Rastgele değişken deney sonucunda önceden bilinmeyen bir değer alan miktardır.

Derste hazır bulunan öğrenci sayısı.

Bu ayda hizmete giren konut sayısı.

Ortam sıcaklığı.

Patlayan bir merminin bir parçasının ağırlığı.

Rastgele değişkenler kesikli ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık (süreksiz) belirli olasılıklarla birbirinden izole edilmiş ayrı değerler alan rastgele değişken denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sayılabilir olabilir.

Sürekli sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen rastgele değişken olarak adlandırılır.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Verilen örneklerde: 1 ve 2 ayrık rastgele değişkenler, 3 ve 4 ise sürekli rastgele değişkenlerdir.

Gelecekte “rastgele değişken” kelimeleri yerine sıklıkla c kısaltmasını kullanacağız. V.

Kural olarak, rastgele değişkenler büyük harflerle gösterilecek ve bunların olası değerler- küçük.

Olasılık teorisinin temel kavramlarının küme-teorik yorumunda, rastgele değişken X, temel bir olayın bir fonksiyonudur: X =φ(ω), burada ω, Ω (ω  Ω) uzayına ait temel bir olaydır. Bu durumda c'nin olası değerlerinin Ξ kümesi. V. X, φ(ω) fonksiyonunun aldığı tüm değerlerden oluşur.

Rastgele değişkenin dağılım yasası Rastgele bir değişkenle ilişkili her türlü olayın olasılığını (örneğin, bir değer alma veya belirli bir aralığa düşme olasılığı) bulmanızı sağlayan herhangi bir kuraldır (tablo, fonksiyon).

Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirlemek için formlar. Dağıtım serisi.

Bu, üst satırda, X rastgele değişkeninin tüm olası değerlerinin artan sırada listelendiği bir tablodur: x 1, x 2, ..., x n ve alt satırda - bu değerlerin olasılıkları: p 1, p 2, ..., p n, burada p ben = Р(Х = x ben ).

(X = x 1), (X = x 2), ... olayları tutarsız olduğundan ve tam bir grup oluşturduğundan, dağılım serisinin alt satırındaki tüm olasılıkların toplamı bire eşittir.

Dağılım serisi yalnızca ayrık rastgele değişkenlerin dağılım yasasını belirlemek için kullanılır.

Dağıtım poligonu

Bir dağıtım serisinin grafiksel gösterimine dağıtım poligonu denir. Şu şekilde oluşturulmuştur: c'nin her olası değeri için. V. x eksenine dik bir değer geri yüklenir ve bunun üzerine belirli bir c değerinin olasılığı çizilir. V. Netlik sağlamak için (ve yalnızca netlik sağlamak için!), ortaya çıkan noktalar düz parçalarla bağlanır.

Kümülatif dağıtım fonksiyonu (veya basitçe dağıtım fonksiyonu).

Bu, x argümanının her değeri için, rastgele değişken 'nun x argümanının değerinden küçük olma olasılığına sayısal olarak eşit olan bir fonksiyondur.

Dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir: F(x) = P (X  x).

Artık daha fazlasını verebilirsiniz kesin tanım sürekli rastgele değişken: Bir rastgele değişken, eğer dağılım fonksiyonu sürekli türevli, sürekli, parçalı türevlenebilir bir fonksiyon ise, sürekli olarak adlandırılır.

Dağıtım fonksiyonu c'yi belirtmenin en evrensel şeklidir. v., hem ayrık hem de sürekli e'ler için dağıtım yasalarını belirtmek için kullanılabilir. V.

Sorun 14. Nakit piyangoda 1.000.000 rublelik 1 kazanç, 100.000 rublelik 10 kazanç oynanır. ve her biri 1000 ruble değerinde 100 galibiyet. Toplam 10.000 bilet sayısıyla rastgele kazançların dağıtım yasasını bulun. X bir piyango bileti sahibi için.

Çözüm. Olası değerler X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Olasılıkları sırasıyla eşittir: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Bu nedenle kazançların dağıtımı kanunu X aşağıdaki tabloyla verilebilir:

Bir dağıtım poligonu oluşturun.

Çözüm. Dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturalım ve apsis ekseni boyunca olası değerleri çizelim x ben, ve y ekseni boyunca karşılık gelen olasılıklar ben. Noktaları işaretleyelim M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) ve M 4 (8;0.3). Bu noktaları düz çizgi parçalarıyla birleştirerek istenilen dağıtım poligonunu elde ederiz.

§2. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Rasgele bir değişken tamamen dağıtım yasasıyla karakterize edilir. Bir rastgele değişkenin ortalama açıklaması, sayısal özellikleri kullanılarak elde edilebilir.

2.1. Beklenti. Dağılım.

Bir rastgele değişkenin buna göre olasılıkları olan değerler almasına izin verin.

Tanım. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların çarpımlarının toplamıdır:

.

Matematiksel beklentinin özellikleri.

Bir rastgele değişkenin ortalama değer etrafındaki dağılımı, dağılım ve standart sapma ile karakterize edilir.

Bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Hesaplamalar için aşağıdaki formül kullanılır

Dispersiyonun özellikleri.

2. burada karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler vardır.

3. Standart sapma .

Sorun 16. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun Z = X+ 2e Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri biliniyorsa X Ve e: M(X) = 5, M(e) = 3.

Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanıyoruz. Sonra şunu elde ederiz:

M(X+ 2e)= M(X) + M(2e) = M(X) + 2M(e) = 5 + 2 . 3 = 11.

Sorun 17. Rastgele bir değişkenin varyansı X 3'e eşittir. Rastgele değişkenlerin varyansını bulun: a) –3 X; 4) X + 3.

Çözüm. Dağılımın 3, 4 ve 2 özelliklerini uygulayalım. Sahibiz:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

B) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Sorun 18. Bağımsız bir rastgele değişken verildiğinde e– atış sırasında düşen puan sayısı zar. Dağıtım yasasını, matematiksel beklentiyi, dağılımı ve ortalamayı bulun standart sapma rastgele değişken e.

Çözüm. Rastgele değişken dağılım tablosu eşu forma sahiptir:

e
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Daha sonra M(e) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(e) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (e) =Ö 2,917 = 1,708.

Cevap: Süreksiz bir rastgele değişken düşünün X olası değerlerle. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve değer X her birini belli bir olasılıkla kabul edebiliriz. Deney sonucunda değer X bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olayların tamamından biri meydana gelecektir:

Bu olayların olasılıklarını harflerle gösterelim. R karşılık gelen endekslerle:

Yani, çeşitli değerlerin olasılık dağılımı, belirli bir ayrık rastgele değişken tarafından kabul edilen tüm değerlerin üst satırda gösterildiği ve karşılık gelen değerlerin olasılıklarının gösterildiği bir dağılım tablosu ile belirtilebilir. alt satırda belirtilmiştir. Uyumsuz olaylar (3.1) tam bir grup oluşturduğundan, yani rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı bire eşittir. Sürekli rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı, bu tür rastgele değişkenlerin değerlerinin sayısı sınırlı bir aralıkta bile sonsuz olduğundan tablo şeklinde sunulamaz. Üstelik herhangi bir değerin elde edilme olasılığı sıfırdır. Bu dağılımı tanımlarsak, yani her bir olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır. Bununla rastgele bir değişkenin sözde dağılım yasasını oluşturacağız. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. Rastgele bir değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz. Süreksiz bir rastgele değişkenin dağılım yasasının belirlenebileceği formu oluşturalım X. En basit biçim Bu yasanın tanımı, rastgele değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur:

x ben	X 1	X 2	× × ×	xn
ben	P 1	P 2	× × ×	pn

Böyle bir tabloya rastgele değişkenin dağılım serisi diyeceğiz X.

