Число, което стои като десетична запетая. Десетичен запис на дробно число

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции поотделно.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичната дроб има цяло число и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се събират отделно.

Например, нека съберем десетичните дроби 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Нека първо запишем тези две дроби в колона, като целите части задължително са под целите числа, а дробните части под дробните. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая".

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Започваме да събираме дробните части: 2 + 3 = 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Пишем осмица в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая":

Получихме отговор 8,5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има клопки, за които ще говорим сега.

Места в десетични знаци

Десетичните дроби, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са места от десети, места от стотни, места от хилядни. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, а третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Местата в десетичните дроби съдържат някои полезна информация. По-конкретно, те ви казват колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната дроб 0,345

Позицията, където се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, където се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, където се намира петицата, се нарича хилядно място

Нека да разгледаме тази рисунка. Виждаме, че има тройка на десето място. Това означава, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите, получаваме оригиналната десетична дроб 0,345

Вижда се, че първо получихме отговора, но го превърнахме в десетична дроб и получихме 0,345.

При събиране на десетични дроби се спазват същите принципи и правила, както при събиране на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби се извършва в цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, трябва да следвате правилото "запетая под запетая". Запетаята под запетаята осигурява самия ред, в който десетите се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1.Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо, събираме дробните части 5 + 4 = 9. Пишем девет в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото „запетая под запетая“:

Получихме отговор 4,9. Това означава, че стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2.Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото „запетая под запетая“.

Първо, събираме дробната част, а именно стотните от 1+2=3. Пишем тройка в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десетите 5+2=7. Пишем седем в десетата част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Използваме запетая, за да разделим цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетая“:

Отговорът, който получихме, беше 4,73. Това означава, че стойността на израза 3,51 + 1,22 е равна на 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при добавяне на десетични знаци, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3.Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колоната:

Добавете стотните части 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и преместваме единицата на следващата цифра:

Сега добавяме десетите от 6 + 2 = 8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега събираме целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Отговорът, който получихме, беше 5,92. Това означава, че стойността на израза 2,65 + 3,27 е равна на 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4.Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Записваме този израз в колоната

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и преместваме единицата на следващата цифра или по-скоро я прехвърляме в цяла част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е равна на 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При добавяне на десетични знаци броят на цифрите след десетичната запетая в двете дроби трябва да бъде еднакъв. Ако няма достатъчно числа, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 1,7 има само една. Това означава, че в дробта 1.7 трябва да добавите две нули в края. Тогава получаваме дробта 1,700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядната част 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотните части 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десетите 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и преместваме единицата на следващата цифра:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор от 14 425. Това означава, че стойността на израза 12.725+1.700 е 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични числа

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под десетичната запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото „запетая под запетая“:

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчисляваме цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор 0,3. Това означава, че стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2.Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. Дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да добавите две нули в края, за да направите броя на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получихме отговор от 4253. Това означава, че стойността на израза 7,353 − 3,1 е равна на 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседна цифра, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3.Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. Не можете да извадите числото 9 от числото 6. Следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можете да изчислите стотните от 16−9=7. Пишем седем в стотната част на нашия отговор:

Сега изваждаме десети. Тъй като взехме една единица на десето място, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, на мястото на десетите вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега изваждаме целите части 3−2=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговор от 1.07. Това означава, че стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цяла частдесетичната дроб 1,23 се оказа числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставяме запетая и добавяме една нула:

Сега изваждаме десети: 0−2. Не можете да извадите числото 2 от нула, следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. След като е заел единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Пишем осем в десетата част на нашия отговор:

Сега изваждаме целите части. Преди това числото 3 беше разположено в цялото, но взехме една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно от 2 изваждаме 1. 2−1=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Отговорът, който получихме е 1.8. Това означава, че стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Умножаване на десетични числа

Умножаването на десетични знаци е просто и дори забавно. За да умножите десетични числа, ги умножавате като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Нека умножим тези десетични дроби като обикновени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 2,5 и 1,5. Първата дроб има една цифра след десетичната запетая, а втората също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2.Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични дроби, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 12,85 и 2,7. Дробта 12,85 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 2,7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор от 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога възникват ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетичен знак и число, вие ги умножавате, без да обръщате внимание на запетаята в десетичния знак. След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножете десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорирате запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се на номер 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор от 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Трябва да извършите умножението, без да обръщате внимание на запетаята в десетичната дроб, след което в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите отдясно същия брой цифри, колкото е имало цифри след десетичната запетая.

Например умножете 2,88 по 10

Умножете десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорирате запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:

Получихме отговор 28.80. Нека изпуснем последната нула и ще получим 28,8. Това означава, че стойността на израза 2,88×10 е 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има във фактора.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да правим изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая с една цифра надясно, получаваме 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая на две десни цифри, получаваме 288

2,88 × 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага разглеждаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Там няма трета цифра, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични знаци по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да умножите дробите като обикновените числа и да поставите запетая в отговора, като броите толкова цифри вдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 3,25 и 0,1. Дробта 3,25 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 0,1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След отброяване на три цифри установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да добавите запетая:

Получихме отговор 0,325. Това означава, че стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая наляво с толкова цифри, колкото нули има във фактора.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме множителя от 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Като преместим запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. Резултатът е 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага разглеждаме множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая на левите две цифри, получаваме 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Веднага разглеждаме множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетични дроби по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешкаповечето хора.

При умножение по 10, 100, 1000 десетичната точка се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.

А при умножаване по 0,1, 0,01 и 0,001 десетичната запетая се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в умножителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите същия брой цифри отдясно, колкото има цифри след десетичната запетая и в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо число. Напреднало ниво.

В един от предишните уроци казахме, че при разделянето на по-малко число на по-голямо се получава дроб, чийто числител е делимото, а знаменателят е делителя.

Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и 2 (двама приятели) в знаменателя. В резултат на това получаваме фракцията. Това означава, че всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дробта е отговорът на проблема "как да разделя една ябълка на две"

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата, дробната линия във всяка дроб означава деление и следователно това деление е разрешено в дробта. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. Но тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава раздробяване, деление, деление. Това означава, че единицата може да бъде разделена на колкото желаете части, а не само на две части.

Когато разделите по-малко число на по-голямо число, получавате десетична дроб, в която цялата част е 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Човек не може напълно да се раздели на две. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно в частното пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да получим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножете 5 по 2, за да получите 10

Получихме отговор 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представите как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2.Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четворка? Въобще не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, добавете нула отдясно на 4 и разделете 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5, за да получим 40:

Получихме отговор 0,8. Това означава, че стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3.Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа има 125 в пет? Въобще не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Записваме 0 под петицата. Незабавно извадете 0 от пет

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направим това, пишем нула отдясно на тези пет:

Разделете 50 на 125. Колко числа има 125 в числото 50? Въобще не. Така че в частното записваме отново 0

Умножете 0 по 125, получаваме 0. Запишете тази нула под 50. Веднага извадете 0 от 50

Сега разделете числото 50 на 125 части. За да направите това, пишем още една нула вдясно от 50:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Запишете четирите в частното:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125, за да получим 500

Получихме отговор 0,04. Това означава, че стойността на израз 5: 125 е 0,04

Деление на числа без остатък

И така, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Нека добавим нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното:

40−40=0. Остават ни 0. Това означава, че делбата е напълно завършена. Разделянето на 9 на 5 дава десетичната дроб 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделете 84 на 5 както обикновено с остатък:

Имаме 16 частни и още 4 останаха. Сега нека разделим този остатък на 5. Поставете запетая в частното и добавете 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на обикновено число, първо трябва да:

• разделете цялата част на десетичната дроб на това число;
• след като цялата част е разделена, трябва незабавно да поставите запетая в частното и да продължите изчислението, както при нормалното деление.

Например, разделете 4,8 на 2

Нека напишем този пример в ъгъла:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е равно на две. Пишем две в частното и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не записваме нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да изчисляваме както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получихме отговор 2.4. Стойността на израза 4,8:2 е 2,4

Пример 2.Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Незабавно поставете запетая след 2:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Разделяме 24 на 3, получаваме 8. Пишем осем в частното. Незабавно го умножете по делителя, за да намерите остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Все още не записваме нула. Отстраняваме последните три от дивидента и разделяме на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Отговорът, който получихме, беше 2,81. Това означава, че стойността на израза 8,43:3 е 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, трябва да преместите десетичната запетая в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя, и след това да разделите на обичайното число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз с ъгъл

Сега в дивидента и в делителя преместваме десетичната запетая надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че в делителя и делителя трябва да преместим десетичната запетая надясно с една цифра. Прехвърляме:

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 5,95 стана дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обикновено число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена вдясно, за да улесни делението. Това е позволено, защото при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е един от интересни функцииразделение. Нарича се частно свойство. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще излезе от това:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато преместим запетаята в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята в делителя и делителя с една цифра надясно. След преместване на десетичната запетая дробта 5,91 се трансформира във фракцията 59,1, а дробта 1,7 се трансформира в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес имаше умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя определя по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи с колко цифри в дивидента и в делителя десетичната запетая ще бъде преместена надясно.

Деление на десетична запетая на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, разделете 2,1 на 10. Решете този пример с помощта на ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че в дивидент от 2.1 трябва да преместите десетичната запетая наляво с една цифра. Преместваме запетаята с една цифра вляво и виждаме, че няма останали цифри. В този случай добавете още една нула преди числото. В резултат получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В 100 има две нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместим запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В 1000 има три нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Разделяне на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична дроб на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В дивидента и в делителя трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо, нека преместим запетаите в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че преместваме запетаите в делителя и делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 става обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1 след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Това означава, че стойността на израза 6.3: 0.1 е 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3 : 0,1. Нека да разгледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че в дивидент от 6,3 трябва да преместите десетичната запетая надясно с една цифра. Преместете запетаята с една цифра надясно и вземете 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят на 0,01 има две нули. Това означава, че в дивидент 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да добавите още една нула в края. В резултат получаваме 630

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Това означава, че в дивидент 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Ще посветим този материал на такава важна тема като десетичните дроби. Първо, нека дефинираме основните дефиниции, да дадем примери и да се спрем на правилата на десетичната нотация, както и какви са цифрите на десетичните дроби. След това подчертаваме основните типове: крайни и безкрайни, периодични и непериодични дроби. В последната част ще покажем как точките, съответстващи на дробни числа, са разположени върху координатната ос.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е десетично записване на дробни числа

Така нареченият десетичен запис на дробните числа може да се използва както за естествени, така и за дробни числа. Изглежда като набор от две или повече числа със запетая между тях.

Десетичната точка е необходима, за да се отдели цялата част от дробната част. По правило последната цифра на десетичната дроб не е нула, освен ако десетичната запетая не се появява непосредствено след първата нула.

Кои са някои примери за дробни числа в десетична система? Това може да бъде 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.н.

В някои учебници можете да намерите точка вместо запетая (5. 67, 6789. 1011 и т.н.) Тази опция се счита за еквивалентна, но е по-типична за англоезичните източници.

Дефиниция на десетичните знаци

Въз основа на горната концепция за десетична нотация, можем да формулираме следната дефиниция на десетичните знаци:

Определение 1

Десетичните знаци представляват дробни числа в десетичен запис.

Защо трябва да пишем дроби в тази форма? Той ни дава някои предимства пред обикновените, например по-компактен запис, особено в случаите, когато знаменателят съдържа 1000, 100, 10 и т.н., или смесено число. Например, вместо 6 10 можем да посочим 0.6, вместо 25 10000 - 0.0023, вместо 512 3 100 - 512.03.

Как правилно да представим обикновени дроби с десетки, стотици, хиляди в знаменателя в десетична форма ще обсъдим в отделен материал.

Как да четем правилно десетичните знаци

Има някои правила за четене на десетични обозначения. По този начин онези десетични дроби, на които съответстват техните редовни обикновени еквиваленти, се четат почти по същия начин, но с добавянето на думите „нула десети“ в началото. По този начин записът 0, 14, който съответства на 14 100, се чете като „нула точка и четиринадесет стотни“.

Ако десетична дроб може да бъде свързана със смесено число, тогава тя се чете по същия начин като това число. Така че, ако имаме дроб 56 002, което съответства на 56 2 1000, ние четем този запис като „петдесет и шест кома две хилядни“.

Значението на цифрата в десетичната дроб зависи от това къде се намира (същото като при естествените числа). И така, в десетичната дроб 0,7 седем са десети, в 0,0007 са десет хилядни, а в дробта 70 000,345 означава седем десетки хиляди цели единици. По този начин в десетичните дроби има и понятието стойност на място.

Имената на цифрите, разположени преди десетичната запетая, са подобни на тези, които съществуват в естествените числа. Имената на разположените след тях са ясно представени в таблицата:

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Имаме десетичната дроб 43 098. Тя има четири на мястото на десетките, тройка на мястото на единиците, нула на мястото на десетите, 9 на мястото на стотните и 8 на мястото на хилядните.

Обичайно е да се разграничават редовете на десетичните дроби по приоритет. Ако се движим през числата отляво надясно, тогава ще преминем от най-значимото към най-малко значимото. Оказва се, че стотните са по-стари от десетките, а частите на милион са по-млади от стотните. Ако вземем последната десетична дроб, която цитирахме като пример по-горе, тогава най-високото или най-високото място в нея ще бъде мястото на стотните, а най-ниското или най-ниското място ще бъде 10-хилядната.

Всяка десетична дроб може да бъде разширена в отделни цифри, тоест представена като сума. Това действие се извършва по същия начин, както при естествени числа.

Пример 2

Нека се опитаме да разгънем дробта 56, 0455 на цифри.

Ще получим:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ако си спомним свойствата на събирането, можем да представим тази дроб в други форми, например като сбор 56 + 0, 0455 или 56, 0055 + 0, 4 и т.н.

Какво представляват десетичните знаци в края?

Всички дроби, за които говорихме по-горе, са крайни десетични знаци. Това означава, че броят на цифрите след десетичната запетая е краен. Нека изведем определението:

Определение 1

Задните десетични знаци са вид десетична дроб, която има краен брой десетични знаци след десетичния знак.

Примери за такива дроби могат да бъдат 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 и т.н.

Всяка от тези дроби може да бъде преобразувана или в смесено число (ако стойността на тяхната дробна част е различна от нула), или в обикновена дроб(с нулева цяла част). Посветихме отделна статия на това как се прави това. Тук само ще посочим няколко примера: например, можем да намалим крайната десетична дроб 5, 63 до формата 5 63 100, а 0, 2 съответства на 2 10 (или всяка друга дроб, равна на нея, за например 4 20 или 1 5.)

Но обратният процес, т.е. записването на обикновена дроб в десетична форма не винаги е възможно. И така, 5 13 не може да се замени с равна дроб със знаменател 100, 10 и т.н., което означава, че от нея не може да се получи крайна десетична дроб.

Основни видове безкрайни десетични дроби: периодични и непериодични дроби

По-горе посочихме, че крайните дроби се наричат ​​така, защото имат краен брой цифри след десетичната запетая. Въпреки това може да е безкрайно, в който случай самите дроби също ще се наричат ​​безкрайни.

Определение 2

Безкрайните десетични дроби са тези, които имат безкраен брой цифри след десетичната запетая.

Очевидно такива числа просто не могат да бъдат записани изцяло, затова посочваме само част от тях и след това добавяме многоточие. Този знак показва безкрайно продължение на последователността от десетични знаци. Примери за безкрайни десетични дроби включват 0, 143346732…, ​​​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. и т.н.

„Опашката“ на такава дроб може да съдържа не само привидно произволни поредици от числа, но постоянно повторениеедин и същи знак или група от знаци. Дроби с редуващи се числа след десетичната запетая се наричат ​​периодични.

Определение 3

Периодичните десетични дроби са тези безкрайни десетични дроби, в които една цифра или група от няколко цифри се повтаря след десетичната запетая. Повтарящата се част се нарича период на дробта.

Например за дроб 3, 444444…. периодът ще бъде числото 4, а за 76, 134134134134... - групата 134.

Какъв е минималният брой знаци, които могат да бъдат оставени в записа на периодична дроб? За периодични дроби ще бъде достатъчно да напишете целия период веднъж в скоби. И така, дроб 3, 444444…. Правилно би било да го напишем като 3, (4), а 76, 134134134134... – като 76, (134).

Като цяло, записи с няколко периода в скоби ще имат абсолютно същото значение: например периодичната дроб 0,677777 е същата като 0,6 (7) и 0,6 (77) и т.н. Записи под формата 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) и т.н. също са приемливи.

За да избегнем грешки, въвеждаме еднаквост на нотацията. Нека се съгласим да запишем само една точка (най-кратката възможна последователност от числа), която е най-близо до десетичната запетая и да я поставим в скоби.

Тоест, за горната дроб ще считаме, че основният запис е 0, 6 (7) и, например, в случая на дробта 8, 9134343434, ще напишем 8, 91 (34).

Ако знаменателят на обикновена дроб съдържа прости множители, които не са равни на 5 и 2, тогава, когато се преобразуват в десетична система, те ще доведат до безкрайни дроби.

По принцип можем да запишем всяка крайна дроб като периодична. За да направим това, просто трябва да добавим безкраен брой нули отдясно. Как изглежда на запис? Да кажем, че имаме крайна дроб 45, 32. В периодична форма ще изглежда като 45, 32 (0). Това действие е възможно, защото добавянето на нули отдясно на която и да е десетична дроб ни дава резултат от дроб, равна на нея.

Специално внимание трябва да се обърне на периодичните дроби с период 9, например 4, 89 (9), 31, 6 (9). Те са алтернативен запис за подобни дроби с период 0, така че често се заменят, когато се записват с дроби с нулев период. В този случай единица се добавя към стойността на следващата цифра и (0) се посочва в скоби. Равенството на получените числа може лесно да се провери, като се представят като обикновени дроби.

Например дробта 8, 31 (9) може да бъде заменена със съответната дроб 8, 32 (0). Или 4, (9) = 5, (0) = 5.

Безкрайните десетични периодични дроби се отнасят за рационални числа. С други думи, всяка периодична дроб може да бъде представена като обикновена дроб и обратно.

Има и дроби, които нямат безкрайно повтаряща се последователност след десетичната запетая. В този случай те се наричат ​​непериодични дроби.

Определение 4

Непериодичните десетични дроби включват онези безкрайни десетични дроби, които не съдържат точка след десетичната запетая, т.е. повтаряща се група от числа.

Понякога непериодичните дроби изглеждат много подобни на периодичните. Например 9, 03003000300003 ... на пръв поглед изглежда, че има точка, но подробен анализдесетични знаци потвърждава, че това все още е непериодична дроб. Трябва да сте много внимателни с такива числа.

Непериодичните дроби се класифицират като ирационални числа. Те не се превръщат в обикновени дроби.

Основни операции с десетични знаци

Следните операции могат да се извършват с десетични дроби: сравнение, изваждане, събиране, деление и умножение. Нека разгледаме всеки от тях поотделно.

Сравняването на десетични числа може да се сведе до сравняване на дроби, които съответстват на оригиналните десетични знаци. Но безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат приведени до тази форма и превръщането на десетични дроби в обикновени често е трудоемка задача. Как можем бързо да извършим действие за сравнение, ако трябва да направим това, докато решаваме проблем? Удобно е да сравняваме десетични дроби по цифра по същия начин, както сравняваме естествените числа. Ще посветим отделна статия на този метод.

За да добавите някои десетични дроби с други, е удобно да използвате метода за събиране на колони, както при естествените числа. За да добавите периодични десетични дроби, първо трябва да ги замените с обикновени и да броите според стандартната схема. Ако според условията на задачата трябва да съберем безкрайни непериодични дроби, тогава трябва първо да ги закръглим до определена цифра и след това да ги съберем. Колкото по-малка е цифрата, до която закръгляме, толкова по-висока ще бъде точността на изчислението. За изваждане, умножение и деление на безкрайни дроби също е необходимо предварително закръгляване.

Намирането на разликата между десетичните дроби е обратното на събирането. По същество, използвайки изваждане, можем да намерим число, чиято сума с дробта, която изваждаме, ще ни даде дробта, която минимизираме. Ще говорим за това по-подробно в отделна статия.

Умножаването на десетични дроби се извършва по същия начин, както при естествените числа. Методът за изчисляване на колоната също е подходящ за това. Отново свеждаме това действие с периодични дроби до умножение на обикновени дроби по вече изучените правила. Безкрайните дроби, както си спомняме, трябва да бъдат закръглени преди изчисленията.

Процесът на деление на десетични числа е обратен на умножението. При решаване на задачи използваме и колонни изчисления.

Можете да установите точно съответствие между крайната десетична дроб и точка на координатната ос. Нека да разберем как да маркираме точка на оста, която точно ще съответства на необходимата десетична дроб.

Вече проучихме как да конструираме точки, съответстващи на обикновени дроби, но десетичните дроби могат да бъдат сведени до тази форма. Например обикновената дроб 14 10 е същата като 1, 4, така че съответната точка ще бъде отстранена от началото в положителна посока на точно същото разстояние:

Можете да направите, без да замените десетичната дроб с обикновена, но използвайте метода на разширяване с цифри като основа. Така че, ако трябва да маркираме точка, чиято координата ще бъде равна на 15, 4008, тогава първо ще представим това число като сбора 15 + 0, 4 +, 0008. Като начало нека отделим 15 цели единични сегмента в положителната посока от началото на обратното броене, след това 4 десети от един сегмент и след това 8 десетхилядни от един сегмент. В резултат на това получаваме координатна точка, която съответства на фракцията 15, 4008.

За безкрайна десетична дроб е по-добре да използвате този метод, тъй като той ви позволява да се приближите колкото искате до желаната точка. В някои случаи е възможно да се изгради точно съответствие на безкрайна фракция на координатната ос: например 2 = 1, 41421. . . , и тази дроб може да се свърже с точка от координатния лъч, отдалечена от 0 с дължината на диагонала на квадрата, чиято страна ще бъде равна на единичен сегмент.

Ако намерим не точка на оста, а десетична дроб, съответстваща на нея, тогава това действие се нарича десетично измерване на сегмент. Нека да видим как да направим това правилно.

Да кажем, че трябва да стигнем от нула до отвъд тази точкавърху координатната ос (или се приближете възможно най-близо в случай на безкрайна дроб). За да направим това, ние постепенно отлагаме единичните сегменти от началото, докато стигнем до желаната точка. След цели сегменти, ако е необходимо, измерваме десети, стотни и по-малки дроби, така че съвпадението да е възможно най-точно. В резултат на това получихме десетична дроб, която съответства на дадена точкавърху координатната ос.

По-горе показахме чертеж с точка М. Погледнете го отново: за да стигнете до тази точка, трябва да измерите един единичен сегмент и четири десети от него от нулата, тъй като тази точка съответства на десетичната дроб 1, 4.

Ако не можем да стигнем до точка в процеса на десетично измерване, това означава, че тя съответства на безкрайна десетична дроб.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Случва се, че за удобство на изчисленията трябва да преобразувате обикновена дроб в десетична и обратно. Ще говорим как да направите това в тази статия. Нека да разгледаме правилата за преобразуване на обикновени дроби в десетични и обратно, както и да дадем примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ще разгледаме преобразуването на обикновени дроби в десетични, следвайки определена последователност. Първо, нека да разгледаме как обикновените дроби със знаменател, кратен на 10, се преобразуват в десетични дроби: 10, 100, 1000 и т.н. Дроби с такива знаменатели са всъщност по-тромав запис на десетични дроби.

След това ще разгледаме как да преобразуваме обикновени дроби с произволен знаменател, а не само кратни на 10, в десетични дроби. Обърнете внимание, че при преобразуване на обикновени дроби в десетични се получават не само крайни десетични числа, но и безкрайни периодични десетични дроби.

Да започваме!

Превод на обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000 и др. до десетични знаци

Първо, нека кажем, че някои дроби изискват известна подготовка преди преобразуване в десетична форма. Какво е? Преди числото в числителя трябва да добавите толкова много нули, че броят на цифрите в числителя да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например за дробта 3100 числото 0 трябва да се добави веднъж отляво на 3 в числителя. Фракция 610, съгласно посоченото по-горе правило, не се нуждае от модификация.

Нека да разгледаме още един пример, след което ще формулираме правило, което е особено удобно за използване в началото, докато няма много опит в преобразуването на дроби. И така, дробта 1610000 след добавяне на нули в числителя ще изглежда като 001510000.

Как да преобразуваме обикновена дроб със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. до десетична?

Правило за преобразуване на обикновени правилни дроби в десетични

1. Напишете 0 и поставете запетая след него.
2. Записваме числото от числителя, което се е получило след добавяне на нули.

Сега да преминем към примерите.

Пример 1: Преобразуване на дроби в десетични знаци

Нека преобразуваме дробта 39 100 в десетичен знак.

Първо, разглеждаме фракцията и виждаме, че няма нужда да извършваме никакви подготвителни действия - броят на цифрите в числителя съвпада с броя на нулите в знаменателя.

Следвайки правилото, записваме 0, поставяме десетична запетая след нея и записваме числото от числителя. Получаваме десетичната дроб 0,39.

Нека да разгледаме решението на друг пример по тази тема.

Пример 2. Преобразуване на дроби в десетични

Нека запишем дробта 105 10000000 като десетична запетая.

Броят на нулите в знаменателя е 7, а числителят има само три цифри. Нека добавим още 4 нули преди числото в числителя:

0000105 10000000

Сега записваме 0, поставяме десетична запетая след нея и записваме числото от числителя. Получаваме десетичната дроб 0,0000105.

Дробите, разглеждани във всички примери, са обикновени правилни дроби. Но как да преобразувате неправилна дроб в десетична? Да кажем веднага, че няма нужда от подготовка с добавяне на нули за такива дроби. Нека формулираме правило.

Правило за превръщане на обикновени неправилни дроби в десетични

1. Запишете числото, което е в числителя.
2. Използваме десетична точка, за да отделим толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.

По-долу е даден пример как да използвате това правило.

Пример 3. Преобразуване на дроби в десетични

Нека преобразуваме дробта 56888038009 100000 от обикновена неправилна дроб в десетична.

Първо, нека запишем числото от числителя:

Сега отдясно разделяме пет цифри с десетична запетая (броят на нулите в знаменателя е пет). Получаваме:

Следващият въпрос, който естествено възниква, е: как да преобразуваме смесено число в десетична дроб, ако знаменателят на дробната му част е числото 10, 100, 1000 и т.н. За да преобразувате такова число в десетична дроб, можете да използвате следното правило.

Правило за преобразуване на смесени числа в десетични

1. Подготвяме дробната част на числото, ако е необходимо.
2. Записваме цялата част от оригиналното число и поставяме запетая след него.
3. Записваме числото от числителя на дробната част заедно с добавените нули.

Нека разгледаме един пример.

Пример 4: Преобразуване на смесени числа в десетични

Нека преобразуваме смесеното число 23 17 10000 в десетична дроб.

В дробната част имаме израза 17 10000. Нека го подготвим и добавим още две нули отляво на числителя. Получаваме: 0017 10000.

Сега записваме цялата част на числото и поставяме запетая след нея: 23, . .

След десетичната запетая запишете числото от числителя заедно с нули. Получаваме резултата:

23 17 10000 = 23 , 0017

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични дроби

Разбира се, можете да преобразувате в десетични и обикновени дроби със знаменател, различен от 10, 100, 1000 и т.н.

Често една дроб може лесно да бъде намалена до нов знаменател и след това да се използва правилото, посочено в първия параграф на тази статия. Например, достатъчно е да умножим числителя и знаменателя на дробта 25 по 2 и получаваме дробта 410, която лесно се преобразува в десетичната форма 0,4.

Този метод за преобразуване на дроб в десетичен знак обаче не винаги може да се използва. По-долу ще разгледаме какво да правим, ако е невъзможно да приложим разглеждания метод.

Фундаментално нов начин за преобразуване на дроб в десетична дроб е разделянето на числителя на знаменателя с колона. Тази операция е много подобна на разделянето на естествени числа с колона, но има свои собствени характеристики.

Числителят при деление се представя като десетична дроб - вдясно от последната цифраЧислителят се предхожда от запетая и се добавят нули. В полученото частно се поставя десетична запетая, когато приключи разделянето на цялата част от числителя. Как точно работи този метод ще стане ясно след като разгледаме примерите.

