bir= 
Süpürme yönteminin formüllerini uygulanma sırasına göre yazalım.
1. Süpürme yönteminin doğrudan vuruşu (yardımcı miktarların hesaplanması):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c ben b ben + b ben ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Ters vuruş süpürme yöntemi (çözüm bulma):
| x n = [-c n b n + b n ] / x ben = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Bilet#31
Basit yineleme yöntemi
Yöntemin özü basit yinelemeler denklemden hareket etmeyi içerir
f(x)= 0 (*)
eşdeğer denkleme
X=φ(x). (**)
Bu geçiş yapılabilir Farklı yollar türüne bağlı olarak f(x). Örneğin, koyabilirsiniz
φ(x) = X+erkek arkadaş(x),(***)
Nerede B= const ve kökler orijinal denklem değişmeyecek.
Kökün ilk yaklaşımı biliniyorsa x 0, o zaman yeni yaklaşım
x 1=φx(0),
onlar. yinelemeli sürecin genel şeması:
xk+1=φ(xk).(****)
Süreci sonlandırmak için en basit kriter
|x k +1 -x k |<ε.
Yakınsama kriteri basit yineleme yöntemi:
kökün yakınındaysa | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, daha sonra yinelemeler herhangi bir başlangıç yaklaşımı için birleşir.
Sabit seçimini keşfedelim B Maksimum yakınsama hızının sağlanması açısından. Yakınsama kriterine göre en yüksek yakınsama hızı şu durumlarda sağlanır: |φ / (x)| = 0. Aynı zamanda (***) esas alınarak, b = –1/f / (x), ve yineleme formülü (****) giriyor x ben =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- onlar. Newton yönteminin formülüne. Dolayısıyla Newton yöntemi, basit yineleme yönteminin özel bir durumudur ve bir fonksiyonun seçimi için tüm olası seçenekler arasında en yüksek yakınsama hızını sağlar. φ(x).
Bilet#32
Newton'un yöntemi
Yöntemin ana fikri şu şekildedir: varsayımsal kökün yakınında bir başlangıç yaklaşımı belirlenir, ardından apsis ekseni ile kesişimin bulunduğu yaklaşım noktasında incelenen fonksiyona bir teğet oluşturulur. Bu nokta bir sonraki yaklaşım olarak alınır. Ve bu, gerekli doğruluk elde edilene kadar devam eder.
Bir aralıkta tanımlanan ve bu aralıkta türevlendirilebilen gerçek değerli bir fonksiyon olsun. Daha sonra yinelemeli yaklaşım hesabının formülü şu şekilde türetilebilir:
burada α, noktadaki teğetin eğim açısıdır.
Bu nedenle, için gerekli ifade şu şekildedir:
Bilet#33
Altın oran yöntemi
Altın oran yöntemi, her yinelemede yalnızca bir fonksiyon değeri hesaplayarak aralıkları ortadan kaldırmanıza olanak tanır. Fonksiyonun dikkate alınan iki değeri sonucunda gelecekte kullanılması gereken aralık belirlenir. Bu aralık, önceki noktalardan birini ve ona simetrik olarak yerleştirilen bir sonraki noktayı içerecektir. Nokta, aralığı iki parçaya böler, böylece bütünün büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçüğe oranına, yani "altın oran" olarak adlandırılana eşit olur.
Aralığı eşit olmayan parçalara bölmek, daha da etkili bir yöntem bulmanızı sağlar. Parçanın uçlarındaki fonksiyonu hesaplayalım [ A,B] ve koy A=X 1 , B=X 2. Fonksiyonu iki iç noktada da hesaplayalım. X 3 , X 4. Fonksiyonun dört değerini de karşılaştıralım ve aralarından en küçüğünü seçelim. Örneğin en küçüğünün şu olduğu ortaya çıksın F(x 3). Açıkçası, minimumun kendisine bitişik bölümlerden birinde olması gerekir. Bu nedenle segment [ X 4 ,B] atılabilir ve segmentten ayrılabilir. 
İlk adım atıldı. Segment üzerinde yine iki dahili nokta seçmeniz, bunların ve uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamanız ve bir sonraki adıma geçmeniz gerekir. Ancak hesaplamaların önceki adımında, fonksiyonu zaten yeni parçanın uçlarında ve iç noktalarından birinde bulduk. X 4. Bu nedenle içeride bir nokta daha seçmek yeterlidir x 5İçindeki fonksiyonun değerini belirleyip gerekli karşılaştırmaları yapın. Bu, işlem adımı başına gereken hesaplama miktarını dört katına çıkarır. Puan yerleştirmenin en iyi yolu nedir? Her defasında kalan kısım üç parçaya bölünür ve dış kısımlardan biri atılır.
Başlangıçtaki belirsizlik aralığını şu şekilde gösterelim: D.
Genel durumda herhangi bir parça atılabileceği için X 1, X 3 veya X 4, X 2 ardından noktaları seçin X 3 Ve X 4 böylece bu bölümlerin uzunlukları aynı olur:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Attıktan sonra yeni bir uzunluk belirsizlik aralığı elde ederiz D'.
ilişkiyi belirtelim D/D'φ harfiyle:
yani bir sonraki belirsizlik aralığının nerede olduğunu belirleyelim. Ancak
önceki aşamada atılan parçanın uzunluğuna eşit, yani
Bu nedenle şunu elde ederiz:
.
Bu denkleme yol açar veya eşdeğer olarak 
.
Bu denklemin pozitif kökü şunu verir:
.
Bilet#34
fonksiyonların enterpolasyonu, yani Belirli bir fonksiyonu kullanarak, değerleri belirli sayıda noktada verilen fonksiyonun değerleriyle örtüşen başka (genellikle daha basit) bir fonksiyon oluşturmak. Ayrıca enterpolasyonun hem pratik hem de teorik önemi vardır.
Ardışık yaklaşım yöntemi olarak da adlandırılan basit yineleme yöntemi, bilinmeyen bir miktarın değerini kademeli olarak geliştirerek bulmaya yönelik matematiksel bir algoritmadır. Bu yöntemin özü, adından da anlaşılacağı gibi, ilk yaklaşımdan sonrakileri kademeli olarak ifade ederek, giderek daha hassas sonuçlar elde edilmesidir. Bu yöntem, belirli bir fonksiyondaki bir değişkenin değerini bulmak için ve ayrıca hem doğrusal hem de doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözerken kullanılır.
SLAE'leri çözerken bu yöntemin nasıl uygulandığını ele alalım. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:
1. Orijinal matristeki yakınsama koşulunun yerine getirilip getirilmediğinin kontrol edilmesi. Yakınsama teoremi: Sistemin orijinal matrisi köşegen baskınlığa sahipse (yani, her satırda, ana köşegenin elemanlarının mutlak değeri, ikincil köşegenlerin mutlak değerdeki elemanlarının toplamından daha büyük olmalıdır), o zaman basit yineleme yöntemi yakınsaktır.
2. Orijinal sistemin matrisi her zaman köşegensel bir üstünlüğe sahip değildir. Bu gibi durumlarda sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu sağlayan denklemlere dokunulmaz ve sağlamayanlarla doğrusal kombinasyonlar yapılır; İstenilen sonuç elde edilene kadar çarpın, çıkarın, denklemleri birbirine ekleyin.
Ortaya çıkan sistemde ana köşegen üzerinde uygunsuz katsayılar varsa, bu tür bir denklemin her iki tarafına i * x i ile formun terimleri eklenir; bunların işaretleri köşegen elemanların işaretleriyle çakışmalıdır.
3. Ortaya çıkan sistemin normal forma dönüştürülmesi:
x - =β - +α*x -
Bu, örneğin şu şekilde yapılabilir: ilk denklemden x 1'i diğer bilinmeyenler cinsinden ifade edin, ikinciden - x 2'ye, üçüncüden - x 3'e vb. Bu durumda şu formülleri kullanırız:
α ij = -(a ij / a ii)
ben = b i /a ii
Ortaya çıkan normal form sisteminin yakınsama koşulunu karşıladığından tekrar emin olmalısınız:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n
4. Aslında ardışık yaklaşımlar yöntemini uygulamaya başlıyoruz.
x(0) ilk yaklaşımdır, x(1)'i onun üzerinden ifade edeceğiz, sonra x(2)'den x(1)'e kadar ifade edeceğiz. Matris formundaki genel formül şuna benzer:
x (n) = β - +α*x (n-1)
Gerekli doğruluğu elde edene kadar hesaplıyoruz:
maks |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
Öyleyse basit yineleme yöntemini uygulamaya koyalım. Örnek:
SLAE'yi çözün:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 doğrulukla ε=10 -3
Modülde köşegen elemanların baskın olup olmadığına bakalım.
Yakınsama koşulunu yalnızca üçüncü denklemin sağladığını görüyoruz. Birinci ve ikinciyi dönüştürüyoruz ve ikinciyi birinci denkleme ekliyoruz:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Üçüncüden birinciyi çıkarıyoruz:
2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Orijinal sistemi eşdeğer bir sisteme dönüştürdük:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
Şimdi sistemi normal şekline getirelim:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Yinelemeli sürecin yakınsamasını kontrol ediyoruz:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, yani. koşul karşılanır.
0,3947
İlk tahmin x(0) = 0,4762
0,8511
Bu değerleri normal form denkleminde değiştirerek aşağıdaki değerleri elde ederiz:
0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639
Yeni değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz:
0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336
Verilen koşulu sağlayan değerlere yaklaşana kadar hesaplamalara devam ediyoruz.
x(7) = 0,441091
Elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol edelim:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Bulunan değerlerin orijinal denklemlere yerleştirilmesiyle elde edilen sonuçlar, denklemin koşullarını tam olarak karşılamaktadır.
Gördüğümüz gibi basit yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar veriyor ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve hantal hesaplamalar yapmak zorunda kaldık.
n bilinmeyenli n cebirsel denklem sistemi verilsin:
Basit yineleme yöntemi için algoritma:
Burada ve aşağıda alt simgenin bilinmeyenler vektörünün karşılık gelen bileşenini, üst simgenin ise yineleme (yaklaşıklık) sayısını gösterdiğine dikkat edin.
Daha sonra her döngüsü bir yinelemeyi temsil eden döngüsel bir matematiksel süreç oluşturulur. Her yinelemenin sonucunda bilinmeyenler vektörünün yeni bir değeri elde edilir. Yinelemeli süreci organize etmek için sistem (1)'i indirgenmiş biçimde yazıyoruz. Bu durumda ana köşegendeki terimler normalleştirilerek eşittir işaretinin solunda kalır, geri kalanı ise sağ tarafa aktarılır. İndirgenmiş denklem sistemişu forma sahiptir:
dikkat et ki asla elde edilemeyecek, ancak sonraki her yinelemede bilinmeyenler vektörü kesin çözüme daha da yaklaşıyor.
12. Doğrusal olmayan bir denklemi çözmek için basit yineleme yönteminde kullanılan temel yineleme formülü:
13. Doğrusal olmayan bir denklemin çözümü için basit yineleme yönteminde yinelemeli süreci durdurma kriteri:
Yinelemeli süreç, bilinmeyenler vektörünün her i'inci bileşeni için doğruluk elde etme koşulu karşılanırsa sona erer.
dikkat et ki basit yineleme yönteminde kesin çözüm asla ulaşılamayacak, ancak sonraki her yinelemede bilinmeyenler vektörü kesin çözüme giderek daha fazla yaklaşmaktadır.
14. Aralığın yinelemeli bölümü için F(x) yardımcı fonksiyonunu seçme kriteri:
Matematikte basit yineleme yöntemini çözmeye yönelik bir test yapılırken, öncelikle yakınsama koşulu kontrol edilmelidir. Yöntemin yakınsaması için, A matrisinde tüm köşegen elemanların mutlak değerlerinin, karşılık gelen satırdaki diğer tüm elemanların modüllerinin toplamından daha büyük olması gerekli ve yeterlidir:
Yinelemeli yöntemlerin dezavantajı Bu oldukça katı bir yakınsama koşuludur ve tüm denklem sistemleri için karşılanmaz.
Yakınsama koşulu karşılanırsa, bir sonraki aşamada bilinmeyenler vektörünün başlangıç yaklaşımını belirlemek gerekir ki bu genellikle sıfır vektördür:
15. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan Gauss yöntemi şunları sağlar:
Yöntem, bir matrisin üçgen forma dönüştürülmesine dayanmaktadır. Bu, bilinmeyenlerin sistem denklemlerinden sırayla elenmesiyle elde edilir.
Basit yineleme yöntemi, orijinal denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesine dayanır:
Kökün ilk yaklaşımı bilinsin x = x 0. Bunu denklemin (2.7) sağ tarafına koyarsak yeni bir yaklaşım elde ederiz. 
, o zaman benzer şekilde şunu elde ederiz 
vesaire.:
. (2.8)
 |
Yinelemeli süreç her koşulda denklemin köküne yaklaşmaz X. Bu sürece daha yakından bakalım. Şekil 2.6 tek yönlü yakınsak ve ıraksak sürecin grafiksel yorumunu göstermektedir. Şekil 2.7 iki yönlü yakınsak ve ıraksak süreçleri göstermektedir. Iraksak bir süreç, argüman ve fonksiyonun değerlerinde hızlı bir artış ve ilgili programın anormal şekilde sonlandırılmasıyla karakterize edilir.
 |
İki yönlü bir süreçle döngüleme, yani aynı fonksiyon ve argüman değerlerinin sonsuz tekrarı mümkündür. Döngü, ıraksak bir süreci yakınsak bir süreçten ayırır.
Hem tek taraflı hem de iki taraflı işlemler için köke yakınsamanın, eğrinin kök yakınındaki eğimi tarafından belirlendiği grafiklerden açıkça görülmektedir. Eğim ne kadar küçük olursa yakınsama o kadar iyi olur. Bilindiği gibi bir eğrinin eğiminin tanjantı, eğrinin belirli bir noktadaki türevine eşittir.
Bu nedenle kök yakınındaki sayı ne kadar küçük olursa süreç o kadar hızlı yakınsar.
İterasyon sürecinin yakınsak olabilmesi için kök çevresinde aşağıdaki eşitsizliğin sağlanması gerekir:
Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş, fonksiyonun türüne bağlı olarak çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir. f(x). Böyle bir geçişte fonksiyonun yakınsama koşulu (2.9) sağlanacak şekilde oluşturulması gerekir.
Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş için genel algoritmalardan birini ele alalım.
Denklemin (2.1) sol ve sağ taraflarını keyfi bir sabitle çarpalım B ve bilinmeyeni her iki parçaya da ekleyin X. Bu durumda orijinal denklemin kökleri değişmeyecektir:
Gösterimi tanıtalım 
ve (2.10) ilişkisinden denklem (2.8)'e geçelim.
 |
Sabitin keyfi seçimi B yakınsama koşulunun (2.9) sağlanmasını sağlayacaktır. Yinelemeli süreci sonlandırmanın kriteri koşul (2.2) olacaktır. Şekil 2.8, açıklanan gösterim yöntemini kullanan basit yineleme yönteminin grafiksel yorumunu göstermektedir (X ve Y eksenleri boyunca ölçekler farklıdır).
Formda bir fonksiyon seçilirse bu fonksiyonun türevi olacaktır. En yüksek yakınsama hızı, o zaman olacaktır. 
ve yineleme formülü (2.11) Newton'un formülüne girer. Bu nedenle, Newton'un yöntemi tüm yinelemeli süreçler arasında en yüksek yakınsama derecesine sahiptir.
Basit yineleme yönteminin yazılım uygulaması bir alt rutin prosedür şeklinde yapılır. Itera'lar(PROGRAM 2.1).
Prosedürün tamamı pratik olarak bir Tekrar ... Döngüye kadar, yinelemeli sürecin durdurulması koşulunu (formül (2.2)) dikkate alarak formül (2.11)'in uygulanmasından oluşur.
Prosedür, Niter değişkenini kullanarak döngü sayısını sayarak yerleşik döngü korumasına sahiptir. Pratik derslerde programı çalıştırarak katsayı seçiminin nasıl etkileneceğinden emin olmanız gerekir. B ve kökü arama sürecinde ilk yaklaşım. Katsayıyı değiştirirken B incelenen fonksiyon için yinelemeli sürecin doğası değişir. Önce iki taraflı olur, sonra döngü yapar (Şekil 2.9). Eksen ölçekleri X Ve e farklıdır. Modül b'nin daha da büyük bir değeri farklı bir sürece yol açar.
Denklemlerin yaklaşık çözümü için yöntemlerin karşılaştırılması
Denklemlerin sayısal çözümü için yukarıda açıklanan yöntemlerin bir karşılaştırması, kökü bulma işleminin PC ekranında grafiksel biçimde gözlemlenmesine olanak tanıyan bir program kullanılarak gerçekleştirildi. Bu programda yer alan prosedürler ve karşılaştırılan yöntemlerin uygulanması aşağıda verilmiştir (PROGRAM 2.1).
Pirinç. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 yineleme işleminin sonunda PC ekranının kopyalarıdır.
Tüm durumlarda, analitik çözümü x 1 = -2 ve x 2 = 3 olan ikinci dereceden denklem x 2 -x-6 = 0, incelenen fonksiyon olarak alınmıştır. Hata ve başlangıç yaklaşımları, tüm yöntemler için eşit kabul edilmiştir. Kök arama sonuçları x=Şekillerde sunulan 3, aşağıdaki gibidir. Dikotomi yöntemi en yavaş - 22 yinelemeyi yakınsar, en hızlısı ise b = -0,2 - 5 yineleme ile basit yineleme yöntemidir. Burada Newton'un yönteminin en hızlı olduğu ifadesinde bir çelişki yoktur.
İncelenen fonksiyonun bu noktada türevi X= 3 -0,2'ye eşittir, yani bu durumda hesaplama pratik olarak Newton yöntemiyle denklemin kökü noktasındaki türev değeriyle gerçekleştirildi. Katsayıyı değiştirirken B yakınsama oranı düşer ve kademeli olarak yakınsama süreci önce döngüler halinde gider, sonra ıraksak hale gelir.
(2.1)'e benzer şekilde, sistem (5.1) aşağıdaki eşdeğer formda temsil edilebilir:
burada g(x), vektör argümanının yinelemeli bir vektör fonksiyonudur. Doğrusal olmayan denklem sistemleri sıklıkla doğrudan (5.2) biçiminde ortaya çıkar (örneğin, diferansiyel denklemlerin sayısal şemalarında), bu durumda denklemleri (5.1) sisteme (5.2) dönüştürmek için ek bir çabaya gerek yoktur. Analojiye bir denklem için basit yineleme yöntemiyle devam edersek, denklem (5.2)'ye dayalı yineleme süreci şu şekilde organize edilebilir:
- 1) bazı başlangıç vektörleri x ((,) e 5 o (x 0, A)(x* e 5(x 0, A));
- 2) sonraki yaklaşımlar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır
daha sonra yineleme işlemi tamamlanır ve
Daha önce olduğu gibi, hangi koşullar altında olduğunu bulmamız gerekiyor.
Basit bir analiz yaparak bu konuyu tartışalım. İlk önce i'inci yaklaşımın hatasını e(i) = x(i) - x* olarak tanıtıyoruz. Daha sonra yazabiliriz.
Bu ifadeleri (5.3)'te yerine koyalım ve g(x* + e (/i))'yi kuvvetlerle genişletelim. e(k> vektör argümanının bir fonksiyonu olarak x* komşuluğunda (g(x) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerinin sürekli olduğu varsayılarak). x* = g(x*) denklemini de hesaba katarsak, şunu elde ederiz:
veya matris formunda
B = (bnm)= I (x*)1 - yineleme matrisi.
Hata oranı ||e®|| yeterince küçükse, ifadenin (5.4) sağ tarafındaki ikinci terim ihmal edilebilir ve bu durumda ifade (2.16) ile çakışır. Sonuç olarak, yinelemeli sürecin (5.3) kesin çözüme yakınlaşmasının koşulu Teorem 3.1'de tanımlanmaktadır.
Basit yineleme yönteminin yakınsaması. Gerekli ve yeterli koşul yinelemeli sürecin (5.3) yakınsaması için: 
ve yeterli bir koşul:
Bu koşullar pratikten ziyade teorik öneme sahiptir, çünkü x''i bilmiyoruz. (1.11)'e benzetme yaparak yararlı olabilecek bir koşul elde ederiz. x* e 5 o (x 0, A) ve g(x) fonksiyonu için Jacobian matrisi
tüm x e için var S n (x 0, a) (C(x*) = B olduğuna dikkat edin). C(x) matrisinin elemanları eşitsizliği sağlıyorsa
tüm x e 5“(x 0, A), bu durumda herhangi bir matris normu için yeterli koşul (5.5) da sağlanır.
Örnek 5.1 (basit yineleme yöntemi) Şunu düşünün aşağıdaki sistem denklemler:
Bu sistemi eşdeğer formda (5.2) temsil etmenin bir olasılığı, X ilk denklemden ve x 2 ikinci denklemden: 
Daha sonra yineleme şeması şu şekildedir:
Kesin çözüm x* e 5™((2, 2), 1)'dir. Başlangıç vektörü x (0) = (2,2)'yi seçelim ve ? p = BT 5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.1.
Tablo 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Bu sonuçlar yakınsamanın oldukça yavaş olduğunu göstermektedir. Yakınsamanın niceliksel bir özelliğini elde etmek için, x (1/)'nin kesin bir çözüm olduğunu düşünerek basit bir analiz yapıyoruz. Yinelemeli fonksiyonumuzun Jacobian matrisi C(x) şu şekildedir:
bu durumda B matrisi yaklaşık olarak şu şekilde tahmin edilir:
Ne (5.5) ne de (5.6) koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır ancak 5(B) ~ 0.8 olduğundan yakınsama gerçekleşir.
Hesaplama sürecini biraz değiştirerek basit yineleme yönteminin yakınsamasını hızlandırmak çoğu zaman mümkündür. Bu değişikliğin fikri çok basit: hesaplamak P inci vektör bileşenleri x (A+1) sadece kullanılamaz (t = n,..., N), aynı zamanda bir sonraki yaklaşım vektörünün önceden hesaplanmış bileşenleri xk^ (/= 1,P - 1). Böylece, değiştirilmiş basit yineleme yöntemi aşağıdaki yineleme şemasıyla temsil edilebilir:
Eğer yinelemeli süreç (5.3) tarafından oluşturulan yaklaşımlar yakınsarsa, o zaman yinelemeli süreç (5.8) bilginin daha tam kullanımı nedeniyle daha hızlı yakınsama eğilimindedir.
Örnek 5.2 (değiştirilmiş basit yineleme yöntemi) Sistem (5.7) için değiştirilmiş basit yineleme şu şekilde temsil edilir:
Daha önce olduğu gibi, başlangıç vektörü x (0) = (2, 2)'yi seçiyoruz ve gr = = 10-5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.2.
Tablo 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Hesaplamaların sırasındaki büyük değişiklik, yineleme sayısının yarıya inmesine ve dolayısıyla işlem sayısının da yarı yarıya azalmasına yol açtı.
