Решение.
Вероятност да не са нарисувани емблеми: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Вероятност за получаване на три герба: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон за разпределение на случайната променлива X:
| х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| П | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Пример №2. Вероятността един стрелец да уцели целта с един изстрел за първия стрелец е 0,8, за втория стрелец – 0,85. Стрелците са произвели един изстрел в целта. Като се има предвид попадението в целта като независими събития за отделните стрелци, намерете вероятността за събитие А – точно едно попадение в целта.
Решение.
Да разгледаме събитие А - едно попадение в целта. Възможни опцииПоявата на това събитие е както следва:
- Първият стрелец попадна, вторият пропусна: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Първият стрелец пропусна, вторият стрелец уцели целта: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Първата и втората стрела уцелват целта независимо една от друга: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Както е известно, случайна величина се нарича променлива величина, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайни променливи означават с главни букви латиница(X, Y, Z), а техните стойности са посочени със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.
Дискретна случайна променлива Наречен произволна стойност, като се приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.
1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:
където λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).
Свойства на функцията F(x)
3 . Законът за разпределение може да се посочи графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).
Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-много важни характеристикиразпределителен закон. Това може да е число, което има значението на "средната стойност" на случайна променлива, или число, което показва средният размеротклонение на случайна величина от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива.
Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :
- Математическо очакване
(средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ - дисперсия
дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ - Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).
Примери за решаване на задачи по темата „Законът за разпределение на дискретна случайна променлива“
Задача 1.
Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли, 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.
Решение. Според условията на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.
Броят на билетите без печалба е 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Нека представим получения закон под формата на таблица:
Нека намерим математическото очакване на стойността X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Задача 3.
Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете многоъгълник на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.
Решение. 1. Дискретната случайна променлива X=(броят неуспешни елементи в един експеримент) има следното възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е повреден), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 (два елемента са неуспешни) и x 4 =3 (три елемента са неуспешни).
Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за отказ на всеки елемент са равни, следователно е приложим Формула на Бернули
. Като се има предвид, че според условието n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Така желаният биномиален закон за разпределение на X има формата:
Начертаваме възможните стойности на x i по абсцисната ос и съответните вероятности p i по ординатната ос. Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.
3. Да намерим функцията на разпределение F(x) = Р(Х
За x ≤ 0 имаме F(x) = Р(Х<0) = 0;за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще има F(x) = 1, защото събитието е надеждно.
 |
Графика на функция F(x)
4.
За биномно разпределение X:
- математическо очакване M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Дискретно произволноПроменливите са случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга и които могат да бъдат изброени предварително.
Закон за разпределение
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Серията на разпределение на дискретна случайна променлива е списъкът на нейните възможни стойности и съответните вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е функцията:
,
определяне за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.
Очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността случайна променлива да приеме X стойности.
Ако една случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава: 
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,
Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива: 
или 
.
Дисперсия на броя на появяванията на събитие в n независими опити 
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива: 
.
Пример 1
Начертайте закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (DRV) X – броят k появявания на поне една „шестица“ при n = 8 хвърляния на чифт зарове. Построете многоъгълник на разпределение. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А – „при хвърляне на чифт зарове шестица се появява поне веднъж.“ За да се намери вероятността P(A) = p на събитие A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā - „при хвърляне на чифт зарове, шестица никога не се появява.“
Тъй като вероятността „шестица“ да не се появи при хвърляне на един зар е 5/6, тогава според теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата следват схемата на Бернули, така че д.с.в. величина х- номер кпоявата на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите: 
където = е броят на комбинациите от нот к.
Изчисленията, извършени за този проблем, могат удобно да бъдат представени под формата на таблица:
Разпределение на вероятностите d.s.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )
| к | ||||||||||
Пн(к) |
Полигон (многоъгълник) на вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фигурата:
Ориз. Полигон на разпределение на вероятностите d.s.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).
Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.s.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е равно на:
М(х) = = 2,4444,
Където xk = к– взета стойност от д.с.в. х. Дисперсия д(х) намираме разпределението по формулата:
д(х) = 
= 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.
Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределението
Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава се равнява на вероятността за събитие, което може да се случи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава според теоремата за добавяне вероятността за събитие е равна на сумата от вероятностите 0,3 + 0,1 = 0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва: 
Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условие вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни: 
Законът за разпределение има формата:
Образователна институция „Беларуска държава
селскостопанска академия"
Катедра Висша математика
Насоки
за изучаване на темата „Случайни променливи“ от студенти от Счетоводния факултет за задочно обучение (НИСПО)
Горки, 2013 г
Случайни променливи
Дискретни и непрекъснати случайни променливи
Едно от основните понятия в теорията на вероятностите е понятието случайна величина . Случайна величина е величина, която в резултат на тестване приема само една от многото си възможни стойности и не е известно предварително коя.
Има случайни променливи дискретни и непрекъснати . Дискретна случайна променлива (DRV) е случайна променлива, която може да приеме краен брой стойности, изолирани една от друга, т.е. ако възможните стойности на това количество могат да бъдат преизчислени. Непрекъсната случайна променлива (CNV) е случайна променлива, всички възможни стойности на която напълно запълват определен интервал от числовата линия.
Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука X, Y, Z и др. Възможните стойности на случайни променливи са обозначени със съответните малки букви.
Записвайте 
означава „вероятността една случайна променлива хще приеме стойност 5, равна на 0,28.
Пример 1 . Заровете се хвърлят веднъж. В този случай могат да се появят числа от 1 до 6, които показват броя на точките. Нека означим случайната променлива х=(брой хвърлени точки). Тази случайна променлива в резултат на теста може да приеме само една от шест стойности: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следователно, случайната променлива хима DSV.
Пример 2 . Когато се хвърли камък, той изминава определено разстояние. Нека означим случайната променлива х=(дистанция на полет на камък). Тази случайна променлива може да приема произволна, но само една стойност от определен интервал. Следователно, случайната променлива хима NSV.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
Дискретна случайна променлива се характеризира със стойностите, които може да приеме, и вероятностите, с които се вземат тези стойности. Съответствието между възможните стойности на дискретна случайна променлива и съответните им вероятности се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива .
Ако всички възможни стойности са известни 
случайна величина хи вероятности 
появата на тези стойности, тогава се смята, че законът за разпределение на DSV хе известно и може да се запише в таблична форма:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Законът за разпределение на DSV може да бъде изобразен графично, ако точките са изобразени в правоъгълна координатна система 
,
,
…,
и ги свържете с прави сегменти. Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.
Пример 3 . Зърното, предназначено за почистване, съдържа 10% плевели. 4 зърна бяха избрани на случаен принцип. Нека означим случайната променлива х=(брой плевели сред четирите избрани). Конструирайте закона за разпределение DSV хи разпределителен полигон.
Решение . Според примерните условия. Тогава:
Нека запишем закона за разпределение на DSV X под формата на таблица и да изградим многоъгълник на разпределение:
|
|
Очакване на дискретна случайна променлива
Най-важните свойства на дискретната случайна променлива се описват от нейните характеристики. Една от тези характеристики е очаквана стойност случайна величина.
Нека се знае законът за разпределение на DSV х:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математическо очакване
DSV хе сумата от произведенията на всяка стойност на това количество по съответната вероятност: 
.
Математическото очакване на случайна променлива е приблизително равно на средноаритметичното на всички нейни стойности. Следователно в практическите задачи средната стойност на тази случайна променлива често се приема като математическо очакване.
Пример 8 . Стрелецът отбелязва 4, 8, 9 и 10 точки с вероятности 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Намерете математическото очакване на броя точки с един удар.
Решение . Нека означим случайната променлива х=(брой отбелязани точки). Тогава . Така очакваният среден брой отбелязани точки с една стрелба е 8,2, а с 10 стрелби - 82.
Основни свойства математическите очаквания са:
.
.
, Където 
,
.
.
, Където хИ Yса независими случайни променливи.
Разлика 
Наречен отклонение
случайна величина хот математическото си очакване. Тази разлика е случайна величина и нейното математическо очакване е нула, т.е. 
.
Дисперсия на дискретна случайна променлива
За да характеризираме случайна променлива, в допълнение към математическото очакване, ние също използваме дисперсия , което дава възможност да се оцени дисперсията (разпространението) на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Когато се сравняват две хомогенни случайни променливи с еднакви математически очаквания, за „най-добра“ стойност се счита тази, която има по-малък спред, т.е. по-малка дисперсия.
Дисперсия случайна величина хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване: .
При практически задачи се използва еквивалентна формула за изчисляване на дисперсията.
Основните свойства на дисперсията са:
.
Можем да подчертаем най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:
- Биномен закон на разпределение
- Закон за разпределение на Поасон
- Геометричен закон на разпределение
- Хипергеометричен закон на разпределение
За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и т.н.) се извършва с помощта на определени „формули“. Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.
1. Биномен закон на разпределение.
Дискретна случайна променлива $X$ се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите, ако приема стойности $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитие $A$ в $n$ независими опити. Закон за вероятностното разпределение на случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$
За такава случайна променлива математическото очакване е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Пример . Семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите да имате момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi$ - броя на момчетата в семейството.
Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойности, които $\xi може да приеме:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени с помощта на формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ е броят на независимите опити, $p=0,5$ е вероятността събитие да се случи в серия от $n$ опита. Получаваме:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, тоест:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$
Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=$1.
Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.
2. Закон за разпределение на Поасон.
Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава имаме причина да се твърди, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.
Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени от бензиностанция утре; брой дефектни артикули в произведени продукти.
Пример . Фабриката изпрати $500 $ продукти до базата. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; какво е $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.
Нека дискретната случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са равни на $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Закон за разпределение на случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$
За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Геометричен закон на разпределение.
Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ правилно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава те казват, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение е тест на Бернули до първия успех.
Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството до първата повреда; броя на хвърлянията на монети, докато се появи първата глава и т.н.
Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, предмет на геометрично разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.
Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността рибата да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Постройте серия от разпределение на случайната променлива $X$ - броят на шлюзовете, преминали от рибата преди първото задържане на шлюза. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Нека случайната променлива $X$ е броят на заключванията, преминали от рибата преди първото спиране на ключалката. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойности, които случайната променлива $X може да приеме: $ 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, където: $ p=2/5$ - вероятността рибата да бъде задържана през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над (5))=0,4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$
Очаквана стойност:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
дисперсия:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$
Стандартно отклонение:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$
4. Хипергеометричен закон на разпределение.
Ако $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат дадено свойство. $n$ обекта се извличат произволно без връщане, сред които имаше $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение позволява да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадката да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:
$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$
Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функция $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой тестове да бъдат успешни.
$f_x\to$ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ Добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В колоната Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността $k$. образец_размере равно на $n$. В колоната Брой_успехи_в_заеднопосочете стойността $m$. популация_размере равно на $N$.
Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричния закон на разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3-ма специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.
а) Направете разпределителна серия за броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат изпратени за повишаване на квалификацията;
б) Намерете числените характеристики на това разпределение.
Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X може да приеме: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометрично разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ върху C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$
Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$
Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$ с помощта на общите хиперформули геометрично разпределение.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$
