Метод на Гаусперфектен за решаване на линейни системи алгебрични уравнения(СЛАУ). Той има редица предимства в сравнение с други методи:
- първо, няма нужда първо да се изследва системата от уравнения за съгласуваност;
- второ, методът на Гаус може да решава не само SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и основната матрица на системата е неособена, но също така и системи от уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броят на неизвестните променливи или детерминантата на основната матрица е равен на нула;
- трето, методът на Гаус води до резултати с относително малък брой изчислителни операции.
Кратък преглед на статията.
Първо даваме необходимите определения и въвеждаме обозначения.
След това ще опишем алгоритъма на метода на Гаус за най-простия случай, тоест за системи от линейни алгебрични уравнения, броят на уравненията, в които съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е не е равно на нула. При решаването на такива системи от уравнения най-ясно се вижда същността на метода на Гаус, който е последователното елиминиране на неизвестни променливи. Следователно методът на Гаус се нарича още метод на последователно елиминиране на неизвестни. Ще покажем подробни решения на няколко примера.
В заключение ще разгледаме решението по метода на Гаус на системи от линейни алгебрични уравнения, чиято основна матрица е или правоъгълна, или сингулярна. Решението за такива системи има някои характеристики, които ще разгледаме подробно с примери.
Навигация в страницата.
Основни определения и означения.
Да разгледаме система от p линейни уравненияс n неизвестни (p може да бъде равно на n):
Където са неизвестни променливи, са числа (реални или комплексни) и са свободни термини.
Ако 
, тогава системата от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенен, в противен случай - разнородни.
Нарича се набор от стойности на неизвестни променливи, за които всички уравнения на системата стават идентичности решение на СЛАУ.
Ако има поне едно решение на система от линейни алгебрични уравнения, то се нарича става, в противен случай - неставни.
Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени. Ако има повече от едно решение, системата се извиква несигурен.
Казват, че системата е написана координатна форма, ако има формата
.
Тази система в матрична формазаписи има формата , където 
- основната матрица на SLAE, - матрицата на колоната от неизвестни променливи, - матрицата на свободните членове.
Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е. 
Квадратната матрица A се нарича изродени, ако неговият детерминант е нула. Ако , тогава се извиква матрица A неизродени.
Трябва да се отбележи следната точка.
Ако изпълняваме със система от линейни алгебрични уравнения следните действия
- разменете две уравнения,
- умножете двете страни на всяко уравнение по произволно и ненулево реално (или комплексно) число k,
- към двете страни на всяко уравнение добавете съответните части на друго уравнение, умножени по произволно число k,
тогава получавате еквивалентна система, която има същите решения (или, точно като оригиналната, няма решения).
За разширена матрица на система от линейни алгебрични уравнения тези действия ще означават извършване на елементарни трансформации с редовете:
- размяна на два реда,
- умножаване на всички елементи от който и да е ред на матрицата T с ненулево число k,
- добавяне към елементите на произволен ред от матрица на съответните елементи от друг ред, умножени по произволно число k.
Сега можем да продължим с описанието на метода на Гаус.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и основната матрица на системата е неособена, по метода на Гаус.
Какво бихме правили в училище, ако ни дадат задачата да намерим решение на система от уравнения? 
.
Някои биха го направили.
Обърнете внимание, че добавянето към лявата страна на второто уравнение лява странапърво и от дясната страна - дясната, можете да се отървете от неизвестните променливи x 2 и x 3 и веднага да намерите x 1: 
Заместваме намерената стойност x 1 =1 в първото и третото уравнение на системата: 
Ако умножим двете страни на третото уравнение на системата по -1 и ги добавим към съответните части на първото уравнение, ние се отърваваме от неизвестната променлива x 3 и можем да намерим x 2: 
Заместваме получената стойност x 2 = 2 в третото уравнение и намираме останалата неизвестна променлива x 3: 
Други биха постъпили по различен начин.
Нека разрешим първото уравнение на системата по отношение на неизвестната променлива x 1 и заместваме получения израз във второто и третото уравнение на системата, за да изключим тази променлива от тях: 
Сега нека решим второто уравнение на системата за x 2 и заместим получения резултат в третото уравнение, за да елиминираме неизвестната променлива x 2 от него: 
От третото уравнение на системата е ясно, че x 3 =3. От второто уравнение намираме 
, а от първото уравнение получаваме .
Познати решения, нали?
Най-интересното тук е, че вторият метод на решение е по същество методът на последователното елиминиране на неизвестните, тоест методът на Гаус. Когато изразихме неизвестните променливи (първо x 1, на следващия етап x 2) и ги заместихме в останалите уравнения на системата, по този начин ги изключихме. Извършихме елиминиране, докато в последното уравнение остана само една неизвестна променлива. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни се нарича директен метод на Гаус. След завършване удар напредсега имаме възможност да изчислим неизвестната променлива в последното уравнение. С негова помощ намираме следващата неизвестна променлива от предпоследното уравнение и т.н. Процесът на последователно намиране на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение към първото се нарича обратно на метода на Гаус.
Трябва да се отбележи, че когато изразим x 1 чрез x 2 и x 3 в първото уравнение и след това заместим получения израз във второто и третото уравнения, следните действия водят до същия резултат:
Наистина, такава процедура също така позволява да се елиминира неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата: 
Нюанси с елиминирането на неизвестни променливи с помощта на метода на Гаус възникват, когато уравненията на системата не съдържат някои променливи.
Например в SLAU 
в първото уравнение няма неизвестна променлива x 1 (с други думи, коефициентът пред нея е нула). Следователно не можем да решим първото уравнение на системата за x 1, за да елиминираме тази неизвестна променлива от останалите уравнения. Изходът от тази ситуация е да се разменят уравненията на системата. Тъй като разглеждаме системи от линейни уравнения, чиито детерминанти на главните матрици са различни от нула, винаги има уравнение, в което присъства променливата, от която се нуждаем, и можем да пренаредим това уравнение до позицията, от която се нуждаем. За нашия пример е достатъчно да разменим първото и второто уравнения на системата 
, тогава можете да разрешите първото уравнение за x 1 и да го изключите от останалите уравнения на системата (въпреки че x 1 вече не присъства във второто уравнение).
Надяваме се да схванете същината.
Нека опишем Алгоритъм на метода на Гаус.
Да предположим, че трябва да решим система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи на формата 
и нека детерминантата на основната му матрица е различна от нула.
Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез размяна на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
.
Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.
След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата 
За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
. Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.
След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата 
Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата 
От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .
Нека да разгледаме алгоритъма с пример.
Пример.
Метод на Гаус.
Решение.
Коефициентът a 11 е различен от нула, така че нека преминем към директната прогресия на метода на Гаус, тоест към изключването на неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто, третото и четвъртото уравнение добавете лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени съответно по . 
И : 
Неизвестната променлива x 1 е елиминирана, нека преминем към елиминирането на x 2 . Към лявата и дясната страна на третото и четвъртото уравнение на системата добавяме лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени съответно по 
И 
:
За да завършим напредването на метода на Гаус, трябва да елиминираме неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. Нека добавим към лявата и дясната страна на четвъртото уравнение съответно лявата и правилната странатрето уравнение, умножено по 
:
Можете да започнете обратното на метода на Гаус.
От последното уравнение, което имаме 
,
от третото уравнение получаваме,
от втория,
от първия.
За да проверите, можете да замените получените стойности на неизвестните променливи в оригиналната система от уравнения. Всички уравнения се превръщат в идентичности, което показва, че решението по метода на Гаус е намерено правилно.
Отговор:
Сега нека дадем решение на същия пример, използвайки метода на Гаус в матрична нотация.
Пример.
Намерете решението на системата от уравнения Метод на Гаус.
Решение.
Разширената матрица на системата има формата 
. В горната част на всяка колона са неизвестните променливи, които съответстват на елементите на матрицата.
Директният подход на метода на Гаус тук включва намаляване на разширената матрица на системата до трапецовидна форма с помощта на елементарни трансформации. Този процес е подобен на елиминирането на неизвестни променливи, което направихме със системата в координатна форма. Сега ще видите това.
Нека трансформираме матрицата така, че всички елементи в първата колона, започвайки от втората, да станат нула. За да направите това, към елементите на втория, третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред, умножени по, и съответно: 
След това трансформираме получената матрица, така че във втората колона всички елементи, започвайки от третата, да станат нула. Това би съответствало на елиминирането на неизвестната променлива x 2 . За да направите това, към елементите на третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред на матрицата, умножени съответно по И :
Остава да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. За да направите това, към елементите на последния ред на получената матрица добавяме съответните елементи на предпоследния ред, умножени по :
Трябва да се отбележи, че тази матрица съответства на система от линейни уравнения 
който е получен по-рано след движение напред.
Време е да се върнем. В матричната нотация обратното на метода на Гаус включва трансформиране на получената матрица така, че матрицата, маркирана на фигурата 
стана диагонал, тоест прие формата 
къде са малко числата.
Тези трансформации са подобни на предните трансформации на метода на Гаус, но се извършват не от първия ред към последния, а от последния към първия.
Добавете към елементите на третия, втория и първия ред съответните елементи на последния ред, умножени по 
, и все така 
съответно: 
Сега добавете към елементите на втория и първия ред съответните елементи на третия ред, умножени съответно по и по: 
В последната стъпка на обратния метод на Гаус, към елементите на първия ред добавяме съответните елементи на втория ред, умножени по: 
Получената матрица съответства на системата от уравнения 
, откъдето намираме неизвестните променливи.
Отговор:
ЗАБЕЛЕЖКА.
Когато използвате метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, трябва да се избягват приблизителни изчисления, тъй като това може да доведе до напълно неверни резултати. Препоръчваме да не закръглявате десетичните знаци. По-добре от десетични знаципреминете към обикновени дроби.
Пример.
Решете система от три уравнения по метода на Гаус 
.
Решение.
Обърнете внимание, че в този пример неизвестните променливи имат различно обозначение (не x 1, x 2, x 3, а x, y, z). Да преминем към обикновените дроби: 
Нека изключим неизвестното x от второто и третото уравнение на системата: 
В получената система неизвестната променлива y отсъства във второто уравнение, но y присъства в третото уравнение, следователно, нека разменим второто и третото уравнение: 
Това завършва директната прогресия на метода на Гаус (няма нужда да изключвате y от третото уравнение, тъй като тази неизвестна променлива вече не съществува).
Да започнем обратното движение.
От последното уравнение намираме 
,
от предпоследния 
от първото уравнение, което имаме 
Отговор:
X = 10, y = 5, z = -20.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните или основната матрица на системата е единична, чрез метода на Гаус.
Системи от уравнения, чиято основна матрица е правоъгълна или квадратна сингулярна, може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкраен брой решения.
Сега ще разберем как методът на Гаус ни позволява да установим съвместимостта или несъответствието на система от линейни уравнения и в случай на нейната съвместимост да определим всички решения (или едно единствено решение).
По принцип процесът на елиминиране на неизвестни променливи в случай на такива SLAE остава същият. Струва си обаче да навлезете в подробности за някои ситуации, които могат да възникнат.
Да преминем към най-важния етап.
И така, нека приемем, че системата от линейни алгебрични уравнения, след завършване на напредването на метода на Гаус, приема формата 
и нито едно уравнение не беше сведено до (в този случай бихме заключили, че системата е несъвместима). Възниква логичен въпрос: „Какво да правя след това“?
Нека запишем неизвестните променливи, които са на първо място във всички уравнения на получената система: 
В нашия пример това са x 1, x 4 и x 5. От лявата страна на уравненията на системата оставяме само тези членове, които съдържат написаните неизвестни променливи x 1, x 4 и x 5, останалите членове се прехвърлят в дясната страна на уравненията с обратен знак: 
Нека дадем произволни стойности на неизвестните променливи, които са от дясната страна на уравненията, където 
- произволни числа: 
След това десните страни на всички уравнения на нашия SLAE съдържат числа и можем да продължим към обратния метод на Гаус.
