У дома Зъбобол Решете матрицата с помощта на метода на Крамер. Метод на Cramer: решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (slau)

Зъбобол

Решете матрицата с помощта на метода на Крамер. Метод на Cramer: решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (slau)

Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.

Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамър може да се използва в решението, но ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.

Определение. Детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни, се нарича детерминанта на системата и се обозначава (делта).

Детерминанти

се получават чрез заместване на коефициентите на съответните неизвестни със свободни членове:

;

Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.

Пример 1.Решете система от линейни уравнения:

Според Теорема на Крамърние имаме:

И така, решението на система (2):

онлайн калкулатор, решителен методКрамер.

Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и несигурна)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(системата е непоследователна)

Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи несъвместими, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека се даде системата

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

Където
-

системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:

Пример 2.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

Най-горе на страницата

Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Cramer

Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите на неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.

Пример 6.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, ние изчисляваме детерминанти за неизвестни

Детерминантите на неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.

При задачи, включващи системи от линейни уравнения, има и такива, в които освен букви, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви представляват число, най-често реално. На практика такива уравнения и системи от уравнения се дължат на проблеми за търсене на общи свойства на всякакви явления или обекти. Тоест измислили ли сте някакви нов материалили устройство и за да опишете неговите свойства, които са общи, независимо от размера или броя на екземпляра, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.

Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи определено реално число, се увеличава.

Пример 8.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Намиране на детерминанти за неизвестни

Методът на Cramer се използва за решаване на линейни системи алгебрични уравнения(SLAE), в който броят на неизвестните променливи е равен на броя на уравненията и детерминантата на основната матрица е различна от нула. В тази статия ще анализираме как се намират неизвестни променливи с помощта на метода на Крамър и ще получим формули. След това нека да преминем към примери и да опишем подробно решението на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Навигация в страницата.

Метод на Крамер - извеждане на формули.

Нека трябва да решим система от линейни уравнения от вида

Където x 1, x 2, …, x n са неизвестни променливи, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- числови коефициенти, b 1, b 2, ..., b n - свободни членове. Решение на SLAE е такъв набор от стойности x 1 , x 2 , …, x n, за които всички уравнения на системата стават идентичности.

В матрична форма тази система може да бъде записана като A ⋅ X = B, където - основната матрица на системата, нейните елементи са коефициентите на неизвестни променливи, - матрицата е колона от свободни условия и - матрицата е колона от неизвестни променливи. След намиране на неизвестните променливи x 1, x 2, …, x n, матрицата става решение на системата от уравнения и равенството A ⋅ X = B става тъждество.

Ще приемем, че матрица A е неособена, т.е. нейният детерминант е различен от нула. В този случай системата от линейни алгебрични уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. (Методите за решаване на системи за са обсъдени в раздела решаване на системи от линейни алгебрични уравнения).

Методът на Cramer се основава на две свойства на детерминанта на матрицата:

И така, нека започнем да намираме неизвестната променлива x 1. За да направим това, умножаваме двете части на първото уравнение на системата по A 1 1, двете части на второто уравнение по A 2 1 и така нататък, двете части на n-то уравнение по A n 1 (тоест ние умножете уравненията на системата по съответните алгебрични добавки на първата колона на матрицата A):

Нека съберем всички леви страни на уравнението на системата, групирайки членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n, и приравним тази сума към сумата от всички десни страни на уравненията:

Ако се обърнем към споменатите по-горе свойства на детерминантата, имаме

и предишното равенство приема формата

където

По същия начин намираме x 2. За да направим това, ние умножаваме двете страни на системните уравнения по алгебричните допълнения на втората колона на матрица A:

Събираме всички уравнения на системата, групираме членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n и прилагаме свойствата на детерминантата:

Където
.

Останалите неизвестни променливи се намират по подобен начин.

Ако обозначим

Тогава получаваме формули за намиране на неизвестни променливи по метода на Cramer .

Коментирайте.

Ако системата от линейни алгебрични уравнения е хомогенна, т.е , то има само тривиално решение (при ). Наистина, за нула безплатни термини, всички детерминанти ще бъдат равни на нула, тъй като ще съдържат колона от нулеви елементи. Следователно формулите ще даде .

Алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Нека го запишем алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Намерете решение на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим детерминантата му по формулата :

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, SLAE има уникално решение и то може да бъде намерено по метода на Cramer. Нека запишем детерминантите и . Заменяме първата колона от основната матрица на системата с колона от свободни членове и получаваме детерминантата . По същия начин заменяме втората колона на основната матрица с колоната със свободни термини и получаваме .

Ние изчисляваме тези детерминанти:

Намерете неизвестните променливи x 1 и x 2, като използвате формулите :

Да проверим. Нека заместим получените стойности x 1 и x 2 в оригиналната система от уравнения:

И двете уравнения на системата стават идентичности, следователно решението е намерено правилно.

Отговор:

Някои елементи от основната матрица на SLAE могат да бъдат равни на нула. В този случай съответните неизвестни променливи ще отсъстват от уравненията на системата. Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете решение на система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение.

Нека пренапишем системата във формата , така че основната матрица на системата да стане видима . Нека намерим неговия детерминант с помощта на формулата

Ние имаме

Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от линейни уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека изчислим детерминантите :

По този начин,

Отговор:

Означенията на неизвестни променливи в системните уравнения могат да се различават от x 1, x 2, ..., x n. Това не засяга процеса на вземане на решение. Но редът на неизвестните променливи в уравненията на системата е много важен при съставянето на основната матрица и необходимите детерминанти на метода на Крамер. Нека изясним тази точка с пример.

Пример.

Използвайки метода на Крамер, намерете решение на система от три линейни алгебрични уравнения с три неизвестни .

Решение.

В този пример неизвестните променливи имат различна нотация (x, y и z вместо x 1, x 2 и x 3). Това не влияе на решението, но внимавайте с променливите нотации. НЕ МОЖЕТЕ да го приемете като основна матрица на системата . Необходимо е първо да се подредят неизвестните променливи във всички уравнения на системата. За да направим това, пренаписваме системата от уравнения като . Сега основната матрица на системата е ясно видима . Нека изчислим неговата детерминанта:

Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека запишем детерминантите (обърнете внимание на нотацията) и ги изчислете:

Остава да намерим неизвестните променливи с помощта на формулите :

Да проверим. За да направите това, умножете основната матрица по полученото решение (ако е необходимо, вижте раздела):

В резултат на това получихме колона от свободни членове на оригиналната система от уравнения, така че решението беше намерено правилно.

Отговор:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер , където a и b са някои реални числа.

Решение.

Отговор:

Пример.

Намерете решението на системата от уравнения по метода на Крамър, - някакво реално число.

Решение.

Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата: . изразът е интервал, следователно за всякакви реални стойности. Следователно системата от уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. Ние изчисляваме и:

За да усвоите този параграф, трябва да можете да разкриете детерминантите „две по две“ и „три по три“. Ако не сте добре с квалификациите, моля, проучете урока Как да изчислим детерминантата?

Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? - След всичко най-простата системаможе да бъде решен училищен метод, по метода на добавяне на член по член!

Факт е, че макар и понякога, се случва такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни по формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Cramer за повече сложен случай– системи от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И

На практика горните квалификатори също могат да бъдат обозначени латиница.

Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични знацисъс запетая. Запетаята е доста рядък гост в практически задачив математиката взех тази система от иконометричен проблем.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Кога да използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Не би било излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лява странавсяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример за независимо решение(пример за довършване и отговор в края на урока).

Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне; трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят "три по три" не се различава по същество от случая "два по два"; колоната от свободни термини последователно "ходи" отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър.

, което означава, че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, поради факта, че решението следва готови формули. Но има няколко коментара.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за „лечение“. Ако нямате компютър под ръка, направете следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лоша“ фракция, незабавно трябва да проверите Правилно ли е пренаписано условието?. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширение в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са идентифицирани грешки, най-вероятно е имало печатна грешка в условията на задачата. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО изпълнете задачата до края и след това не забравяйте да проверитеи го съставяме на чист лист след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който много обича да дава минус за всякакви глупости като . Как да работим с дроби е описано подробно в отговора на пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма за проверка, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението); веднага ще видите междинната стъпка, в която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата матричен метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Свойства на детерминантите. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на обувката на професор върху гърдите на щастлив студент.

Решаване на система с помощта на обратна матрица

Метод обратна матрица- това е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширявате детерминанти, да намирате обратната на матрица и да извършвате умножение на матрица. С напредването на обясненията ще бъдат предоставени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с помощта на матричния метод

Решение: Нека напишем системата в матрична форма:
, Където

Моля, разгледайте системата от уравнения и матрици. Мисля, че всеки разбира принципа, по който записваме елементи в матрици. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава нулите трябва да бъдат поставени на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица алгебрични добавкисъответните матрични елементи.

Първо, нека да разгледаме детерминантата:

Тук детерминантата е разширена на първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава по метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона

По време на решението е по-добре да опишете подробно изчисляването на непълнолетните, въпреки че с известен опит можете да свикнете да ги изчислявате с грешки устно.

Методът на Крамер или така нареченото правило на Крамер е метод за търсене на неизвестни величини от системи уравнения. Може да се използва само ако броят на търсените стойности е еквивалентен на броя на алгебричните уравнения в системата, тоест основната матрица, образувана от системата, трябва да е квадратна и да не съдържа нула редове, а също и ако нейната детерминанта трябва не е нула.

Теорема 1

Теорема на КрамърАко главната детерминанта $D$ на главната матрица, съставена на базата на коефициентите на уравненията, не е равна на нула, то системата от уравнения е непротиворечива и има единствено решение. Решението на такава система се изчислява чрез така наречените формули на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Какво представлява методът на Cramer?

Същността на метода на Крамър е следната:

За да намерим решение на системата, използвайки метода на Крамър, първо изчисляваме главния детерминант на матрицата $D$. Когато изчислената детерминанта на основната матрица, изчислена по метода на Крамер, се окаже равна на нула, тогава системата няма нито едно решение или има безкраен брой решения. В този случай, за да се намери общ или някакъв основен отговор за системата, се препоръчва използването на метода на Гаус.
След това трябва да замените най-външната колона на основната матрица с колона със свободни членове и да изчислите детерминантата $D_1$.
Повторете същото за всички колони, като получите детерминанти от $D_1$ до $D_n$, където $n$ е номерът на най-дясната колона.
След като всички детерминанти $D_1$...$D_n$ бъдат намерени, неизвестните променливи могат да бъдат изчислени по формулата $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Техники за изчисляване на детерминанта на матрица

За да изчислите детерминантата на матрица с размерност, по-голяма от 2 на 2, можете да използвате няколко метода:

Правилото на триъгълниците или правилото на Сарус, напомнящо същото правило. Същността на метода на триъгълника е, че при изчисляване на детерминанта продуктите на всички числа, свързани на фигурата с червената линия вдясно, се записват със знак плюс, а всички числа, свързани по подобен начин на фигурата вляво се записват със знак минус. И двете правила са подходящи за матрици с размер 3 х 3. При правилото на Сарус първо се пренаписва самата матрица, а до нея нейните първа и втора колона се пренаписват отново. Диагоналите се изчертават през матрицата и тези допълнителни колони; членовете на матрицата, лежащи на главния диагонал или успоредни на него, се записват със знак плюс, а елементите, лежащи на второстепенния диагонал, се записват със знак минус.

Фигура 1. Правило на триъгълника за изчисляване на детерминанта за метода на Cramer

Използвайки метод, известен като метод на Гаус, този метод понякога се нарича и намаляване на реда на детерминантата. В този случай матрицата се трансформира и намалява до триъгълен изглед, а след това всички числа на главния диагонал се умножават. Трябва да се помни, че когато търсите детерминанта по този начин, не можете да умножавате или разделяте редове или колони с числа, без да ги извадите като множител или делител. В случай на търсене на детерминанта е възможно само да изваждате и добавяте редове и колони един към друг, като предварително сте умножили извадения ред с ненулев фактор. Също така, когато пренареждате редовете или колоните на матрицата, трябва да помните необходимостта от промяна на крайния знак на матрицата.
Когато решавате SLAE с 4 неизвестни с помощта на метода на Крамер, би било най-добре да използвате метода на Гаус за търсене и намиране на детерминанти или да определите детерминантата чрез търсене на второстепенни.

Решаване на системи от уравнения по метода на Крамер

Нека приложим метода на Cramer за система от 2 уравнения и две изисквани величини:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Нека го покажем в разширен вид за удобство:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Нека намерим детерминантата на основната матрица, наричана още основна детерминанта на системата:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ако основната детерминанта не е равна на нула, тогава за решаване на блатото с помощта на метода на Cramer е необходимо да се изчислят още няколко детерминанти от две матрици, като колоните на основната матрица се заменят с ред свободни членове:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Сега нека намерим неизвестните $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Пример 1

Метод на Cramer за решаване на SLAE с главна матрица от 3-ти ред (3 x 3) и три задължителни.

Решете системата от уравнения:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Нека изчислим главния детерминант на матрицата, като използваме правилото, посочено по-горе в точка номер 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

И сега три други определящи фактора:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Нека намерим необходимите количества:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

В първата част разгледахме теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно събиране на системни уравнения. Препоръчвам на всички, които са влезли в сайта през тази страница, да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в процеса на решаване на системи от линейни уравнения направих редица много важни коментари и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.

Сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решаването на система от линейни уравнения с помощта на обратна матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно; почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? – В края на краищата най-простата система може да бъде решена с помощта на училищния метод, метода на добавяне по член!

Факт е, че макар и понякога, се случва такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни по формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.

Метод на Гаус.

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинска буква.

Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи; Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

Отговор: ,

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами (пример за окончателния дизайн и отговора в края на урока).

Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни: