Привеждане на моном до стандартен вид, примери, решения.

Концепцията за полином

Дефиниция на полином: Полиномът е сбор от мономи. Пример за полином:

тук виждаме сумата от два монома, а това е полином, т.е. сбор от мономи.

Членовете, които съставляват полином, се наричат ​​членове на полинома.

Разликата на мономите полином ли е? Да, така е, защото разликата лесно се свежда до сума, например: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Мономите също се считат за полиноми. Но един моном няма сбор, тогава защо се смята за полином? И можете да добавите нула към него и да получите сбора му с нулев моном. И така, мономът е специален случай на полином; той се състои от един член.

Числото нула е нулевият полином.

Стандартна форма на полином

Какво е полином със стандартна форма? Полиномът е сборът от мономи и ако всички тези мономи, които съставляват полинома, са записани в стандартна форма и не трябва да има подобни сред тях, тогава полиномът е написан в стандартна форма.

Пример за полином в стандартна форма:

тук полиномът се състои от 2 монома, всеки от които има стандартна форма; сред мономите няма подобни.

Сега пример за полином, който няма стандартна форма:

тук два монома: 2a и 4a са подобни. Трябва да ги съберете, след което полиномът ще приеме стандартната форма:

Друг пример:

Този полином се свежда до стандартен изглед? Не, неговият втори термин не е написан в стандартна форма. Записвайки го в стандартна форма, получаваме полином със стандартна форма:

Степен на полином

Каква е степента на полином?

Дефиниция на полиномна степен:

Степента на полинома е най-високата степен, която имат мономите, съставляващи даден полином със стандартна форма.

Пример. Каква е степента на полинома 5h? Степента на полинома 5h е равна на единица, тъй като този полином съдържа само един моном и неговата степен е равна на единица.

Друг пример. Каква е степента на полинома 5a 2 h 3 s 4 +1? Степента на полинома 5a 2 h 3 s 4 + 1 е равна на девет, тъй като този полином включва два монома, като първият моном 5a 2 h 3 s 4 има най-висока степен и неговата степен е 9.

Друг пример. Каква е степента на полинома 5? Степента на полином 5 е нула. И така, степента на полином, състоящ се само от число, т.е. без букви е равно на нула.

Последният пример. Каква е степента на нулевия полином, т.е. нула? Степента на нулевия полином не е дефинирана.

В този урок ще си припомним основните дефиниции на тази тема и ще разгледаме някои типични проблеми, а именно редуциране на полином до стандартна форма и изчисляване на числова стойност за дадени стойности на променливи. Ще решим няколко примера, в които редукцията до стандартна форма ще се използва за решаване на различни видове задачи.

Предмет:Полиноми. Аритметични действия върху мономи

Урок:Намаляване на полином до стандартна форма. Типични задачи

Нека си припомним основното определение: полиномът е сбор от мономи. Всеки моном, който е част от полином като член, се нарича негов член. Например:

бином;

полином;

бином;

Тъй като полиномът се състои от мономи, първото действие с полином следва от тук - трябва да приведете всички мономи в стандартна форма. Нека ви напомним, че за да направите това, трябва да умножите всички числени множители - да получите числов коефициент и да умножите съответните степени - да получите буквената част. В допълнение, нека обърнем внимание на теоремата за произведението на степените: когато степените се умножават, техните показатели се събират.

Нека помислим важна операция- привеждане на полинома в стандартна форма. Пример:

Коментар: за да приведете полином в стандартен вид, трябва да приведете всички мономи, включени в състава му, в стандартен вид, след което, ако има подобни мономи - и това са мономи с една и съща буквена част - да извършите действия с тях .

И така, разгледахме първия типичен проблем - привеждане на полином до стандартна форма.

Следващия типична задача- изчисляване на конкретна стойност на полином за дадени числени стойности на променливите, включени в него. Нека продължим да разглеждаме предишния пример и да зададем стойностите на променливите:

Коментар: нека си припомним, че единица на всяка естествена степен е равна на единица, а нула на всяка естествена степен е равна на нула, освен това си припомняме, че когато умножаваме произволно число по нула, получаваме нула.

Нека да разгледаме няколко примера за типични операции за редуциране на полином до стандартна форма и изчисляване на неговата стойност:

Пример 1 - привеждане в стандартна форма:

Коментар: първата стъпка е да приведете мономите в стандартна форма, трябва да приведете първия, втория и шестия; второ действие - привеждаме подобни условия, тоест изпълняваме дадените задачи върху тях аритметични операции: добавяме първия с петия, втория с третия, останалите се пренаписват без промени, тъй като нямат подобни.