От последното уравнение на системата, което имаме, от предпоследното уравнение, което намираме, от първото уравнение получаваме 
Решението на система от уравнения е набор от стойности на неизвестни променливи 
Даване на числа различни стойности, ще получим различни решения на системата от уравнения. Тоест нашата система от уравнения има безкрайно много решения.
Отговор:
Където - произволни числа.
За да консолидираме материала, ще анализираме подробно решенията на още няколко примера.
Пример.
Реши хомогенна системалинейни алгебрични уравнения 
Метод на Гаус.
Решение.
Нека изключим неизвестната променлива x от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто уравнение добавяме съответно лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени по , а към лявата и дясната страна на третото уравнение добавяме лявата и дясната страна на първото уравнение, умножено по: 
Сега нека изключим y от третото уравнение на получената система от уравнения: 
Полученият SLAE е еквивалентен на системата 
.
Оставяме от лявата страна на уравненията на системата само членовете, съдържащи неизвестните променливи x и y, и преместваме членовете с неизвестната променлива z в дясната страна: 
Нека е дадена система от линейни алгебрични уравнения, които трябва да бъдат решени (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).
Знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:
1) Нямате решения (бъдете неставни).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имате едно решение.
Както си спомняме, правилото на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и многофункционален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, който във всеки случайще ни доведе до отговора! Алгоритъмът на самия метод във всички три случаяработи по същия начин. Ако методите на Крамер и матричните методи изискват познаване на детерминанти, тогава за прилагане на метода на Гаус са ви необходими само познания аритметични операции, което го прави достъпен дори за ученици от начален етап.
Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните плюс колона от свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус:
1) с trokiматрици Мога пренареждамна някои места.
2) ако в матрицата се появяват (или съществуват) пропорционални (като специален случай – еднакви) редове, тогава трябва ИзтрийВсички тези редове са от матрицата с изключение на един.
3) ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий.
4) ред от матрицата може да бъде умножавам (делям)до всяко число, различно от нула.
5) към ред от матрицата можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула.
В метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.
Методът на Гаус се състои от два етапа:
- „Директно преместване“ - използвайки елементарни трансформации, приведете разширената матрица на система от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпкова форма: елементите на разширената матрица, разположени под главния диагонал, са равни на нула (преместване отгоре надолу). Например към този тип:
За да направите това, изпълнете следните стъпки:
1) Нека разгледаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът за x 1 е равен на K. Второто, третото и т.н. трансформираме уравненията по следния начин: разделяме всяко уравнение (коефициенти на неизвестните, включително свободните членове) на коефициента на неизвестното x 1 във всяко уравнение и умножаваме по K. След това изваждаме първото от второто уравнение ( коефициенти на неизвестни и свободни членове). За x 1 във второто уравнение получаваме коефициента 0. От третото трансформирано уравнение изваждаме първото уравнение, докато всички уравнения с изключение на първото, за неизвестно x 1, имат коефициент 0.
2) Да преминем към следващото уравнение. Нека това е второто уравнение и коефициентът за x 2 е равен на M. Продължаваме с всички „по-ниски“ уравнения, както е описано по-горе. Така „под“ неизвестното x 2 ще има нули във всички уравнения.
3) Преминете към следващото уравнение и така нататък, докато остане едно последно неизвестно и трансформираният свободен член.
- „Обратното движение“ на метода на Гаус е да се получи решение на система от линейни алгебрични уравнения (движението „отдолу нагоре“). От последното “долно” уравнение получаваме едно първо решение – неизвестното x n. За да направим това, решаваме елементарното уравнение A * x n = B. В примера, даден по-горе, x 3 = 4. Заместваме намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решаваме по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 – 4 = 1, т.е. x 2 = 5. И така нататък, докато намерим всички неизвестни.
Пример.
Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както съветват някои автори:
Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:
Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Да го направим:
1 стъпка
. Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.
Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: да умножи първия ред по –1 (промени знака му).
Стъпка 2 . Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.
Стъпка 3 . Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.
Стъпка 4 . Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по 2.
Стъпка 5 . Третият ред беше разделен на 3.
Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като (0 0 11 |23) по-долу и съответно 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е направена грешка по време на елементарно трансформации.
Нека направим обратното; при проектирането на примери самата система често не се пренаписва, а уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. В този пример резултатът беше подарък:
х 3 = 1
х 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следователно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Отговор:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Нека решим същата система, използвайки предложения алгоритъм. Получаваме
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Умножавайки второто и третото уравнение по 4, получаваме:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Разделете третото уравнение на 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Умножете третото уравнение по 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Изваждайки второто от третото уравнение, получаваме „стъпаловидна“ разширена матрица:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Така, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 = 0,96 или приблизително 1.
x 2 = 3 и x 1 = –1.
Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.
Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесен за програмиране и не се взема предвид специфични особеностикоефициенти за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) трябва да се работи с нецелочислени коефициенти.
Пожелавам ти успех! Ще се видим в клас! учител.
blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.
Нека системата е дадена, ∆≠0. (1)Метод на Гаусе метод за последователно елиминиране на неизвестни.
Същността на метода на Гаус е да преобразува (1) в система с триъгълна матрица, от която след това се получават последователно (в обратен ред) стойностите на всички неизвестни. Нека разгледаме една от изчислителните схеми. Тази верига се нарича верига с единично деление. Нека да разгледаме тази диаграма. Нека 11 ≠0 (водещ елемент) раздели първото уравнение на 11. Получаваме
(2)
Използвайки уравнение (2), е лесно да елиминирате неизвестните x 1 от останалите уравнения на системата (за да направите това, достатъчно е да извадите уравнение (2) от всяко уравнение, предварително умножено по съответния коефициент за x 1) , тоест в първата стъпка получаваме
.
С други думи, на стъпка 1 всеки елемент от следващите редове, започвайки от втория, е равен на разликата между оригиналния елемент и продукта на неговата „проекция“ върху първата колона и първия (трансформиран) ред.
След това, оставяйки само първото уравнение, извършваме подобна трансформация върху останалите уравнения на системата, получени в първата стъпка: избираме измежду тях уравнението с водещия елемент и с негова помощ изключваме x 2 от останалите уравнения (стъпка 2).
След n стъпки вместо (1) получаваме еквивалентна система 
(3)
Така на първия етап получаваме триъгълна система (3). Този етап се нарича ход напред.
На втория етап (обратно) намираме последователно от (3) стойностите x n, x n -1, ..., x 1.
Нека означим полученото решение като x 0 . Тогава разликата ε=b-A x 0 наречено остатъчно.
Ако ε=0, то намереното решение x 0 е правилно.
Изчисленията по метода на Гаус се извършват на два етапа:
- Първият етап се нарича метод напред. На първия етап оригиналната система се преобразува в триъгълна форма.
- Вторият етап се нарича обратен ход. На втория етап се решава триъгълна система, еквивалентна на оригиналната.
На всяка стъпка се приемаше, че водещият елемент е различен от нула. Ако това не е така, тогава всеки друг елемент може да се използва като водещ елемент, сякаш пренарежда уравненията на системата.
Предназначение на метода на Гаус
Методът на Гаус е предназначен за решаване на системи от линейни уравнения. Отнася се за директни методи за решаване.Видове метод на Гаус
- Класически метод на Гаус;
- Модификации на метода на Гаус. Една от модификациите на метода на Гаус е схема с избор на основния елемент. Характеристика на метода на Гаус с избора на основния елемент е такова пренареждане на уравненията, така че на k-тата стъпка водещият елемент се оказва най-големият елемент в k-тата колона.
- метод на Йордано-Гаус;
Нека илюстрираме разликата Метод на Йордано-Гаусот метода на Гаус с примери.
Пример за решение по метода на Гаус
Нека решим системата: 
За по-лесно изчисление, нека разменим редовете: 
Нека умножим втория ред по (2). Добавете третия ред към втория 
Умножете втория ред по (-1). Добавете 2-ри ред към 1-ви 
От 1-ви ред изразяваме x 3:
От 2-ри ред изразяваме x 2:
От 3-ти ред изразяваме x 1: 
Пример за решение, използващо метода на Йордано-Гаус
Нека решим същата SLAE, използвайки метода на Йордано-Гаус. 
Последователно ще изберем разрешаващия елемент RE, който лежи на главния диагонал на матрицата.
Резолюционният елемент е равен на (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - разрешаващ елемент (1), A и B - матрични елементи, образуващи правоъгълник с елементи STE и RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:
| х 1 | х 2 | х 3 | б |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Разрешаващият елемент е равен на (3).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите от колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направим това, избираме четири числа, които се намират във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент RE.
| х 1 | х 2 | х 3 | б |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Резолюционният елемент е (-4).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите от колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направим това, избираме четири числа, които се намират във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:
| х 1 | х 2 | х 3 | б |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Отговор: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Прилагане на метода на Гаус
Методът на Гаус се прилага в много езици за програмиране, по-специално: Pascal, C++, php, Delphi, а има и онлайн изпълнение на метода на Гаус.Използване на метода на Гаус
Приложение на метода на Гаус в теорията на игрите
В теорията на игрите, когато се намира максиминната оптимална стратегия на играч, се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.Приложение на метода на Гаус при решаване на диференциални уравнения
За да намерите конкретно решение на диференциално уравнение, първо намерете производни на подходящата степен за писменото частично решение (y=f(A,B,C,D)), които се заместват в оригинално уравнение. Следваща за намиране променливи A,B,C,Dсистема от уравнения се съставя и решава по метода на Гаус.Приложение на метода на Йордано-Гаус в линейното програмиране
IN линейно програмиране, по-специално в симплексния метод правилото на правоъгълника, което използва метода на Йордано-Гаус, се използва за трансформиране на симплексната таблица при всяка итерация.Карл Фридрих Гаус, най-великият математик за дълго времесе колебаеше, избирайки между философия и математика. Може би точно това мислене му позволи да направи толкова забележимо „наследство“ в световната наука. По-специално, чрез създаването на "метода на Гаус" ...
В продължение на почти 4 години статиите в този сайт се занимаваха с училищното образование, главно от гледна точка на философията, принципите на (не)разбирането, въведени в съзнанието на децата. Идва време за повече конкретика, примери и методи... Смятам, че точно това е подходът към познатото, объркващо и важнообласти от живота дава по-добри резултати.
Хората сме устроени така, че колкото и да говорим абстрактно мислене, Но разбиране Винагистава чрез примери. Ако няма примери, тогава е невъзможно да се схванат принципите... Както е невъзможно да се стигне до върха на планината, освен като се измине целият склон от подножието.
Същото с училището: засега живи историиНе е достатъчно, че инстинктивно продължаваме да го възприемаме като място, където децата се учат да разбират.
Например преподаването на метода на Гаус...
Метод на Гаус в училище за 5 клас
Нека направя резервация веднага: методът на Гаус има много повече широко приложение, например при решаване системи от линейни уравнения. Това, за което ще говорим, се случва в 5 клас. Това започна, като разберете кои, е много по-лесно да разберете по-„разширените опции“. В тази статия говорим за Метод (метод) на Гаус за намиране на сумата от редица
Ето един пример, който донесох от училище по-малък син, посещаващ 5 клас в московска гимназия.
Училищна демонстрация на метода на Гаус
Използване на учител по математика интерактивна дъска (съвременни методиобучение) показаха на децата презентация за историята на „създаването на метода“ от малкия Гаус.
Учителят биеше малкия Карл (остарял метод, който не се използва в училищата в наши дни), защото той
вместо да събирате последователно числата от 1 до 100, намерете тяхната сума забелязаноче двойки числа, разположени на еднакво разстояние от краищата на една аритметична прогресия, се събират до едно и също число. например 100 и 1, 99 и 2. След като преброи броя на тези двойки, малкият Гаус почти моментално реши задачата, предложена от учителя. За което е екзекутиран пред смаяната публика. За да бъдат обезсърчени другите да мислят.
Какво направи малкият Гаус? развити смисъл на числото? Забелязанонякаква функциячислови редове с постоянна стъпка (аритметична прогресия). И точно товапо-късно го направи велик учен, тези, които умеят да забелязват, имайки чувство, инстинкт за разбиране.
Ето защо математиката е ценна, развиваща се способност да виждашобщо взето - абстрактно мислене . Ето защо, повечето родители и работодатели инстинктивно смятат математиката за важна дисциплина ...
„Тогава трябва да научите математика, защото тя подрежда ума ви.
М.В.Ломоносов“.
Но последователите на онези, които бичуваха бъдещите гении с пръчки, превърнаха Метода в нещо обратното. Както каза мой приятел преди 35 години научен съветник: „Те научиха въпроса.“ Или както най-малкият ми син каза вчера за метода на Гаус: „Може би не си струва да се прави голяма наука от това, а?“
Последствията от креативността на „учените” се виждат в нивото на сегашната училищна математика, нивото на нейното преподаване и разбирането на „Царицата на науките” от мнозинството.
Все пак да продължим...
Методи за обяснение на метода на Гаус в училище за 5 клас
Учител по математика в московска гимназия, обяснявайки метода на Гаус според Виленкин, усложни задачата.
Ами ако разликата (стъпката) на аритметична прогресия не е едно, а друго число? Например 20.
Задачата, която постави на петокласниците:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Преди да се запознаем с метода на гимназията, нека да надникнем в Интернет: как го правят училищните учители и преподавателите по математика?..
Метод на Гаус: обяснение №1
Известен преподавател в своя канал в YOUTUBE дава следното разсъждение:
„Нека напишем числата от 1 до 100 по следния начин:
първо поредица от числа от 1 до 50, а точно под нея друга поредица от числа от 50 до 100, но в обратен ред"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
„Моля, обърнете внимание: сумата на всяка двойка числа от горния и долния ред е една и съща и е равна на 101! Нека преброим броя на двойките, това е 50 и умножете сумата на една двойка по броя на двойките! Voila: The отговорът е готов!"
„Ако не сте разбрали, не се разстройвайте!“, повтори учителят три пъти по време на обяснението. „Този метод ще вземеш в 9 клас!“
Метод на Гаус: обяснение №2
Друг преподавател, по-малко известен (съдейки по броя гледания), използва по-научен подход, предлагайки алгоритъм за решение от 5 точки, които трябва да бъдат изпълнени последователно.
За непосветените 5 е едно от числата на Фибоначи, традиционно смятани за магически. Методът от 5 стъпки винаги е по-научен от метода от 6 стъпки, например. ...И това едва ли е случайно, най-вероятно авторът е скрит поддръжник на теорията на Фибоначи
Дана аритметична прогресия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Алгоритъм за намиране на сумата от числа в редица по метода на Гаус:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
В същото време трябва да запомните плюс едно правило : трябва да добавим единица към полученото частно: в противен случай ще получим резултат, който е с единица по-малък от истинския брой двойки: 42 + 1 = 43.
Това е търсеният сбор от аритметичната прогресия от 4 до 256 с разлика 6!
Метод на Гаус: обяснение в 5 клас в московска гимназия
Ето как да решите задачата за намиране на сумата от редица:
20+40+60+ ... +460+480+500
в 5-ти клас на московска гимназия, учебник на Виленкин (според сина ми).
След като показа презентацията, учителят по математика показа няколко примера, използвайки метода на Гаус и даде на класа задача да намерят сумата от числата в редица с нарастване от 20.
Това изискваше следното:
Както можете да видите, това е по-компактно и ефективна техника: номер 3 също е член на редицата на Фибоначи
Моите коментари относно училищната версия на метода на Гаус
Великият математик със сигурност щеше да избере философията, ако беше предвидил в какво ще се превърне неговият „метод“ от последователите му учител по немски език, който бичуваха Карл с пръчки. Той щеше да види символиката, диалектическата спирала и безсмъртната глупост на „учителите“, опитвайки се да измерим хармонията на живата математическа мисъл с алгебрата на неразбирането ....
Между другото: знаете ли. че нашата образователна система се корени в немското училище от 18-ти и 19-ти век?
Но Гаус избра математиката.
Каква е същността на неговия метод?
IN опростяване. IN наблюдаване и схващанепрости модели на числа. IN превръщайки сухата училищна аритметика в интересна и вълнуваща дейност , активирайки в мозъка желанието да продължите, вместо да блокирате скъпата умствена дейност.
Възможно ли е да се използва една от дадените „модификации на метода на Гаус“ за изчисляване на сумата от числата на аритметична прогресия почти моментално? Според „алгоритмите“ малкият Карл гарантирано ще избегне напляскване, ще развие отвращение към математиката и ще потисне творческите си импулси в зародиш.
Защо преподавателят толкова упорито съветваше петокласниците „да не се страхуват от неразбиране“ на метода, убеждавайки ги, че ще решават „такива“ задачи още в 9 клас? Психологически неграмотно действие. Това беше добър ход, който трябва да се отбележи: "Виждаш ли? Ти вече в 5 клас можерешавайте задачи, които ще завършите само след 4 години! Какъв страхотен човек си!“
За да използвате метода на Гаус, е достатъчно ниво от клас 3, когато нормалните деца вече знаят как да събират, умножават и делят 2-3 цифрени числа. Проблемите възникват поради неспособността на възрастните учители, които са „неконтактни“, да обяснят най-простите неща на нормален човешки език, да не говорим за математически... Те не могат да накарат хората да се интересуват от математиката и напълно обезсърчават дори тези, които са „ способен.”
Или, както синът ми коментира: „да направим голяма наука от това“.
Метод на Гаус, моите обяснения
Съпругата ми и аз обяснихме този „метод“ на детето си, изглежда, още преди училище...
Простота вместо сложност или игра на въпроси и отговори
„Вижте, тук са числата от 1 до 100. Какво виждате?“
Въпросът не е какво точно вижда детето. Номерът е да го накараш да погледне.
— Как можеш да ги събереш? Синът разбра, че такива въпроси не се задават „просто така“ и трябва да погледнете на въпроса „някак по различен начин, по различен начин, отколкото обикновено прави“
Няма значение дали детето вижда решението веднага, това е малко вероятно. Важно е той спря да се страхува да погледне, или както аз казвам: „преместих задачата“. Това е началото на пътуването към разбирането
„Кое е по-лесно: да съберем например 5 и 6 или 5 и 95?“ Насочващ въпрос... Но всяко обучение се свежда до „насочване“ на човек към „отговора“ – по всеки приемлив за него начин.
На този етап може вече да възникнат предположения как да „спестите“ от изчисленията.
Всичко, което направихме, беше намек: методът на броене „фронтален, линеен“ не е единственият възможен. Ако едно дете разбере това, тогава по-късно ще измисли много повече такива методи, защото е интересно!!!И той определено ще избегне „неразбирането“ на математиката и няма да се чувства отвратен от нея. Той спечели победата!
Ако открито детече събирането на двойки числа, които дават сбор до сто, е безпроблемно "аритметична прогресия с разлика 1"- доста мрачно и безинтересно нещо за дете - изведнъж намери живот за него . Редът се появи от хаоса и това винаги предизвиква ентусиазъм: така сме създадени!
Въпрос на отговор: защо след прозрението, което детето е получило, то отново трябва да бъде натрапено в рамките на сухи алгоритми, които също са функционално безполезни в случая?!
Защо да налагате глупави пренаписвания?поредни номера в тетрадка: така че дори способните да нямат нито един шанс да разберат? Статистически, разбира се, но масовото образование е насочено към „статистика“...
Къде отиде нулата?
И все пак събирането на числа, които дават сбор до 100, е много по-приемливо за ума от тези, които дават сбор до 101...
„Методът на училището на Гаус“ изисква точно това: безсмислено сгъванедвойки числа на еднакво разстояние от центъра на прогресията, Въпреки всичко.
Ами ако погледнеш?
Все пак нулата е най-великото изобретение на човечеството, което е на повече от 2000 години. А учителите по математика продължават да го игнорират.
Много по-лесно е да трансформирате поредица от числа, започваща с 1, в поредица, започваща с 0. Сборът няма да се промени, нали? Трябва да спрете да „мислите в учебниците“ и да започнете да търсите...И вижте, че двойки със сбор 101 могат да бъдат напълно заменени с двойки със сбор 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Как да премахнем "правилото плюс 1"?
Честно казано, за първи път чух за такова правило от онзи преподавател в YouTube...
Какво трябва да направя, когато трябва да определя броя на членовете на поредица?
Гледам последователността:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
и когато сте напълно уморени, преминете към по-прост ред:
1, 2, 3, 4, 5
и смятам: ако извадите едно от 5, получавате 4, но съм абсолютно ясен Виждам 5 числа! Следователно трябва да добавите такъв! Чувството за числа се развива в начално училище, предлага: дори ако има цял Google от членове на серията (10 на стотна степен), моделът ще остане същият.
Какви са правилата, по дяволите?...
Така че за няколко-три години да можете да запълните цялото пространство между челото и тила си и да спрете да мислите? Как да си спечелите хляба и маслото? В края на краищата ние се придвижваме с равни позиции към ерата на цифровата икономика!
Още за училищния метод на Гаус: „защо да правим наука от това?..“
Не напразно публикувах екранна снимка от бележника на сина ми...
„Какво се случи в час?“
"Е, аз преброих веднага, вдигнах ръка, но тя не попита. Затова, докато другите броеха, започнах да пиша домашни на руски, за да не губя време. Тогава, когато другите свършиха да пишат (? ??), тя ме повика на дъската. Казах отговора."
„Точно така, покажи ми как го реши“, каза учителят. Показах го. Тя каза: „Грешно, трябва да броите, както показах!“
"Добре, че тя не даде лоша оценка. И тя ме накара да напиша в техния бележник "хода на решението" по техен начин. Защо да правим голяма наука от това?.."
Основното престъпление на учителя по математика
Едва ли след това този инцидентКарл Гаус изпитва силно уважение към своя учител по математика в училище. Но ако знаеше как последователи на този учител ще изкриви самата същност на метода...щеше да изреве от възмущение и през Световната организация интелектуална собственост WIPO постигна забрана за използването на честното си име в училищните учебници!..
В какво основна грешкаучилищен подход? Или, както се изразих, престъпление на училищните учители по математика срещу децата?
Алгоритъм на неразбирането
Какво правят училищните методисти, огромното мнозинство от които не знаят как да мислят?
Те създават методи и алгоритми (виж). Това защитна реакция, която предпазва учителите от критика („Всичко се прави според...“), а децата от разбиране. И по този начин - от желанието да се критикуват учителите!(Втората производна на бюрократичната „мъдрост“, научен подход към проблема). Човек, който не схваща смисъла, по-скоро ще обвини собственото си неразбиране, отколкото глупостта на училищната система.
Ето какво се случва: родителите обвиняват децата си, а учителите... правят същото с децата, които „не разбират от математика!“
умен ли си
Какво направи малкият Карл?
Напълно нетрадиционен подход към шаблонна задача. Това е същността на Неговия подход. Това Основното нещо, което трябва да се преподава в училище, е да мислите не с учебниците, а с главата си. Разбира се, има и инструментален компонент, който може да се използва... в търсене по-прости и ефективни методисметки.
Метод на Гаус по Виленкин
В училище учат, че методът на Гаус е да
Какво, ако броят на елементите на серията е нечетен, както в проблема, който беше възложен на сина ми?..
„Уловката“ е, че в случая трябва да намерите „допълнителен“ номер в сериятаи го добавете към сбора на двойките. В нашия пример това число е 260.
Как да открием? Преписване на всички двойки числа в тетрадка!(Ето защо учителят накара децата да вършат тази глупава работа да се опитват да преподават на „креативност“, използвайки метода на Гаус... И ето защо такъв „метод“ е практически неприложим към големи серии от данни, И ето защо е не методът на Гаус.)
Малко креативност в училищното ежедневие...
Синът постъпи различно.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Не е трудно, нали?
Но на практика става още по-лесно, което ви позволява да отделите 2-3 минути за дистанционно наблюдение на руски, докато останалите се „броят“. Освен това запазва броя на стъпките на метода: 5, което не позволява подходът да бъде критикуван като ненаучен.
Очевидно този подход е по-прост, по-бърз и по-универсален, в стила на Метода. Но... учителят не само не похвали, но и ме принуди да го пренапиша „по правилния начин“ (виж екранната снимка). Тоест, тя направи отчаян опит да задуши творческия импулс и способността за разбиране на математиката в корен! Явно, за да може после да я наемат като възпитател... Нападна не когото трябва...
Всичко, което описах толкова дълго и досадно, може да бъде обяснено на нормално детеслед половин час максимум. Заедно с примери.
И то така, че никога да не го забрави.
И ще бъде стъпка към разбирането...не само математици.
Признайте си: колко пъти в живота си сте добавяли по метода на Гаус? И никога не съм го правил!
Но инстинкт за разбиране, което се развива (или угасва) в процеса на обучение математически методив училище... О!.. Това е наистина незаменима вещ!
Особено в епохата на всеобща цифровизация, в която тихомълком навлязохме под строгото ръководство на партията и правителството.
Няколко думи в защита на учителите...
Несправедливо и погрешно е цялата отговорност за този стил на преподаване да се възлага единствено на учителите. Системата е в сила.
някоиучителите разбират абсурдността на случващото се, но какво да правят? Закон за образованието, Федерални държавни образователни стандарти, методи, технологични картиуроци... Всичко трябва да се прави „съгласно и въз основа на” и всичко да се документира. Отдръпни се - застана на опашката за уволнение. Нека не лицемерим: заплатите на московските учители са много добри... Ако те уволнят, къде да отидеш?..
Ето защо този сайт не за образованието. Той е около индивидуално обучение, само възможен начинизлезте от тълпата поколение Z ...
В тази статия методът се разглежда като метод за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение общ изгледи след това заменете стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с такива, които имат безкраен брой решения. Или изобщо го нямат.
Какво означава да се реши по метода на Гаус?
Първо, трябва да напишем нашата система от уравнения в. Тя изглежда така. Вземете системата:
Коефициентите са изписани под формата на таблица, а свободните термини са изписани в отделна колона вдясно. Колоната със свободните термини е отделена за удобство, матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.
След това основната матрица с коефициенти трябва да се редуцира до горна триъгълна форма. Това е основната точка при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, че долната лява част да съдържа само нули:
След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, която след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.
Това е описание на решението по метода на Гаус в повечето случаи общ контур. Какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или те са безкрайно много? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани при решаването на метода на Гаус.
Матрици, техните свойства
Нито един скрит смисълне в матрицата. Това е просто удобен начин за запис на данни за последващи операции с тях. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.
Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до построяването на матрица триъгълен на вид, записът съдържа правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите може да не са написани, но се подразбират.
Матрицата има размер. Неговата „ширина“ е броят на редовете (m), „дължината“ е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (обикновено се използват главни букви за тяхното означаване) писма) ще бъдат означени като A m×n. Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна и m=n е нейният ред. Съответно, всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номерата на неговите редове и колони: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.
Б не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще бъде много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.
Определящо
Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Няма нужда да откривате значението му сега; можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин да намерите детерминантата е чрез диагонали. Въображаеми диагонали се изчертават в матрицата; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават, а след това получените продукти се събират: диагонали с наклон надясно - със знак плюс, с наклон наляво - със знак минус.
Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкото от броя на редовете и броя на колоните (нека бъде k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите в пресечната точка на избраните колони и редове ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е ненулево число, тя се нарича базов минор на оригиналната правоъгълна матрица.
Преди да започнете да решавате система от уравнения, използвайки метода на Гаус, няма да навреди да изчислите детерминантата. Ако се окаже, че е нула, тогава веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.
Системна класификация
Има такова нещо като ранг на матрица. Това максимална поръчканеговата детерминанта, различна от нула (ако си спомним за основния минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).
Въз основа на ситуацията с ранга, SLAE може да бъде разделен на:
- Става. UВ съвместните системи рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената матрица (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно едно, следователно допълнително ставните системи се разделят на:
- - определени- има едно единствено решение. В някои системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
- - неопределен -с безкраен брой решения. Рангът на матриците в такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
- Несъвместим. UВ такива системи ранговете на основната и разширената матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.
Методът на Гаус е добър, защото по време на решението позволява да се получи или недвусмислено доказателство за непоследователността на системата (без да се изчисляват детерминантите на големи матрици), или решение в обща форма за система с безкраен брой решения.
Елементарни трансформации
Преди да продължите директно към решаването на системата, можете да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации – такива, че изпълнението им по никакъв начин не променя крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от дадените елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е SLAE. Ето списък на тези трансформации:
- Пренареждане на редове. Очевидно е, че ако промените реда на уравненията в системния запис, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно редовете в матрицата на тази система също могат да се разменят, без да се забравя, разбира се, колоната със свободни термини.
- Умножаване на всички елементи на низ с определен коефициент. Много полезно! Може да се използва за скъсяване големи числав матрицата или премахване на нули. Много решения, както обикновено, няма да се променят, но по-нататъшни операциище стане по-удобно. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
- Премахване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предходния параграф. Ако два или повече реда в една матрица имат пропорционални коефициенти, тогава когато един от редовете се умножи/дели на коефициента на пропорционалност, се получават два (или отново повече) абсолютно еднакви реда, а допълнителните могат да бъдат премахнати, оставяйки само един.
- Премахване на нулев ред. Ако по време на трансформацията някъде се получи ред, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв ред може да се нарече нула и да бъде изхвърлен от матрицата.
- Добавяне към елементите на един ред на елементите на друг (в съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-неочевидната и най-важна трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.
Добавяне на низ, умножен по коефициент
За по-лесно разбиране си струва да разбиете този процес стъпка по стъпка. От матрицата се вземат два реда:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | б 2
Да речем, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
След това вторият ред в матрицата се заменя с нов, а първият остава непроменен.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавяне на два реда един от елементите на новия ред да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в система, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се направи отново и да получите уравнение, което ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път, когато обръщате един коефициент на всички редове, които са под първоначалния, на нула, тогава можете, като стълби, да слезете надолу до самото дъно на матрицата и да получите уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.
Общо взето
Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корена. Можете да го напишете по следния начин:
Основната матрица се съставя от системните коефициенти. Колона със свободни термини се добавя към разширената матрица и за удобство се разделя с линия.
- първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 /a 11);
- добавени са първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
- вместо втория ред в матрицата се вмъква резултатът от добавянето от предходния параграф;
- сега първият коефициент в нов вторилинията е a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Сега се извършва същата поредица от трансформации, участват само първият и третият ред. Съответно на всяка стъпка от алгоритъма елемент a 21 се заменя с 31. След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, в която първият елемент в редовете е нула. Сега трябва да забравите за ред номер едно и да изпълните същия алгоритъм, като започнете от ред втори:
- коефициент k = (-a 32 /a 22);
- вторият модифициран ред се добавя към „текущия“ ред;
- резултатът от добавянето се замества в трети, четвърти и т.н. редове, докато първият и вторият остават непроменени;
- в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.
Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че в последен пъталгоритъмът беше изпълнен само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. В долния ред има равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и свободният член са известни и чрез тях се изразява коренът: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и след като достигнете „върха“ на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единственият.
Когато няма решения
Ако в един от редовете на матрицата всички елементи с изключение на свободния член са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. Няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава множеството от решения на цялата система е празно, тоест е изродено.
Когато има безкраен брой решения
Може да се случи в дадената триъгълна матрица да няма редове с един коефициентен елемент от уравнението и един свободен член. Има само редове, които, когато бъдат пренаписани, биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен бройрешения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направим?
Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни са тези, които стоят “на ръба” на редовете в матрицата на стъпките. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи се записват чрез свободни.
За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. След това в последния от тях, където точно остава само една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля от другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това, в останалите уравнения, където е възможно, изразът, получен за него, се замества вместо основната променлива. Ако резултатът отново е израз, съдържащ само една основна променлива, той отново се изразява оттам и така нататък, докато всяка основна променлива бъде написана като израз със свободни променливи. Това е, което е общо решениеСЛАУ.
Можете също да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкраен брой конкретни решения, които могат да бъдат дадени.
Решение с конкретни примери
Ето една система от уравнения.
За удобство е по-добре веднага да създадете неговата матрица
Известно е, че когато се решава по метода на Гаус, уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи на останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в съставената матрица ще бъде изгодно да поставите втория ред на мястото на първия.
втори ред: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Сега, за да не се объркате, трябва да напишете матрица с междинните резултати от трансформациите.
Очевидно такава матрица може да бъде направена по-удобна за възприемане с помощта на определени операции. Например, можете да премахнете всички „минуси“ от втория ред, като умножите всеки елемент по „-1“.
Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да съкратите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - в същото време, за да премахнете отрицателните стойности).
Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред сам и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножен по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ако по време на някои трансформации отговорът не се окаже цяло число, се препоръчва да се поддържа точността на изчисленията, за да оставите то „както е“, във формата обикновена дроб, и едва след това, когато отговорите бъдат получени, решете дали да закръглите и преобразувате в друга форма на запис)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Матрицата се записва отново с нови стойности.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими по-нататъшни трансформации на системата с помощта на метода на Гаус. Това, което можете да направите тук, е да премахнете общия коефициент "-1/7" от третия ред.
Сега всичко е красиво. Всичко, което остава да направите, е да напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и да изчислите корените
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
И първото уравнение ни позволява да намерим x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Ние имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест имаща уникално решение. Отговорът се записва в следната форма:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Пример за несигурна система
Анализиран е вариантът за решаване на определена система с помощта на метода на Гаус; сега е необходимо да се разгледа случаят, ако системата е несигурна, т.е. за нея могат да бъдат намерени безкрайно много решения.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Самият външен вид на системата вече е тревожен, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на системната матрица вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-големият ред на детерминанта-квадрат е 4. Това означава, че има безкраен брой решения и трябва да търсите общия му вид. Методът на Гаус за линейни уравнения ви позволява да направите това.
Първо, както обикновено, се компилира разширена матрица.
Втори ред: коефициент k = (-a 21 /a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да докосвате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Като умножим последователно елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти и ги добавим към необходимите редове, получаваме матрица със следния вид:
Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са идентични, така че единият от тях може да бъде премахнат веднага, а останалият може да се умножи по коефициента „-1“ и да се получи ред номер 3. И отново, от два еднакви реда, оставете един.
Резултатът е матрица като тази. Докато системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - тези, които стоят при коефициенти a 11 = 1 и a 22 = 1, и свободните - всички останали.
Във второто уравнение има само една основна променлива - x 2. Това означава, че може да се изрази оттам, като се запише чрез променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са свободни.
Заместваме получения израз в първото уравнение.
Резултатът е уравнение, в което единствената основна променлива е x 1 . Нека направим с него същото като с x 2.
Всички основни променливи, от които има две, са изразени чрез три свободни, сега можем да напишем отговора в общ вид.
Можете също така да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи обикновено се избират нули като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:
16, 23, 0, 0, 0.
Пример за некооперативна система
Най-бързо е решаването на несъвместими системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът на изчисляване на корените, който е доста дълъг и досаден, отпада. Разглежда се следната система:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Както обикновено, матрицата се компилира:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
И се свежда до поетапна форма:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение на формата
без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът ще бъде празното множество.
Предимства и недостатъци на метода
Ако изберете кой метод за решаване на SLAE на хартия с химикалка, тогава методът, който беше обсъден в тази статия, изглежда най-привлекателен. Много по-трудно е да се объркате в елементарните трансформации, отколкото ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с този тип данни, напр. електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, второстепенни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешки, по-препоръчително е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното използване започва и завършва с изчисляването на детерминанти и обратни матрици.
Приложение
Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство „за манекени“, трябва да се каже, че най-лесното място за въвеждане на метода са електронни таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), умножение по число, умножение на матрици (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминантата. Ако тази трудоемка задача се замени с една команда, е възможно да се определи ранга на матрицата много по-бързо и следователно да се установи нейната съвместимост или несъвместимост.
