Това може да бъде например калкулатор от основния набор от програми операционна система Windows. Връзката за стартиране е скрита в главното меню на операционната система - отворете го, като щракнете върху бутона "Старт", след това отворете секцията "Програми", отидете на подраздела "Стандартни" и след това на "Помощни програми" и накрая щракнете върху елемента „Калкулатор“ " Вместо да използвате мишката и да навигирате в менютата, можете да използвате клавиатурата и диалоговия прозорец за стартиране на програмата - натиснете клавишната комбинация WIN + R, въведете calc (това е името на изпълнимия файл на калкулатора) и натиснете Enter.
Превключете интерфейса на калкулатора в разширен режим, който ви позволява да правите... По подразбиране се отваря в „нормален“ изглед, но имате нужда от „инженерен“ или „ “ (в зависимост от версията на операционната система, която използвате). Разширете секцията „Преглед“ в менюто и изберете съответния ред.
Въведете аргумента, чиято естествена стойност искате да оцените. Това може да стане или от клавиатурата, или чрез щракване върху съответните бутони в интерфейса на калкулатора на екрана.
Щракнете върху бутона с надпис ln - програмата ще изчисли логаритъма по основа e и ще покаже резултата.
Използвайте един от -калкулаторите като алтернативно изчисление на стойността натурален логаритъм. Например този, който се намира на http://calc.org.ua. Интерфейсът му е изключително прост - има едно поле за въвеждане, в което трябва да въведете стойността на числото, чийто логаритъм трябва да изчислите. Сред бутоните намерете и щракнете върху този, който казва ln. Скриптът на този калкулатор не изисква изпращане на данни до сървъра и отговор, така че ще получите резултата от изчислението почти мигновено. Единствената характеристика, която трябва да се вземе предвид, е разделителят между дробните и цяла частВъведеното число трябва да има точка тук, а не .
Терминът " логаритъм„произлиза от две гръцки думи, едното от които означава „число“, а другото „съотношение“. Означава математическата операция за изчисляване на променлива величина (експонента), към която трябва да се повдигне постоянна стойност (база), за да се получи числото, посочено под знака логаритъмА. Ако основата е равна на математическа константа, наречена числото "e", тогава логаритъмнаречено „естествено“.
Ще имаш нужда
- Достъп до интернет, Microsoft Office Excel или калкулатор.
Инструкции
Използвайте многото налични калкулатори в Интернет - това е може би лесен начин за изчисляване на естествено a. Не е нужно да търсите подходящата услуга, тъй като много търсачкии самите те имат вградени калкулатори, доста подходящи за работа логаритъм ami. Например отидете на началната страница на най-голямата онлайн търсачка – Google. Тук не са необходими бутони за въвеждане на стойности или избор на функции, просто въведете желания в полето за въвеждане на заявка математическа операция. Да кажем, да изчислим логаритъми числото 457 в основата "e", въведете ln 457 - това ще бъде достатъчно, за да може Google да покаже с точност до осем знака след десетичната запетая (6.12468339) дори без да натискате бутона за изпращане на заявка до сървъра.
Използвайте подходящата вградена функция, ако трябва да изчислите стойността на натурален логаритъми възниква при работа с данни в популярния редактор на електронни таблици Microsoft Office Excel. Тази функция се извиква тук, като се използва общата нотация логаритъми с главни букви - LN. Изберете клетката, в която трябва да се покаже резултатът от изчислението, и въведете знак за равенство - така в този редактор на електронни таблици записите трябва да започват в клетките, съдържащи се в подраздела „Стандартни“ на раздела „Всички програми“ на главното меню. Превключете калкулатора в по-функционален режим, като натиснете Alt + 2. След това въведете естествената стойност логаритъмкоето искате да изчислите, и щракнете върху бутона в интерфейса на програмата, обозначен със символите ln. Приложението ще извърши изчислението и ще покаже резултата.
Видео по темата
Никак не е лошо, нали? Докато математиците търсят думи, за да ви дадат дълга, объркваща дефиниция, нека разгледаме по-отблизо тази проста и ясна.
Числото e означава растеж
Числото e означава непрекъснат растеж. Както видяхме в предишния пример, e x ни позволява да свържем лихвата и времето: 3 години при 100% ръст е същото като 1 година при 300%, приемайки „сложна лихва“.
Можете да замените произволни процентни и времеви стойности (50% за 4 години), но е по-добре да зададете процента като 100% за удобство (оказва се 100% за 2 години). Преминавайки към 100%, можем да се съсредоточим единствено върху времевия компонент:
e x = e процент * време = e 1,0 * време = e време
Очевидно e x означава:
- колко ще нарасне моят принос след x единици време (приемайки 100% непрекъснат растеж).
- например след 3 интервала от време ще получа e 3 = 20,08 пъти повече „неща“.
e x е коефициент на мащабиране, който показва до какво ниво ще нараснем за x период от време.
Натурален логаритъм означава време
Натуралният логаритъм е обратен на e, фантастичен термин за противоположност. Говорейки за странности; на латински се нарича logarithmus naturali, оттук и съкращението ln.
И какво означава тази инверсия или противоположност?
- e x ни позволява да заменим времето и да получим растеж.
- ln(x) ни позволява да вземем растеж или доход и да намерим времето, необходимо за генерирането му.
Например:
- e 3 е равно на 20,08. След три периода от време ще имаме 20,08 пъти повече от това, с което започнахме.
- ln(08/20) ще бъде приблизително 3. Ако се интересувате от растеж от 20,08 пъти, ще ви трябват 3 периода от време (отново, като се приеме 100% непрекъснат растеж).
Все още четете? Натуралният логаритъм показва времето, необходимо за достигане на желаното ниво.
Това нестандартно логаритмично броене
Минали ли сте през логаритмите - странни създания са. Как са успели да превърнат умножението в събиране? Какво ще кажете за разделяне на изваждане? Нека да погледнем.
На какво е равно ln(1)? Интуитивно въпросът е: колко дълго трябва да чакам, за да получа 1x повече от това, което имам?
Нула. Нула. Въобще не. Вече го имате веднъж. Преминаването от ниво 1 до ниво 1 не отнема много време.
- log(1) = 0
Добре, какво ще кажете за дробната стойност? Колко време ще ни отнеме да ни остане 1/2 от наличното количество? Знаем, че при 100% непрекъснат растеж ln(2) означава времето, необходимо за удвояване. Ако ние да върнем времето назад(т.е. изчакайте отрицателно време), тогава ще получим половината от това, което имаме.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Логично, нали? Ако се върнем назад (време назад) до 0,693 секунди, ще намерим половината от наличното количество. Като цяло можете да обърнете дробта и да вземете отрицателна стойност: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Това означава, че ако се върнем назад във времето до 1,09 пъти, ще намерим само една трета от текущото число.
Добре, какво ще кажете за логаритъма на отрицателно число? Колко време отнема „отглеждането“ на колония от бактерии от 1 до -3?
Това е невъзможно! Не можете да получите отрицателен брой бактерии, нали? Можете да получите максимум (ъъ...минимум) нула, но няма начин да получите отрицателно число от тези малки същества. IN отрицателно числобактерии просто няма смисъл.
- ln(отрицателно число) = недефинирано
„Недефинирано“ означава, че няма време, което трябва да изчака, за да получи отрицателна стойност.
Логаритмичното умножение е просто забавно
Колко време ще отнеме да нарасне четирикратно? Разбира се, можете просто да вземете ln(4). Но това е твърде просто, ще тръгнем по друг начин.
Можете да мислите за четворния растеж като удвояване (изискващо ln(2) единици време) и след това удвояване отново (изискващо още ln(2) единици време):
- Време за нарастване 4 пъти = ln(4) = Време за удвояване и след това отново удвояване = ln(2) + ln(2)
интересно Всеки темп на растеж, да речем 20, може да се счита за удвояване веднага след 10-кратно увеличение. Или ръст 4 пъти, а след това 5 пъти. Или утрояване и след това увеличаване с 6,666 пъти. Виждате ли шаблона?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Логаритъмът от A по B е log(A) + log(B). Тази връзка веднага има смисъл, когато се разглежда от гледна точка на растеж.
Ако се интересувате от 30x растеж, можете да изчакате ln(30) на едно заседание или да изчакате ln(3) за утрояване и след това още един ln(10) за 10x. Крайният резултат е същият, така че, разбира се, времето трябва да остане постоянно (и това е така).
Ами разделянето? По-конкретно, ln(5/3) означава: колко време ще отнеме да нарасне 5 пъти и след това да получи 1/3 от това?
Страхотно, нарастването с 5 пъти е ln(5). Увеличението от 1/3 пъти ще отнеме -ln(3) единици време. Така,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Това означава: оставете го да нарасне 5 пъти и след това „върнете се назад във времето“ до момента, в който остава само една трета от това количество, така че ще получите 5/3 растеж. Като цяло се оказва
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Надявам се, че странната аритметика на логаритмите започва да придобива смисъл за вас: умножаването на темповете на растеж се превръща в добавяне на единици време за растеж, а деленето се превръща в изваждане на единици време. Няма нужда да запомняте правилата, опитайте се да ги разберете.
Използване на натурален логаритъм за произволен растеж
Е, разбира се“, казвате вие, „това е добре, ако растежът е 100%, но какво ще кажете за 5%, които получавам?“
Няма проблем. „Времето“, което изчисляваме с ln(), всъщност е комбинация от лихвен процент и време, същото X от уравнението e x. Просто решихме да зададем процента на 100% за простота, но сме свободни да използваме всякакви числа.
Да речем, че искаме да постигнем 30x растеж: вземете ln(30) и вземете 3,4 Това означава:
- e x = височина
- e 3,4 = 30
Очевидно това уравнение означава "100% възвръщаемост за 3,4 години дава 30 пъти растеж." Можем да напишем това уравнение, както следва:
- e x = e скорост*време
- e 100% * 3,4 години = 30
Можем да променим стойностите на „залог“ и „време“, стига залогът * време да остане 3.4. Например, ако се интересуваме от 30x растеж, колко време ще трябва да чакаме при лихвен процент от 5%?
- ln(30) = 3,4
- скорост * време = 3,4
- 0,05 * време = 3,4
- време = 3,4 / 0,05 = 68 години
Разсъждавам така: "ln(30) = 3,4, така че при 100% растеж ще отнеме 3,4 години. Ако удвоя скоростта на растеж, необходимото време ще бъде намалено наполовина."
- 100% за 3,4 години = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% за 1,7 години = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% за 6,8 години = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% над 68 години = 0,05 * 68 = 3,4.
Страхотно, нали? Натуралният логаритъм може да се използва с всякакъв лихвен процент и време, тъй като техният продукт остава постоянен. Можете да премествате променливи стойности колкото желаете.
Страхотен пример: Правило на седемдесет и две
Правилото на седемдесет и две е математическа техника, която ви позволява да прецените колко време ще отнеме парите ви да се удвоят. Сега ще го изведем (да!) и освен това ще се опитаме да разберем същността му.
Колко време ще отнеме да удвоите парите си при 100% годишна лихва?
опа Използвахме натурален логаритъм за случая на непрекъснат растеж, а сега говорите за годишно комбиниране? Дали тази формула няма да стане неподходяща за такъв случай? Да, така ще бъде, но за реални лихвени проценти като 5%, 6% или дори 15%, разликата между годишното усложняване и непрекъснатия растеж ще бъде малка. Така че грубата оценка работи, хм, грубо, така че ще се преструваме, че имаме напълно непрекъснато натрупване.
Сега въпросът е прост: Колко бързо можете да удвоите със 100% растеж? ln(2) = 0,693. Отнема 0,693 единици време (години в нашия случай), за да удвоим нашата сума с непрекъснато увеличение от 100%.
И така, какво ще стане, ако лихвеният процент не е 100%, а да речем 5% или 10%?
Лесно! Тъй като залог * време = 0,693, ще удвоим сумата:
- процент * време = 0,693
- време = 0,693 / залог
Оказва се, че ако растежът е 10%, ще са необходими 0,693 / 0,10 = 6,93 години, за да се удвои.
За да опростим изчисленията, нека умножим двете страни по 100, тогава можем да кажем "10", а не "0,10":
- време за удвояване = 69,3 / залог, където залогът е изразен като процент.
Сега е време да се удвои със скорост от 5%, 69,3 / 5 = 13,86 години. Въпреки това, 69.3 не е най-удобният дивидент. Нека изберем близко число 72, което е удобно да се раздели на 2, 3, 4, 6, 8 и други числа.
- време за удвояване = 72 / залог
което е правилото на седемдесет и две. Всичко е покрито.
Ако трябва да намерите време за утрояване, можете да използвате ln(3) ~ 109.8 и да получите
- време за утрояване = 110 / залог
Какво е друго полезно правило. „Правилото на 72“ се прилага за растеж на лихвените проценти, растеж на населението, бактериални култури и всичко, което расте експоненциално.
Какво следва?
Надяваме се, че натуралният логаритъм вече има смисъл за вас - той показва времето, необходимо на всяко число да расте експоненциално. Мисля, че се нарича естествено, защото e е универсална мярка за растеж, така че ln може да се счита за универсален начин за определяне колко време е необходимо за растеж.
Всеки път, когато видите ln(x), помнете "времето, необходимо за нарастване X пъти". В предстояща статия ще опиша e и ln във връзка, така че свежият аромат на математика да изпълни въздуха.
Допълнение: Натурален логаритъм от e
Бърз тест: какво е ln(e)?
- математически робот ще каже: тъй като те са дефинирани като обратни един на друг, очевидно е, че ln(e) = 1.
- разбиращ човек: ln(e) е броят пъти, необходими за нарастване на "e" пъти (около 2,718). Самото число e обаче е мярка за растеж с коефициент 1, така че ln(e) = 1.
Мислете ясно.
9 септември 2013 гчесто вземете номер д = 2,718281828 . Логаритми по тази основаса наречени естествено. Когато извършвате изчисления с естествени логаритми, обичайно е да работите със знака лн, но не дневник; докато броят 2,718281828 , определящи основата, не са посочени.
С други думи, формулировката ще изглежда така: натурален логаритъмчисла х- това е показател, до който трябва да се повдигне число д, Придобивам х.
Така, в(7389...)= 2, тъй като д 2 =7,389... . Натурален логаритъм на самото число д= 1 защото д 1 =д, а натуралният логаритъм от единица е нула, тъй като д 0 = 1.
Самото число ддефинира границата на монотонна ограничена последователност
изчислено е, че д = 2,7182818284... .
Доста често, за да се фиксира число в паметта, цифрите на необходимия номер се свързват с някаква изключителна дата. Скорост на запаметяване на първите девет цифри от число дслед десетичната запетая ще се увеличи, ако забележите, че 1828 е годината на раждане на Лев Толстой!
Днес има достатъчно пълни масиестествени логаритми.
Графика на натурален логаритъм(функции y=в х) е следствие от това, че графиката на степента е огледален образ на правата линия y = xи има формата:
Натуралният логаритъм може да се намери за всяко положително реално число акато площта под кривата г = 1/хот 1 преди а.
Елементарният характер на тази формулировка, която е в съответствие с много други формули, в които участва натурален логаритъм, е причината за образуването на името „естествен“.
Ако анализирате натурален логаритъм, като реална функция на реална променлива, тогава тя действа обратна функциядо експоненциална функция, която се свежда до идентичностите:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
По аналогия с всички логаритми, естественият логаритъм преобразува умножението в събиране, делението в изваждане:
вътре(xy) = вътре(х) + вътре(г)
вътре(x/y)= lnx - lny
Логаритъмът може да се намери за всяка положителна основа, която не е равна на единица, не само за д, но логаритмите за други бази се различават от натуралния логаритъм само с постоянен коефициент и обикновено се определят от гледна точка на натуралния логаритъм.
Като анализира графика с естествен логаритъм,откриваме, че съществува за положителни стойности на променливата х. Той се увеличава монотонно в своята област на дефиниране.
При х → 0 границата на естествения логаритъм е минус безкрайност ( -∞ ).При x → +∞ границата на естествения логаритъм е плюс безкрайност ( + ∞ ). На свобода хЛогаритъмът нараства доста бавно. Всяка властова функция xaс положителен показател анараства по-бързо от логаритъма. Натуралният логаритъм е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми.
Използване естествени логаритмимного рационално при преминаване на висша математика. По този начин използването на логаритъм е удобно за намиране на отговор на уравнения, в които неизвестните се появяват като показатели. Използването на естествени логаритми в изчисленията прави възможно значително опростяване на голям брой математически формули. Логаритми към основата д присъстват при решаването на значителен брой физични задачи и естествено се включват в математическото описание на отделни химични, биологични и други процеси. Така логаритмите се използват за изчисляване на константата на разпадане за известен период на полуразпад или за изчисляване на времето на разпадане при решаване на проблеми с радиоактивността. Изпълняват в водеща роляв много клонове на математиката и практическите науки те се използват в областта на финансите за решаване на голям брой проблеми, включително изчисляване на сложна лихва.
Логаритъмна дадено число се нарича експонента, до която трябва да се повдигне друго число, наречено основалогаритъм, за да получите това число. Например логаритъмът при основа 10 на 100 е 2. С други думи, 10 трябва да се повдигне на квадрат, за да се получи 100 (10 2 = 100). Ако н– дадено число, b– база и л– логаритъм, тогава b l = n. Номер ннаричан още основен антилогаритъм bчисла л. Например, антилогаритъмът от 2 при основа 10 е равен на 100. Това може да се запише под формата на логаритъм на отношенията b n = ли антилог b l = н.
Основни свойства на логаритмите:
Всяко положително число, различно от единица, може да служи като основа за логаритми, но за съжаление се оказва, че ако bИ нса рационални числа, то в редки случаи има такова рационално число л, Какво b l = n. Въпреки това е възможно да се определи ирационално число л, например, така че 10 л= 2; това е ирационално число лможе да бъде приблизително изчислено с необходимата точност рационални числа. Оказва се, че в дадения пример ле приблизително равно на 0,3010 и това приближение на логаритъм с основа 10 от 2 може да се намери в четирицифрени таблици с десетични логаритми. Логаритмите с основа 10 (или логаритми с основа 10) са толкова често използвани в изчисленията, че се наричат обикновенилогаритми и записани като log2 = 0,3010 или log2 = 0,3010, като се пропуска изричното посочване на основата на логаритъма. Логаритми към основата д, трансцендентно число, приблизително равно на 2,71828, се наричат естественологаритми. Срещат се предимно в трудовете по математически анализи приложенията му в различни науки. Натуралните логаритми също се записват без изрично посочване на основата, но с помощта на специалната нотация ln: например ln2 = 0,6931, т.к. д 0,6931 = 2.
Използване на таблици с обикновени логаритми.
Редовният логаритъм на число е показател, към който трябва да се повдигне 10, за да се получи дадено число. Тъй като 10 0 = 1, 10 1 = 10 и 10 2 = 100, веднага получаваме, че log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.н. за увеличаващи се цели числа 10. По същия начин 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 и следователно log0,1 = –1, log0,01 = –2 и т.н. за всички отрицателни цели числа 10. Обичайните логаритми на останалите числа са затворени между логаритмите на най-близките цели числа на 10; log2 трябва да бъде между 0 и 1, log20 трябва да бъде между 1 и 2 и log0.2 трябва да бъде между -1 и 0. Така логаритъма се състои от две части, цяло число и десетичен знак, ограден между 0 и 1. Цялата част се извиква Характеристикалогаритъм и се определя от самото число, фракцияНаречен мантисаи могат да бъдат намерени от таблици. Освен това log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логаритъмът от 2 е 0,3010, така че log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. По същия начин log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. След изваждане получаваме log0.2 = – 0.6990. По-удобно е обаче да се представи log0.2 като 0.3010 – 1 или като 9.3010 – 10; може да се формулира и общо правило: всички числа, получени от дадено число чрез умножение на степен 10, имат една и съща мантиса, равна на мантисата на даденото число. Повечето таблици показват мантисите на числата в диапазона от 1 до 10, тъй като мантисите на всички други числа могат да бъдат получени от дадените в таблицата.
Повечето таблици дават логаритми с четири или пет знака след десетичната запетая, въпреки че има седемцифрени таблици и таблици с дори повече десетични знаци. Най-лесният начин да научите как да използвате такива таблици е с примери. За да намерим log3.59, първо отбелязваме, че числото 3.59 е между 10 0 и 10 1, така че неговата характеристика е 0. Намираме числото 35 (вляво) в таблицата и се движим по реда до колона, която има номер 9 в горната част; пресечната точка на тази колона и ред 35 е 5551, така че log3.59 = 0.5551. Да се намери мантисата на число с четири важни фигури, е необходимо да се прибегне до интерполация. В някои таблици интерполацията се улеснява от пропорциите, дадени в последните девет колони от дясната страна на всяка страница от таблиците. Нека сега намерим log736.4; числото 736.4 се намира между 10 2 и 10 3, следователно характеристиката на неговия логаритъм е 2. В таблицата намираме ред, вляво от който има 73 и колона 6. В пресечната точка на този ред и тази колона има числото 8669. Сред линейни частинамираме колона 4. На пресечната точка на ред 73 и колона 4 има числото 2. Като добавим 2 към 8669, получаваме мантисата - тя е равна на 8671. Така log736.4 = 2.8671.
Натурални логаритми.
Таблиците и свойствата на естествените логаритми са подобни на таблиците и свойствата на обикновените логаритми. Основната разлика между двете е, че цялата част от естествения логаритъм не е значима при определяне на позицията на десетичната запетая и следователно разликата между мантисата и характеристиката не играе специална роля. Натурални логаритми на числата 5,432; 54,32 и 543,2 са равни съответно на 1,6923; 3.9949 и 6.2975. Връзката между тези логаритми ще стане очевидна, ако разгледаме разликите между тях: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; последно числоне е нищо повече от натурален логаритъм на числото 10 (записано така: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; последното число е 2ln10. Но 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Така чрез натурален логаритъм на дадено число аможете да намерите естествените логаритми на числа, равни на произведенията на числото аза всяка степен нчислата 10 ако към ln адобавете ln10, умножено по н, т.е. ln( аґ10н) = дневник а + н ln10 = ln а + 2,3026н. Например ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Следователно таблиците на естествените логаритми, както и таблиците на обикновените логаритми, обикновено съдържат само логаритми на числа от 1 до 10. В системата на естествените логаритми може да се говори за антилогаритми, но по-често се говори за експоненциална функция или експонента. Ако х= дневник г, Че г = e x, И гнаречен експонент на х(за типографско удобство те често пишат г= експ х). Показателят играе ролята на антилогаритъм на числото х.
Използвайки таблици с десетични и естествени логаритми, можете да създавате таблици с логаритми във всяка основа, различна от 10 и д. Ако регистрирате б а = х, Че b x = а, и следователно log c b x=дневник в аили хдневник c b=дневник в а, или х=дневник в а/дневник c b=дневник б а. Следователно, използвайки тази формула за инверсия от таблицата на основния логаритъм ° Сможете да съставите таблици с логаритми във всяка друга база b. Множител 1/лог c bНаречен преходен модулот основата ° Скъм основата b. Нищо не пречи например да се използва формулата за инверсия или преход от една система от логаритми към друга, намиране на естествени логаритми от таблицата на обикновените логаритми или извършване на обратния преход. Например log105.432 = log д 5,432/log д 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Числото 0,4343, по което трябва да се умножи естественият логаритъм на дадено число, за да се получи обикновен логаритъм, е модулът на прехода към системата от обикновени логаритми.
Специални маси.
Логаритмите първоначално са били измислени така, че с помощта на техните свойства log аб=дневник а+дневник bи дневник а/b=дневник а–дневник b, превръщат произведенията в суми и частните в разлики. С други думи, ако log аи дневник bса известни, тогава с помощта на събиране и изваждане можем лесно да намерим логаритъма на произведението и частното. В астрономията обаче често се дават стойности на log аи дневник bтрябва да намерим дневник( а + b) или log( а – b). Разбира се, първо може да се намери от таблици с логаритми аИ b, след това извършете посоченото събиране или изваждане и, като отново се обърнете към таблиците, намерете необходимите логаритми, но такава процедура би изисквала препращане към таблиците три пъти. Z. Leonelli публикува през 1802 г. таблици на т.нар. Гаусови логаритми– логаритми за събиране на суми и разлики – което позволи да се ограничи до един достъп до таблици.
През 1624 г. И. Кеплер предлага таблици на пропорционални логаритми, т.е. логаритми на числа а/х, Където а– някаква положителна постоянна стойност. Тези таблици се използват предимно от астрономи и навигатори.
Пропорционални логаритми при а= 1 се наричат чрез логаритмии се използват при изчисления, когато трябва да се работи с продукти и частни. Кологаритъм на число нравно на логаритъма на реципрочното число; тези. colog н= log1/ н= – дневник н. Ако log2 = 0,3010, тогава colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Предимството на използването на кологаритми е, че когато се изчислява стойността на логаритъма на изрази като pq/rдневник на тройна сума от положителни десетични знаци стр+дневник р+ colog rпо-лесен за намиране от смесен дневник на суми и разлики стр+дневник р–дневник r.
История.
Принципът, лежащ в основата на всяка система от логаритми, е известен от много дълго време и може да бъде проследен назад в историята чак до древната вавилонска математика (около 2000 г. пр.н.е.). В онези дни интерполацията между таблични стойностиположителни цели числа на цели числа бяха използвани за изчисляване на сложната лихва. Много по-късно Архимед (287–212 г. пр. н. е.) използва степени на 108, за да намери горна граница на броя на песъчинките, необходими за пълно запълване на известната тогава Вселена. Архимед обърна внимание на свойството на експонентите, което е в основата на ефективността на логаритмите: произведението на степените съответства на сумата от степените. В края на Средновековието и началото на модерната епоха математиците все повече започват да се обръщат към връзката между геометричните и аритметичните прогресии. М. Щифел в своето есе Целочислена аритметика(1544) дава таблица на положителните и отрицателните степени на числото 2:
Щифел забеляза, че сборът от двете числа в първия ред (редът на степента) е равен на степента на две, съответстваща на произведението на двете съответни числа в долния ред (редът на степента). Във връзка с тази таблица Щифел формулира четири правила, еквивалентни на четирите съвременни правила за операции с експоненти или четирите правила за операции с логаритми: сумата на горния ред съответства на произведението на долния ред; изваждането на горния ред съответства на деленето на долния ред; умножението на горния ред съответства на степенуването на долния ред; разделяне на горния ред съответства на вкореняване на долния ред.
Очевидно правила, подобни на правилата на Stiefel, са накарали J. Naper да въведе официално първата система от логаритми в своята работа Описание на удивителната таблица на логаритмите, публикувана през 1614 г. Но мислите на Напиер бяха заети с проблема за превръщането на продуктите в суми, откакто, повече от десет години преди публикуването на работата му, Напиер получи новини от Дания, че в обсерваторията Тихо Брахе неговите асистенти имат метод, който прави възможно е продуктите да се преобразуват в суми. Методът, споменат в съобщението, получено от Napier, се основава на употребата тригонометрични формулиТип
следователно таблиците на Naper се състоят главно от логаритми тригонометрични функции. Въпреки че понятието за основа не е изрично включено в определението, предложено от Напиер, ролята, еквивалентна на основата на системата от логаритми в неговата система, играе числото (1 – 10 –7)ґ10 7, приблизително равно на 1/ д.
Независимо от Напер и почти едновременно с него, система от логаритми, доста сходна по вид, е изобретена и публикувана от J. Bürgi в Прага, публикувана през 1620 г. Таблици за аритметична и геометрична прогресия. Това бяха таблици с антилогаритми към основата (1 + 10 –4) ґ10 4, доста добро приближение на числото д.
В системата на Нейпер логаритъма на числото 10 7 беше приет за нула и с намаляването на числата логаритмите нарастваха. Когато Г. Бригс (1561–1631) посети Напиер, и двамата се съгласиха, че би било по-удобно да се използва числото 10 като основа и да се счита, че логаритъмът от единица е нула. След това, когато числата нарастват, техните логаритми ще се увеличават. Така че имаме модерна системадесетични логаритми, таблица от които Бригс публикува в своя труд Логаритмична аритметика(1620). Логаритми към основата д, въпреки че не са точно тези, въведени от Naper, често се наричат Naper's. Термините "характеристика" и "мантиса" са предложени от Бригс.
Първите логаритми по исторически причини са използвали приближения на числата 1/ дИ д. Малко по-късно идеята за естествени логаритми започва да се свързва с изучаването на области под хипербола xy= 1 (фиг. 1). През 17 век беше показано, че областта, ограничена от тази крива, оста хи ординати х= 1 и х = а(на фиг. 1 тази зона е покрита с по-дебели и редки точки) се увеличава аритметична прогресия, Кога аувеличава в геометрична прогресия. Именно тази зависимост възниква в правилата за операции с експоненти и логаритми. Това даде повод да се нарекат логаритми на Naperian „хиперболични логаритми“.
Логаритмична функция.
Имало е време, когато логаритмите са били разглеждани единствено като средство за изчисление, но през 18 век, главно благодарение на работата на Ойлер, се формира концепцията за логаритмична функция. Графика на такава функция г= дневник х, чиито ординати нарастват в аритметична прогресия, докато абсцисите нарастват в геометрична прогресия, е представен на фиг. 2, А. Графика на обратна или експоненциална функция y = e x, чиито ординати нарастват в геометрична прогресия, а абсцисите - в аритметична прогресия, е представена съответно на фиг. 2, b. (Криви г=дневник хИ г = 10хподобни по форма на криви г= дневник хИ г = e x.) Предложени са и алтернативни определения на логаритмичната функция, напр.
kpi; и по подобен начин естествените логаритми на числото -1 са комплексни числавидове (2 к + 1)пи, Където к– цяло число. Подобни твърдения са верни за общи логаритми или други системи от логаритми. Освен това дефиницията на логаритми може да се обобщи с помощта на идентичностите на Ойлер, за да включва комплексни логаритми на комплексни числа.
Алтернативна дефиниция на логаритмичната функция дава функционален анализ. Ако f(х) – непрекъсната функцияреално число х, притежаващ следните три свойства: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Че f(х) се определя като логаритъм на числото хбазиран на b. Това определение има редица предимства пред определението, дадено в началото на тази статия.
Приложения.
Логаритмите първоначално са били използвани единствено за опростяване на изчисленията и това приложение все още е едно от най-важните им. Изчисляването на произведения, частни, степени и корени се улеснява не само от широката наличност на публикувани таблици на логаритми, но и от използването на т.нар. плъзгаща се линейка - изчислителен инструмент, чийто принцип на работа се основава на свойствата на логаритмите. Линийката е оборудвана с логаритмични везни, т.е. разстояние от число 1 до произволно число хизбран да бъде равен на log х; Чрез изместване на една скала спрямо друга е възможно да се начертаят сумите или разликите на логаритмите, което дава възможност да се четат директно от скалата продуктите или частните на съответните числа. Можете също така да се възползвате от предимствата на представянето на числата в логаритмична форма. логаритмична хартия за чертане на графики (хартия с отпечатани върху нея логаритмични скали по двете координатни оси). Ако една функция удовлетворява степенен закон на формата y = kxn, тогава неговата логаритмична графика изглежда като права линия, защото дневник г=дневник к + ндневник х– линейно уравнение по отношение на логаритъм ги дневник х. Напротив, ако логаритмичната графика на някаква функционална зависимост изглежда като права линия, то тази зависимост е степенна. Полулогаритмична хартия (където оста y има логаритмична скала, а оста x има равномерна скала) е полезна, когато трябва да идентифицирате експоненциални функции. Уравнения на формата y = kb rxвъзникне винаги, когато дадено количество, като население, количество радиоактивен материал или банков баланс, намалява или нараства със скорост, пропорционална на наличните този моментброй жители, радиоактивно вещество или пари. Ако такава зависимост се начертае върху полулогаритмична хартия, графиката ще изглежда като права линия.
Логаритмичната функция възниква във връзка с голямо разнообразие от естествени форми. Цветята в слънчогледовите съцветия са подредени в логаритмични спирали, а черупките на мекотелите са усукани. Наутилус, рога на планинска овца и човки на папагали. Всички тези естествени форми могат да служат като примери за крива, известна като логаритмична спирала, тъй като в полярна координатна система нейното уравнение е r = ae bq, или лн r= дневник а + bq. Такава крива се описва от движеща се точка, разстоянието от полюса на която нараства в геометрична прогресия, а ъгълът, описан от нейния радиус-вектор, нараства в аритметична прогресия. Повсеместността на такава крива и следователно на логаритмичната функция е добре илюстрирана от факта, че тя се среща в толкова далечни и напълно различни области като контура на ексцентрична гърбица и траекторията на някои насекоми, летящи към светлината.
Логаритъмът на число b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото b.
Ако, тогава.
Логаритъм - екстремен важно математическа величина , тъй като логаритмичното смятане позволява не само решаване на експоненциални уравнения, но и работа с експоненциални показатели, диференциране на експоненциални и логаритмични функции, интегрирането им и довеждането им до по-приемлива форма за изчисляване.
Във връзка с
Всички свойства на логаритмите са пряко свързани със свойствата на експоненциалните функции. Например фактът, че 
означава, че:
Трябва да се отбележи, че при решаването на конкретни проблеми свойствата на логаритмите могат да се окажат по-важни и полезни от правилата за работа със степените.
Нека представим някои самоличности:
Ето основните алгебрични изрази:
;
.
внимание!може да съществува само за x>0, x≠1, y>0.
Нека се опитаме да разберем въпроса какво представляват естествените логаритми. Специален интерес към математиката представляват два вида- първият има числото "10" в основата и се нарича " десетичен логаритъм" Вторият се нарича естествен. Основата на естествения логаритъм е числото "e". За това ще говорим подробно в тази статия.
Обозначения:
- lg x - десетична;
- ln x - естествено.
Използвайки тъждеството, можем да видим, че ln e = 1, както и факта, че lg 10=1.
Графика на натурален логаритъм
Нека изградим графика на натурален логаритъм, използвайки стандарта по класическия начинпо точки. Ако желаете, можете да проверите дали конструираме функцията правилно, като разгледате функцията. Въпреки това има смисъл да се научите как да го изграждате „ръчно“, за да знаете как правилно да изчислите логаритъма.
Функция: y = ln x. Нека напишем таблица с точки, през които ще премине графиката:
Нека обясним защо избрахме тези конкретни стойности на аргумента x. Всичко е въпрос на идентичност: . За естествения логаритъм тази идентичност ще изглежда така:
За удобство можем да вземем пет референтни точки:
;
;
.
;
.
По този начин изчисляването на естествени логаритми е доста проста задача, освен това опростява изчисленията на операции със степени, превръщайки ги в обикновено умножение.
Като начертаем графика точка по точка, получаваме приблизителна графика:
Областта на дефиниране на естествения логаритъм (т.е. всички валидни стойности на аргумента X) са всички числа, по-големи от нула.
внимание!Домейнът на дефиниция на естествения логаритъм включва само положителни числа! Обхватът на дефиницията не включва x=0. Това е невъзможно въз основа на условията за съществуване на логаритъма.
Диапазонът от стойности (т.е. всички валидни стойности на функцията y = ln x) е всички числа в интервала.
Естествено ограничение на дневника
Изучавайки графиката, възниква въпросът - как се държи функцията при y<0.
Очевидно графиката на функцията има тенденция да пресича оста y, но няма да може да направи това, тъй като естественият логаритъм от x<0 не существует.
Граница на естественото дневникможе да се напише по следния начин:
Формула за заместване на основата на логаритъм
Работата с натурален логаритъм е много по-лесна от работата с логаритъм, който има произволна основа. Ето защо ще се опитаме да научим как да редуцираме всеки логаритъм до естествен или да го изразим към произволна основа чрез естествени логаритми.
Нека започнем с логаритмичната идентичност:
Тогава всяко число или променлива y може да бъде представено като:
където x е произволно число (положително според свойствата на логаритъма).
Този израз може да се вземе логаритмично от двете страни. Нека направим това с произволна основа z:
Нека използваме свойството (само вместо "c" имаме израза):
От тук получаваме универсалната формула:
.
По-специално, ако z=e, тогава:
.
Успяхме да представим логаритъм на произволна основа чрез съотношението на два натурални логаритъма.
Решаваме проблеми
За да разберем по-добре естествените логаритми, нека разгледаме примери за няколко задачи.
Проблем 1. Необходимо е да се реши уравнението ln x = 3.
Решение:Използвайки дефиницията на логаритъма: ако , тогава , получаваме:
Проблем 2. Решете уравнението (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Решение: Използвайки дефиницията на логаритъма: ако , тогава , получаваме:
.
Нека отново използваме определението за логаритъм:
.
По този начин:
.
Можете приблизително да изчислите отговора или можете да го оставите в тази форма.
Задача 3.Решете уравнението.
Решение:Нека направим заместване: t = ln x. Тогава уравнението ще приеме следния вид:
.
Имаме квадратно уравнение. Нека намерим неговия дискриминант:
Първи корен на уравнението:
.
Втори корен на уравнението:
.
Спомняйки си, че сме направили заместването t = ln x, получаваме:
В статистиката и теорията на вероятностите логаритмичните величини се срещат много често. Това не е изненадващо, тъй като числото e често отразява скоростта на нарастване на експоненциалните величини.
В компютърните науки, програмирането и компютърната теория логаритмите се срещат доста често, например, за да се съхранят N бита в паметта.
В теориите за фракталите и размерите логаритмите се използват постоянно, тъй като размерите на фракталите се определят само с тяхна помощ.
В механиката и физикатаНяма раздел, в който да не са използвани логаритми. Барометричното разпределение, всички принципи на статистическата термодинамика, уравнението на Циолковски и др. са процеси, които могат да бъдат описани математически само с помощта на логаритми.
В химията логаритмите се използват в уравненията на Нернст и описанията на редокс процесите.
Удивително е, че дори в музиката, за да се намери броят на частите на една октава, се използват логаритми.
Натурален логаритъм Функция y=ln x нейните свойства
Доказателство за основното свойство на естествения логаритъм
