Puankare teoremasining mohiyati nimada?
- Eni QIZIL sochli Sofiya isbotlagan, lekin u ham qizil sochli....
- Xulosa shuki, Olam shar shaklida emas, balki donutga o'xshaydi.
- Puankare gipotezasining asl formulasida ma'nosi shundaki, har qanday uch o'lchamli teshiksiz jism uchun uni kesish va yopishtirmasdan to'pga aylantirish imkonini beradigan transformatsiya mavjud. Agar bu aniq ko'rinadigan bo'lsa, unda kosmos uch o'lchovli emas, balki o'n yoki o'n bir o'lchovni o'z ichiga olgan bo'lsa-chi (ya'ni, biz Perelman isbotlagan Puankare gipotezasining umumlashtirilgan formulasi haqida gapiramiz)
- buni 2 so'z bilan aytib bo'lmaydi
- 1900 yilda Puankare sferaning barcha gomologik guruhlari bilan uch o'lchovli manifold sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. 1904 yilda u hozirda Puankare sferasi deb ataladigan qarama-qarshi misolni topdi va o'z gipotezasining yakuniy versiyasini shakllantirdi. Puankare gipotezasini isbotlashga urinishlar manifoldlar topologiyasida ko'plab yutuqlarga olib keldi.
N # 10878 uchun umumlashtirilgan Puankare taxminining isboti; 5 1960 va 1970-yillarning boshlarida deyarli bir vaqtning o'zida Smeyl tomonidan mustaqil ravishda va boshqa usullar bilan Stallings (ingliz tili) tomonidan olingan (n #10878 uchun; 7, uning isboti Zeeman (ingliz) tomonidan n = 5 va 6 holatlarga kengaytirilgan) . n = 4 ning ancha qiyin ishining isboti faqat 1982 yilda Fridman tomonidan olingan. Novikovning Pontryagin xarakteristikasi sinflarining topologik oʻzgarmasligi haqidagi teoremasidan shunday xulosa kelib chiqadiki, gomotopiya ekvivalenti, lekin gomeomorf emas, yuqori oʻlchamdagi manifoldlar mavjud.
Asl Puankare gipotezasi (va umumiyroq Trston gipotezasi)ning isboti faqat 2002 yilda Grigoriy Perelman tomonidan topilgan. Keyinchalik Perelmanning isboti tasdiqlangan va kengaytirilgan shaklda kamida uchta olimlar guruhi tomonidan taqdim etilgan. 1 Dalil Ricci oqimini jarrohlik bilan ishlatadi va asosan Ricci oqimini birinchi bo'lib ishlatgan Hamilton tomonidan belgilangan rejaga amal qiladi.
- bu kim
- Puankare teoremasi:
Vektor maydonlari haqidagi Puankare teoremasi
Bendikssonning Puankare teoremasi
Doira gomeomorfizmlarini tasniflash haqidagi Puankare teoremasi
Puankarening gomotopiya sferasi haqidagi taxmini
Puankarening qaytish teoremasiQaysi biri haqida so'rayapsiz?
- Dinamik tizimlar nazariyasida aylananing gomeomorfizmlarini tasniflash haqidagi Puankare teoremasi f takrorlangan xaritalashning aylanish soni p(f) ga qarab aylana boʻyicha inversiyalanuvchi dinamikaning mumkin boʻlgan turlarini tavsiflaydi. Taxminan aytganda, ma'lum bo'lishicha, xaritalash iteratsiyasi dinamikasi ma'lum darajada mos keladigan burchak bo'yicha aylanish dinamikasiga o'xshaydi.
Ya'ni, f aylana gomeomorfizmi berilsin. Keyin:
1) Agar f ning davriy nuqtalari bo'lsa, aylanish soni oqilona bo'ladi. Bunda aylanish sonining maxraji har qanday davriy nuqtaning davri hisoblanadi va har qanday davriy orbita nuqtalarining aylanasidagi siklik tartibi p(f) dagi aylanish orbita nuqtalari bilan bir xil bo'ladi. Bundan tashqari, har qanday traektoriya oldinga va teskari vaqtda ma'lum bir davriylikka intiladi (a- va -w chegara traektoriyalari boshqacha bo'lishi mumkin).
2) Agar f aylanish soni irratsional bo'lsa, ikkita variant mumkin:
i) yoki f zich orbitaga ega, bu holda f ning gomeomorfizmi p(f) ning aylanishga konjugatsiya qiladi. Bunday holda, f ning barcha orbitalari zich (chunki bu irratsional aylanish uchun to'g'ri);
ii) yoki f ning Cantor invariant C to'plami mavjud, bu tizimning yagona minimal to'plamidir. Bunday holda, barcha traektoriyalar oldinga va orqaga vaqt ichida C ga intiladi. Bundan tashqari, f xaritalash p(f) ga aylanish uchun yarim konjugatdir: 1 darajali h xaritalash uchun p o f =R p (f) o hBundan tashqari, C to'plami aynan h ning o'sish nuqtalari to'plamidir, boshqacha aytganda, topologik nuqtai nazardan, h to'ldiruvchining oraliqlarini C ga qisqartiradi.
- masalaning mohiyati 1 million dollar
- Uni 1 kishidan boshqa hech kim tushunmaydi
- Fransiya tashqi siyosatida...
- Bu erda Lka eng yaxshi javob berdi http://otvet.mail.ru/question/24963208/
- Ajoyib matematik, parijlik professor Anri Puankare ushbu fanning turli sohalarida ishlagan. 1905 yilda Eynshteyn ishidan mustaqil va mustaqil ravishda maxsus nisbiylik nazariyasining asosiy tamoyillarini ilgari surdi. Va u o'zining mashhur gipotezasini 1904 yilda shakllantirgan, shuning uchun uni hal qilish uchun taxminan bir asr kerak bo'ldi.
Puankare uzilishlarsiz sodir bo'ladigan deformatsiyalar ostida o'zgarmaydigan geometrik figuralarning xossalari haqidagi fan topologiyaning asoschilaridan biri edi. Misol uchun, balon parkdagi bolalar uchun bo'lgani kabi, turli xil shakllarga osongina deformatsiyalanishi mumkin. Ammo to'pni donutga (yoki geometrik tilda - torusga) burish uchun uni kesib olishingiz kerak bo'ladi; boshqa yo'l yo'q. Va aksincha: kauchuk donutni oling va uni sharga aylantirishga harakat qiling. Biroq, u hali ham ishlamaydi. Topologik xossalariga ko'ra, shar va torusning sirtlari mos kelmaydigan yoki gomeomorf bo'lmagan. Ammo teshiksiz har qanday sirt (yopiq yuzalar), aksincha, gomeomorf bo'lib, deformatsiyaga va sharga aylanishga qodir.
Agar 19-asrda sfera va torusning ikki o'lchovli sirtlari haqida hamma narsa qaror qilingan bo'lsa, ko'p o'lchovli holatlar uchun bu ancha uzoq davom etdi. Bu, aslida, ko'p o'lchovli holatlarga naqshni kengaytiradigan Puankare gipotezasining mohiyatidir. Biroz soddalashtirib, Puankare gipotezasi shunday deydi: Har bir oddiy bog'langan yopiq n o'lchovli manifold n o'lchovli sohaga gomeomorfdir. Qizig'i shundaki, uch o'lchamli yuzalar bilan variant eng qiyin bo'lib chiqdi. 1960 yilda gipoteza 5 va undan yuqori o'lchamlar uchun, 1981 yilda n = 4 uchun isbotlangan. To'siq aynan uch o'lchamli edi.
1980-yillarda ular tomonidan taklif qilingan Uilyam Trsten va Richard Hamiltonning g'oyalarini ishlab chiqishda Grigoriy Perelman uch o'lchovli sirtlarga silliq evolyutsiyaning maxsus tenglamasini qo'lladi. Va u asl uch o'lchovli sirt (agar unda uzilishlar bo'lmasa) majburiy ravishda uch o'lchovli sferaga aylanishini ko'rsatishga muvaffaq bo'ldi (bu to'rt o'lchovli to'pning yuzasi va u 4 o'lchovli shaklda mavjud). bo'sh joy). Bir qator ekspertlarning fikriga ko'ra, bu yangi avlod g'oyasi bo'lib, uning yechimi matematika fani uchun yangi ufqlarni ochadi.
Qizig'i shundaki, Perelmanning o'zi negadir o'z qarorini yakuniy yorqinlikka olib kelish uchun bezovta qilmadi. 2002 yil noyabr oyida Ricci oqimining entropiya formulasi va uning geometrik qo'llanilishini oldindan chop etishda yechimni bir butun sifatida tasvirlab, 2003 yil mart oyida u dalilni to'ldirdi va uni Ricci oqimining uchta kollektorli jarrohlik bilan bosmadan oldingi nashrida taqdim etdi va shuningdek hisobot berdi. 2003 yilda bir qator universitetlar taklifiga binoan o'qigan turkum ma'ruzalardagi metod bo'yicha. Taqrizchilarning hech biri u taklif qilgan versiyada xatoliklarni topa olmadi, ammo Perelman ko'rib chiqilgan ilmiy nashrda nashrni nashr etmadi (bu, xususan, Kley matematika instituti mukofotini olish uchun zaruriy shart edi). Ammo 2006 yilda uning uslubiga asoslanib, amerikalik va xitoylik matematiklar muammoni batafsil va to'liq o'rganib chiqdilar, Perelman tomonidan tashlab ketilgan fikrlarni to'ldirdilar va Puankare taxminining yakuniy isbotini keltirdilar.
- Umumlashtirilgan Puankare taxminida shunday deyilgan:
Har qanday n uchun, n o'lchamli har qanday manifold, agar u gomeomorf bo'lsa, n o'lchamli sferaga gomotopiya ekvivalenti hisoblanadi.
Dastlabki Puankare gipotezasi n = 3 uchun umumlashtirilgan farazning maxsus holatidir.
Tushuntirish uchun qo'ziqorin terish uchun o'rmonga boring, Grigoriy Perelman u erga boradi) - Puankarening qaytish teoremasi ergodik nazariyaning asosiy teoremalaridan biridir. Uning mohiyati shundan iboratki, kosmosning o'ziga xos xaritasi bilan deyarli har bir nuqta o'zining dastlabki qo'shnisiga qaytadi. Teoremaning to'liq formulasi quyidagicha: 1:
Cheklangan o'lchovli fazoning o'lchovni saqlaydigan o'zgarishi va o'lchanadigan to'plam bo'lsin. Keyin har qanday tabiiy uchun
.
Bu teorema kutilmagan oqibatga olib keladi: ma'lum bo'lishicha, agar bo'linma bilan ikkita bo'linmaga bo'lingan idishda biri gaz bilan to'ldirilgan, ikkinchisi bo'sh bo'lsa, bo'linma olib tashlansa, bir muncha vaqt o'tgach, barcha gaz molekulalari paydo bo'ladi. yana idishning asl qismida to'plang. Bu paradoksning yechimi shundaki, bir muncha vaqt milliardlab yillarga to'g'ri keladi. - Uning Koreyada so‘yilgan itlar kabi teoremalari bor...
koinot sharsimon... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Kecha olimlar koinot muzlatilgan modda ekanligini e'lon qilishdi va buni isbotlash uchun ko'p pul so'rashdi ... yana Merikolar bosmaxonani yoqadi ... tuxum boshlarini o'yin-kulgi uchun ...
- Nol tortishish sharoitida qayerda yuqoriga va pastga ekanligini isbotlashga harakat qiling.
- Kecha MADANIYAT haqida ajoyib film chiqdi, unda bu muammo batafsil yoritib berildi. Balki ular hali ham bordir?
http://video.yandex.ru/#search?text=RRR SR R RRRRRSRRwhere=allfilmId=36766495-03-12
Yandex-ga kiring va Perelman haqida film yozing va filmga o'ting
Grigoriy Perelman. refusenik
Vasiliy Maksimov
2006 yil avgust oyida nufuzli Fields medalini olgan sayyoradagi eng yaxshi matematiklarning nomlari e'lon qilindi - bu Nobel mukofotining o'ziga xos analogi bo'lib, matematiklar Alfred Nobelning xohishiga ko'ra undan mahrum bo'lishdi. Filds medali - faxriy nishondan tashqari, g'oliblarga o'n besh ming Kanada dollari uchun chek beriladi - har to'rt yilda bir marta Xalqaro matematiklar kongressi tomonidan beriladi. U kanadalik olim Jon Charlz Filds tomonidan asos solingan va birinchi marta 1936 yilda mukofotlangan. 1950 yildan beri Fields medali matematika fanini rivojlantirishga qo'shgan hissasi uchun Ispaniya qiroli tomonidan muntazam ravishda taqdirlanadi. Mukofot g'oliblari qirq yoshgacha bo'lgan bir yoshdan to'rt nafargacha olimlar bo'lishi mumkin. Mukofotni 44 nafar matematik, jumladan, sakkiz nafar rossiyalik allaqachon olgan.
Grigoriy Perelman. Anri Puankare.
2006-yilda fransuz Vendelin Verner, avstraliyalik Terens Tao va ikki nafar rossiyalik – AQShda ishlayotgan Andrey Okunkov va Sankt-Peterburglik olim Grigoriy Perelman laureatlar bo‘ldi. Biroq, so'nggi daqiqada Perelman ushbu nufuzli mukofotdan voz kechgani ma'lum bo'ldi - tashkilotchilar e'lon qilganidek, "prinsipial sabablarga ko'ra".
Rossiyalik matematikning bunday g'ayrioddiy harakati uni tanigan odamlarni ajablantirmadi. U matematik mukofotlardan birinchi marta bosh tortayotgani yo‘q, bu qarorini tantanali tadbirlar va o‘z nomi atrofidagi keraksiz shov-shuvlarni yoqtirmasligi bilan izohladi. Bundan 10 yil muqaddam, 1996 yilda Perelman Yevropa matematika kongressi mukofotiga nomzod bo‘lgan ilmiy muammo bo‘yicha ishni tugatmaganini va bu oxirgi marta emasligini aytib, mukofotdan bosh tortgan edi. Rus matematigi jamoatchilik fikri va ilmiy jamoatchilikka qarshi chiqib, odamlarni hayratda qoldirishni o'zining hayotiy maqsadiga aylantirgandek tuyuldi.
Grigoriy Yakovlevich Perelman 1966 yil 13 iyunda Leningradda tug'ilgan. U yoshligidan aniq fanlarga mehr qo'ygan, matematikani chuqur o'rganadigan mashhur 239-o'rta maktabni a'lo darajada tamomlagan, ko'plab matematika olimpiadalarida g'olib chiqqan: masalan, 1982 yilda u Sovet maktab o'quvchilari jamoasi tarkibida qatnashgan. Budapeshtda boʻlib oʻtgan Xalqaro matematika olimpiadasida. Imtihonlarsiz Perelman Leningrad universitetining mexanika-matematika fakultetiga o'qishga kirdi va u erda a'lo baholar bilan o'qidi va barcha darajadagi matematik musobaqalarda g'olib chiqishda davom etdi. Universitetni imtiyozli diplom bilan tugatgach, Steklov nomidagi matematika institutining Sankt-Peterburg filiali qoshidagi aspiranturaga o‘qishga kirdi. Uning ilmiy rahbari taniqli matematik akademik Aleksandrov edi. Grigoriy Perelman nomzodlik dissertatsiyasini himoya qilib, institutda, geometriya va topologiya laboratoriyasida qoldi. Uning Aleksandrov fazolari nazariyasi bo'yicha ishi ma'lum, u bir qator muhim farazlar uchun dalil topa oldi. G'arbning etakchi universitetlaridan ko'plab takliflarga qaramay, Perelman Rossiyada ishlashni afzal ko'radi.
Uning eng ko'zga ko'ringan muvaffaqiyati 2002 yilda 1904 yilda nashr etilgan mashhur Puankare taxminining yechimi bo'ldi va shundan beri isbotlanmagan. Perelman uning ustida sakkiz yil ishladi. Puankare gipotezasi eng katta matematik sirlardan biri hisoblangan va uning yechimi matematika fanidagi eng muhim yutuq hisoblangan: u koinotning fizikaviy va matematik asoslari muammolari bo'yicha tadqiqotlarni darhol ilgari suradi. Sayyoradagi eng ko'zga ko'ringan odamlar uning yechimini faqat bir necha o'n yilliklar ichida bashorat qilishdi va Massachusets shtatining Kembrij shahridagi Kley matematika instituti Puankare muammosini ming yillikning eng qiziqarli yettita yechilmagan matematik muammolari qatoriga kiritdi, ularning har birini hal qilish uchun. million dollar mukofot va'da qilingan (Mingyillik mukofoti muammolari). .
Fransuz matematigi Anri Puankarening (1854-1912) gipotezasi (ba'zan muammo deb ataladi) quyidagicha tuzilgan: har qanday yopiq, oddiy bog'langan uch o'lchovli fazo uch o'lchovli sferaga gomeomorfdir. Aniqlash uchun aniq misoldan foydalaning: agar siz olmani kauchuk lenta bilan o'rab qo'ysangiz, unda, qoida tariqasida, lentani mahkamlash orqali siz olmani bir nuqtaga siqib qo'yishingiz mumkin. Agar siz donutni bir xil lenta bilan o'rab qo'ysangiz, donutni ham, kauchukni ham yirtmasdan uni bir nuqtaga siqib qo'yolmaysiz. Shu nuqtai nazardan, olma "oddiy bog'langan" raqam deb ataladi, ammo donut oddiygina bog'lanmagan. Deyarli yuz yil muqaddam Puankare ikki o'lchovli shar oddiygina bog'langanligini aniqladi va uch o'lchovli shar ham oddiygina bog'langan, deb taklif qildi. Dunyoning eng yaxshi matematiklari bu farazni isbotlay olmadilar.
Kley instituti mukofotiga sazovor bo'lish uchun Perelman o'z yechimini ilmiy jurnallardan birida nashr etishi kerak edi va agar ikki yil ichida hech kim uning hisob-kitoblarida xato topa olmasa, u holda yechim to'g'ri deb hisoblanadi. Biroq, Perelman boshidanoq qoidalardan chetga chiqdi va qarorini Los Alamos ilmiy laboratoriyasining preprint veb-saytida e'lon qildi. Ehtimol, u hisob-kitoblarida xatolik yuz berganidan qo'rqqandir - shunga o'xshash voqea matematikada allaqachon sodir bo'lgan. 1994 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls Fermatning mashhur teoremasiga yechim taklif qildi va bir necha oy o'tgach, uning hisob-kitoblarida xatolik paydo bo'lganligi ma'lum bo'ldi (garchi u keyinchalik tuzatilgan va sensatsiya hali ham sodir bo'lgan). Haligacha Puankare taxminining isboti haqida rasmiy nashr yo'q, ammo Perelmanning hisob-kitoblarining to'g'riligini tasdiqlovchi sayyoradagi eng yaxshi matematiklarning nufuzli fikri mavjud.
Filds medali Grigoriy Perelmanga aynan Puankare muammosini hal qilgani uchun berilgan. Ammo rus olimi, shubhasiz, munosib bo'lgan mukofotdan bosh tortdi. "Gregori menga o'zini xalqaro matematiklar hamjamiyatidan, bu hamjamiyatdan tashqarida qolgan his qilishini va shuning uchun mukofotni olishni istamasligini aytdi", dedi Butunjahon matematiklar ittifoqi (WUM) prezidenti ingliz Jon Ball matbuot anjumanida. Madrid.
Grigoriy Perelman ilm-fanni butunlay tark etmoqchiligi haqida mish-mishlar bor: olti oy oldin u o'zining Steklov nomidagi matematika institutidan iste'foga chiqdi va u endi matematikani o'qimasligini aytishdi. Ehtimol, rus olimi mashhur gipotezani isbotlab, ilm-fan uchun qo'lidan kelgan hamma narsani qildi, deb hisoblaydi. Ammo bunday yorqin olim va g'ayrioddiy shaxsning tafakkur poezdini muhokama qilishni kim o'z zimmasiga oladi?.. Perelman har qanday izohni rad etadi va u The Daily Telegraph gazetasiga shunday dedi: "Men aytadigan gaplarimning hech biri zarracha jamoatchilikni qiziqtirmaydi". Biroq, etakchi ilmiy nashrlar "Grigoriy Perelman Puankare teoremasini hal qilib, o'tmish va hozirgi zamonning eng buyuk daholari bilan bir qatorda turgan" deb xabar berishda bir ovozdan o'z baholarini berishdi.
Oylik adabiy-publisistik jurnal va nashriyot.
Olimlarning fikricha, 38 yoshli rus matematigi Grigoriy Perelman Puankare muammosining to‘g‘ri yechimini taklif qilgan. Bu haqda Stenford universitetining matematika professori Keyt Devlin Ekseterdagi (Buyuk Britaniya) fan festivalida aytdi.
Puankare muammosi (muammo yoki gipoteza deb ham ataladi) ettita eng muhim matematik muammolardan biri bo'lib, ularning har birini hal qilish uchun u bir million dollar mukofot bilan taqdirlangan. Matematik fizika laboratoriyasi xodimi Grigoriy Perelman tomonidan olingan natijalarga ko'pchilik e'tiborini ana shu narsa jalb qildi.
Butun dunyo olimlari Perelmanning yutuqlari haqida muallif tomonidan 2002 yil noyabr va 2003 yil mart oylarida Los Alamos ilmiy laboratoriyasining dastlabki ishlar arxivi veb-saytida joylashtirilgan ikkita nashrdan (to'liq ilmiy nashrdan oldingi maqolalar) bilib oldilar.
Kley institutining ilmiy maslahat kengashi tomonidan qabul qilingan qoidalarga ko‘ra, yangi gipoteza “xalqaro obro‘” ixtisoslashtirilgan jurnalida chop etilishi kerak. Bundan tashqari, institut qoidalariga ko‘ra, mukofotni to‘lash to‘g‘risidagi qaror pirovard natijada “matematiklar hamjamiyati” tomonidan qabul qilinadi: isbot nashr etilganidan keyin ikki yil ichida rad etilmasligi kerak. Har bir dalil dunyoning turli mamlakatlaridagi matematiklar tomonidan tekshiriladi.
Puankare muammosi
1966 yil 13 iyunda Leningradda ishchi oilasida tug'ilgan. Mashhur 239-sonli umumta’lim maktabini matematika fanini chuqurlashtirib tamomlagan. 1982 yilda Sovet maktab o'quvchilari jamoasi tarkibida Budapeshtda bo'lib o'tgan Xalqaro matematika olimpiadasida qatnashdi. U Leningrad davlat universitetining matematika va mexanika fakultetiga imtihonsiz o‘qishga kirdi. U fakultet, shahar va umumittifoq talabalari matematika olimpiadalarida g‘olib chiqdi. Lenin stipendiyasini olgan. Universitetni tugatgach, Perelman Steklov matematika institutining Sankt-Peterburg filialida aspiranturaga o'qishga kirdi. Fizika-matematika fanlari nomzodi. Matematik fizika laboratoriyasida ishlaydi.
Puankare muammosi turli o'lchamlarga ega bo'lgan maxsus tarzda joylashtirilgan manifoldlar topologiyasi maydoni bilan bog'liq. Ikki o'lchovli kollektorlarni, masalan, uch o'lchamli jismlar yuzasi misolida ko'rish mumkin - shar (to'p yuzasi) yoki torus (donut yuzasi).
Agar balon deformatsiyalangan bo'lsa (egilgan, buralgan, tortilgan, siqilgan, qisilgan, o'chirilgan yoki shishirilsa) bilan nima bo'lishini tasavvur qilish oson. Yuqoridagi barcha deformatsiyalar bilan to'p o'z shaklini keng doirada o'zgartirishi aniq. Biroq, biz hech qachon to'pni uning sirtining uzluksizligini buzmasdan, ya'ni uni parchalamasdan donutga aylantira olmaymiz (yoki aksincha). Bunday holda, topologlar shar (to'p) torusga (donut) gomeomorf emasligini aytishadi. Bu shuni anglatadiki, bu sirtlarni bir-biri bilan taqqoslab bo'lmaydi. Oddiy qilib aytganda, shar va torus topologik xossalari bilan farqlanadi. Va sharning yuzasi, uning barcha mumkin bo'lgan deformatsiyalari ostida, xuddi qutqaruv kemasining yuzasi torusga nisbatan gomeomorfdir. Boshqacha qilib aytganda, teshiklari bo'lmagan har qanday yopiq ikki o'lchovli sirt ikki o'lchovli shar bilan bir xil topologik xususiyatlarga ega.
TOPOLOGIYA — uzluksiz deformatsiyalar, masalan, choʻzilish, siqish yoki egilish taʼsirida saqlanib qoladigan figuralarning (yoki boʻshliqlarning) xossalarini oʻrganish bilan shugʻullanuvchi matematikaning boʻlimi. Uzluksiz deformatsiya - bu hech qanday uzilishlar (ya'ni, rasmning butunligini buzish) yoki yopishtirish (ya'ni, uning nuqtalarini aniqlash) bo'lmagan shaklning deformatsiyasi.
Bir geometrik figuraning boshqasiga TOPOLOGIK AYLANISHI - birinchi figuraning ixtiyoriy P nuqtasini boshqa figuraning P' nuqtasiga xaritalash, bu quyidagi shartlarni qondiradi: 1) birinchi figuraning har bir P nuqtasi bitta va faqat bittaga mos kelishi kerak. ikkinchi raqamning P' nuqtasi va aksincha; 2) xaritalash o'zaro uzluksiz bo'lishi kerak. Masalan, bir xil figuraga tegishli ikkita P va N nuqtalar mavjud. Agar P nuqta N nuqtaga harakat qilganda, ular orasidagi masofa nolga moyil bo'lsa, boshqa figuraning P' va N' nuqtalari orasidagi masofa ham nolga moyil bo'lishi kerak va aksincha.
HOMEOMORFIZMA. Topologik transformatsiyalar jarayonida bir-biriga aylanadigan geometrik figuralar gomeomorf deyiladi. Doira va kvadratning chegarasi gomeomorfdir, chunki ularni topologik o'zgartirish orqali bir-biriga aylantirish mumkin (ya'ni, buzilmasdan yoki yopishtirmasdan egilish va cho'zish, masalan, kvadratning chegarasini uning atrofidagi doiraga cho'zish) . Har qanday yopiq oddiy (ya'ni, aylanaga gomeomorf) egri chiziq bu mintaqada doimo qoladigan nuqtaga qisqarishi mumkin bo'lgan mintaqa oddiy bog'langan deb ataladi va mintaqaning tegishli xossasi oddiy bog'lanadi. Agar ushbu hududning biron bir yopiq oddiy egri chizig'ini bir nuqtaga qisqartirish mumkin bo'lmasa, u doimo shu mintaqada qolsa, u holda mintaqa ko'paytmali bog'langan deb ataladi va mintaqaning tegishli xossasi ko'paytma bog'langan deb ataladi.
Puankare muammosi uch o'lchovli kollektorlar uchun ham xuddi shunday narsani bildiradi (sfera kabi ikki o'lchovli manifoldlar uchun bu nuqta 19-asrda isbotlangan). Frantsuz matematigi ta'kidlaganidek, ikki o'lchovli sharning eng muhim xususiyatlaridan biri shundaki, unda yotgan har qanday yopiq halqa (masalan, lasso) sirtdan chiqmasdan bir nuqtaga tortilishi mumkin. Torus uchun bu har doim ham to'g'ri emas: uning teshigidan o'tadigan halqa torus buzilganda yoki halqaning o'zi buzilganda bir nuqtaga tortiladi. 1904 yilda Puankare agar ilmoq yopiq uch o'lchamli sirtdagi nuqtaga qisqarishi mumkin bo'lsa, unda bunday sirt uch o'lchovli sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. Bu gipotezani isbotlash nihoyatda qiyin ish bo'lib chiqdi.
Keling, darhol aniqlik kiritamiz: biz aytib o'tgan Puankare muammosining formulasi biz hech qanday qiyinchiliksiz tasavvur qiladigan uch o'lchovli to'p haqida emas, balki uch o'lchovli shar haqida, ya'ni to'rt o'lchovli shar haqida gapiradi. -o'lchovli to'p, uni tasavvur qilish ancha qiyin. Ammo 1950-yillarning oxirida to'satdan yuqori o'lchamli kollektorlar bilan ishlash uch va to'rt o'lchovlilarga qaraganda ancha oson ekanligi ma'lum bo'ldi. Shubhasiz, aniqlik yo'qligi matematiklar o'z tadqiqotlarida duch keladigan asosiy qiyinchilikdan uzoqdir.
5 va undan yuqori o'lchamlar uchun Puankare muammosiga o'xshash muammo 1960 yilda Stiven Smeyl, Jon Stallings va Endryu Uolles tomonidan hal qilindi. Biroq, bu olimlar tomonidan qo'llanilgan yondashuvlar to'rt o'lchovli manifoldlar uchun qo'llanilmaydigan bo'lib chiqdi. Ular uchun Puankare muammosi faqat 1981 yilda Maykl Fridman tomonidan isbotlangan. Uch o'lchovli ish eng qiyin bo'lib chiqdi; Grigoriy Perelman o'z yechimini taklif qiladi.
Qayd etish kerakki, Perelmanning raqibi bor. 2002 yil aprel oyida Britaniyaning Sautgempton universitetining matematika professori Martin Danvudi Puankare muammosini hal qilish uchun o'z usulini taklif qildi va hozir Kley institutining hukmini kutmoqda.
Mutaxassislarning fikricha, Puankare masalasini yechish murakkab uch o‘lchamli obyektlardagi fizik jarayonlarni matematik tavsiflashda jiddiy qadam tashlash imkonini beradi va kompyuter topologiyasining rivojlanishiga yangi turtki beradi. Grigoriy Perelman tomonidan taklif qilingan usul geometriya va topologiyada yangi yo'nalishning ochilishiga olib keladi. Sankt-Peterburglik matematik Filds mukofotiga munosib bo'lishi mumkin (matematika bo'yicha berilmagan Nobel mukofotiga o'xshash).
Ayni paytda Grigoriy Perelmanning xatti-harakati ba'zilarga g'alati tuyuladi. Britaniyaning The Guardian gazetasi shunday deb yozadi: "Ehtimol, Perelmanning Puankare muammosini hal qilishdagi yondashuvi to'g'ri. Ammo hamma narsa unchalik oddiy emas. Perelman asar to'liq ilmiy nashr sifatida nashr etilganiga dalil keltirmaydi (preprintlar). Agar odam Kley institutining mukofotini olishni istasa, bu zarur. Bundan tashqari, u pulga umuman qiziqmaydi."
Ko'rinishidan, Grigoriy Perelman uchun, haqiqiy olimga kelsak, pul asosiy narsa emas. "Mingyillik muammolari" deb ataladigan har qanday muammoni hal qilish uchun haqiqiy matematik o'z ruhini shaytonga sotadi.
Mingyillik ro'yxati
1900-yil 8-avgustda Parijda boʻlib oʻtgan Xalqaro matematika kongressida matematik Devid Xilbert yigirmanchi asrda yechilishi kerak boʻlgan muammolar roʻyxatini bayon qildi. Ro'yxatda 23 ta narsa bor edi. Hozirgacha ularning 21 tasi hal etilgan. Gilbert roʻyxatidagi oxirgi yechilgan masala olimlar 358 yil davomida yecha olmayotgan Fermaning mashhur teoremasi edi. 1994 yilda britaniyalik Endryu Uayls o'z yechimini taklif qildi. Bu haqiqat bo'lib chiqdi.
Gilbert misolidan so'ng, o'tgan asrning oxirida ko'plab matematiklar 21-asr uchun shunga o'xshash strategik vazifalarni shakllantirishga harakat qilishdi. Ushbu ro'yxatlardan biri bostonlik milliarder Lendon T. Kley tufayli keng ma'lum bo'ldi. 1998 yilda uning mablag'lari hisobidan Kembrijda (Massachusets, AQSh) zamonaviy matematikaning bir qator eng muhim muammolarini hal qilish uchun mukofotlar ta'sis etildi va ta'sis etildi. 2000-yil 24-mayda institut mutaxassislari sovrin uchun ajratilgan millionlab dollarlar soniga ko‘ra yettita muammoni tanlab oldilar. Ro'yxat Mingyillik mukofoti muammolari deb ataladi:
1. Kuk muammosi (1971 yilda tuzilgan)
Aytaylik, siz katta kompaniyada bo'lib, do'stingiz ham u erda ekanligiga ishonch hosil qilishni xohlaysiz. Agar ular sizga u burchakda o'tirganini aytishsa, bir soniya ko'zdan kechirish va ma'lumotlarning haqiqatiga ishonch hosil qilish uchun etarli bo'ladi. Ushbu ma'lumotsiz siz mehmonlarga qarab, butun xonani aylanib chiqishga majbur bo'lasiz. Bu shuni ko'rsatadiki, muammoni hal qilish ko'pincha yechimning to'g'riligini tekshirishdan ko'ra ko'proq vaqt talab etadi.
Stiven Kuk muammoni shakllantirdi: tekshirish algoritmidan qat'i nazar, muammoning yechimining to'g'riligini tekshirish yechimning o'zini olishdan ko'ra ko'proq vaqt talab qilishi mumkin. Bu muammo ham mantiq va informatika sohasidagi hal qilinmagan muammolardan biridir. Uning yechimi ma'lumotlarni uzatish va saqlashda qo'llaniladigan kriptografiya asoslarini inqilob qilishi mumkin.
2. Rieman gipotezasi (1859 yilda tuzilgan)
Ba'zi butun sonlarni ikkita kichikroq butun sonlarning ko'paytmasi sifatida ifodalab bo'lmaydi, masalan, 2, 3, 5, 7 va boshqalar. Bunday raqamlar tub sonlar deb ataladi va sof matematikada va uning qo'llanilishida muhim rol o'ynaydi. Barcha natural sonlar qatorlari orasida tub sonlarning taqsimlanishi hech qanday qonuniyatga amal qilmaydi. Biroq nemis matematigi Riman tub sonlar ketma-ketligining xossalari haqida faraz qildi. Agar Riemann gipotezasi isbotlansa, bu shifrlash haqidagi bilimimizda inqilobiy o'zgarishlarga va Internet xavfsizligida misli ko'rilmagan yutuqga olib keladi.
3. Birch va Svinnerton-Dyer gipotezasi (1960 yilda tuzilgan)
Butun sonli koeffitsientli bir nechta o'zgaruvchilardagi ba'zi algebraik tenglamalar yechimlari to'plamining tavsifi bilan bog'liq. Bunday tenglamaga x 2 + y 2 = z 2 ifodasini misol qilib keltirish mumkin. Evklid bu tenglamaning yechimlarining to'liq tavsifini berdi, ammo murakkabroq tenglamalar uchun yechim topish juda qiyin bo'ladi.
4. Xodj gipotezasi (1941 yilda tuzilgan).
20-asrda matematiklar murakkab ob'ektlarning shaklini o'rganishning kuchli usulini kashf etdilar. Asosiy g'oya ob'ektning o'rniga bir-biriga yopishtirilgan va uning o'xshashligini tashkil etadigan oddiy "g'ishtlardan" foydalanishdir. Xodjning gipotezasi bunday "qurilish bloklari" va ob'ektlarning xususiyatlariga oid ba'zi taxminlar bilan bog'liq.
5. Navier - Stokes tenglamalari (1822 yilda tuzilgan)
 |
Agar siz ko'lda qayiqda suzib ketsangiz, to'lqinlar paydo bo'ladi, agar siz samolyotda uchsangiz, havoda turbulent oqimlar paydo bo'ladi. Bu va boshqa hodisalar Navier-Stokes tenglamalari deb nomlanuvchi tenglamalar bilan tasvirlangan deb taxmin qilinadi. Bu tenglamalarning yechimlari noma'lum va ularni qanday yechish ham noma'lum. Yechim mavjudligini va etarli darajada silliq funksiya ekanligini ko'rsatish kerak. Ushbu muammoni hal qilish gidro- va aerodinamik hisob-kitoblarni amalga oshirish usullarini sezilarli darajada o'zgartiradi.
6. Puankare muammosi (1904 yilda tuzilgan)
Agar siz olma ustiga kauchuk tasma tortsangiz, uni sirtdan ko'tarmasdan asta-sekin harakatlantirib, uni bir nuqtaga siqib qo'yishingiz mumkin. Boshqa tomondan, agar bir xil kauchuk tarmoqli donut atrofida mos ravishda cho'zilgan bo'lsa, lentani yirtmasdan yoki donutni buzmasdan, bandni bir nuqtaga siqishning hech qanday usuli yo'q. Ularning aytishicha, olma yuzasi oddiygina bog'langan, ammo donutning yuzasi bog'lanmagan. Ma'lum bo'lishicha, faqat sfera shunchaki bog'langanligini isbotlash juda qiyin bo'lib, matematiklar hali ham to'g'ri javobni qidirmoqdalar.
7. Yang-Mills tenglamalari (1954 yilda tuzilgan)
Kvant fizikasi tenglamalari elementar zarralar dunyosini tasvirlaydi. Fiziklar Yang va Mills geometriya va zarralar fizikasi o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlab, o'z tenglamalarini yozdilar. Shunday qilib, ular elektromagnit, zaif va kuchli o'zaro ta'sirlar nazariyalarini birlashtirish yo'lini topdilar. Yang-Mills tenglamalari butun dunyo bo'ylab laboratoriyalarda haqiqatda kuzatilgan zarrachalarning mavjudligini nazarda tutgan, shuning uchun Yang-Mills nazariyasi ko'pchilik fiziklar tomonidan qabul qilingan, garchi bu nazariya doirasida hali ham taxmin qilish mumkin emas. elementar zarrachalar massalari.
Mixail Vitebskiy
"Muammo hal qilindi Perelman, buyuk frantsuz matematigi tomonidan 1904 yilda ilgari surilgan gipotezani isbotlash talabidir Anri Puankare(1854-1912) va uning nomi bilan atalgan. Puankarening matematikada tutgan o‘rni haqida entsiklopediyadagidan ko‘ra yaxshiroq gapirish qiyin: “Puankarening matematika sohasidagi asarlari, bir tomondan, klassik yo‘nalishni yakunlasa, ikkinchi tomondan, taraqqiyotga yo‘l ochadi. yangi matematikaning, bunda miqdoriy munosabatlar bilan bir qatorda, sifat xarakteriga ega bo'lgan faktlar ham aniqlanadi" (TSB, 3-nashr, 2-jild). Puankare gipotezasi aniq sifatli xususiyatga ega - xuddi matematikaning butun sohasi (ya'ni topologiya) kabi va uni yaratishda Puankare hal qiluvchi rol o'ynagan.
Zamonaviy tilda Puankare gipotezasi shunday eshitiladi: har bir oddiy bog'langan ixcham uch o'lchovli chegarasiz kollektor uch o'lchovli sferaga gomeomorfikdir.
Keyingi paragraflarda biz ushbu dahshatli og'zaki formulaning ma'nosini hech bo'lmaganda qisman va juda qo'pol tushuntirishga harakat qilamiz. Avvaliga shuni ta'kidlaymizki, oddiy to'pning yuzasi bo'lgan oddiy shar ikki o'lchovli (va to'pning o'zi uch o'lchovli). Ikki o'lchovli shar uch o'lchovli fazoning sferaga tegishli bo'lmagan markaz deb ataladigan ba'zi tanlangan nuqtadan teng masofada joylashgan barcha nuqtalaridan iborat. Uch o'lchovli shar to'rt o'lchovli fazoning markazidan teng masofada joylashgan (sferaga tegishli bo'lmagan) barcha nuqtalaridan iborat. Ikki o'lchovli sferalardan farqli o'laroq, uch o'lchovli sharlar mavjud emas bizning to'g'ridan-to'g'ri kuzatishimiz va ularni tasavvur qilish biz uchun Vasiliy Ivanovich uchun mashhur hazildan kvadrat trinomialni tasavvur qilish kabi qiyin. Biroq, biz hammamiz uch o'lchovli sferada bo'lishimiz mumkin, ya'ni bizning Olamimiz uch o'lchovli sohadir.
Bu natijaning ma'nosi Perelman fizika va astronomiya uchun. "Shunchaki ulangan ixcham uch o'lchovli kollektor chekkasiz" atamasi bizning koinotimizning taxminiy xususiyatlarini ko'rsatadi. "Gomeomorf" atamasi ma'lum bir yuqori darajadagi o'xshashlikni, ma'lum ma'noda, farqlanmaslikni anglatadi. Umuman olganda, formula shuni anglatadiki, agar bizning Koinotimiz chekkasiz oddiy bog'langan ixcham uch o'lchovli manifoldning barcha xususiyatlariga ega bo'lsa, u xuddi shu "ma'lum ma'noda" uch o'lchovli sohadir.
Oddiy bog'liqlik tushunchasi juda oddiy tushunchadir. Tasavvur qilaylik, kauchuk tasma (ya'ni uchlari yopishtirilgan kauchuk ip) shunchalik elastikki, agar siz uni ushlab turmasangiz, u bir nuqtaga qisqaradi. Shuningdek, biz elastik tasmamizdan bir nuqtaga tortilganda, biz uni qo'ygan sirtdan tashqariga chiqmasligini talab qilamiz. Agar biz bunday elastik tasmani tekislikka cho'zsak va uni qo'yib yuborsak, u darhol bir nuqtaga qisqaradi. Agar globus yuzasiga, ya'ni sharga elastik tasma qo'ysak ham xuddi shunday bo'ladi. Qutqaruvchi kemaning yuzasida vaziyat butunlay boshqacha bo'ladi: mehribon o'quvchi bu sirtda elastikning bunday tartiblarini osongina topadi, unda elastikni ko'rib chiqilayotgan sirtdan tashqariga chiqmasdan tortib bo'lmaydi. Geometrik figura oddiy bog'langan deb ataladi, agar bu raqam chegarasida joylashgan har qanday yopiq konturni belgilangan chegaralardan chiqmasdan nuqtaga qisqartirish mumkin bo'lsa. Biz hozirgina ko'rdikki, tekislik va shar oddiygina bog'langan, ammo qutqaruv kemasining yuzasi oddiygina bog'lanmagan. Teshigi kesilgan samolyot ham oddiygina bog'lanmaydi. Oddiy bog'liqlik tushunchasi uch o'lchovli raqamlarga ham tegishli. Shunday qilib, kub va to'p oddiygina bog'langan: ularning qalinligida joylashgan har qanday yopiq kontur bir nuqtaga qisqarishi mumkin va qisqarish jarayonida kontur doimo shu qalinlikda qoladi. Ammo simit shunchaki bog'langan emas: unda siz qisqarish jarayonida kontur doimo simit xamirida bo'lishi uchun bir nuqtaga qisqarib bo'lmaydigan konturni topishingiz mumkin. Simit ham bir-biriga ulanmagan. Uch o'lchovli shar oddiygina bog'langanligini isbotlash mumkin.
Umid qilamizki, o'quvchi maktabda o'qitiladigan segment va interval o'rtasidagi farqni unutmagan. Segmentning ikkita uchi bor, u shu uchlardan va ular orasidagi barcha nuqtalardan iborat. Interval faqat uning uchlari orasida joylashgan barcha nuqtalardan iborat; uchlarining o'zi oraliqga kiritilmaydi: biz shuni aytishimiz mumkinki, oraliq - uchlari olib tashlangan segment va segment - uchlari qo'shilgan oraliq. bu. Interval va segment bir o'lchovli ko'p qirralilarning eng oddiy misollari bo'lib, bu erda oraliq chekkasiz ko'p qirrali, segment esa chekkali ko'p qirrali bo'ladi; segment holatida chekka ikkita uchdan iborat. Kollektorlarning asosiy xususiyati, ularning ta'rifiga asoslanadi, kollektorda barcha nuqtalarning qo'shnilari, chekkadagi nuqtalar bundan mustasno (ular mavjud bo'lmasligi mumkin) aynan bir xil tarzda joylashtirilgan.
Bunday holda, A nuqtaning qo'shnisi bu A nuqtaga yaqin joylashgan barcha nuqtalarning yig'indisidir. Cheti bo'lmagan kollektorda yashaydigan va faqat o'ziga eng yaqin bo'lgan ushbu manifoldning nuqtalarini ko'rishga qodir mikroskopik mavjudot. uning qaysi nuqtada, borliq ekanligini aniqlang: o'z atrofida doimo bir xil narsani ko'radi. Chetsiz bir o'lchovli manifoldlarga ko'proq misollar: butun to'g'ri chiziq, aylana. Kollektor bo'lmagan bir o'lchovli figuraga T harfi shaklidagi chiziq misol bo'ladi: bu erda maxsus nuqta bor, uning qo'shnisi boshqa nuqtalarning qo'shnisiga o'xshamaydi - bu uch nuqta bo'lgan nuqtadir. segmentlar uchrashadi. Bir o'lchovli manifoldning yana bir misoli sakkiz-raqamli chiziq; Bu erda to'rtta chiziq maxsus nuqtada birlashadi. Samolyot, shar va qutqaruv kemasining yuzasi cheti bo'lmagan ikki o'lchovli kollektorlarga misoldir. Teshigi kesilgan tekislik ham manifold bo'ladi - lekin qirrali yoki chekkasiz, bu teshik konturini qaerga qo'yishimizga bog'liq. Agar biz uni teshikka havola qilsak, biz chekkasiz manifoldni olamiz; agar biz konturni tekislikda qoldirsak, biz chetiga ega bo'lgan manifoldni olamiz, bu kontur nima bo'ladi. Albatta, biz bu erda ideal matematik kesishni nazarda tutgan edik va qaychi bilan haqiqiy jismoniy kesishda kontur qayerga tegishli degan savol hech qanday ma'noga ega emas.
Uch o'lchovli manifoldlar haqida bir necha so'z. Sfera, uning yuzasi bo'lib xizmat qiladigan shar bilan birga, qirrasi bo'lgan manifold; ko'rsatilgan shar aynan shu chekka. Agar biz bu to'pni atrofdagi bo'shliqdan olib tashlasak, biz chekkasiz manifoldni olamiz. Agar biz to'pning sirtini qirib tashlasak, biz matematik jargonda "zumlangan to'p" deb ataladigan narsaga ega bo'lamiz va ko'proq ilmiy tilda ochiq to'pni olamiz. Agar biz ochiq to'pni atrofdagi bo'shliqdan olib tashlasak, biz qirrasi bo'lgan kollektorni olamiz va cheti biz to'pdan yirtib tashlagan shar bo'ladi. Simit qobig'i bilan birga uch o'lchamli ko'p qirrali bo'lib, agar siz qobiqni yirtib tashlasangiz (biz uni cheksiz yupqa, ya'ni sirt deb hisoblaymiz), biz qirrasi bo'lmagan kollektorni olamiz. "zumlangan simit" shakli. Umuman olganda, butun makon, agar biz uni o'rta maktabda tushunilgandek tushunsak, uch o'lchovli ko'p qirrali bo'lmagan.
Kompaktlikning matematik tushunchasi qisman "ixcham" so'zining kundalik rus tilidagi ma'nosini aks ettiradi: "yaqin", "siqilgan". Geometrik figura ixcham deyiladi, agar uning cheksiz sonli nuqtalarining har qanday joylashuvi uchun ular bir xil figuraning nuqtalaridan biriga yoki ko'p nuqtalariga to'plansa. Segment ixchamdir: uning segmentidagi cheksiz nuqtalar to'plami uchun kamida bitta chegara nuqtasi mavjud bo'lib, uning har qanday qo'shnisi ko'rib chiqilayotgan to'plamning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga oladi. Interval ixcham emas: siz uning oxirigacha va faqat unga qarab to'planadigan nuqtalar to'plamini belgilashingiz mumkin - lekin oxiri intervalga tegishli emas!
Bo'sh joy yo'qligi sababli biz ushbu sharh bilan cheklanamiz. Aytaylik, biz ko'rib chiqqan misollardan ixchamlari segment, aylana, shar, simit va simit sirtlari, shar (sferasi bilan birga), simit va simit (bilan birga). uning qobig'i). Bundan farqli o'laroq, interval, tekislik, qumli to'p, simit va simit ixcham emas. Chetsiz uch o'lchamli ixcham geometrik figuralar orasida eng oddiyi uch o'lchovli shardir, ammo bunday raqamlar bizning odatiy "maktab" makonimizga to'g'ri kelmaydi. Ehtimol, gipoteza bilan bog'langan tushunchalarning eng chuquri Puankare, gomeomorfiya tushunchasidir. Gomeomorfiya - geometrik bir xillikning eng yuqori darajasi . Endi biz bu tushunchaga asta-sekin yaqinlashib, unga taxminiy izoh berishga harakat qilamiz.
Maktab geometriyasida biz bir xillikning ikki turiga duch kelamiz - raqamlarning muvofiqligi va ularning o'xshashligi. Eslatib o'tamiz, raqamlar bir-biriga qo'yilganda bir-biriga to'g'ri kelsa, kongruent deb ataladi. Maktabda bir-biriga mos keladigan raqamlar bir-biridan farq qilmaydi va shuning uchun moslik tenglik deb ataladi. Kongruent raqamlar barcha detallarida bir xil o'lchamlarga ega. O'xshashlik, bir xil o'lchamni talab qilmasdan, bu o'lchamlarning bir xil nisbatlarini anglatadi; shuning uchun o'xshashlik raqamlarning muvofiqlikdan ko'ra muhimroq o'xshashligini aks ettiradi. Umuman olganda, geometriya fizikaga qaraganda abstraktsiyaning yuqori darajasidir va fizika materialshunoslikdan yuqori.
Masalan, rulman, bilyard to'pi, kroket to'pi va to'pni oling. Fizika ular yaratilgan material kabi tafsilotlarni o'rganmaydi, balki faqat hajm, og'irlik, elektr o'tkazuvchanlik va boshqalar kabi xususiyatlar bilan qiziqadi. Matematika uchun ularning barchasi faqat o'lchamlari bilan farq qiladigan sharlardir. Agar to'plar turli o'lchamlarga ega bo'lsa, ular metrik geometriya uchun farq qiladi, ammo o'xshashlik geometriyasi uchun ularning barchasi bir xil. Geometriya nuqtai nazaridan, barcha to'plar va barcha kublar o'xshash, ammo to'p va kub bir xil emas.
Endi torusga qaraylik. Tepa - shakli rul va qutqaruv ko'targichi shaklida bo'lgan geometrik figura. Entsiklopediya torusni aylanadan tashqarida joylashgan o'q atrofida aylana aylantirish natijasida olingan raqam sifatida belgilaydi. Biz mehribon o'quvchini to'p va kubning har biri torus bilan emas, balki bir-biriga "o'xshash" ekanligini tushunishga chaqiramiz. Quyidagi fikrlash tajribasi bizga ushbu intuitiv ongni aniq ma'no bilan to'ldirishga imkon beradi. Keling, shunchalik egiluvchan materialdan yasalgan to'pni tasavvur qilaylik, uni egish, cho'zish, siqish va umuman, siz xohlagan tarzda deformatsiya qilish mumkin - shunchaki yirtib bo'lmaydi yoki bir-biriga yopishtirilmaydi. Shubhasiz, to'pni keyinchalik kubga aylantirish mumkin, ammo uni torusga aylantirish mumkin emas. Ushakovning tushuntirish lug'atida simit pishiriq (so'zma-so'z: sariyog 'bilan o'ralgan bulochka kabi) B harfi shaklida ta'riflangan. Ushbu ajoyib lug'atni hurmat qilgan holda, "8 raqami shaklida" so'zlari menga ko'proq tuyuladi. aniq; Ammo gomeomorfiya tushunchasida ifodalangan nuqtai nazardan qaraganda, 8 raqami shaklida pishirish, B harfi shaklida pishirish va fita shaklida pishirish bir xil shaklga ega. Agar novvoylar yuqorida aytib o'tilgan egiluvchanlik xususiyatlariga ega bo'lgan xamirni olish imkoniga ega bo'lgan deb hisoblasak ham, bulochkani ko'z yoshlarsiz va yopishtirmasdan mumkin emas! - oxirgi ikkita pishirilgan mahsulot kabi, na simitga, na simitga aylantirmang. Lekin siz sharsimon bulochkani kub yoki piramidaga aylantira olasiz. Mehribon o'quvchi, shubhasiz, pishirishning mumkin bo'lgan shaklini topa oladi, unga na bulochka, na simit, na simit aylantirilmaydi.
Ushbu kontseptsiyani nomlamasdan, biz allaqachon gomeomorfiya bilan tanishib chiqdik. Ikkita figura gomeomorf deyiladi, agar birini uzluksiz (ya'ni, buzilmagan yoki yopishtirmasdan) deformatsiyalash orqali boshqasiga aylantirish mumkin bo'lsa; bunday deformatsiyalarning o'zi gomeomorfizm deyiladi. Biz shunchaki topdikki, to'p kub va piramida uchun gomeomorf, lekin torus yoki simit uchun gomeomorf emas va oxirgi ikki jism bir-biriga gomeomorf emas. Biz o'quvchidan mexanik transformatsiya nuqtai nazaridan berilgan gomeomorfiya tushunchasining faqat taxminiy tavsifini berganimizni tushunishni so'raymiz.
Keling, gomeomorfiya tushunchasining falsafiy tomoniga to'xtalib o'tamiz. Tasavvur qilaylik, qandaydir geometrik figura ichida yashaydigan fikrlovchi mavjudot va Yo'q bu raqamga tashqaridan, "tashqaridan" qarash imkoniyatiga ega. Uning uchun u yashaydigan figura Olamni tashkil qiladi. Tasavvur qilaylikki, o'rab turgan figura uzluksiz deformatsiyaga uchraganda, borliq u bilan birga deformatsiyalanadi. Agar ko'rib chiqilayotgan figura to'p bo'lsa, u holda jonzot uning to'p, kub yoki piramidada ekanligini hech qanday tarzda ajrata olmaydi. Biroq, uning olami torus yoki simit kabi shakllanmaganiga ishonch hosil qilishi mumkin. Umuman olganda, jonzot uni o'rab turgan makonning shaklini faqat gomeomorfiyasigacha o'rnatishi mumkin, ya'ni u bir shaklni boshqasidan ajrata olmaydi, chunki bu shakllar gomeomorf bo'ladi.
Matematika uchun gipotezaning ma'nosi Puankare, hozirda gipotezadan Puankare-Perelman teoremasiga aylangan , juda katta (muammoni yechish uchun million dollar taklif qilingani bejiz emas), xuddi uni isbotlash uchun Perelman tomonidan topilgan usulning ahamiyati juda katta, lekin bu erda bu ahamiyatni tushuntirish bizning qobiliyatimizdan tashqarida. Masalaning kosmologik tomoniga kelsak, ehtimol bu jihatning ahamiyati jurnalistlar tomonidan biroz bo'rttirilgandir.
Biroq, ba'zi nufuzli ekspertlarning ta'kidlashicha, Perelmanning ilmiy yutug'i qora tuynuklarning paydo bo'lish jarayonlarini o'rganishda yordam berishi mumkin. Aytgancha, qora tuynuklar dunyoni bilish haqidagi tezisni to'g'ridan-to'g'ri rad etish bo'lib xizmat qiladi - bu eng ilg'or, yagona haqiqiy va qudratli ta'limotning markaziy qoidalaridan biri bo'lib, 70 yil davomida bizning kambag'allarimizning boshiga zo'rlik bilan uriladi. Axir, fizika o'rgatganidek, bu teshiklardan hech qanday signal bizga printsipial jihatdan etib bormaydi, shuning uchun u erda nima sodir bo'layotganini bilib bo'lmaydi. Umuman olganda, bizning koinotimiz qanday ishlashi haqida juda oz narsa bilamiz va biz buni hech qachon bilib olishimiz shubhali. Va uning tuzilishi haqidagi savolning ma'nosi to'liq aniq emas. Ta'limotga ko'ra, bu savol shulardan biri bo'lishi mumkin Budda, Yo'q javob bor. Fizika faqat ma'lum faktlarga ko'proq yoki kamroq mos keladigan qurilmalar modellarini taklif qiladi. Bunday holda, fizika, qoida tariqasida, matematika tomonidan taqdim etilgan allaqachon ishlab chiqilgan preparatlardan foydalanadi.
Albatta, matematika koinotning geometrik xususiyatlarini o'rnatishga da'vo qilmaydi. Ammo bu bizga boshqa fanlar tomonidan kashf etilgan xususiyatlarni tushunishga imkon beradi. Bundan tashqari. Bu bizga tasavvur qilish qiyin bo'lgan ba'zi xususiyatlarni yanada tushunarli qilish imkonini beradi; bu qanday bo'lishi mumkinligini tushuntiradi. Bunday mumkin bo'lgan (biz ta'kidlaymiz: faqat mumkin!) xususiyatlar koinotning cheklanganligi va uning yo'naltirilmasligini o'z ichiga oladi.
Uzoq vaqt davomida koinotning geometrik tuzilishining yagona tasavvur qilinadigan modeli uch o'lchovli Evklid fazosi, ya'ni o'rta maktabdan boshlab hammaga ma'lum bo'lgan fazo edi. Bu bo'shliq cheksizdir; boshqa g'oyalar mumkin emasdek tuyuldi; Koinotning cheksizligi haqida o'ylash aqldan ozgandek tuyuldi. Biroq, endi koinotning chekliligi haqidagi g'oya uning cheksizligi haqidagi g'oyadan kam qonuniy emas. Xususan, uch o'lchovli sfera cheklangan. Fiziklar bilan muloqot qilishdan menda ba'zilar "ehtimol" deb javob bergandek taassurot qoldirdi. Koinot cheksizdir”, boshqalari esa, “ehtimol, koinot chekli” deyishdi.
Uspenskiy V.A. , Matematikaning uzr so'zi yoki ma'naviy madaniyatning bir qismi sifatida matematika haqida, "Yangi dunyo" jurnali, 2007, N 12, p. 141-145.
Deyarli har bir inson, hatto matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmaganlar ham "Puankare taxmini" so'zlarini eshitgan, ammo hamma ham uning mohiyatini tushuntira olmaydi. Ko'pchilik uchun oliy matematika juda murakkab va tushunib bo'lmaydigan narsa bo'lib tuyuladi. Shuning uchun, keling, Puancare gipotezasi oddiy so'zlar bilan nimani anglatishini aniqlashga harakat qilaylik.
Tarkib:
Puankarening taxmini nima?
Gipotezaning asl formulasi quyidagicha ko'rinadi: " Har bir ixcham oddiygina bog'langan uch o'lchovli kollektor chegarasiz uch o'lchovli sferaga gomeomorfdir.».
To'p geometrik uch o'lchamli jism bo'lib, uning yuzasi shar deb ataladi, u ikki o'lchovli va bu sharga tegishli bo'lmagan bir nuqtadan - to'pning markazidan teng masofada joylashgan uch o'lchovli fazoning nuqtalaridan iborat. . Ikki o'lchovli sferalardan tashqari, to'rt o'lchovli fazoning ko'plab nuqtalaridan tashkil topgan uch o'lchovli sharlar ham mavjud bo'lib, ular sferaga tegishli bo'lmagan bir nuqtadan - uning markazidan ham teng masofada joylashgan. Agar biz ikki o'lchamli sharlarni o'z ko'zimiz bilan ko'ra olsak, uch o'lchovlilar bizning vizual idrokimizga bo'ysunmaydi.
Bizda koinotni ko'rish imkoni yo'qligi sababli, bu butun insoniyat yashaydigan uch o'lchovli soha deb taxmin qilishimiz mumkin. Bu Puankare gipotezasining mohiyatidir. Ya'ni, Olam quyidagi xususiyatlarga ega: uch o'lchovlilik, cheksizlik, oddiy bog'liqlik, ixchamlik. Gipotezada "gomeomorfiya" tushunchasi o'xshashlikning eng yuqori darajasini, o'xshashlikni, koinot misolida - farqlanmaslikni anglatadi.
Puankare kim?
Jyul Anri Puankare- 1854 yilda Frantsiyada tug'ilgan eng buyuk matematik. Uning qiziqishlari faqat matematika fanlari bilan cheklanib qolmay, fizika, mexanika, astronomiya va falsafani o‘rgangan. U dunyoning 30 dan ortiq ilmiy akademiyalari, jumladan, Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining aʼzosi boʻlgan. Barcha zamonlar va xalqlar tarixchilari Devid Xilbert va Anri Puankareni dunyoning eng buyuk matematiklari qatoriga qo‘shadilar. 1904 yilda olim bugungi kunda "Puankare taxmini" deb nomlanuvchi farazni o'z ichiga olgan mashhur maqolani nashr etdi. Bu matematiklar uchun o'rganish juda qiyin bo'lgan uch o'lchovli fazo edi, boshqa holatlar uchun dalillarni topish qiyin emas edi. Taxminan bir asr davomida bu teoremaning haqiqati isbotlandi.
21-asr boshlarida Mingyillik muammolari roʻyxatiga kiritilgan ushbu ilmiy muammoni hal qilish uchun Kembrijda bir million AQSh dollari miqdoridagi mukofot taʼsis etildi. Buni faqat Peterburglik rossiyalik matematik Grigoriy Perelman uch o'lchovli sfera uchun qila oldi. 2006 yilda u ushbu muvaffaqiyati uchun Filds medali bilan taqdirlangan, ammo u uni olishdan bosh tortgan.
Puankarening ilmiy faoliyatining xizmatlariga Quyidagi yutuqlarni qayd etish mumkin:
- topologiyaning asosi (turli hodisa va jarayonlarning nazariy asoslarini ishlab chiqish);
- differensial tenglamalarning sifat nazariyasini yaratish;
- maxsus nisbiylik nazariyasiga asos bo‘lgan amorf funksiyalar nazariyasini ishlab chiqish;
- qaytish teoremasini ilgari surish;
- samoviy mexanikaning eng yangi, eng samarali usullarini ishlab chiqish.
Gipotezani isbotlash
Oddiy bog'langan uch o'lchovli fazoga geometrik xususiyatlar beriladi va ular orasidagi masofalar burchak hosil qilish uchun metrik elementlarga bo'linadi. Soddalashtirish uchun namuna sifatida bir o'lchovli kollektorni olamiz, bunda Evklid tekisligida silliq yopiq egri chiziqqa har bir nuqtada 1 ga teng tangens vektorlar o'tkaziladi.Egri chiziqni kesib o'tganda vektor ma'lum bir burchak tezligi bilan aylanadi. egrilikka teng. Chiziq qanchalik ko'p egilgan bo'lsa, egrilik shunchalik katta bo'ladi. Agar tezlik vektori chiziq bo'linadigan tekislikning ichki tomoniga aylantirilsa, egrilik musbat qiyalikka, tashqariga aylantirilsa, salbiy nishabga ega bo'ladi. Egrilik joylarida egrilik 0 ga teng. Endi egri chiziqning har bir nuqtasiga burchak tezlik vektoriga perpendikulyar, uzunligi esa egri chiziq qiymatiga teng vektor beriladi. Egrilik musbat bo'lganda ichkariga, manfiy bo'lsa tashqi tomonga buriladi. Tegishli vektor tekislikdagi har bir nuqta harakatlanadigan yo'nalish va tezlikni aniqlaydi. Agar siz biron bir joyda yopiq egri chizsangiz, unda bunday evolyutsiya bilan u aylanaga aylanadi. Bu isbotlanishi kerak bo'lgan uch o'lchovli makon uchun to'g'ri keladi.
Misol: Buzilmasdan deformatsiyalanganda, balon turli shakllarga ega bo'lishi mumkin. Ammo siz simit tayyorlay olmaysiz, buning uchun uni kesishingiz kerak. Va aksincha, simitga ega bo'lsangiz, siz qattiq to'pni qila olmaysiz. Garchi deformatsiya paytida uzilishlarsiz boshqa har qanday sirtdan sharni olish mumkin. Bu shuni ko'rsatadiki, bu sirt to'p uchun gomeomorfikdir. Har qanday to'pni bitta tugun bilan ip bilan bog'lash mumkin, ammo donut bilan buni qilish mumkin emas.
To'p - bu eng oddiy uch o'lchovli tekislik bo'lib, u deformatsiyalanishi va nuqtaga buklanishi va aksincha.
Muhim! Puankare gipotezasida aytilishicha, yopiq n o'lchovli manifold, agar u gomeomorf bo'lsa, n o'lchovli sohaga ekvivalentdir. Bu ko'p o'lchovli tekisliklar nazariyasi rivojlanishining boshlang'ich nuqtasi bo'ldi.
