Общият член на последователността е $u_n=n^2$. Замествайки $n=1$, получаваме:

$$ u_1=1^2=1. $$

Това е първият член на редицата. Като заместим $n=2$ в $u_n=n^2$, получаваме втория член на редицата:

$$ u_2=2^2=4. $$

Ако заместим $n=3$, получаваме третия член на редицата:

$$ u_3=3^2=9. $$

По същия начин намираме четвъртия, петия, шестия и други членове на редицата. Ето как получаваме съответните числа:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \lточки $$

Също така си струва да имате предвид условията на последователността $u_n=n^3$. Ето някои от първите му членове:

\begin(equation)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(уравнение)

В допълнение, за формиране на общия член на серия често се използва последователността $u_n=n!$, чиито първи няколко термина са както следва:

\begin(equation)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(уравнение)

Запис "n!" (да се чете "en factorial") обозначава произведението на всички естествени числаот 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

По дефиниция се приема, че $0!=1!=1$. Например, нека намерим 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Често се използват и аритметични и геометрични прогресии. Ако първият член на аритметичната прогресия е равен на $a_1$, а разликата е равна на $d$, тогава общият член на аритметичната прогресия се записва по следната формула:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(equation)

Какво е аритметична прогресия? Покажи скрий

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която разликата между следващия и предишния член е постоянна. Тази постоянна разлика се нарича разлика в прогресията

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \lточки $$

Моля, имайте предвид, че без значение каква двойка съседни елементи вземаме, разликата между следващите и предишните членове винаги ще бъде постоянна и равна на 7:

\begin(aligned) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \lточки\край (подравнени)

Това число, т.е. 7, и има разлика в прогресията. Обикновено се обозначава с буквата $d$, т.е. $d=7$. Първият елемент от прогресията е $a_1=3$. Записваме общия член на тази прогресия, използвайки формулата. Замествайки $a_1=3$ и $d=7$ в него, ще имаме:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

За по-голяма яснота нека използваме формулата $a_n=7n-4$, за да намерим първите няколко члена на аритметичната прогресия:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \край (подравнено)

Чрез заместване на която и да е стойност на числото $n$ във формулата $a_n=7n-4$, можете да получите всеки член на аритметичната прогресия.

Заслужава да се отбележи и геометричната прогресия. Ако първият член на прогресията е равен на $b_1$, а знаменателят е равен на $q$, тогава общият член на геометричната прогресия се дава по следната формула:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(equation)

Какво стана геометрична прогресия? Покажи скрий

Геометричната прогресия е поредица от числа, в която връзката между следващите и предходните членове е постоянна. Тази постоянна връзка се нарича знаменател на прогресията. Например, разгледайте следната последователност:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \lточки $$

Моля, имайте предвид, че без значение каква двойка съседни елементи вземаме, съотношението на следващия към предходния винаги ще бъде постоянно и равно на 3:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \край (подравнено)

Това число, т.е. 3 е знаменателят на прогресията. Обикновено се обозначава с буквата $q$, т.е. $q=3$. Първият елемент от прогресията е $b_1=6$. Записваме общия член на тази прогресия, използвайки формулата. Замествайки $b_1=6$ и $q=3$ в него, ще имаме:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

За по-голяма яснота нека използваме формулата $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, за да намерим първите няколко члена на геометричната прогресия:

\begin(подравнено) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \край (подравнено)

Като заместите произволна стойност на числото $n$ във формулата $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, можете да получите произволен член от геометричната прогресия.

Във всички примери по-долу ще означаваме членовете на серията с буквите $u_1$ (първият член на серията), $u_2$ (вторият член на серията) и т.н. Нотацията $u_n$ ще обозначава общия член на серията.

Пример №1

Намерете общия член на реда $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Същността на такива задачи е да забележите модела, който е присъщ на първите членове на поредицата. И въз основа на този модел направете заключение за вида на общия член. Какво означава фразата „намерете общия термин“? Това означава, че е необходимо да се намери такъв израз, замествайки $n=1$, в който получаваме първия член на редицата, т.е. $\frac(1)(7)$; Като заместим $n=2$ получаваме втория член на редицата, т.е. $\frac(2)(9)$; Като заместим $n=3$ получаваме третия член на редицата, т.е. $\frac(3)(11)$ и така нататък. Знаем първите четири термина от поредицата:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Да вървим постепенно. Всички познати ни членове на редицата са дроби, така че е разумно да се предположи, че общият член на серията също е представен от дроб:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Нашата задача е да разберем какво се крие под въпросителни знаци в числителя и знаменателя. Нека първо да разгледаме числителя. Числителите на известните ни членове на редицата са числата 1, 2, 3 и 4. Забележете, че числото на всеки член на редицата е равно на числителя. Първият член има числител едно, вторият има две, третият има тройка, а четвъртият има четири.

Логично е да се предположи, че n-тият член ще има $n$ в числителя си:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Между другото, можем да стигнем до това заключение и по друг начин, по-формално. Каква е последователността 1, 2, 3, 4? Обърнете внимание, че всеки следващ член на тази последователност е с 1 по-голям от предишния. Имаме работа с четири члена на аритметична прогресия, чийто първи член е $a_1=1$, а разликата е $d=1$. Използвайки формулата, получаваме израза за общия член на прогресията:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Така че отгатването или формалното изчисление е въпрос на вкус. Основното е, че записахме числителя на общия член на серията. Да преминем към знаменателя.

В знаменателите имаме редицата 7, 9, 11, 13. Това са четири члена на аритметична прогресия, чийто първи член е равен на $b_1=7$, а разликата е $d=2$. Намираме общия термин на прогресията по формулата:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Полученият израз, т.е. $2n+5$ и ще бъде знаменателят на общия член на серията. Така:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Получава се общият член на поредицата. Нека проверим дали намерената от нас формула $u_n=\frac(n)(2n+5)$ е подходяща за изчисляване на вече известните членове на реда. Нека намерим членовете $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$, използвайки формулата $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Резултатите, естествено, трябва да съвпадат с първите четири члена на серията, дадена ни по условие.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Точно така, резултатите са същите. Поредицата, посочена в условието, вече може да бъде записана в следната форма: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Общият член на серията има формата $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lточки $$

Такъв сериал няма ли право на съществуване? Все още има. И за тази серия можем да напишем това

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Можете да напишете друго продължение. Например това:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

И такова продължение не противоречи на нищо. В този случай можем да напишем това

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Ако първите два варианта ви се сториха твърде официални, тогава ще ви предложа трети. Нека запишем общия термин, както следва:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Нека изчислим първите четири члена от серията, като използваме предложената формула за общ член:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \край (подравнено)

Както можете да видите, предложената формула за общия термин е съвсем правилна. И можете да излезете с безкраен брой такива варианти, техният брой е неограничен. IN стандартни примери, разбира се, се използва стандартен набор от определени известни последователности (прогресии, степени, факториели и т.н.). В такива задачи обаче винаги има несигурност и е препоръчително да запомните това.

Във всички следващи примери тази неяснота няма да бъде уточнена. Ще решим, като използваме стандартни методи, които са приети в повечето книги със задачи.

Отговор: общ член на серията: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Пример №2

Запишете общия член на серията $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Знаем първите пет термина от поредицата:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Всички членове на редицата, които са ни известни, са дроби, което означава, че ще търсим общия член на серията под формата на дроб:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Нека веднага обърнем внимание на числителя. Всички числители съдържат единици, следователно числителят на общия член на реда също ще съдържа единица, т.е.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Сега нека погледнем знаменателя. Знаменателите на първите членове на серията, известни ни, съдържат произведенията на числата: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Първите от тези числа са: 1, 3, 5, 7, 9. Тази редица има първия член $a_1=1$, а всеки следващ се получава от предишния чрез добавяне на числото $d=2$. С други думи, това са първите пет члена на аритметична прогресия, чийто общ член може да бъде написан с помощта на формулата:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

В продуктите $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ вторите числа са: 5, 8, 11, 14, 17. Това са елементи на аритметична прогресия, чийто първи член е $b_1=5$, а знаменателят е $d=3$. Записваме общия термин на тази прогресия, използвайки същата формула:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Нека обединим резултатите. Произведението в знаменателя на общия член на серията е: $(2n-1)(3n+2)$. А общият термин на самата серия има следната форма:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

За да проверим получения резултат, използваме формулата $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$, за да намерим първите четири членове на редицата, които знаем:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \край (подравнено)

И така, формулата $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ви позволява точно да изчислите членовете на серията, известни от условието. Ако желаете, дадените серии могат да бъдат написани така:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Отговор: общ член на серията: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Ще продължим тази тема във втората и третата част.

Много хора са чували за аритметичната прогресия, но не всеки има добра представа какво е това. В тази статия ще дадем съответното определение, а също така ще разгледаме въпроса как да намерим разликата на аритметичната прогресия и ще дадем редица примери.

Математическа дефиниция

Така че, ако говорим за аритметична или алгебрична прогресия (тези понятия дефинират едно и също нещо), това означава, че има определена редица от числа, която отговаря на следния закон: всеки две съседни числа в серията се различават с една и съща стойност. Математически се записва така:

Тук n означава номера на елемента a n в редицата, а числото d е разликата на прогресията (името му следва от представената формула).

Какво означава да знаеш разликата d? За това колко „далеч“ са съседните числа едно от друго. Въпреки това, познаването на d е необходимо, но не достатъчно условиеза определяне (възстановяване) на цялата прогресия. Необходимо е да знаете още едно число, което може да бъде абсолютно всеки елемент от разглежданата серия, например 4, a10, но като правило те използват първото число, тоест 1.

Формули за определяне на елементите на прогресия

Като цяло информацията по-горе вече е достатъчна, за да преминете към решаване на конкретни проблеми. Въпреки това, преди да бъде дадена аритметичната прогресия и ще е необходимо да се намери нейната разлика, представяме няколко полезни формули, като по този начин улеснява последващия процес на решаване на проблеми.

Лесно е да се покаже, че всеки елемент от редицата с номер n може да бъде намерен, както следва:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Всъщност всеки може да провери тази формула чрез просто търсене: ако замените n = 1, получавате първия елемент, ако замените n = 2, тогава изразът дава сумата от първото число и разликата и т.н.

Условията на много задачи са съставени по такъв начин, че при известна двойка числа, чиито числа също са дадени в последователността, е необходимо да се реконструира цялата редица от числа (намерете разликата и първия елемент). Сега ще решим този проблем в обща форма.

И така, нека са дадени два елемента с номера n и m. Използвайки формулата, получена по-горе, можете да създадете система от две уравнения:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

За да намерим неизвестни количества, ние използваме известните прост трикрешения на такава система: извадете лявата и дясната страна по двойки, равенството ще остане валидно. Ние имаме:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Така изключихме едно неизвестно (a 1). Сега можем да напишем крайния израз за определяне на d:

d = (a n - a m) / (n - m), където n > m

Получихме много проста формула: за да изчислите разликата d в ​​съответствие с условията на проблема, трябва само да вземете съотношението на разликите между самите елементи и техните серийни номера. Трябва да се обърне внимание на един важен моментвнимание: разликите се вземат между „старшите“ и „младшите“ членове, тоест n > m („старши“ означава стоящ по-далеч от началото на последователността, нейната абсолютна стойностможе да бъде по-голям или по-малък от „младши“ елемент).

Изразът за прогресията на разликата d трябва да бъде заменен в някое от уравненията в началото на решаването на задачата, за да се получи стойността на първия член.

В нашата епоха на развитие на компютърните технологии много ученици се опитват да намерят решения за своите задачи в Интернет, така че често възникват въпроси от този тип: намерете разликата на аритметична прогресия онлайн. За такава заявка търсачката ще върне няколко уеб страници, като отидете на които ще трябва да въведете данните, известни от условието (това могат да бъдат два члена на прогресията или сбор от определен брой от тях ) и веднага ще получите отговор. Този подход към решаването на проблема обаче е непродуктивен по отношение на развитието на ученика и разбирането на същността на възложената му задача.

Решение без използване на формули

Нека решим първата задача, без да използваме някоя от дадените формули. Нека са дадени елементите на редицата: a6 = 3, a9 = 18. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Известни елементи стоят близо един до друг в редица. Колко пъти трябва да се добави разликата d към най-малкото, за да се получи най-голямото? Три пъти (първият път, добавяйки d, получаваме 7-ия елемент, втория път - осмия, накрая, третия път - деветия). Кое число трябва да се добави към три три пъти, за да се получи 18? Това е числото пет. Наистина ли:

Така неизвестната разлика d = 5.

Разбира се, решението можеше да се извърши с помощта на подходящата формула, но това не беше направено умишлено. Подробно обяснениерешението на проблема трябва да стане ясно и ярък примерКакво е аритметична прогресия?

Задача, подобна на предишната

Сега нека решим подобен проблем, но да променим входните данни. Така че трябва да намерите дали a3 = 2, a9 = 19.

Разбира се, можете отново да прибягвате до метода на решение „челно“. Но тъй като са дадени елементи от серията, които са сравнително далеч един от друг, този метод няма да бъде напълно удобен. Но използването на получената формула бързо ще ни доведе до отговора:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тук сме закръглили крайното число. Степента, в която това закръгляване е довело до грешка, може да се прецени чрез проверка на резултата:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Този резултат се различава само с 0,1% от стойността, дадена в условието. Следователно закръгляването, използвано до най-близките стотни, може да се счита за успешен избор.

Проблеми, свързани с прилагането на формулата за член

Нека разгледаме класически пример за задача за определяне на неизвестното d: намерете разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 12, a5 = 40.

Когато са дадени две числа от неизвестна алгебрична редица и едното от тях е елементът a 1, тогава не е нужно да мислите дълго, а трябва веднага да приложите формулата за член a n. IN в такъв случайние имаме:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Получихме точното число при разделяне, така че няма смисъл да проверяваме точността на изчисления резултат, както беше направено в предишния параграф.

Нека решим друга подобна задача: трябва да намерим разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 16, a8 = 37.

Използваме подход, подобен на предишния, и получаваме:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Какво още трябва да знаете за аритметичната прогресия?

В допълнение към проблемите за намиране на неизвестна разлика или отделни елементи, често е необходимо да се решават задачи за сумата от първите членове на редица. Разглеждането на тези задачи е извън обхвата на статията, но за пълнота на информацията, която представяме обща формулаза сумата от n числа в серия:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Инструкции

Аритметичната прогресия е последователност от формата a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Номер d стъпка прогресия.Очевидно е, че генералът на произволен n-ти член от аритметиката прогресияима формата: An = A1+(n-1)d. Тогава познаването на един от членовете прогресия, член прогресияи стъпка прогресия, можете, тоест номерът на члена на прогреса. Очевидно тя ще се определя по формулата n = (An-A1+d)/d.

Нека сега е известен m-тият член прогресияи друг член прогресия- nth, но n , както в предишния случай, но е известно, че n и m не съвпадат. прогресияможе да се изчисли по формулата: d = (An-Am)/(n-m). Тогава n = (An-Am+md)/d.

Ако е известна сумата от няколко елемента на едно аритметично уравнение прогресия, както и неговият първи и последен, тогава може да се определи и броят на тези елементи.Сумата на аритметиката прогресияще бъде равно на: S = ((A1+An)/2)n. Тогава n = 2S/(A1+An) - чденов прогресия. Използвайки факта, че An = A1+(n-1)d, тази формула може да бъде пренаписана като: n = 2S/(2A1+(n-1)d). От това можем да изразим n чрез решаване квадратно уравнение.

Аритметичната последователност е подреден набор от числа, всеки член от който, с изключение на първия, се различава от предходния с една и съща сума. Тази постоянна стойност се нарича разлика на прогресията или нейната стъпка и може да се изчисли от известните членове на аритметичната прогресия.

Инструкции

Ако стойностите на първия и втория или всяка друга двойка съседни термини са известни от условията на проблема, за да изчислите разликата (d), просто извадете предишния от следващия член. Получената стойност може да бъде положителна или отрицателно число- зависи от това дали прогресията се увеличава. IN обща форманапишете решението за произволно избрана двойка (aᵢ и aᵢ₊₁) от съседни членове на прогресията, както следва: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

За двойка членове на такава прогресия, единият от които е първият (a₁), а другият е всеки друг произволно избран, също е възможно да се създаде формула за намиране на разликата (d). В този случай обаче серийният номер (i) на произволно избран член на последователността трябва да бъде известен. За да изчислите разликата, добавете двете числа и разделете получения резултат на поредния номер на произволен член, намален с единица. Като цяло, напишете тази формула, както следва: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ако в допълнение към произволен член на аритметична прогресия с пореден номер i е известен друг член с пореден номер u, променете съответно формулата от предишната стъпка. В този случай разликата (d) на прогресията ще бъде сумата от тези два члена, разделена на разликата на техните поредни номера: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формулата за изчисляване на разликата (d) става малко по-сложна, ако условията на задачата дават стойността на нейния първи член (a₁) и сумата (Sᵢ) на дадено число (i) от първите членове на аритметичната последователност. За да получите желаната стойност, разделете сумата на броя членове, които я съставят, извадете стойността на първото число в редицата и удвоете резултата. Разделете получената стойност на броя членове, които съставляват сумата, намалена с единица. Като цяло, напишете формулата за изчисляване на дискриминанта, както следва: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

цели:

1. Въведете понятието аритметична прогресия.
2. Разгледайте основните типове проблеми, като използвате формулата за n-тия член на аритметична прогресия.
3. Използвайте елементи на развиващото обучение в урока.
4. Развийте аналитичното мислене на учениците.

По време на часовете

Учител.В предишния урок въведохме концепцията за безкрайна числова последователност като функция, дефинирана върху множеството от естествени числа и открихме, че последователностите могат да бъдат безкрайни и крайни, нарастващи и намаляващи, а също така научихме за начините за дефинирането им. Избройте ги.

Ученици.

1. Аналитичен (с помощта на формула).
2. Вербален (задаване на последователност с описание).
3. Повтарящ се (когато всеки член на редицата, започвайки от някои, се изразява чрез предишни членове).

Упражнение 1.Посочете, ако е възможно, 7-ия член на всяка последователност.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Учител. Защо е невъзможно да се отговори на въпроса за последователностите b n и y n?

Ученици. Няма специфичен модел в тези последователности, въпреки че (b n) се състои от квадрати с естествени числа, но те са взети в произволен ред, а (y n) представлява произволни сериичисла, така че седмото място може да бъде всяко число.

Учител.За последователности (a n); (cn); (x n) всички успяхте да намерите правилно 7-ия член.

Задача 2.Измислете свой собствен пример за такава последователност. Посочете първите му 4 члена. Разменете тетрадките със съседа по бюрото и определете 5-тия член от тази редица.

Учител.Какво общо свойство имат тези последователности?

Студент. Всеки следващ термин се различава от предходния със същия номер.

Учител.Последователности от този тип се наричат ​​аритметични прогресии. Те ще бъдат обект на нашето изследване днес. Формулирайте темата на урока.

(Ученикът може лесно да формулира първата част от темата. Учителят може сам да формулира втората част)

Учител. Формулирайте целите на урока въз основа на тази тема.

(Важно е учениците да формулират учебните си цели възможно най-пълно и точно, след което да ги приемат и да се стремят да ги постигнат)

Ученици.

1. Определете аритметичната прогресия.
2. Изведете формулата за n-тия член на аритметична прогресия.
3. Научете се да решавате проблеми по дадена тема (помислете Различни видовезадачи).

След това е полезно да проектирате целите на учителя за учениците на екрана, за да сте сигурни, че имат общи цели.

Учител.Малко история. Терминът "прогресия" идва от латинското progression, което означава "движене напред", и е въведен от римския автор Боеций през 6 век сл. н. е. и получени по-нататъчно развитиев трудовете на Фибоначи, Чуке, Гаус и други учени.

Определение.Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава с d.

(a n): a 1; a 2; a 3; ...a n ...аритметична прогресия.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Задача 3.Нека a 1 = 7; d = 0.

Назовете следващите 3 члена от редицата.

Ученици. 7; 7; 7

Учител. Такива последователности се наричат ​​постоянни или стационарни.

Нека a 1 = -12; d = 3. Назовете 3 членове на тази редица.

Студент. -9; -6; -3

Учител. Ще бъда ли прав, ако назова числата: -15; -18; -21?

По правило повечето студенти смятат, че това е правилно. След това трябва да ги помолите да идентифицират номера на всеки член. Тъй като номерът на член на редицата трябва да бъде изразен като естествено число, посочените числа не могат да присъстват в тази редица.

Задача 4.В аритметична прогресия a 1 ; a 2; 6; 4; 5 намерете 1; a 2; а 5.

Задачата се изпълнява по двойки, като един ученик по желание я изпълнява с обратна странадъски.

Решение:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

Посочете за тази последователност 8 и 126

Ученици. a 8 = -4 и 126 могат да бъдат зададени, но броенето отнема твърде много време.

Учител.Това означава, че трябва да намерим начин, който ще ни позволи бързо да намерим всеки член на последователността. Опитайте се да изведете формулата за n-тия член на аритметична прогресия.

Можете да извикате силен ученик на дъската и чрез ясно зададени въпроси и помощта на класа да изведете формулата.

Извеждане на формулата:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
и т.н.

Ан = a 1 + (н – 1) д- формулаn-ти член на аритметична прогресия.

Учител. И така, какво трябва да знаете, за да определите който и да е член на аритметична прогресия?

Ученици. a 1 и d

Учител.Използвайки тази формула, намерете 126.

Ученици. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Задача 5. Нека (b n): аритметична прогресия, в която b 1 е първият член и d е разликата. Открийте грешки:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Задача 6.Нека разгледаме формулата за n-тия член на аритметична прогресия. Нека разберем какви видове проблеми могат да бъдат решени с помощта на тази формула. Формулирайте директен проблем.

Ученици.Като се имат предвид стойностите на a 1 и d, намерете n.

Учител.Какви обратни задачи могат да се поставят?

Ученици.

1. Като се има предвид 1 и n. Намерете d.
2. Като се има предвид d и a n. Намерете 1.
3. Дадено е 1, d и n. Намерете n.

Задача 7. Намерете разликата на аритметичната прогресия, в която y 1 = 10; y 5 = 22

Решение на дъската:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

Задача 8. Аритметичната прогресия съдържа ли 2; 9; ... номер 156?

Анализ: чрез разсъждения стигаме до извода, че защото всяко число в редицата има свое собствено число, изразено като естествено число, тогава трябва да намерите номера на члена на редицата и да разберете дали той принадлежи към набора от естествени числа. Ако принадлежи, тогава последователността съдържа даденото число; в противен случай не го съдържа.

Решение на дъската:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Отговор: a 23 = 156

Задача 9.Намерете първите три члена на аритметичната прогресия, в която

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

Анализираме задачата, създаваме система от уравнения, които предлагаме да решим у дома.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

Обобщаване обща сума урок.

Какво ново научихте в клас днес? Какво научихте?

Домашна работа. Прочетете материала в параграф 25 от учебника. Научете дефиницията на аритметична прогресия и формулата за n-тия член. Да може да изрази от формула всички количества, включени в нея. Решете системата към задача 9. По учебник No 575 (а, б); 576; 578(a); 579(а).

Задача за допълнителна оценка: нека 1; a 2; a 3; ...a n ...аритметична прогресия. Докажете, че a n+1 = (a n + a n+2) : 2

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория с примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с число се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Тази числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е изучавана от древните гърци.

Това е редица от числа, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме числото на прогресията към предишната стойност, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането би ни отнело повече от час и не е факт, че няма да сгрешим при събирането на числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, при който не е необходимо да се добавя разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Разгледайте по-отблизо нарисуваната картинка... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула- нека я доведем обща формаи получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека проверим това на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какво ще бъде числото от тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула, за да я изчислим:

От тогава:

Така сме убедени, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите члена th и th на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - ще изведем свойството на аритметичната прогресия.
Да кажем, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има възможност да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете дали е възможно да се реши този проблем в една стъпка, като се използва която и да е формула? Разбира се, да, и това е, което ще се опитаме да изведем сега.

Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, формулата за намирането му е известна - това е същата формула, която изведехме в началото:
, Тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Оказва се, че сборът от предишния и последващия член на прогресията е двойната стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да намерите стойността на член на прогресия с известни предишни и последователни стойности, трябва да ги съберете и разделите на.

Точно така, имаме едно и също число. Да осигурим материала. Изчислете сами стойността на прогресията, не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата е била лесно изведена от един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, възложи следната задача в клас: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите и вие.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сбора на тези членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако задачата изисква намиране на сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?

Нека изобразим напредъка, който ни е даден. Разгледайте по-отблизо маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитвали ли сте го? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

А сега ми кажете колко такива двойки има общо в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни двойки са равни, получаваме, че обща сумае равно на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените формулата на тия член във формулата за сумата.
Какво получи?

Много добре! Сега нека се върнем към задачата, зададена на Карл Гаус: изчислете сами на какво е равен сборът от числата, започващи от th, и сборът от числата, започващи от th.

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумните хора са използвали напълно свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египети най-мащабният строителен проект от онова време - изграждането на пирамида... На снимката е показана едната й страна.

Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, докато движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така: .
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (изчислете броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Схванах го? Браво, усвоихте сумата от n-тите членове на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слойсъдържа един дневник по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Нека заместим наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в е равен.

3. Нека си спомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
   Нека заместим данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
2. Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете всякакви числа и те могат да бъдат колкото искате. Но винаги можем да кажем кой е първи, кой втори и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число, при това уникално. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Рекурентна наричаме формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки тази формула, ще трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. Кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. Каква е разликата? Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сумата от първото и последна датае равен, сборът на втория и предпоследния е същият, сборът на третия и 3-тия от края е същият и т.н. Колко са общо тези двойки? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени числа, кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо число се получава чрез добавяне към предходното число. Така числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко членове има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако пробяга km m през първия ден?
2. Велосипедистът изминава повече километри всеки ден от предишния ден. Първия ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
3. Цената на хладилника в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено: , трябва да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
   Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Намирам: .
   Не може да бъде по-просто:
   (търкайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресия, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.