Как да решаваме правилно линейни уравнения. Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата - термините, в които се съдържа - от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейно уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, със самото прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми отново да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разширете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи; в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нула е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред себе си. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Имаме окончателно решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако видите квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще намалеят.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

Линейни уравнения. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Линейни уравнения.

Линейни уравнения- не е най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)

Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:

брадва + b = 0 Където а и б– всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:

Но това не е всичко! ако, да речем, а=0,А b=5,Това се оказва нещо напълно абсурдно:

Което е досадно и подкопава доверието в математиката, да...) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази вие също трябва да намерите X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение по външния му вид? Зависи от какво външен вид.) Номерът е, че не само уравненията от формата се наричат ​​линейни уравнения брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението

не може да се нарече линеен. Тук X-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите по правило не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме радва.)

Решаване на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.

Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x в лява страна, със смяна на знака, разбира се, и - 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравнения.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Ето подобни, считаме:

Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Отърваване от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.

Например, ето уравнението:

Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. Малки стъпки по дълъг път. Или можете веднага, универсално и по мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.

Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?

95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. С какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:

Разгънете останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега нека си спомним заклинанието от младши класове: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои подобни:

И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: х=0,16

Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод ляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо досадно повтарям за тези идентични трансформации през цялото време.)

Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме, като използваме идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви доведат до силен ступор...) За щастие, може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първа изненада.

Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени го местим с X наляво, без X - надясно... Със смяна на знака всичко е перфектно... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Броим, и... опа!!! Получаваме:

Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?Иначе решението не се брои, нали...) Deadlock?

Спокоен! В такива съмнителни случаи ще ви спасят най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригинално уравнение, ще ни даде истинско равенство.

Но имаме истинско равенство вечесе случи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?Хайде?)

Да!!! X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.

Ето вашия отговор: x - произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Втора изненада.

Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. Говорейки математически език, имаме фалшиво равенство.И говорене на прост език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решение на уравнението.)

Отново мислим въз основа на Общи правила. Какво ще ни дадат x, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.

Като този. Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)

Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

В този урок ще разгледаме методите за решаване на система от линейни уравнения. В курса по висша математика системите от линейни уравнения трябва да бъдат решени както под формата на отделни задачи, например „Решете системата с помощта на формулите на Крамер“, така и в хода на решаването на други проблеми. Системите от линейни уравнения трябва да се разглеждат в почти всички клонове на висшата математика.

Първо, малко теория. Какво в в такъв случайозначава математическата дума "линеен"? Това означава, че уравненията на системата всичковключени променливи в първа степен: без никакви изискани неща като и т.н., от които са възхитени само участниците в математически олимпиади.

Във висшата математика за означаване на променливи се използват не само букви, познати от детството.
Доста популярна опция са променливите с индекси: .
Или начални букви латиница, малки и големи:
Не е толкова рядко да се намерят гръцки букви: - известни на мнозина като "алфа, бета, гама". А също и набор с индекси, да речем, с буквата „mu“:

Използването на един или друг набор от букви зависи от раздела на висшата математика, в който се сблъскваме със система от линейни уравнения. Така например в системи от линейни уравнения, срещани при решаване на интеграли, диференциални уравненияТрадиционно е да се използва нотацията

Но без значение как са обозначени променливите, принципите, методите и методите за решаване на система от линейни уравнения не се променят. Така че, ако попаднете на нещо страшно като , не бързайте да затворите проблемната книга от страх, в края на краищата можете да нарисувате вместо това слънце, птица вместо това и лице (учителя). И, колкото и смешно да изглежда, система от линейни уравнения с тези означения също може да бъде решена.

Имам чувството, че статията ще се окаже доста дълга, така че малко съдържание. И така, последователният „дебрифинг“ ще бъде така:

– Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване (“ училищен метод») ;
– Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата;
– Решение на системата с помощта на формулите на Крамер;
– Решаване на системата чрез обратна матрица;
– Решаване на системата по метода на Гаус.

