Закони за разпределение на дискретни случайни величини. Геометрично разпределение

ЛЕКЦИЯ 8

Вероятностни разпределения на дискретни случайни променливи.Биномиално разпределение. Поасоново разпределение. Геометрично разпределение. Генерираща функция.

6. ВЕРОЯТНОСТНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ
ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Биномиално разпределение

Нека се произвежда ннезависими изпитания, във всяко от които събитието АМоже да се появи или да не се появи. Вероятност стрнастъпване на събитие Авъв всички тестове е постоянен и не се променя от тест на тест. Разгледайте като случайна променлива X броя на случванията на събитието Ав тези тестове. Формула за намиране на вероятността за възникване на събитие А
гладка кведнъж на всеки нтестовете, както е известно, са описани Формула на Бернули

Вероятностното разпределение, определено от формулата на Бернули, се нарича бином .

Този закон се нарича "бином", защото дясната страна може да се разглежда като общ термин в разширяването на бинома на Нютон

Нека напишем биномния закон под формата на таблица

Нека намерим числените характеристики на това разпределение.

.

Нека запишем равенството, което е Нютонова двоична система

.

и го разграничете по отношение на p. В резултат на това получаваме

.

Умножете лявата и дясната страна по стр:

.

Като се има предвид това p+q=1, имаме

(6.2)

Така, математическото очакване на броя на събитията в n независими опити е равно на произведението на броя на опитите n по вероятността p за настъпване на събитие във всеки опит.

Нека изчислим дисперсията с помощта на формулата

За това ще намерим

.

Нека първо диференцираме биномната формула на Нютон два пъти по отношение на стр:

и умножете двете страни на равенството по стр 2:

следователно

И така, дисперсията на биномното разпределение е

. (6.3)

Тези резултати могат да бъдат получени и чрез чисто качествено разсъждение. Общият брой X на появявания на събитие A във всички опити е сумата от броя на появявания на събитието в отделни опити. Следователно, ако X 1 е броят на събитията на събитието в първия опит, X 2 – във втория и т.н., тогава общият брой на събитията A във всички опити е равен на X = X 1 + X 2 +...+X н. Според свойството на математическото очакване:

Всеки от членовете от дясната страна на равенството е математическото очакване на броя на събитията в едно изпитание, което е равно на вероятността на събитието. По този начин,

Според свойството на дисперсия:

Тъй като , и математическото очакване на случайна променлива, която може да приеме само две стойности, а именно 1 2 с вероятност стри 0 2 с вероятност р, Че . По този начин, В резултат на това получаваме

Използвайки концепцията за начален и централен момент, можем да получим формули за асиметрия и ексцес:

. (6.4)

Многоъгълникът на биномното разпределение има следната форма (виж Фиг. 6.1). Вероятност П н(к) първо нараства с увеличаване к, достига най-високата си стойност и след това започва да намалява. Биномиалното разпределение е изкривено с изключение на случая стр=0,5. Имайте предвид, че с голям брой тестове нБиномното разпределение е много близко до нормалното. (Обосновката за това предложение е свързана с локалната теорема на Moivre-Laplace.)

Броят m 0 на събитията се нарича най-вероятно, ако вероятността дадено събитие да се случи определен брой пъти в тази поредица от тестове е най-голяма (максимум в полигона на разпределение). За биномно разпределение

. (6.5)

Коментирайте. Това неравенство може да се докаже с помощта на рекурентната формула за биномни вероятности:

(6.6)

Пример 6.1.Делът на първокласните продукти в това предприятие е 31%. Какви са математическото очакване и дисперсията, както и най-вероятният брой премиум продукти в произволно избрана партида от 75 продукта?

Решение. Тъй като стр=0,31, р=0,69, н=75, тогава

М[ х] = н.п.= 75 × 0,31 = 23,25; Д[ х] = npq= 75 × 0,31 × 0,69 = 16,04.

За да намерите най-вероятното число м 0, нека създадем двойно неравенство

Следва, че м 0 = 23.

Поасоново разпределение

Както вече беше отбелязано, биномното разпределение се доближава до нормалното, когато н®¥. Това обаче не се случва, ако заедно с увеличението недно от количествата стрили рклони към нула. В този случай е валидна асимптотичната формула на Поасон, т.е. при н®¥, стр®0

, (6.7)

където l= н.п.. Тази формула определя Закон за разпределение на Поасон , което има независимо значение, а не само като частен случай на биномното разпределение. За разлика от биномното разпределение, тук случайната променлива кможе да приема безкраен брой стойности: к=0,1,2,…

Законът на Поасон описва броя на събитията k, настъпващи за равни периоди от време, при условие че събитията се случват независимо едно от друго с постоянна средна интензивност, която се характеризира с параметъра l. Полигонът на разпределение на Поасон е показан на фиг. 6.2. Имайте предвид, че за големи l състезания
Разпределението на Поасон се доближава до нормалното. Следователно разпределението на Поасон се използва като правило в случаите, когато l е от порядъка на единица, а броят на опитите нтрябва да е висока и вероятността събитието да се случи стрвъв всеки тест е малък. В тази връзка често се нарича и законът на Поасон закон за разпространение на редки явления.

Примери за ситуации, в които възниква разпределението на Поасон, са разпределенията на: 1) броя на определени микроби в единица обем; 2) броят на електроните, излъчени от нагрятия катод за единица време; 3) броя на а-частиците, излъчени от радиоактивен източник за определен период от време; 4) броят на повикванията, пристигащи на телефонната централа в определен час от деня и др.

Нека напишем закона на Поасон под формата на таблица

Нека проверим дали сумата от всички вероятности е равна на единица:

Нека намерим числените характеристики на това разпределение. По дефиниция на математическото очакване за DSV, имаме

Имайте предвид, че в последната сума сумирането започва с к=1, защото първият член на сумата, съответстваща на к=0, равно на нула.

За да намерим дисперсията, първо намираме математическото очакване на квадрата на произволното:

По този начин математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, разпределена съгласно закона на Поасон, съвпадат и са равни на параметъра на това разпределение

. (6.8)

Това е отличителната черта на разпределението на Поасон. По този начин, ако въз основа на експериментални данни се установи, че математическото очакване и дисперсията на определена стойност са близки една до друга, тогава има основание да се предположи, че тази случайна променлива е разпределена в съответствие със закона на Поасон.

Използвайки концепцията за начален и централен момент, можем да покажем, че за разпределението на Поасон коефициентът на асиметрия и ексцесът са равни:

. (6.9)

Тъй като параметърът l винаги е положителен, разпределението на Поасон винаги има положителна асиметрия и ексцес.

Нека сега покажем, че формулата на Поасон може да се разглежда като математически модел на най-простия поток от събития.

Потокът от събитияизвикайте поредица от събития, които се случват в произволни моменти. Потокът се нарича най-простият, ако има свойствата стационарност, без последействиеИ обикновеност.

Интензивността на потока l е средният брой събития, които се случват за единица време.

Ако е известна константата на интензитета на потока l, тогава вероятността за възникване кнай-простите събития протичат във времето Tсе определя по формулата на Поасон:

. (6.10)

Тази формула отразява всички свойства на най-простия поток. Освен това всеки най-прост поток се описва с формулата на Поасон, поради което най-простите потоци често се наричат Поасон.

Свойство стационарност ксъбития във всеки период от време зависи само от броя ки по времетраене Tпериод от време и не зависи от началото на отчитането му. С други думи, ако потокът има свойството на стационарност, тогава вероятността за възникване ксъбития за определен период от време Tима функция, която зависи само от ки от T.

В случай на най-простия поток от формулата на Поасон (6.10) следва, че вероятността ксъбития по време на T, при даден интензитет, е функция само на два аргумента: кИ T, което характеризира свойството стационарност.

Без свойство на последействиее, че вероятността за възникване ксъбития във всеки период от време зависи от това дали събитията са се появили или не в точки от времето, предхождащи началото на въпросния период. С други думи, историята на потока не влияе върху вероятностите за събития, настъпили в близко бъдеще.

В случай на най-простия поток формулата на Поасон (6.10) не използва информация за настъпването на събития преди началото на разглеждания период от време, което характеризира свойството за липса на последствия.

Имот на обикновеносте, че настъпването на две или повече събития за кратък период от време е практически невъзможно. С други думи, вероятността да се случи повече от едно събитие за кратък период от време е незначителна в сравнение с вероятността да се случи само едно събитие.

Нека покажем, че формулата на Поасон (6.10) отразява свойството обикновеност. Поставяне к=0 и к=1, намираме съответно вероятностите да не се случат събития и да се случи едно събитие:

Следователно вероятността да се случи повече от едно събитие е

Използвайки разширението на функцията в реда на Маклорен, след елементарни трансформации получаваме

.

Сравняване Пт(1) и Пт(к>1), заключаваме, че за малки стойности Tвероятността за настъпване на повече от едно събитие е незначителна в сравнение с вероятността за настъпване на едно събитие, което характеризира свойството обикновеност.

Пример 6.2.В наблюденията на Ръдърфорд и Гайгер, радиоактивно вещество за период от време от 7,5 секизлъчва средно 3,87 а-частици. Намерете вероятността за 1 сектова вещество ще излъчи поне една частица.

Решение. Както вече отбелязахме, разпределението на броя на а-частиците, излъчени от радиоактивен източник за определен период от време, се описва с формулата на Поасон, т.е. формира най-простия поток от събития. Тъй като интензитетът на излъчване на a-частици за 1 секравно на

,

тогава формулата на Поасон (6.10) приема формата

По този начин вероятността, че T=1 секвеществото ще излъчи поне една частица ще бъде равно

Геометрично разпределение

Нека стрелбата се извършва по дадена цел до първото попадение и вероятността стрпопадението в целта при всеки изстрел е едно и също и не зависи от резултатите от предишни изстрели. С други думи, в разглеждания експеримент се прилага схемата на Бернули. Като случайна променлива X ще считаме броя на изстрелите. Очевидно възможните стойности на случайната променлива X са естествени числа: х 1 =1, х 2 =2, ... тогава вероятността да е необходимо кударите ще бъдат равни

. (6.11)

Ако приемем в тази формула к=1,2, ... получаваме геометрична прогресия с първия член стри множител р:

Поради тази причина се нарича разпределението, определено с формула (6.11). геометричен .

Използвайки формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, е лесно да се провери, че

.

Нека намерим числените характеристики на геометричното разпределение.

По дефиниция на математическото очакване за DSV, имаме

.

Нека изчислим дисперсията с помощта на формулата

.

За това ще намерим

.

следователно

.

И така, математическото очакване и дисперсията на геометричното разпределение са равни на

. (6.12)

6.4.* Генерираща функция

При решаване на задачи, свързани с DSV, често се използват комбинаторни методи. Един от най-разработените теоретични методи на комбинаторния анализ е методът на генериране на функции, който е един от най-мощните методи в приложенията. Нека се запознаем накратко с него.

Ако случайната променлива x приема само неотрицателни цели числа, т.е.

,

Че генерираща функция вероятностното разпределение на случайна променлива x се нарича функция

, (6.13)

Където z– реална или комплексна променлива. Забележи, че между множество генериращи функции j x ( х)и много дистрибуции(P(x= к)} има кореспонденция едно към едно.

Нека случайната променлива x има биномно разпределение

.

След това, използвайки биномната формула на Нютон, получаваме

,

тези. функция, генерираща биномно разпределение изглежда като

. (6.14)

Допълнение. Функция, генерираща Поасон

изглежда като

. (6.15)

Произвеждаща функция на геометричното разпределение

изглежда като

. (6.16)

Използвайки генериращи функции, е удобно да намерите основните числени характеристики на DSV. Например, първият и вторият начален момент са свързани с генериращата функция със следните равенства:

, (6.17)

. (6.18)

Методът за генериране на функции често е удобен, тъй като в някои случаи функцията на разпределение на DSV е много трудна за определяне, докато генериращата функция понякога е лесна за намиране. Например, разгледайте дизайна на последователния независим тест на Бернули, но направете една промяна в него. Нека вероятността да се случи събитие Аварира от изпитание до изпитание. Това означава, че формулата на Бернули става неприложима за такава схема. Задачата за намиране на функцията на разпределение в този случай представлява значителни трудности. Въпреки това, за тази схема, генериращата функция е лесна за намиране и, следователно, съответните числени характеристики са лесни за намиране.

Широкото използване на генериращи функции се основава на факта, че изследването на суми от случайни променливи може да бъде заменено с изследване на продуктите на съответните генериращи функции. Така че, ако x 1, x 2, …, x нзначи са независими

Позволявам p k=Pk(А) – вероятност за „успех“ в к-ти тест във веригата на Бернули (съответно, q k=1–p k– вероятност за „провал“ в кти тест). Тогава, в съответствие с формула (6.19), генериращата функция ще има формата

. (6.20)

Използвайки тази генерираща функция, можем да пишем

.

Тук се има предвид, че p k +q k=1. Сега, използвайки формула (6.1), намираме втория начален момент. За да направим това, нека първо изчислим

И .

В специален случай стр 1 =стр 2 =…=p n=стр(т.е. в случай на биномиално разпределение) от получените формули следва, че Mx= н.п., Dx= npq.

Можем да подчертаем най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:

• Биномен закон на разпределение
• Закон за разпределение на Поасон
• Геометричен закон на разпределение
• Хипергеометричен закон на разпределение

За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и т.н.) се извършва с помощта на определени „формули“. Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.

1. Биномиален закон на разпределение.

Дискретна случайна променлива $X$ се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите, ако приема стойности $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитие $A$ в $n$ независими опити. Закон за вероятностното разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . Семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите да имате момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi$ - броя на момчетата в семейството.

Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойности, които $\xi може да приеме:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени с помощта на формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ е броят на независимите опити, $p=0,5$ е вероятността събитие да се случи в серия от $n$ опита. Получаваме:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, тоест:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$

Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=$1.

Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.

2. Закон за разпределение на Поасон.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава имаме причина да се твърди, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.

Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени от бензиностанция утре; брой дефектни артикули в произведени продукти.

Пример . Фабриката изпрати $500 $ продукти до базата. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; какво е $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Нека дискретната случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са равни на $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон за разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Геометричен закон на разпределение.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ правилно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава те казват, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение е тест на Бернули до първия успех.

Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството до първата повреда; броя на хвърлянията на монети, докато се появи първата глава и т.н.

Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, предмет на геометрично разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността рибата да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Постройте поредица от разпределение на случайната променлива $X$ - броя на шлюзовете, преминали от рибата преди първото задържане на шлюза. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Нека случайната променлива $X$ е броят на заключванията, преминали от рибата преди първото спиране на ключалката. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойности, които случайната променлива $X може да приеме: $ 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, където: $ p=2/5$ - вероятността рибата да бъде задържана през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$

Очаквана стойност:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$

Стандартно отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$

4. Хипергеометричен закон на разпределение.

Ако $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат дадено свойство. $n$ обекта се извличат произволно без връщане, сред които имаше $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение позволява да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадката да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:

$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$

Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функция $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой тестове да бъдат успешни.

$f_x\to$ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ Добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В колоната Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността $k$. образец_размере равно на $n$. В колоната Брой_успехи_в_заеднопосочете стойността $m$. популация_размере равно на $N$.

Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричния закон на разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3-ма специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.

а) Направете разпределителна серия за броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат изпратени за повишаване на квалификацията;

б) Намерете числените характеристики на това разпределение.

Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X може да приеме: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометрично разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ над C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$

Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$

Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$, използвайки общите формули на хипергеометричното разпределение.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$

Тези. дискретно случаен стойността на X има геом. дистрибутор с параметър Ри знаменател р, ако приема стойности 1,2,3,... к, ... с вероятности

P(X) = pq k-1, където р=1-Р.

Разпределението се нарича геом., т.к. истинност p 1, p 2, ...образуват геометрична прогресия, чийто първи член е Р, а знаменателят е р.

Ако броят на тестовете не е ограничен, т.е. ако една случайна променлива може да приема стойности 1, 2, ..., ∞, тогава очакваната стойност и дисперсията са геометрични. разпределенията могат да бъдат намерени по формулите Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Пример. Пистолетът се стреля по целта до първото попадение. Вероятността за попадение в целта е p = 0,6 с всеки изстрел. С.в. X е броят на възможните изстрели преди първото попадение.

А) Съставете серия на разпределение, намерете функцията на разпределение, начертайте нейната графика и намерете всички числени характеристики. b) Намерете математическото очакване и дисперсията за случая, ако стрелецът възнамерява да произведе не повече от три изстрела.

а)Случайната променлива може да приема стойности 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Диапазон на разпространение:

Контрол: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (сума от геометрична прогресия)

Функцията на разпределение е вероятността r.v. X ще приеме стойност, по-малка от конкретната числена стойност на x. Стойностите на функцията на разпределение се намират чрез сумиране на вероятностите.

Ако x ≤ 1, тогава F(x) = 0

Ако 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Ако 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Ако 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Ако k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

б)Случайната променлива може да приема стойности 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Диапазон на разпространение:

Контрол: Σp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Разпределителна функция.

Ако x ≤ 1, тогава F(x) = 0
Ако 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Ако 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Ако x > 3, тогава F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
σ(X) ≈ 0,752

Изкривяване и ексцес

Асиметрия е свойство на извадковото разпределение, което характеризира асиметрията на разпределението на случайна променлива. На практика симетричните разпределения са рядкост и за да се идентифицира и оцени степента на асиметрия, се въвежда понятието асиметрия. При отрицателен коефициент на асиметрия се наблюдава по-плавно „спускане” отляво, в противен случай – отдясно. В първия случай асиметрията се нарича лявостранна, а във втория - дясна.

Коефициент на асиметрия отделенслучайната променлива се изчислява по формулата:
As(X) = (х 1-М х) 3 p 1 + (х 2 - М х) 3 p 2 + ... + ( х n-M х) 3 p n

коеф. асиметрия непрекъснатосл.вел. изчислено по формулата:

Излишък е мярка за стръмността на кривата на разпределение. Коефициентът на ексцес на дискретна случайна променлива се изчислява по формулата:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

Коефициентът на ексцес на непрекъсната случайна променлива се изчислява по формулата:

Пример.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X е списък от всички възможни стойности на следващата променлива. X, които може да приеме, и съответните вероятности. Сумата от всички вярвания трябва да е равна на 1. Проверка: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Очаквана стойност: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. дисперсияе математическото очакване на квадратното отклонение на стойностите на следващата вел. X от нейния мат.ож.: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   или D(X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0 ,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. ср. кв. изключеное корен квадратен от дисперсията: σ = √1,09 ≈ 1,044
4. Коеф. асиметрия As(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Коеф. излишъкд х(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. Функцията на разпределение е вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от някаква числена стойност х: F(X) = P(X< х). Функцията на разпределение е ненамаляваща функция. Приема стойности в диапазона от 0 до 1.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Непрекъснати случайни променливи. Нормална дистрибуция.

Непрекъснатослучайната променлива не приема никакви специфични числови стойности, но всякакви стойности в числовия интервал. Описанието на закона за разпределение в непрекъснатия случай е много по-сложно, отколкото в дискретния случай.

Непрекъснатонаречена случайна променлива, която може да приеме произволна стойност от определен интервал, например времето за изчакване за транспорт, температурата на въздуха през всеки месец, отклонението на действителния размер на част от номиналния и др. Интервалът, на който се задава, може да бъде безкраен в едната или в двете посоки.

Основната разлика в задачите за изчисляване на вероятностите за дискретни и непрекъснати случаи е следната. В отделен случайза събития като x = c(случайната променлива приема определена стойност) се търси вероятността Р(с). В непрекъснатия случайвероятности от този тип са равни на нула, следователно вероятностите за събития от типа „случайна променлива приема стойности от определен сегмент“ представляват интерес, т.е. А≤ х≤ b. Или за събития като х≤ стърси вероятност Р(х≤ с). Получихме графика на функцията на разпределение F( х≤ с).

Така че разнообразието от случайни променливи е много голямо. Броят на стойностите, които те приемат, може да бъде краен, изброим или неизброим; стойностите могат да бъдат разположени дискретно или да запълнят напълно интервалите. За да се уточнят вероятностите на стойностите на случайни променливи, които са толкова различни по природа, и освен това да се уточнят по същия начин, концепцията за функция на разпределение на случайна променлива.

Нека е случайна променлива и х- произволно реално число. Вероятността да приеме стойност, по-малка от Х,Наречен функция на разпределение на вероятноститеслучайна величина: F(x)= P(<х}.

Нека обобщим казаното: случайна величинае величина, чиито стойности зависят от случая и за която е дефинирана функцията на разпределение на вероятностите.

За непрекъснати случайни променливи (когато наборът от възможни стойности на случайна променлива е неизброим), законът за разпределение се определя с помощта на функция. Най-често това разпределителна функция :F( х) = P(X<х) .

Функция F( х) има следното Имоти:

1. 0 ≤ F( х) ≤ 1 ;

2.F( х) не намалява;

3.F( х) ляво непрекъснато;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.