Какво е логаритъм?
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много абсолвенти. Традиционно темата за логаритмите се смята за сложна, неразбираема и страшна. Особено уравнения с логаритми.
Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! не ми вярваш Глоба. Сега, само за 10-20 минути вие:
1. Ще разбереш какво е логаритъм.
2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували нищо за тях.
3. Научете се да изчислявате прости логаритми.
Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как да повдигнете число на степен...
Имам чувството, че имаш съмнения... Е, добре, отбелязвай си времето! Отивам!
Първо, решете това уравнение наум:
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Във връзка с
може да се постави задачата да се намери някое от трите числа от другите две дадени. Ако са дадени a и след това N, те се намират чрез степенуване. Ако N и след това a са дадени чрез вземане на корен от степен x (или повдигане на степен). Сега разгледайте случая, когато при дадени a и N трябва да намерим x.
Нека числото N е положително: числото a е положително и не е равно на единица: .
Определение. Логаритъмът на числото N при основа a е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи числото N; логаритъмът се обозначава с
По този начин в равенство (26.1) показателят се намира като логаритъм от N при основа а. Публикации
имат същото значение. Равенството (26.1) понякога се нарича основната идентичност на теорията на логаритмите; в действителност той изразява дефиницията на понятието логаритъм. от това определениеОсновата на логаритъма a винаги е положителна и различна от единица; логаритмичното число N е положително. Отрицателните числа и нулата нямат логаритми. Може да се докаже, че всяко число с дадена основа има точно определен логаритъм. Следователно равенството включва . Обърнете внимание, че условието е съществено тук; в противен случай заключението не би било оправдано, тъй като равенството е вярно за всякакви стойности на x и y.
Пример 1. Намерете
Решение. За да получите число, трябва да повдигнете основата 2 на степен Следователно.
Можете да правите бележки при решаването на такива примери в следната форма:
Пример 2. Намерете .
Решение. Ние имаме
В примери 1 и 2 лесно намерихме желания логаритъм, като представихме логаритмичното число като степен на основата с рационален показател. IN общ случай, например за и т.н., това не може да се направи, тъй като логаритъма има ирационална стойност. Нека обърнем внимание на един въпрос, свързан с това твърдение. В параграф 12 дадохме концепцията за възможността за определяне на всяка реална степен на дадено положително число. Това беше необходимо за въвеждането на логаритми, които, най-общо казано, могат да бъдат ирационални числа.
Нека разгледаме някои свойства на логаритмите.
Свойство 1. Ако числото и основата са равни, то логаритъма е равен на едно и, обратно, ако логаритъма е равен на едно, то числото и основата са равни.
Доказателство. Нека По дефиницията на логаритъм имаме и откъде
Обратно, нека Тогава по дефиниция
Свойство 2. Логаритъмът от единица към всяка основа е равен на нула.
Доказателство. По дефиниция на логаритъм (нулевата степен на всяка положителна основа е равна на единица, виж (10.1)). Оттук
Q.E.D.
Обратното твърдение също е вярно: ако , тогава N = 1. Наистина имаме .
Преди да формулираме следващото свойство на логаритмите, нека се съгласим да кажем, че две числа a и b лежат от една и съща страна на третото число c, ако и двете са по-големи от c или по-малки от c. Ако едно от тези числа е по-голямо от c, а другото е по-малко от c, тогава ще кажем, че те лежат на противоположните страни на c.
Свойство 3. Ако числото и основата лежат от една и съща страна на единица, тогава логаритъма е положителен; Ако числото и основата лежат на противоположните страни на едно, тогава логаритъмът е отрицателен.
Доказателството за свойство 3 се основава на факта, че степента на a е по-голяма от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е положителна или основата е по-малка от единица и степента е отрицателна. Степента е по-малка от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е отрицателна или основата е по-малка от единица и степента е положителна.
Има четири случая за разглеждане:
Ще се ограничим до анализа на първия от тях, останалите читателят ще разгледа сам.
Нека тогава в равенството степента не може да бъде нито отрицателна, нито равна на нула, следователно е положителна, т.е., както се изисква да се докаже.
Пример 3. Открийте кои от логаритмите по-долу са положителни и кои са отрицателни:
Решение, а) тъй като числото 15 и основата 12 са разположени от една и съща страна на едно;
б) тъй като 1000 и 2 са разположени от едната страна на единицата; в този случай не е важно основата да е по-голяма от логаритмичното число;
в) тъй като 3.1 и 0.8 лежат на противоположните страни на единица;
G) ; Защо?
д) ; Защо?
Следните свойства 4-6 често се наричат правила за логаритмиране: те позволяват, знаейки логаритмите на някои числа, да намерите логаритмите на техния продукт, коефициент и степен на всяко от тях.
Свойство 4 (правило за произведение логаритъм). Логаритъм от произведението на няколко положителни числа по тази основа равно на суматалогаритми на тези числа при една и съща основа.
Доказателство. Нека дадените числа са положителни.
За логаритъма на тяхното произведение записваме равенството (26.1), което определя логаритъма:
От тук ще намерим
Сравнявайки показателите на първия и последния израз, получаваме необходимото равенство:
Имайте предвид, че условието е съществено; логаритъм от произведението на две отрицателни числаима смисъл, но в този случай получаваме
Като цяло, ако продуктът на няколко фактора е положителен, тогава неговият логаритъм е равен на сумата от логаритмите на абсолютните стойности на тези фактори.
Свойство 5 (правило за логаритмиране на частни). Логаритъмът на частно от положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя, взети към една и съща основа. Доказателство. Постоянно намираме
Q.E.D.
Свойство 6 (правило за степенен логаритъм). Логаритъмът на степента на всяко положително число е равен на логаритъма на това число, умножен по степента.
Доказателство. Нека напишем отново основната идентичност (26.1) за числото:
Q.E.D.
Последица. Логаритъмът на корен от положително число е равен на логаритъма на радикала, разделен на експонентата на корена:
Валидността на това следствие може да бъде доказана, като си представите как и използвате свойство 6.
Пример 4. Вземете логаритъм при основа a:
а) (приема се, че всички стойности b, c, d, e са положителни);
б) (приема се, че ).
Решение, а) Удобно е да се премине към дробни степени в този израз:
Въз основа на равенства (26.5)-(26.7), сега можем да запишем:
Забелязваме, че върху логаритмите на числата се извършват по-прости операции, отколкото върху самите числа: при умножаване на числа техните логаритми се добавят, при деление се изваждат и т.н.
Ето защо логаритмите се използват в изчислителната практика (вижте параграф 29).
Обратното действие на логаритъма се нарича потенциране, а именно: потенцирането е действието, чрез което самото число се намира от даден логаритъм на число. По същество потенцирането не е специално действие: свежда се до повдигане на основата на степен (равна на логаритъма на числото). Терминът "потенциране" може да се счита за синоним на термина "потенциране".
Когато потенцирате, трябва да използвате правилата, обратни на правилата за логаритмиране: заменете сбора от логаритми с логаритъм от произведението, разликата от логаритми с логаритъм от частното и т.н. По-специално, ако има фактор отпред на знака на логаритъма, тогава по време на потенцирането трябва да се прехвърли в експонентните степени под знака на логаритъма.
Пример 5. Намерете N, ако е известно, че
Решение. Във връзка с току-що изложеното правило за потенциране, ще прехвърлим факторите 2/3 и 1/3, стоящи пред знаците на логаритмите от дясната страна на това равенство, в експоненти под знаците на тези логаритми; получаваме
Сега заместваме разликата на логаритмите с логаритъма на частното:
за да получим последната дроб в тази верига от равенства, ние освободихме предишната дроб от ирационалност в знаменателя (клауза 25).
Свойство 7. Ако основата е по-голяма от единица, тогава по-голям бройима по-голям логаритъм (а по-малкото число има по-малък), ако основата е по-малка от единица, тогава по-голямото число има по-малък логаритъм (а по-малкото число има по-голям).
Това свойство е формулирано и като правило за вземане на логаритми на неравенства, двете страни на които са положителни:
При логаритмиране на неравенства при основа, по-голяма от едно, знакът на неравенството се запазва, а при логаритмиране при основа, по-малка от едно, знакът на неравенството се променя на противоположния (вижте също параграф 80).
Доказателството се основава на свойства 5 и 3. Разгледайте случая, когато Ако , тогава и, като логаритмираме, получаваме
(a и N/M лежат от една и съща страна на единица). Оттук
Следва случай а, читателят ще разбере сам.
С развитието на обществото и усложняването на производството се разви и математиката. Движение от просто към сложно. От обикновеното счетоводство с помощта на метода на събиране и изваждане, с многократното им повторение, стигнахме до концепцията за умножение и деление. Намаляването на повтарящата се операция на умножение се превърна в концепцията за степенуване. Първите таблици на зависимостта на числата от основата и броя на степенуването са съставени още през 8 век от индийския математик Варасена. От тях можете да преброите времето на поява на логаритми.
Исторически очерк
Възраждането на Европа през 16 век стимулира и развитието на механиката. T изискваше голямо количество изчислениясвързани с умножение и деление на многоцифрени числа. Старинните маси бяха от голяма полза. Те направиха възможно замяната на сложните операции с по-прости - събиране и изваждане. Голяма крачка напред е работата на математика Михаел Щифел, публикувана през 1544 г., в която той реализира идеята на много математици. Това направи възможно използването на таблици не само за мощности под формата на прости числа, но и за произволни рационални.
През 1614 г. шотландецът Джон Напиер, развивайки тези идеи, за първи път въвежда новия термин „логаритъм на число“. Нов сложни таблициза изчисляване на логаритми на синуси и косинуси, както и на тангенси. Това значително намали работата на астрономите.
Започнаха да се появяват нови таблици, които бяха успешно използвани от учените в продължение на три века. Мина много време преди нова операцияв алгебрата придоби завършената си форма. Дадена е дефиницията на логаритъма и са изследвани неговите свойства.
Едва през 20-ти век, с появата на калкулатора и компютъра, човечеството изоставя древните таблици, които са работили успешно през 13-ти век.
Днес ние наричаме логаритъм от b по основа а числото x, което е степента на a, за да направи b. Това се записва като формула: x = log a(b).
Например, log 3(9) ще бъде равно на 2. Това е очевидно, ако следвате определението. Ако повдигнем 3 на степен 2, получаваме 9.
Така формулираната дефиниция поставя само едно ограничение: числата a и b трябва да са реални.
Видове логаритми
Класическата дефиниция се нарича реален логаритъм и всъщност е решението на уравнението a x = b. Вариант a = 1 е граничен и не представлява интерес. Внимание: 1 на произволна степен е равно на 1.
Реална стойност на логаритъмдефинирани само когато основата и аргументът са по-големи от 0 и основата не трябва да е равна на 1.
Особено място в областта на математикатаиграят логаритми, които ще бъдат именувани в зависимост от размера на тяхната основа:
Правила и ограничения
Основното свойство на логаритмите е правилото: логаритъмът на произведение е равен на логаритмичната сума. log abp = log a(b) + log a(p).
Вариант на това твърдение би бил: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), частното е равно на разликата на функциите.
От предишните две правила е лесно да се види, че: log a(b p) = p * log a(b).
Други свойства включват:
Коментирайте. Няма нужда да правите често срещана грешка - логаритъмът от сбор не е равен на сбора от логаритми.
В продължение на много векове операцията по намиране на логаритъм е била доста трудоемка задача. Използвани математици добре позната формулалогаритмична теория на полиномното разширение:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), където n - естествено числопо-голямо от 1, което определя точността на изчислението.
Логаритмите с други основи бяха изчислени с помощта на теоремата за прехода от една основа към друга и свойството логаритъм на произведението.
Тъй като този метод е много трудоемък и при решаване на практически задачитруден за изпълнение, използвахме предварително компилирани таблици с логаритми, което значително ускори цялата работа.
В някои случаи са използвани специално проектирани логаритмични графики, които дават по-малка точност, но значително ускоряват търсенето желаната стойност. Кривата на функцията y = log a(x), построена върху няколко точки, ви позволява да използвате обикновена линийка, за да намерите стойността на функцията във всяка друга точка. Инженери дълго времеЗа тези цели се използва така наречената милиметрова хартия.
През 17 век се появяват първите спомагателни аналогови изчислителни условия, които 19 векпридоби завършен вид. Най-успешното устройство се нарича плъзгач. Въпреки простотата на устройството, неговият външен вид значително ускори процеса на всички инженерни изчисления и това е трудно да се надцени. В момента малко хора са запознати с това устройство.
Появата на калкулаторите и компютрите обезсмисля използването на всякакви други устройства.
Уравнения и неравенства
За решаване на различни уравнения и неравенства с помощта на логаритми се използват следните формули:
- Преход от една база към друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Като следствие от предишната опция: log a(b) = 1 / log b(a).
За решаване на неравенства е полезно да знаете:
- Стойността на логаритъма ще бъде положителна само ако основата и аргументът са по-големи или по-малки от едно; ако поне едно условие е нарушено, стойността на логаритъма ще бъде отрицателна.
- Ако функцията логаритъм се приложи към дясната и лявата страна на неравенството и основата на логаритъма е по-голяма от единица, тогава знакът на неравенството се запазва; иначе се променя.
Примерни проблеми
Нека разгледаме няколко варианта за използване на логаритми и техните свойства. Примери за решаване на уравнения:
Обмислете опцията за поставяне на логаритъма в степен:
- Задача 3. Изчислете 25^log 5(3). Решение: в условията на задачата записът е подобен на следния (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Нека го запишем по различен начин: 5^log 5(3*2), или квадратът на число като аргумент на функция може да бъде записан като квадрат на самата функция (5^log 5(3))^2. Използвайки свойствата на логаритмите, този израз е равен на 3^2. Отговор: в резултат на изчислението получаваме 9.
Практическа употреба
Тъй като е чисто математически инструмент, изглежда далеч от това Истински животче логаритъма внезапно придоби голямо значениеза описване на обекти от реалния свят. Трудно е да се намери наука, където да не се използва. Това в пълна степен се отнася не само за природните, но и за хуманитарните области на знанието.
Логаритмични зависимости
Нека дадем няколко примера числени зависимости:
Механика и физика
В исторически план механиката и физиката винаги са се развивали с помощта на математически методиизследвания и в същото време послужи като стимул за развитието на математиката, включително логаритмите. Теорията на повечето закони на физиката е написана на езика на математиката. Нека дадем само два примера за описания физични закониизползвайки логаритъм.
Проблемът с изчисляването на такава сложна величина като скоростта на ракета може да бъде решен с помощта на формулата на Циолковски, която постави основата на теорията за изследване на космоса:
V = I * ln (M1/M2), където
- V е крайната скорост на самолета.
- I – специфичен импулс на двигателя.
- M 1 – начална маса на ракетата.
- M 2 – крайна маса.
Друг важен пример- това се използва във формулата на друг велик учен Макс Планк, която служи за оценка на равновесното състояние в термодинамиката.
S = k * ln (Ω), където
- S – термодинамично свойство.
- k – Болцманова константа.
- Ω е статистическото тегло на различните състояния.
Химия
По-малко очевидно е използването на формули в химията, съдържащи отношението на логаритмите. Нека дадем само два примера:
- Уравнение на Нернст, условието на редокс потенциала на средата във връзка с активността на веществата и константата на равновесие.
- Изчисляването на такива константи като индекса на автолиза и киселинността на разтвора също не може да се направи без нашата функция.
Психология и биология
И изобщо не е ясно какво общо има психологията с това. Оказва се, че силата на усещането се описва добре от тази функция като обратното съотношение на стойността на интензитета на стимула към стойността на по-ниския интензитет.
След горните примери вече не е изненадващо, че темата за логаритмите се използва широко в биологията. Могат да се изпишат цели томове за биологични форми, съответстващи на логаритмични спирали.
Други области
Изглежда, че съществуването на света е невъзможно без връзка с тази функция, а тя управлява всички закони. Особено когато законите на природата са свързани с геометрична прогресия. Струва си да се обърнете към уебсайта MatProfi и има много такива примери в следните области на дейност:
Списъкът може да бъде безкраен. След като сте усвоили основните принципи на тази функция, можете да се потопите в света на безкрайната мъдрост.
Днес ще говорим за логаритмични формулии дайте ориентировъчно примери за решение.
Самите те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим логаритмични формули за решаване, нека ви напомним всички свойства:
Сега, въз основа на тези формули (свойства), ще покажем примери за решаване на логаритми.
Примери за решаване на логаритми по формули.
Логаритъмположително число b по основа a (означено с log a b) е показател, до който a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.
Според дефиницията log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, следователно log a a x = x.
Логаритми, примери:
log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8
log 7 49 = 2, защото 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5
Десетичен логаритъм- това е обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.
log 10 100 = 2, защото 10 2 = 100
Натурален логаритъм- също обикновен логаритъм, логаритъм, но с основа e (e = 2,71828... - ирационално число). Означава се като ln.
Препоръчително е да запомните формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.
- Основно логаритмично тъждество
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Свойства на степента на логаритмично число и основата на логаритъма
Показател на логаритъм регистрационни номера a b m = mlog a b
Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ако m = n, получаваме log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Преход към нова основа
log a b = log c b/log c a,ако c = b, получаваме log b b = 1
тогава log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Както можете да видите, формулите за логаритми не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме по-подробно примери за решаване на логаритмични уравнения в статията: "". Не пропускайте!
Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.
Забележка: решихме да получим различен клас образование и да учим в чужбина като опция.
Логаритъмът на положително число b при основа a (a>0, a не е равно на 1) е число c, такова че a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Имайте предвид, че логаритъма на неположително число е недефиниран. Освен това основата на логаритъма трябва да е положително число, което не е равно на 1. Например, ако повдигнем на квадрат -2, получаваме числото 4, но това не означава, че логаритъмът с основа -2 от 4 е равен до 2.
Основно логаритмично тъждество
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно е обхватът на дефиницията на дясната и лявата страна на тази формула да е различен. Лява странаопределени само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Дясна часте дефинирано за всяко b, но изобщо не зависи от a. По този начин прилагането на основното логаритмично „тъждество” при решаване на уравнения и неравенства може да доведе до промяна в OD.
Две очевидни следствия от дефиницията на логаритъм
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Наистина, при повишаване на числото a на първа степен получаваме същото число, а при повдигане на нулева степен получаваме единица.
Логаритъм от произведението и логаритъм от частното
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Бих искал да предупредя учениците да не използват необмислено тези формули при решаване на логаритмични уравнения и неравенства. Когато ги използвате „отляво надясно“, ODZ се стеснява, а когато се движите от сумата или разликата на логаритмите към логаритъма на произведението или частното, ODZ се разширява.
Наистина, изразът log a (f (x) g (x)) е дефиниран в два случая: когато и двете функции са строго положителни или когато f(x) и g(x) са и двете по-малки от нула.
Преобразувайки този израз в сумата log a f (x) + log a g (x), ние сме принудени да се ограничим само до случая, когато f(x)>0 и g(x)>0. Има стесняване на обхвата на допустимите стойности, което е категорично недопустимо, тъй като може да доведе до загуба на решения. Подобен проблем съществува и за формула (6).
Степента може да бъде извадена от знака на логаритъма
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И отново бих искал да призова за точност. Разгледайте следния пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Лявата страна на равенството очевидно е дефинирана за всички стойности на f(x) с изключение на нула. Дясната страна е само за f(x)>0! Като извадим степента от логаритъма, ние отново стесняваме ODZ. Обратната процедура води до разширяване на обхвата на допустимите стойности. Всички тези забележки се отнасят не само за степен 2, но и за всяка четна степен.
Формула за преминаване към нова основа
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Този рядък случай, когато ODZ не се променя по време на трансформация. Ако сте избрали разумно база c (положителна и не равна на 1), формулата за преминаване към нова база е напълно безопасна.
Ако изберем числото b като нова основа c, получаваме важно специален случайформули (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Няколко прости примера с логаритми
Пример 1. Изчислете: log2 + log50.
Решение. log2 + log50 = log100 = 2. Използвахме формулата за сумата от логаритми (5) и дефиницията на десетичния логаритъм.
Пример 2. Изчислете: lg125/lg5.
Решение. log125/log5 = log 5 125 = 3. Използвахме формулата за преместване към нова база (8).
Таблица с формули, свързани с логаритми
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