Пример 5. Преобразуване на дроби в десетични

Нека преобразуваме обикновената дроб 621 4 в десетична форма.

Нека представим числото 621 от числителя като десетична дроб, като добавим няколко нули след десетичната запетая. 621 = 621,00

Сега нека разделим 621,00 на 4 с помощта на колона. Първите три стъпки на делене ще бъдат същите като при делене на естествени числа и ще получим.

Когато достигнем десетичната запетая в делимото и остатъкът е различен от нула, поставяме десетична запетая в частното и продължаваме да делим, без да обръщаме внимание на запетаята в делимото.

В резултат на това получаваме десетичната дроб 155, 25, която е резултат от обръщане на обикновената дроб 621 4

621 4 = 155 , 25

Нека разгледаме още един пример, за да затвърдим материала.

Пример 6. Преобразуване на дроби в десетични

Нека обърнем обикновената дроб 21 800.

За да направите това, разделете фракцията 21 000 в колона с 800. Делението на цялата част ще приключи на първата стъпка, така че веднага след нея поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението, без да обръщаме внимание на запетаята в делимото, докато получим остатък, равен на нула.

В резултат на това получихме: 21 800 = 0,02625.

Но какво ще стане, ако при делението пак не получим остатък 0. В такива случаи делението може да продължи безкрайно дълго. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците ще се повтарят периодично. Съответно числата в частното ще се повтарят. Това означава, че една обикновена дроб се преобразува в десетична безкрайна периодична дроб. Нека илюстрираме това с пример.

Пример 7. Преобразуване на дроби в десетични

Нека преобразуваме обикновената дроб 19 44 в десетична. За да направите това, ние извършваме разделяне по колона.

Виждаме, че по време на деленето остатъци 8 и 36 се повтарят. В този случай числата 1 и 8 се повтарят в частното. Това е периодът в десетична дроб. При запис тези числа се поставят в скоби.

Така първоначалната обикновена дроб се преобразува в безкрайна периодична десетична дроб.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Нека видим една несъкратима обикновена дроб. Каква форма ще приеме? Кои обикновени дроби се преобразуват в крайни десетични дроби и кои се преобразуват в безкрайни периодични?

Първо, да кажем, че ако една дроб може да се сведе до един от знаменателите 10, 100, 1000..., тогава тя ще има формата на последна десетична дроб. За да може една дроб да се сведе до един от тези знаменатели, нейният знаменател трябва да е делител на поне едно от числата 10, 100, 1000 и т.н. От правилата за разлагане на числата на прости множители следва, че делителя на числата е 10, 100, 1000 и т.н. трябва, когато се разложи на прости множители, да съдържа само числата 2 и 5.

Нека обобщим казаното:

1. Обикновена дроб може да бъде намалена до крайна десетична дроб, ако нейният знаменател може да бъде разложен на прости множители от 2 и 5.
2. Ако в допълнение към числата 2 и 5 има други прости числа в разширението на знаменателя, дробта се свежда до формата на безкрайна периодична десетична дроб.

Да дадем пример.

Пример 8. Преобразуване на дроби в десетични

Коя от тези дроби 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 се превръща в крайна десетична дроб и коя - само в периодична. Нека отговорим на този въпрос, без директно да преобразуваме дроб в десетичен знак.

Дробта 47 20, както е лесно да се види, чрез умножаване на числителя и знаменателя по 5 се редуцира до нов знаменател 100.

47 20 = 235 100. От това заключаваме, че тази дроб се преобразува в последна десетична дроб.

Разлагането на знаменателя на дробта 7 12 дава 12 = 2 · 2 · 3. Тъй като простият множител 3 е различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, а ще има формата на безкрайна периодична дроб.

Дробта 21 56, първо, трябва да бъде намалена. След намаляване със 7, получаваме несъкратимата дроб 3 8, чийто знаменател се разлага на множители, за да се получи 8 = 2 · 2 · 2. Следователно това е крайна десетична дроб.

В случая на дробта 31 17 разлагането на знаменателя е самото просто число 17. Съответно тази дроб може да се преобразува в безкрайна периодична десетична дроб.

Една обикновена дроб не може да се преобразува в безкрайна и непериодична десетична дроб

По-горе говорихме само за крайни и безкрайни периодични дроби. Но може ли всяка обикновена дроб да бъде превърната в безкрайна непериодична дроб?

Ние отговаряме: не!

важно!

Когато преобразувате безкрайна дроб в десетична, резултатът е или краен десетичен знак, или безкраен периодичен десетичен знак.

Остатъкът от деление винаги е по-малък от делителя. С други думи, според теоремата за делимост, ако разделим някакво естествено число на числото q, тогава остатъкът от делението в никакъв случай не може да бъде по-голям от q-1. След приключване на разделянето е възможна една от следните ситуации:

1. Получаваме остатък от 0 и това е мястото, където делението свършва.
2. Получаваме остатък, който се повтаря при следващо деление, което води до безкрайна периодична дроб.

Не може да има други опции при преобразуване на дроб в десетичен знак. Да кажем също, че дължината на периода (броя на цифрите) в една безкрайна периодична дроб винаги е по-малка от броя на цифрите в знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразуване на десетични числа в дроби

Сега е време да разгледаме обратния процес на преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб. Нека формулираме правило за превод, което включва три етапа. Как да преобразувам десетична дроб в обикновена?

Правило за преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби

1. В числителя записваме числото от първоначалната десетична дроб, като изхвърляме запетаята и всички нули отляво, ако има такива.
2. В знаменателя записваме единица, последвана от толкова нули, колкото цифри има след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб.
3. Ако е необходимо, намалете получената обикновена фракция.

Нека разгледаме приложението от това правилос примери.

Пример 8. Преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби

Нека си представим числото 3,025 като обикновена дроб.

1. Записваме самата десетична дроб в числителя, като изхвърляме запетаята: 3025.
2. В знаменателя записваме единица, а след нея три нули - точно толкова цифри се съдържат в оригиналната дроб след десетичната запетая: 3025 1000.
3. Получената дроб 3025 1000 може да бъде намалена с 25, което води до: 3025 1000 = 121 40.

Пример 9. Преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби

Нека преобразуваме дробта 0,0017 от десетична в обикновена.

1. В числителя записваме дробта 0, 0017, като изхвърляме запетаята и нулите отляво. Ще се окаже 17.
2. Записваме единица в знаменателя, а след нея четири нули: 17 10000. Тази дроб е несъкратима.

Ако десетичната дроб има цяло число, тогава такава дроб може незабавно да се преобразува в смесено число. Как да го направим?

Нека формулираме още едно правило.

Правило за преобразуване на десетични дроби в смесени числа.

1. Числото преди десетичната запетая в дробта се записва като цяла част от смесеното число.
2. В числителя записваме числото след десетичната запетая в дробта, като изхвърляме нулите отляво, ако има такива.
3. В знаменателя на дробната част добавяме една и толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в дробната част.

Да вземем пример

Пример 10. Преобразуване на десетична запетая в смесено число

Нека си представим дробта 155, 06005 като смесено число.

1. Записваме числото 155 като цяло число.
2. В числителя записваме числата след десетичната запетая, като изхвърляме нулата.
3. Записваме едно и пет нули в знаменателя

Да научим едно смесено число: 155 6005 100 000

Дробната част може да се намали с 5. Съкращаваме го и получаваме крайния резултат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Преобразуване на безкрайни периодични десетични числа в дроби

Нека да разгледаме примери как да преобразуваме периодични десетични дроби в обикновени дроби. Преди да започнем, нека изясним: всяка периодична десетична дроб може да бъде преобразувана в обикновена дроб.

Най-простият случай е, когато периодът на дробта е нула. Периодична дроб с нулев период се заменя с крайна десетична дроб и процесът на обръщане на такава дроб се свежда до обръщане на крайната десетична дроб.

Пример 11. Преобразуване на периодична десетична дроб в обикновена дроб

Нека обърнем периодичната дроб 3, 75 (0).

Елиминирайки нулите отдясно, получаваме крайната десетична дроб 3,75.

Преобразувайки тази дроб в обикновена дроб, използвайки алгоритъма, обсъден в предишните параграфи, получаваме:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ами ако периодът на дробта е различен от нула? Периодичната част трябва да се разглежда като сума от членовете на геометрична прогресия, която намалява. Нека обясним това с пример:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Има формула за сумата от членовете на безкрайна намаляваща геометрична прогресия. Ако първият член на прогресията е b и знаменателят q е такъв, че 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Нека да разгледаме няколко примера с помощта на тази формула.

Пример 12. Преобразуване на периодична десетична дроб в обикновена дроб

Нека имаме периодична дроб 0, (8) и трябва да я преобразуваме в обикновена дроб.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Тук имаме безкрайно намаляване геометрична прогресияс първия член 0, 8 и знаменателя 0, 1.

Нека приложим формулата:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Това е необходимата обикновена дроб.

За да консолидирате материала, разгледайте друг пример.

Пример 13. Преобразуване на периодична десетична дроб в обикновена дроб

Нека обърнем дробта 0, 43 (18).

Първо записваме дробта като безкраен сбор:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Нека да разгледаме термините в скоби. Тази геометрична прогресия може да бъде представена по следния начин:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Добавяме резултата към крайната дроб 0, 43 = 43 100 и получаваме резултата:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

След като добавим тези дроби и намалим, получаваме крайния отговор:

0 , 43 (18) = 19 44

За да завършим тази статия, ще кажем, че непериодичните безкрайни десетични дроби не могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тази статия е за десетични знаци. Тук ще разберем десетичния запис на дробните числа, ще въведем концепцията за десетична дроб и ще дадем примери за десетични дроби. След това ще говорим за цифрите на десетичните дроби и ще дадем имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, нека поговорим за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните операции с десетични дроби. В заключение, нека установим позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.

Навигация в страницата.

Десетичен запис на дробно число

Четене на десетични числа

Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.

Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само че първо се добавя „нулево цяло число“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (да се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, така че десетичната дроб 56.002 се чете като „петдесет и шест цяло и две хилядни“.

Места в десетични знаци

При записване на десетични дроби, както и при записване на естествени числа, значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина числото 3 в десетичната дроб 0,3 означава три десети, в десетичната дроб 0,0003 - три десетхилядни, а в десетичната дроб 30 000,152 - три десетки хиляди. Така че можем да говорим за десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.

Имената на цифрите в десетичната дроб до десетичната запетая напълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на десетичните знаци след десетичната запетая могат да се видят от следващата таблица.

Например в десетичната дроб 37.051 цифрата 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на мястото на десетите, 5 е на мястото на стотните и 1 е на мястото на хилядните.

Местата в десетичните дроби също се различават по приоритет. Ако при писане на десетична дроб се движим от цифра на цифра отляво надясно, тогава ще се движим от възрастни хораДа се младши чинове. Например мястото на стотните е по-старо от мястото на десетите, а мястото на милионите е по-ниско от мястото на стотните. В дадена крайна десетична дроб можем да говорим за големи и второстепенни цифри. Например в десетична дроб 604.9387 старши (най-висок)мястото е мястото на стотиците и младши (най-нисък)- цифра от десет хилядни.

За десетични дроби се извършва разгъване в цифри. Подобно е на разширяване с цифри на естествени числа. Например, разширяването в десетични знаци на 45.6072 е както следва: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разлагането на десетична дроб в цифри ви позволяват да преминете към други представяния на тази десетична дроб, например 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Крайни десетични знаци

До тук говорихме само за десетични дроби, в записа на които има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат ​​крайни десетични дроби.

Определение.

Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Ето няколко примера за крайни десетични дроби: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Въпреки това, не всяка дроб може да бъде представена като краен десетичен знак. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел, превръщайки обикновените дроби в десетични.

Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби

Когато пишете десетична дроб след десетичната точка, можете да приемете възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще разгледаме така наречените безкрайни десетични дроби.

Определение.

Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, които съдържат безкраен брой цифри.

Ясно е, че не можем да запишем безкрайни десетични дроби в пълна форма, така че при записването им се ограничаваме само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставяме многоточие, обозначаващо безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ако се вгледате внимателно в последните две безкрайни десетични дроби, тогава в дробта 2.111111111... ясно се вижда безкрайно повтарящото се число 1, а в дробта 69.74152152152..., започвайки от третия десетичен знак, повтаряща се група числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат ​​периодични.

Определение.

Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, при записването на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, се повтаря безкрайно някакво число или група числа, което се т.нар. период на фракцията.

Например периодът на периодичната дроб 2.111111111... е цифрата 1, а периодът на дробта 69.74152152152... е група от цифри от вида 152.

За безкрайни периодични десетични дроби се приема специална формазаписи. За краткост се съгласихме да запишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например, периодичната дроб 2.111111111... се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152... се записва като 69.74(152) .

Струва си да се отбележи, че за същата периодична десетична дроб можете да посочите различни периоди. Например, периодичната десетична дроб 0,73333... може да се разглежда като дроб 0,7(3) с период 3, а също и като дроб 0,7(33) с период 33 и така нататък 0,7(333), 0,7 (3333), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и несъответствия, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0,73333... ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0,73333...=0,7(3). Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212... има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212...=4.74(12).

Безкрайните десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.

Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Нека дадем примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и обикновено се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например, дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5. Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с равни обикновени дроби.

И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични дроби, които не съдържат безкрайно повтаряща се поредица от цифри. Те се наричат ​​непериодични.

Определение.

Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични дроби, които нямат период.

Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.

Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби; безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.

Операции с десетични знаци

Една от операциите с десетични дроби е сравнението, като са дефинирани и четирите основни аритметични функции операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Нека разгледаме отделно всяко от действията с десетични дроби.

Сравнение на десетични дробипо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравняваните десетични дроби. Обаче преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби е доста трудоемък процес и безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат представени като обикновени дроби, така че е удобно да се използва поместно сравнение на десетични дроби. Поместното сравнение на десетични дроби е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация препоръчваме да изучите статията: сравнение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Да преминем към следващо действие - умножение на десетични знаци. Умножението на крайни десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме за по-нататъшно изучаване на материала в статията: умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Десетични знаци върху координатен лъч

Има едно към едно съответствие между точки и десетични знаци.

Нека да разберем как се конструират точки от координатния лъч, които съответстват на дадена десетична дроб.

Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетичната дроб 1.4 съответства на обикновената дроб 14/10, така че точката с координата 1.4 се отдалечава от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от единичен сегмент.

Десетичните дроби могат да бъдат отбелязани върху координатен лъч, като се започне от разлагането на дадена десетична дроб на цифри. Например, нека трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава можем да стигнем до тази точка чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото на координатите, 3 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единица и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десет хилядна от единичен сегмент.

Този метод за конструиране на десетични числа върху координатен лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.

Понякога е възможно да се начертае точно точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб. Например, , тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точка от координатния лъч, отдалечена от началото на координатите с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.

Обратният процес на получаване на десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатен лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Нека да разберем как се прави.

Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или да я приближим безкрайно, ако не можем да стигнем до нея). С десетичното измерване на сегмент можем последователно да отделим от началото произволен брой единични сегменти, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единицата, след това сегменти, чиято дължина е равна на стотна от единицата и т.н. Като записваме броя на сегментите от всяка дължина, оставени настрана, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.

Например, за да стигнете до точка M на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единицата. Така точка М съответства на десетичната дроб 1,4.

Ясно е, че точките от координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати в процеса на десетично измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.

Библиография.

• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Вече казахме, че има дроби обикновениИ десетичен знак. На този моментИзучихме малко дроби. Научихме, че има правилни и неправилни дроби. Научихме също, че обикновените дроби могат да се съкращават, събират, изваждат, умножават и делят. И също така научихме, че има така наречените смесени числа, които се състоят от цяло число и дробна част.

Все още не сме проучили напълно обикновените дроби. Има много тънкости и подробности, за които трябва да се говори, но днес ще започнем да изучаваме десетичен знакдроби, тъй като обикновените и десетичните дроби често трябва да се комбинират. Тоест, когато решавате задачи, трябва да използвате и двата вида дроби.

Този урок може да изглежда сложен и объркващ. Съвсем нормално е. Този вид уроци изискват да се изучават, а не да се преглеждат повърхностно.

Съдържание на урока

Изразяване на количествата в дробна форма

Понякога е удобно да се покаже нещо в дробна форма. Например една десета от дециметъра се записва така:

Този израз означава, че един дециметър е разделен на десет части и от тези десет части е взета една част:

Както можете да видите на фигурата, една десета от дециметъра е един сантиметър.

Помислете за следния пример. Покажете 6 см и още 3 мм в сантиметри в дробна форма.

И така, трябва да изразите 6 см и 3 мм в сантиметри, но в дробна форма. Вече имаме 6 цели сантиметра:

но остават още 3 милиметра. Как да ги покажа тези 3 милиметра, и то в сантиметри? Дробите идват на помощ. 3 милиметра е третата част от сантиметър. И третата част от сантиметър се записва като cm

Дроб означава, че един сантиметър е разделен на десет равни части и от тези десет части са взети три части (три от десет).

В резултат на това имаме шест цели сантиметра и три десети от сантиметъра:

В този случай 6 показва броя на целите сантиметри, а дробта показва броя на дробните сантиметри. Тази дроб се чете като "шест запетая и три сантиметра".

Дроби, чийто знаменател съдържа числата 10, 100, 1000, могат да бъдат записани без знаменател. Първо напишете цялата част, а след това числителя на дробната част. Цялата част се отделя от числителя на дробната част със запетая.

Например, нека го запишем без знаменател. За да направите това, нека първо запишем цялата част. Цялата част е числото 6. Първо записваме това число:

Записва се цялата част. Веднага след написването на цялата част поставяме запетая:

А сега записваме числителя на дробната част. В смесено число числителят на дробната част е числото 3. Пишем три след десетичната запетая:

Всяко число, което е представено в тази форма, се нарича десетичен знак.

Следователно можете да покажете 6 cm и още 3 mm в сантиметри, като използвате десетична дроб:

6,3 см

Ще изглежда така:

Всъщност десетичните знаци са същите като обикновените дроби и смесените числа. Особеността на такива дроби е, че знаменателят на тяхната дробна част съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000.

Подобно на смесено число, десетичната дроб има цяло число и дробна част. Например в едно смесено число цялата част е 6, а дробната е .

В десетичната дроб 6.3 цялата част е числото 6, а дробната част е числителят на дробта, тоест числото 3.

Случва се и обикновени дроби, в чийто знаменател числата 10, 100, 1000 са дадени без цяла част. Например дадена е дроб без цяла част. За да напишете такава дроб като десетична, първо напишете 0, след това поставете запетая и напишете числителя на дробта. Дроб без знаменател ще бъде записана по следния начин:

Чете като "нула точка пет".

Преобразуване на смесени числа в десетични

Когато пишем смесени числа без знаменател, по този начин ги преобразуваме в десетични дроби. Когато преобразувате дроби в десетични знаци, трябва да знаете няколко неща, за които ще говорим сега.

След като цялата част е записана, е необходимо да се преброи броят на нулите в знаменателя на дробната част, тъй като броят на нулите на дробната част и броят на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб трябва да бъдат един и същ. Какво означава? Разгледайте следния пример:

Първо

И можете веднага да запишете числителя на дробната част и десетичната дроб е готова, но определено трябва да преброите броя на нулите в знаменателя на дробната част.

И така, ние броим броя на нулите в дробната част на едно смесено число. Знаменателят на дробната част има една нула. Това означава, че в десетичната дроб ще има една цифра след десетичната запетая и тази цифра ще бъде числителят на дробната част на смесеното число, тоест числото 2

Така, когато се преобразува в десетична дроб, смесеното число става 3,2.

Тази десетична дроб се чете така:

"Три точка две"

„Десети“, защото числото 10 е в дробната част на смесено число.

Пример 2.Преобразувайте смесено число в десетично.

Запишете цялата част и поставете запетая:

И можете веднага да запишете числителя на дробната част и да получите десетичната дроб 5,3, но правилото гласи, че след десетичната запетая трябва да има толкова цифри, колкото нули има в знаменателя на дробната част на смесеното число. И виждаме, че знаменателят на дробната част има две нули. Това означава, че нашата десетична дроб трябва да има две цифри след десетичната запетая, а не една.

В такива случаи числителят на дробната част трябва да бъде леко модифициран: добавете нула пред числителя, т.е. преди числото 3

Сега можете да конвертирате това смесено число в десетична дроб. Запишете цялата част и поставете запетая:

И запишете числителя на дробната част:

Десетичната дроб 5.03 се чете, както следва:

"пет точка три"

„Стотици“, защото знаменателят на дробната част на смесено число съдържа числото 100.

Пример 3.Преобразувайте смесено число в десетично.

От предишни примери научихме, че за да преобразуваме успешно смесено число в десетично, броят на цифрите в числителя на дробта и броят на нулите в знаменателя на дробта трябва да са еднакви.

Преди да конвертирате смесено число в десетична дроб, неговата дробна част трябва да бъде леко модифицирана, а именно, за да се уверите, че броят на цифрите в числителя на дробната част и броят на нулите в знаменателя на дробната част са един и същ.

Първо, разглеждаме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има три нули:

Нашата задача е да организираме три цифри в числителя на дробната част. Вече имаме една цифра - това е числото 2. Остава да добавим още две цифри. Те ще бъдат две нули. Добавете ги преди числото 2. В резултат на това броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя ще бъдат еднакви:

Сега можете да започнете да преобразувате това смесено число в десетична дроб. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:

и веднага запишете числителя на дробната част

3,002

Виждаме, че броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробната част на смесеното число са еднакви.

Десетичната дроб 3,002 се чете, както следва:

"Три цел и две хилядни"

„Хилядна“, защото знаменателят на дробната част на смесеното число съдържа числото 1000.

Преобразуване на дроби в десетични знаци

Обикновените дроби със знаменател 10, 100, 1000 или 10 000 също могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Тъй като обикновената дроб няма цяло число, първо запишете 0, след това поставете запетая и запишете числителя на дробната част.

И тук броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя трябва да са еднакви. Затова трябва да внимавате.

Пример 1.

Цялата част липсва, затова първо пишем 0 и поставяме запетая:

Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има една нула. И числителят има една цифра. Това означава, че можете безопасно да продължите десетичната дроб, като напишете числото 5 след десетичната запетая

В получената десетична дроб 0,5 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,5 се чете, както следва:

"Нула точка пет"

Пример 2.Преобразувайте дроб в десетичен знак.

Цяла част липсва. Първо пишем 0 и поставяме запетая:

Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има две нули. А числителят има само една цифра. За да направите броя на цифрите и броя на нулите еднакви, добавете една нула в числителя преди числото 2. Тогава дробта ще приеме формата . Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можете да продължите десетичната дроб:

В получената десетична дроб 0,02 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,02 се чете, както следва:

"Нула точка две."

Пример 3.Преобразувайте дроб в десетичен знак.

Напишете 0 и поставете запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробта. Виждаме, че има пет нули, а в числителя има само една цифра. За да направите броя на нулите в знаменателя и броя на цифрите в числителя еднакви, трябва да добавите четири нули в числителя преди числото 5:

Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можем да продължим с десетичната дроб. Напишете числителя на дробта след десетичната запетая

В получената десетична дроб 0,00005 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Десетичната дроб 0,00005 се чете, както следва:

„Нула точка петстотин хилядни.“

Преобразуване на неправилни дроби в десетични

Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям от знаменателя. Има неправилни дроби, в които знаменателят съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000. Такива дроби могат да се преобразуват в десетични. Но преди да се преобразуват в десетична дроб, тези дроби трябва да бъдат разделени на цялата част.

Пример 1.

Дробта е неправилна дроб. За да преобразувате такава дроб в десетична, първо трябва да изберете цялата й част. Нека си припомним как да изолираме цялата част от неправилните дроби. Ако сте забравили, съветваме ви да се върнете и да го проучите.

И така, нека подчертаем цялата част в неправилната дроб. Спомнете си, че дроб означава деление - в в такъв случайделение на числото 112 на числото 10

Нека да разгледаме тази снимка и да сглобим нов смесен номер, като детски конструктор. Числото 11 ще бъде цялата част, числото 2 ще бъде числителят на дробната част, а числото 10 ще бъде знаменателят на дробната част.

Имаме смесен брой. Нека го преобразуваме в десетична дроб. И вече знаем как да преобразуваме такива числа в десетични дроби. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има една нула. А числителят на дробната част има една цифра. Това означава, че броят на нулите в знаменателя на дробната част и броят на цифрите в числителя на дробната част са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:

В получената десетична дроб 11.2 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Това означава, че неправилна дроб става 11,2, когато се преобразува в десетична.

Десетичната дроб 11.2 се чете, както следва:

— Единадесет и две.

Пример 2.Преобразувайте неправилна дроб в десетична.

Това е неправилна дроб, защото числителят е по-голям от знаменателя. Но може да се преобразува в десетична дроб, тъй като знаменателят съдържа числото 100.

Първо, нека изберем цялата част от тази дроб. За да направите това, разделете 450 на 100 с ъгъл:

Да съберем ново смесено число - получаваме . И вече знаем как да преобразуваме смесени числа в десетични дроби.

Запишете цялата част и поставете запетая:

Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част и броя на цифрите в числителя на дробната част. Виждаме, че броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:

В получената десетична дроб 4,50 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.

Това означава, че неправилна дроб става 4,50, когато се преобразува в десетична.

При решаване на задачи, ако има нули в края на десетичната дроб, те могат да бъдат изхвърлени. Нека също да премахнем нулата в нашия отговор. Тогава получаваме 4,5

Това е едно от интересните неща за десетичните числа. Това се крие във факта, че нулите, които се появяват в края на дробта, не придават никаква тежест на тази дроб. С други думи, десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Нека поставим знак за равенство между тях:

4,50 = 4,5

Възниква въпросът: защо се случва това? В крайна сметка 4,50 и 4,5 изглеждат като различни дроби. Цялата тайна се крие в основното свойство на дробите, което изучавахме по-рано. Ще се опитаме да докажем защо десетичните дроби 4,50 и 4,5 са равни, но след като изучим следващата тема, която се нарича „преобразуване на десетична дроб в смесено число“.

Преобразуване на десетична запетая в смесено число

Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в смесено число. За целта е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 6,3 в смесено число. 6.3 е шест точка три. Първо записваме шест цели числа:

и до три десети:

Пример 2.Преобразувайте десетично число 3,002 в смесено число

3,002 е три цяло и две хилядни. Първо записваме три цели числа

и до него пишем две хилядни:

Пример 3.Преобразувайте десетично число 4,50 в смесено число

4,50 е четири цяло и петдесет. Запишете четири цели числа

и следващите петдесет стотни:

Между другото, да си припомним последния пример от предишната тема. Казахме, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Казахме също, че нулата може да бъде изхвърлена. Нека се опитаме да докажем, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. За да направим това, преобразуваме и двете десетични дроби в смесени числа.

Когато се преобразува в смесено число, десетичната запетая 4,50 става , а десетичната запетая 4,5 става

Имаме две смесени числа и . Нека преобразуваме тези смесени числа в неправилни дроби:

Сега имаме две дроби и . Време е да си припомним основното свойство на дроб, което гласи, че когато умножите (или разделите) числителя и знаменателя на дроб по едно и също число, стойността на дробта не се променя.

Нека разделим първата дроб на 10

Имаме и това е втората дроб. Това означава, че и двете са равни една на друга и равни на една и съща стойност:

Опитайте да използвате калкулатор, за да разделите първо 450 на 100, а след това 45 на 10. Ще бъде смешно.

Преобразуване на десетична дроб в дроб

Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в дроб. За да направите това, отново е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 0,3 в обикновена дроб. 0,3 е нула цяло три. Първо записваме нула цели числа:

и до три десети 0. Нулата традиционно не се записва, така че крайният отговор няма да бъде 0, а просто .

Пример 2.Преобразувайте десетичната дроб 0,02 в дроб.

0,02 е нула запетая две. Ние не записваме нула, така че веднага записваме две стотни

Пример 3.Преобразувайте 0,00005 в дроб

0,00005 е нула цяло пет. Ние не записваме нула, така че веднага записваме петстотин хилядни

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци