Dünyada Fermat'ın Son Teoremini duymamış pek fazla insan yok - belki de bu kadar yaygın olarak bilinen ve gerçek bir efsane haline gelen tek matematik problemi budur. Pek çok kitap ve filmde bundan bahsediliyor ve hemen hemen tüm bahsi geçenlerin ana bağlamı, teoremin kanıtlanmasının imkansızlığıdır.
Evet, bu teorem çok iyi biliniyor ve bir bakıma amatör ve profesyonel matematikçiler tarafından tapılan bir “idol” haline geldi, ancak çok az kişi onun kanıtının bulunduğunu biliyor ve bu 1995 yılında gerçekleşti. Ama önce ilk şeyler.
Dolayısıyla, 1637'de parlak Fransız matematikçi Pierre Fermat tarafından formüle edilen Fermat'ın Son Teoremi (genellikle Fermat'ın son teoremi olarak anılır), özünde çok basit ve orta öğretimi olan herkes için anlaşılabilir. a üzeri n + b üzeri n = c üzeri n formülünün n > 2 için doğal (yani kesirli olmayan) çözümleri olmadığını söylüyor. Her şey basit ve açık görünüyor, ancak en iyi matematikçiler ve sıradan amatörler üç buçuk yüzyıldan fazla bir süre boyunca bir çözüm aramakla uğraştılar.
Neden bu kadar ünlü? Şimdi öğreneceğiz...
Kanıtlanmış, kanıtlanmamış ve henüz kanıtlanmamış çok sayıda teorem var mı? Buradaki önemli nokta, Fermat'ın Son Teoreminin, formülasyonun basitliği ile kanıtın karmaşıklığı arasındaki en büyük zıtlığı temsil etmesidir. Fermat'ın Son Teoremi inanılmaz derecede zor bir iştir ve formülasyonu lise 5. sınıfa giden herkes tarafından anlaşılabilir, ancak her profesyonel matematikçi bile ispatı anlayamaz. Ne fizikte, ne kimyada, ne biyolojide, ne matematikte bu kadar basit formüle edilip bu kadar uzun süre çözülemeyen tek bir problem yoktur. 2. Nelerden oluşur?
Pisagor pantolonuyla başlayalım. İlk bakışta ifadeler oldukça basit. Çocukluğumuzdan beri bildiğimiz gibi, "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir." Sorun çok basit görünüyor çünkü herkesin bildiği matematiksel bir ifadeye dayanıyordu: Pisagor teoremi: herhangi bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen kare, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir.
MÖ 5. yüzyılda. Pisagor, Pisagor kardeşliğini kurdu. Pisagorcular, diğer şeylerin yanı sıra, x²+y²=z² eşitliğini sağlayan tamsayı üçlüleri üzerinde çalıştılar. Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar ve bunları bulmak için genel formüller elde ettiler. Muhtemelen C ve daha yüksek dereceleri aramaya çalıştılar. Bunun işe yaramayacağına inanan Pisagorcular, yararsız girişimlerinden vazgeçtiler. Kardeşliğin üyeleri matematikçilerden çok filozof ve estetikçilerdi.
Yani, x²+y²=z² eşitliğini tam olarak karşılayan bir sayı kümesini seçmek kolaydır
3, 4, 5'ten başlayarak aslında üçüncü sınıf öğrencisi 9 + 16 = 25 olduğunu anlar.
Veya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Harika.
Yani onların OLMADIĞI ortaya çıkıyor. İşte hile burada başlıyor. Basitlik ortadadır, çünkü bir şeyin varlığını değil, tam tersine yokluğunu kanıtlamak zordur. Bir çözümün olduğunu kanıtlamanız gerektiğinde, bu çözümü basitçe sunabilirsiniz ve sunmalısınız.
Yokluğu kanıtlamak daha zordur: Mesela birisi şöyle diyor: falan denklemin çözümü yok. Onu bir su birikintisine mi koyacaksın? kolay: bam - ve işte çözüm! (çözüm verin). İşte bu kadar, rakip mağlup oldu. Devamsızlık nasıl kanıtlanır?
Şöyle deyin: "Böyle çözümler bulamadım"? Ya da belki iyi görünmüyordun? Ya varlarsa ama çok büyüklerse, çok büyüklerse, öyle ki süper güçlü bir bilgisayar bile henüz yeterli güce sahip değilse? Zor olan da bu.
Bu görsel olarak şu şekilde gösterilebilir: Uygun boyutlarda iki kare alıp bunları birim karelere ayırırsanız, bu birim kareler yığınından üçüncü bir kare elde edersiniz (Şekil 2): 
Ama aynısını üçüncü boyut için de yapalım (Şekil 3) - işe yaramıyor. Yeterli küp yok veya fazladan küp kaldı:
Ancak 17. yüzyıl matematikçisi Fransız Pierre de Fermat, x n + y n = z n genel denklemini heyecanla inceledi. Ve son olarak şu sonuca vardım: n>2 için tam sayı çözüm yoktur. Fermat'ın kanıtı geri alınamayacak şekilde kayboldu. El yazmaları yanıyor! Geriye kalan tek şey Diophantus'un Aritmetiği'ndeki sözleridir: "Bu önermenin gerçekten şaşırtıcı bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenarlar onu içeremeyecek kadar dar."
Aslında kanıtı olmayan bir teoreme hipotez denir. Ancak Fermat'ın asla hata yapmaması konusunda bir itibarı var. Bir ifadeye dair kanıt bırakmamış olsa bile sonradan doğrulandı. Ayrıca Fermat tezini n=4 için kanıtladı. Böylece Fransız matematikçinin hipotezi Fermat'ın Son Teoremi olarak tarihe geçti.
Fermat'tan sonra Leonhard Euler gibi büyük beyinler bir kanıt arayışı üzerinde çalıştılar (1770'de n = 3 için bir çözüm önerdi),
Adrien Legendre ve Johann Dirichlet (bu bilim adamları 1825'te n = 5'in kanıtını ortaklaşa buldular), Gabriel Lamé (n = 7'nin kanıtını bulan) ve diğerleri. Geçen yüzyılın 80'li yıllarının ortalarına gelindiğinde, bilim dünyasının Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümüne doğru ilerlediği açık bir şekilde ortaya çıktı, ancak matematikçiler yalnızca 1993'te üç yüzyıllık bir kanıt arayışı destanının farkına varıp inandılar. Fermat'ın son teoremi neredeyse bitmişti.
Fermat teoremini yalnızca basit n için kanıtlamanın yeterli olduğu kolayca gösterilir: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Bileşik n için kanıt geçerli kalır. Ama sonsuz sayıda asal sayı var...
1825'te kadın matematikçiler Dirichlet ve Legendre, Sophie Germain'in yöntemini kullanarak bağımsız olarak n=5 teoremini kanıtladılar. 1839'da Fransız Gabriel Lame aynı yöntemi kullanarak teoremin n=7 için doğruluğunu gösterdi. Yavaş yavaş teorem yüzden az olan neredeyse tüm n'ler için kanıtlandı.
Son olarak Alman matematikçi Ernst Kummer harika bir çalışmayla teoremin genel olarak 19. yüzyıl matematik yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Fermat teoreminin ispatı için 1847'de kurulan Fransız Bilimler Akademisi Ödülü verilmedi.
1907'de zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl, karşılıksız aşkı nedeniyle kendi canına kıymaya karar verdi. Gerçek bir Alman gibi intiharın tarihini ve saatini belirledi: tam gece yarısı. Son gün ise bir vasiyetname hazırlayıp arkadaşlarına ve akrabalarına mektuplar yazdı. Olaylar gece yarısından önce sona erdi. Paul'un matematiğe ilgi duyduğu söylenmelidir. Yapacak başka işi olmadığından kütüphaneye gitti ve Kummer'in ünlü makalesini okumaya başladı. Aniden ona Kummer'in akıl yürütmesinde bir hata yapmış gibi geldi. Wolfskel elinde kalemle makalenin bu bölümünü incelemeye başladı. Gece yarısı geçti, sabah geldi. Kanıttaki boşluk doldurulmuştur. Ve intiharın nedeni artık tamamen saçma görünüyordu. Paul veda mektuplarını yırtıp vasiyetini yeniden yazdı.
Kısa süre sonra doğal nedenlerden öldü. Mirasçılar oldukça şaşırdılar: 100.000 mark (mevcut 1.000.000 sterlinden fazla), aynı yıl Wolfskehl Ödülü için bir yarışma ilan eden Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'nin hesabına aktarıldı. Fermat teoremini kanıtlayan kişiye 100.000 puan verildi. Teoremi çürüttüğü için bir pfennig bile verilmedi...
Çoğu profesyonel matematikçi, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını aramayı umutsuz bir çaba olarak değerlendirdi ve böylesine yararsız bir alıştırmayla zaman kaybetmeyi kararlılıkla reddetti. Ancak amatörler çok eğlendi. Duyurudan birkaç hafta sonra Göttingen Üniversitesi'ni bir “kanıt” çığı vurdu. Sorumluluğu gönderilen kanıtları analiz etmek olan Profesör E.M. Landau, öğrencilerine kartlar dağıttı:
Canım. . . . . . . .
Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını içeren taslağı bana gönderdiğiniz için teşekkür ederim. İlk hata sayfada... satırda... . Bu nedenle tüm kanıt geçerliliğini kaybeder.
Profesör E. M. Landau
1963 yılında Paul Cohen, Gödel'in bulgularına dayanarak Hilbert'in yirmi üç probleminden biri olan süreklilik hipotezinin çözülemezliğini kanıtladı. Peki ya Fermat'ın Son Teoremi de karar verilemezse?! Ancak gerçek Büyük Teorem fanatikleri hiç de hayal kırıklığına uğramadılar. Bilgisayarların ortaya çıkışı aniden matematikçilere yeni bir ispat yöntemi kazandırdı. İkinci Dünya Savaşı'ndan sonra programcı ve matematikçilerden oluşan ekipler, Fermat'ın Son Teoremini n'nin 500'e, ardından 1.000'e ve daha sonra 10.000'e kadar olan tüm değerleri için kanıtladılar.
1980'lerde Samuel Wagstaff sınırı 25.000'e çıkardı ve 1990'larda matematikçiler Fermat'ın Son Teoreminin n'den 4 milyona kadar tüm değerler için doğru olduğunu ilan ettiler. Ama sonsuzdan bir trilyon trilyon bile çıkarsanız küçülmez. Matematikçiler istatistiklere inanmazlar. Büyük Teoremi kanıtlamak, onu sonsuza giden TÜM n'ler için kanıtlamak anlamına geliyordu.
1954 yılında iki genç Japon matematikçi arkadaş modüler formları araştırmaya başladı. Bu formlar, her biri kendi serisine sahip olan sayı serileri üretir. Şans eseri Taniyama bu serileri eliptik denklemlerin ürettiği serilerle karşılaştırdı. Eşleştiler! Ancak modüler formlar geometrik nesnelerdir ve eliptik denklemler cebirseldir. Bu kadar farklı nesneler arasında hiçbir bağlantı bulunamadı.
Ancak dikkatli testlerden sonra arkadaşlar bir hipotez öne sürdüler: Her eliptik denklemin bir ikizi vardır - modüler bir form ve bunun tersi de geçerlidir. Matematikte bütün bir yönelimin temeli haline gelen şey bu hipotezdi, ancak Taniyama-Shimura hipotezi kanıtlanana kadar tüm bina her an çökebilir.
1984 yılında Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümünün, eğer varsa, bazı eliptik denklemlere dahil edilebileceğini gösterdi. İki yıl sonra Profesör Ken Ribet, bu varsayımsal denklemin modüler dünyada bir karşılığının olamayacağını kanıtladı. Artık Fermat'ın Son Teoremi Taniyama-Shimura varsayımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıydı. Herhangi bir eliptik eğrinin modüler olduğunu kanıtladıktan sonra, Fermat denkleminin çözümü olan bir eliptik denklemin olmadığı ve Fermat'ın Son Teoreminin hemen kanıtlanacağı sonucuna varıyoruz. Ancak otuz yıl boyunca Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamak mümkün olmadı ve başarı umudu giderek azaldı.
Andrew Wiles, 1963 yılında henüz on yaşındayken matematiğe hayran kalmıştı. Büyük Teoremi öğrendiğinde ondan vazgeçemeyeceğini anladı. Bir okul çocuğu, öğrenci ve yüksek lisans öğrencisi olarak kendisini bu göreve hazırladı.
Ken Ribet'in bulgularını öğrenen Wiles, Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamaya daldı. Tamamen izolasyon ve gizlilik içinde çalışmaya karar verdi. "Fermat'ın Son Teoremi ile ilgisi olan her şeyin çok fazla ilgi uyandırdığını fark ettim... Çok fazla seyirci açıkça hedefe ulaşmayı engelliyor." Yedi yıllık sıkı çalışmanın karşılığını alan Wiles, sonunda Taniyama-Shimura varsayımının kanıtını tamamladı.
1993 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını dünyaya sundu (Wiles, sansasyonel makalesini Cambridge'deki Sir Isaac Newton Enstitüsü'ndeki bir konferansta okudu). Bu çalışma üzerinde yedi yıldan fazla sürdü.
Basında abartı devam ederken kanıtların doğrulanması için ciddi çalışmalar başladı. Kanıtların kesin ve doğru olarak kabul edilebilmesi için her kanıt dikkatlice incelenmelidir. Wiles, onların onayını kazanabileceğini umarak, eleştirmenlerden geri bildirim bekleyerek huzursuz bir yaz geçirdi. Ağustos ayının sonunda uzmanlar, kararın yeterince kanıtlanmadığını tespit etti.
Bu kararın genel olarak doğru olmasına rağmen büyük bir hata içerdiği ortaya çıktı. Wiles pes etmedi, ünlü sayı teorisi uzmanı Richard Taylor'ın yardımını istedi ve 1994'te teoremin düzeltilmiş ve genişletilmiş kanıtını yayınladılar. En şaşırtıcı olanı ise bu çalışmanın Annals of Mathematics adlı matematik dergisinde 130 (!) sayfa kadar yer kaplamasıdır. Ancak hikaye burada da bitmedi - son noktaya ancak bir sonraki yıl, 1995'te, kanıtın matematiksel açıdan son ve "ideal" versiyonunun yayınlanmasıyla ulaşıldı.
“...doğum günü kutlama yemeğinin başlamasından yarım dakika sonra, Nadya'ya tüm kanıtın taslağını sundum” (Andrew Wales). Henüz matematikçilerin tuhaf insanlar olduğunu söylememiş miydim?
Bu sefer deliller konusunda hiçbir şüphe yoktu. İki makale çok dikkatli bir analize tabi tutuldu ve Mayıs 1995'te Annals of Mathematics'te yayınlandı.
O andan bu yana çok zaman geçti ama toplumda hala Fermat'ın Son Teoreminin çözülemez olduğuna dair bir görüş var. Ancak bulunan kanıtı bilenler bile bu yönde çalışmaya devam ediyor - çok azı Büyük Teoremin 130 sayfalık bir çözüm gerektirdiğinden memnun!
Bu nedenle, artık birçok matematikçinin (çoğunlukla amatörler, profesyonel bilim adamları değil) çabaları basit ve özlü bir kanıt arayışına atılıyor, ancak bu yol büyük olasılıkla hiçbir yere varmayacak...
kaynak
Ders 6. Türevlerin fonksiyon çalışmalarına uygulanması
Eğer fonksiyon F(X) doğru parçasının her noktasında bir türevi vardır [ A, B], o zaman davranışı türev kullanılarak incelenebilir F"(X).
Türev uygulamalarının temelini oluşturan diferansiyel hesabın temel teoremlerine bakalım.
Fermat'ın teoremi
Teorem(Çiftlik) ( türevin sıfıra eşitliği hakkında ). Eğer fonksiyon f(X), aralıkta türevlenebilir (A, B) ve en büyük veya en küçük değerine c noktasında ulaşır є ( A, B), o zaman fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır yani F"(İle) = 0.
Kanıt. Fonksiyona izin ver F(X) aralığında türevlenebilir ( A, B) ve bu noktada X = İle en büyük değeri alır M en İle є ( A, B) (Şekil 1), yani.
F(İle) ≥ F(X) veya F(X) – F(C) ≤ 0 veya F(+Δ X) – F(İle) ≤ 0.
Türev F"(X) noktada X = İle: .
Eğer X> C, Δ X> 0 (yani Δ X→ 0 noktanın sağında İle), O 
ve bu nedenle F"(İle) ≤ 0.
Eğer X< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 noktanın solunda İle), O 
, bundan şu sonuç çıkıyor F"(İle) ≥ 0.
Koşullara göre F(X) noktasında diferansiyellenebilir İle bu nedenle limiti X→ İle argümanın yaklaşım yönünün seçimine bağlı değildir X asıl noktaya İle yani .
Bunu takip eden bir sistem elde ediyoruz F"(İle) = 0.
Durumunda F(İle) = T(onlar. F(X) noktada alır İle en küçük değer), ispat benzerdir. Teorem kanıtlandı.
Fermat teoreminin geometrik anlamı: Aralık içinde elde edilen en büyük veya en küçük değerin olduğu noktada fonksiyonun grafiğine teğet x eksenine paraleldir.
Dolayısıyla, 1637'de parlak Fransız matematikçi Pierre Fermat tarafından formüle edilen Fermat'ın Son Teoremi (genellikle Fermat'ın son teoremi olarak anılır), doğası gereği çok basittir ve orta öğretimi olan herkes için anlaşılabilir. a üzeri n + b üzeri n = c üzeri n formülünün n > 2 için doğal (yani kesirli olmayan) çözümleri olmadığını söylüyor. Her şey basit ve açık görünüyor, ancak en iyi matematikçiler ve sıradan amatörler üç buçuk yüzyıldan fazla bir süre boyunca bir çözüm aramakla uğraştılar.
Neden bu kadar ünlü? Şimdi öğreneceğiz...
Kanıtlanmış, kanıtlanmamış ve henüz kanıtlanmamış çok sayıda teorem var mı? Buradaki önemli nokta, Fermat'ın Son Teoreminin, formülasyonun basitliği ile kanıtın karmaşıklığı arasındaki en büyük zıtlığı temsil etmesidir. Fermat'ın Son Teoremi inanılmaz derecede zor bir problemdir ve formülasyonu lise 5. sınıfa giden herkes tarafından anlaşılabilir ancak her profesyonel matematikçi bile ispatı anlayamaz. Ne fizikte, ne kimyada, ne biyolojide, ne matematikte bu kadar basit formüle edilip bu kadar uzun süre çözülemeyen tek bir problem yoktur. 2. Nelerden oluşur?
Pisagor pantolonuyla başlayalım. İlk bakışta ifadeler oldukça basit. Çocukluğumuzdan beri bildiğimiz gibi, "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir." Sorun çok basit görünüyor çünkü herkesin bildiği matematiksel bir ifadeye dayanıyordu: Pisagor teoremi: Herhangi bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen kare, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir.
MÖ 5. yüzyılda. Pisagor, Pisagor kardeşliğini kurdu. Pisagorcular, diğer şeylerin yanı sıra, x²+y²=z² eşitliğini sağlayan tamsayı üçlüleri üzerinde çalıştılar. Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar ve bunları bulmak için genel formüller elde ettiler. Muhtemelen C ve daha yüksek dereceleri aramaya çalıştılar. Bunun işe yaramayacağına inanan Pisagorcular, yararsız girişimlerinden vazgeçtiler. Kardeşliğin üyeleri matematikçilerden çok filozof ve estetikçilerdi.
Yani, x²+y²=z² eşitliğini tam olarak karşılayan bir sayı kümesini seçmek kolaydır
3, 4, 5'ten başlayarak aslında üçüncü sınıf öğrencisi 9 + 16 = 25 olduğunu anlar.
Veya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Harika.
Ve benzeri. Benzer bir x³+y³=z³ denklemini alırsak ne olur? Belki böyle sayılar da vardır?
Ve benzeri (Şekil 1).
Yani onların OLMADIĞI ortaya çıkıyor. İşte hile burada başlıyor. Basitlik ortadadır, çünkü bir şeyin varlığını değil, tam tersine yokluğunu kanıtlamak zordur. Bir çözümün olduğunu kanıtlamanız gerektiğinde, bu çözümü basitçe sunabilirsiniz ve sunmalısınız.
Yokluğu kanıtlamak daha zordur: Mesela birisi şöyle diyor: falan denklemin çözümü yok. Onu bir su birikintisine mi koyacaksın? kolay: bam - ve işte çözüm! (çözüm verin). İşte bu kadar, rakip mağlup oldu. Devamsızlık nasıl kanıtlanır?
Şöyle deyin: "Böyle çözümler bulamadım"? Ya da belki iyi görünmüyordun? Ya varlarsa ama çok büyüklerse, çok büyüklerse, öyle ki süper güçlü bir bilgisayar bile henüz yeterli güce sahip değilse? Zor olan da bu.
Bu görsel olarak şu şekilde gösterilebilir: Uygun boyutlarda iki kare alıp bunları birim karelere ayırırsanız, bu birim kareler demetinden üçüncü bir kare elde edersiniz (Şekil 2):
Ama hadi aynısını üçüncü boyut için de yapalım (Şekil 3) – işe yaramıyor. Yeterli küp yok veya fazladan küp kaldı:
Ancak 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Pierre de Fermat x genel denklemini heyecanla inceledi. n +y n =z n . Ve son olarak şu sonuca vardım: n>2 için tam sayı çözüm yoktur. Fermat'ın kanıtı geri alınamayacak şekilde kayboldu. El yazmaları yanıyor! Geriye kalan tek şey Diophantus'un Aritmetiği'ndeki sözleridir: "Bu önermenin gerçekten şaşırtıcı bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenarlar onu içeremeyecek kadar dar."
Aslında kanıtı olmayan bir teoreme hipotez denir. Ancak Fermat'ın asla hata yapmamasıyla ünlüdür. Bir ifadeye dair kanıt bırakmamış olsa bile sonradan doğrulandı. Ayrıca Fermat tezini n=4 için kanıtladı. Böylece Fransız matematikçinin hipotezi Fermat'ın Son Teoremi olarak tarihe geçti.
Fermat'tan sonra Leonhard Euler gibi büyük beyinler bir kanıt arayışı üzerinde çalıştılar (1770'de n = 3 için bir çözüm önerdi),
Adrien Legendre ve Johann Dirichlet (bu bilim adamları 1825'te n = 5'in kanıtını ortaklaşa buldular), Gabriel Lamé (n = 7'nin kanıtını bulan) ve diğerleri. Geçen yüzyılın 80'li yıllarının ortalarına gelindiğinde, bilim dünyasının Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümüne doğru ilerlediği açık hale geldi, ancak matematikçiler yalnızca 1993'te üç yüzyıllık bir kanıt arayışı destanının farkına varıp inandılar. Fermat'ın son teoremi neredeyse bitmişti.
Fermat teoremini yalnızca basit n için kanıtlamanın yeterli olduğu kolayca gösterilir: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Bileşik n için kanıt geçerli kalır. Ama sonsuz sayıda asal sayı var...
1825'te kadın matematikçiler Dirichlet ve Legendre, Sophie Germain'in yöntemini kullanarak bağımsız olarak n=5 teoremini kanıtladılar. 1839'da Fransız Gabriel Lame aynı yöntemi kullanarak teoremin n=7 için doğruluğunu gösterdi. Yavaş yavaş teorem yüzden az olan neredeyse tüm n'ler için kanıtlandı.
Son olarak Alman matematikçi Ernst Kummer harika bir çalışmayla teoremin genel olarak 19. yüzyıl matematik yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Fermat teoreminin ispatı için 1847'de kurulan Fransız Bilimler Akademisi Ödülü verilmedi.
1907'de zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl, karşılıksız aşkı nedeniyle kendi canına kıymaya karar verdi. Gerçek bir Alman gibi intiharın tarihini ve saatini belirledi: tam gece yarısı. Son gün ise bir vasiyetname hazırlayıp arkadaşlarına ve akrabalarına mektuplar yazdı. Olaylar gece yarısından önce sona erdi. Paul'un matematiğe ilgi duyduğu söylenmelidir. Yapacak başka işi olmadığından kütüphaneye gitti ve Kummer'in ünlü makalesini okumaya başladı. Aniden ona Kummer'in muhakemesinde bir hata yapmış gibi geldi. Wolfskel elinde kalemle makalenin bu bölümünü incelemeye başladı. Gece yarısı geçti, sabah geldi. Kanıttaki boşluk doldurulmuştur. Ve intiharın nedeni artık tamamen saçma görünüyordu. Paul veda mektuplarını yırtıp vasiyetini yeniden yazdı.
Kısa süre sonra doğal nedenlerden öldü. Mirasçılar oldukça şaşırdılar: 100.000 mark (mevcut 1.000.000 sterlinden fazla), aynı yıl Wolfskehl Ödülü için bir yarışma ilan eden Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'nin hesabına aktarıldı. Fermat teoremini kanıtlayan kişiye 100.000 puan verildi. Teoremi çürüttüğü için bir pfennig bile verilmedi...
Çoğu profesyonel matematikçi, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını aramayı umutsuz bir çaba olarak değerlendirdi ve böylesine yararsız bir alıştırmayla zaman kaybetmeyi kararlılıkla reddetti. Ancak amatörler çok eğlendi. Duyurudan birkaç hafta sonra Göttingen Üniversitesi'ni bir “kanıt” çığı vurdu. Sorumluluğu gönderilen kanıtları analiz etmek olan Profesör E.M. Landau, öğrencilerine kartlar dağıttı:
Canım. . . . . . . .
Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını içeren taslağı bana gönderdiğiniz için teşekkür ederim. İlk hata sayfada... satırda... . Bu nedenle tüm kanıt geçerliliğini kaybeder.
Profesör E. M. Landau
1963 yılında Paul Cohen, Gödel'in bulgularına dayanarak Hilbert'in yirmi üç probleminden biri olan süreklilik hipotezinin çözülemezliğini kanıtladı. Peki ya Fermat'ın Son Teoremi de karar verilemezse?! Ancak gerçek Büyük Teorem fanatikleri hiç de hayal kırıklığına uğramadılar. Bilgisayarların ortaya çıkışı, matematikçilere birdenbire yeni bir ispat yöntemi kazandırdı. İkinci Dünya Savaşı'ndan sonra programcı ve matematikçilerden oluşan ekipler Fermat'ın Son Teoremini n'nin 500'e, ardından 1.000'e ve daha sonra 10.000'e kadar olan tüm değerleri için kanıtladılar.
1980'lerde Samuel Wagstaff sınırı 25.000'e çıkardı ve 1990'larda matematikçiler Fermat'ın Son Teoreminin n'den 4 milyona kadar tüm değerler için doğru olduğunu ilan ettiler. Ama sonsuzdan bir trilyon trilyon bile çıkarsanız küçülmez. Matematikçiler istatistiklere inanmazlar. Büyük Teoremi kanıtlamak, onu sonsuza giden TÜM n'ler için kanıtlamak anlamına geliyordu.
1954 yılında iki genç Japon matematikçi arkadaş modüler formları araştırmaya başladı. Bu formlar, her biri kendi serisine sahip olan sayı serileri üretir. Şans eseri Taniyama bu serileri eliptik denklemlerin ürettiği serilerle karşılaştırdı. Eşleştiler! Ancak modüler formlar geometrik nesnelerdir ve eliptik denklemler cebirseldir. Bu kadar farklı nesneler arasında hiçbir bağlantı bulunamadı.
Ancak dikkatli testlerden sonra arkadaşlar bir hipotez öne sürdüler: Her eliptik denklemin bir ikizi vardır - modüler bir form ve bunun tersi de geçerlidir. Matematikte bütün bir yönelimin temeli haline gelen şey bu hipotezdi, ancak Taniyama-Shimura hipotezi kanıtlanana kadar tüm bina her an çökebilir.
1984 yılında Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümünün, eğer varsa, bazı eliptik denklemlere dahil edilebileceğini gösterdi. İki yıl sonra Profesör Ken Ribet, bu varsayımsal denklemin modüler dünyada bir karşılığının olamayacağını kanıtladı. Artık Fermat'ın Son Teoremi Taniyama-Shimura varsayımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıydı. Herhangi bir eliptik eğrinin modüler olduğunu kanıtladıktan sonra, Fermat denkleminin çözümü olan bir eliptik denklemin olmadığı ve Fermat'ın Son Teoreminin hemen kanıtlanacağı sonucuna varıyoruz. Ancak otuz yıl boyunca Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamak mümkün olmadı ve başarı umudu giderek azaldı.
Andrew Wiles, 1963 yılında henüz on yaşındayken matematiğe hayran kalmıştı. Büyük Teoremi öğrendiğinde ondan vazgeçemeyeceğini anladı. Bir okul çocuğu, öğrenci ve yüksek lisans öğrencisi olarak kendisini bu göreve hazırladı.
Ken Ribet'in bulgularını öğrenen Wiles, Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamaya daldı. Tamamen izolasyon ve gizlilik içinde çalışmaya karar verdi. "Fermat'ın Son Teoremi ile ilgisi olan her şeyin çok fazla ilgi uyandırdığını fark ettim... Çok fazla seyirci açıkça hedefe ulaşmayı engelliyor." Yedi yıllık sıkı çalışma meyvesini verdi; Wiles sonunda Taniyama-Shimura varsayımının kanıtını tamamladı.
1993 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını dünyaya sundu (Wiles, sansasyonel makalesini Cambridge'deki Sir Isaac Newton Enstitüsü'ndeki bir konferansta okudu). Bu çalışma üzerinde yedi yıldan fazla sürdü.
Basında abartı devam ederken kanıtların doğrulanması için ciddi çalışmalar başladı. Kanıtların kesin ve doğru olarak kabul edilebilmesi için her kanıt dikkatlice incelenmelidir. Wiles, onların onayını kazanabileceğini umarak, eleştirmenlerden geri bildirim bekleyerek huzursuz bir yaz geçirdi. Ağustos ayının sonunda uzmanlar, kararın yeterince kanıtlanmadığını tespit etti.
Bu kararın genel olarak doğru olmasına rağmen büyük bir hata içerdiği ortaya çıktı. Wiles pes etmedi, ünlü sayı teorisi uzmanı Richard Taylor'ın yardımını istedi ve 1994'te teoremin düzeltilmiş ve genişletilmiş kanıtını yayınladılar. En şaşırtıcı olanı ise bu çalışmanın Annals of Mathematics adlı matematik dergisinde 130 (!) sayfa kadar yer kaplamasıdır. Ancak hikaye burada da bitmedi - son noktaya ancak bir sonraki yıl, 1995'te, kanıtın matematiksel açıdan son ve "ideal" versiyonunun yayınlanmasıyla ulaşıldı.
“...doğum günü kutlama yemeğinin başlamasından yarım dakika sonra, Nadya'ya tüm kanıtın taslağını sundum” (Andrew Wales). Henüz matematikçilerin tuhaf insanlar olduğunu söylememiş miydim?
Bu sefer deliller konusunda hiçbir şüphe yoktu. İki makale çok dikkatli bir analize tabi tutuldu ve Mayıs 1995'te Annals of Mathematics'te yayınlandı.
O andan bu yana çok zaman geçti ama toplumda hala Fermat'ın Son Teoreminin çözülemez olduğuna dair bir görüş var. Ancak bulunan kanıtı bilenler bile bu yönde çalışmaya devam ediyor - çok azı Büyük Teoremin 130 sayfalık bir çözüm gerektirdiğinden memnun!
Bu nedenle, artık birçok matematikçinin (çoğunlukla amatörler, profesyonel bilim adamları değil) çabaları basit ve özlü bir kanıt arayışına atılıyor, ancak bu yol büyük olasılıkla hiçbir yere varmayacak...
