Очакването е вероятностното разпределение на случайна променлива
Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване на дискретни и непрекъснати случайни променливи, извадка, условно очакване, изчисление, свойства, проблеми, оценка на очакване, дисперсия, функция на разпределение, формули, примери за изчисление
Разширете съдържанието
Свиване на съдържанието
Математическото очакване е определението
Една от най-важните концепции в математическа статистикаи теория на вероятностите, характеризиращи разпределението на стойности или вероятности на случайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Широко използван в техническия анализ, изследването на числови серии и изследването на непрекъснати и отнемащи време процеси. То има важнопри оценка на рисковете, прогнозиране на ценови показатели при търговия на финансови пазари, използва се при разработването на стратегии и методи на тактика на играта в теорията на хазарта.
Математическото очакване есредната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива се разглежда в теорията на вероятностите.
Математическото очакване емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Очакване на случайна променлива хобозначен с M(x).
Математическото очакване е
Математическото очакване ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които това може да приеме произволна стойност.
Математическото очакване есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Математическото очакване есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията големи числаи дълги разстояния.
Математическото очакване ев теорията на хазарта, количеството печалби, които играчът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта това понякога се нарича "предимство на играча" (ако е положително за играча) или "предимство на къщата" (ако е отрицателно за играча).
Математическото очакване епроцентът печалба на печалба, умножен по средната печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната загуба.
Математическо очакване на случайна променлива в математическа теория
Една от важните числени характеристики на случайна променлива е нейното математическо очакване. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Нека разгледаме набор от случайни променливи, които са резултатите от същия случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича общ закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално, съвместният закон за разпределение на случайни променливи и, които приемат стойности от набора и, се дава от вероятности.
Терминът „математическо очакване“ е въведен от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795 г.) и идва от концепцията за „очаквана стойност на печалбите“, която за първи път се появява през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).
Законът за разпределение на случайни числови променливи (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описва поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонениеот него), за да отговорите на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са математическото очакване, дисперсията, модата и медианата.
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога математическото очакване се нарича среднопретеглена стойност, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива за голям брой експерименти. От дефиницията математическо очакванеследва, че неговата стойност не е по-малка от най-малката възможна стойност на случайната променлива и не по-голяма от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.
Математическото очакване е просто физически смисъл: ако поставите единица маса върху права линия, като поставите някаква маса в някои точки (напр дискретно разпределение), или го „намажете“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатата на „центъра на тежестта“ на линията.
Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".
От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите жизненоважна роляиграе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайната променлива.
Помислете за случайната променлива х, имащи възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” стойност xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива х, което обозначаваме M |X|:
Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането една от най-важните концепции на теорията на вероятностите - концепцията за математическото очакване. Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
хе свързано със специфична зависимост със средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива за голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (конвергира по вероятност) до нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване. Наистина, помислете за случайната променлива х, характеризиращ се със серия на разпространение:
Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хприема определена стойност. Да приемем, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появява ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на стойността X, която за разлика от математическото очакване M|X|обозначаваме M*|X|:
С увеличаване на броя на експериментите нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите ще се доближи (сближи по вероятност) до своето математическо очакване. Формулираната по-горе връзка между средното аритметично и математическото очакване съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.
Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за устойчивост на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.
Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например, когато претегляме тяло в лаборатория на прецизни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.
трябва да бъде отбелязано че най-важната характеристикапозиция на случайна променлива - математическо очакване - не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.
В допълнение към най-важните характеристики на позицията на случайна променлива - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.
Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; За непрекъсната стойностРежимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.
Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "мултимодално".
Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум. Такива разпределения се наричат „антимодални“.
IN общ случайрежимът и математическото очакване на случайна променлива не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.
Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива. Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, оградена от кривата на разпределение, е разделена наполовина.
При симетрично модално разпределение медианата съвпада с математическото очакване и модата.
Математическото очакване е средната стойност на случайна величина - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна величина. Най-общо казано, математическото очакване на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:
Математическото очакване може да се изчисли и като интеграл на Лебег от хчрез разпределение на вероятностите pxколичества х:
Концепцията за случайна променлива с безкрайно математическо очакване може да се дефинира по естествен начин. Типичен примерслужат като времена за връщане в някои произволни разходки.
С помощта на математическото очакване много числени и функционални характеристикиразпределения (като математическо очакване на съответните функции от случайна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.
Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От други характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва в общи термини - медиани, моди, математическото очакване се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. Смисълът на математическото очакване се разкрива най-пълно от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.
Очакване на дискретна случайна променлива
Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зарове може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема „средно“ при голям брой тестове? Какъв ще бъде средният ни доход (или загуба) от всяка от рисковите сделки?
Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет е печеливш, наградата ще бъде 300 рубли, а цената на всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкрайно голям брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.
Ние хвърляме зарове. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, ние просто вземаме средната аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!
Сега нека обобщим нашите примери:
Нека разгледаме току-що дадената снимка. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността X може да приеме една от n възможни стойности (показани в горния ред). Не може да има други значения. Под всяка възможно значениенеговата вероятност е написана по-долу. Вдясно е формулата, където M(X) се нарича математическо очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой тестове (с голяма извадка) средната стойност ще клони към същото това математическо очакване.
Нека се върнем отново към същия игрален куб. Математическото очакване на броя на точките при хвърляне е 3,5 (изчислете го сами по формулата, ако не ми вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. Резултатите са 4 и 6. Средната е 5, което е далеч от 3,5. Хвърлиха го още веднъж, получиха 3, тоест средно (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Някак далече от математическото очакване. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И дори ако средната стойност не е точно 3,5, тя ще бъде близо до това.
Нека изчислим математическото очакване за описаната по-горе лотария. Плочата ще изглежда така:
Тогава математическото очакване ще бъде, както установихме по-горе:
Друго нещо е, че да го направите „на пръсти“, без формула, би било трудно, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че ще има 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% особено печеливши.
Сега някои свойства на математическото очакване.
Лесно се доказва:
Константният множител може да се извади като знак на математическото очакване, тоест:
Това е частен случай на свойството линейност на математическото очакване.
Друго следствие от линейността на математическото очакване:
т.е. математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.
Нека X, Y са независими случайни променливи, Тогава:
Това също е лесно за доказване) Работа XYсама по себе си е случайна променлива и ако първоначалните стойности могат да приемат нИ мстойности съответно, тогава XYможе да приема nm стойности. Вероятността за всяка стойност се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат на това получаваме това:
Очакване на непрекъсната случайна променлива
Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). По същество характеризира ситуацията, че случайна променлива приема някои стойности от набора от реални числа по-често, а някои по-рядко. Например, разгледайте тази графика:
Тук х- действителна случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. Шансовете са превишени 3 или да е по-малък -3 по-скоро чисто теоретично.
Нека, например, има равномерно разпределение:
Това е доста съвместимо с интуитивното разбиране. Да речем, ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.
Свойствата на математическото очакване - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини, са приложими и тук.
Връзка между математическото очакване и други статистически показатели
В статистическия анализ, наред с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, които отразяват еднородността на явленията и устойчивостта на процесите. Индикаторите за вариация често нямат самостоятелно значение и се използват за допълнителен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, което е ценна статистическа характеристика.
Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.
Повечето важен показател, характеризиращ променливостта на случайна променлива, е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с математическото очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява степента на разпространение на данните около средната стойност.
Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, добавя се и след това се разделя на броя на стойностите в популацията. Разликата между индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. Той се повдига на квадрат, така че всички отклонения да станат изключително положителни числа и да се избегне взаимното унищожаване на положителните и отрицателните отклонения при сумирането им. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средно - квадрат - отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се изчислява средната стойност. Отговорът на вълшебната дума „разпръскване“ се крие само в три думи.
Въпреки това, в чиста форма, като средно аритметично или индекс, дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на мерната единица на оригиналните данни.
Нека измерим случайна променлива нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как средната стойност е свързана с функцията на разпределение?
Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят на точките, които ще се появят на заровете с всяко хвърляне, е случайна променлива и може да приеме произволна естествена стойност от 1 до 6. Средната аритметична стойност на изпуснатите точки, изчислена за всички хвърляния на зарове, също е случайна променлива, но за големи нклони към много конкретно число - математическо очакване Mx. IN в такъв случайМх = 3,5.
Как получихте тази стойност? Нека влезе нтестове n1след като получите 1 точка, n2веднъж - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:
По същия начин за резултатите, когато се хвърлят 2, 3, 4, 5 и 6 точки.
Нека сега приемем, че знаем закона за разпределение на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойности x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ..., pk.
Математическото очакване Mx на случайна променлива x е равно на:
Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. И така, за да изчислим средната стойност заплатипо-разумно е да се използва понятието медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, получаващи заплата, по-ниска от медианата, и по-голяма съвпадат.
Вероятността p1 случайната променлива x да бъде по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да бъде по-голяма от x1/2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не се определя еднозначно за всички разпределения.
Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните се групират около средната стойност, докато голямото стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са разположени далеч от нея. Стандартно отклонениеравно на корен квадратенколичество, наречено дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, които се отклоняват от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:
Пример. При условия на изпитване при стрелба по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива:
Вариация- колебание, променливост на стойността на дадена характеристика сред единиците от съвкупността. Индивидуалните числени стойности на характеристика, открити в изследваната популация, се наричат варианти на стойности. Недостатъчна средна стойност за пълни характеристикипопулацията ни принуждава да допълваме средните стойности с показатели, които ни позволяват да оценим типичността на тези средни стойности чрез измерване на променливостта (вариацията) на изследваната характеристика. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:
Диапазон на вариация(R) представлява разликата между максималните и минималните стойности на атрибута в изследваната популация. Този показател дава най-много Главна идеяотносно променливостта на изследваната характеристика, тъй като тя показва разликата само между граничните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на дадена характеристика придава на обхвата на вариацията нестабилен, случаен характер.
Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:
Математическо очакване в теорията на хазарта
Математическото очакване еСредната сума пари, която един комарджия може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за играча, защото е фундаментална за оценката на повечето игрови ситуации. Математическото очакване също е оптималният инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.
Да речем, че играете игра с монети с приятел, като залагате еднакво $1 всеки път, независимо какво се появи. Опашки означава, че печелите, глави означава, че губите. Шансовете са едно към едно, че ще се стигне до глави, така че залагате $1 към $1. Така вашето математическо очакване е нула, защото От математическа гледна точка не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.
Вашата почасова печалба е нула. Печалбите на час са сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти за един час, но няма да спечелите или загубите, защото... шансовете ви не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч, тази система за залагане не е лоша. Но това е просто загуба на време.
Но да кажем, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 на същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първия долар и ще загубите $1, заложете втория и ще спечелите $2. Залагате $1 два пъти и водите с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви е давал 50 цента.
Ако една монета се появи 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото... Средно сте загубили един долар 250 пъти и сте спечелили два долара 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Моля, имайте предвид, че очакваната стойност, която е средната сума, която печелите на залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента на залог.
Математическото очакване няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет хвърляния подред, но вие, като имате предимство при залагане 2 към 1, при равни други условия, ще спечелите 50 цента за всеки $1 залог във всеки обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, стига да разполагате с достатъчно пари, за да покриете удобно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг периодСлед време вашите печалби ще се доближат до сумата от очакваните стойности в отделните хвърляния.
Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да се окаже печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, без значение дали го губите или не в подадена ръка. Обратно, ако направите аутсайдер залог (залог, който е нерентабилен в дългосрочен план), когато шансовете са срещу вас, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.
Вие правите залог с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни и е положителен, ако шансовете са на ваша страна. Когато направите залог с най-лош изход, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните играчи залагат само на най-добрия изход; ако се случи най-лошото, те фолдват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от реалните коефициенти. Реалните шансове за приземяване на глави са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на шансовете. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.
Ето един по-сложен пример за математическо очакване. Един приятел записва числа от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да познаете числото. Трябва ли да се съгласите на такъв залог? Какво е очакването тук?
Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете да познаете числото са 4 към 1. Шансовете да загубите долар при един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Така че шансовете са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите $1 четири пъти и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.
Играч, който ще спечели повече, отколкото е заложил, както в примера по-горе, рискува. Напротив, той съсипва шансовете си, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Залагащият може да има положително или отрицателно очакване, което зависи от това дали печели или разваля шансовете.
Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, защото Средно ще спечелите $10 четири пъти и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите $10 четири пъти и губите $30 веднъж, за печалба от $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.
Математическото очакване е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, той има положително очакване от 50 цента на всеки $10. Ако казиното плаща дори пари от пас линията в зарове, тогава положителното очакване на казиното ще бъде приблизително $1,40 за всеки $100, т.к. Тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели 49,3% от общото време. Несъмнено това привидно минимално положително очакване носи огромни печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „една хилядна от един процент отрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатият човекв света".
Очаквания при игра на покер
Играта на покер е най-нагледният и нагледен пример от гледна точка на използването на теорията и свойствата на математическото очакване.
Очакваната стойност в покера е средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния. Успешната игра на покер означава винаги да се приемат ходове с положителна очаквана стойност.
Математическото значение на математическото очакване при игра на покер е, че често срещаме случайни променливи, когато вземаме решения (не знаем какви карти има опонентът в ръцете си, какви карти ще дойдат в следващите рундове на залагане). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която гласи, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към нейното математическо очакване.
Сред конкретните формули за изчисляване на математическото очакване, следната е най-приложима в покера:
Когато играете покер, очакваната стойност може да бъде изчислена както за залози, така и за плащания. В първия случай трябва да се вземе предвид собственият капитал на фолд, а във втория - собствените шансове на банката. Когато оценявате математическото очакване на конкретен ход, трябва да запомните, че фолдът винаги има нулево очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.
Очакванията ви казват какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар, който рискувате. Казината правят пари, защото математическото очакване на всички игри, които се играят в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга поредица от игри можете да очаквате, че клиентът ще загуби парите си, тъй като „коефициентите“ са в полза на казиното. Професионалните казино играчи обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин натрупват шансовете в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.
Покерът може да се разглежда и от гледна точка на математическото очакване. Може да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Опонентът ви прави залог. Знаете, че ако вдигнете залога, той ще отговори. Следователно рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако вдигнете залога, останалите двама играчи със сигурност ще се откажат. Но ако колнеш, си напълно уверен, че другите двама играчи зад теб ще направят същото. Когато увеличите залога си, получавате една единица, а когато просто платите, получавате две. По този начин колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и ще бъде най-добрата тактика.
Математическото очакване също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че загубата ви ще бъде средно 75 цента, включително анте, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.
Друг важна причинада разберете същността на математическото очакване е, че то ви дава усещане за спокойствие, независимо дали печелите залога или не: ако сте направили добър залог или сте фолднали навреме, ще знаете, че сте спечелили или спестили определена сума пари, която по-слабият играч не успя да спаси. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разстроени, защото опонентът ви е изтеглил по-силна ръка. С всичко това парите, които спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавят към вашите печалби за нощта или месеца.
Само не забравяйте, че ако смените ръцете си, опонентът ви щеше да ви плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да си щастлив, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че други играчи на вашата позиция биха загубили много повече.
Както беше обсъдено в примера с играта с монети в началото, коефициентът на почасова печалба е свързан с математическото очакване и тази концепцияособено важно за професионални играчи. Когато отидете да играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и малко математика. Например, вие играете дроу лоубол и виждате трима играчи да залагат $10 и след това да разменят две карти, което е много лоша тактика, можете да разберете, че всеки път, когато залагат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят приблизително $48 на час. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, така че тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да разделят $48, като всеки печели $12 на час. Вашите почасови шансове в този случай са просто равни на вашия дял от сумата пари, загубена от трима лоши играчи за един час.
За дълъг период от време общите печалби на играча са сумата от неговите математически очаквания в отделните ръце. Колкото повече ръце играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратното, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да изберете игра, която може да максимизира положителното ви очакване или да отхвърли отрицателното ви очакване, така че да можете да максимизирате почасовите си печалби.
Положително математическо очакване в стратегията за игри
Ако знаете как да броите карти, можете да имате предимство пред казиното, стига да не ви забележат и да ви изхвърлят. Казината обичат пияни играчи и не толерират играчи, които броят карти. Едно предимство ще ви позволи да печелите повече пъти, отколкото губите с течение на времето. Добро управлениекапитал, когато използвате изчисления на очакваната стойност, може да ви помогне да извлечете повече печалба от вашето предимство и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на играта, която създава по-големи печалби от загуби, ценови разлики и комисионни. Никакво управление на парите не може да спаси лоша игрална система.
Положителното очакване се определя като стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава математическото очакване също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателната стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава чакането е равностойно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване и разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.
Математическо очакване и борсова търговия
Математическото очакване е доста широко използван и популярен статистически индикатор при извършване на борсова търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се досетите, че колкото по-висока е тази стойност, толкова повече са причините да се смята, че изучаваната търговия е успешна. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да се извърши само с този параметър. Въпреки това, изчислената стойност, в комбинация с други методи за оценка на качеството на работа, може значително да повиши точността на анализа.
Математическото очакване често се изчислява в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Изключенията включват стратегии, които използват нерентабилни сделки за „отсядане“. Търговецът може да има късмет за известно време и следователно може изобщо да няма загуби в работата му. В този случай няма да е възможно да се ръководи само от математическото очакване, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.
В пазарната търговия математическото очакване се използва най-често, когато се прогнозира доходността на всяка стратегия за търговия или когато се прогнозира доходът на търговеца въз основа на статистически данни от предишната му търговия.
По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че когато се правят сделки с отрицателни очаквания, няма схема за управление на парите, която определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете на фондовия пазар при тези условия, тогава независимо от това как управлявате парите си, ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е била в началото.
Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Следователно, единственият път, когато имате шанс да спечелите в дългосрочен план, е ако сключвате сделки с положителна очаквана стойност.
Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; Всичко, което има значение, е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да обмислите управление на парите, трябва да намерите игра с положителни очаквания.
Ако нямате тази игра, тогава цялото управление на парите на света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, можете чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор на сделка (след комисионни и пропускане), можете да използвате техники за управление на парите, за да я направите по-печеливша от система, която средно $1000 на сделка (след приспадане на комисионни и пропускане).
Това, което има значение, не е колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която търговецът може да направи, е да гарантира, че системата ще покаже положителна очаквана стойност в бъдеще.
За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивен и проста система, което постоянно ще генерира малки печалби на почти всеки пазар. Отново, важно е да разберете, че няма значение колко печеливша е системата, стига да е печеливша. Парите, които печелите от търговия, ще бъдат спечелени чрез ефективно управлениепари.
Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положителна очаквана стойност, така че да можете да използвате управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимални печалби) само на един или няколко пазара, или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време за дълго. Проблемът с повечето технически ориентирани търговци е, че отделят твърде много време и усилия за оптимизация различни правилаи стойности на параметрите на системата за търговия. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.
Знаейки, че управлението на парите е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси „свещения граал“ на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества метода си на търговия, да разбере колко логичен е този метод и дали дава положителни очаквания. Правилни методиуправлението на парите, приложено към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, сами ще свършат останалата работа.
За да успее всеки търговец в работата си, той трябва да реши най-много три важни задачи: . Да се гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че да имате възможност да печелите пари възможно най-често; Постигнете стабилни положителни резултати от дейността си.
И тук, за нас, работещите трейдъри, математическото очакване може да бъде от голяма полза. Този термин е един от ключовите в теорията на вероятностите. С негова помощ можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представите всички възможни вероятности като точки с различни маси.
Във връзка със стратегията за търговия, математическото очакване на печалба (или загуба) най-често се използва за оценка на нейната ефективност. Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички транзакции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средният доход от успешна транзакция ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека изчислим математическото очакване на търговията с помощта на тази система:
Какво означава това число? Там се казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим $1708 от всяка затворена транзакция. Тъй като резултатната оценка на ефективността е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и такава търговия ще доведе до крах.
Размерът на печалбата на транзакция може да бъде изразен и като относителна стойност под формата на %. Например:
– процент доход от 1 сделка - 5%;
– процент на успешни търговски операции - 62%;
– процент на загуба на 1 сделка - 3%;
– процент на неуспешни сделки - 38%;
Тоест средната търговия ще донесе 1,96%.
Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на нерентабилните сделки ще даде положителен резултат, тъй като неговият MO>0.
Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай неговата доходност ще бъде сравнима с банковата лихва. Нека всяка операция произвежда средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата включва 1000 операции годишно? Това ще бъде много значителна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че др отличителен белегможе да се обмисли добра система за търговия краткосрочендържане на позиции.
Източници и връзки
dic.academic.ru – академичен онлайн речник
mathematics.ru – образователен сайт по математика
nsu.ru – образователен сайт на Новосибирск държавен университет
webmath.ru – образователен порталза студенти, кандидати и ученици.
exponenta.ru образователен математически уебсайт
ru.tradimo.com – безплатно училище за онлайн търговия
crypto.hut2.ru – мултидисциплинарен информационен ресурс
poker-wiki.ru – безплатна енциклопедия на покера
sernam.ru – Научна библиотекаизбрани природонаучни издания
reshim.su – уебсайт НИЕ ЩЕ РАЗРЕШАВАМЕ проблеми с курсовата работа
unfx.ru – Forex на UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление
slovopedia.com – Голям енциклопедичен речникСловопедия
pokermansion.3dn.ru – Вашият водач в света на покера
statanaliz.info – информационен блог „Анализ на статистически данни“
forex-trader.rf – Портал за Forex-Trader
megafx.ru – актуални Форекс анализи
fx-by.com – всичко за един търговец
Разпределение на случайна променлива (разпределение население) обикновено се характеризира с редица числени характеристики:
- за нормално разпределение N(a, σ) е математическото очакване a и стандартното отклонение σ;
- За равномерно разпределение R(a,b) са границите на интервала, в който се наблюдават стойностите на тази случайна променлива.
Когато резултатът се определя от едно число, той се извиква точкова оценка. Точкова оценка, като функция на пробата, е случайна променлива и варира от проба на проба с повтарящи се експерименти.
Точковите оценки имат изисквания, на които трябва да отговарят, за да бъдат „доброкачествени“ във всеки смисъл. Това неразместен, ефективностИ богатство.
Интервални оценкисе определят от две числа - краищата на интервала, който покрива оценявания параметър. За разлика от точковите оценки, които не дават представа колко далеч може да бъде оцененият параметър от тях, интервалните оценки ни позволяват да установим точността и надеждността на оценките.
Като точкови оценки на математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение се използват характеристиките на извадката, съответно средната стойност на извадката, дисперсията на извадката и стандартното отклонение на извадката.
Свойство на безпристрастна оценка.
Желателно изискване за оценка е липсата на систематична грешка, т.е. при многократно използване вместо параметъра θ неговата оценка, средната стойност на апроксимационната грешка е нула - това е свойство на безпристрастна оценка.
Определение. Една оценка се нарича безпристрастна, ако нейното математическо очакване е равно на истинската стойност на оценения параметър:
Средната аритметична извадка е безпристрастна оценка на математическото очакване, а дисперсията на извадката 
- предубедена оценка на общата дисперсия д. Безпристрастната оценка на общата дисперсия е оценката
Свойство на последователност на оценката.
Второто изискване за оценка - нейната последователност - означава, че оценката се подобрява с увеличаване на размера на извадката.
Определение. Степен 
се нарича последователен, ако се сближава по вероятност към оценения параметър θ като n→∞.
Конвергенцията във вероятността означава, че при голям размер на извадката вероятността от големи отклонения на оценката от истинската стойност е малка.
Свойство за ефективна оценка.
Третото изискване ви позволява да изберете най-добрата оценка от няколко оценки на един и същ параметър.
Определение. Един безпристрастен оценител е ефективен, ако има най-малката дисперсия сред всички безпристрастни оценители.
Това означава, че ефективната оценка има минимална дисперсия спрямо истинската стойност на параметъра. Обърнете внимание, че не винаги съществува ефективна оценка, но от две оценки обикновено е възможно да се избере по-ефективната, т.е. с по-малко отклонение. Например, за неизвестен параметър a на нормална популация N(a,σ), както средната аритметична извадка, така и медианата на извадката могат да се приемат като безпристрастна оценка. Но дисперсията на медианата на извадката е приблизително 1,6 пъти по-голяма от дисперсията на средната аритметична стойност. Следователно по-ефективна оценка е средната аритметична извадка.
Пример №1. Намерете безпристрастна оценка на дисперсията на измерванията на някаква случайна променлива с помощта на едно устройство (без систематични грешки), резултатите от измерването на което (в mm): 13,15,17.
Решение. Таблица за изчисляване на показатели.
| х | |x - x av | | (x - x ср.) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Обикновено средно аритметично(безпристрастна оценка на математическото очакване)
дисперсия- характеризира мярката за дисперсия около нейната средна стойност (мярка за дисперсия, т.е. отклонение от средната - предубедена оценка).
Безпристрастен оценител на дисперсията- последователна оценка на дисперсията (коригирана дисперсия).
Пример №2. Намерете безпристрастна оценка на математическото очакване на измерванията на определена случайна променлива от едно устройство (без систематични грешки), резултатите от измерването на което (в mm): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
Пример №3. Намерете коригираната дисперсия S2 за размер на извадката от n=10, ако дисперсията на извадката е D = 180.
Решение. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Нека произволната извадка се генерира от наблюдаваната случайна променлива ξ, математическото очакване и дисперсията 
които са неизвестни. Беше предложено да се използва средната стойност на извадката като оценки за тези характеристики
и дисперсия на извадката
. (3.14)
Нека разгледаме някои свойства на оценките на математическото очакване и дисперсията.
1. Изчислете математическото очакване на средната стойност на извадката:
Следователно средната стойност на извадката е безпристрастен оценител за .
2. Припомнете си, че резултатите 
наблюденията са независими случайни променливи, всяка от които има същия закон на разпределение като стойността, което означава 
, 
, . Ще приемем, че дисперсията е крайна. Тогава, съгласно теоремата на Чебишев за закона за големите числа, за всяко ε > 0 равенството е в сила 
,
което може да се напише така: 
. (3.16) Сравнявайки (3.16) с дефиницията на свойството последователност (3.11), виждаме, че оценката е последователна оценка на математическото очакване.
3. Намерете дисперсията на средната стойност на извадката:
. (3.17)
По този начин дисперсията на оценката на математическото очакване намалява обратно пропорционално на размера на извадката.
Може да се докаже, че ако случайната променлива ξ е нормално разпределена, тогава средната стойност на извадката е ефективна оценка на математическото очакване, т.е. дисперсията отнема най-малка стойноств сравнение с всяка друга оценка на математическото очакване. За други закони за разпределение ξ това може да не е така.
Дисперсията на извадката е предубедена оценка на дисперсията, защото 
. (3.18)
Наистина, използвайки свойствата на математическото очакване и формулата (3.17), намираме
.
За да се получи безпристрастна оценка на дисперсията, оценката (3.14) трябва да бъде коригирана, тоест умножена по . Тогава получаваме дисперсията на безпристрастната извадка
. (3.19)
Имайте предвид, че формулите (3.14) и (3.19) се различават само в знаменателя, а за големи стойности извадката и безпристрастните дисперсии се различават малко. Въпреки това, при малък размер на извадката трябва да се използва връзка (3.19).
За оценка на стандартното отклонение на случайна променлива се използва така нареченото „коригирано“ стандартно отклонение, което е равно на корен квадратен от безпристрастната дисперсия: .
Интервални оценки
В статистиката има два подхода за оценка на неизвестни параметри на разпределенията: точков и интервален. В съответствие с точковата оценка, която беше обсъдена в предишния раздел, се посочва само точката, около която се намира оцененият параметър. Желателно е обаче да се знае колко далеч може да бъде този параметър в действителност от възможните реализации на оценките в различни серии от наблюдения.
Отговорът на този въпрос – също приблизителен – дава друг метод за оценка на параметрите – интервален. В съответствие с този метод за оценка се открива интервал, който с вероятност, близка до единица, покрива неизвестното числова стойностпараметър.
Концепцията за интервална оценка
Точкова оценка 
е случайна променлива и за възможни примерни реализации приема стойности само приблизително равни на истинската стойност на параметъра. Колкото по-малка е разликата, толкова по-точна е оценката. По този начин, положително число, за което 
, характеризира точността на оценката и се нарича грешка в оценката (или пределна грешка).
Вероятност за доверие(или надеждност)наречена вероятност β
, с което се реализира неравенство , т.е.
. (3.20)
Замяна на неравенството еквивалентно двойно неравенство 
, или 
, получаваме
Интервал 
, обхващащ с вероятност β
, , неизвестен параметър, се извиква доверителен интервал
(или интервална оценка),съответна вероятност за доверие β
.
Случайната променлива е не само оценка, но и грешка: нейната стойност зависи от вероятността β и като правило от пробата. Следователно доверителният интервал е случаен и изразът (3.21) трябва да се чете, както следва: „Интервалът ще покрие параметъра с вероятност β “, а не така: „Параметърът ще попадне в интервала с вероятност β ”.
Значение доверителен интервале, че при повтаряне на обем на проба много пъти в относителна част от случаите, равна на β , доверителен интервал, съответстващ на доверителната вероятност β , покрива истинската стойност на оценения параметър. По този начин, вероятност за доверие β характеризира надеждностоценка на доверието: колкото повече β , толкова по-вероятно е изпълнението на доверителния интервал да съдържа неизвестен параметър.
За да могат статистическите оценки да предоставят добро приближение на оценените параметри, те трябва да бъдат безпристрастни, ефективни и последователни.
Безпристрастенсе нарича статистическа оценка на параметъра 
, чието математическо очакване е равно на оценения параметър за всеки размер на извадката.
Разместенинаречена статистическа оценка 
параметър 
, чието математическо очакване не е равно на оценения параметър.
Ефективеннаречена статистическа оценка 
параметър 
, което за даден размер на извадката 
има най-малка дисперсия.
Богатнаречена статистическа оценка 
параметър 
, която при 
клони по вероятност към оценения параметър.
т. е. за всякакви 
.
За проби с различни размери се получават различни стойности на средната аритметична и статистическа дисперсия. Следователно средноаритметичното и статистическата дисперсия са случайни променливи, за които има математическо очакване и дисперсия.
Нека изчислим математическото очакване на средното аритметично и дисперсията. Нека означим с 
математическо очакване на случайна променлива 
Тук следните се считат за случайни променливи: 
– S.V., чиито стойности са равни на първите стойности, получени за различни обемни проби 
от общото население, 
–S.V., чиито стойности са равни на вторите стойности, получени за различни обемни проби 
от общото население, ..., 
– С.В., чиито стойности са равни 
-та стойност, получена за различни обемни проби 
от общото население. Всички тези случайни променливи се разпределят по един и същи закон и имат едно и също математическо очакване.
От формула (1) следва, че средноаритметичното е безпристрастна оценка на математическото очакване, тъй като математическото очакване на средноаритметичното е равно на математическото очакване на случайната променлива. Тази оценка също е валидна. Ефективността на тази оценка зависи от вида на разпределението на случайната променлива 
. ако напр. 
е нормално разпределен, оценяването на математическото очакване с помощта на средното аритметично ще бъде ефективно.
Нека сега намерим статистическа оценка на дисперсията.
Изразът за статистическа дисперсия може да се трансформира по следния начин
(2)
Нека сега намерим математическото очакване на статистическата дисперсия
.
(3)
Като се има предвид това 
(4)
получаваме от (3) -
От формула (6) става ясно, че математическото очакване на статистическата дисперсия се различава с фактор от дисперсията, т.е. е предубедена оценка на дисперсията на популацията. Това е така, защото вместо истинската стойност 
, което е неизвестно, статистическата средна стойност се използва при оценката на дисперсията 
.
Затова въвеждаме коригираната статистическа дисперсия
(7)
Тогава математическото очакване на коригираната статистическа дисперсия е равно на
тези. коригираната статистическа дисперсия е безпристрастна оценка на дисперсията на популацията. Получената оценка също е последователна.
Необходимостта от оценка на математическото очакване въз основа на резултатите от теста се появява в проблеми, когато резултатът от експеримента се описва от случайна променлива и математическото очакване на тази случайна променлива се приема като индикатор за качеството на обекта, който се изследва. Например, като показател за надеждност може да се приеме математическото очакване на времето за безотказна работа на една система, а при оценка на ефективността на производството на продукта, математическото очакване на броя на използваемите продукти и др.
Проблемът за оценка на математическото очакване се формулира по следния начин. Нека приемем, че за да определим неизвестна стойностслучайната променлива X трябва да бъде направена n независима и свободна от систематични грешки измервания X срещу X 2 ,..., X стр.Трябва да изберете най-добрата оценка на математическото очакване.
Най-добрата и най-често срещана оценка на математическото очакване в практиката е средноаритметичната стойност на резултатите от теста
също наричан статистическиили извадкова средна стойност.
Нека покажем, че оценката t xотговаря на всички изисквания за оценка на всеки параметър.
1. От израза (5.10) следва, че
т.е. оценка t" x- безпристрастна оценка.
2. Съгласно теоремата на Чебишев, средноаритметичното на резултатите от теста се сближава по вероятност с математическото очакване, т.е.
Следователно, оценката (5.10) е последователна оценка на математическото очакване.
3. Дисперсия на оценката t x,равен
С увеличаване на размера на извадката n намалява неограничено. Доказано е, че ако случайна променлива X е подчинена на нормалния закон за разпределение, то за всеки Пдисперсията (5.11) ще бъде минимална, а оценката t x- ефективна оценка на математическото очакване. Познаването на дисперсията на оценката позволява да се направи преценка относно точността на определяне на неизвестната стойност на математическото очакване, използвайки тази оценка.
Средната аритметична стойност се използва като оценка на математическото очакване, ако резултатите от измерването са еднакво точни (вариации D, аз = 1, 2, ..., Псъщото във всяко измерение). На практика обаче трябва да се сблъскате с проблеми, при които резултатите от измерването са различни (например по време на тестване измерванията се извършват с различни инструменти). В този случай оценката за математическото очакване има формата
Където 
- тегло на z-то измерение.
Във формула (5.12) резултатът от всяко измерване е включен със собственото си тегло СЪС.. Следователно, оценката на резултатите от измерването t xНаречен среднопретеглена стойност.
Може да се покаже, че оценката (5.12) е безпристрастна, последователна и ефективна оценка на математическото очакване. Минималната дисперсия на оценката се дава от
При провеждане на експерименти с модели на компютър подобни проблеми възникват, когато оценките се намират от резултатите от няколко серии от тестове и броят на тестовете във всяка серия е различен. Например, две серии от тестове бяха проведени с обем n 1и p 2, въз основа на резултатите от които са получени оценки T xi и t x_.За да се повиши точността и надеждността на определяне на математическото очакване, резултатите от тези серии от тестове се комбинират. За да направите това, използвайте израз (5.12)
При изчисляване на коефициентите C, вместо дисперсиите D, техните оценки, получени от резултатите от теста във всяка серия, се заместват.
Подобен подход се използва при определяне на вероятността за възникване на случайно събитие въз основа на резултатите от серия от тестове.
За да се оцени математическото очакване на случайна променлива X, в допълнение към средната стойност на извадката, могат да се използват други статистики. Най-често за тези цели се използват членове. вариационна серия, т.е. редовни статистики, на базата на които се базират оценките,
отговарящи на основните изисквания, а именно последователност и непредубеденост.
Да приемем, че вариационната серия съдържа n = 2kчленове. Тогава всяка от средните стойности може да се приеме като оценка на математическото очакване:
При което к-есредно аритметично
не е нищо повече от статистическата медиана на разпределението на случайната променлива X, тъй като има очевидно равенство
Предимството на статистическата медиана е, че тя е свободна от влиянието на аномални резултати от наблюдението, което е неизбежно при използване на първата средна стойност, тоест средната стойност на най-малкия и най-големия брой вариационни серии.
За нечетен размер на извадката П = 2k- 1 статистическа медиана е нейният среден елемент, т.е. Да сечлен на вариационната серия Аз = x k.
Има разпределения, за които средноаритметичното не е ефективна оценка на математическото очакване, например разпределението на Лаплас. Може да се покаже, че за разпределението на Лаплас ефективна оценка на математическото очакване е медианата на извадката.
Доказано е, че ако случайната променлива X има нормално разпределение, тогава при достатъчно голям размер на извадката законът за разпределение на статистическата медиана е близък до нормалния с числени характеристики
От сравнението на формули (5.11) и (5.14) следва, че дисперсията на статистическата медиана е 1,57 пъти по-голяма от дисперсията на средноаритметичната стойност. Следователно средноаритметичната стойност като оценка на математическото очакване е толкова пъти по-ефективна от статистическата медиана. Въпреки това, поради простотата на изчисленията и нечувствителността към аномални резултати от измерването („замърсяване“ на пробата), на практика статистическата медиана все пак се използва като оценка на математическото очакване.
Трябва да се отбележи, че за непрекъснати симетрични разпределения математическото очакване и медианата са еднакви. Следователно статистическата медиана може да служи като добра оценка на математическото очакване само ако разпределението на случайната променлива е симетрично.
За асиметрични разпределения, статистическата медиана азима значително отклонение спрямо математическото очакване, поради което е неподходящо за оценката му.
