Поняття багаточлена
Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:
тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.
Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.
Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадокбагаточлена, він складається з одного члена.
Число нуль - це нульовий багаточлен.
Стандартний вид багаточлену
Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.
Приклад багаточлена у стандартному вигляді:
тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.
Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:
тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Потрібно їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:
Ще приклад:
Цей багаточлен наведено стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:
Ступінь багаточлена
Що таке ступінь багаточлену?
Ступінь багаточлена визначення:
Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного виду.
приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.
Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступінь має перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а його ступінь дорівнює 9-ти.
Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.
Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.
На даному уроці ми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного вигляду та обчислення чисельного значення при заданих змінних змінах. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різноманітних завдань.
Тема:Багаточлени. Арифметичні операції над одночленами
Урок:Приведення багаточлена до стандартного вигляду. Типові завдання
Нагадаємо основне визначення: багаточлен – це сума одночленів. Кожен одночлен, що входить до складу багаточлена як доданок називається його членом. Наприклад:
Двучлен;
Багаточлен;
Двучлен;
Оскільки багаточлен складається з одночленів, то перша дія з багаточленом слід звідси – треба привести усі одночлени до стандартного вигляду. Нагадаємо, що для цього потрібно перемножити всі чисельні множники – отримати чисельний коефіцієнт, та перемножити відповідні ступені – отримати літерну частину. Крім того, звернемо увагу на теорему про добуток ступенів: при множенні ступенів показники їх складаються.
Розглянемо важливу операцію- Приведення багаточлена до стандартного виду. Приклад:
Коментар: щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, потрібно привести до стандартного вигляду всі одночлени, що входять до його складу, після цього, якщо є подібні одночлени – а це одночлени з однаковою літерною частиною – виконати дії з ними.
Отже, ми розглянули перше типове завдання – приведення багаточлена до стандартного вигляду.
Наступна типове завдання- обчислення конкретного значення многочлена при заданих чисельних значеннях змінних, що входять до нього. Продовжимо розглядати попередній приклад і поставимо значення змінних:
Коментар: нагадаємо, що одиниця у будь-якому натуральному ступені дорівнює одиниці, а нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулю, крім того, нагадаємо, що при множенні будь-якого числа на нуль отримуємо нуль.
Розглянемо ряд прикладів на типові операції приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення його значення:
Приклад 1 – привести до стандартного вигляду:
Коментар: перша дія - наводимо одночлени до стандартного вигляду, потрібно навести перший, другий та шостий; друга дія - наводимо подібні члени, тобто виконуємо над ними задані арифметичні дії: перший складаємо з п'ятим, другий з третім, решту переписуємо без змін, тому що у них немає подібних.
Приклад 2 - обчислити значення многочлена прикладу 1 при заданих значеннях змінних:
Коментар: при обчисленні слід згадати, що одиниця в будь-якій натуральній мірі це одиниця, при утрудненні обчислень ступенів двійки можна скористатися таблицею ступенів.
Приклад 3 - замість зірочки поставити такий одночлен, щоб результат не містив змінної:
Коментар: незалежно від поставленого завдання, перша дія завжди однакова – привести багаточлен до стандартного вигляду. У нашому прикладі ця дія зводиться до приведення таких членів. Після цього слід ще раз уважно прочитати умову і подумати, яким чином ми можемо позбутися одночлена. очевидно, що для цього потрібно до нього додати такий самий одночлен, але з протилежним знаком- . далі замінюємо зірочку цим одночленом і переконуємось у правильності нашого рішення.
У вивченні теми про багаточлени окремо варто згадати, що багаточлени зустрічаються як стандартного, і не стандартного виду. При цьому багаточлен нестандартного вигляду можна привести до стандартного вигляду. Власне, це питання і розбиратимемо в цій статті. Закріпимо роз'яснення прикладами з докладним покроковим описом.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сенс приведення багаточлена до стандартного вигляду
Трохи заглибимося в поняття, дія – «приведення багаточлена до стандартного вигляду».
Багаточлени, подібно до будь-яких інших виразів, можна тотожно перетворювати. Як підсумок, ми отримуємо у разі висловлювання, які тотожно рівні вихідному выражению.
Визначення 1
Привести багаточлен до стандартного вигляду– означає заміну вихідного многочлена на рівний йому багаточлен стандартного виду, отриманий вихідного многочлена з допомогою тотожних перетворень.
Спосіб приведення багаточлена до стандартного вигляду
Поміркуємо про те, які саме тотожні перетворення приведуть многочлен до стандартного виду.
Визначення 2
Згідно з визначенням, кожен багаточлен стандартного виду складається з одночленів стандартного виду і не має у своєму складі таких членів. Багаточлен ж нестандартного виду може включати одночлени нестандартного виду і подібні члени. Зі сказаного закономірно виводиться правило, що говорить про те, як привести багаточлен до стандартного вигляду:
- в першу чергу до стандартного виду наводяться одночлени, що становлять заданий багаточлен;
- потім проводиться приведення таких членів.
Приклади та рішення
Докладно розберемо приклади, в яких наведемо багаточлен до стандартного вигляду. Дотримуватимемося правила, виведеного вище.
Зазначимо, що іноді члени багаточлена у вихідному стані вже мають стандартний вигляд, і залишається лише навести таких членів. Трапляється, що після першого кроку дій не виявляється подібних членів, тоді другий крок пропускаємо. У загальних випадкахнеобхідно вчиняти обидві дії із правила вище.
Приклад 1
Задані багаточлени:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,
0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 ,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Необхідно навести їх до стандартного вигляду.
Рішення
розглянемо спочатку багаточлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : його члени мають стандартний вигляд, подібні члени відсутні, отже багаточлен заданий у стандартному вигляді, і жодних додаткових дій не потрібно.
Тепер розберемо многочлен 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 . До його складу входять нестандартні одночлени: 2 · a 3 · 0 , 6 і − b · a · b 4 · b 5 , тобто. маємо необхідність привести багаточлен до стандартного вигляду, для чого першою дією перетворимо одночлени на стандартний вигляд:
2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , таким чином отримуємо наступний багаточлен:
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 - a · b 10 .
В отриманому багаточлені всі члени – стандартні, подібних членів немає, отже наші дії щодо приведення багаточлена до стандартного вигляду завершені.
Розглянемо третій заданий багаточлен: 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8
Наведемо його члени до стандартного вигляду та отримаємо:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Ми, що у складі многочлена є такі члени, зробимо приведення таких членов:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = = 2 3 7 · x 2 - 1 6 7 · x 2 - 4 7 · x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 0 - x · y + 1 = x · y + 1
Таким чином, заданий багаточлен 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 набув стандартного вигляду − x · y + 1 .
Відповідь:
5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1- багаточлен заданий стандартним;
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 - a · b 10;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
У багатьох завданнях дія приведення багаточлена до стандартного виду – проміжна під час пошуку відповіді на задане питання. Розглянемо такий приклад.
Приклад 2
Заданий багаточлен 11-2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 · z 2 + z 3 . Необхідно привести його до стандартного вигляду, вказати його ступінь і розташувати члени заданого многочлена по спадних ступенях змінної.
Рішення
Наведемо члени заданого багаточлена до стандартного виду:
11-2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Наступним крокомнаведемо такі члени:
11-2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 · z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2 = = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2
Ми отримали багаточлен стандартного виду, що дає нам можливість позначити ступінь багаточлена (рівна найбільшою мірою його одночленів). Очевидно, що ступінь, що шукається, дорівнює 5 .
Залишається тільки розмістити члени по спадних ступенях змінних. З цією метою ми просто переставимо місцями члени в отриманому багаточлен стандартного виду з урахуванням вимоги. Таким чином, отримаємо:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 .
Відповідь:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 , 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 , при цьому ступінь многочлена - 5; в результаті розташування членів багаточлена по спадних ступенях змінних многочлен набуде вигляду: z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Будь-який десятковий дріб може бути записаний у вигляді a, bc ... · 10 k. Такі записи часто зустрічаються у наукових розрахунках. Вважається, що працювати з ними ще зручніше, ніж зі звичайним десятковим записом.
Сьогодні ми навчимося приводити до такого виду будь-який десятковий дріб. Заодно переконаємося, що такий запис – це вже «перебір», і жодних переваг у більшості випадків він не дає.
Для початку – невелике повторення. Як відомо, десяткові дроби можна множити як між собою, а й у звичайні цілі числа (див. урок « »). Особливий інтерес становить множення на рівні десятки. Погляньте:
Завдання. Знайдіть значення виразу: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.
Множення виконується за стандартною схемою, з виділенням значущої частини кожного множника. Коротко опишемо ці кроки:
Для першого виразу: 25,81 · 10.
- Значні частини: 25,81 → 2581 (зсув праворуч на 2 цифри); 10 → 1 (зсув ліворуч на 1 цифру);
- Множимо: 2581 · 1 = 2581;
- Сумарне зрушення: праворуч на 2 − 1 = 1 цифру. Виконуємо зворотний зсув: 2581 → 258,1.
Для другого виразу: 0,00005 · 1000.
- Значні частини: 0,00005 → 5 (зсув праворуч на 5 цифр); 1000 → 1 (зсув ліворуч на 3 цифри);
- Множимо: 5 · 1 = 5;
- Сумарне зрушення: праворуч на 5 − 3 = 2 цифри. Виконуємо зворотний зсув: 5 → ,05 = 0,05.
Останній вираз: 8,0034 · 100.
- Значні частини: 8,0034 → 80034 (зрушення вправо на 4 цифри); 100 → 1 (зсув ліворуч на 2 цифри);
- Множимо: 80 034 · 1 = 80 034;
- Сумарний зсув: праворуч на 4 − 2 = 2 цифри. Виконуємо зворотний зсув: 80034 → 800,34.
Давайте трохи перепишемо вихідні приклади і порівняємо їх із відповідями:
- 25,81 · 101 = 258,1;
- 0,00005 · 103 = 0,05;
- 8,0034 · 102 = 800,34.
Що відбувається? Виявляється, множення десяткового дробу на число 10 k (де k > 0) рівносильне зсуву десяткової точки вправо k розрядів. Саме вправо - число збільшується.
Аналогічно, множення на 10 -k (де k> 0) рівносильне поділу на 10 k, тобто. зсуву на k розрядів вліво, що призводить до зменшення числа. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу: 2,73 · 10; 25,008: 10; 1,447: 100;
У всіх виразах друге число – ступінь десятки, тому маємо:
- 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
- 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
- 1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.
Звідси випливає, що той самий десятковий дріб можна записати нескінченним числом способів. Наприклад: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = ...
Стандартний вид числа - це вирази виду a, bc ... · 10 k, де a, b, c, ... - Звичайні цифри, причому a ≠ 0. Число k - ціле.
- 8,25 · 104 = 82500;
- 3,6 · 10 −2 = 0,036;
- 1,075 · 10 6 = 1075000;
- 9,8 · 10 -6 = 0,0000098.
Для кожного числа, записаного у стандартному вигляді, поруч зазначений відповідний десятковий дріб.
Перехід до стандартного вигляду
Алгоритм переходу від звичайного десяткового дробу до стандартного вигляду дуже простий. Але перед тим, як його використовувати, обов'язково повторіть, що таке значну частину числа (див. урок «Умноження та розподіл десяткових дробів»). Отже, алгоритм:
- Виписати значну частину вихідного числа та поставити після першої значущої цифри десяткову точку;
- Знайти зрушення, тобто утворився. скільки розрядів змістилася десяткова точка проти вихідною дробом. Нехай це буде число k;
- Порівняти значну частину, яку ми виписали першому кроці, з вихідним числом. Якщо значна частина (з урахуванням десяткової точки) менша від вихідного числа, дописати множник 10 k . Якщо більше – дописати множник 10 −k. Цей вислів буде стандартним видом.
Завдання. Запишіть число у стандартному вигляді:
- 9280;
- 125,05;
- 0,0081;
- 17 000 000;
- 1,00005.
- 9280 → 9,28. Зсув десяткової точки на 3 розряди вліво, число зменшилося (очевидно, 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
- 125,05 → 1,2505. Зсув - на 2 розряди вліво, число зменшилося (1,2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
- 0,0081 → 8,1. На цей раз зрушення відбулося праворуч на 3 розряди, тому число збільшилося (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10 -3;
- 17000000 → 1,7. Зрушення - на 7 розрядів ліворуч, число поменшало. Результат: 1,7 · 10 7 ;
- 1,00005 → 1,00005. Зсуву немає, тому k = 0. Результат: 1,00005 · 100 (буває і таке!).
Як бачите, у стандартному вигляді видаються не лише десяткові дроби, а й звичайні цілі числа. Наприклад: 812 000 = 8,12 · 10 5; 6500000 = 6,5 · 10 6 .
Коли застосовувати стандартний запис
За ідеєю, стандартний запис числа має зробити дробові обчислення ще простіше. Але на практиці помітний виграш виходить лише за виконання операції порівняння. Тому що порівняння чисел, записаних у стандартному вигляді, виконується так:
- Порівняти ступені десятки. Найбільшим буде те число, у якого цей ступінь більший;
- Якщо рівні однакові, починаємо порівнювати значущі цифри- як у звичайних десяткових дробах. Порівняння йде зліва направо, від старшого розряду до молодшого. Найбільшим буде число, у якому черговий розряд виявиться більше;
- Якщо ступеня десятки рівні, а всі розряди збігаються, самі дроби теж рівні.
Зрозуміло, все це правильно тільки для позитивних чисел. Для негативних чисел всі символи змінюються на протилежні.
Чудова властивість дробів, записаних у стандартному вигляді, полягає в тому, що до їхньої частини можна приписувати будь-яку кількість нулів - як зліва, так і праворуч. Аналогічне правило існує для інших десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»), але є свої обмеження.
Завдання. Порівняйте числа:
- 8,0382 · 10 6 та 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 і 2,5 · 10 -4;
- 2,215 · 10 11 та 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 та −3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 та −1,001498 · 10 −8 .
- 8,0382 · 10 6 та 1,099 · 10 25 . Обидва числа позитивні, причому у першого ступінь десятки менше, ніж у другого (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 та 2,5 · 10 -4 . Числа знову позитивні, причому ступінь десятки першого з них більший, ніж у другого (3 > −4). Отже, 1,76 · 103> 2,5 · 10-4;
- 2,215 · 10 11 та 2,64 · 10 11 . Числа позитивні, ступеня десятки збігаються. Дивимося на значну частину: перші цифри також збігаються (2 = 2). Різниця починається на другій цифрі: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 та −3,28 · 10 4 . Це негативні числа. У першого ступінь десятки менший (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 та −1,001498 · 10 −8 . Знов негативні числа, причому ступеня десятки збігаються. Також збігаються і перші 4 розряди значущої частини (1001 = 1001). На 5 розряді починається відмінність, а саме: 5 > 4. Оскільки вихідні числа є негативними, укладаємо: −1,0015 · 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .
Ми зазначили, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. У цій статті ми розберемося, що називають приведенням одночлена до стандартного вигляду, які дії дозволяють здійснити цей процес, та розглянемо рішення прикладів із докладними поясненнями.
Навігація на сторінці.
Що означає привести одночлен до стандартного вигляду?
З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного вигляду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.
Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він набув стандартного вигляду.
Як привести одночлен до стандартного вигляду?
Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.
Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?
Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:
- По-перше, виконується угруповання числових множників, а також однакових змінних та їх ступенів;
- По-друге, обчислюється добуток чисел і застосовується .
Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.
Приклади, рішення
Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пункту під час вирішення прикладів.
приклад.
Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.
Рішення.
Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x . Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6, а правило множення ступенів з однаковими основами дозволяє вираз у других дужках уявити як x1+2=x3. У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .
Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.
Відповідь:
3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .
Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.
Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.
приклад.
Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.
Рішення.
Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо 
. Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, що дорівнює −1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .
