Какво е уравнение какво означава да се реши уравнение. Когато двете страни на уравнението се повдигнат на четна степен, резултатът е уравнение, което не е равно на оригинала

Като цяло всяко уравнение е математически моделчашкови везни (лостови, равнораменни, кобилични - има много имена), изобретени през древен ВавилонПреди 7000 години или дори по-рано. Нещо повече, аз дори смятам, че везните за чаши, използвани в най-древните базари, са станали прототип на уравненията. И ако гледате на всяко уравнение не като на неразбираем набор от цифри и букви, свързани с две успоредни пръчки, а като на везни, тогава няма да има проблеми с всичко останало:

Всяко уравнение е като балансирани везни

Просто така се случва, че има все повече и повече уравнения в живота ни всеки ден, но има все по-малко разбиране за това какво е уравнението и какво е неговото значение. Във всеки случай, останах с това впечатление, когато се опитвах да обясня на голямата си дъщеря значението на просто математическо уравнение като:

х + 2 = 8 (500.1)

Тези. в училище, разбира се, обясняват, че в такива случаи, за да намерят х, трябва да извадите 2 от дясната страна:

х = 8 - 2 (500.3)

Това, разбира се, е абсолютно правилно действие, но защо трябва да се изважда, а не например да се събира или дели, в училищните учебници няма обяснение. Има само едно правило, което просто трябва да научите:

Когато член на уравнение се прехвърля от една част в друга, знакът му се променя на противоположния.

Що се отнася до това как 10-годишно дете трябва да разбира това правило и какво е значението му, остава да помислите и да решите. Нещо повече, оказа се, че моите близки роднини също никога не са разбирали значението на уравненията, а просто са наизустявали това, което се изисква (и в частност горното правило), и чак след това са го прилагали както Бог иска. Не ми хареса това състояние на нещата, затова реших да напиша тази статия (моят най-малък расте, след няколко години ще трябва да обяснява това отново и това може да бъде полезно и за малкото читатели на моя сайт) .

Веднага искам да кажа, че въпреки че учих в училище 10 години, никога не научих правила или определения, свързани с техническите дисциплини. Тези. ако нещо е ясно, тогава ще бъде запомнено, но ако нещо не е ясно, тогава какъв е смисълът да го тъпчете, без да разбирате смисъла, ако така или иначе ще бъде забравено? И освен това, ако не разбирам нещо, това означава, че не ми трябва (едва наскоро разбрах, че ако не разбирам нещо в училище, вината не е моя, а по вина на учителите, учебниците и образователни системи като цяло).

Този подход ми осигури много свободно време, което в детството толкова липсваше за всякакви игри и забавления. В същото време участвах в различни олимпиади по физика и химия и дори спечелих едно регионално състезание по математика. Но времето минаваше, броят на дисциплините, работещи с абстрактни понятия, само се увеличаваше и съответно оценките ми намаляваха. През първата година на института броят на дисциплините, работещи с абстрактни понятия, беше абсолютно мнозинство и, разбира се, бях пълен C студент. Но след това, когато по ред причини трябваше да се справям със здравината на материалите без помощта на лекции и записки и донякъде го разбрах, нещата минаха гладко и завършиха с диплома за отличие. Сега обаче не става въпрос за това, а за това, че поради посочената специфика, моите понятия и дефиниции могат съществено да се различават от преподаваните в училище.

Сега да продължим

Най-простите уравнения, аналогия с везни

Всъщност децата са научени да сравняват различни обекти още от предучилищна възрасткогато все още не знаят как да говорят. Обикновено започват с геометрични сравнения. Например, на едно дете се показват две кубчета и то трябва да определи кое кубче е по-голямо и кое е по-малко. И ако са еднакви, тогава това е равенство по размер. След това задачата се усложнява, на детето се показват предмети различни форми, различни цветове и изборът на едни и същи артикули става все по-труден за детето. Ние обаче няма да усложняваме задачата толкова много, а ще се спрем само на един вид равенство - парично-тегловното.

Когато везните са на едно и също хоризонтално ниво (стрелките на везните, показани на фигура 500.1 в оранжево и син, съвпадат, хоризонталното ниво е показано с черна удебелена линия), това означава, че в дясната част на везната има същото тегло като в лявата част. В най-простия случай това могат да бъдат тежести с тегло 1 кг:

Фигура 500.1.

И тогава получаваме най-простото уравнение 1 = 1. Това уравнение обаче е само за мен, в математиката такива изрази се наричат ​​равенство, но същността не се променя. Ако махнем тежестта от лявата част на везната и сложим върху нея каквото и да било, дори ябълки, дори пирони, дори червен хайвер, и в същото време везните са на същото хоризонтално ниво, то това пак ще означава, че 1 кг. от който и да е от посочените продукти се равнява на 1 кг тегло, останало от дясната страна на везната. Остава само да заплатите този килограм според цената, определена от продавача. Друго е, че цената може да не ви хареса или да се съмнявате в точността на кантара - но това са въпроси от икономически и правни отношения, които нямат пряко отношение към математиката.

Разбира се, в онези далечни времена, когато се появиха везните за чаши, всичко беше много по-просто. Първо, нямаше такава мярка за тегло като килограм, но имаше парични единици, съответстващи на мерки за тегло, например таланти, шекели, лири, гривни и т.н. (между другото, отдавна се учудвам, че има паунд - парична единица и паунд - мярка за тегло, има гривна - парична единица, а някога гривната беше мярка за тегло и едва наскоро, когато научих, че талантът не е само паричната единица на древните евреи, споменати в Старият завет, но и мярката за тегло, приета в древен Вавилон, всичко си дойде на мястото).

По-точно, отначало имаше мерки за тежести, обикновено зърна житни култури, и едва тогава се появиха пари, които съответстваха на тези мерки на везните. Например 60 зърна съответстват на един шекел, 60 шекела съответстват на една мина и 60 минути съответстват на един талант. Затова първоначално се използваха везни, за да се провери дали предлаганите пари са фалшиви, а едва след това се появиха тежести като еквивалент на пари, теглилки и изчисления, електронни везни и пластмасови карти, но това не променя същността на въпроса.

В онези далечни времена продавачът не трябваше да обяснява дълго и подробно колко ще струва даден продукт. Достатъчно беше да поставите продавания продукт на един тиган на везната, а купувачът да сложи пари на втория - това е много просто и ясно и дори не се изисква познаване на местния диалект, можете да търгувате навсякъде по света. Но да се върнем на уравненията.

Ако разгледаме уравнение (500.1) от позицията на везните, това означава, че в лявата част на везните има неизвестен брой килограми и още 2 килограма, а в дясната част има 8 килограма:

x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)

Забележка: IN в такъв случайДолната линия символизира долната част на скалата; когато се изчислява на хартия, тази линия може да прилича повече на долната част на скалата. Освен това математиците отдавна са измислили специални символи - скоби, така че всякакви скоби могат да се разглеждат като страни на везните, поне на първия етап от разбирането на значението на уравненията. Въпреки това ще оставя долната черта за по-голяма яснота.

И така, какво трябва да направим, за да разберем неизвестния брой килограми? вярно! Махнете 2 килограма от лявата и дясната страна на везните, тогава везните ще останат на същото хоризонтално ниво, т.е. пак ще имаме равенство:

x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)

Съотв

x = 8 кг - 2 кг, (500.3.2)

x, = 6 кг, (500.4.2)

Фигура 500.2.

Често математиката работи не с килограми, а с някакви абстрактни безразмерни единици и след това записването на решението на уравнение (500.1), например в чернова, ще изглежда така:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

х = 8 - 2 , (500.3)

х = 6 (500.4)

Което е отразено на фигура 500.2.

Забележка: Формално, за още по-добро разбиране, уравнение (500.2) трябва да бъде последвано от друго уравнение във формата: x + 2 - 2, = 8 - 2,което означава, че действието е приключило и отново имаме работа с равновесни купи с тегло. Според мен обаче няма нужда от такъв напълно пълен запис на решението.

В чистите книги обикновено се използва съкратена нотация на решението на уравнението и не само символите на скалите, които според мен са толкова необходими в началния етап на изучаване на уравнения, са съкратени, но дори и цели уравнения. И така, съкратена версия на решението на уравнение (500.1) в чиста версия, според примерите, дадени в учебниците, ще изглежда така:

х + 2 = 8 (500.1.1)

х = 8 - 2 (500.3.1)

х = 6 (500.4)

В резултат на това, използвайки аналогията със скалите, ние съставихме допълнително уравнение (500.2) в сравнение с предложеното в учебниците, или чрез метода на решение, или чрез формата на записване на това решение. Според мен това е уравнение, при това написано приблизително в този вид, т.е. със символно обозначение на скалите - това е липсващото звено, важно за разбиране смисъла на уравненията.

Тези. Когато решаваме уравнения, никъде не прехвърляме нищо с обратен знак, а извършваме едни и същи математически операции с лявата и дясната страна на уравнението.

Просто сега е обичайно да записвате решението на уравненията в съкратената форма, дадена по-горе. Уравнение (500.1.1) е непосредствено последвано от уравнение (500.3.1), оттук и правилото за обратните знаци, което обаче е по-лесно за мнозина да запомнят, отколкото да се ровят в значението на уравненията.

Забележка: Нямам нищо против съкратената форма на запис, още повече. напредналите потребители могат да съкратят тази форма още повече, но това трябва да стане само след като общото значение на уравненията вече е ясно разбрано.

И разширената нотация ви позволява да разберете основните правила за решаване на уравнения:

1. Ако извършим същите математически действия с левия и правилната странауравнения, тогава равенството остава.

2. Няма значение коя част от разглежданото уравнение е лява и коя дясна, можем свободно да ги разменяме.

Тези математически операции могат да бъдат всякакви. Можем да извадим едно и също число от лявата страна и от дясната страна, както е показано по-горе. Можем да добавим едно и също число към лявата и дясната страна на уравнението, например:

х - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

х = 8 + 2 , (500.5.3)

х = 10 (500.5.4)

Можем да разделим или умножим двете страни по едно и също число, например:

3х, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

х = 12 : 3 , (500.6.3)

х = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

х = 6 (500.7.5)

Можем да интегрираме или диференцираме и двете части. Можем да правим каквото си поискаме с лявата и дясната част, но ако тези действия са еднакви за лявата и дясната част, тогава равенството ще остане (скалите ще останат на същото хоризонтално ниво).

Разбира се, трябва да изберете действия, които ще ви позволят да определите неизвестното количество възможно най-бързо и просто.

От тази гледна точка класическият метод на обратно действие изглежда по-прост, но какво ще стане, ако детето все още не е изучавало отрицателни числа? Междувременно съставеното уравнение има следната форма:

5 - х = 3 (500.8)

Тези. При решаването на това уравнение по класическия метод едно от възможните решения, което дава най-кратката нотация, е следното:

- х = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

х = 2 (500.8.4)

И най-важното, как можете да обясните на дете защо уравнение (500.8.3) е идентично с уравнение (500.8.4)?

Това означава, че в този случай дори при използване класически методняма смисъл да пестите от писане и първо трябва да се отървете от неизвестната стойност от лявата страна, която има отрицателен знак.

5 - х = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

х = 5 - 3 (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

Пълният запис ще изглежда така:

5 - х, = 3, (500.8)

5 - х, + х = 3, + х (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

Ще го добавя отново. Пълният запис на решението е необходим не за учителите, а за по-доброто разбиране на метода за решаване на уравнения. И когато разменим лявата и дясната страна на уравнението, все едно променяме изгледа на скалата от гледната точка на купувача към гледната точка на продавача, но равенството остава същото.

За съжаление, така и не успях да накарам дъщеря си да напише напълно решението, дори и в чернови. Тя има железен аргумент: „не са ни учили така“. Междувременно сложността на съставяните уравнения се увеличава, процентът на отгатване какво действие трябва да се извърши, за да се определи неизвестното количество, намалява и оценките падат. Не знам какво да правя с това...

Забележка: в съвременната математика е прието да се прави разлика между равенства и уравнения, т.е. 1 = 1 е просто числово равенство и ако в една от частите на равенството има неизвестно, което трябва да се намери, то това вече е уравнение. За мен такова разграничаване на значенията няма особен смисъл, а само усложнява възприемането на материала. Вярвам, че всяко равенство може да се нарече уравнение и всяко уравнение се основава на равенството. И освен това възниква въпросът: х = 6, това вече равенство ли е или все още е уравнение?

Най-простите уравнения, аналогия с времето

Разбира се, аналогията с везните при решаване на уравнения далеч не е единствената. Например решаването на уравнения може да се разглежда и от гледна точка на времето. Тогава условието, описано от уравнение (500.1), ще звучи така:

След като сме добавили към неизвестно количество хОще 2 единици, сега имаме 8 единици (в момента). Но по една или друга причина не се интересуваме колко са, а колко са били в минало време. Съответно, за да разберем колко от същите тези единици сме имали, трябва да извършим обратното действие, т.е. извадете 2 от 8 (Уравнение 500.3). Този подход напълно отговаря на представеното в учебниците, но според мен не е толкова ясен, колкото аналогията с везните. Мненията по този въпрос обаче могат да се различават.

Пример за решаване на уравнение със скоби

Написах тази статия през лятото, когато дъщеря ми завърши 4-ти клас, но по-малко от шест месеца по-късно в училище я помолиха да реши уравнения от следния вид:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

Никой в ​​класа не успя да реши това уравнение и въпреки това няма нищо сложно в решаването му, когато се използва методът, който предложих, но пълната форма на нотацията ще заема твърде много място:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Въпреки това, на този етап в такива пълна форманяма нужда от запис. Тъй като стигнахме до двойните скоби, не е необходимо да създаваме отделно уравнение за математически операции от лявата и дясната страна, така че писането на решението в чернова може да изглежда така:

97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

Общо на този етап беше необходимо да се напишат 14 уравнения, за да се реши първоначалното.

В този случай записването на решението на уравнението в чисто копие може да изглежда така:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

х = 25:5 (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Тези. със съкратената форма на запис, все още трябва да създадем 12 уравнения. Спестяванията при запис са минимални, но петокласник може да има проблеми с разбирането на необходимите действия.

P.S.Едва когато стана дума за двойни скоби, дъщеря ми се заинтересува от метода, който предложих за решаване на уравнения, но в същото време в писмената й форма, дори в черновата, все още има 2 пъти по-малко уравнения, защото тя пропуска финала уравнения като (500.10.4), (500.10.7) и други подобни и при запис веднага оставя място за следващия математическа операция. В резултат записът в нейната чернова изглеждаше така:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

В резултат на това получихме само 8 уравнения, което е дори по-малко от необходимото за съкратеното решение. По принцип нямам нищо против, но би било полезно.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа за решаването на най-простите уравнения, съдържащи едно неизвестно количество. За да решите уравнения, съдържащи две неизвестни величини, ще ви трябва

След като сте получили обща представа за равенствата и сте се запознали с един от техните видове - числови равенства, можете да започнете да говорите за друг тип равенства, който е много важен от практическа гледна точка - уравнения. В тази статия ще разгледаме какво е уравнениеи това, което се нарича корен на уравнението. Тук ще дадем съответните определения, както и ще предоставим различни примери за уравнения и техните корени.

Навигация в страницата.

Какво е уравнение?

Целенасоченото запознаване с уравненията обикновено започва в часовете по математика във 2. клас. По това време се дава следното дефиниция на уравнение:

Определение.

Уравнениетое равенство, съдържащо неизвестно число, което трябва да се намери.

Неизвестните числа в уравненията обикновено се обозначават с малки числа. латински букви, например p, t, u и т.н., но най-често използваните букви са x, y и z.

Така уравнението се определя от гледна точка на формата на писане. С други думи, равенството е уравнение, когато се подчинява на определени правила за писане - съдържа буква, чиято стойност трябва да се намери.

Нека дадем примери за първите и най-много прости уравнения. Нека започнем с уравнения от вида x=8, y=3 и т.н. Уравненията, които съдържат знаци заедно с цифри и букви, изглеждат малко по-сложни аритметични операции, например x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Разнообразието от уравнения нараства след запознаване - започват да се появяват уравнения със скоби, например 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3. Неизвестна буква в уравнение може да се появи няколко пъти, например x+3+3·x−2−x=9, също така буквите могат да бъдат от лявата страна на уравнението, от дясната му страна или от двете страни на уравнението, например x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .

По-нататък след изучаване естествени числанастъпва запознаване с цели, рационални, реални числа, изучават се нови математически обекти: степени, корени, логаритми и т.н., докато се появяват все повече и повече нови видове уравнения, съдържащи тези неща. Примери за тях можете да видите в статията основни типове уравненияуча в училище.

В 7 клас, наред с буквите, които означават някои конкретни числа, те започват да разглеждат букви, които могат да приемат различни стойности; те се наричат ​​​​променливи (виж статията). В същото време в дефиницията на уравнението се въвежда думата „променлива“ и тя става така:

Определение.

Уравнениенаречено равенство, съдържащо променлива, чиято стойност трябва да се намери.

Например уравнението x+3=6·x+7 е уравнение с променливата x, а 3·z−1+z=0 е уравнение с променливата z.

По време на уроците по алгебра в същия 7 клас се сблъскваме с уравнения, съдържащи не една, а две различни неизвестни променливи. Те се наричат ​​уравнения с две променливи. В бъдеще се допуска наличието на три или повече променливи в уравненията.

Определение.

Уравнения с едно, две, три и т.н. променливи– това са уравнения, съдържащи в писмен вид съответно една, две, три, ... неизвестни променливи.

Например, уравнението 3.2 x+0.5=1 е уравнение с една променлива x, на свой ред уравнение от вида x−y=3 е уравнение с две променливи x и y. И още един пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ясно е, че такова уравнение е уравнение с три неизвестни променливи x, y и z.

Какъв е коренът на едно уравнение?

Дефиницията на уравнение е пряко свързана с дефиницията на корена на това уравнение. Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да разберем какъв е коренът на уравнението.

Да кажем, че имаме уравнение с една буква (променлива). Ако вместо буква, включена в записа на това уравнение, се замени определено число, тогава уравнението се превръща в числово равенство. Освен това полученото равенство може да бъде вярно или невярно. Например, ако замените числото 2 вместо буквата a в уравнението a+1=5, ще получите неправилното числово равенство 2+1=5. Ако заместим числото 4 вместо a в това уравнение, получаваме правилното равенство 4+1=5.

На практика в преобладаващата част от случаите интересът е към тези стойности на променливата, чието заместване в уравнението дава правилното равенство; тези стойности се наричат ​​корени или решения на това уравнение.

Определение.

Корен на уравнението- това е стойността на буквата (променливата), при заместването на която уравнението се превръща в правилно числово равенство.

Имайте предвид, че коренът на уравнение в една променлива също се нарича решение на уравнението. С други думи, решението на уравнение и коренът на уравнението са едно и също нещо.

Нека обясним това определение с пример. За да направим това, нека се върнем към уравнението, написано по-горе a+1=5. Според дадената дефиниция на корена на уравнението, числото 4 е коренът на това уравнение, тъй като при заместването на това число вместо буквата а получаваме правилното равенство 4+1=5, а числото 2 не е негово корен, тъй като съответства на неправилно равенство от вида 2+1= 5 .

В този момент възникват редица естествени въпроси: „Има ли едно уравнение корен и колко корена има дадено уравнение?“ Ние ще им отговорим.

Има както уравнения, които имат корени, така и уравнения, които нямат корени. Например уравнението x+1=5 има корен 4, но уравнението 0 x=5 няма корени, тъй като без значение какво число заместваме в това уравнение вместо променливата x, ще получим неправилното равенство 0=5 .

Що се отнася до броя на корените на едно уравнение, има както уравнения, които имат определен краен брой корени (един, два, три и т.н.), така и уравнения, които имат безкраен брой корени. Например уравнението x−2=4 има един корен 6, корените на уравнението x 2 =9 са две числа −3 и 3, уравнението x·(x−1)·(x−2)=0 има три корена 0, 1 и 2, а решението на уравнението x=x е произволно число, тоест има безкраен брой корени.

Трябва да се кажат няколко думи за приетата нотация за корените на уравнението. Ако уравнението няма корени, тогава те обикновено пишат „уравнението няма корени“ или използват знака за празно множество ∅. Ако уравнението има корени, тогава те се пишат разделени със запетаи или се записват като елементи от комплектавъв къдрави скоби. Например, ако корените на уравнението са числата −1, 2 и 4, тогава напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4). Също така е допустимо да се запишат корените на уравнението под формата на прости равенства. Например, ако уравнението включва буквата x и корените на това уравнение са числата 3 и 5, тогава можете да напишете x=3, x=5 и често се добавят индекси x 1 =3, x 2 =5 към променливата, сякаш указва корените на числата на уравнението. Във формата обикновено се записва безкраен набор от корени на уравнение; ако е възможно, се използва и нотацията за набори от естествени числа N, цели Z и реални числа R. Например, ако коренът на уравнение с променлива x е цяло число, тогава напишете , а ако корените на уравнение с променлива y са произволно реално число от 1 до 9 включително, тогава напишете .

За уравнения с две, три или повече променливи по правило не се използва терминът „корен на уравнението“, в тези случаи се казва „решение на уравнението“. Какво се нарича решаване на уравнения с няколко променливи? Нека дадем съответното определение.

Определение.

Решаване на уравнение с две, три и т.н. променливинаречен чифт, тройка и т.н. стойности на променливите, превръщайки това уравнение в правилно числено равенство.

Нека покажем обяснителни примери. Да разгледаме уравнение с две променливи x+y=7. Нека заместим числото 1 вместо x и числото 2 вместо y и имаме равенството 1+2=7. Очевидно е неправилно, следователно двойката стойности x=1, y=2 не е решение на писменото уравнение. Ако вземем двойка стойности x=4, y=3, тогава след заместване в уравнението ще стигнем до правилното равенство 4+3=7, следователно тази двойка променливи стойности по дефиниция е решение към уравнението x+y=7.

Уравнения с няколко променливи, като уравнения с една променлива, може да нямат корени, могат да имат краен брой корени или могат да имат безкраен брой корени.

Двойки, тройки, четворки и др. Стойностите на променливите често се изписват накратко, като се изброяват техните стойности, разделени със запетаи в скоби. В този случай написаните числа в скоби съответстват на променливите по азбучен ред. Нека изясним тази точка, като се върнем към предишното уравнение x+y=7. Решението на това уравнение x=4, y=3 може да се запише накратко като (4, 3).

Най-голямо внимание в училищния курс по математика, алгебра и началото на анализа се отделя на намирането на корените на уравнения с една променлива. Ще обсъдим правилата на този процес много подробно в статията. решаване на уравнения.

Библиография.

• Математика. 2 класа Учебник за общо образование институции с прил. на електрон носител. В 14 ч. Част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Училище на Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Какво е уравнението

• Какво означава да решиш уравнение

• Основни правила за решаване на уравнения.

• Класификация на уравненията.

• Уравнението е равенство, в което неизвестното е представено с буква. Стойността на буквата, при която се получава правилно числено равенство от уравнението, се нарича корен на уравнението.

Решете уравнението

• Решете уравнението - означава да намерите всичките му корени (или да се уверите, че уравнението няма нито един корен).

• За да намерите неизвестния член, трябва да извадите известния член от сумата (ако a + x = b, тогава x = b – a)

• 7 + x = 23

• x = 23 – 7

• х = 16

• За да намерите неизвестното умалявано, трябва да съберете изваждаемото и разликата.

• (ако x – a = d, тогава x = a + d)

• х-8 =5

• х = 8+5

• х=13

• За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното

• (ако a - x = b, тогава x = a-b)

• 9 =1,3

• х = 9-1,3

• х = 7,7

• За да намерите неизвестен множител, трябва да разделите продукта на известния множител

• (ако ax = b, тогава x = b: a)

• 0,2x = 6

• х = 6: 0,2

• х=30

• За да намерите неизвестния дивидент, трябва да умножите частното по делителя (ако x: a = b, тогава x = ab)

• х: 0,3 = 4

• х = 4 * 0,3

• х = 1,2

• За да намерите неизвестен делител, трябва да разделите дивидента на частното

• (ако a: x = b, тогава x = a: b)

• 0,8:x=-5

• x=0,8(-5)

• х=-0,16

• Корените на уравнението не се променят, ако някой член се премести от една част на уравнението в друга, променяйки знака си.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• х = -3

• Корените на едно уравнение не се променят, ако двете страни се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула.

Решението на уравнението е x =

• Решението на уравнението е x =

• Уравнение (където a 0, a е еквивалентно на уравнението f (x) = g (x)

• Използвайки заместване, уравнение от вида се редуцира до квадратно уравнение

• Уравнение, съдържащо променлива под знака на логаритъм, се нарича логаритмично.

• Решаване на логаритмично уравнение от вида

• се основава на факта, че такова уравнение е еквивалентно на уравнението f(x)=g(x) при допълнителни условия f(x)

• Според дефиницията на логаритъм,

• Линейно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида Това уравнение винаги има уникално решение:

• Квадратно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида

• Дискриминантът на квадратно уравнение е числото

• Ако D > 0, тогава уравнението няма решения

• Ако D=0, тогава уравнението има уникално решение:

• Ако D > 0, тогава уравнението има две решения:

• Непълно квадратно уравнение е уравнение, в което поне един от коефициентите е нула. При C=0 уравнението приема формата

• Намалено квадратно уравнение е уравнение от формата, т.е. квадратно уравнение, в което първият коефициент е равен на единица.

• Определете знаците на корените на уравнението

ТЕОРЕМА НА ВИЕТ

• Ако даденото квадратно уравнение има реални корени, то тяхната сума е равна на втория коефициент, взет със знак минус, т.е. –р, а произведението им е свободният член q.

• Уравнение от формата се нарича биквадратно.

• Такова уравнение се решава чрез метода на промяната на променливата. Да го обозначим тогава. Първоначалното уравнение ще приеме формата, т.е. това е обикновено квадратно уравнение.

• Симетрично уравнение от трета степен е уравнение от формата Забележете, че

• тези. решението на това уравнение е еквивалентно на множеството

• Симетрично уравнение от четвърта степен е всяко от следните две уравнения:

• За да решим първото уравнение, въвеждаме нова променлива, а за да решим второто -

• променлива Имаме: т.е. се получават обикновени квадратни уравнения.

• Модулът на число x е самото число, ако е неотрицателно, или числото –x, ако числото x е отрицателно. Обозначаване:

• Официалната нотация за това определение е:

• Решете уравнението:

Формула за корените на уравнението

• Формула за корените на уравнението

• sin x=a () има формата

• cos x=a

• тен x=a

• ctg x=a

• Тригонометричните уравнения могат да бъдат решени с помощта на метода на промяна на променливата

• Тригонометрично уравнение на формата

• всички членове, които имат еднаква степен по отношение на синус и косинус, се наричат

• хомогенен. Едно хомогенно уравнение може лесно да се сведе до относително уравнение, ако всички негови членове се разделят на. Освен това, ако, тогава такова разделение няма да доведе до загуба на решения, тъй като стойността не удовлетворява уравнението. Ако е така, тогава се изважда от скоби.

• Уравнение от формата е еквивалентно на уравнение където

• Най-често използваният метод е, че всички членове на уравнението от дясната страна се прехвърлят в лявата страна; след което лявата

• част от уравнението е разложена на множители, като се използват формули за разлагане на тригонометрични функции в произведение, формули за намаляване на степента и формули за превръщане на произведение от тригонометрични функции в система.

Дробни рационални уравнения

• Рационалното алгебрично уравнение е уравнение от вида където и са полиноми.

• Изразът има смисъл само ако условието е изпълнено

• Това означава, че рационалното уравнение има решение при условието

Ирационални уравнения

• Уравнения, съдържащи един радикал от втора степен

• Повдигане на двете страни на уравнението на степен.

• Когато двете страни на уравнението се повдигнат на четна степен, резултатът е уравнение, което не е еквивалентно на оригиналното. Директната проверка на получените корени в оригиналното уравнение помага да се отървете от външните корени, т.е. корените се заместват последователно в първоначалното уравнение и се проверява дали численото равенство е правилно.

• Произведението (частното) на два израза е равно на нула.

• Произведението на два израза е равно на нула, ако поне един от изразите е равен на нула, а другият има смисъл. Формално се пише така:

• Формална нотация за частното на два израза, равно на нула:

• Уравнения, съдържащи два (три) знака на радикал от втора степен

• Поставяне на квадрат на двете страни на уравнението.

Първо, уравнението трябва да се трансформира така, че радикалите да са в едната част, а останалите членове на оригиналното уравнение да са в другата. Това се прави, ако в уравнението има два радикала. Ако има три от тях, тогава две от тях се оставят в едната част на уравнението, а третата се прехвърля в другата. След това двете страни на уравнението се повдигат на квадрат и се извършват необходимите трансформации. След това всички членове на уравнението, които не съдържат радикали, отново се прехвърлят към едната страна на уравнението, а останалият радикал (сега има само един!) към другата. Полученото уравнение се повдига отново на квадрат и резултатът е уравнение, което не съдържа радикали.

Уравнения, съдържащи радикали от трета и по-горни степени.

• Когато решавате уравнения, съдържащи радикали от трета степен, може да бъде полезно да използвате следните идентичности:

• Решете уравнението:

• Решение: Нека повдигнем двете страни на това уравнение на трета степен и използваме горната идентичност:

• Обърнете внимание, че изразът в скобите е равен на 1, което следва от оригиналното уравнение. Като вземем това предвид и приведем подобни условия, получаваме:

• Нека отворим скобите, добавим подобни членове и решим квадратното уравнение. Корените му са x=5 и x=-25/2. Ако приемем (по дефиниция), че нечетните корени могат да бъдат извлечени и от отрицателни числа, тогава и двете получени числа са решения на оригиналното уравнение.

• Отговор: 5.-25/2

На какви стойности А

• На какви стойности Аима ли уравнението два корена, единият от които е по-голям от 1, а другият е по-малък?

• Решение: Разгледайте функцията:

• и изградете скица на неговата графика. При а=0функцията става линейна и има две пресечни точки с оста О (корени на уравнението y=0) ине мога да го понасям.

• При а>0Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Необходимо и достатъчно условие за съществуването на корени, така че и в този случай е единственото условие:

• Ако и съответно състоянието (фиг.)

• Така че решението на проблема е формално дадено от множеството:

• Отговор:

• Система от уравнения се състои от две или повече алгебрични уравнения.

• Системно решениее набор от променливи стойности, които при заместване превръщат всяко уравнение на системата в числова или буквална идентичност.

• Решете системата -означава намиране на всички негови решения или доказване, че няма такива.

Графично решение на системи

• Графичен начин за решаване на системи от уравнения е както следва:

• Построени са графики на всяко уравнение на системата;

• Определят се пресечните точки на графиките;

• Отговорът се записва: координатите на пресечните точки на построените графики.

• Графичният метод за решаване на системи от уравнения в повечето случаи не дава точно решение на системата, но може да бъде полезен за визуално илюстриране на разсъжденията.

Решение:

• Решение:Графиките на първото и третото уравнения са прави; Графиката на второто уравнение е кубична парабола (фиг.). От трите пресечни точки само една е обща за всички графики на уравненията на системата.

• Отговор:(0;0)

Еквивалентност на уравненията

• Уравненията се наричат ​​еквивалентни (еквивалентни), ако всички корени на първото уравнение са корени на второто уравнение, а всички корени на второто уравнение са корени на първото.

• Еквивалентните трансформации на уравнение са трансформации, водещи до еквивалентно уравнение:

• 1) Добавяне на произволно число към двете страни на уравнението едновременно (по-специално прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака)

• 2) Умножаване (и деление) на двете страни на уравнението едновременно с всяко число, различно от нула.

• Също така, за уравнения в областта на реалните числа:

• 3) Чрез повдигане на двете страни на уравнението на произволна нечетна степен

• 4) Повдигане на двете страни на уравнението, при условие че са неотрицателни, на всяка четна естествена степен

Ю.Н.Макаричев – „Алгебра. Допълнителни глави към училищния учебник. 8 клас." 2003 г

Ю.Н.Макаричев – „Алгебра. Допълнителни глави към училищния учебник. 9 клас." 2003 г

Презентацията е изготвена от:

• Шманова Виктория

• Деева Александра

• 11 клас

• Общинско учебно заведение "СОУ №1"

• Шумиха

• 2007 г

• Подробна информация на телефон 83524521413

• Специални благодарности на учителите от СОУ №1:

• Терегулова Ирина Викторовна

• Шманов Анатолий Иванович

В училищен курс по математика едно дете чува термина „уравнение“ за първи път. Какво е това, нека се опитаме да го разберем заедно. В тази статия ще разгледаме видовете и методите за решение.

Математика. Уравнения

Като начало предлагаме да разберете самата концепция, какво е това? Както се казва в много учебници по математика, уравнението е няколко израза, между които трябва да има знак за равенство. Тези изрази съдържат букви, така наречените променливи, чиято стойност трябва да се намери.

Това е системен атрибут, който променя стойността си. Добър пример за променливи са:

• температура на въздуха;
• ръст на детето;
• тегло и така нататък.

В математиката се означават с букви, например x, a, b, c... Обикновено една математическа задача изглежда така: намерете стойността на уравнението. Това означава, че е необходимо да се намери стойността на тези променливи.

Разновидности

Уравнението (обсъдихме какво е то в предишния параграф) може да бъде в следната форма:

• линеен;
• квадрат;
• кубичен;
• алгебрични;
• трансцендентален.

За по-подробно запознаване с всички видове ще разгледаме всеки поотделно.

Линейно уравнение

Това е първият вид, с който се запознават учениците. Те се решават доста бързо и просто. И така, какво е линейно уравнение? Това е израз на формата: ah=c. Не е особено ясно, така че нека дадем няколко примера: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Нека да разгледаме примери за уравнения. За да направим това, трябва да съберем всички известни данни от едната страна и неизвестните от другата: x=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Тук са използвани елементарните правила на математиката: a*c=e, от това c=e/a; a=e/c. За да завършим решението на уравнението, извършваме едно действие (в нашия случай деление) x = 13; х=8; х=5. Това бяха примери за умножение, сега нека да разгледаме изваждането и събирането: x+3=9; 10x-5=15. Прехвърляме известните данни в една посока: x=9-3; х=20/10. Изпълнете последното действие: x=6; х=2.

Възможни са и варианти линейни уравнения, където се използва повече от една променлива: 2x-2y=4. За да решим, е необходимо да добавим 2y към всяка част, получаваме 2x-2y + 2y = 4-2y, както забелязахме, от лява страназнаците за равенство -2y и +2y се отменят, оставяйки ни с: 2x=4-2y. Последната стъпка е да разделим всяка част на две, получаваме отговора: х е равно на две минус у.

Задачи с уравнения има дори в папирусите на Ахмес. Ето една задача: сборът на число и четвъртата му част дава 15. За да я решим, записваме следното уравнение: x плюс една четвърт x е равно на петнадесет. Виждаме друг пример, базиран на резултата от решението, получаваме отговора: x=12. Но този проблем може да бъде решен по друг начин, а именно египетския или, както се нарича по различен начин, метода на предположението. Папирусът използва следното решение: вземете четири и една четвърт от него, тоест едно. Общо те дават пет, сега петнадесет трябва да се раздели на сумата, получаваме три, последната стъпка е да умножим три по четири. Получаваме отговора: 12. Защо делим петнадесет на пет в решението? Така че откриваме колко пъти по петнадесет, тоест резултатът, който трябва да получим, е по-малък от пет. Проблемите са били решавани по този начин през Средновековието; той стана известен като метод на фалшива позиция.

Квадратни уравнения

В допълнение към вече разгледаните примери има и други. Кои точно? Квадратно уравнение, какво е това? Те изглеждат като брадва 2 +bx+c=0. За да ги разрешите, трябва да се запознаете с някои понятия и правила.

Първо, трябва да намерите дискриминанта по формулата: b 2 -4ac. Има три възможни изхода от решението:

• дискриминантът е по-голям от нула;
• по-малко от нула;
• равно на нула.

В първия вариант можем да получим отговора от два корена, които се намират по формулата: -b+-корен от дискриминанта, разделен на удвоения първи коефициент, тоест 2a.

Във втория случай уравнението няма корени. В третия случай коренът се намира по формулата: -b/2a.

Нека да разгледаме пример на квадратно уравнение за по-подробно въведение: три х на квадрат минус четиринадесет х минус пет е равно на нула. Като начало, както беше написано по-рано, търсим дискриминант, в нашия случай той е равен на 256. Имайте предвид, че полученото число е по-голямо от нула, следователно трябва да получим отговор, състоящ се от два корена. Заместваме получения дискриминант във формулата за намиране на корени. В резултат имаме: х е равно на пет и минус една трета.

Специални случаи в квадратните уравнения

Това са примери, в които някои стойности са нула (a, b или c) и евентуално повече от една.

Например, нека вземем следното уравнение, което е квадратно: две x на квадрат е равно на нула, тук виждаме, че b и c са равни на нула. Нека се опитаме да го решим, за да направим това, разделяме двете страни на уравнението на две, имаме: x 2 =0. В резултат на това получаваме x=0.

Друг случай е 16x 2 -9=0. Тук само b=0. Нека решим уравнението, прехвърлим безплатния коефициент в дясната страна: 16x 2 = 9, сега разделяме всяка част на шестнадесет: x 2 = девет шестнадесети. Тъй като имаме х на квадрат, коренът от 9/16 може да бъде или отрицателен, или положителен. Записваме отговора, както следва: x е равно на плюс/минус три четвърти.

Друг възможен отговор е, че уравнението изобщо няма корени. Нека да разгледаме този пример: 5x 2 +80=0, тук b=0. За да решите, хвърлете безплатния член в правилната страна, след тези действия получаваме: 5x 2 = -80, сега разделяме всяка част на пет: x 2 = минус шестнадесет. Ако повдигнем произволно число на квадрат, няма да получим отрицателна стойност. Следователно нашият отговор е: уравнението няма корени.

Триномно разширение

Задача за квадратни уравнения може да звучи и така: разгънете квадратен тричленчрез множители. Това може да стане с помощта на следната формула: a(x-x 1)(x-x 2). За да направите това, както и в другия вариант на задачата, е необходимо да намерите дискриминант.

Помислете за следния пример: 3x 2 -14x-5, множете тричлена. Намираме дискриминанта, използвайки формула, която вече ни е известна, тя се оказва равна на 256. Веднага отбелязваме, че 256 е по-голямо от нула, следователно уравнението ще има два корена. Намираме ги, както в предишния параграф, имаме: x = пет и минус една трета. Нека използваме формулата за разлагане на тричлена на множители: 3(x-5)(x+1/3). Във втората скоба получихме знак за равенство, тъй като формулата съдържа знак минус, а коренът също е отрицателен, използвайки основни познания по математика, в сумата имаме знак плюс. За да опростим, нека умножим първия и третия член на уравнението, за да се отървем от дробта: (x-5)(x+1).

Уравнения, свеждащи се до квадратни

В този раздел ще научим как да решаваме по-сложни уравнения. Нека започнем веднага с пример:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем да забележим повтарящи се елементи: (x 2 - 2x), за да го решим, е удобно да го заменим с друга променлива и след това решавайте незабавно обичайното квадратно уравнение Отбелязваме, че в такава задача ще получим четири корена, това не трябва да ви плаши. Означаваме повторението на променливата a. Получаваме: a 2 -2a-3=0. Нашите Следваща стъпкае намирането на дискриминанта на ново уравнение. Получаваме 16, намираме два корена: минус едно и три. Спомняме си, че направихме замяната, заместваме тези стойности, като резултат имаме уравненията: x 2 - 2x=-1; х 2 - 2х=3. Решаваме ги в първия отговор: x е равно на едно, във втория: x е равно на минус едно и три. Пишем отговора по следния начин: плюс/минус едно и три. По правило отговорът се записва във възходящ ред.

Кубични уравнения

Нека да разгледаме още един възможен вариант. Това е заотносно кубичните уравнения. Те изглеждат така: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Ще разгледаме примери за уравнения по-долу, но първо малко теория. Те могат да имат три корена и има и формула за намиране на дискриминанта за кубично уравнение.

Нека да разгледаме пример: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Как да го решим? За да направим това, просто поставяме x извън скоби: x(3x 2 +4x+2)=0. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим корените на уравнението в скоби. Дискриминантът на квадратното уравнение в скоби е по-малък от нула, въз основа на това изразът има корен: x=0.

Алгебра. Уравнения

Да преминем към следващия изглед. Сега ще разгледаме накратко алгебрични уравнения. Една от задачите е следната: фактор 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Най-удобният начин би бил следното групиране: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Обърнете внимание, че представихме 8x 2 от първия израз като сбор от 3x 2 и 5x 2. Сега изваждаме от всяка скоба общия множител 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Виждаме, че имаме общ множител: x на квадрат плюс едно, изваждаме го от скоби: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). По-нататъшно разширение не е възможно, тъй като и двете уравнения имат отрицателен дискриминант.

Трансцендентни уравнения

Предлагаме ви да се справите със следния тип. Това са уравнения, които съдържат трансцендентални функции, а именно логаритмични, тригонометрични или експоненциални. Примери: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 и така нататък. Как се решават ще научите в курса по тригонометрия.

функция

Последната стъпка е да разгледаме концепцията за уравнение на функция. За разлика от предишните опции, този тип не се решава, но се изгражда графика въз основа на него. За да направите това, струва си да анализирате добре уравнението, да намерите всички необходими точки за изграждане и да изчислите минималните и максималните точки.