У багатьох випадках, кота статистична сукупність включає велике або тим більше нескінченне числоваріант, що найчастіше зустрічається при безперервній варіації, практично неможливо і недоцільно формувати групу одиниць кожної варіанти. У разі об'єднання статистичних одиниць групи можливо лише з урахуванням інтервалу, тобто. такої групи, яка має певні межі значень ознаки, що варіює. Ці межі позначаються двома числами, що вказують верхню та нижню межі кожної групи. Застосування інтервалів призводить до формування ряду інтервального розподілу.

Інтервальний рад- це варіаційний ряд, варіанти якого представлені як інтервалів.

Інтервальний ряд може формуватися з рівними і нерівними інтервалами, причому вибір принципу побудови цього ряду залежить головним чином від ступеня представницькості і зручності статистичної сукупності. Якщо сукупність досить велика (представницька) за кількістю одиниць і цілком однорідна за складом, то основою формування інтервального ряду доцільно покласти рівності інтервалів. Зазвичай з цього принципу утворюють інтервальний ряд за тими сукупностями, де розмах варіації порівняно невеликий, тобто. максимальна та мінімальна варіанти різняться між собою зазвичай у кілька разів. При цьому величина рівних інтервалів розраховується ставленням розмаху варіації ознаки до заданого числа інтервалів, що утворюються. Для визначення рівного іінтервалу може бути використана формула Стерджесса (зазвичай при невеликій варіації інтервальних ознак і великому числі одиниць у статистичній сукупності):

де х i - величина рівного інтервалу; X max, X min - максимальна та мінімальна варіанти в статистичній сукупності; n . - Число одиниць у сукупності.

приклад. Доцільно розрахувати розмір рівного інтервалу за щільністю радіоактивного забруднення цезієм – 137 у 100 населених пунктах Краснопільського району Могилівської області, якщо відомо, що початкова (мінімальна) варіанта дорівнює I км/км 2 , кінцева (максимальна) - 65 ки/км 2 . Скориставшись формулою 5.1. отримаємо:

Отже, щоб сформувати інтервальний ряд з рівними інтерваламиза щільністю забруднення цезієм – 137 населених пунктів Краснопільського району, розмір рівного інтервалу може становити 8 ки/км 2 .

У разі нерівномірного розподілу тобто. коли максимальна та мінімальна варіанти сотні разів, при формуванні інтервального ряду можна застосувати принцип нерівнихінтервалів. Нерівні інтервали зазвичай збільшуються в міру початку великих значень ознаки.

За формою інтервали можуть бути закритими та відкритими. Закритимиприйнято називати інтервали, у яких позначені як нижня, і верхня межі. Відкритіінтервали мають лише одну межу: у першому інтервалі – верхня, в останньому – нижня межа.

Оцінку інтервальних рядів, особливо з нерівним інтервалами, доцільно проводити з урахуванням густини розподілу, Найпростішим способом розрахунку якого є відношення локальної частоти (або частоти) до розміру інтервалу.

Для практичного формування інтервального ряду можна скористатися макетом табл. 5.3.

Таблиця 5.3. Порядок формування інтервального ряду населених пунктівКраснопільського району за щільністю радіоактивного забруднення цезієм -137

Основна перевага інтервального ряду – його гранична компактність.в той же час в інтервальному ряду розподілу індивідуальні варіанти ознаки приховані у відповідних інтервалах

При графічному зображенні інтервального ряду в системі прямокутних координат на осі абсцис відкладають верхні межі інтервалів, на ординат - локальні частоти ряду. Графічна побудова інтервального ряду відрізняється від побудови полігону розподілу тим, що кожен інтервал має нижню та верхню межі, а одному якомусь значенню ординати відповідають дві абсциси. Тому на графіку інтервального ряду відзначається не точка, як у полігоні, а лінія, що з'єднує дві точки. Ці горизонтальні лінії з'єднуються одна з одною вертикальними лініями і виходить постать ступінчастого багатокутника, який прийнято називати гістограмоюрозподілу (рис.5.3).

При графічній побудовіінтервального ряду за досить великою статистичною сукупністю гістограма наближається до симетричноюформі розподілу. У тих випадках, де статистична сукупність невелика, зазвичай, формується асиметричнагістограма.

У деяких випадках є доцільність у формуванні низки накопичених частот, тобто. кумулятивногоряду. Кумулятивний ряд можна утворити з урахуванням дискретного чи інтервального низки розподілу. При графічному зображенні кумулятивного ряду системі прямокутних координат на осі абсцис відкладають варіанти, на осі ординат - накопичені частоти (частини). Отриману при цьому криву лінію прийнято називати кумулятоїрозподілу (рис.5.4).

Формування та графічне зображення різних видівваріаційних рядів сприяє спрощеному розрахунку основних статистичних характеристик, які докладно розглядаються у темі 6, допомагає краще зрозуміти сутність законів розподілу статистичної сукупності. Аналіз варіаційного рядунабуває особливого значення в тих випадках, коли необхідно виявити та простежити залежність між варіантами та частотами (частинами). Ця залежність проявляється в тому, що число випадків, що припадають на кожну версію, певним чином пов'язане з величиною цієї варіації, тобто. зі зростанням значень варіює ознаки частоти (частини) цих значень зазнають певних, систематичних змін. Це означає, що числа в стовпці частот (частин) схильні не до хаотичних коливань, а змінюються в певному напрямку, в певному порядку і послідовності.

Якщо частоти у своїх змінах виявляють певну систематичність, це означає, що ми знаходимося на шляху до виявлення закономірності. Система, порядок, послідовність у зміні частот – це відображення загальних причин, загальних умов, Характерні для всієї сукупності.

Не слід вважати, що закономірність розподілу завжди дається у готовому вигляді. Зустрічається чимало варіаційних рядів, у яких частоти химерно скачуть, то зростаючи, то зменшуючись. У таких випадках доцільно з'ясувати, з яким розподілом має справу дослідник: або цей розподіл взагалі не має властивих закономірностей, або його природа ще не розкрита: перший випадок рідкісний, але другий кейс - досить поширене і дуже поширене явище.

Так, при формуванні інтервального ряду загальна кількість статистичних одиниць може бути невеликою, і в кожний інтервал потрапляє невелика кількість варіантів (наприклад, 1-3 одиниці). У разі розраховувати прояв будь-якої закономірності годі й говорити. Для того щоб на основі випадкових спостережень вийшов закономірний результат, необхідно набуття чинності законом великих чисел, тобто. щоб на кожен інтервал припадало б не кілька, а десятки та сотні статистичних одиниць. З цією метою треба намагатися, наскільки можна збільшувати кількість спостережень. Це самий вірний спосібвиявлення закономірності у масових процесах. Якщо ж не представляється реальна можливістьзбільшити кількість спостережень, то виявлення закономірності може бути досягнуто зменшенням кількості інтервалів у розподілі. Зменшуючи кількість інтервалів у варіаційному ряду, цим збільшується чисельність частот у кожному інтервалі. Це означає, що випадкові коливання кожної статистичної одиницінакладаються один на одного, "згладжується", перетворюючись на закономірність.

Формування та побудова варіаційних рядів дозволяє отримати лише загальну, наближену картину розподілу статистичної сукупності. Наприклад, гістограма лише в грубій формі виражає залежність між значеннями ознаки та її частотами (частинами). Тому варіаційні ряди по суті є лише основою для подальшого, поглибленого вивчення внутрішньої закономірності статичного розподілу.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДО ТЕМИ 5

1. Що таке варіація? Чим викликається варіація ознаки у статистичній сукупності?

2. Які види ознак можуть мати місце в статистиці?

3. Що таке варіаційний ряд? Які можуть бути види варіаційних рядів?

4. Що таке ранжированный ряд? Які його переваги та недоліки?

5. Що таке дискретний ряд і які його переваги та недоліки?

6. Який порядок формування інтервального ряду, які його переваги та недоліки?

7. Що таке графічне зображення ранжованого, дискретного, інтервального рядів розподілу?

8. Що таке кумуляти розподілу та що вона характеризує?

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

гарну роботуна сайт">

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

ЗАВДАННЯ1

Є такі дані про заробітної платипрацівників на підприємстві:

Таблиця 1.1

	Розмір заробітної плати за ум. ден. од.

Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу, яким знайти;

1) середню заробітну плату;

2) середнє лінійне відхилення;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) розмах варіації;

6) коефіцієнт осциляції;

7) лінійний коефіцієнтваріації;

8) простий коефіцієнт варіації;

10) медіану;

11) коефіцієнт асиметрії;

12) показник асиметрії Пірсона;

13) коефіцієнт ексцесу.

Рішення

Як відомо, варіанти (значення визнано) розташовані у порядку зростання утворюють дискретний варіаційний ряд. При великій кількості Варіант (більше 10) навіть у разі дискретної варіації будуються інтервальні ряди.

Якщо складається інтервальний ряд із рівними інтервалами, то розмах варіації поділяється на вказану кількість інтервалів. При цьому якщо отримане значення ціле і однозначне (що буває рідко), то довжина інтервалу приймається рівною цьому числу. В інших випадках Виготовляється округлення обов'язково в бік збільшення, так щоб остання цифра, що залишилася, була парною. Очевидно, зі збільшенням довжини інтервалу розширюється розмах варіації на величину, що дорівнює добутку числа інтервалів: на різницю розрахункової та початкової довжини інтервалу

а) Якщо величина розширення розмаху варіації незначна, її або додають до найбільшого або віднімають з найменшого значення ознаки;

б) Якщо величина розширення розмаху варіації відчутна, то, щоб не відбулося змішування центру розмаху, її приблизно ділять навпіл одночасно додаючи до найбільшого та віднімаючи з найменшого значеньознаки.

