Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е абсолютно необходима.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучавате конкретни методи за решаване, имайте предвид, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имате точно един корен;
3. Имайте две различни корени.

Това е важна разлика между квадратните уравнения и линейните, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора вярват. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Нека напишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното останало уравнение е:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е нула - коренът ще бъде единица.

Моля, имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е, но няма да объркате шансовете и да направите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако разберете, след известно време няма да е необходимо да записвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не толкова много.

Корени на квадратно уравнение

Сега да преминем към самото решение. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула на корена квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - ще получите същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, запишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи, че в тези уравнения липсва един от членовете. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не изискват изчисляване на дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно е, че такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако в непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 неравенството (−c /a) ≥ 0 е изпълнено, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминант не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c /a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателна, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да разложим полинома на множители:

Изваждане на общия множител извън скоби

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук идват корените. В заключение, нека да разгледаме някои от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т. к квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Надявам се, че след изучаването на тази статия ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения; за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? Това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решим пълно квадратно уравнение, трябва да изчислим дискриминанта D.

D = b 2 – 4ac.

В зависимост от стойността на дискриминанта ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x = (-b)/2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. Решете уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Отговор: – 3,5; 1.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения, използвайки диаграмата на Фигура 1.

С помощта на тези формули можете да решите всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином от стандартната форма

А х 2 + bx + c,в противен случай може да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином от стандартната форма (мономът с най-голям показател трябва да е първи, т.е. А х 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член с.

Когато решавате редуцирано квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент във втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълно квадратно уравнение вторият член има четен коефициент (b = 2k), тогава можете да решите уравнението, като използвате формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при х 2 е равно на едно и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решение или може да се получи чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента А, застанал на х 2 .

Фигура 3 показва диаграма за решаване на редуцирания квадрат
уравнения. Нека да разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3х 2 + 6x – 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът на x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението, като използваме формулите, показани в диаграмата на фигура D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършвайки делението, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x – 2 = 0. Решете това уравнение, като използвате формулите за намаленото квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3.

Както можете да видите, при решаването на това уравнение с помощта на различни формули получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили напълно формулите, показани на диаграмата на фигура 1, вие винаги ще можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на решаване по два начина:
- използване на дискриминант
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).

Освен това отговорът се показва като точен, а не приблизителен.
Например за уравнението \(81x^2-16x-1=0\) отговорът се показва в следната форма:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ и не по този начин: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-бързо? домашна работапо математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за влизане квадратен полином, препоръчваме да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратен многочлен

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) и т.н.

Числата могат да се въвеждат като цели или дробни числа.
Освен това дробните числа могат да се въвеждат не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена дроб.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
В десетични знаци фракциямогат да бъдат отделени от цялото с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цяла частразделени от дробта с амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

При въвеждане на израз можете да използвате скоби. В този случай при решаване на квадратно уравнение въведеният израз първо се опростява.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Реши

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Квадратно уравнение и неговите корени. Непълни квадратни уравнения

Всяко от уравненията
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
изглежда като
\(ax^2+bx+c=0, \)
където x е променлива, a, b и c са числа.
В първото уравнение a = -1, b = 6 и c = 1,4, във второто a = 8, b = -7 и c = 0, в третото a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.

Определение.
Квадратно уравнениесе нарича уравнение от формата ax 2 +bx+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \(a \neq 0 \).

Числата a, b и c са коефициентите на квадратното уравнение. Числото a се нарича първи коефициент, числото b е втори коефициент, а числото c е свободен член.

Във всяко от уравненията под формата ax 2 +bx+c=0, където \(a\neq 0\), най-голямата степен на променливата x е квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.

Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение от втора степен, тъй като лявата му страна е полином от втора степен.

Нарича се квадратно уравнение, в което коефициентът на x 2 е равен на 1 дадено квадратно уравнение. Например дадените квадратни уравнения са уравненията
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ако в квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 поне един от коефициентите b или c е равен на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение. Така уравненията -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b=0, във втория c=0, в третия b=0 и c=0.

Има три вида непълни квадратни уравнения:
1) ax 2 +c=0, където \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, където \(b \neq 0 \);
3) брадва 2 =0.

Нека разгледаме решаването на уравнения от всеки от тези типове.

За решаване на непълно квадратно уравнение от формата ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), неговият свободен член се прехвърля в правилната странаи разделете двете страни на уравнението на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Тъй като \(c \neq 0 \), тогава \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0\), тогава уравнението има два корена.

Ако \(-\frac(c)(a) За решаване на непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 с \(b \neq 0 \) го разширете лява странапо фактори и получете уравнението
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (масив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(масив) \right. \)

Това означава, че едно непълно квадратно уравнение от формата ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) винаги има два корена.

Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0 и следователно има един корен 0.

Формула за корените на квадратно уравнение

Нека сега разгледаме как да решаваме квадратни уравнения, в които както коефициентите на неизвестните, така и свободният член са различни от нула.

Нека решим квадратното уравнение в общ изгледи в резултат получаваме формулата за корените. След това тази формула може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Решете квадратното уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделяйки двете страни на a, получаваме еквивалентното намалено квадратно уравнение
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Нека трансформираме това уравнение, като изберем квадрата на бинома:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Стрелка надясно \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Коренният израз се нарича дискриминант на квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 ("дискриминант" на латински - дискриминатор). Обозначава се с буквата D, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, използвайки дискриминантната нотация, пренаписваме формулата за корените на квадратното уравнение:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), където \(D= b^2-4ac \)

Очевидно е, че:
1) Ако D>0, тогава квадратното уравнение има два корена.
2) Ако D=0, тогава квадратното уравнение има един корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D По този начин, в зависимост от стойността на дискриминанта, едно квадратно уравнение може да има два корена (за D > 0), един корен (за D = 0) или да няма корени (за D Когато решавате квадратно уравнение, използвайки това формула, препоръчително е да направите следния начин:
1) изчислете дискриминанта и го сравнете с нула;
2) ако дискриминантът е положителен или равен на нула, използвайте формулата на корена; ако дискриминантът е отрицателен, тогава запишете, че няма корени.

Теорема на Виета

Даденото квадратно уравнение ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Сумата от корените е 7, а произведението е 10. Виждаме, че сумата от корените е равна на втория коефициент, взет от противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Всяко редуцирано квадратно уравнение, което има корени, има това свойство.

Сумата от корените на горното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Тези. Теоремата на Виета гласи, че корените x 1 и x 2 на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0 имат свойството:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Библиографско описание:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Елков А. А., Шилненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Методи за решаване на квадратни уравнения // Млад учен. 2016. № 6.1. С. 17-20..02.2019 г.).



Нашият проект е за начини за решаване на квадратни уравнения. Цел на проекта: да се научат да решават квадратни уравнения по начини, които не са включени в училищната програма. Задача: намери всичко възможни начинирешаване на квадратни уравнения и научаване как да ги използвате сами и представяне на тези методи на вашите съученици.

Какво представляват „квадратните уравнения“?

Квадратно уравнение- уравнение на формата брадва2 + bx + c = 0, Където а, b, ° С- някои числа ( a ≠ 0), х- неизвестен.

Числата a, b, c се наричат ​​коефициенти на квадратното уравнение.

• а се нарича първи коефициент;
• b се нарича втори коефициент;
• c - свободен член.

Кой беше първият, който „изобрети“ квадратни уравнения?

Някои алгебрични техники за решаване на линейни и квадратни уравнения са били известни преди 4000 години в Древен Вавилон. Откриването на древни вавилонски глинени плочки, датиращи някъде между 1800 и 1600 г. пр.н.е., предоставя най-ранните доказателства за изучаването на квадратни уравнения. Същите таблички съдържат методи за решаване на някои видове квадратни уравнения.

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, дори в древни времена, е причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земни парцели и с изкопни работи от военен характер, както и както и с развитието на самата астрономия и математика.

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, предоставят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация как са намерени. Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методирешаване на квадратни уравнения.

Вавилонски математици от около 4 век пр.н.е. използва метода на квадратното допълнение за решаване на уравнения с положителни корени. Около 300 г. пр.н.е Евклид излезе с по-общ геометричен метод за решение. Първият математик, намерил решения на уравнения с отрицателни корени под формата на алгебрична формула, е индийски учен Брахмагупта(Индия, 7 век сл. Хр.).

Брахмагупта изложи общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една единствена канонична форма:

ax2 + bx = c, a>0

Коефициентите в това уравнение могат да бъдат и отрицателни. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.

Публичните състезания за решаване на трудни проблеми са често срещани в Индия. Една от старите индийски книги казва следното за такива състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човекще засенчи славата в народни събрания, предлагане и решаване на алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

В алгебричен трактат Ал-Хорезмидадена е класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите са равни на числа“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждаеми. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът излага методи за решаване на тези уравнения, използвайки техниките на ал-джабр и ал-мукабал. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаването на непълно квадратно уравнение от първи тип Ал-Хорезми, както всички математици до 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото в конкретни практически няма значение в задачите. При решаване на пълни квадратни уравнения на Ал-Хорезми върху частични числени примериизлага правилата за решаване и след това техните геометрични доказателства.

Формите за решаване на квадратни уравнения, следващи модела на Ал-Хорезми в Европа, са изложени за първи път в „Книгата на абака“, написана през 1202 г. италиански математик Леонард Фибоначи. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и пръв в Европа се приближава към въвеждането на отрицателни числа.

Тази книга допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от тази книга са използвани в почти всички европейски учебници от 14-17 век. Общо правилорешението на квадратни уравнения, сведени до единна канонична форма x2 + bх = с за всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. М. Щифел.

Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в обща форма е достъпно от Viète, но Viète разпознава само положителни корени. италиански математици Тарталия, Кардано, Бомбелисред първите през 16 век. В допълнение към положителните се вземат предвид и отрицателните корени. Едва през 17в. благодарение на усилията Жирар, Декарт, Нютони други учени, методът за решаване на квадратни уравнения приема съвременна форма.

Нека да разгледаме няколко начина за решаване на квадратни уравнения.

Стандартни методи за решаване на квадратни уравнения от училищна програма:

1. Факторизиране на лявата страна на уравнението.
2. Метод за избор на пълен квадрат.
3. Решаване на квадратни уравнения по формулата.
4. Графично решениеквадратно уравнение.
5. Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Нека се спрем по-подробно на решението на редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta.

Спомнете си, че за решаване на горните квадратни уравнения е достатъчно да се намерят две числа, чийто продукт е равен на свободния член и чиято сума е равна на втория коефициент с противоположен знак.

Пример.х 2 -5x+6=0

Трябва да намерите числа, чийто продукт е 6 и чиято сума е 5. Тези числа ще бъдат 3 и 2.

Отговор: x 1 =2, х 2 =3.

Но можете също да използвате този метод за уравнения с първия коефициент, който не е равен на единица.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Вземете първия коефициент и го умножете по свободния член: x 2 +2x-15=0

Корените на това уравнение ще бъдат числа, чийто продукт е - 15 и чиято сума е - 2. Тези числа са 5 и 3. За да намерите корените оригинално уравнение, разделете получените корени на първия коефициент.

Отговор: x 1 =-5/3, х 2 =1

6. Решаване на уравнения по метода "хвърляне".

Да разгледаме квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, където a≠0.

Умножавайки двете страни по a, получаваме уравнението a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, откъдето x = y/a; тогава стигаме до уравнението y 2 + by + ac = 0, еквивалентно на даденото. Намираме неговите корени за 1 и 2, използвайки теоремата на Виета.

Накрая получаваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

С този метод коефициентът a се умножава по свободния член, сякаш се „хвърля“ към него, поради което се нарича метод „хвърляне“. Този метод се използва, когато корените на уравнението могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Нека „хвърлим“ коефициента 2 към свободния член и да направим заместване и да получим уравнението y 2 - 11y + 30 = 0.

Според обратната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Отговор: x 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ако a+ b + c = 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнението е нула), тогава x 1 = 1.

2. Ако a - b + c = 0 или b = a + c, тогава x 1 = - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Тъй като a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), тогава x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Отговор: x 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

защото a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), тогава x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Отговор: x 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Има и други свойства на коефициентите на квадратно уравнение. но използването им е по-сложно.

8. Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма.

Фигура 1. Номограма

Това е стар и забравен в момента метод за решаване на квадратни уравнения, поместен на стр. 83 от сборника: Bradis V.M. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.

Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнението z 2 + pz + q = 0. Тази номограма позволява, без да се решава квадратно уравнение, да се определят корените на уравнението от неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата е изградена по формулите (фиг. 1):

Вярвайки OS = p, ED = q, OE = a(всички в cm), от фиг. 1 подобия на триъгълници SANИ CDFполучаваме пропорцията

което, след замествания и опростявания, дава уравнението z 2 + pz + q = 0,и писмото zозначава белег на всяка точка върху извита скала.

Ориз. 2 Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма

Примери.

1) За уравнението z 2 - 9z + 8 = 0номограмата дава корените z 1 = 8.0 и z 2 = 1.0

Отговор:8,0; 1.0.

2) С помощта на номограма решаваме уравнението

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмата дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Отговор: 4; 0,5.

9. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения.

Пример.х 2 + 10x = 39.

В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратният и десетият корен са равни на 39.“

Помислете за квадрат със страна x, правоъгълниците са построени от страните му, така че другата страна на всеки от тях е 2,5, следователно площта на всеки е 2,5x. След това получената фигура се допълва до нов квадрат ABCD, като се добавят четири квадрата в ъглите. равен квадрат, страната на всяка от тях е 2,5, а площта е 6,25

Ориз. 3 Графичен метод за решаване на уравнението x 2 + 10x = 39

Площта S на квадрат ABCD може да бъде представена като сбор от площите на: оригиналния квадрат x 2, четири правоъгълника (4∙2,5x = 10x) и четири допълнителни квадрата (6,25∙4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменяйки x 2 + 10x с числото 39, получаваме, че S = 39 + 25 = 64, което означава, че страната на квадрата е ABCD, т.е. сегмент AB = 8. За търсената страна x на първоначалния квадрат получаваме

10. Решаване на уравнения чрез теоремата на Безу.

Теорема на Безу. Остатъкът от деленето на полинома P(x) на бинома x - α е равен на P(α) (т.е. стойността на P(x) при x = α).

Ако числото α е корен на полинома P(x), то този полином се дели на x -α без остатък.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделете P(x) на (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

х-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Отговор: x1 =2, х2 =3.

Заключение:Способността за бързо и рационално решаване на квадратни уравнения е просто необходима за решаване на по-сложни уравнения, например дробни рационални уравнения, уравнения от по-високи степени, биквадратни уравнения, а в гимназията тригонометрични, експоненциални и логаритмични уравнения. След като проучихме всички намерени методи за решаване на квадратни уравнения, можем да посъветваме нашите съученици, в допълнение към стандартните методи, да решават по метода на прехвърляне (6) и да решават уравнения, използвайки свойството на коефициентите (7), тъй като те са по-достъпни към разбиране.

Литература:

1. Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.
2. Алгебра 8. клас: учебник за 8. клас. общо образование институции Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. изд. С. А. Теляковски 15-то изд., преработено. - М.: Образование, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. Наръчник за учители. / Ед. В.Н. По-млад. - М.: Образование, 1964.

Тази тема може да изглежда трудна в началото поради много не толкова прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги означения, но и корените се намират чрез дискриминанта. Получават се общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след често решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратно уравнение

Тук предлагаме тяхното изрично записване, когато първо се записва най-голямата степен, а след това в низходящ ред. Често има ситуации, когато условията са непоследователни. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем някои обозначения. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде обозначена с номер едно.

Когато е дадено уравнение, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• уравнението изобщо няма да има корени.

И докато решението не бъде финализирано, е трудно да се разбере коя опция ще се появи в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Възможно е да има различни записи в задачите. Те не винаги ще изглеждат така обща формулаквадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълно уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само термини с коефициенти "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида; в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - три.

Дискриминант и зависимост на броя на корените от неговата стойност

Трябва да знаете това число, за да изчислите корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициента в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно числокорените на квадратното уравнение ще липсват. Ако е равно на нула, ще има само един отговор.

Как да решим пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминант. След като се установи, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формули за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите следната формула.

Тъй като съдържа знак „±“, ще има две стойности. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула номер пет. От същия запис става ясно, че ако дискриминантът е равен на нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решаването на квадратни уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как да решим непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И тези, които вече са записани за дискриминанта и неизвестното, няма да са необходими.

Нека първо разгледаме непълно уравнениена номер две. В това равенство е необходимо неизвестното количество да бъде извадено от скоби и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скоби. Отговорът ще има два корена. Първият задължително е равен на нула, защото има множител, състоящ се от самата променлива. Второто ще бъде получено чрез решаване на линейно уравнение.

Непълно уравнение номер три се решава чрез преместване на числото от лявата страна на равенството в дясната. След това трябва да разделите на коефициента срещу неизвестното. Всичко, което остава, е да извлечете квадратния корен и да запомните да го запишете два пъти с противоположни знаци.

По-долу са дадени някои стъпки, които ще ви помогнат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци могат да доведат до слаби оценки при изучаване на обширната тема „Квадратни уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще се появи стабилно умение.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест, първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степен, и накрая - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, това може да усложни работата за начинаещ, изучаващ квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта всички равенства трябва да се умножат по „-1“. Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• Препоръчително е да се отървете от фракциите по същия начин. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 − 7x = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След като го извадим от скобите, се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще бъде намерен от линейно уравнение: x - 7 = 0. Лесно се вижда, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като преместите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числата: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Третото уравнение: 15 − 2х − x 2 = 0. Тук и по-нататък решаването на квадратни уравнения ще започне с пренаписването им в стандартен изглед: − x 2 − 2x + 15 = 0. Сега е време да използваме второто полезни съветии умножете всичко по минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 = 0. Използвайки четвъртата формула, трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Оказва се, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени.“

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестото уравнение (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, като първо отворите скобите. На мястото на първия ще има следния израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x = 0. Станал е непълен. Нещо подобно на това вече беше обсъдено малко по-горе. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.