Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікування генеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхилення та похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .
Точкова та інтервальна оцінки середнього значення
Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величини генеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховано за вибіркою спостережень. У такому разі значення середньої вибірки - випадкової величини- не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .
Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:
,
α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.
Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:
.
Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо
- відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
- або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.
Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки 
не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.
приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% числа працівників кафе.
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.
приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:
сума значень у спостереженнях,
сума квадратів відхилення значень від середнього 
.
Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.
обчислимо стандартне відхилення:
,
обчислимо середнє значення:
.
Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Отримуємо:
Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.
приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?
Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .
Отримуємо:
.
Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.
Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:
де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .
Отримуємо:
.
Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.
Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.
Точкова та інтервальна оцінки частки
Питома вага деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінку питомої ваги pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :
.
приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.
Будь-яка вибірка дає лише наближене уявлення про генеральну сукупність, і всі вибіркові статистичні характеристики (середня, мода, дисперсія…) є деяким наближенням або говорять оцінкою генеральних параметрів, які обчислити в більшості випадків неможливо через недоступність генеральної сукупності (Малюнок 20). .
Малюнок 20. Помилка вибірки
Але можна зазначити інтервал, у якому з певною часткою ймовірності лежить справжнє (генеральне) значення статистичної характеристики. Цей інтервал називається д перевірливий інтервал (ДІ).
Так генеральне середнє значення з ймовірністю 95% лежить у межах
від до, (20)
де t – табличне значеннякритерію Ст'юдента для α =0,05 та f= n-1
Може бути знайдено і 99% ДІ, у цьому випадку t вибирається для α =0,01.
Яке практичне значення має довірчий інтервал?
Широкий довірчий інтервал показує, що середня вибіркова неточно відображає генеральну середню. Зазвичай це з недостатнім обсягом вибірки, чи з її неоднорідністю, тобто. великою дисперсією. І те, й інше дають велику помилкусереднього і, відповідно, ширший ДІ. І це є підставою повернутись на етап планування дослідження.
Верхні та нижні межі ДІ дають оцінку, чи будуть результати клінічно значущі
Зупинимося дещо докладніше на питанні статистичної та клінічної значущості результатів дослідження групових властивостей. Згадаймо, що завдання статистики є виявлення хоч якихось відмінностей у генеральних сукупностях, спираючись на вибіркові дані. Завданням клініцистів є виявлення таких (не будь-яких) відмінностей, які допоможуть діагностиці чи лікуванню. І не завжди статистичні висновки є основою клінічних висновків. Так, статистично значуще зниження гемоглобіну на 3 г/л не є приводом для занепокоєння. І, навпаки, якщо якась проблема в організмі людини не має масового характеру на рівні всієї популяції, це не є підставою для того, щоб цією проблемою не займатися.
|
Це положення розглянемо на прикладі. Дослідники поцікавилися, чи не відстають у зростанні від своїх однолітків хлопчики, які перенесли якесь інфекційне захворювання. З цією метою було проведено вибіркове дослідження, у якому взяли участь 10 хлопчиків, які перенесли цю хворобу Результати представлені у таблиці 23. Таблиця 23. Результати статообробки
З цих розрахунків випливає, що вибірковий середній зрістхлопчиків 10 років, які перенесли якесь інфекційне захворюванняблизький до норми (132,5 см). Проте нижня межа довірчого інтервалу (126,6 див) свідчить про наявність 95% ймовірність те, що справжнє середнє зростання цих дітей відповідає поняттю «низьке зростання», тобто. ці діти відстають у зростанні. У цьому вся прикладі результати розрахунків довірчого інтервалу клінічно значущі. |
|||||||||||||||||||
Одним із методів вирішення статистичних завдань є обчислення довірчого інтервалу. Він використовується як краща альтернатива точковій оцінціпри невеликому обсязі вибірки. Слід зазначити, що процес обчислення довірчого інтервалу досить складний. Але інструменти програми Ексель дозволяють дещо спростити його. Давайте дізнаємось, як це виконується на практиці.
Цей метод використовується при інтервальній оцінці різних статистичних величин. Головне завдання цього розрахунку – позбавиться невизначеностей точкової оцінки.
В Екселі існують два основні варіанти зробити обчислення за допомогою даного методу: коли дисперсія відома, і коли вона невідома У першому випадку для обчислень застосовується функція ДОВІР.НОРМ, а в другому - ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ.
Спосіб 1: функція ДОВЕРИТ.НОРМ
Оператор ДОВІР.НОРМ, що відноситься до статистичної групи функцій, вперше з'явився в Excel 2010. У попередніх версіях цієї програми використовується його аналог ДОВЕРИТЬ. Завданням цього оператора є розрахунок довірчого інтервалу із нормальним розподілом для середньої генеральної сукупності.
Його синтаксис виглядає так:
ДОВІР.НОРМ(альфа;стандартне_вимк.;розмір)
"Альфа"- аргумент, що вказує на рівень значущості, який застосовується для розрахунку довірчого рівня. Довірчий рівень дорівнює наступному виразу:
(1-«Альфа») * 100
« Стандартне відхилення» - Це аргумент, суть якого зрозуміла з найменування. Це стандартне відхилення пропонованої вибірки.
«Розмір»- Аргумент, що визначає величину вибірки.
Усі аргументи цього оператора є обов'язковими.
Функція ДОВЕРИТЬмає такі самі аргументи і можливості, що й попередня. Її синтаксис такий:
ДОВЕРИТ(альфа;стандартное_откл;размер)
Як бачимо, відмінності лише у найменуванні оператора. Вказана функціяз метою сумісності залишена в Excel 2010 і новіших версіях у спеціальній категорії «Сумісність». У версіях Excel 2007 і раніше вона присутня в основній групі статистичних операторів.
Кордон довірчого інтервалу визначається за допомогою формули наступного виду:
X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ
Де X– це середнє вибіркове значення, розташоване посередині обраного діапазону.
Тепер розглянемо, як розрахувати довірчий інтервал на конкретному прикладі. Було проведено 12 випробувань, внаслідок яких було отримано різні результати, занесені до таблиці. Це і є наша сукупність. Стандартне відхилення дорівнює 8. Нам потрібно розрахувати інтервал довіри при рівні довіри 97%.
- Виділяємо комірку, куди виводитиметься результат обробки даних. Клацаємо по кнопці "Вставити функцію".
- З'являється Майстер функцій. Переходимо до категорії «Статистичні»та виділяємо найменування «ДОВЕРИТ.НОРМ». Після цього клацаємо по кнопці "OK".
- Відкривається віконце аргументів. Його поля закономірно відповідають найменуванням аргументів.
Встановлюємо курсор у перше поле – "Альфа". Тут слід вказати рівень значимості. Як ми пам'ятаємо, рівень довіри в нас дорівнює 97%. Водночас ми говорили, що він розраховується таким шляхом:(1-рівень довіри)/100
Тобто, підставивши значення, отримуємо:
Шляхом нехитрих розрахунків дізнаємось, що аргумент "Альфа"дорівнює 0,03 . Вводимо це значення в полі.
Як відомо, за умовою стандартне відхилення одно 8 . Тому в полі "Стандартне відхилення"просто записуємо це число.
В полі «Розмір»Необхідно запровадити кількість елементів проведених випробувань. Як ми пам'ятаємо, їх 12 . Але щоб автоматизувати формулу і не редагувати її щоразу при проведенні нового випробування, давайте задамо це значення не звичайним числом, а за допомогою оператора РАХУНОК. Отже, встановлюємо курсор у полі «Розмір», а потім клацаємо по трикутнику, який розміщений ліворуч від рядка формул.
З'являється список функцій, що нещодавно використовуються. Якщо оператор РАХУНОКзастосовувався вами нещодавно, то він має бути в цьому списку. У такому разі потрібно просто клікнути за його найменуванням. В іншому випадку, якщо ви його не виявите, то переходите по пункту «Інші функції…».
- З'являється вже знайомий нам Майстер функцій. Знову переміщуємося до групи «Статистичні». Виділяємо там найменування «РАХУНОК». Клацаємо по кнопці "OK".
- З'являється вікно аргументів вищезазначеного оператора. Ця функція призначена для того, щоб обчислювати кількість осередків у вказаному діапазоні, що містять числові значення. Синтаксис її наступний:
РАХУНОК (значення1; значення2; ...)
Група аргументів «Значення»є посилання на діапазон, в якому потрібно розрахувати кількість заповнених числовими даними осередків. Усього може налічуватися до 255 подібних аргументів, але в нашому випадку знадобиться лише один.
Встановлюємо курсор у полі «Значення1»і, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо на аркуші діапазон, який містить нашу сукупність. Потім його адреса буде відображено у полі. Клацаємо по кнопці "OK".
- Після цього додаток здійснить обчислення і виведе результат у той осередок, де він знаходиться сам. У конкретному випадку формула вийшла такого виду:
ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))
Загальний результат обчислень склав 5,011609 .
- Але це ще не все. Як ми пам'ятаємо, межа довірчого інтервалу обчислюється шляхом складання та віднімання від середнього вибіркового значення результату обчислення ДОВІР.НОРМ. У такий спосіб розраховується відповідно права та ліва межа довірчого інтервалу. Саме середнє вибіркове значення можна розрахувати за допомогою оператора Відмінник.
Цей оператор призначений для розрахунку середнього арифметичного значення вибраного діапазону чисел. Він має наступний досить простий синтаксис:
СРЗНАЧ(число1; число2; ...)
Аргумент «Кількість»може бути як окремим числовим значенням, і посиланням на комірки або навіть цілі діапазони, які їх містять.
Отже, виділяємо комірку, в яку виводитиметься розрахунок середнього значення, і клацаємо по кнопці "Вставити функцію".
- Відкривається Майстер функцій. Знову переходимо до категорії «Статистичні»та вибираємо зі списку найменування «СРЗНАЧ». Як завжди, клацаємо по кнопці "OK".
- Запускається вікно аргументів. Встановлюємо курсор у полі «Число1»і із затиснутою лівою кнопкою миші виділяємо весь діапазон значень. Після того, як координати відобразились у полі, клацаємо по кнопці "OK".
- Після цього Відмінниквиводить результат розрахунку елемент листа.
- Розраховуємо розрахунок правого кордонудовірчого інтервалу. Для цього виділяємо окремий осередок, ставимо знак «=»
і складаємо вміст елементів аркуша, у яких розташовані результати обчислень функцій Відмінникі ДОВІР.НОРМ. Для того, щоб виконати розрахунок, натискаємо на клавішу Enter. У нашому випадку вийшла така формула:
Результат обчислення: 6,953276
- Таким же чином робимо обчислення лівої межі довірчого інтервалу, тільки цього разу від результату обчислення Відмінникзабираємо результат обчислення оператора ДОВІР.НОРМ. Виходить формула для прикладу наступного типу:
Результат обчислення: -3,06994
- Ми спробували докладно описати всі дії щодо обчислення довірчого інтервалу, тому детально розписали кожну формулу. Але можна всі дії поєднати в одній формулі. Обчислення правого кордону довірчого інтервалу можна записати так:
СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))
- Аналогічне обчислення лівого кордону виглядатиме так:
СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))
Спосіб 2: функція ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ
Крім того, в Екселі є ще одна функція, яка пов'язана з обчисленням довірчого інтервалу ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ. Вона з'явилася лише починаючи з Excel 2010. Цей оператор виконує обчислення довірчого інтервалу генеральної сукупності з використанням розподілу Стьюдента. Його дуже зручно використовувати у тому випадку, коли дисперсія та, відповідно, стандартне відхилення невідомі. Синтаксис оператора такий:
ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;стандартне_вимк.;розмір)
Як бачимо, назви операторів і в цьому випадку залишилися незмінними.
Подивимося, як розрахувати межі довірчого інтервалу з невідомим стандартним відхиленням на прикладі тієї самої сукупності, що ми розглядали в попередньому способі. Рівень довіри, як і минулого разу, візьмемо 97%.
- Виділяємо комірку, в яку проводитиметься розрахунок. Клацаємо по кнопці "Вставити функцію".
- У відкритому Майстри функційпереходимо до категорії «Статистичні». Вибираємо найменування «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ». Клацаємо по кнопці "OK".
- Здійснюється запуск вікна аргументів зазначеного оператора.
В полі "Альфа", враховуючи, що рівень довіри становить 97%, записуємо число 0,03 . Вдруге на принципах розрахунку даного параметра зупинятись не будемо.
Після цього встановлюємо курсор у полі "Стандартне відхилення". На цей раз цей показник нам невідомий і його потрібно розрахувати. Робиться це за допомогою спеціальної функції – СТАНДОТКЛОН.. Щоб викликати вікно цього оператора, клацаємо по трикутнику ліворуч від рядка формул. Якщо в списку не знаходимо потрібного найменування, то переходимо по пункту «Інші функції…».
- Запускається Майстер функцій. Переміщуємось до категорії «Статистичні»і відзначаємо в ній найменування «СТАНДОТКЛОН.В». Потім клацаємо по кнопці "OK".
- Відкриється вікно аргументів. Завданням оператора СТАНДОТКЛОН.є визначення стандартного відхилення під час вибірки. Його синтаксис виглядає так:
СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)
Неважко здогадатися, що аргумент «Кількість»- Це адреса елемента вибірки. Якщо вибірка розміщена єдиним масивом, можна, використавши лише один аргумент, дати посилання даний діапазон.
Встановлюємо курсор у полі «Число1»і, як завжди, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо сукупність. Після того, як координати потрапили в поле, не поспішаємо натискати на кнопку "OK", оскільки результат вийде некоректним. Насамперед нам потрібно повернутися до вікна аргументів оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, щоб зробити останній аргумент. Для цього клацаємо за відповідним найменуванням у рядку формул.
- Знову відкривається вікно аргументів вже знайомої функції. Встановлюємо курсор у полі «Розмір». Знову тиснемо на вже знайомий нам трикутник для переходу до вибору операторів. Як ви зрозуміли, нам потрібна найменування «РАХУНОК». Тому що ми використовували цю функціюпри обчислення в попередньому способі, в даному списку вона присутня, так що просто клацаємо по ній. Якщо ж ви її не виявите, то дійте за алгоритмом, описаним у першому способі.
- Потрапивши у вікно аргументів РАХУНОК, ставимо курсор у полі «Число1»і із затиснутою кнопкою миші виділяємо сукупність. Потім клацаємо по кнопці "OK".
- Після цього програма здійснює розрахунок і виводить значення довірчого інтервалу.
- Для визначення кордонів знову потрібно буде розрахувати середнє значення вибірки. Але, враховуючи те, що алгоритм розрахунку за допомогою формули Відмінниктой самий, що й у попередньому способі, і навіть результат не змінився, не будемо на цьому докладно зупинятись вдруге.
- Склавши результати обчислення Відмінникі ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, отримуємо правий кордон довірчого інтервалу
- Відібравши від результатів розрахунку оператора Відмінникрезультат розрахунку ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, маємо ліву межу довірчого інтервалу
- Якщо розрахунок записати однією формулою, то обчислення правого кордону в нашому випадку виглядатиме так:
СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);РАХУНОК(B2:B13))
- Відповідно, формула розрахунку лівої межі виглядатиме так:
СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);РАХУНОК(B2:B13))
Як бачимо, інструменти програми Excelдозволяють суттєво полегшити обчислення довірчого інтервалу та його меж. Для цього використовуються окремі оператори для вибірок, у яких дисперсія відома і невідома.
Ціль– навчити студентів алгоритмів обчислення довірчих інтервалів статистичних параметрів.
При статистичній обробці даних обчислені середня арифметична, коефіцієнт варіації, коефіцієнт кореляції, критерії відмінності та інші точкові статистики повинні отримати кількісні межі довіри, які позначають можливі коливання показника меншу і більшу сторону в межах довірчого інтервалу.
Приклад 3.1
.
Розподіл кальцію у сироватці крові мавп, як було встановлено раніше, характеризується такими вибірковими показниками: = 11,94 мг%; 
= 0,127 мг%; n= 100. Потрібно визначити довірчий інтервал для генеральної середньої ( 
) при довірчій ймовірності P
= 0,95.
Генеральна середня знаходиться з певною ймовірністю в інтервалі:
, де 
- Вибіркова середня арифметична; t– критерій Стьюдента; 
- Помилка середньої арифметичної.
За таблицею «Значення критерію Стьюдента» знаходимо значення
при довірчій ймовірності 0,95 та числі ступенів свободи k= 100-1 = 99. Воно дорівнює 1,982. Разом зі значеннями середньої арифметичної та статистичної помилки підставляємо його у формулу:
або 11,69 
12,19
Таким чином, з ймовірністю 95%, можна стверджувати, що генеральна середня цього нормального розподілу знаходиться між 11,69 і 12,19 мг%.
Приклад 3.2
. Визначте межі 95% довірчого інтервалу для генеральної дисперсії (
) розподілу кальцію в крові мавп, якщо відомо, що 
= 1,60, при n
= 100.
Для вирішення задачі можна скористатися такою формулою:
Де 
- Статистична помилка дисперсії.
Знаходимо помилку вибіркової дисперсії за формулою: 
. Вона дорівнює 0,11. Значення t- критерію при довірчій ймовірності 0,95 та числі ступенів свободи k= 100-1 = 99 відомо з попереднього прикладу.
Скористаємося формулою та отримаємо:
або 1,38 
1,82
Більш точно довірчий інтервал генеральної дисперсії можна побудувати із застосуванням 
(хі-квадрат) – критерію Пірсона. Критичні точки при цьому критерію наводяться у спеціальній таблиці. При використанні критерію 
для побудови довірчого інтервалу застосовують двосторонній рівень значущості. Для нижньої межі рівень значущості розраховується за формулою 
, для верхньої – 
. Наприклад, для довірчого рівня 
=
0,99
= 0,010,
= 0,990. Відповідно до таблиці розподілу критичних значень 
, при розрахованих довірчих рівнях та числі ступенів свободи k= 100 - 1 = 99, знайдемо значення 
і 
. Отримуємо 
одно 135,80, а 
рівно70,06.
Щоб знайти довірчі межі генеральної дисперсії за допомогою 
скористаємося формулами: для нижньої межі 
для верхнього кордону 
. Підставимо ці завдання знайдені значення 
у формули: 
=
1,17;
= 2,26. Таким чином, за довірчої ймовірності P= 0,99 або 99% генеральна дисперсія лежатиме в інтервалі від 1,17 до 2,26 мг% включно.
Приклад 3.3 . Серед 1000 насіння пшениці з партії, що надійшла на елеватор, виявлено 120 насіння заражених ріжків. Необхідно визначити можливі межі генеральної частки зараженого насіння у цій партії пшениці.
Довірчі межі для генеральної частки за всіх можливих її значеннях доцільно визначати за такою формулою:
,
Де n - Число спостережень; m- Абсолютна чисельність однієї з груп; t– нормоване відхилення.
Вибіркова частка зараженого насіння дорівнює 
чи 12%. За довірчої ймовірності Р= 95% нормоване відхилення ( t-критерій Стьюдента при k
=
)t
= 1,960.
Підставляємо наявні дані у формулу:
Звідси межі довірчого інтервалу дорівнюють 
= 0,122-0,041 = 0,081, або 8,1%; 
= 0,122 + 0,041 = 0,163, чи 16,3%.
Таким чином, з довірчою ймовірністю 95% можна стверджувати, що генеральна частка зараженого насіння знаходиться між 8,1 та 16,3%.
Приклад 3.4 . Коефіцієнт варіації, що характеризує варіювання кальцію (мг%) у сироватці крові мавп, дорівнював 10,6%. Обсяг вибірки n= 100. Необхідно визначити межі 95% довірчого інтервалу для генерального параметра Cv.
Кордони довірчого інтервалу для генерального коефіцієнта варіації Cv визначаються за такими формулами:
і 
, де K
проміжна величина, що обчислюється за формулою 
.
Знаючи, що за довірчої ймовірності Р= 95% нормоване відхилення (критерій Стьюдента при k
=
)t
= 1,960, попередньо розрахуємо величину До:
.
або 9,3%
або 12,3%
Таким чином, генеральний коефіцієнт варіації з довірчою ймовірністю 95% лежить в інтервалі від 93 до 123%. При повторних вибірках коефіцієнт варіації не перевищить 12,3% і не виявиться нижчим за 9,3% у 95 випадках зі 100.
Запитання для самоконтролю:
Завдання для самостійного вирішення.
1. Середній відсоток жиру у молоці за лактацію корів холмогорських помісей був таким: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Встановіть довірчі інтервали для середньої середньої при довірчій ймовірності 95% (20 балів).
2. На 400 рослинах гібридного жита перші квітки з'явилися в середньому на 70,5 день після посіву. Середнє відхилення було 6,9 дня. Визначте помилку середньої та довірчі інтервали для генеральної середньої та дисперсії при рівні значущості W= 0,05 та W= 0,01 (25 балів).
3. При вивченні довжини листя 502 екземплярів садової суниці були отримані такі дані:
= 7,86 див; σ = 1,32 см, 
=± 0,06 см. Визначте довірчі інтервали для середньої арифметичної генеральної сукупності з рівнями значущості 0,01; 0,02; 0,05. (25 балів).
4. При обстеженні 150 дорослих чоловіків середній зріст дорівнював 167 см, а σ = 6 см. У яких межах знаходиться генеральна середня та генеральна дисперсія з довірчою ймовірністю 0,99 та 0,95? (25 балів).
5. Розподіл кальцію у сироватці крові мавп характеризується такими вибірковими показниками:
= 11,94 мг%, σ
= 1,27, n
= 100. Побудуйте 95% довірчий інтервал для генеральної середньої цього розподілу. Розрахуйте коефіцієнт варіації (25 балів).
6. Було вивчено загальний змістазоту в плазмі крові щурів-альбіносів у віці 37 та 180 днів. Результати виражені у грамах на 100 см 3 плазми. У віці 37 днів 9 щурів мали: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. У віці 180 днів 8 щурів мали: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1,12. Встановіть довірчі інтервали для різниці з вірогідністю 0,95 (50 балів).
7. Визначте межі 95% довірчого інтервалу для генеральної дисперсії розподілу кальцію (мг%) у сироватці крові мавп, якщо для цього розподілу обсяг вибірки n = 100, статистична помилка вибіркової дисперсії s σ 2 = 1,60 (40 балів).
8. Визначте межі 95% довірчого інтервалу для генеральної дисперсії розподілу 40 колосків пшениці по довжині (σ 2 = 40, 87 мм 2). (25 балів).
9. Куріння вважають основним фактором, що привертає до обструктивних захворювань легень. Пасивне куріння таким фактором не вважається. Вчені засумнівалися у нешкідливості пасивного куріння та досліджували прохідність дихальних шляхіву некурців, пасивних та активних курців. Для характеристики стану дихальних шляхів взяли один із показників функції зовнішнього дихання- максимальну об'ємну швидкість середини видиху. Зменшення цього показника – ознака порушення прохідності дихальних шляхів. Дані обстеження наведені у таблиці.
|
Число обстежених |
Максимальна об'ємна швидкість середини видиху, л/с |
||
|
Стандартне відхилення |
|||
|
Некурці |
|||
|
працюють у приміщенні, де не курять | |||
|
працюють у накуреному приміщенні | |||
|
Курці |
|||
|
викурюють невелику кількість сигарет | |||
|
викурюють середню кількість сигарет | |||
|
викурюють велику кількість сигарет | |||
За даними таблиці знайдіть 95% довірчі інтервали для генеральної середньої та генеральної дисперсії для кожної групи. У чому різниця між групами? Результати подайте графічно (25 балів).
10. Визначте межі 95%-ного та 99%-ного довірчого інтервалу для генеральної дисперсії чисельності поросят у 64 опоросах, якщо статистична помилка вибіркової дисперсії s σ 2 = 8, 25 (30 балів).
11. Відомо, що середня маса кролів становить 2,1 кг. Визначте межі 95%-ного та 99%-ного довірчого інтервалу для генеральної середньої та дисперсії при n= 30, σ = 0,56 кг (25 балів).
12. У 100 колосків вимірювали озерненість колосу ( Х), довжину колосу ( Y) та масу зерна в колосі ( Z). Знайти довірчі інтервали для генеральної середньої та дисперсії при P 1
= 0,95, P 2
= 0,99, P 3
= 0,999, якщо
= 19, = 6,766 см, = 0,554 м; x 2 = 29, 153, y 2 = 2, 111, z 2 = 0,064. (25 балів).
13. У відібраних випадковим чином 100 колосках пшениці озимої підраховувалося число колосків. Вибіркова сукупність характеризувалася такими показниками:
= 15 колосків та σ = 2,28 шт. Визначте, з якою точністю отримано середній результат ( 
) та побудуйте довірчий інтервал для генеральної середньої та дисперсії при 95% та 99% рівнях значущості (30 балів).
14. Число ребер на раковинах викопного молюска Orthambonites calligramma:
Відомо що n = 19, σ = 4,25. Визначте межі довірчого інтервалу для генеральної середньої та генеральної дисперсії при рівні значущості W = 0,01 (25 балів).
15. Для визначення надої молока на молочно-товарній фермі щодня визначалася продуктивність 15 корів. За даними протягом року кожна корова давала загалом на добу таку кількість молока (л): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Побудуйте довірчі інтервали для генеральної дисперсії та середньої арифметичної. Чи можна очікувати, що середньорічний надій на кожну корову складе 10000 літрів? (50 балів).
16. З метою визначення врожаю пшениці в середньому по агрогосподарству були проведені укоси на пробних ділянках площею 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 та 2 га. Урожайність (ц/га) з ділянок становила 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 відповідно. Побудуйте довірчі інтервали для генеральних дисперсії та середньої арифметичної. Чи можна очікувати, що в середньому в агрогосподарстві врожай складе 42 ц/га? (50 балів).
Довірчий інтервал прийшов до нас із галузі статистики. Це певний діапазон, який слугує для оцінки невідомого параметра з високим ступенем надійності. Найпростіше це пояснити на прикладі.
Припустимо, слід досліджувати якусь випадкову величину, наприклад, швидкість відгуку сервера на запит клієнта. Щоразу, коли користувач набирає адресу конкретного сайту, сервер реагує з різною швидкістю. Таким чином, час відгуку, що досліджується, має випадковий характер. Так ось, довірчий інтервал дозволяє визначити межі цього параметра, і потім можна буде стверджувати, що з ймовірністю 95% сервера буде знаходитися в розрахованому нами діапазоні.
Або ж потрібно дізнатися, якій кількості людей відомо про торговій марціфірми. Коли буде підрахований довірчий інтервал, можна буде, наприклад, сказати що з 95% часткою ймовірності частка споживачів, знають про цю перебуває у діапазоні від 27% до 34%.
З цим терміном тісно пов'язана така величина, як довірча ймовірність. Вона є ймовірністю того, що шуканий параметр входить у довірчий інтервал. Від цієї величини залежить те, наскільки більшим виявиться наш пошуковий діапазон. Що більше значення вона набуває, то вже стає довірчий інтервал, і навпаки. Зазвичай її встановлюють 90%, 95% або 99%. Величина 95% найпопулярніша.
На цей показник також впливає дисперсія спостережень і Його визначення ґрунтується на тому припущенні, що досліджувана ознака підкоряється. Це твердження відоме також як Закон Гауса. Згідно з ним, нормальним називається такий розподіл усіх ймовірностей безперервної випадкової величини, який можна описати щільністю ймовірностей. Якщо припущення про нормальному розподілівиявилося помилковим, то оцінка може виявитися неправильною.
Спочатку розберемося з тим, як обчислити довірчий інтервал. Тут можливі два випадки. Дисперсія (ступінь розкиду випадкової величини) може бути відома чи ні. Якщо вона відома, то наш довірчий інтервал обчислюється за допомогою наступної формули:
хср - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - ознака,
t - параметр таблиці розподілу Лапласа,
σ – квадратний корінь дисперсії.
Якщо дисперсія невідома, її можна розрахувати, якщо нам відомі всі значення шуканої ознаки. Для цього використовується така формула:
σ2 = х2ср - (хср)2 де
х2ср - середнє значення квадратів досліджуваної ознаки,
(ХСР)2 - квадрат даної ознаки.
Формула, за якою в цьому випадку розраховується довірчий інтервал, трохи змінюється:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - вибіркове середнє,
α - ознака,
t - параметр, який знаходять за допомогою таблиці розподілу Стьюдента t = t(?;n-1),
sqrt(n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,
s – квадратний корінь дисперсії.
Розглянь такий приклад. Припустимо, що за результатами 7 вимірів було визначено досліджуваного ознаки, що дорівнює 30 і дисперсія вибірки, що дорівнює 36. Потрібно знайти з ймовірністю 99% довірчий інтервал, який містить справжнє значення параметра, що вимірюється.
Спочатку визначимо чому t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Використовуємо наведену вище формулу, отримуємо:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Довірчий інтервал дисперсії розраховується як у випадку з відомим середнім, так і тоді, коли немає жодних даних про математичне очікування, а відомо лише значення точкової незміщеної оцінки дисперсії. Ми не наводитимемо тут формули його розрахунку, оскільки вони досить складні і за бажання їх завжди можна знайти в мережі.
Відзначимо лише, що довірчий інтервал зручно визначати за допомогою програми Excel або мережевого сервісу, що так і називається.