Всеки е запознат със системи от линейни уравнения от училищните курсове по математика. По същество започваме с повторение.

Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване

Този методможе да се нарече още "училищен метод" или метод за елиминиране на неизвестни. Образно казано може да се нарече и „незавършен метод на Гаус“.

Пример 1

Тук ни е дадена система от две уравнения с две неизвестни. Обърнете внимание, че свободните членове (номера 5 и 7) са разположени от лявата страна на уравнението. Най-общо казано, няма значение къде се намират, отляво или отдясно, просто в задачите от висшата математика те често са разположени по този начин. И такъв запис не трябва да води до объркване, ако е необходимо, системата винаги може да бъде написана „както обикновено“: . Не забравяйте, че когато премествате член от част в част, той трябва да промени знака си.

Какво означава да се реши система от линейни уравнения? Решаването на система от уравнения означава намирането на много от нейните решения. Решението на една система е набор от стойности на всички променливи, включени в нея, което превръща ВСЯКО уравнение на системата в правилно равенство. Освен това системата може да бъде неставни (нямам решения).Не се притеснявай, така е обща дефиниция=) Ще имаме само една стойност “x” и една стойност “y”, които удовлетворяват всяко уравнение c-we.

Съществува графичен методрешение на системата, което може да се намери в клас Най-простите задачи с линия. Там говорих за геометричен смисъл системи от две линейни уравнения с две неизвестни. Но сега е ерата на алгебрата и числата-числа, действия-действия.

Нека решим: от първото уравнение изразяваме:
Заместваме получения израз във второто уравнение:

Отваряме скобите, добавяме подобни термини и намираме стойността:

След това си спомняме за какво танцувахме:
Вече знаем стойността, остава само да намерим:

Отговор:

След като ВСЯКАКВА система от уравнения е решена по КАКЪВТО и да е начин, горещо препоръчвам проверка (устно, на чернова или на калкулатор). За щастие това става лесно и бързо.

1) Заместете намерения отговор в първото уравнение:

– получава се правилното равенство.

2) Заместете намерения отговор във второто уравнение:

– получава се правилното равенство.

Или по-просто казано „всичко се нареди“

Разгледаният метод на решение не е единственият, от първото уравнение е възможно да се изрази , а не .
Можете да направите обратното - да изразите нещо от второто уравнение и да го замените в първото уравнение. Между другото, имайте предвид, че най-неблагоприятният от четирите метода е да се изрази от второто уравнение:

Резултатът е дроби, но защо? Има по-рационално решение.

В някои случаи обаче все още не можете без дроби. В тази връзка искам да ви обърна внимание КАК записах израза. Не така: и в никакъв случай така: .

Ако във висшата математика се занимавате с дробни числа, след това се опитайте да извършите всички изчисления в обикновени неправилни дроби.

Точно така, а не или!

Запетая може да се използва само понякога, особено ако това е окончателният отговор на някакъв проблем и не е необходимо да се извършват допълнителни действия с това число.

Много читатели вероятно са си помислили „защо да правя това? подробно обяснение, като за поправителен клас и така всичко е ясно.” Нищо подобно, изглежда толкова просто училищен пример, и колко МНОГО важни заключения! Ето още един:

Трябва да се стремите да изпълнявате всяка задача по най-рационалния начин. Макар и само защото спестява време и нерви, а също така намалява вероятността от грешка.

Ако в задача по висша математика попаднете на система от две линейни уравнения с две неизвестни, тогава винаги можете да използвате метода на заместване (освен ако не е посочено, че системата трябва да бъде решена по друг метод). мислите, че сте глупак и ще намалите оценката си за използване на „училищния метод“ "
Освен това в някои случаи е препоръчително да се използва методът на заместване с по-голям брой променливи.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения с три неизвестни

Подобна система от уравнения често възниква при използване на така наречения метод несигурни коефициентикогато намерим интеграла на дробна рационална функция. Въпросната система е взета от мен от там.

При намиране на интеграла целта е бързнамерете стойностите на коефициентите, вместо да използвате формулите на Cramer, методът обратна матрицаи т.н. Следователно в този случай методът на заместване е подходящ.

Когато е дадена някаква система от уравнения, първо е желателно да разберете дали е възможно да я опростите ВЕДНАГА? Анализирайки уравненията на системата, забелязваме, че второто уравнение на системата може да бъде разделено на 2, което правим:

Справка:математическият знак означава „от това следва това“ и често се използва при решаване на проблеми.

Сега нека анализираме уравненията; трябва да изразим някои променливи по отношение на другите. Кое уравнение да избера? Вероятно вече се досещате, че най-лесният начин за целта е да вземете първото уравнение на системата:

Тук, без значение каква променлива да изразите, човек може също толкова лесно да изрази или .

След това заместваме израза за във второто и третото уравнения на системата:

Отваряме скобите и представяме подобни условия:

Разделете третото уравнение на 2:

От второто уравнение изразяваме и заместваме в третото уравнение:

Почти всичко е готово, от третото уравнение намираме:
От второто уравнение:
От първото уравнение:

Проверка: Заместете намерените стойности на променливите в лявата страна на всяко уравнение на системата:

1)
2)
3)

Получават се съответните десни части на уравненията, така че решението се намира правилно.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения с 4 неизвестни

Това е пример за независимо решение(отговор в края на урока).

Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата

Когато решавате системи от линейни уравнения, трябва да се опитате да използвате не „училищния метод“, а метода на добавяне (изваждане) на член по член на уравненията на системата. Защо? Това спестява време и опростява изчисленията, но сега всичко ще стане по-ясно.

Пример 4

Решете система от линейни уравнения:

Взех същата система като в първия пример.
Анализирайки системата от уравнения, забелязваме, че коефициентите на променливата са еднакви по големина и противоположни по знак (–1 и 1). В такава ситуация уравненията могат да се добавят член по член:

Действията, оградени в червено, се извършват УМСТВЕНО.
Както можете да видите, в резултат на добавяне на член по член загубихме променливата. Това всъщност е какво същността на метода е да се отървем от една от променливите.

Линейните уравнения са доста безобидна и разбираема тема в училищната математика. Но, колкото и да е странно, броят на неочакваните грешки при решаването на линейни уравнения е само малко по-малък, отколкото в други теми - квадратни уравнения, логаритми, тригонометрия и др. Причините за повечето грешки са банални идентични трансформации на уравнения. На първо място, това е объркване в знаците при прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, както и грешки при работа с дроби и дробни коефициенти. Да да! Дробите се появяват и в линейните уравнения! Наоколо. По-долу определено ще анализираме такива зли уравнения.)

Е, нека не дърпаме котката за опашката и нека започнем да го измисляме, нали? След това четем и се задълбочаваме в него.)

Какво е линейно уравнение? Примери.

Обикновено линейното уравнение изглежда така:

брадва + b = 0,

Където a и b са произволни числа. Всякакъв вид: цели числа, дроби, отрицателни, ирационални - може да има всякакви!

Например:

7x + 1 = 0 (тук a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (тук a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (тук a = 1/2, b = -1,1)

Като цяло разбирате, надявам се.) Всичко е просто, като в приказка. За момента... И ако погледнете по-отблизо общата нотация ax+b=0 и помислите малко? В крайна сметка, a и b са всякакви числа! И ако имаме, да речем, a = 0 и b = 0 (могат да се вземат всякакви числа!), тогава какво ще получим?

0 = 0

Но това не е всичко забавно! Ами ако, да речем, a = 0, b = -10? Тогава се оказва някаква глупост:

0 = 10.

Което е много, много неприятно и подкопава доверието в математиката, което сме спечелили с пот и кръв... Особено по време на контролни и изпити. Но от тези неразбираеми и странни равенства трябва да намерите и X! Което изобщо не съществува! И тук дори добре подготвените ученици понякога могат да изпаднат в така наречения ступор... Но не се притеснявайте! В този урок ще разгледаме и всички подобни изненади. И определено ще намерим X от такива равенства.) Освен това, същото това X може да се намери много, много просто. Да да! Изненадващо, но факт.)

Добре, това е разбираемо. Но как можете да познаете по външния вид на задачата, че това е линейно уравнение, а не някакво друго уравнение? За съжаление, не винаги е възможно да се разпознае вида на уравнението само по външен вид. Въпросът е, че не само уравненията под формата ax + b = 0 се наричат ​​линейни, но и всички други уравнения, които по един или друг начин могат да бъдат приведени до тази форма чрез идентични трансформации. Как да разберете дали се добавя или не? Докато почти не можете да решите примера - почти изобщо. Това е разстройващо. Но за някои видове уравнения можете незабавно да разберете с увереност дали са линейни или не с един бърз поглед.

За да направите това, нека отново да разгледаме общата структура на всяко линейно уравнение:

брадва + b = 0

Моля, обърнете внимание: в линейното уравнение Винагиприсъства само променлива x в първа степени малко цифри! Това е всичко! Нищо друго. В същото време няма X в квадрата, в куба, под корена, под логаритъма и други екзотични неща. И (най-важното!) няма дроби с Х в знаменателите!Но дроби с числа в знаменателите или делението на брой- лесно!

Например:

Това е линейно уравнение. Уравнението съдържа само X на първа степен и числа. И няма X в по-високи степени - на квадрат, на куб и т.н. Да, тук има дроби, но в същото време знаменателите на дробите съдържат само цифри.А именно – две и три. С други думи, няма деление на х.

И ето уравнението

Вече не може да се нарече линеен, въпреки че и тук има само числа и X на първа степен. Защото, освен всичко друго, има и дроби с X в знаменателите. И след опростявания и трансформации, такова уравнение може да стане всичко: линейно, квадратно - всичко.

Как се решават линейни уравнения? Примери.

Как се решават линейни уравнения? Прочетете и се изненадайте.) Цялото решение на линейните уравнения се основава само на две основни неща. Нека ги изброим.

1) Набор от елементарни действия и правила на математиката.

Това са използване на скоби, отваряне на скоби, работа с дроби, работа с отрицателни числа, таблици за умножение и т.н. Тези знания и умения са необходими не само за решаване на линейни уравнения, но и за цялата математика като цяло. И ако имате проблеми с това, помнете по-ниските оценки. Иначе ще ви е трудно...

2)

Те са само две. Да да! Освен това, тези много основни трансформации на идентичност са в основата на решението не само на линейни, но и на всички математически уравнения! С една дума, решението на всяко друго уравнение - квадратно, логаритмично, тригонометрично, ирационално и т.н. – като правило, започва с тези много основни трансформации. Но решаването на линейните уравнения всъщност завършва с тях (трансформации). Готов отговор.) Така че не бъдете мързеливи и погледнете връзката.) Освен това линейните уравнения също са анализирани подробно там.

Е, мисля, че е време да започнем да разглеждаме примери.

Като начало, като загрявка, нека да разгледаме някои основни неща. Без никакви фракции или други звънци и свирки. Например това уравнение:

x – 2 = 4 – 5x

Това е класическо линейно уравнение. Всички X са най-много на първа степен и никъде няма деление на X. Схемата на решение в такива уравнения винаги е една и съща и ужасно проста: всички членове с X трябва да бъдат събрани отляво, а всички членове без X (т.е. числа) трябва да бъдат събрани отдясно. Така че нека започнем да събираме.

За да направим това, стартираме първата трансформация на самоличността. Трябва да преместим -5x наляво и -2 надясно. С промяна на знака, разбира се.) Така че прехвърляме:

x + 5x = 4 + 2

Ето. Половината битка е свършена: X-овете са събрани на купчина, както и числата. Сега представяме подобни вляво, а ги броим вдясно. Получаваме:

6x = 6

Какво ни липсва сега за пълно щастие? Да, за да остане чистото Х отляво! И шестицата пречи. Как да се отървем от него? Сега изпълняваме втората трансформация на идентичността - разделяме двете страни на уравнението на 6. И - готово! Отговорът е готов.)

х = 1

Разбира се, примерът е напълно примитивен. За да добиете обща представа. Е, нека решим нещо по-значимо. Например, нека разгледаме това уравнение:

Нека го разгледаме подробно.) Това също е линейно уравнение, въпреки че изглежда, че тук има дроби. Но в дробите има деление на две и има деление на три, но няма деление на израз с X! Така че нека решим. Използване на същите идентични трансформации, да.)

Какво трябва да направим първо? С Х - наляво, без Х - надясно? По принцип това е възможно. Летете до Сочи през Владивосток.) ​​Или можете да вземете най-краткия маршрут, като използвате незабавно универсален и мощен метод. Ако знаете трансформациите на идентичността, разбира се.)

Първо, задавам ключов въпрос: какво най-много ви изпъква и не ви харесва в това уравнение? 99 от 100 души ще кажат: дроби!И ще бъдат прави.) Така че нека първо се отървем от тях. Безопасно за самото уравнение.) Следователно, нека започнем веднага с втора трансформация на идентичността- от умножение. По какво трябва да умножим лявата страна, за да се намали успешно знаменателят? Точно така, две. А правилната страна? За тройка! Но... Математиката е капризна дама. Тя, разбирате ли, изисква умножаване само на двете страни за същия брой!Умножаването на всяка част по нейното собствено число не работи... Какво ще правим? Нещо... Търсете компромис. За да задоволим желанията си (да се отървем от дробите) и да не обиждаме математиката.) Нека умножим двете части по шест!) Тоест по общия знаменател на всички дроби, включени в уравнението. Тогава с един замах и двамата, и трите ще бъдат намалени!)

Така че нека да умножим. Цялата лява страна и цялата дясна страна! Затова използваме скоби. Ето как изглежда самата процедура:

Сега отваряме същите тези скоби:

Сега, представяйки 6 като 6/1, нека умножим шест по всяка от дробите отляво и отдясно. Това е обичайното умножение на дроби, но така да бъде, ще го опиша подробно:

И тук - внимание! Слагам числителя (x-3) в скоби! Това е всичко, защото при умножаване на дроби числителят се умножава изцяло, изцяло! И изразът x-3 трябва да се работи като една цялостна структура. Но ако напишете числителя така:

6x – 3,

Но имаме всичко наред и трябва да го финализираме. Какво да правя след това? Отворете скобите в числителя вляво? В никакъв случай! Вие и аз умножихме двете страни по 6, за да се отървем от дробите и да не се тревожим за отварянето на скобите. На този етап имаме нужда от намалим нашите дроби.С чувство на дълбоко задоволство редуцираме всички знаменатели и получаваме уравнение без дроби, в линийка:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

И сега останалите скоби могат да бъдат отворени:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Уравнението става все по-добро и по-добро! Сега нека си спомним отново за първата идентична трансформация. С право лице повтаряме заклинанието от младши класове: с X - наляво, без X - надясно. И приложете тази трансформация:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Представяме подобни отляво и броим отдясно:

13x = 39

Остава да разделите двете части на 13. Тоест, приложете отново втората трансформация. Разделяме и получаваме отговора:

х = 3

Работата е свършена. Както можете да видите, в това уравнение трябваше да приложим първата трансформация веднъж (прехвърляне на членове) и втората два пъти: в началото на решението използвахме умножение (по 6), за да се отървем от дроби, а в края на решението използвахме деление (на 13), за да се отървем от коефициента пред X. И решението на всяко (да, всяко!) линейно уравнение се състои от комбинация от същите тези трансформации в една или друга последователност. Къде точно да започнете зависи от конкретното уравнение. На някои места е по-изгодно да започнете с прехвърляне, а на други (както в този пример) с умножение (или деление).

Работим от просто към сложно. Нека сега разгледаме откровената жестокост. С куп дроби и скоби. И ще ви кажа как да не се пренапрягате.)

Например, ето уравнението:

Гледаме уравнението за минута, ужасени сме, но все пак се събираме! Основният проблем е откъде да започна? Можете да добавите дроби от дясната страна. Можете да извадите дроби в скоби. Можете да умножите и двете части по нещо. Или да се разделят... Е, какво още е възможно? Отговор: всичко е възможно! Математиката не забранява нито едно от изброените действия. И каквато и последователност от действия и трансформации да изберете, отговорът винаги ще бъде един и същ – верният. Освен ако, разбира се, на някоя стъпка не нарушите идентичността на вашите трансформации и по този начин създадете грешки...

И за да не правите грешки, в такива сложни примери като този, винаги е най-полезно да оцените външния му вид и да измислите наум: какво може да се направи в примера, така че максимумда го опростя в една стъпка?

Така че нека го разберем. Вляво има шестици в знаменателите. Лично аз не ги харесвам, а и се махат много лесно. Нека умножа двете страни на уравнението по 6! Тогава шестиците отляво ще бъдат успешно намалени, дробите в скоби все още няма да отидат никъде. Е, това е добре. Ще се занимаем с тях малко по-късно.) Но отдясно имаме съкращаване на знаменателите 2 и 3. Именно с това действие (умножаване по 6) постигаме максимални опростявания в една стъпка!

След умножението цялото ни зло уравнение става така:

Ако не разбирате как точно се е появило това уравнение, тогава не сте разбрали добре анализа на предишния пример. И между другото опитах...

И така, нека разкрием:

Сега най-логичната стъпка би била да изолираме фракциите отляво и да изпратим 5x в дясната страна. В същото време ще представим подобни от дясната страна. Получаваме:

Вече много по-добре. Сега лявата страна се е подготвила за умножение. По какво трябва да умножим лявата страна, така че и петицата, и четворката да бъдат намалени едновременно? На 20! Но имаме и недостатъци от двете страни на уравнението. Следователно ще бъде най-удобно да умножите двете страни на уравнението не по 20, а по -20. Тогава с един замах ще изчезнат и минусите, и дробите.

Така че умножаваме:

Всеки, който все още не разбира тази стъпка, означава, че проблемът не е в уравненията. Проблемите са в основата! Да си спомним отново златно правилоотваряне на скоби:

Ако дадено число се умножи по някакъв израз в скоби, тогава това число трябва да се умножи последователно по всеки член на същия израз. Освен това, ако числото е положително, тогава знаците на изразите се запазват след разширяване. Ако е отрицателен, променете на обратното:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Минусите ни изчезнаха, след като умножихме двете страни по -20. И сега умножаваме скобите с дроби отляво по доста положително число 20. Следователно, когато тези скоби се отворят, всички знаци, които са били вътре в тях, се запазват. Но откъде идват скобите в числителите на дробите, вече обясних подробно в предишния пример.

Сега можете да намалите дроби:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Отворете останалите скоби. Отново го разкриваме правилно. Първите скоби се умножават по положителното число 4 и следователно всички знаци се запазват при отварянето им. Но вторите скоби се умножават по отрицателенчислото е -5 и следователно всички знаци са обърнати:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Това, което остава, са просто дреболии. С X вляво, без X вдясно:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

Това е почти всичко. Отляво се нуждаете от чисто X, но числото -35 ви пречи. Така че разделяме двете страни на (-35). Позволете ми да ви напомня, че втората трансформация на идентичността ни позволява да умножаваме и разделяме двете страни по както и да еномер. Включително отрицателни.) Стига да не е нула! Чувствайте се свободни да разделите и да получите отговора:

X = 2/35

Този път Х се оказа дробно. Всичко е наред. Такъв пример.)

Както виждаме, принципът за решаване на линейни уравнения (дори и най-сложните) е доста прост: ние вземаме оригиналното уравнение и, използвайки идентични трансформации, последователно го опростяваме, докато получим отговора. С основите, разбира се! Основните проблеми тук са именно неспазването на основите (например има минус пред скобите и са забравили да променят знаците при разширяване), както и в баналната аритметика. Така че не пренебрегвайте основите! Те са в основата на всяка друга математика!

Някои забавни неща за правене при решаване на линейни уравнения. Или специални поводи.

Всичко щеше да е наред. Въпреки това... Сред линейните уравнения има и такива смешни скъпоценни камъни, които в процеса на решаването им могат да ви вкарат в силен ступор. Дори отличен ученик.)

Например, ето едно безобидно изглеждащо уравнение:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Прозявайки се широко и леко отегчени, събираме всички X отляво и всички числа отдясно:

7x-4x-3x = 5-2-3

Представяме подобни, броим и получаваме:

0 = 0

Това е! Дадох пример за трик! Това равенство само по себе си не предизвиква никакви възражения: нулата наистина е равна на нула. Но X липсва! Без следа! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x. В противен случай решението не се брои, да.) Какво да правя?

Не изпадайте в паника! В такива нестандартни случаи най-много общи понятияи принципите на математиката. Какво е уравнение? Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение?

Решаването на уравнение означава намиране всичкостойности на променливата x, която при заместване в оригиналенуравнение ще ни даде правилното равенство (тъждество)!

Но имаме истинско равенство вече се случи! 0=0 или по-скоро никъде!) Можем само да гадаем при какви X-ове получаваме това равенство. В какъв вид X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако при заместване всички от тях пак ли ще бъдат сведени до нула?Още ли не сте го разбрали?

Със сигурност! X могат да бъдат заменени всякакви!!! Абсолютно всякакви. Представете каквото искате. Поне 1, поне -23, поне 2,7 - каквото и да е! Те все пак ще бъдат намалени и в резултат на това ще остане чистата истина. Опитайте го, заменете го и вижте сами.)

Ето вашия отговор:

x – произволно число.

IN научен запистова равенство се записва така:

Този запис гласи така: „Х е всяко реално число.“

Или под друга форма, на интервали:

Проектирайте го така, както ви харесва най-много. Това е правилен и напълно пълен отговор!

Сега ще променя само едно число в нашето първоначално уравнение. Сега нека решим това уравнение:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Отново прехвърляме условията, броим и получаваме:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

И какво мислите за този виц? Имаше обикновено линейно уравнение, но се превърна в неразбираемо равенство

0 = 1…

Научно казано, имаме фалшиво равенство.Но на руски това не е вярно. Глупости. Глупости.) Защото нулата в никакъв случай не е равна на единица!

И сега нека да разберем отново какъв вид X, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат истинско равенство?Който? Но нито един! Независимо какво X замените, всичко ще бъде съкратено и всичко ще остане глупости.)

Ето отговора: няма решения.

IN математическа нотациятакъв отговор е форматиран така:

Той гласи: "X принадлежи на празното множество."

Такива отговори в математиката също се срещат доста често: не винаги уравненията имат принципни корени. Някои уравнения може изобщо да нямат корени. Изобщо.

Ето две изненади. Надявам се, че сега внезапното изчезване на X от уравнението няма да ви остави в недоумение завинаги. Това е доста познато.)

И тогава чувам логичен въпрос: ще бъдат ли на OGE или на Единния държавен изпит? На Единния държавен изпит сам по себе си като задача - не. Твърде просто. Но в OGE или в текстови задачи - лесно! Така че сега нека тренираме и да решим:

Отговори (в безпорядък): -2; -1; произволен брой; 2; няма решения; 7/13.

Всичко се получи? Страхотен! Имате добри шансове на изпита.

Нещо не се вписва? Хм... Тъга, разбира се. Това означава, че все още има пропуски някъде. Или в основите, или в идентични трансформации. Или е просто въпрос на просто невнимание. Прочетете урока отново. Защото това не е тема, която може толкова лесно да бъде заобиколена от математиката...

Късмет! Тя определено ще ви се усмихне, повярвайте ми!)