нерідко беруть цифру е = 2,718281828 . Логарифми з цій підставііменують натуральним. Під час проведення обчислень із натуральними логарифмами загальноприйнято оперувати знаком ln, а не log; при цьому число 2,718281828 , Які визначають основу, не вказують.
Тобто формулювання матиме вигляд: натуральний логарифмчисла х- це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x.
Так, ln(7,389...)= 2, оскільки e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e= 1, тому що e 1 =e, а натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю, оскільки e 0 = 1.
Саме число евизначає межу монотонної обмеженої послідовності
обчислено, що е = 2,7182818284... .
Дуже часто для фіксації в пам'яті якогось числа, цифри необхідного числа асоціюють з якоюсь видатною датою. Швидкість запам'ятовування перших дев'яти знаків числа епісля коми зросте, якщо помітити, що 1828 - це рік народження Льва Толстого!
На сьогоднішній день існують достатньо повні таблицінатуральних логарифмів.
Графік натурального логарифму(функції y =ln x) є наслідком графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої у = хі має вигляд:
Натуральний логарифм може бути знайдений для кожного позитивного речового числа aяк площа під кривою y = 1/xвід 1 до a.
Елементарність цього формулювання, яке стиковується з багатьма іншими формулами, в яких задіяний натуральний логарифм, стало причиною утворення назви «натуральний».
Якщо аналізувати натуральний логарифм, як речову функцію дійсної змінної, вона виступає зворотною функцієюдо експоненційної функції, що зводиться до тотожностей:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
За аналогією з усіма логарифмами, натуральний логарифм перетворює множення на додавання, поділ на віднімання:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(Х/в) = lnx - lny
Логарифм може бути знайдений для кожної позитивної основи, яка не дорівнює одиниці, а не тільки для e, але логарифми інших підстав відрізняються від натурального логарифму лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються термінах натурального логарифму.
Проаналізувавши графік натурального логарифму,отримуємо, що він існує при позитивних значеннях змінної x. Він монотонно зростає у своїй області визначення.
При x → 0 межею натурального логарифму виступає мінус нескінченність ( -∞ ).При x → +∞ межею натурального логарифму виступає плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих xлогарифм збільшується досить повільно. Будь-яка статечна функція x aз позитивним показником ступеня aзростає швидше за логарифму. Натуральний логарифмє монотонно зростаючою функцією, тому екстремуми у нього відсутні.
Використання натуральних логарифмівдуже раціонально під час проходження вищої математики. Так, використання логарифму зручно для знаходження відповіді рівнянь, у яких невідомі фігурують як показник ступеня. Застосування в розрахунках натуральних логарифмів дає можливість значно полегшити велику кількість. математичних формул. Логарифми на підставі е присутні при вирішенні значної кількості фізичних завдань і природним чином входять до математичного опису окремих хімічних, біологічних та інших процесів. Так, логарифми використовуються розрахунку постійної розпаду відомого періоду напіврозпаду, чи обчислення часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони виступають у головної роліу багатьох розділах математики та практичних наук, до них вдаються у сфері фінансів для вирішення великої кількості завдань, у тому числі й у розрахунку складних відсотків.
Урок та презентація на теми: "Натуральні логарифми. Заснування натурального логарифму. Логарифм натурального числа"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"
Що таке натуральний логарифм
Хлопці, на минулому уроці ми з вами довідалися про нове, особливе число – е. Сьогодні ми продовжимо працювати з цим числом.Ми з вами вивчили логарифми і знаємо, що в основі логарифму може стояти безліч чисел, які більше 0. Сьогодні ми також розглянемо логарифм, в основі якого стоїть число е. Такий логарифм називається натуральним логарифмом. Він має власний запис: $\ln(n)$ - натуральний логарифм. Такий запис еквівалентний запису: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Показові та логарифмічні функції є зворотними, тоді натуральний логарифм є зворотною для функції: $y=e^x$.
Зворотні функції є симетричними щодо прямої $ y = x $.
Давайте збудуємо графік натурального логарифму, відобразивши експоненційну функцію щодо прямої $y=x$.
Варто помітити кут нахилу щодо графіку функції $y=e^x$ у точці (0;1) дорівнює 45°. Тоді кут нахилу дотичної до графіка натурального логарифму в точці (1;0) також дорівнюватиме 45°. Обидві ці дотичні будуть паралельні прямій $y=x$. Давайте схематично зобразимо дотичні: 
Властивості функції $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не є ні парною, ні непарною.
3. Зростає по всій області визначення.
4. Не обмежена згори, не обмежена знизу.
5. Найбільшого значенняні, найменшого значенняні.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Випукла вгору.
9. Диференційована всюди.
У курсі вищої математики доведено, що похідна зворотної функції є величина, обернена до похідної цієї функції.
Заглиблюватися в доказ не має великого сенсу, просто запишемо формулу: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
приклад.
Обчислити значення похідної функції: $y=\ln(2x-7)$ у точці $х=4$.
Рішення.
У загальному виглядінаша функція є функцією $y=f(kx+m)$, похідні таких функцій ми вміємо обчислювати.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Обчислимо значення похідної у потрібній точці: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Відповідь: 2.
приклад.
Провести дотичну до графіку функції $y=ln(x)$ у точці $х=е$.
Рішення.
Рівняння щодо графіку функції, у точці $х=а$, добре пам'ятаємо.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Послідовно обчислимо необхідні значення.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$ y = 1 + frac (1) (e) (x-e) = 1 + frac (x) (e) - frac (e) (e) = frac (x) (e) $.
Рівняння дотичної у точці $х=е$ є функцією $y=\frac(x)(e)$.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму та дотичної. 
приклад.
Дослідити функцію на монотонність та екстремуми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Рішення.
Область визначення функції $D(y)=(0;+∞)$.
Знайдемо похідну заданої функції:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Похідна існує при всіх х з області визначення, тоді критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$x^6=1$.
$ x = ± 1 $.
Точка $х=-1$ не належить області визначення. Тоді маємо одну стаціонарну точку $х=1$. Знайдемо проміжки зростання та спадання: 
Точка $х=1$ – точка мінімуму, тоді $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Відповідь: Функція зменшується на відрізку (0;1], функція зростає на промені $ (\displaystyle ). Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується цей логарифм, пояснює походження назви "натуральний".
Якщо розглядати натуральний логарифм як дійсну функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностей:
e ln a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення до складу:
ln x y = ln x + ln y. (\displaystyle \ln xy=\n x+\ln y.)