Pirinç. 3.1

Dağıtım serisine daha görsel bir görünüm kazandırmak için genellikle grafiksel gösterimine başvurulur: rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. Netlik sağlamak için, ortaya çıkan noktalar düz parçalarla bağlanır. Böyle bir şekle dağıtım poligonu denir (Şekil 3.1). Dağıtım poligonu ve dağıtım serisi tamamen rastgele değişkeni karakterize eder. dağıtım yasasının biçimlerinden biridir. Bazen dağıtım serilerinin “mekanik” olarak adlandırılan yorumu uygundur. Birliğe eşit belirli bir kütlenin apsis ekseni boyunca dağıtıldığını hayal edelim, böylece N kütleler sırasıyla bireysel noktalarda yoğunlaşmıştır . Daha sonra dağılım serisi, apsis ekseninde yer alan bazı kütlelere sahip bir malzeme noktaları sistemi olarak yorumlanır.

Deneyim, incelenen rastgele olgunun gözlemlendiği belirli koşulların ve eylemlerin herhangi bir uygulamasıdır. Deneyler niteliksel ve niceliksel olarak karakterize edilebilir. Rastgele bir miktar, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır.

Rastgele değişkenler genellikle (X,Y,Z) ve karşılık gelen değerler (x,y,z) ile gösterilir.

Ayrık, birbirinden izole edilmiş ve fazla tahmin edilebilecek bireysel değerleri alan rastgele değişkenlerdir. Sürekli miktarlar olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı doldurur. Rastgele değişkenin dağılım yasası, rastgele değişkenlerin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. Dağıtım satırı ve çokgen. Ayrık bir miktarın dağılım yasasının en basit şekli bir dağılım serisidir. Dağıtım serisinin grafiksel yorumu dağıtım poligonudur.

İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:

Konu 13 hakkında daha fazla bilgi. Ayrık rastgele değişken. Dağıtım poligonu. Rastgele değişkenlerle işlemler, örnek:

1. 13. Ayrık rasgele değişken ve dağılım yasası. Dağıtım poligonu. Rastgele değişkenlerle işlemler. Örnek.
2. Rastgele değişken kavramı ve tanımı. Ayrık rasgele değişken ve dağılım yasası (seri). Bağımsız rastgele değişkenler. Örnekler.
3. 14. Rastgele değişkenler ve çeşitleri. Ayrık bir rastgele değişkenin (DRV) olasılık dağılımı yasası. Rastgele değişkenler (RV'ler) oluşturma yöntemleri.
4. 16. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Ayrık bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri: matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma.
5. Ayrık rastgele değişkenler üzerinde matematiksel işlemler ve bağımsız rastgele değişkenler X ve Y'nin verilen dağılımlarına dayalı olarak KX, X"1, X + K, XV için dağıtım yasalarını oluşturma örnekleri.
6. Rasgele değişken kavramı. Ayrık vakaların dağılım kanunu. miktarlar. Rastgele matematiksel işlemler. miktarlar.

2.1. Göreceli frekans. Bağıl frekans kararlılığı

2.2. Olasılığın klasik tanımının sınırlamaları. İstatistiksel olasılık

2.3. Geometrik olasılıklar

2.4. Olasılık ekleme teoremi

2.5. Etkinlik grubunu tamamlayın

2.6. Zıt olaylar

2.7. Beklenmedik olayların pratik imkansızlığı ilkesi

2.8. Olaylar üretmek. Koşullu olasılık

2.9. Olasılık çarpım teoremi

2.10. Bağımsız olaylar. Bağımsız olaylar için çarpma teoremi

2.10. En az bir olayın meydana gelme olasılığı

Ders No. 3 Toplama ve çarpma teoremlerinin sonuçları

3.1. Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem

3.2. Toplam Olasılık Formülü

3.3. Hipotezlerin olasılığı. Bayes formülleri

4. Testlerin tekrarı

4.1. Bernoulli'nin formülü

4.2. Bernoulli şemasındaki limit teoremleri

4.3. Moivre-Laplace'ın yerel ve integral teoremleri

4.3. Bağımsız denemelerde sabit olasılıktan bağıl frekans sapma olasılığı

5. Rastgele değişkenler

5.1. Rasgele değişken kavramı. Rastgele değişkenin dağılım yasası

5.2. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Dağıtım poligonu

5.3. Binom dağılımı

5.4. Poisson dağılımı

5.5. Geometrik dağılım

5.6. Hipergeometrik dağılım

6. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

6.1. Ayrık rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

6.2. Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

6.3. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

6.4. Matematiksel beklentinin özellikleri

6.5. Bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi

7. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

7.1. Rastgele bir değişkenin saçılımının sayısal bir özelliğini tanıtmanın fizibilitesi

7.2. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması

7.3. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı

7.4. Varyansı hesaplamak için formül

7.5. Dispersiyon özellikleri

7.6. Bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısındaki değişkenlik

7.7. Standart sapma

7.8. Birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının standart sapması

7.9. Aynı şekilde dağıtılmış karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler

7.10. Başlangıç ​​ve merkezi teorik noktalar

8. Büyük Sayılar Yasası

8.1. Ön açıklamalar

8.2. Chebyshev eşitsizliği

8.3. Chebyshev'in teoremi

8.4. Chebyshev teoreminin özü

8.5. Chebyshev teoreminin uygulama açısından önemi

8.6. Bernoulli teoremi

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu

9.1. Dağıtım fonksiyonunun tanımı

9.2. Dağıtım fonksiyonunun özellikleri

9.3. Dağıtım fonksiyonu grafiği

10. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu

10.1. Dağıtım yoğunluğunun belirlenmesi

10.2. Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı

10.3. Tek tip olasılık dağılımı yasası

11. Normal dağılım

11.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

11.2. Normal dağılım

11.3. Normal eğri

11.4. Normal dağılım parametrelerinin normal eğrinin şekli üzerindeki etkisi

11.5. Normal bir rastgele değişkenin belirli bir aralığına düşme olasılığı

11.6. Belirli bir sapma olasılığının hesaplanması

11.7. Üç sigma kuralı

11.8. Lyapunov teoremi kavramı. Merkezi limit teoreminin ifadesi

11.9. Teorik dağılımın normalden sapmasının tahmini. Çarpıklık ve basıklık

11.10. Bir rastgele argümanın işlevi ve dağılımı

11.11. Rastgele bir argümanın fonksiyonunun matematiksel beklentisi

11.12. İki rastgele argümanın işlevi. Bağımsız terimlerin toplamının dağılımı. Normal dağılımın kararlılığı

11.13. Ki kare dağılımı

11.14. Öğrenci dağılımı

11.15. Fischer – Snedecor f dağıtımı

12. Üstel dağılım

12.1. Üstel dağılımın tanımı

12.2. Üstel olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin belirli bir aralığına düşme olasılığı

§ 3. Üstel dağılımın sayısal özellikleri

12.4. Güvenilirlik işlevi

12.5. Üstel güvenilirlik yasası

12.6. Üstel güvenilirlik yasasının karakteristik özelliği

5.2. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Dağıtım poligonu

İlk bakışta, ayrık bir rastgele değişkeni tanımlamak için onun tüm olası değerlerini listelemek yeterli gibi görünebilir. Gerçekte durum böyle değildir: Rastgele değişkenler aynı olası değerler listesine sahip olabilir, ancak olasılıkları farklı olabilir. Bu nedenle, ayrık bir rasgele değişkeni belirtmek için onun tüm olası değerlerini listelemek yeterli değildir; aynı zamanda olasılıklarını da belirtmeniz gerekir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası olası değerler ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmayı aramak; tablo halinde, analitik (formül şeklinde) ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Tanım. Rastgele olayların olasılıklarını bulmanızı sağlayan herhangi bir kural (tablo, fonksiyon, grafik) A S (S– Uzaydaki olayların -cebiri ), özellikle rastgele bir değişkenin bireysel değerlerinin veya bu değerlerin bir kümesinin olasılıklarını gösteren, denir rastgele değişken dağılım kanunu(veya basitçe: dağıtım). S.v. hakkında "Belirli bir dağıtım yasasına uyduğunu" söylüyorlar.

İzin vermek X– değerleri alan d.s.v. X 1 , X 2 , …, X N,… (bu değerlerin kümesi sonlu veya sayılabilir) bir olasılıkla P Ben, Nerede Ben = 1,2,…, N,… Dağıtım kanunu d.s.v. formülü kullanarak ayarlamak uygun P Ben = P{X = X Ben)Nerede Ben = 1,2,…, N,..., deney sonucunda r.v.'nin olasılığını belirler. X değerini alacak X Ben. D.s.v. için X dağıtım kanunu şu şekilde verilebilir dağıtım tabloları:

				X N
				R N

Bir tabloda ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlerken, tablonun ilk satırı olası değerleri, ikinci satırı ise bunların olasılıklarını içerir. böyle bir tablo denir yakın dağıtım.

Bir denemede rastgele değişkenin tek bir olası değer aldığını hesaba katarsak, olayların şu sonuca varırız: X = X 1 , X = X 2 , ..., X = X N tam bir grup oluşturun; dolayısıyla bu olayların olasılıklarının toplamı, yani; Tablonun ikinci satırındaki olasılıkların toplamı bire eşittir, yani.

Olası değerler kümesi ise X sonsuz (sayılabilir), o zaman seri R 1 + R 2 + ... yakınsar ve toplamı bire eşittir.

Örnek. Nakit piyango için 100 adet bilet düzenlenmiştir. 50 rublelik bir kazanç elde edilir. ve 1 rubleden on kazanç. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını bulun X– bir piyango bileti sahibi için olası kazançların maliyeti.

Çözüm. Olası değerleri yazalım X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Bu olası değerlerin olasılıkları: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Gerekli dağıtım yasasını yazalım:

Kontrol: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Örnek. Torbada 5'i beyaz, geri kalanı siyah olmak üzere 8 top vardır. İçinden rastgele 3 top çekiliyor. Örnekteki beyaz topların sayısının dağılım yasasını bulun.

Çözüm. R.v'nin olası değerleri. X– örnekte çok sayıda beyaz top var X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Olasılıkları buna göre olacaktır

;
;
.

Dağıtım yasasını tablo şeklinde yazalım.

Kontrol:
.

Dağıtım kanunu d.s.v. r.v.'nin olası değerleri apsis ekseninde çizilirse ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseninde çizilirse grafiksel olarak belirtilebilir. noktaları art arda birleştiren kesikli bir çizgi ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... çağrıldı çokgen(veya çokgen) dağıtım(bkz. Şekil 5.1).

Pirinç. 5.1. Dağıtım poligonu

Artık d.s.v'nin daha kesin bir tanımını verebiliriz.

Tanım. Rastgele değişken X ayrıktır Sonlu veya sayılabilir bir sayı kümesi varsa X 1 , X 2 , ... öyle ki P{X = X Ben } = P Ben > 0 (Ben= 1,2,...) ve P 1 + P 2 + R 3 +… = 1.

Ayrık r.v. üzerinde matematiksel işlemleri tanımlayalım.

Tanım.Miktar (fark, iş) d.s.v. X, değerleri almak X Ben olasılıklarla P Ben = P{X = X Ben }, Ben = 1, 2, …, N ve d.s.v. e, değerleri almak sen J olasılıklarla P J = P{e = sen J }, J = 1, 2, …, M, d.s.v olarak adlandırılır. Z = X + e (Z = X – e, Z = X e), değerlerin alınması z ben = X Ben + sen J (z ben = X Ben – sen J , z ben = X Ben  sen J) olasılıklarla P ben = P{X = X Ben , e = sen J) belirtilen tüm değerler için Ben Ve J. Bazı miktarlar çakışırsa X Ben + sen J (farklılıklar X Ben – sen J, çalışır X Ben  sen J) karşılık gelen olasılıklar eklenir.

Tanım.İş d.s.v. Açık sayı d.s.v denir. cX, değerleri almak İleX Ben olasılıklarla P Ben = P{X = X Ben }.

Tanım.İki d.s.v. X Ve e denir bağımsız, eğer olaylar ( X = X Ben } = A Ben Ve ( e = sen J } = B J herhangi biri için bağımsız Ben = 1, 2, …, N, J = 1, 2, …, M yani

Aksi halde r.v. isminde bağımlı. Birkaç r.v. herhangi birinin dağıtım yasası diğer miktarların hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, karşılıklı olarak bağımsız olarak adlandırılırlar.

En sık kullanılan dağıtım yasalarından birkaçını ele alalım.