Геометричні додатки певного інтегралу. Програми певного інтегралу

Лекції 8. Програми певного інтегралу.

Додаток інтеграла до фізичних завдань ґрунтується на властивості адитивності інтеграла за безліччю. Тому за допомогою інтегралу можуть обчислюватися такі величини, які самі адитивні по множині. Наприклад, площа фігури дорівнює сумі площ її частин Довжина дуги, площа поверхні, об'єм тіла, маса тіла мають ту ж властивість. Тому ці величини можна обчислювати з допомогою певного інтеграла.

Можна використовувати два методи розв'язання задач: метод інтегральних сум та метод диференціалів.

Метод інтегральних сум повторює конструкцію певного інтеграла: будується розбиття, відзначаються точки, у яких обчислюється функція, обчислюється інтегральна сума, виробляється граничний перехід. У цьому вся методі основна складність – довести, що у межі вийде саме те, що потрібно завдання.

Метод диференціалів використовує невизначений інтегралта формулу Ньютона – Лейбніца. Обчислюють диференціал величини, яку треба визначити, та був, інтегруючи цей диференціал, за формулою Ньютона – Лейбніца отримують необхідну величину. У цьому вся методі основна складність – довести, що обчислено саме диференціал потрібної величини, а чи не що інше.

Обчислення площ плоских фігур.

1. Фігура обмежена графіком функції, заданої декартової системі координат.

Ми дійшли поняття певного інтеграла від завдання площі криволінійної трапеції (фактично, використовуючи метод інтегральних сум). Якщо функція набуває лише невід'ємних значень, то площа під графіком функції на відрізку може бути обчислена за допомогою певного інтеграла . Зауважимо, що тому тут можна побачити метод диференціалів.

Але функція може на деякому відрізку приймати і негативні значення, тоді інтеграл цього відрізку даватиме негативну площу, що суперечить визначенню площі.

Можна обчислювати площу за формулоюS=. Це рівнозначно зміні знака функції у тих областях, у яких вона набуває негативних значень.

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженою зверху графіком функції, а знизу графіком функції, то можна користуватися формулоюS= , так як .

приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої прямими x=0, x=2 та графіками функцій y=x 2 , y=x 3 .

Зауважимо, що у інтервалі (0,1) виконано нерівність x 2 > x 3 , а при x >1 виконано нерівність x 3 > x 2 . Тому

2. Фігура обмежена графіком функції, заданої в системі полярної координат.

Нехай графік функції заданий у полярній системі координат і хочемо обчислити площу криволінійного сектора, обмеженого двома променями і графіком функції у полярної системі координат.

Тут можна використовувати метод інтегральних сум, обчислюючи площу криволінійного сектора як межу суми площ елементарних секторів, у яких графік функції замінено дугою кола .

Можна використовувати метод диференціалів: .

Міркувати можна так. Замінюючи елементарний криволінійний сектор, який відповідає центральному куту круговим сектором, маємо пропорцію . Звідси . Інтегруючи та використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримуємо .

приклад. Обчислимо площу кола (перевіримо формулу). Вважаємо. Площа кола дорівнює .

приклад. Обчислимо площу, обмежену кардіоїдою .

3 Фігура обмежена графіком функції, заданої параметрами.

Функція може бути задана параметрично як . Використовуємо формулу S= , підставляючи у ній межі інтегрування за нової змінної . . Зазвичай при обчисленні інтеграла виділяють ті області, де підінтегральна функція має певний знак і враховують відповідну площу з тим чи іншим знаком.

приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом.

Використовуємо симетрію еліпса, обчислимо площу чверті еліпса, що у першому квадранті. У цьому квадранті. Тому.

Обчислення обсягів тел.

1. Обчислення обсягів тіл за площами паралельних перерізів.

Нехай потрібно обчислити об'єм деякого тіла V за відомими площами перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до прямої OX, проведеними через будь-яку точку x відрізка прямої OX.

Застосуємо метод диференціалів. Вважаючи елементарний об'єм, над відрізком об'ємом прямого кругового циліндра з площею основи та висотою, отримаємо . Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримаємо

2. Обчислення обсягів тіл обертання.

Нехай потрібно вирахувати OX.

Тоді .

Аналогічно, об'єм тіла обертання навколо осіOYякщо функція задана у вигляді, можна обчислити за формулою.

Якщо функція задана у вигляді та потрібно визначити об'єм тіла обертання навколо осіOYформулу для обчислення обсягу можна отримати наступним чином.

Переходячи до диференціала та нехтуючи квадратичними членами, маємо . Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, маємо .

приклад. Обчислити обсяг кулі.

приклад. Обчислити об'єм прямого кругового конуса, обмеженого поверхнею та площиною .

Обчислимо об'єм, як об'єм тіла обертання, утвореного обертаннямнавколо осі OZ прямокутного трикутникау площині OXZ, катети якого лежать на осі OZ та прямий z = H , а гіпотенуза лежить на прямій .

Виражаючи x через z, отримаємо .

Обчислення довжини дуги.

Щоб отримати формули для обчислення довжини дуги, згадаємо виведені в 1 семестрі формули для диференціала довжини дуги.

Якщо дуга є графіком безперервно диференційованої функції, диференціал довжини дуги можна обчислити за формулою

. Тому

Якщо гладка дуга задана параметрично, то

. Тому .

Якщо дуга задана у полярній системі координат, то

. Тому .

приклад. Розрахувати довжину дуги графіка функції, . .

Наведемо деякі додатки певного інтегралу.

Обчислення площі плоскої фігури

Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривої (де
), прямими
,
та відрізком
осі
, обчислюється за формулою

.

Площа фігури, обмеженої кривими
і
(де
) Прямими
і
обчислюється за формулою

.

Якщо крива задана параметричними рівняннями
, то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими
,
та відрізком
осі
, обчислюється за формулою

,

де і визначаються з рівнянь
,
, а
при
.

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданою в полярних координатах рівнянням
та двома полярними радіусами
,
(
), знаходиться за формулою

.

приклад 1.27.Обчислити площу фігури, обмеженою параболою
і прямий
(Рис 1.1).

	Рішення.Знайдемо точки перетину прямої та параболи. Для цього вирішимо рівняння , . Звідки , . Тоді за формулою (1.6) маємо .

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Якщо крива
на відрізку
- Гладка (тобто похідна
безперервна), то довжина відповідної дуги цієї кривої знаходиться за формулою

.

При параметричному завданні кривої
(
- безперервно диференційовані функції) довжина дуги кривої, що відповідає монотонній зміні параметра від до , обчислюється за формулою

приклад 1.28.Обчислити довжину дуги кривої
,
,
.

Рішення.Знайдемо похідні за параметром :
,
. Тоді за формулою (1.7) отримуємо

.

2. Диференціальне обчислення функцій кількох змінних

Нехай кожній упорядкованій парі чисел
з деякої області
відповідає певній кількість
. Тоді називається функцією двох змінних і ,
-незалежними змінними або аргументами ,
-областю визначення функції, а безліч всіх значень функції - областю її значень і позначають
.

Геометрично область визначення функції зазвичай є деякою частиною площини
, обмежену лініями, які можуть належати чи не належати цій галузі.

приклад 2.1.Знайти область визначення
функції
.

	Рішення.Ця функція визначена у тих точках площині , в яких , або . Точки площини, для яких , утворюють кордон області . Рівняння задає параболу (рис. 2.1; оскільки парабола не належить до області , То вона зображена пунктирною лінією). Далі, легко перевірити безпосередньо, що точки, для яких розташовані вище параболи. Область є відкритою і її можна поставити за допомогою системи нерівностей:

Якщо змінною дати деяке приріст
, а залишити постійною, то функція
отримає приріст
зване приватним збільшенням функції по змінній :

Аналогічно, якщо змінна отримує приріст
, а залишається постійною, то функція
отримає приріст
зване приватним збільшенням функції по змінній :

Якщо існують межі:

,

,

вони називаються приватними похідними функції
за змінними і відповідно.

Зауваження 2.1. Аналогічно визначаються приватні похідні функцій будь-якої кількості незалежних змінних.

Зауваження 2.2. Так як приватна похідна за будь-якою змінною є похідною за цією змінною за умови, що інші змінні – постійні, всі правила диференціювання функцій однієї змінної застосовні перебування приватних похідних функцій будь-якого числа змінних.

приклад 2.2.
.

Рішення. Знаходимо:

,

.

приклад 2.3.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. Знаходимо:

,

,

.

Повним збільшенням функції
називається різниця

Головна частина повного збільшення функції
, що лінійно залежить від прирощень незалежних змінних
і
,називається повним диференціалом функції і позначається
. Якщо функція має безперервні похідні приватні, то повний диференціал існує і дорівнює

,

де
,
- довільні збільшення незалежних змінних, звані їх диференціалами.

Аналогічно, для функції трьох змінних
повний диференціал визначається виразом

.

Нехай функція
має в точці
приватні похідні першого порядку за всіма змінними. Тоді векторназивається градієнтом функції
у точці
і позначається
або
.

Зауваження 2.3. Символ
називається оператором Гамільтона і вимовляється "намбла".

Приклад 2.4.Знайти градієнт функції у точці
.

Рішення. Знайдемо приватні похідні:

,
,

і обчислимо їх значення у точці
:

,
,
.

Отже,
.

Похідний функції
у точці
за напрямом вектора
називають межу відношення
при
:

, де
.

Якщо функція
диференційована, то похідна у цьому напрямі обчислюється за такою формулою:

,

де ,- кути, який вектор утворює з осями
і
відповідно.

У разі функції трьох змінних
похідна за напрямом визначається аналогічно. Відповідна формула має вигляд

,

де
- напрямні косинуси вектора .

приклад 2.5.Знайти похідну функції
у точці
у напрямку вектора
, де
.

Рішення. Знайдемо вектор
та його напрямні косинуси:

,
,
,
.

Обчислимо значення приватних похідних у точці
:

,
,
;
,
,
.

Підставляючи (2.1), отримуємо

.

Приватними похідними другого порядку називають приватні похідні, взяті від приватних похідних першого порядку:

,

,

,

Приватні похідні
,
називаються змішаними . Значення змішаних похідних рівні тих точках, у яких ці похідні безперервні.

приклад 2.6.Знайти приватні похідні другого порядку функції
.

Рішення. Обчислимо попередньо приватні похідні першого порядку:

,
.

Продиференціювавши їх ще раз, отримаємо:

,
,

,
.

Порівнюючи останні вирази, бачимо, що
.

приклад 2.7.Довести, що функція
задовольняє рівняння Лапласа

.

Рішення. Знаходимо:

,
.

,
.

.

Крапка
називається точкою локального максимуму (мінімуму ) функції
якщо для всіх точок
, відмінних від
і тих, що належать досить малому її околиці, виконується нерівність

(
).

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом . Крапка, в якій досягається екстремум функції, називається точкою екстремуму функції .

Теорема 2.1 (Необхідні умови екстремуму ). Якщо точка
є точкою екстремум функції
, Тої чи хоча б одна з цих похідних не існує.

Крапки, для яких ці умови виконані, називаються стаціонарними або критичними . Точки екстремуму завжди є стаціонарними, але стаціонарна точка може не бути точкою екстремуму. Щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, повинні виконуватись достатні умови екстремуму.

Введемо попередньо такі позначення :

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достатні умови екстремуму ). Нехай функція
двічі диференційована на околиці точки
і крапка
є стаціонарною для функції
. Тоді:

1.Якщо
, то крапка
є екстремумом функції, причому
буде точкою максимуму при
(
)і точкою мінімуму при
(
).

2.Якщо
, то в точці

екстремуму немає.

3.Якщо
то екстремум може бути, а може і не бути.

приклад 2.8.Дослідити на екстремум функцію
.

Рішення. Бо в даному випадкуприватні похідні першого порядку завжди існують, то для знаходження стаціонарних (критичних) точок вирішимо систему:

,
,

звідки
,
,
,
. Таким чином, отримали дві стаціонарні точки:
,
.

,
,
.

Для точки
отримуємо: тобто в цій точці екстремуму немає. Для точки
отримуємо:
, отже

у цій точці дана функціядосягає локального мінімуму: .

Площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y=f(x), ліворуч і праворуч - прямими x=aі x=bвідповідно, знизу – віссю Ox, обчислюється за формулою

Площа криволінійної трапеції, обмеженої праворуч графіком функції x=φ(y), зверху та знизу - прямими y=dі y=cвідповідно, зліва - віссю Ой:

Площа криволінійної фігури, обмеженої зверху графіком функції y 2 = f 2 (x), знизу - графіком функції y 1 = f 1 (x), ліворуч і праворуч - прямими x=aі x=b:

Площа криволінійної фігури, обмеженої зліва та праворуч графіками функцій x 1 = φ 1 (y)і x 2 =φ 2 (y), зверху та знизу - прямими y=dі y=cвідповідно:

Розглянемо випадок, коли лінія, що обмежує криволінійну трапецію зверху, задана параметричними рівняннями x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), де α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Ці рівняння визначають певну функцію y=f(x)на відрізку [ a, b]. Площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

Перейдемо до нової змінної x = φ 1 (t)тоді dx = φ" 1(t) dt, а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), отже, \begin(displaymath)

Площа у полярних координатах

Розглянемо криволінійний сектор OAB, обмежений лінією, заданою рівнянням ρ=ρ(φ) у полярних координатах, двома променями OAі OB, для яких φ=α , φ=β .

Сектор розіб'ємо на елементарні сектори OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n =B). Позначимо через Δφ kкут між променями OM k-1і OM k, що утворюють з полярною віссю кути φ k-1і φ kвідповідно. Кожен із елементарних секторів OM k-1 M kзамінимо круговим сектором із радіусом ρ k =ρ(φ" k), де φ" k- значення кута φ з проміжку [ φ k-1 , φ k], та центральним кутом Δφ k. Площа останнього сектора виражається формулою .

висловлює площу "ступінчастого" сектора, що приблизно замінює даний сектор OAB.

Площею сектора OABназивається межа площі "ступінчастого" сектора при n → ∞і λ=max Δφ k → 0:

Так як , то

Довжина дуги кривої

Нехай на відрізку [ a, b] задана функція, що диференціюється y=f(x), графіком якої є дуга. Відрізок [ a,b] розіб'ємо на nчастин точками x 1, x 2, …, x n-1. Цим точкам відповідатимуть точки M 1, M 2, …, M n-1дуги, з'єднаємо їх ламаною лінією, яку називають ламаною, вписаною в дугу. Периметр даної ламаної позначимо через s n, тобто

Визначення. Довжиною дуги лінії називається межа периметра, вписаної в неї ламаною, коли число ланок M k-1 M kнеобмежено зростає, а довжина найбільшого їх прагне нулю:

де λ - Довжина найбільшої ланки.

Відраховуватимемо довжину дуги від деякої її точки, наприклад, A. Нехай у точці M(x, y)довжина дуги дорівнює s, а в точці M"(x+Δx,y+Δy)довжина дуги дорівнює s+Δs, де, i>Δs - довжина дуги. З трикутника MNM"знаходимо довжину хорди: .

З геометричних міркувань випливає, що

тобто нескінченно мала дуга лінії і хорда, що стягує її, еквівалентні.

Перетворимо формулу, що виражає довжину хорди:

Переходячи до межі цієї рівності, отримаємо формулу для похідної функції s = s (x):

з якої знаходимо

Ця формула виражає диференціал дуги плоскою кривою і має простий геометричний зміст : висловлює теорему Піфагора для нескінченно малого трикутника MTN (ds=MT, ).

Диференціал дуги просторової кривої визначається формулою

Розглянемо дугу просторової лінії, заданої параметричними рівняннями

де α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) - диференційовані функції аргументу t, то

Інтегруючи цю рівність за проміжком [ α, β ], отримуємо формулу для обчислення довжини цієї дуги лінії

Якщо лінія лежить у площині Oxy, то z=0при всіх t∈[α, β]тому

У разі коли плоска лінія задана рівнянням y=f(x) (a≤x≤b), де f(x)- функція, що диференціюється, остання формула набуває вигляду

Нехай плоска лінія задана рівнянням ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) у полярних координатах. У цьому випадку маємо параметричні рівняннялінії x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, де як параметр береться полярний кут φ . Оскільки

то формула, що виражає довжину дуги лінії ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) у полярних координатах, має вигляд

Об'єм тіла

Знайдемо об'єм тіла, якщо відома площа будь-якого поперечного перерізу цього тіла перпендикулярного деякому напрямку.

Розіб'ємо це тіло на елементарні шари площинами, перпендикулярними до осі. Oxта визначеними рівняннями x=const. Для будь-якого фіксованого x∈відома площа S=S(x)поперечного перерізу даного тіла.

Елементарний шар відсічений площинами x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 = a, x n = b), замінимо циліндром з висотою Δx k = x k -x k-1та площею підстави S(ξ k), ξ k ∈.

Об'єм вказаного елементарного циліндра виражається формулою Δv k =E(ξ k)Δx k. Складемо суму всіх таких творів

є інтегральною сумою для цієї функції S=S(x)на відрізку [ a, b]. Вона виражає обсяг ступінчастого тіла, що складається з елементарних циліндрів і приблизно замінює це тіло.

Об'ємом даного тіла називають межу об'єму зазначеного ступінчастого тіла при λ→0 , де λ - Довжина найбільшого з елементарних відрізків Δx k. Позначимо через Vобсяг даного тіла, тоді за визначенням

З іншого боку,

Отже, об'єм тіла за заданими поперечним перерізамобчислюється за формулою

Якщо тіло утворене обертанням навколо осі Oxкриволінійної трапеції, обмеженої зверху дугою безперервної лінії y=f(x), де a≤x≤b, то S(x)=πf 2 (x)і остання формула набуває вигляду:

Зауваження. Обсяг тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції, обмеженої праворуч графіком функції x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), навколо осі Ойобчислюється за формулою

Площа поверхні обертання

Розглянемо поверхню, отриману обертанням дуги лінії y=f(x) (a≤x≤b) навколо осі Ox(припустимо, що функція y=f(x)має безперервну похідну). Фіксуємо значення x∈, аргументу функції додамо збільшення dx, якому відповідає "елементарне кільце", отримане обертанням елементарної дуги Δl. Це "кільце" замінимо циліндричним кільцем - бічною поверхнею тіла, утвореного обертанням прямокутника з основою, що дорівнює диференціалу дуги. dl, і заввишки h=f(x). Розрізавши останнє кільце і розгорнувши його, отримаємо смужку завширшки dlта довжиною 2πy, де y=f(x).

Отже, диференціал площі поверхні висловиться формулою

Ця формула виражає площу поверхні, отриманої обертанням дуги лінії y=f(x) (a≤x≤b) навколо осі Ox.