Пример 2 - изчислете стойността на полинома от пример 1 при дадени стойности на променливите:

Коментар: когато изчислявате, трябва да запомните, че единица на всяка естествена степен е единица; ако е трудно да се изчислят степени на две, можете да използвате таблицата на степените.

Пример 3 - вместо звездичка поставете моном, така че резултатът да не съдържа променлива:

Коментар: независимо от задачата, първото действие винаги е едно и също - привеждане на полинома в стандартен вид. В нашия пример това действие се свежда до привеждане на подобни условия. След това трябва внимателно да прочетете условието отново и да помислите как можем да се отървем от монома. Очевидно за това трябва да добавите същия моном към него, но с противоположен знак- . След това заменяме звездичката с този моном и се уверяваме, че нашето решение е правилно.

При изучаването на темата за полиномите си струва да се спомене отделно, че полиномите се срещат както в стандартни, така и в нестандартни форми. В този случай полиномът нестандартен типможе да се сведе до стандартна форма. Всъщност този въпрос ще бъде обсъден в тази статия. Нека подсилим обясненията с примери с подробно описание стъпка по стъпка.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Значението на редуцирането на полином до стандартна форма

Нека се задълбочим малко в самата концепция, действието - „привеждане на полином в стандартна форма“.

Полиномите, както всеки друг израз, могат да бъдат трансформирани идентично. В резултат на това в този случай получаваме изрази, които са идентично равни на оригиналния израз.

Определение 1

Редуцирайте полинома до стандартна форма– означава заместване на оригиналния полином с равен полином със стандартна форма, получен от оригиналния полином чрез идентични трансформации.

Метод за редуциране на полином до стандартна форма

Нека спекулираме по темата какви точно трансформации на идентичност ще доведат полинома до стандартната форма.

Определение 2

Според дефиницията всеки полином от стандартна форма се състои от мономи от стандартна форма и не съдържа подобни членове. Полином с нестандартна форма може да включва мономи с нестандартна форма и подобни членове. От горното естествено се извежда правило за това как да се редуцира полином до стандартна форма:

• първо, мономите, които съставляват даден полином, се редуцират до стандартна форма;
• след това се извършва намаляването на подобни членове.

Примери и решения

Нека разгледаме подробно примери, в които редуцираме полинома до стандартна форма. Ще следваме правилото, изведено по-горе.

Обърнете внимание, че понякога условията на полином в началното състояние вече имат стандартна форма и всичко, което остава, е да се доведат подобни членове. Случва се след първата стъпка от действия да няма такива условия, тогава пропускаме втората стъпка. IN общи случаинеобходимо е да се извършат и двете действия от горното правило.

Пример 1

Дадени са полиноми:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Необходимо е да ги доведете до стандартна форма.

Решение

Нека първо разгледаме полинома 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : неговите членове имат стандартна форма, няма подобни термини, което означава, че полиномът е посочен в стандартна форма и не са необходими допълнителни действия.

Сега нека да разгледаме полинома 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Той включва нестандартни мономи: 2 · a 3 · 0, 6 и − b · a · b 4 · b 5, т.е. трябва да приведем полинома в стандартна форма, за което първата стъпка е да трансформираме мономите в стандартна форма:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , като по този начин получаваме следния полином:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

В получения полином всички членове са стандартни, няма подобни членове, което означава, че нашите действия за привеждане на полинома в стандартна форма са завършени.

Помислете за третия даден многочлен: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Нека приведем членовете му в стандартна форма и да получим:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Виждаме, че полиномът съдържа подобни членове, нека донесем подобни членове:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Така даденият многочлен 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 приема стандартната форма − x y + 1 .

Отговор:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- полиномът е зададен като стандартен;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

В много задачи действието за редуциране на полином до стандартна форма е междинно, когато се търси отговор на зададен въпрос. Нека разгледаме този пример.

Пример 2

Даден е многочленът 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Необходимо е да се доведе до стандартен вид, да се посочи степента му и да се подредят членовете на даден полином в низходящи степени на променливата.

Решение

Нека намалим членовете на дадения полином до стандартната форма:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Следваща стъпкаЕто някои подобни термини:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Получихме полином със стандартна форма, което ни позволява да обозначим степента на полинома (равна на най-високата степен на съставните му мономи). Очевидно необходимата степен е 5.

Остава само да подредим членовете в намаляващи степени на променливите. За тази цел просто пренареждаме членовете в получения полином със стандартна форма, като вземаме предвид изискването. Така получаваме:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Отговор:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, докато степента на полиномът - 5 ; в резултат на подреждането на членовете на полинома в намаляващи степени на променливите, полиномът ще приеме формата: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Всяка десетична дроб може да бъде записана като a ,bc ... · 10 k . Такива записи често се срещат в научни изчисления. Смята се, че работата с тях е дори по-удобна, отколкото с обикновена десетична нотация.

Днес ще научим как да преобразуваме всяка десетична дроб в тази форма. В същото време ще се уверим, че такова влизане вече е „прекомерно“ и в повечето случаи не предоставя никакви предимства.

Първо, малко повторение. Както знаете, десетичните дроби могат да се умножават не само помежду си, но и с обикновени цели числа (вижте урока ""). От особен интерес е умножението по степен на десет. Погледни:

Задача. Намерете стойността на израза: 25,81 10; 0,00005 1000; 8,0034 100.

Умножението се извършва по стандартната схема, като за всеки фактор се отделя значимата част. Нека опишем накратко тези стъпки:

За първия израз: 25,81 10.

1. Значими части: 25.81 → 2581 (преместване надясно с 2 цифри); 10 → 1 (преместване наляво с 1 цифра);
2. Умножение: 2581 · 1 = 2581;
3. Общо изместване: надясно с 2 − 1 = 1 цифра. Извършваме обратна смяна: 2581 → 258.1.

За втория израз: 0,00005 1000.

1. Значими части: 0.00005 → 5 (преместване надясно с 5 цифри); 1000 → 1 (изместване наляво с 3 цифри);
2. Умножение: 5 · 1 = 5;
3. Общо изместване: надясно с 5 − 3 = 2 цифри. Извършваме обратното преместване: 5 → .05 = 0.05.

Последен израз: 8.0034 100.

1. Значими части: 8.0034 → 80034 (преместване надясно с 4 цифри); 100 → 1 (преместване наляво с 2 цифри);
2. Умножение: 80 034 · 1 = 80 034;
3. Общо изместване: надясно с 4 − 2 = 2 цифри. Извършваме обратна смяна: 80 034 → 800,34.

Нека пренапишем малко оригиналните примери и да ги сравним с отговорите:

1. 25,81 · 10 1 = 258,1;
2. 0,00005 10 3 = 0,05;
3. 8,0034 · 10 2 = 800,34.

Какво се случва? Оказва се, че умножаването на десетична дроб по числото 10 k (където k > 0) е еквивалентно на изместване на десетичната запетая надясно с k позиции. Надясно - защото броят се увеличава.

По подобен начин умножението по 10 −k (където k > 0) е еквивалентно на деление на 10 k, т.е. изместване с k цифри наляво, което води до намаляване на броя. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете стойността на израза: 2,73 10; 25.008:10; 1,447 : 100;

Във всички изрази второто число е степен на десет, така че имаме:

1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
2. 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
3. 1,447 : 100 = 1,447 : 10 2 = 1,447 10 −2 = 0,01447 = 0,01447.

От това следва, че една и съща десетична дроб може да бъде записана безкраен бройначини. Например: 137,25 = 13,725 10 1 = 1,3725 10 2 = 0,13725 10 3 = ...

Стандартната форма на числото е израз от формата a ,bc ... · 10 k , където a , b , c , ... са обикновени числа и a ≠ 0. Числото k е цяло число.

1. 8,25 · 10 4 = 82 500;
2. 3,6 · 10−2 = 0,036;
3. 1,075 · 10 6 = 1 075 000;
4. 9,8 10−6 = 0,0000098.

За всяко число, записано в стандартна форма, до него е посочена съответната десетична дроб.

Превключване към стандартен изглед

Алгоритъмът за преход от обикновена десетична дроб към стандартна форма е много прост. Но преди да го използвате, не забравяйте да прегледате коя е значимата част от числото (вижте урока „Умножение и деление на десетични дроби“). И така, алгоритъмът:

1. Запишете значимата част от оригиналното число и поставете десетична запетая след първата значима цифра;
2. Намерете полученото изместване, т.е. Колко места се е преместила десетичната запетая в сравнение с оригиналната дроб? Нека това е числото k;
3. Сравнете значителната част, която записахме в първата стъпка с оригиналното число. Ако значимата част (включително десетичната запетая) е по-малка от първоначалното число, добавете коефициент от 10 k. Ако е повече, добавете коефициент 10 −k. Този израз ще бъде стандартният изглед.

Задача. Напишете числото в стандартна форма:

1. 9280;
2. 125,05;
3. 0,0081;
4. 17 000 000;
5. 1,00005.

1. 9280 → 9.28. Преместете десетичната запетая с 3 позиции наляво, числото намалява (очевидно 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
2. 125.05 → 1.2505. Shift - 2 цифри наляво, числото е намаляло (1.2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
3. 0,0081 → 8,1. Този път изместването беше надясно с 3 цифри, така че числото се увеличи (8,1 > 0,0081). Резултат: 8,1 · 10 −3 ;
4. 17000000 → 1.7. Преместването е 7 цифри наляво, числото е намаляло. Резултат: 1,7 · 10 7 ;
5. 1,00005 → 1,00005. Няма смяна, така че k = 0. Резултат: 1,00005 · 10 0 (това също се случва!).

Както можете да видите, не само десетичните дроби са представени в стандартна форма, но и обикновените цели числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 10 6.

Кога да използвате стандартна нотация

На теория стандартното записване на числа трябва да направи дробните изчисления още по-лесни. Но на практика забележима печалба се получава само при извършване на операция за сравнение. Тъй като сравняването на числа, записани в стандартна форма, се извършва по следния начин:

1. Сравнете степени на десет. Най-големият брой ще бъде този с тази степен по-голям;
2. Ако градусите са еднакви, започваме да сравняваме важни фигури- както при обикновените десетични дроби. Сравнението върви отляво надясно, от най-значимото към най-малко значимото. Най-голямото число ще бъде това, в което следващата цифра е по-голяма;
3. Ако степените на десет са равни и всички цифри са еднакви, тогава самите дроби също са равни.

Разбира се, всичко това е вярно само за положителни числа. За отрицателни числа всички знаци са обърнати.

Забележително свойство на дробите, записани в стандартна форма, е, че произволен брой нули могат да бъдат присвоени на значимата им част - както отляво, така и отдясно. Подобно правило съществува и за други десетични дроби (вижте урока „Десетични числа“), но те имат свои собствени ограничения.

Задача. Сравнете числата:

1. 8,0382 10 6 и 1,099 10 25;
2. 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;
3. 2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;
4. −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;
5. −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .

1. 8,0382 10 6 и 1,099 10 25. И двете числа са положителни, като първото има по-ниска степен от десет от второто (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
2. 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4. Числата отново са положителни, като степента на десет за първото от тях е по-голяма от тази за второто (3 > −4). Следователно, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
3. 2,215 10 11 и 2,64 10 11. Числата са положителни, степените на десет са еднакви. Разглеждаме значимата част: първите цифри също съвпадат (2 = 2). Разликата започва от втората цифра: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
4. −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 . Това отрицателни числа. Първият има степен десет по-малка (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3,28 · 10 4 ;
5. −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 . Отново отрицателни числа и степените на десет са същите. Първите 4 цифри на значимата част също са еднакви (1001 = 1001). От 5-та цифра започва разликата, а именно: 5 > 4. Тъй като оригиналните числа са отрицателни, заключаваме: −1,0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича привеждане на моном в стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решения на примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Какво означава да се намали един моном до стандартна форма?

Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но много често мономите се задават във форма, различна от стандартната. В тези случаи винаги можете да преминете от оригиналния моном към моном със стандартна форма чрез извършване на трансформации на идентичност. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича редуциране на монома до стандартна форма.

Нека обобщим горните аргументи. Редуцирайте монома до стандартна форма- това означава извършване на идентични трансформации с него, така че да приеме стандартна форма.

Как да приведа моном в стандартна форма?

Време е да разберем как да редуцираме мономи до стандартна форма.

Както е известно от дефиницията, мономи с нестандартна форма са произведения на числа, променливи и техните степени и евентуално повтарящи се. И един моном от стандартната форма може да съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как да приведем продукти от първия тип към типа на втория?

За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:

• Първо се извършва групиране на числени фактори, както и идентични променливи и техните мощности;
• Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.

В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартна форма.

Примери, решения

Остава само да се научим да прилагаме правилото от предходния параграф при решаване на примери.

Пример.

Редуцирайте монома 3 x 2 x 2 до стандартна форма.

Решение.

Нека групираме числови фактори и фактори с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3·2)·(x·x 2) . Произведението на числата в първите скоби е равно на 6, а правилото за умножение на степени с еднакви основи позволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6 x 3.

Ето кратко резюме на решението: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Отговор:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

И така, за да приведете един моном в стандартна форма, трябва да можете да групирате фактори, да умножавате числа и да работите със степени.

За да консолидираме материала, нека решим още един пример.

Пример.

Представете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.

Решение.

Оригиналният моном има единичен числов множител в своето обозначение -1, нека го преместим в началото. След това отделно ще групираме факторите с променливата a, отделно с променливата b и няма с какво да групираме променливата m, ще я оставим както е, имаме . След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, от която можем да видим, че коефициентът на монома е равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .