често вземете номер д = 2,718281828 . Логаритми по тази основаса наречени естествено. Когато извършвате изчисления с естествени логаритми, обичайно е да работите със знака лн, но не дневник; докато броят 2,718281828 , определящи основата, не са посочени.
С други думи, формулировката ще изглежда така: натурален логаритъмчисла х- това е показател, до който трябва да се повдигне число д, Придобивам х.
Така, в(7389...)= 2, тъй като д 2 =7,389... . Натурален логаритъм на самото число д= 1 защото д 1 =д, а натуралният логаритъм от единица е нула, тъй като д 0 = 1.
Самото число ддефинира границата на монотонна ограничена последователност
изчисли това д = 2,7182818284... .
Доста често, за да се фиксира число в паметта, цифрите на необходимия номер се свързват с някаква изключителна дата. Скорост на запаметяване на първите девет цифри от число дслед десетичната запетая ще се увеличи, ако забележите, че 1828 е годината на раждане на Лев Толстой!
Днес има достатъчно пълни масиестествени логаритми.
Графика на натурален логаритъм(функции y =в х) е следствие от това, че графиката на степента е огледален образ на правата линия y = xи има формата:
Натуралният логаритъм може да се намери за всяко положително реално число акато площта под кривата г = 1/хот 1 преди а.
Елементарният характер на тази формулировка, която е в съответствие с много други формули, в които участва натурален логаритъм, е причината за образуването на името „естествен“.
Ако анализирате натурален логаритъм, като реална функция на реална променлива, тогава тя действа обратна функциядо експоненциална функция, която се свежда до идентичностите:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
По аналогия с всички логаритми, естественият логаритъм преобразува умножението в събиране, делението в изваждане:
вътре(xy) = вътре(х) + вътре(г)
вътре(x/y)= lnx - lny
Логаритъмът може да се намери за всяка положителна основа, която не е равна на единица, не само за д, но логаритмите за други бази се различават от натуралния логаритъм само с постоянен коефициент и обикновено се дефинират по отношение на натуралния логаритъм.
Като анализира графика с естествен логаритъм,откриваме, че съществува за положителни стойности на променливата х. Той се увеличава монотонно в своята област на дефиниция.
При х → 0 границата на естествения логаритъм е минус безкрайност ( -∞ ).При x → +∞ границата на естествения логаритъм е плюс безкрайност ( + ∞ ). На свобода хЛогаритъмът нараства доста бавно. Всяка властова функция xaс положителен показател анараства по-бързо от логаритъма. Натурален логаритъме монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми.
Използване естествени логаритмимного рационално при преминаване на висша математика. По този начин използването на логаритъм е удобно за намиране на отговор на уравнения, в които неизвестните се появяват като показатели. Използването на естествени логаритми в изчисленията прави възможно значително опростяване на голям брой математически формули. Логаритми към основата д присъстват при решаването на значителен брой физични задачи и естествено се включват в математическото описание на отделни химични, биологични и други процеси. Така логаритмите се използват за изчисляване на константата на разпадане за известен период на полуразпад или за изчисляване на времето на разпадане при решаване на проблеми с радиоактивността. Изпълняват в водеща роляв много клонове на математиката и практическите науки те се използват в областта на финансите за решаване на голям брой проблеми, включително изчисляване на сложна лихва.
Урок и презентация по темите: "Натурални логаритми. Основата на натуралния логаритъм. Логаритъмът на естествено число"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“
Какво е натурален логаритъм
Момчета, в последния урок научихме ново, специално число - д. Днес ще продължим да работим с това число.Учили сме логаритми и знаем, че основата на логаритъм може да бъде много числа, които са по-големи от 0. Днес ще разгледаме също логаритъм, чиято основа е числото е. Такъв логаритъм обикновено се нарича натурален логаритъм. Има своя собствена нотация: $\ln(n)$ е натурален логаритъм. Този запис е еквивалентен на записа: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Експоненциалните и логаритмичните функции са обратни, тогава натуралният логаритъм е обратен на функцията: $y=e^x$.
Обратните функции са симетрични по отношение на правата $y=x$.
Нека начертаем натурален логаритъм, като начертаем експоненциалната функция спрямо правата $y=x$.
Струва си да се отбележи, че ъгълът на наклон на допирателната към графиката на функцията $y=e^x$ в точка (0;1) е 45°. Тогава ъгълът на наклона на допирателната към графиката на естествения логаритъм в точка (1;0) също ще бъде равен на 45°. И двете допирателни ще бъдат успоредни на правата $y=x$. Нека начертаем диаграмата на допирателните: 
Свойства на функцията $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не е нито четен, нито нечетен.
3. Увеличава се в цялата област на дефиниция.
4. Неограничен отгоре, не ограничен отдолу.
5. Най-голяма стойностНе, най-ниска стойностНе.
6. Непрекъснато.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Изпъкнал нагоре.
9. Диференцируеми навсякъде.
В курса на висшата математика е доказано, че производната на обратна функция е обратна на производната на дадена функция.
Няма много смисъл да навлизаме в доказателството, нека просто напишем формулата: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Пример.
Изчислете стойността на производната на функцията: $y=\ln(2x-7)$ в точка $x=4$.
Решение.
IN общ изгледнашата функция е представена от функцията $y=f(kx+m)$, можем да изчислим производните на такива функции.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Нека изчислим стойността на производната в исканата точка: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Отговор: 2.
Пример.
Начертайте допирателна към графиката на функцията $y=ln(x)$ в точка $х=е$.
Решение.
Помним добре уравнението на допирателната към графиката на функция в точка $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ние последователно изчисляваме необходимите стойности.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Уравнението на допирателната в точката $x=e$ е функцията $y=\frac(x)(e)$.
Нека начертаем естествения логаритъм и допирателната. 
Пример.
Проверете функцията за монотонност и екстремуми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Решение.
Областта на дефиниция на функцията $D(y)=(0;+∞)$.
Нека намерим производната на дадената функция:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Производната съществува за всички x от областта на дефиницията, тогава няма критични точки. Да намерим стационарни точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точката $х=-1$ не принадлежи към областта на дефиниция. Тогава имаме една неподвижна точка $x=1$. Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване: 
Точка $x=1$ е минималната точка, тогава $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Отговор: Функцията намалява върху сегмента (0;1), функцията нараства върху лъча $ (\displaystyle ). Простотата на това определение, което е в съответствие с много други формули, които използват този логаритъм, обяснява произхода на името "естествен".
Ако разгледаме естествения логаритъм като реална функция на реална променлива, тогава това е обратната функция на експоненциалната функция, която води до идентичностите:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Както всички логаритми, естественият логаритъм преобразува умножението в събирането:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)
