5.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник розподілу
На перший погляд може здатися, що для завдання випадкової дискретної величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це не так: випадкові величини можуть мати однакові переліки можливих значень, А ймовірності їх – різні. Тому для завдання дискретної випадкової величини недостатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно вказати їх ймовірності.
Законом розподілу дискретної випадкової величининазивають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) та графічно.
Визначення.Будь-яке правило (таблиця, функція, графік), що дозволяє знаходити ймовірності довільних подій A S (S– -алгебра подій простору ), зокрема, що вказує на ймовірність окремих значень випадкової величини або безлічі цих значень, називається законом розподілу випадкової величини(або просто: розподілом). Про с.в. кажуть, що «вона підпорядковується цьому закону розподілу».
Нехай Х– д.с.в., яка набуває значення х 1 , х 2 , …, x n, ... (Більшість цих значень звичайно або рахунково) з деякою ймовірністю p i, де i = 1,2,…, n,… Закон розподілу д.с.в. зручно ставити за допомогою формули p i = P{X = x i)де i = 1,2,…, n, ..., Що визначає ймовірність того, що в результаті досвіду с.в. Хнабуде значення x i. Для д.с. Хзакон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці розподілу:
|
x n | |||||
|
р n |
При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий їх ймовірності. таку таблицю називають поряд розподілу.
Взявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x nутворюють повну групу; отже, сума ймовірностей цих обставин, тобто. сума ймовірностей другого рядка таблиці дорівнює одиниці, тобто .
Якщо безліч можливих значень Xнескінченно (лічильна), то ряд р 1 + р 2 + ... сходиться та її сума дорівнює одиниці.
приклад.У грошовій лотереї випущено 100 білетів. Розігрується один виграш у 50 руб. та десять виграшів по 1 руб. Знайти закон розподілу випадкової величини X- Вартість можливого виграшу для власника одного лотерейного квитка.
Рішення.Напишемо можливі значення X: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Імовірності цих можливих значень такі: р 1 = 0,01, р 2 = 0,01, р 3 = 1 – (р 1 + р 2)=0,89.
Напишемо шуканий закон розподілу:
Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.
приклад.У урні 8 куль, у тому числі 5 білих, інші – чорні. З неї виймають навмання 3 кулі. Знайти закон розподілу числа білих кульок у вибірці.
Рішення.Можливі значення С.В. Х– числа білих куль у вибірці є х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Імовірності їх відповідно будуть
;
;
.
Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці.
|
|
|
|
|
Контроль: 
.
Закон розподілу д.с. можна задати графічно, якщо осі абсцис відкласти можливі значення с.в., але в осі ординат – ймовірності цих значень. ламану, що з'єднує послідовно точки ( х 1 , р 1), (х 2 , р 2), ... називають багатокутником(або полігоном) розподілу(Див. рис. 5.1).
Мал. 5.1. Полігон розподілу
Тепер можна дати більше точне визначенняд.с.в.
Визначення.Випадкова величина Х дискретнаякщо існує кінцева або лічильна безліч чисел х 1 , х 2 , … таких, що P{X = x i } = p i > 0 (i= 1,2, ...) та p 1 + p 2 + р 3 +… = 1.
Визначимо математичні операції над дискретними с.
Визначення.сумою (різницею, твором) Д.С.В. Х, Що приймає значення x iз ймовірностями p i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, та д.с.в. Y, Що приймає значення y j з ймовірностями p j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, Називається д.с.в. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), що приймає значення z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) з ймовірностями p ij = P{X = x i , Y = y j) для всіх зазначених значень iі j. У разі збігу деяких сум x i + y j (Розбіжностей x i – y j, творів x i y j) відповідні ймовірності складаються.
Визначення.Твірд.с.в. на число зназивається д.с.в. сх, що приймає значення зx iз ймовірностями p i = P{X = x i }.
Визначення.Дві д.с. Хі Yназиваються незалежними, якщо події ( X = x i } = A iі ( Y = y j } = B jнезалежні для будь-яких i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, тобто
В іншому випадку с.в. називають залежними. Декілька с.в. називають взаємно незалежними, якщо закон розподілу будь-який їх залежить від цього, які можливі значення прийняли інші величини.
Розглянемо кілька найчастіше вживаних законів розподілу.
У розділі курсу, присвяченому основним поняттям теорії ймовірностей, ми вже ввели до розгляду надзвичайно важливе поняття випадкової величини. Тут ми дамо подальший розвитокцього поняття та вкажемо способи, за допомогою яких випадкові величини можуть бути описані та характеризуються.
Як вже було сказано, випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, невідомо заздалегідь – яке саме. Ми домовилися також розрізняти випадкові величиниперервного (дискретного) і безперервного типу. Можливі значення перервних величин можуть бути перераховані заздалегідь. Можливі значення безперервних величин неможливо знайти заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють певний проміжок.
Приклади випадкових перервних величин:
1) кількість появи герба при трьох киданнях монети (можливі значення 0, 1, 2, 3);
2) частота появи герба у тому ж досвіді (можливі значення);
3) кількість елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів (можливіше значення 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) кількість попадань у літак, достатня для виведення його з ладу (можливі значення 1, 2, 3, …, n, …);
5) число літаків, збитих у повітряному бою (можливі значення 0, 1, 2, …, N, де – загальна кількість літаків, що у бою).
Приклади безперервних випадкових величин:
1) абсцис (ордината) точки влучення при пострілі;
2) відстань від точки влучення до центру мішені;
3) помилка вимірника висоти;
4) час безвідмовної роботи радіолампи.
Умовимося надалі випадкові величини позначати великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, – кількість влучень при трьох пострілах; Можливі значення: .
Розглянемо перервну випадкову величину з можливими значеннями. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. Через війну досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто. відбудеться одна з повної групи несумісних подій:
Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:
Оскільки несумісні події (5.1.1) утворюють повну групу, то
тобто. сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці. Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісного погляду, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто. точно вкажемо, якою ймовірністю володіє кожна з подій (5.1.1). Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкової величини.
Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу.
Встановимо форму, в якій може бути заданий закон розподілу випадкової перервної величини . Найпростішою формоюзавданням цього закону є таблиця, в якій перераховані можливі значеннявипадкової величини та відповідні їм ймовірності:
Таку таблицю ми називатимемо поруч розподілу випадкової величини.
Щоб надати ряду розподілу наочніший вигляд, часто вдаються до його графічного зображення: по осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. Для наочності одержані точки з'єднуються відрізками прямих. Така постать називається багатокутником розподілу (рис. 5.1.1). Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.
Іноді зручною виявляється так звана "механічна" інтерпретація низки розподілів. Уявімо собі, що деяка маса, що дорівнює одиниці, розподілена по осі абсцис так, що в окремих точках зосереджені відповідно маси . Тоді ряд розподілу інтерпретується як система матеріальних точок з якимись масами, які розташовані на осі абсцис.
Розглянемо кілька прикладів перервних випадкових величин зі своїми законами розподілу.
Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Розглядається випадкова величина – число появи події у цьому досвіді (тобто. характеристична випадкова величина події , приймає значення 1, якщо вона з'явиться, і 0, а то й з'явиться). Побудувати ряд розподілу та багатокутник розподілу величини.
Рішення. Величина має лише два значення: 0 і 1.
Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.2.
Приклад 2. Стрілець робить три постріли по мішені. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,4. За кожне влучення стрілку зараховується 5 очок. Побудувати низку розподілу числа вибитих очок.
Рішення. Позначимо кількість вибитих очок. Можливі значення величини: .
Імовірність цих значень знаходимо за теоремою про повторення дослідів:
Ряд розподілу величини має вигляд:
Багатокутник розподілу зображено на рис. 5.1.3.
Приклад 3. Імовірність появи події щодо одного досвіді дорівнює . Виробляється ряд незалежних дослідів, які продовжуються до першої появи події, після чого досліди припиняються. Випадкова величина – кількість вироблених дослідів. Побудувати ряд розподілу величини.
Рішення. Можливі значення величини: 1, 2, 3, … (теоретично вони нічим не обмежені). Для того щоб величина прийняла значення 1, необхідно, щоб подія відбулася в першому ж досвіді; ймовірність цього дорівнює. Для того, щоб величина прийняла значення 2, потрібно, щоб у першому досвіді подія не з'явилася, а в другому з'явилася; ймовірність цього дорівнює, де, і т.д. Ряд розподілу величини має вигляд:
Перші п'ять ординат багатокутника розподілу на випадок показані на рис. 5.1.4.
Приклад 4. Стрілець веде стрілянину по мішені до першого влучення, маючи боєзапас 4 патрони. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Побудувати ряд розподілу боєзапасу, що залишився невитраченим.
Рішення. Випадкова величина – число невитрачених патронів – має чотири можливі значення: 0, 1, 2 та 3. Імовірності цих значень рівні відповідно:
Ряд розподілу величини має вигляд:
Багатокутник розподілу показано на рис. 5.1.5.
Приклад 5. Технічний пристрій може застосовуватися в різних умовах і, залежно від цього, час від часу потребує регулювання. При одноразовому застосуванні пристрою він може випадково потрапити у сприятливий або несприятливий режим. У сприятливому режимі пристрій витримує три застосування без налаштування; перед четвертим його доводиться регулювати. У несприятливому режимі пристрій доводиться регулювати після першого застосування. Імовірність того, що пристрій потрапить у сприятливий режим - 0,7, що в несприятливий - 0,3. Розглядається випадкова величина - кількість застосувань пристрою до регулювання. Побудувати її низку розподілу.
Рішення. Випадкова величина має три можливі значення: 1, 2 і 3. ймовірність того, що дорівнює ймовірності того, що при першому ж застосуванні пристрій потрапить в несприятливий режим, тобто. . Для того щоб величина прийняла значення 2, потрібно, щоб при першому застосуванні пристрій потрапив у сприятливий режим, а при другому - у несприятливий; ймовірність цього 
. Щоб величина набула значення 3, потрібно, щоб два перші рази пристрій потрапив у сприятливий режим (після третього разу його все одно доведеться регулювати). Імовірність цього дорівнює 
.
Ряд розподілу величини має вигляд:
Багатокутник розподілу показано на рис. 5.1.6.
Функція розподілу
У попередньому n° ми ввели до розгляду ряд розподілу як вичерпну характеристику (закон розподілу) випадкової перервної величини. Однак ця характеристика не є універсальною; вона існує лише для перервних випадкових величин. Неважко переконатися, що з безперервноївипадкової величини такий характеристики побудувати не можна. Справді, безперервна випадкова величина має безліч можливих значень, що цілковито заповнюють деякий проміжок (так зване «лічильна множина»). Скласти таблицю, у якій перераховані всі можливі значення такий випадкової величини, неможливо. Крім того, як ми побачимо надалі, кожне окреме значення безперервної випадкової величини зазвичай не має жодної відмінної від нуля ймовірності. Отже, для безперервної випадкової величини немає ряду розподілу тому, у якому він існує для перервної величини. Однак різні області можливих значень випадкової величини все ж таки не є однаково ймовірними, і для безперервної величини існує «розподіл ймовірностей», хоча і не в тому сенсі, як для перервної.
Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися неймовірністю події , а ймовірністю події де - деяка поточна змінна. Імовірність цієї події, очевидно, залежить від того, є певна функція від . Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається:
. (5.2.1)
Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцією розподілу чи інтегральним законом розподілу.
Функція розподілу – найуніверсальніша характеристика випадкової величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і безперервних. Функція розподілу повністю характеризуєвипадкову величину з імовірнісної погляду, тобто. є однією із форм закону розподілу.
Сформулюємо деякі загальні характеристики функції розподілу.
1. Функція розподілу є незменшуюча функція свого аргументу, тобто. при .
2. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю: .
3. На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці: .
Не даючи суворого підтвердження цих властивостей, проілюструємо їх з допомогою наочної геометричної інтерпретації. Для цього розглядатимемо випадкову величину як випадкову точку на осі Ох (рис. 5.2.1), яка в результаті досвіду може зайняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу є ймовірність того, що випадкова точка в результаті досвіду потрапить ліворуч від точки .
Збільшуватимемо , тобто переміщуватимемо крапку вправо по осі абсцис. Очевидно, при цьому ймовірність того, що випадкова точка потрапить ліворуч, не може зменшитися; отже, функція розподілу із зростанням зменшуватися неспроможна.
Щоб переконатися в тому, що будемо необмежено переміщати точку вліво по осі абсцис. При цьому попадання випадкової точки ліворуч у межі стає неможливою подією; Звичайно думати, що ймовірність цієї події прагне нуля, тобто. .
Аналогічним чином, необмежено переміщуючи точку вправо, переконуємося, що , оскільки подія стає межі достовірною.
Графік функції розподілу в загальному випадкує графіком незнищуючої функції (рис. 5.2.2), значення якої починаються від 0 і доходять до 1, причому в окремих точках функція може мати стрибки (розриви).
Знаючи ряд розподілу випадкової перервної величини, можна легко побудувати функцію розподілу цієї величини. Справді,
,
де нерівність під знаком суми показує, що підсумовування поширюється попри ті значення , які менше .
Коли поточна змінна проходить через якесь із можливих значень перервної величини , функція розподілу змінюється стрибкоподібно, причому величина стрибка дорівнює ймовірності цього значення.
Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Випадкова величина – кількість появи події досвіді (характеристична випадкова величина події ). Побудувати її функцію розподілу.
Досвідом називається всяке здійснення певних умов і дій за яких спостерігається випадкове явище, що вивчається. Досліди можна характеризувати якісно та кількісно. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь не відомо яке саме.
Випадкові величини прийнято позначати (X, Y, Z), а відповідні значення (x, y, z)
Дискретними називаються випадкові величини, що приймають окремі ізольовані один від одного значення, які можна переоцінити. Безперервними величиниможливі значення яких постійно заповнюють певний діапазон. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і ймовірності, що їм відповідають. Ряд та багатокутник розподілу. Найпростішою формою закону розподілу дискретної величиниє низка розподілу. Графічною інтерпретацією низки розподілів є багатокутник розподілу.
Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:
Ще на тему 13.Дискретна випадкова величина. Багатокутник розподілу. Операції з випадковими величинами, приклад.
- 13. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Багатокутник розподілу. Операції із випадковими величинами. приклад.
- Поняття «випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні випадкові величини. приклади.
- 14. Випадкові величини, їхні види. Закон розподілу імовірності дискретної випадкової величини (ДСВ). Способи будівлі випадкових величин (СВ).
- 16. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини: математичне очікування, дисперсія та середнє відхилення.
- Математичні операції над дискретними випадковими величинами та приклади побудови законів розподілу для КХ,Х"1, X + К, XV за заданими розподілами незалежних випадкових величин X і У.
- Концепція випадкової величини. Закон розподілу дискретної случ. величини. Математичні операції над випадком. величинами.
Випадкові величини: дискретні та безперервні.
Під час проведення стохастичного експерименту формується простір елементарних подій – можливих наслідківцього експерименту. Вважають, що на цьому просторі елементарних подій задано випадкова величина X, якщо заданий закон (правило) яким кожному елементарному події зіставляється число. Таким чином, випадкову величину X можна розглядати як функцію, задану на просторі елементарних подій.
■ Випадкова величина- величина, яка при кожному випробуванні приймає те чи інше числове значення(наперед невідомо, яке саме), що залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавітуа можливі значення випадкової величини – малими. Так, при киданні грального кубика відбувається подія, пов'язана з числом x , де x - число очок, що випало. Число очок – випадкова величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – можливі значення цієї величини. Відстань, яка пролетить снаряд при пострілі з гармати - теж випадкова величина (залежить від установки прицілу, сили та напрямки вітру, температури та інших факторів), а можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (a; b).
■ Дискретна випадкова величина- Випадкова величина, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим та нескінченним.
■ Безперервна випадкова величина- Випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень безперервної випадкової величини - нескінченно.
Наприклад, кількість очок, що випали при киданні кубика, бальна оцінка за контрольну роботу - дискретні випадкові величини; відстань, що пролітає снаряд при стрільбі з гармати, похибка вимірювань показника часу засвоєння навчального матеріалу, зростання та вага людини – безперервні випадкові величини.
Закон розподілу випадкової величини– відповідність між можливими значеннями випадкової величини та його ймовірностями, тобто. кожному можливому значенню x i ставиться у відповідність ймовірність p i , з якою випадкова величина може прийняти це значення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий таблично (у формі таблиці), аналітично (як формула) іграфічно.
Нехай дискретна випадкова величина X приймає значення x 1 x 2 ... x n з ймовірностями p 1 p 2 ... pn відповідно, тобто. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . При табличному завданні закону розподілу цієї величини перший рядок таблиці містить можливі значення x 1 , x 2 , …, x n , а другий їх ймовірності
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| p | p 1 | p 2 | … | p n |
В результаті випробування дискретна випадкова величина X приймає одне і тільки одне з можливих значень, тому події X = x 1, X = x 2, …, X = x n утворюють повну групу попарно несумісних подій, і, отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці , тобто. p 1 + p 2 + ... + p n = 1.
Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник (полігон) розподілу.
Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерамилатинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеве чи нескінченне (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1. Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) за допомогою функції розподілу F(x), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
 |
Властивості функції F(x)
3. Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найбільше важливі особливостізакону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмірвідхилення випадкової величини від середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.
Основні числові характеристики дискретної випадкової величини:
- Mатематичне очікування (середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i .
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ - Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M2 або D(X)=M(X2)−2. Різниця X–M(X) називають відхиленням випадкової величини від неї математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ - Середнє квадратичне відхилення ( стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).
· Для наочності уявлення варіаційного ряду велике значеннямають його графічні зображення. Графічно варіаційний ряд може бути зображений у вигляді полігону, гістограми та кумуляти.
· Полігон розподілу (дослівно – багатокутник розподілу) називають ламану, яка будується у прямокутній системі координат. Розмір ознаки відкладається на осі абсцис, відповідні частоти (чи відносні частоти ) – по осі ординат. Крапки (або ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон розподілу. Найчастіше полігони застосовуються для зображення дискретних варіаційних рядів, але їх можна застосовувати також і для інтервальних рядів. У цьому випадку осі абсцис відкладаються точки, відповідні серединам даних інтервалів.
