3. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗИ ПРО РІВНІСТЬ СЕРЕДНІХ
Використовується для перевірки пропозиції про те, що середнє значення двох показників, представлених вибірками, значно різняться. Існує три різновиди критерію: один – для пов'язаних вибірок, і два для незв'язних вибірок (з однаковими та різними дисперсіями). Якщо вибірки не зв'язкові, попередньо потрібно перевірити гіпотезу про рівність дисперсій, щоб визначити, який із критеріїв використовувати. Так само як і у разі порівняння дисперсій є 2 способи розв'язання задачі, які розглянемо на прикладі.
ПРИКЛАД 3. є дані про кількість продажів товару у двох містах. Перевірити лише на рівні значимості 0,01 статистичну гіпотезу у тому, що середня кількість продажів товару містах по-різному.
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
Використовуємо пакет "Аналіз даних". Залежно від типу критерію вибирається один із трьох: "Парний двовибірковий t-тест для середніх" - для зв'язкових вибірок, і "Двовибіркових t-тест з однаковими дисперсіями" або "Двовибіркових t-тест з різними дисперсіями" - для незв'язних вибірок. Викличте тест з однаковими дисперсіями, у вікні, що відкрилося в полях «Інтервал змінної 1» і «Інтервал змінної 2» вводять посилання на дані (А1-N1 і А2-L2, відповідно), якщо є підписи даних, то ставлять прапорець у напису «Мітки »(у нас їх немає, тому прапорець не ставиться). Далі вводять рівень значущості у полі "Альфа" - 0,01. Поле «Гіпотетична середня різницю» залишають порожніми. У розділі «Параметри виводу» ставлять мітку біля «Вихідний інтервал» і помістивши курсор у полі навпроти напису, клацають лівою кнопкою в комірці В7. висновок результату буде здійснюватися починаючи з цього осередку. Натиснувши на "ОК", з'являється таблиця результату. Посуньте межу між стовпцями В і С, С і D, D і Е збільшивши ширину стовпців В, С і D так, щоб уміщалися всі написи. Процедура виводить основні характеристики вибірки, t-статистику, критичні значенняцих статистик та критичні рівнізначимості «Р(Т<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
Двовибірковий t-тест з однаковими дисперсіями |
||
| Середнє | 23,57142857 | 26,41666667 |
| Дисперсія | 17,34065934 | 15,35606061 |
| Спостереження | 14 | 12 |
| Об'єднана дисперсія | 16,43105159 | |
| Гіпотетична різниця середніх | 0 | |
| df | 24 | |
| t-статистика | -1,784242592 | |
| P(T<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t критичне одностороннє | 2,492159469 | |
| P(T<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t критичне двостороннє | 2,796939498 | |
Лабораторна робота №3
ПАРНА ЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ
Мета: Освоїти методи побудови лінійного рівняння парної регресії за допомогою ЕОМ, навчитися отримувати та аналізувати основні характеристики регресійного рівняння.
Розглянемо методику побудови регресійного рівняння з прикладу.
ПРИКЛАД. Дано вибірки факторів х i і у i . За цими вибірками знайти рівняння лінійної регресії ỹ = ах + b. Знайти коефіцієнт парної кореляції. Перевірити лише на рівні значимості а = 0,05 регресійну модель адекватність.
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
Для знаходження коефіцієнтів a і b рівняння регресії служать функції НАКЛОН і ВІДРІЗОК категорії «Статистичні». Вводимо в А5 підпис «а=» а в сусідній осередок В5 вводимо функцію НАКЛОН, ставимо курсор у поле «Изв_знач_у» задаємо посилання на осередки В2-K2, обводячи їх мишею. Результат 0,14303. Знайдемо тепер коефіцієнт b. Вводимо в А6 підпис «b=», а В6 функцію ВІДРІЗОК з тими ж параметрами, що і функції НАКЛОН. Результат 5,976364. отже, рівняння лінійної регресії є у=0,14303х+5,976364.
Побудуємо графік рівняння регресії. Для цього в третій рядок таблиці введемо значення функції у заданих точках Х (перший рядок) - у (х 1). Для отримання цих значень використовують функцію ТЕНДЕНЦІЯ категорії «Статистичні». Вводимо А3 підпис «Y(X) і, помістивши курсор в В3, викликаємо функцію ТЕНДЕНЦІЯ. У полях «Ізв_знач_у» та «Ізв_знач_х» даємо посилання на В2-K2 і В1-K1. у полі «Нов_знач_х» також вводимо посилання на В1-K1. у полі «Константа» вводять 1, якщо рівняння регресії має вигляд y=ax+b, і 0, якщо у=ах. У разі вводимо одиницю. Функція ТЕНДЕНЦІЯ є масивом, тому виведення всіх її значень виділяємо область В3-K3 і натискаємо F2 і Ctrl+Shift+Enter. Результат – значення рівняння регресії у заданих точках. Будуємо графік. Ставимо курсор у будь-яку вільну клітинку, викликаємо майстер діаграм, вибираємо категорію «Точена», вид графіка – лінія без крапок (у нижньому правому кутку), натискаємо «Далі», у полі «Діагноз» вводимо посилання на В3-K3. переходимо на закладку "Ряд" і в полі "Значення Х" вводимо посилання на В1-K1, натискаємо "Готово". Результат – пряма лінія регресії. Подивимося, як розрізняються графіки дослідних даних та рівняння регресії. Для цього ставимо курсор у будь-яке вільне вічко, викликаємо майстер діаграм, категорія «Графік», вид графіка – ламана лінія з точками (друга зверху ліва), натискаємо «Далі», в поле «Діапазон» вводимо посилання на другий і третій рядки В2- K3. переходимо на закладку "Ряд" і в полі "Підписи осі Х" вводимо посилання на В1-K1, натискаємо "Готово". Результат – дві лінії (Синя – вихідні, червона – рівняння регресії). Видно, що лінії мало різняться між собою.
| а= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
Для обчислення коефіцієнта кореляції r xy служить функція ПІРСОН. Розміщуємо графік так, щоб вони розташовувалися вище 25 рядка, і в А25 робимо підпис «Кореляція», В25 викликаємо функцію ПІРСОН, в полях якої «Масив 2» вводимо посилання на вихідні дані В1-K1 і В2-K2. результат 0,993821. коефіцієнт детермінації R xy – це квадрат коефіцієнта кореляції r xy. У А26 робимо підпис «Детермінація», а У26 – формулу «=В25*В25». Результат 0,265207.
Однак, у Excel існує одна функція, яка розраховує всі основні характеристики лінійної регресії. Це функція Лінейн. Ставимо курсор у В28 і викликаємо функцію Лінейн, категорії «Статистичні». У полях «Ізв_знач_у» та «Ізв_знач_х» даємо посилання на В2-K2 і В1-K1. поле «Константа» має той самий сенс, що й функції ТЕНДЕНЦІЯ, у нас вона дорівнює 1. поле «Стат» має містити 1, якщо потрібно вивести повну статистику про регресію. У нашому випадку ставимо туди одиницю. Функція повертає масив розмірів 2 стовпці та 5 рядків. Після введення виділяємо мишею комірку В28-С32 і натискаємо F2 та Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблиця значень, числа в якій мають такий зміст:
Коефіцієнт а | Коефіцієнт b |
| Стандартна помилка m o | Стандартна помилка m h |
| Коефіцієнт детермінації R xy | Середньоквадратичне відхилення у |
| F – статистика | Ступені свободи n-2 |
| Регресійна сума квадратів S n 2 | Залишкова сума квадратів S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
Аналіз результату: у першому рядку – коефіцієнти рівняння регресії, порівняйте їх із розрахованими функціями НАКЛОН і ВІДРІЗОК. Другий рядок – стандартні помилки коефіцієнтів. Якщо одна з них за модулем більше, ніж сам коефіцієнт, то коефіцієнт вважається нульовим. p align="justify"> Коефіцієнт детермінації характеризує якість зв'язку між факторами. Отримане значення 0,070335 говорить про дуже добрий зв'язок факторів, F – статистика перевіряє гіпотезу про адекватність регресійної моделі. Дане число потрібно порівняти з критичним значенням, для його отримання вводимо в Е33 підпис "F-критичне", а в F33 функцію FРАСПОБР, аргументами якої вводимо відповідно "0,05" (рівень значущості), "1" (кількість факторів Х) і «8» (ступеня свободи).
| F-критичне | 5,317655 |
Видно, що F-статистика менша, ніж F-критичне, отже, регресійна модель не адекватна. В останньому рядку наведено регресійну суму квадратів 
та залишкові суми квадратів . Важливо, щоб регресійна сума (пояснена регресією) була набагато більшою від залишкової (не пояснена регресією, викликана випадковими факторами). У нашому випадку ця умова не виконується, що говорить про погану регресію.
Висновок: У ході роботи я освоїв методи побудови лінійного рівняння парної регресії за допомогою ЕОМ, навчився отримувати та аналізувати основні характеристики регресійного рівняння.
Лабораторна робота №4
НЕЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ
Мета: освоїти методи побудови основних видів нелінійних рівнянь парної регресії за допомогою за допомогою ЕОМ (внутрішньо лінійні моделі), навчитися отримувати та аналізувати показники якості регресійних рівнянь.
Розглянемо випадок, коли нелінійні моделі за допомогою перетворення даних можна звести до лінійних (внутрішньо лінійних моделей).
ПРИКЛАД. Побудувати рівняння регресії у = f(х) для вибірки х п у п (f = 1,2, ..., 10). Як f(х) розглянути чотири типи функцій – лінійна, статечна, показова та гіперболу:
у = Ах + В; у = Ах; у = Ае Вх; у = А/г + Ст.
Необхідно знайти їх коефіцієнти А і В і порівнявши показники якості, вибрати функцію, яка найкраще описує залежність.
| Прибуток Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| Прибуток X | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
Введемо дані у таблицю разом із підписами (комірки A1-K2). Залишимо вільними три рядки нижче за таблицю для введення перетворених даних, виділимо перші п'ять рядків, провівши по лівій сірій межі за числами від 1 до 5 і вибрати будь-який колір (світлий - жовтий або рожевий) розфарбувати фон осередків. Далі, починаючи з A6, виводимо параметри лінійної регресії. Для цього в осередок A6 робимо підпис «Лінійний» і в сусідній осередок B6 вводимо функцію Лінейн. У полях «Изв_знач_x» даємо посилання на B2-K2 і B1-K1, наступні два поля набувають значення одиниці. Далі обводимо область нижче 5 рядків і лівіше 2 рядки і натискаємо F2 і Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблиця з параметрами регресії, у тому числі найбільший інтерес представляє коефіцієнт детермінації у першому стовпці третій зверху. У разі він дорівнює R 1 = 0,951262. Значення F-критерію, що дозволяє перевірити адекватність моделі F 1 = 156,1439
(четвертий рядок, перший стовпець). Рівняння регресії дорівнює
y = 12,96 x +6,18 (коефіцієнти a та b наведені в осередках B6 та C6).
| Лінійна | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
Визначимо аналогічні характеристики інших регресій і в результаті порівняння коефіцієнтів детермінації знайдемо кращу регресійну модель. Розглянемо гіперболічну регресію. Для її отримання конвертуємо дані. У третьому рядку в комірку A3 введемо підпис «1/x», а в комірку B3 введемо формулу «=1/B2». Розтягнемо автозаповненням цей осередок на область B3-K3. Отримаємо характеристики регресійної моделі. У осередок А12 введемо підпис «Гіперболу», а в сусідню функцію Лінейн. У полях «Ізв_знач_y» та «Ізв_знач_x2 даємо посилання на B1-K1 і перетворені дані аргументу x – B3-K3, наступні два поля набувають значення одиниці. Далі обводимо область нижче 5 рядків і ліворуч у 2 рядки і натискаємо F2 та Ctrl+Shift+Enter. Отримуємо таблицю параметрів регресії. Коефіцієнт детермінації в даному випадкудорівнює R 2 = 0,475661, що набагато гірше, ніж у разі лінійної регресії. F-статистика дорівнює F2 = 7,257293. Рівняння регресії дорівнює y = -6,25453 x 18,96772.
| Гіперболу | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
Розглянемо експоненційну регресію. Для її лінеаризації отримуємо рівняння , де = ln y, = b, = ln a. Видно, що потрібно зробити перетворення даних – y замінити на ln y. Ставимо курсор у комірку А4 і робимо заголовок «ln y». Ставимо курсор у В4 та вводимо формулу LN (категорія «Математичні»). Як аргумент робимо посилання на В1. Автозаповненням розповсюджуємо формулу на четвертий рядок на комірки В4-K4. Далі в осередку F6 задаємо підпис «Екпонента» і в сусідній G6 вводимо функцію ЛІНІЙН, аргументами якої будуть перетворені дані В4-K4 (в поле «Изв_знач_ y»), а решта поля такі ж як і для випадку лінійної регресії (B2-K2, 1, 1). Далі обводимо осередки G6-H10 і натискаємо F2 та Ctrl+Shift+Enter. Результат R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304, що говорить про дуже хорошу регресію. Для знаходження коефіцієнтів рівняння регресії b = ã; ставимо курсор в J6 і робимо заголовок «а=», а сусідній К6 формулу «=ЕХР(Н6)», в J7 даємо заголовок «b=», а К7 формулу «=G6». Рівняння регресії є y = 0,511707 e 6,197909 x .
| експонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
Розглянемо статечну регресію. Для її лінеаризації отримуємо рівняння ỹ = ã, де ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Видно, що треба зробити перетворення даних - y замінити на ln y x замінити на ln x. Рядок з ln y у нас вже є. Перетворимо змінні х. У комірку А5 даємо підпис «ln x», а В5 і вводимо формулу LN (категорія «Математичні»). Як аргумент робимо посилання В2. Автозаповнення розповсюджуємо формулу на п'ятий рядок на осередки B5-K5. Далі в осередку F12 задаємо підпис «Степеневий» і в сусідньому G12 вводимо функцію ЛІНІЙН, аргументами якої будуть перетворені дані B4-K4 (в поле «Ізв_знач_у»), і B5-K5 (в поле «Ізв_знач_х»), решта поля – одиниці. Далі звільнимо комірки G12-H16 і натискаємо F2 і Ctrl+Shift+Enter. Результат R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117, що говорить про хорошу регресію. Для знаходження коефіцієнтів рівняння регресії b = ã; ставимо курсор у J12 і робимо заголовок «а=», а сусідній К12 формулу «=ЕХР(Н12)», в J13 даємо заголовок «b=», а К13 формулу «=G12». Рівняння регресії є у = 4,90767/х + 7,341268.
| Ступінь | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
Перевіримо, чи всі рівняння правильно описують дані. Для цього потрібно порівняти F-статистики кожного критерію із критичним значенням. Для його отримання вводимо в А21 підпис «F-критичне», а В21 функцію FРАСПОБР, аргументами якої вводимо відповідно «0,05» (рівень значущості), «1» (кількість факторів Х у рядку «Рівень значимості 1») і « 8» (ступінь свободи 2 = n – 2). Результат 5,317655. F – критичне більше F – статистики означає модель адекватна. Також адекватні та інші регресії. Для того, щоб визначити, яка модель якнайкраще описує дані, порівняємо індекси детермінації для кожної моделі R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Найбільшим є R4 = 0,997716. Отже, досвідчені дані краще описувати у = 4,90767/х+ 7,341268.
Висновок: У ході роботи я освоїв методи побудови основних видів нелінійних рівнянь парної регресії за допомогою за допомогою ЕОМ (внутрішньо лінійні моделі), навчився отримувати та аналізувати показники якості регресійних рівнянь.
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| Лінійна | 12,96 | -6,18 | експонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| Гіперболу | -6,25453 | 18,96772 | Ступінь | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - критичне | 5,317655 | |||||||||
Лабораторна робота №5
ПОЛІНОМИНАЛЬНА РЕГРЕСІЯ
Ціль: За досвідченими даними побудувати рівняння регресії виду у = ах 2 + bх + с.
ХІД РОБОТИ:
Розглядається залежність урожайності деякої культури у i від кількості внесених у ґрунт мінеральних добрив х i . Передбачається, що ця квадратична залежність. Необхідно знайти рівняння регресії виду = ах 2 + bx + c.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Введемо ці дані в електронну таблицю разом із підписами до осередків А1-K2. Побудуємо графік. Для цього обведемо дані Y (комірки В2-K2), викликаємо майстер діаграм, вибираємо тип діаграми "Графік", вид діаграми - графік з точками (другий зверху лівий), натискаємо "Далі", переходимо на закладку "Ряд" і в полі " Підписи осі Х» робимо посилання на В2-K2, натискаємо «Готово». Графік можна наблизити до полінома 2 ступеня у = ах 2 + bх + с. Для знаходження коефіцієнтів a, b, c необхідно вирішити систему рівнянь:
Розрахуємо суми. Для цього в комірку А3 вводимо підпис «Х^2», а В3 вводимо формулу = В1 * В1 і Автозаповнення переносимо її на весь рядок В3-K3. У комірку А4 вводимо підпис «Х^3», а В4 формулу «=В1*В3» і Автозаповнення переносимо її на весь рядок В4-K4. У комірку А5 вводимо «Х^4», а В5 формулу «=В4*В1», автозаповнюємо рядок. У комірку А6 вводимо «Х*Y», а В8 формулу «=В2*В1», автозаповнюємо рядок. У комірку А7 вводимо «Х^2*Y», а В9 формулу «=В3*В2», автозаповнюємо рядок. Тепер рахуємо суми. Виділяємо іншим кольором стовпець L, клацнувши по заголовку та вибравши колір. У комірку L1 поміщаємо курсор і клацнувши по кнопці автосуми зі значком ∑, обчислюємо суму першого рядка. Автозаповнення переносимо формулу на комірки L1-710.
Вирішуємо тепер систему рівнянь. Для цього вводимо основну матрицю системи. У комірку А13 вводимо підпис «А=», а в комірки матриці В13-D15 вводимо посилання, відображені в таблиці
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Вводимо також праві частини системи рівнянь. У G13 вводимо підпис «В=», а Н13-Н15 вводимо, відповідно посилання на комірки «=L7», «=L6», «=L2». Вирішуємо систему матричним способом. З вищої математики відомо, що рішення дорівнює А -1 В. Знаходимо зворотну матрицю. Для цього в осередок J13 вводимо підпис "А обр." і, поставивши курсор K13 задаємо формулу МОБР (категорія «Математичні»). Як аргумент «Масив» даємо посилання на комірки В13: D15. Результатом також має бути матриця розміром 4×4. Для її отримання обводимо осередки K13-М15 мишею, виділяючи їх та натискаємо F2 та Ctrl+Shift+Enter. Результат - матриця А-1. Знайдемо тепер добуток цієї матриці на стовпець В (осередки Н13-Н15). Вводимо в комірку А18 підпис «Коефіцієнти» і В18 задаємо функцію МУМНОЖ (категорія «Математичні»). Аргументами функції "Масив 1" служить посилання на матрицю А -1 (комірки K13-М15), а в полі "Масив 2" даємо посилання на стовпець В (комірки Н13-Н16). Далі виділяємо В18-В20 і натискаємо F2 та Ctrl+Shift+Enter. Масив, що вийшов - коефіцієнти рівняння регресії a, b, c. В результаті отримуємо рівняння регресії виду: у = 1,201082х2 - 5,619177х + 78,48095.
Побудуємо графіки вихідних даних та отриманих на основі рівняння регресії. Для цього в комірку А8 вводимо підпис «Регресія» і в В8 вводимо формулу = $ $ 18 * В3 + $ $ 19 * В1 + $ $ 20». Автозаповнення переносимо формулу в комірки В8-K8. Для побудови графіка виділяємо комірки В8-K8 і, утримуючи клавішу Ctrl, виділяємо також комірки В2-М2. Викликаємо майстри діаграм, вибираємо тип діаграми «Графік», вид діаграми – графік з точками (другий зверху лівий), натискаємо «Далі», переходимо на закладку «Ряд» і в полі «Підписи осі Х» робимо посилання на В2-М2, натискаємо "Готово". Видно, що криві майже збігаються.
ВИСНОВОК: у процесі роботи я за досвідченими даними навчився будувати рівняння регресії виду у = ах 2 + bх + с.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Регрес. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Зр. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Коефіц. | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
5 листопада 2012 р. 5 листопада 2012 р. 5 листопада 2012 р. 5 листопада 2012 р. Лекція 6. Порівняння двох вибірок 6-1. Гіпотеза про рівність середніх. Парні вибірки 6-2.Довірчий інтервал для різниці середніх. Парні вибірки 6-3. Гіпотеза про рівність дисперсії 6-4. Гіпотеза про рівність часток 6-5. Довірчий інтервал для різниці часток
2 Іванов О.В., 2005 У цій лекції… У попередній лекції ми перевіряли гіпотезу про рівність середніх двох генеральних сукупностей та побудували довірчий інтервалдля різниці середніх для незалежних вибірок. Тепер ми розглянемо критерій перевірки гіпотези про рівність середніх та побудуємо довірчий інтервал для різниці середніх у разі парних (залежних) вибірок. Потім у секції 6-3 перевірятиметься гіпотеза про рівність дисперсій, у секції 6-4 – гіпотеза про рівність часток. На закінчення ми побудуємо довірчий інтервал для різниці часток.
5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р. Гіпотеза про рівність середніх. Парні вибірки Постановка проблеми Гіпотези та статистика Послідовність дій
4 Іванов О.В., 2005 Парні вибірки. Опис проблеми Що ми маємо 1. Дві прості випадкові вибірки, отримані із двох генеральних сукупностей. Вибірки є парними (залежними). 2. Обидві вибірки мають обсяг n 30. Якщо ні, то обидві вибірки взято з нормально розподілених генеральних сукупностей. Що ми хочемо Перевірити гіпотезу про різницю середніх двох генеральних сукупностей:
5 Іванов О.В., 2005 Статистика для парних вибірок Для перевірки гіпотези використовується статистика: де - різницю між двома значеннями в одній парі - генеральне середнє для парних різниць - вибіркове середнє для парних різниць - стандартне відхиленнярізниць для вибірки - кількість пар
6 Іванов О.В., 2005 Приклад. Тренінг студентів Група з 15 студентів пройшла тест до тренінгу та після. Результати тесту у таблиці. Перевіримо гіпотезу для парних вибірок відсутність впливу тренінгу підготовку студентів лише на рівні значимості 0,05. Рішення. Підрахуємо різниці та їх квадрати. СтудентДопісля Σ= 21 Σ= 145
7 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 1. Основна та альтернативна гіпотези: Крок 2. Задано рівень значущості = 0,05. Крок 3. За таблицею для df = 15 - 1 = 14 знаходимо критичне значення t = 2,145 та записуємо критичну область: t > 2,145. 2,145."> 2,145."> 2,145." title="7 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 1. Основна та альтернативна гіпотези: Крок 2. Задано рівень значущості =0,05. Крок 3. По таблиці для df = 15 - 1 = 14 знаходимо критичне значення t = 2,145 і записуємо критичну область: t> 2,145."> title="7 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 1. Основна та альтернативна гіпотези: Крок 2. Задано рівень значущості = 0,05. Крок 3. За таблицею для df = 15 - 1 = 14 знаходимо критичне значення t = 2,145 та записуємо критичну область: t > 2,145."> !}
9 Іванов О.В., 2005 Рішення Статистика набуває значення: Крок 5. Порівняємо отримане значення з критичною областю. 1,889 
5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р. Довірчий інтервал для різниці середніх. Парні вибірки Постановка задачі Метод побудови довірчого інтервалу Приклад
11 Іванов О.В., 2005 Опис проблеми Що ми маємо Маємо дві випадкові парні (залежні) вибірки обсягу n із двох генеральних сукупностей. Генеральні сукупності мають нормальний закон розподілу з параметрами 1, 1 і 2, 2 чи обсяги обох вибірок 30. Що хочемо Оцінити середнє значення парних різниць для двох генеральних сукупностей. Для цього побудувати довірчий інтервал для середнього у вигляді:
5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р Гіпотеза про рівність дисперсій Постановка проблеми Гіпотези та статистика Послідовність дій Приклад
15 Іванов О.В., 2005 У ході дослідження ... Досліднику може знадобитися перевірити припущення, про рівність дисперсій двох генеральних сукупностей, що вивчаються. У разі, коли ці генеральні сукупності мають нормальний розподілДля цього існує F-критерій, званий також критерієм Фішера. На відміну від Стьюдента Фішер не працював на пивному заводі.
16 Іванов О.В., 2005 Опис проблеми Що ми маємо 1. Дві прості випадкові вибірки, отримані із двох нормально розподілених генеральних сукупностей. 2. Вибірки є незалежними. Це означає, що між суб'єктами вибірок немає зв'язку. Що ми хочемо Перевірити гіпотезу про рівність дисперсій генеральних сукупностей:
23 Іванов О.В., 2005 Приклад Дослідник-медик хоче перевірити, чи є різниця між частотою биття серця пацієнтів, що палять і не палять (кількість ударів за хвилину). Результати двох випадково відібраних груп наведено нижче. Використовуючи α = 0,05, з'ясуйте, чи правий медик. КурціНе палять
24 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 1. Основна та альтернативна гіпотези: Крок 2. Задано рівень значущості = 0,05. Крок 3. За таблицею для кількості ступенів свободи чисельника 25 та знаменника 17 знаходимо критичне значення f = 2,19 та критичну область: f > 2,19. Крок 4. За вибіркою обчислюємо значення статистики: 2,19. Крок 4. За вибіркою обчислюємо значення статистики: "> 
5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р Гіпотеза про рівність часток Постановлення проблеми Гіпотези та статистика Послідовність дій
27 Іванов О.В., 2005 Питання Зі 100 випадково відібраних студентів соціологічного факультету 43 відвідують спецкурси. Зі 200 випадково відібраних студентів-економістів 90 відвідують спецкурси. Чи вирізняється частка студентів, які відвідують спецкурси, на соціологічному та економічному факультетах? Схоже, що суттєво не відрізняється. Як це перевірити? Частка відвідувачів спецкурсів – частка ознаки. 43 – кількість «успіхів». 43/100 – частка успіхів. Термінологія така сама, як у схемі Бернуллі.
28 Іванов О.В., 2005 Опис проблеми Що ми маємо 1. Дві прості випадкові вибірки, отримані із двох нормально розподілених генеральних сукупностей. Вибірки є незалежними. 2. Для вибірок виконано np 5 і nq 5. Це означає, що принаймні 5 елементів вибірки мають значення ознаки, що вивчається, і, принаймні, 5 не мають. Що ми хочемо Перевірити гіпотезу про рівність часток ознаки у двох генеральних сукупностях:
31 Іванов О.В., 2005 Приклад. Спецкурси двох факультетів Зі 100 випадково відібраних студентів соціологічного факультету 43 відвідують спецкурси. Зі 200 студентів-економістів 90 осіб відвідують спецкурси. На рівні значущості = 0,05, перевірте гіпотезу про те, що немає різниці між часткою відвідувачів спецкурсів на двох цих факультетах. 33 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 1. Основна та альтернативна гіпотези: Крок 2. Задано рівень значущості = 0,05. Крок 3. За таблицею нормального розподілу знаходимо критичні значення z = - 1,96 та z = 1,96 будуємо критичну область: z 1,96. Крок 4. За вибіркою обчислюємо значення статистики.
34 Іванов О.В., 2005 Рішення Крок 5. Порівняємо набуте значення з критичною областю. Отримане значення статистики не потрапило до критичної області. Крок 6. Формулюємо висновок. Немає підстав відкинути основну гіпотезу. Частка відвідувачів спецкурсів не відрізняється статистично значущою.
5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р.5 листопада 2012 р Довірчий інтервал для різниці часток Постановка задачі Метод побудови довірчого інтервалу Приклад
Розглянемо дві незалежні вибірки x 1 , x 2 , …. та дисперсія σ 2 невідомі. Потрібно перевірити основну гіпотезу Н 0: μ x = μ y при конкуруючій Н 1: μ x μ y .
Як відомо, вибіркові середні і будуть мати властивості: ~N(μ x , σ 2 /n), ~ N(μ y , σ 2 /m).
Їхня різниця - нормальна величина із середнім 
і дисперсією, так що
~ 
(23).
Припустимо, що основна гіпотеза Н 0 вірна: μ x –μ y =0. Тоді 
і, ділячи величину її стандартне відхилення, отримаємо стандартну нормальну сл. Величину 
~N(0,1).
Раніше наголошувалося, що сл. величина 
розподілена згідно із законом з (n-1)-им ступенем свободи, a 
- згідно із законом з (m-1) ступенем свободи. З урахуванням незалежності цих двох сум, отримуємо, що їх Загальна сума 
розподілена згідно із законом з n+m-2 ступенями свободи.
Згадуючи п.7, бачимо, що дріб 
підпорядковується t-розподілу (Стьюдента) з ν=m+n-2 ступенями свободи: Z=t. Цей факт має місце лише тоді, коли істинна гіпотеза Н0.
Замінюючи ξ і Q їх виразами, отримаємо розгорнуту форнулу Z:
(24)
Величина Z, звана статистикою критерію, дозволяє прийняти рішення за такої послідовності дій:
1. Встановлюється область D=[-t β,ν , +t β,ν ], що містить β=1–α площі під кривою t ν –розподілу (табл.10).
2. Обчислюється за формулою (24) дослідне значення Z on статистики Z, навіщо замість X 1 і Y 1 підставляються значення x 1 і y 1 конкретних вибірок, і навіть їх вибіркові середні і .
3. Якщо Z on D, то гіпотеза Н 0 вважається такою, що не суперечить досвідченим даним і приймається.
Якщо Z on D, приймається гіпотеза Н 1 .
Якщо гіпотеза Н 0 вірна, то Z підпорядковується відомому t ν -розподілу з нульовим середнім і з високою ймовірністю β=1-α потрапляє в D-область прийняття гіпотези Н 0 . Коли спостерігається, досвідчене значення Z on потрапляє до D. Ми розглядаємо це свідчення на користь гіпотези Н 0 .
Коли ж Z 0 n лежить за межами D (як кажуть, лежить у критичній ділянці К), що природно, якщо вірна гіпотеза Н 1 , але малоймовірно, якщо вірна Н 0 , то залишається відхилити гіпотезу Н 0 , прийнявши H 1 .
Приклад 31.
Порівнюються дві марки бензину: А і В. На 11 автомашинах однакової потужності по кільцевому шасі випробуваний по разу Бензин марки А і В. Одна машина в дорозі вийшла з ладу для неї дані по бензину відсутні.
Витрата бензину в перерахунку на 100 км колії
Таблиця 12
| i | ||||||||||||
| X i | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| У i | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
Дисперсія витрати бензину марок А та В невідома і передбачається однаковою. Чи можна при рівні значущості α=0,05 прийняти гіпотезу про те, що справжні середні витрати μА та μВ цих видів бензину однакові?
Рішення. Перевірку гіпотези Н 0: μ А - μ В = 0 при конкуруючій. Н 1:μ 1 μ 2 робимо за пунктами:
1. Знаходимо вибіркові середні та суму квадратів відхилень Q.
;
;
2. Обчислюємо дослідне значення статистики Z
3. Знаходимо з таблиці 10 t-розподілу межу t β,ν для числа ступенів свободи ν=m+n–2=19 та β=1–α=0.95. У таблиці 10 є t 0.95.20 = 2,09 та t 0.95.15 = 2,13, але немає t 0.95.19 . Знаходимо інтерполяцією t 0.95.19 = 2,09 + = 2,10.
4. Перевіряємо, у якій із двох областей D чи К лежить число Z on . Zon=-2,7 D=[-2,10; -2,10].
Оскільки спостережене значення Z on лежить у критичній ділянці, К=RD, то відкидаємо. Н 0 і досліджуємо гіпотезу Н 1 . У цьому випадку і говорять, що їх різниця значуща. Якби за всіх умов цього прикладу змінилося лише Q, скажімо, Q вдвічі зросло, то змінився б і наш висновок. Збільшення Q вдвічі призвело до зменшення в рази величини Z on і тоді число Zon потрапило б у допустиму область D, так що гіпотеза H 0 витримала б перевірку і була прийнята. У цьому випадку розбіжність між і пояснювалося б природним розкидом даних, а не тим, що μ А μ В.
Теорія перевірки гіпотез дуже велика, гіпотези може бути про вигляді закону розподілу, про однорідність вибірок, про незалежність сл.величини тощо.
КРИТЕРІЙ з 2 (ПІРСОНА)
Найпоширеніший практично критерій перевірки простий гіпотези. Застосовується, коли закон розподілу невідомий. Розглянемо випадкову величину X, над якою проведено n незалежних випробувань. Отримано реалізацію x 1 , x 2 ,...,x n . Необхідно перевірити гіпотезу про закон розподілу цієї випадкової величини.
Розглянемо випадок простий гіпотези. Проста гіпотеза перевіряє узгодження вибірки з генеральною сукупністю, що має нормальний розподіл (відомий). За вибірками будуємо варіаційний ряд x (1), x (2), ..., x (n). Інтервал розбиваємо на підінтервали. Нехай цих інтервалів r. Тоді знайдемо ймовірність попадання X в результаті випробування в інтервал Di, i = 1, ..., r у разі істинності гіпотези, що перевіряється.
Критерій перевіряє не істинність ймовірності, а істинність чисел
З кожним інтервалом Di зв'яжемо випадкову подію A i - попадання в цей інтервал (потрапляння в результаті випробування над X її результату реалізації Di). Введемо випадкові величини. m i - кількість випробувань з проведених n, в яких сталася подія A i . m i розподілені за біноміальним законом і у разі істинності гіпотези
Dm i =np i (1-p i)
Критерій з 2 має вигляд 
p 1 +p 2 +...+p r =1
m 1 +m 2 +...+m r =n
Якщо гіпотеза, що перевіряється, вірна, то m i представляє частоту появи події, що має в кожному з n проведених випробувань ймовірність p i , отже, ми можемо розглядати m i як випадкову величину, що підпорядковується биномиальному закону з центром в точці np i . Коли n велике, можна вважати, що частота розподілена асимптотично нормально з тими самими параметрами. За правильності гіпотези слід очікувати, що будуть асимптотично нормально розподілені
пов'язані між собою співвідношенням
Як міру розбіжності даних вибірки m 1 +m 2 +...+m r з теоретичними np 1 +np 2 +...+np r розглянемо величину
c 2 - сума квадратів асимптотично нормальних величин, пов'язаних лінійною залежністю. Ми раніше зустрічалися вже з аналогічним випадком і знаємо, що наявність лінійного зв'язку спричинило зменшення на одиницю числа ступенів свободи.
Якщо гіпотеза вірна, то критерій c 2 має розподіл, що прагне при n®¥ до розподілу c 2 з r-1 ступенями свободи.
Припустимо, що гіпотеза неправильна. Тоді існує тенденція до збільшення доданків у сумі, тобто. якщо гіпотеза неправильна, то ця сума потраплятиме в якусь область високих значень c 2 . Як критична область візьмемо область позитивних значень критерію
| |
У разі невідомих параметрів розподілу кожен параметр зменшує на одиницю кількість ступенів свободи для критерію Пірсона
8.1. Поняття залежних та незалежних вибірок.
Вибір критерію для перевірки гіпотези
насамперед визначається тим, чи розглядаються вибірки залежними чи незалежними. Введемо відповідні визначення.
Опр.Вибірки називаються незалежнимиякщо процедура відбору одиниць у першу вибірку ніяк не пов'язана з процедурою відбору одиниць у другу вибірку.
Прикладом двох незалежних вибірок можуть бути обговорювані вище вибірки чоловіків і жінок, які працюють на одному підприємстві (в одній галузі і т.д.).
Зауважимо, що незалежність двох вибірок зовсім на означає відсутність вимоги певного роду подібності цих вибірок (їх однорідності). Так, вивчаючи рівень доходу чоловіків і жінок, ми навряд чи припустимо таку ситуацію, коли чоловіки відбираються з-поміж московських бізнесменів, а жінки – з аборигенів Австралії. Жінки теж мають бути москвичками і, більше того – «бізнесвуменшами». Але тут ми говоримо не про залежність вибірок, а про вимогу однорідності сукупності об'єктів, що вивчається, яка повинна задовольнятися і при зборі, і при аналізі соціологічних даних.
Опр.Вибірки називаються залежними, або парними,якщо кожна одиниця однієї вибірки прив'язується до певної одиниці другої вибірки.
Останнє визначення, ймовірно, стане більш зрозумілим, якщо ми наведемо приклад залежних вибірок.
Припустимо, що ми хочемо з'ясувати, чи є соціальний статус батька в середньому нижчим від соціального статусу сина (думаємо, що ми можемо виміряти цю складну і неоднозначно розуміється) соціальну характеристикулюдини). Зрозуміло, що в такій ситуації доцільно відбрати пари респондентів (батько, син) і вважати, що кожен елемент першої вибірки (один з батьків) «прив'язаний» до певного елементу другої вибірки (свого сина). Ці дві вибірки і називатимуться залежними.
8.2. Перевірка гіпотези для незалежних вибірок
Для незалежнихвибірок вибір критерію залежить від цього, чи знаємо ми генеральні дисперсії s 1 2 і s 2 2 аналізованого ознаки для досліджуваних вибірок. Вважатимемо цю проблему вирішеною, вважаючи, що вибіркові дисперсії збігаються з генеральними. У такому разі як критерій виступає величина:
Перш ніж переходити до обговорення тієї ситуації, коли генеральні дисперсії (чи хоча б одна з них) нам невідомі, зауважимо таке.
Логіка використання критерію (8.1) схожа на ту, що була описана нами при розгляді критерію “Хі-квадрат” (7.2). Є лише одна важлива відмінність. Говорячи про зміст критерію (7.2), ми розглядали нескінченну кількість вибірок обсягу n, що «черпаються» з нашої генеральної сукупності. Тут же, аналізуючи зміст критерію (8.1), ми переходимо до розгляду нескінченної кількості парвибірок обсягом n1 і n2. Для кожної пари та розраховується статистика виду (8.1). Сукупності одержуваних значень таких статистик, відповідно до наших позначень, відповідає нормальний розподіл (як ми домовилися, буква z використовується для позначення такого критерію, якому відповідає саме нормальний розподіл).
Отже, якщо генеральні дисперсії нам невідомі, то ми змушені замість них користуватися їхніми вибірковими оцінками s 1 2 та s 2 2 . Однак при цьому нормальний розподіл має замінитись на розподіл Стьюдента – z має замінитися на t (як це мало місце в аналогічній ситуації під час побудови довірчого інтервалу для математичного очікування). Проте за досить великих обсягах вибірок (n 1 , n 2 ³ 30) , як ми знаємо, розподіл Стьюдента практично збігається з нормальним. Іншими словами, при великих вибірках ми можемо продовжувати користуватися критерієм:
Складніша ситуація з такою ситуацією, коли і дисперсії невідомі, і обсяг хоча б однієї вибірки малий. Тоді набирає чинності ще один фактор. Вигляд критерію залежить від цього, чи можемо вважати невідомі нам дисперсії аналізованого ознаки у двох аналізованих вибірках рівними. Для з'ясування цього необхідно перевірити гіпотезу:
H 0: s 1 2 = s 2 2 . (8.3)
Для перевірки цієї гіпотези використовується критерій
Про специфіку використання цього критерію піде мованижче, а зараз продовжимо обговорювати алгоритм вибору критерію, який використовує для перевірки гіпотез про рівність математичних очікувань.
Якщо гіпотеза (8.3) відкидається, то цікавий для нас критерій набуває вигляду:
(8.5)
(Тобто відрізняється від критерію (8.2), що використовувався при великих вибірках, тим, що відповідна статистика має не нормальний розподіл, а розподіл Стьюдента). Якщо гіпотез (8.3) приймається, то вигляд критерію змінюється:
(8.6)
Підіб'ємо підсумок того, як вибирається критерій для перевірки гіпотези про рівність генеральних математичних очікувань на основі аналізу двох незалежних вибірок.
відомі
невідомі
розмір вибірок великий
H 0: s 1 = s 2 відкидається
Приймається
8.3. Перевірка гіпотези для залежних вибірок
Перейдемо до розгляду залежних вибірок. Нехай послідовності чисел
X 1, X 2, …, X n;
Y 1 , Y 2 , … , Y n –
це значення аналізованої випадкової елементів двох залежних вибірок. Введемо позначення:
D i = X i - Y i, i = 1, ..., n.
Для залежнихвибірок критерій, що дозволяє перевіряти гіпотезу
виглядає наступним чином:
Зауважимо, що щойно наведене вираз для s D є нічим іншим, як нове вираз для відомої формули, що виражає середнє квадратичне відхилення У разі йдеться про середньому квадратичному відхиленні величин D i . Подібна формула часто використовується на практиці як простіший (порівняно з «лобовим» підрахунком суми квадратів відхилень значень аналізованої величини від відповідного середнього арифметичного) спосіб розрахунку дисперсії.
Якщо порівняти наведені формули з тими, які ми використовували під час обговорення принципів побудови довірчого інтервалу, неважко помітити, що перевірка гіпотези про рівність середніх для випадку залежних вибірок по суті є перевіркою рівності нулю математичного очікування величин D i . Величина
є середнє квадратичне відхилення для D i. Тому значення щойно описаного критерію t n -1 по суті дорівнює величині D i вираженої в частках середнього квадратичного відхилення. Як ми говорили вище (при обговоренні способів побудови довірчих інтервалів), за таким показником можна судити про ймовірність значення D i . Відмінність полягає в тому, що вище йшлося про просте середнє арифметичне, розподілене нормально, а тут – про середні різниці, такі середні мають розподіл Стьюдента. Але міркування про взаємозв'язок ймовірності відхилення вибіркового середнього арифметичного від нуля (при математичному очікуванні, Рівному нулю) з тим, скільки одиниць s це відхилення становить, залишаються в силі.
Приклад. Доходи аптек одного з мікрорайонів міста за певний період становили 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (умовних одиниць). У сусідньому мікрорайоні за той же час вони дорівнювали 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Для обох вибірок обчисліть середнє, виправлену дисперсію та середнє відхилення. Знайдіть розмах варіювання, середнє абсолютне (лінійне) відхилення, коефіцієнт варіації, лінійний коефіцієнтваріації, коефіцієнт осциляції.
Припускаючи, що це випадкова величинамає нормальний розподіл, визначте довірчий інтервал для генеральної середньої (в обох випадках).
За критерієм Фішера перевірте гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. За критерієм Стьюдента перевірте гіпотезу про рівність генеральних середніх (альтернативна гіпотеза – про їхню нерівність).
У всіх розрахунках рівень значущості = 0,05.
Рішення проводимо за допомогою калькулятора Перевірка гіпотези про рівність дисперсій.
1. Знаходимо показники варіації для першої вибірки.
| x | | x - x порівн | | (x - x ср) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
Показники варіації.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Середнє лінійне відхилення
Кожне значення ряду відрізняється від іншого в середньому на 57.36
Дисперсія
Незміщена оцінка дисперсії
.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 225.3 у середньому на 78.37
.
.
Коефіцієнт варіації
Оскільки v>30%, але v або
Коефіцієнт осциляції
.
.
За таблицею Стьюдента знаходимо:
T табл (n-1; α/2) = T табл (9; 0.025) = 2.262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. Знаходимо показники варіації для другої вибірки.
Проранжуємо ряд. Для цього сортуємо його значення за зростанням.
Таблиця до розрахунку показників.
| x | | x - x порівн | | (x - x ср) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
Для оцінки низки розподілів знайдемо такі показники:
Показники центру розподілу.
Проста середня арифметична
Показники варіації.
Абсолютні показники варіації.
Розмах варіації - різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки первинного ряду.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Середнє лінійне відхилення- обчислюють у тому, щоб врахувати відмінності всіх одиниць досліджуваної сукупності.
Кожне значення ряду відрізняється від іншого в середньому на 62.82
Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (заходи розсіювання, тобто відхилення від середнього).
Незміщена оцінка дисперсії- Заможна оцінка дисперсії (виправлена дисперсія).
Середнє квадратичне відхилення.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 299.57 у середньому на 82.23
Оцінка середньоквадратичного відхилення.
Відносні показники варіації.
До відносних показників варіації відносять коефіцієнт осциляції, лінійний коефіцієнт варіації, відносне лінійне відхилення.
Коефіцієнт варіації- міра відносного розкиду значень сукупності: показує, яку частку середнього значення цієї величини становить її середній розкид.
Оскільки v ≤ 30%, то сукупність однорідна, а варіація слабка. Отриманим результатам можна довіряти.
Лінійний коефіцієнт варіаціїабо Відносне лінійне відхилення- характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини.
Коефіцієнт осциляції- відбиває відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої.
Інтервальне оцінювання центру генеральної сукупності.
Довірчий інтервал для генерального середнього.
Визначаємо значення t kp за таблицею розподілу Стьюдента
За таблицею Стьюдента знаходимо:
T табл (n-1; α/2) = T табл (6; 0.025) = 2.447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
Імовірно 0.95 можна стверджувати, що середнє значення при вибірці більшого обсягу не вийде за межі знайденого інтервалу.
Проводимо перевірку гіпотези про рівність дисперсій:
H 0: D x = D y;
H 1: D x Знайдемо значення критерію Фішера:
Оскільки s y 2 > s x 2 , то s б 2 = s y 2 s м 2 = s x 2
Числа ступенів свободи:
f 1 = n у - 1 = 7 - 1 = 6
f 2 = n x - 1 = 10 - 1 = 9
За таблицею критичних точок розподілу Фішера-Снедекору при рівні значущості α = 0.05 та даним числам ступенів свободи знаходимо F кр (6; 9) = 3.37
Т.к. F набл Проводимо перевірку гіпотези про рівність генеральних середніх:
Знайдемо експериментальне значення критерію Стьюдента:
Число ступенів свободи f = n х + n у - 2 = 10 + 7 - 2 = 15
Визначаємо значення t kp за таблицею розподілу Стьюдента
За таблицею Стьюдента знаходимо:
T табл (f;α/2) = T табл (15; 0.025) = 2.131
За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента при рівні значущості α = 0.05 і даному числу ступенів свободи знаходимо t кр = 2.131
Т.к. t набл