Якщо складається інтервальний ряд із нерівними інтервалами, то процес спрощується, але як і раніше довжина інтервалів має виражатися числом з останньою парною цифрою, що значно спрощує наступні розрахунки числових характеристик.

30 – обсяг вибірки.

Складемо інтервальний ряд розподілу, використовуючи формулу Стерджесу:

K = 1 + 3.32 * lg n,

K – число груп;

K = 1 + 3.32 * lg 30 = 5,91 = 6

Знаходимо розмах ознаки - заробітна плата працівників на підприємстві - (х) за формулою

R = xmaх - xmin і ділимо на 6; R = 195-112 = 83

Тоді довжина інтервалу буде lпер = 83: 6 = 13.83

Початком першого інтервалу буде 112. Додаючи до 112 lрас=13,83, отримаємо його кінцеве значення 125,83, яке є початком другого інтервалу і т.д. кінець п'ятого інтервалу – 195.

При знаходженні частот слід керуватися правилом: «якщо значення ознаки збігається з межею внутрішнього інтервалу, його слід відносити до попереднього інтервалу».

Отримаємо інтервальний ряд частот та накопичувальних частот.

Таблиця 1.2

Отже, 3 працівники мають зар. плату від 112 до 125,83 ум.ден.од. Найбільша зар. плата від 181,15 до 195 ум.ден.од. лише у 6-ти працівників.

Для розрахунку числових характеристик інтервальний ряд перетворимо на дискретний, взявши як варіант середини інтервалів:

Таблиця 1.3

							14131,83

За формулою виваженого середнього арифметичного

ум.ден.ед.

Середнє лінійне відхилення:

де xi - значення досліджуваного ознаки у i-тої одиниці сукупності,

Середня величина ознаки, що вивчається.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

LРозміщено на http://www.allbest.ru/

Усл.ден.ед.

Середнє квадратичне відхилення:

Дисперсія:

Відносний розмах варіації (коефіцієнт осциляції): з = R:,

Відносне лінійне відхилення: q = L:

Коефіцієнт варіації: V = у:

Коефіцієнт осциляції показує відносну коливність крайніх значень ознаки у середньої арифметичної, а коефіцієнт варіації характеризує рівень і однорідності сукупності.

з = R: = 83 / 159,485 * 100% = 52,043%

Таким чином, різниця між крайніми значеннями на 5,16% (=94,84%-100%) менша за середнє значення заробітної плати працівників на підприємстві.

q = L: = 17,765 / 159,485 * 100% = 11,139%

V = у: = 21,704 / 159,485 * 100% = 13,609%

Коефіцієнт варіації менше 33%, що говорить про слабку варіацію заробітної плати працівників для підприємства, тобто. про те, що середня величина є типовою характеристикою заробітної плати працівників (сукупність однорідна).

В інтервальних рядах розподілу модавизначається за формулою -

Частота модального інтервалу, тобто інтервалу, що містить найбільше варіант;

Частота інтервалу, що передує модальному;

Частота інтервалу, наступного за модальним;

Довжина модального інтервалу;

Нижня межа модального інтервалу.

Для визначення медіанив інтервальному ряді скористаємося формулою

де - кумулятивна (накопичена) частота інтервалу, що передує медіанному;

Нижня межа медіанного інтервалу;

Частота медіанного інтервалу;

Довжина медіанного інтервалу.

Медіанний інтервал- інтервал, накопичена частота якого (=3+3+5+7) перевищує половину суми частот – (153,49; 167,32).

Розрахуємо асиметрію та ексцес для чого складемо нову робочу таблицю:

Таблиця 1.4

Фактичні данні	Розрахункові дані

Розрахуємо момент третього порядку

Отже, асиметрія дорівнює

Оскільки 0,3553 0,25, то асиметрія визнається значною.

Розрахуємо момент четвертого порядку

Отже, ексцес дорівнює

Так як< 0, то эксцесс является плосковершинным.

Ступінь асиметрії може бути визначений за допомогою коефіцієнта асиметрії Пірсона (Аs): осциляція вибірка вартість товарообіг

де - Середня арифметична ряду розподілу; - Мода; - Середнє квадратичне відхилення.

При симетричному (нормальному) розподілі = Мо, отже, коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю. Якщо Аs > 0, то більше моди, отже є правостороння асиметрія.

Якщо As< 0, то менше модиотже, є лівостороння асиметрія. Коефіцієнт асиметрії може змінюватися від -3 до +3.

Розподіл не є симетричним, а має лівосторонню асиметрію.

ЗАВДАННЯ 2

Яка має бути чисельність вибірки, щоб із ймовірністю 0,954 помилка вибірки не перевищувала 0,04, якщо на основі попередніх обстежень відомо, що дисперсія дорівнює 0,24?

Рішення

Обсяг вибірки при безповторному відборі розраховується за такою формулою:

t - коефіцієнт довіри (при ймовірності 0,954 він дорівнює 2,0; визначається за таблицями інтегралів ймовірності),

у2 = 0,24 - середнє квадратичне відхилення;

10000 чол. - чисельність вибірки;

Дх = 0,04 - гранична помилка вибіркової середньої.

Імовірно, 95,4% можна стверджувати, що чисельність вибірки, що забезпечує відносну похибку не більше 0,04, повинна становити не менше 566 сімей.

ЗАВДАННЯ3

Є такі дані про доходи від основної діяльності підприємства, млн. руб.

Для аналізу низки динаміки визначте такі показники:

1) ланцюгові та базисні:

Абсолютні прирости;

Темпи зростання;

Темпи приросту;

2) середній

Рівень низки динаміки;

Абсолютний приріст;

Темп зростання;

Темп приросту;

3) абсолютне значення 1% приросту.

Рішення

1. Абсолютний приріст (Ду)- це різниця між наступним рівнем ряду та попереднім (або базисним):

ланцюговий: Ду = уi - yi-1,

базисний: Ду = уi - y0,

уi - рівень ряду,

i - номер рівня ряду,

y0 – рівень базисного року.

2. Темп зростання (Ту)- це відношення наступного рівня низки та попереднього (або базисного 2001 р.):

ланцюговий: Ту =;

базисний: Ту =

3. Темп приросту (ТД) - це відношення абсолютного приросту до попереднього рівня, виражене у %.

ланцюговий: Ту =;

базисний: Ту =

4. Абсолютне значення 1% приросту (А)- Це ставлення ланцюгового абсолютного приросту до темпу приросту, вираженому в %.

А =

Середній рівень рядурозраховується за формулою середньої арифметичної.

Середній рівень доходів від основної діяльності за 4 роки:

Середній абсолютний прирістрозраховується за формулою:

де n – число рівнів ряду.

У середньому протягом року доходи від основної діяльності зросли на 3,333 млн. крб.

Середньорічний темп зростаннярозраховується за формулою середньої геометричної:

уn - кінцевий рівень ряду,

у0 - початковий рівеньряду.

Ту = 100% = 102,174%

Середньорічний темп приростурозраховується за формулою:

Т? = Ту - 100% = 102,74% - 100% = 2,74%.

Таким чином, у середньому протягом року доходи від основної діяльності підприємства збільшувалися на 2,74%.

ЗАДАЧА4

Обчислити:

1. Індивідуальні індекси цін;

2. Загальний індекс товарообігу;

3. Агрегатний індекс цін;

4. Агрегатний індекс фізичного обсягу продажу товарів;

5. Абсолютний приріст вартості товарообігу та розкладіть за факторами (за рахунок зміни цін та кількості проданих товарів);

6. Зробити короткі висновки за всіма отриманими показниками.

Рішення

1. За умовою, індивідуальні індекси цін за виробами А, Б, В склали

iрA=1.20; iрБ = 1,15; iрВ = 1.00.

2. Загальний індекс товарообігу розрахуємо за такою формулою:

I w = = 1470/1045 * 100% = 140,67%

Товарообіг зріс на 40,67% (140,67%-100%).

У середньому, ціни на товари зросли на 10,24%.

Сума додаткових витрат покупців від зростання цін:

w(p) =? p1q1 -? p0q1 = 1470 – 1333,478 = 136,522 млн. руб.

Через війну зростання цін покупцям довелося додатково витратити 136,522 млн. крб.

4. Загальний індекс фізичного обсягу товарообігу:

Фізичний обсяг товарообігу становило 27,61 %.

5. Визначимо загальну зміну товарообігу у другому періоді порівняно з першим періодом:

w = 1470-1045 = 425 млн.руб.

за рахунок зміни цін:

W(р) = 1470 – 1333,478 = 136,522 млн. руб.

за рахунок зміни фізичного обсягу:

w(q) = 1333,478 - 1045 = 288,478 млн. руб.

Товарообіг товарів збільшився на 40,67%. Ціни в середньому за 3 товарами зросли на 10,24%. Фізичний обсяг товарообігу збільшився на 27,61%.

У цілому нині обсяг реалізації збільшився на 425 млн.руб., зокрема з допомогою зростання цін він зріс на 136,522 млн. крб., а рахунок збільшення обсягів продажу - на 288,478 млн. крб.

ЗАВДАННЯ5

По 10 заводах однієї галузі є такі дані.

№ заводу	Випуск продукції, тис. прим. (Х)

На основі наведених даних:

I) для підтвердження положень логічного аналізу про наявність кореляційної прямолінійної залежності між факторною ознакою (обсягом випуску продукції) та результативною ознакою (витратою електроенергії) нанесіть вихідні дані на графік кореляційного поля та зробіть висновки про форму зв'язку, вкажіть її формулу;

2) визначте параметри рівняння зв'язку та нанесіть отриману при цьому теоретичну лінію на графік кореляційного поля;

3) обчисліть лінійний коефіцієнт кореляції,

4) поясніть значення показників, отриманих у пунктах 2) та 3);

5) використовуючи отриману модель, зробіть прогноз про можливу витрату електроенергії на заводі з обсягом виробництва 4,5 тис. шт.

Рішення

Дані ознаки – обсяг випуску продукції (фактор), позначимо через хi; ознаки – витрата електроенергії (результат) через уi; крапки з координатами (х, у) наносимо на кореляційне поле ОХУ.

Крапки кореляційного поля розташовані вздовж деякої прямої. Отже, зв'язок - лінійний, шукатимемо рівняння регресії у вигляді прямої Уx = ax + b. Для його знаходження скористаємося системою нормальних рівнянь:

Складемо розрахункову таблицю.

За знайденим середнім складаємо систему та вирішуємо її щодо параметрів а та b:

Отже, отримаємо рівняння регресії у на х: = 3,57692 х + 3,19231

Будуємо лінію регресії на кореляційному полі.

Підставляючи в рівняння регресії значення х зі стовпця 2, отримаємо розрахункові (стовпець 7) і порівнюємо їх з даними у, що відображено в стовпці 8. До речі, правильність розрахунків підтверджується і збігом середніх значень у.

Коефіцієнтлінійної кореляціїоцінює тісноту залежності між ознаками х і у і розраховується за формулою

Кутовий коефіцієнт прямої регресії а (при х) характеризує напрямок виявленоїзалежностіознак: при а>0 однакові, при а<0- противоположны. Його абсолютна величина - міра зміни результативної ознаки при зміні факторного на одиницю виміру.

Вільний член прямої регресії виявляє напрям, яке абсолютне значення - кількісну міру впливу результативний ознака всіх інших чинників.

Якщо< 0, то ресурс факторної ознаки окремого об'єкта використовується з меншою, а при>0 збільшою результативністю, ніж у середньому по всій безлічі об'єктів.

Проведемо післярегресійний аналіз.

Коефіцієнт при х прямої регресії дорівнює 3,57692 >0, отже, зі збільшенням (зменшенням) випуску продукції зростає (падає) витрата електроенергії. Збільшення випуску продукції на 1 тис. прим. дає в середньому зростання витрат електроенергії на 3,57692 тис. кВт.год.

2. Вільний член прямої регресії дорівнює 3,19231, отже, вплив інших чинників збільшує силу впливу випуску продукції витрату електроенергії в абсолютному виміріна 3,19231 тис. кВт.год.

3. Коефіцієнт кореляції 0,8235 виявляє тісну залежність витрати електроенергії від випуску продукції.

За рівнянням регресійної моделілегко робити прогнози. Для цього рівняння регресії підставляють значення х - обсяг випуску продукції і прогнозують витрати електроенергії. У цьому значення х можна брати у межах заданого розмаху, а й поза ним.

Зробимо прогноз про можливу витрату електроенергії на заводі з обсягом виробництва 4,5 тис. шт.

3,57692 * 4,5 + 3,19231 = 19,288 45 тис. кВт.год.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Захаренков С.М. Соціально-економічна статистика: Навчальний практ. посібник. -Мн.: БДЕУ, 2002.

2. Єфімова М.Р., Петрова Є.В., Рум'янцев В.М. Загальна теорія статистики. - М: ІНФРА - М., 2000.

3. Єлісєєва І.І. Статистика. - М: Проспект, 2002.

4. Загальна теорія статистики / За заг. ред. О.Е. Башин, А.А. Спірина. - М.: Фінанси та статистика, 2000.

5. Соціально-економічна статистика: Навчальний практ. посібник/Захаренков С.М. та ін - Мн.: ЄГУ, 2004.

6. Соціально-економічна статистика: Навч. допомога. / За ред. Нестерович С.Р. - Мн.: БДЕУ, 2003.

7. Теслюк І.Є., Тарловська В.А., Терліженко Н. Статистика. - Мінськ, 2000.

8. Харченко Л.П. Статистика. - М: ІНФРА - М, 2002.

9. Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Іонін В.Г. Статистика. - М: ІНФРА - М, 1999.

10. Економічна статистика/За ред. Ю.М. Іванова – М., 2000.

Розміщено на Allbest.ru

...

Подібні документи

Розрахунок середньої арифметичної для інтервального ряду розподілу. Визначення загального індексуфізичного обсягу товарообігу. Аналіз абсолютної зміни загальної вартості продукції з допомогою зміни фізичного обсягу. Розрахунок коефіцієнта варіації.

контрольна робота , доданий 19.07.2010


Сутність оптового, роздрібного та громадського товарообігу. Формули розрахунку індивідуальних, агрегатних індексів товарообігу. Розрахунок характеристик інтервального ряду розподілу – середнього арифметичного, моди та медіани, коефіцієнта варіації.

курсова робота , доданий 10.05.2013


Розрахунок планового та фактичного обсягу продажів, відсотка виконання плану, абсолютної зміни товарообігу. Визначення абсолютного приросту, середніх темпів зростання та приросту грошових доходів. Розрахунок структурних середніх: моди, медіани, квартилю.

контрольна робота , доданий 24.02.2012


Інтервальний ряд розподілу банків за обсягом прибутку. Знаходження моди та медіани отриманого інтервального ряду розподілу графічним методомта шляхом розрахунків. Розрахунок характеристик інтервальних рядів розподілу. Обчислення середньої арифметичної.

контрольна робота , доданий 15.12.2010


Формули визначення середніх величин інтервального ряду – моди, медіани, дисперсії. Розрахунок аналітичних показників рядів динаміки за ланцюговою та базисною схемами, темпами зростання та приросту. Поняття зведеного індексу собівартості, цін, витрат та товарообігу.

курсова робота , доданий 27.02.2011


Поняття та призначення, порядок та правила побудови варіаційного ряду. Аналіз однорідності даних у групах. Показники варіації (хитання) ознаки. Визначення середнього лінійного та квадратичного відхилення, коефіцієнта осциляції та варіації.

контрольна робота , доданий 26.04.2010


Поняття моди та медіани як типових характеристик, порядок та критерії їх визначення. Знаходження моди та медіани у дискретному та інтервальному варіаційному ряду. Квартили та децилі як додаткові характеристики варіаційного статистичного ряду.

контрольна робота , доданий 11.09.2010


Побудова інтервального ряду розподілу за групувальною ознакою. Характеристика відхилення розподілу частот від симетричної форми, розрахунок показників ексцесу та асиметрії. Аналіз показників бухгалтерського балансуабо звіту про прибутки.

контрольна робота , доданий 19.10.2014


Перетворення емпіричного ряду на дискретний та інтервальний. Визначення середньої величини дискретного ряду з використанням її властивостей. Розрахунок за дискретним рядом моди, медіани, показників варіації (дисперсія, відхилення, коефіцієнт осциляції).

контрольна робота , доданий 17.04.2011


Побудова статистичного ряду розподілу організацій. Графічне визначення значення моди та медіани. Тіснота кореляційного зв'язкуіз використанням коефіцієнта детермінації. Визначення помилки вибірки середньооблікової чисельності працівників.

Приклад рішення контрольної роботи з математичної статистики

Завдання 1

Вихідні дані : студенти певної групи, що складається з 30 осіб, склали іспит з курсу «Інформатика». Отримані студентами оцінки утворюють наступний ряд чисел:

I. Складемо варіаційний ряд

	m x	w x	m x нак	w x нак
Разом:

ІІ. Графічне подання статистичних відомостей.

ІІІ. Числові характеристики вибірки.

1. Середнє арифметичне

2. Середнє геометричне

3. Мода

4. Медіана

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Вибіркова дисперсія

7. Коефіцієнт варіації

8. Асиметрія

9. Коефіцієнт асиметрії

10. Ексцес

11. Коефіцієнт ексцесу

Завдання 2

Вихідні дані : студенти певної групи написали випускну контрольну роботу Група складається із 30 осіб. Набрані студентами бали утворюють наступний ряд чисел

Рішення

I. Оскільки ознака набуває багато різних значень, то для нього побудуємо інтервальний варіаційний ряд. Для цього спочатку задаємо величину інтервалу h. Скористайтеся формулою Стерджера

Складемо шкалу інтервалів. При цьому за верхню межу першого інтервалу приймемо величину, що визначається за формулою:

Верхні межі наступних інтервалів визначимо за наступною рекурентною формулою:

тоді

Побудова шкали інтервалів закінчуємо, тому що верхня межа чергового інтервалу стала більшою або дорівнює максимальному значенню вибірки
.

ІІ. Графічне відображення інтервального варіаційного ряду

ІІІ. Числові характеристики вибірки

Для визначення числових характеристик вибірки складемо допоміжну таблицю

Сума:

1. Середнє арифметичне

2. Середнє геометричне

3. Мода

4. Медіана

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Вибіркова дисперсія

6. Вибіркове стандартне відхилення

7. Коефіцієнт варіації

8. Асиметрія

9. Коефіцієнт асиметрії

10. Ексцес

11. Коефіцієнт ексцесу

Завдання 3

Умова : ціна розподілу шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Показання округляють до найближчого цілого розподілу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку, що перевищує 0,02 А.

Рішення.

Помилка округлення відліку можна розглядати як випадкову величину Х, Яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділками. Щільність рівномірного розподілу

де
- Довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х; поза цим інтервалом
У даній задачі довжина інтервалу, в якому укладено можливі значення Х, дорівнює 0,1, тому

Помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде укладена в інтервалі (0,02; 0,08). Тоді

Відповідь: р=0,6

Завдання 4

Вихідні дані: математичне очікування та стандартне відхилення нормально розподіленої ознаки Хвідповідно дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, укладене в інтервалі (12, 14).

Рішення.

Скористаємося формулою

І теоретичними частотами

Рішення

Для Х її математичне очікування M(X) та дисперсію D(X). Рішення. Знайдемо функцію розподілу F(x) випадкової величини... помилка вибірки). Складемо варіаційний рядШирина інтервалу складе: Для кожного значення рядупідрахуємо, скільки...

Рішення: рівняння з змінними, що розділяються

Рішення

Для перебування приватного рішення неоднорідного рівняння складемосистему Розв'яжемо отриману систему... ; +47; +61; +10; -8. Побудувати інтервальний варіаційний ряд. Дати статистичні оцінки середнього значення.

Рішення: Проведемо розрахунок ланцюгових та базисних абсолютних приростів, темпів зростання, темпів приросту. Отримані значення зведемо до таблиці 1

Рішення

Обсяг виробництва. Рішення: Середня арифметична інтервального варіаційного рядуобчислюється так: за... Гранична помилка вибірки з ймовірністю 0,954 (t=2) складе: Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Визначимо межі...

Рішення. Ознака

Рішення

Про трудовому стажіяких і склаливибірку. Середній за вибіркою стаж... робочого дня цих працівників та склаливибірку. Середня за вибіркою тривалість... 1,16, рівень значущості α = 0,05. Рішення. Варіаційний рядданої вибірки має вигляд: 0,71 ...

Робоча навчальна програма з біології для 10-11 класів Укладач: Полікарпова С. В

Робоча навчальна програма

Найпростіших схем схрещування» 5 Л.Р. « Рішенняелементарних генетичних завдань» 6 Л.Р. « Рішенняелементарних генетичних завдань» 7 Л.Р. «..., 110, 115, 112, 110. Складіть варіаційний ряд, накресліть варіаційнукриву, знайдіть середню величину ознаки...

Дискретний варіаційний ряд будується для дискретних ознак.

Для того, щоб побудувати дискретний варіаційний ряд, потрібно виконати наступні дії: 1) упорядкувати одиниці спостереження за зростанням досліджуваного значення ознаки,

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням,

значенням ознаки, i .

частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів у сукупності, що вивчається.

Приклад 1 .

Список оцінок, отриманих студентами на іспитах: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Тут число Х - Оцінкає дискретною випадковою величиною, а одержаний список оцінок -статистичні (спостерігаються) дані .

упорядкувати одиниці спостереження щодо зростання досліджуваного значення ознаки:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням:

У цьому прикладі всі оцінки можна розділити чотирма групи з такими значеннями: 2; 3; 4; 5.

Значення випадкової величини, що відповідає окремій групі даних, що спостерігаються, називають значенням ознаки, варіантом (варіантою) і визначають x i .

Число, яке показує, скільки разів зустрічається відповідне значення ознаки в ряді спостережень називають частота значення ознаки і позначають f i .

Для нашого прикладу

оцінка 2 зустрічається - 8 разів,

оцінка 3 зустрічається - 12 разів,

оцінка 4 зустрічається - 23 рази,

оцінка 5 зустрічається – 17 разів.

Усього 60 оцінок.

4) записати отримані дані в таблицю з двох рядків (стовпців) - x i і f i.

З цих даних можна побудувати дискретний варіаційний ряд

Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, в якій вказані значення, що вивчається ознаки як окремі значення за зростанням та їх частоти

1. Побудова інтервального варіаційного ряду

Крім дискретного варіаційного ряду, часто зустрічається такий спосіб групування даних, як інтервальний варіаційний ряд.

Інтервальний ряд будується якщо:

ознака має безперервний характер зміни;

дискретних значень вийшло дуже багато (більше 10)

частоти дискретних значень дуже малі (не перевищують 1-3 за відносно більшої кількості одиниць спостереження);

багато дискретних значень ознаки з однаковими частотами.

Інтервальний варіаційний ряд – це спосіб угруповання даних як таблиці, що має дві графи (значення ознаки як інтервалу значень і частота кожного інтервалу).

На відміну від дискретного рядуЗначення ознаки інтервального ряду представлені не окремими значеннями, а інтервалом значень (від - до).

Число, яке показує, скільки одиниць спостереження потрапило до кожного виділеного інтервалу, називається частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів (одиниць спостереження) в сукупності, що вивчається.

Якщо одиниця має значення ознаки, що дорівнює величині верхнього кордонуінтервалу, її слід відносити до наступного інтервалу.

Наприклад, дитина зі зростанням 100 см потрапить у другий інтервал, а не в перший; а дитина зі зростом 130 см потрапить в останній інтервал, а не в третій.

З цих даних можна побудувати інтервальний варіаційний ряд.

У кожного інтервалу є нижня межа (х н), верхня межа (х в) та ширина інтервалу ( i).

Кордон інтервалу – це значення ознаки, що лежить межі двох інтервалів.

зростання дітей (см)	зростання дітей (см)			кількість дітей
більше 130

Якщо інтервал має верхню і нижню межу, він називається закритий інтервал. Якщо інтервал має лише нижню або тільки верхню межу, то це – відкритий інтервал.Відкритим може бути тільки перший або останній інтервал. У наведеному прикладі останній інтервал – відкритий.

Ширина інтервалу (i) - Різниця між верхнім і нижнім кордоном.

i = х н - х в

Ширина відкритого інтервалу приймається такою самою, як ширина сусіднього закритого інтервалу.

зростання дітей (см)		кількість дітей	Ширина інтервалу (i)
	для розрахунків 130 +20 = 150		20 (бо ширина сусіднього закритого інтервалу – 20)

Усі інтервальні ряди поділяються на інтервальні ряди з рівними інтервалами та інтервальні ряди з нерівними інтервалами . У інтервальних рядах із рівними інтервалами ширина всіх інтервалів однакова. В інтервальних рядах із нерівними інтервалами ширина інтервалів різна.

У прикладі - інтервальний ряд з нерівними інтервалами.

Якщо досліджувана випадкова величина є безперервною, то ранжування і угруповання значень, що спостерігаються, часто не дозволяють виділити характерні рисиваріювання її значень. Це пояснюється тим, що окремі значення випадкової величини можуть як завгодно мало відрізнятися один від одного і тому в сукупності даних даних однакові значення величини можуть зустрічатися рідко, а частоти варіантів мало відрізняються один від одного.

Недоцільно також побудова дискретного ряду для дискретної випадкової величини, число можливих значеньякої велике. У таких випадках слід будувати інтервальний варіаційний ряд розподілу.

Для побудови такого ряду весь інтервал варіювання значень випадкової величини, що спостерігаються, розбивають на ряд часткових інтервалів і підраховують частоту влучення значень величини в кожен частковий інтервал.

Інтервальним варіаційним рядом називають упорядковану сукупність інтервалів варіювання значень випадкової величини з відповідними частотами або відносними частотами попадань у кожен із них значень величини.

Для побудови інтервального ряду необхідно:

1. визначити величину часткових інтервалів;
2. визначити ширину інтервалів;
3. встановити для кожного інтервалу його верхню і нижню межі ;
4. згрупувати результати спостереження.

1 . Питання про вибір числа та ширини інтервалів угруповання доводиться вирішувати в кожному конкретному випадку виходячи з цілей дослідження, обсягу вибірки та ступеня варіювання ознаки у вибірці.

Приблизно кількість інтервалів k можна оцінити виходячи лише з обсягу вибірки n одним з наступних способів:

• за формулою Стержеса : k = 1 + 3,32 lg n ;
• з допомогою таблиці 1.

Таблиця 1

2 . Зазвичай кращі інтервали однакової ширини. Для визначення ширини інтервалів h обчислюють:

• розмах варіювання R - значень вибірки: R = x max - x min ,

де x max і x min - максимальна та мінімальна варіанти вибірки;

• ширину кожного з інтервалів h визначають за такою формулою: h = R/k .

3 . Нижня границя першого інтервалу x h1 вибирається так, щоб мінімальна варіанта вибірки x min потрапляла приблизно в середину цього інтервалу: x h1 = x min - 0,5 · h .

Проміжні інтервалиотримують додаючи до кінця попереднього інтервалу довжину часткового інтервалу h :

x hi = x hi-1 + h.

Побудова шкали інтервалів на основі обчислення меж інтервалів продовжується доти, доки величина x hi задовольняє співвідношення:

x hi< x max + 0,5·h .

4 . Відповідно до шкали інтервалів проводиться групування значень ознаки - для кожного часткового інтервалу обчислюється сума частот n i варіант, що потрапили в i го інтервалу. При цьому в інтервал включають значення випадкової величини, більші або рівні нижній межі та менші верхньої межі інтервалу.

Полігон та гістограма

Для наочності будують різні графіки статистичного розподілу.

За даними дискретного варіаційного ряду будують полігон частот чи відносних частот.

Полігоном частот x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для побудови полігону частот на осі абсцис відкладають варіанти x i , але в осі ординат - відповідні їм частоти n i . Крапки ( x i ; n i ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон частот (Рис. 1).

Полігоном відносних частотназивають ламану, відрізки якої з'єднують точки ( x 1 ; W 1 ), (x 2 ; W 2 ), ..., (x k ; W k ). Для побудови багатокутника відносних частот на осі абсцис відкладають параметри x i , але в осі ординат - відповідні їм відносні частоти W i . Крапки ( x i ; W i ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон відносних частот.

В разі безперервної ознаки доцільно будувати гістограму .

Гістограмою частотназивають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h , а висоти дорівнюють n i / h (Щільність частоти).

Для побудови гістограми частот осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані n i / h .