Как да решаваме непълни квадратни уравнения с помощта на дискриминант. Квадратно уравнение, неговите видове

В термина „квадратно уравнение“ ключовата дума е „квадратично“. Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото x) на квадрат и не трябва да има x на трета (или по-голяма) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до точно решаване квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че това е квадратно уравнение, а не някое друго уравнение.

Пример 1.

Нека да се отървем от знаменателя и да умножим всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степените на X

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2.

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадратно!

Пример 3.

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвърта и втора степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4.

Изглежда, че е там, но нека го разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Вижте, редуцирано е - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните типове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения има дадено- това са уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото им липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат!!! В противен случай това вече няма да е квадратно уравнение, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Това разделение се определя от методите за решаване. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Има видове непълни квадратни уравнения:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Защото знаем как да извличаме Корен квадратен, тогава нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Няма нужда да запомняте тези формули. Основното е, че трябва да знаете и винаги да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава само да извлечете корена от лявата и дясната страна. В крайна сметка помните ли как се извличат корени?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, които нямат корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се откажем от примерите.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида уравнение където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-трудно (само малко) от тези.

Помня, Всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Другите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант.

Решаването на квадратни уравнения с помощта на този метод е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен. Специално вниманиенаправи крачка. Дискриминант () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата в стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме някои примери.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена на дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как правилно да записваме такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, има вид уравнение, което се нарича намалено (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сума от корени даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото .

Сборът от корените на уравнението е равен, т.е. получаваме първото уравнение:

И произведението е равно на:

Нека съставим и решим системата:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Дадено е уравнението, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защо? Защото, ако уравнението веднага стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Първо, нека разгледаме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Можем да различим следните видове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решението за всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Няма нужда да запомняте тези формули. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че даден проблем няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Нека разложим лявата страна на уравнението и намерим корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминанта във формулата за корените? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корени:
• Ако, тогава уравнението има едни и същи корени и всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо са възможни различен брой корени? Да се ​​обърнем към геометричен смисълквадратно уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В специален случай, който е квадратно уравнение, . Това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с абсцисната ос (ос). Една парабола може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Много е лесно да използвате теоремата на Vieta: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И произведението е равно на:

Нека изберем двойки числа, чието произведение е равно и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението, и след това проверим дали сборът им е равен:

и: дават общо.

и: дават общо. За да се получи, е достатъчно просто да се сменят знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка продуктът.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е равна на разлики в техните модули.

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е равна - не се вписва;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, коренът с по-малкия модул трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. И това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека да изберем двойки числа, чийто продукт е равен, и след това да определим кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корените и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена имат знак минус.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно да излезете с корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да улесни и ускори намирането на корените. За да имате полза от използването му, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминант! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с парчето:

Не е подходящ, защото количеството;

: количеството е точно това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сборът трябва да е равен и произведението трябва да е равно.

Но тъй като трябва да е не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е това?

Трябва да преместите всички условия в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Добре, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да дадете уравнение. Ако не можете да водите, откажете се от тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминант). Нека ви напомня, че да се даде квадратно уравнение означава водещият коефициент да бъде равен на:

Страхотен. Тогава сумата от корените е равна на и произведението.

Тук е толкова лесно, колкото да белите круши: все пак това е просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Безплатният член е отрицателен. Какво е особеното на това? И факт е, че корените ще имат различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, но продукт.

И така, корените са равни на и, но един от тях е минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да направите първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни на и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че минусът ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерено уравнение подходяща двойкамножители на свободния член, което означава, че няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминант).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени под формата на членове от съкратени формули за умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след замяна на променливи уравнението може да бъде представено под формата на непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

IN общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не ти напомня? Това е нещо дискриминационно! Точно така получихме дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнение- това е уравнение от вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, - свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението изглежда така: ,
• ако има свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението изглежда така: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека изразим неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминант

1) Нека приведем уравнението в стандартна форма: ,

2) Нека изчислим дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Решение по метода на избиране на пълен квадрат

Ако квадратно уравнение от формата има корени, тогава то може да бъде написано във формата: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с. Копево 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения от ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, дори в древни времена, е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земни парцели и с изкопни работи от военен характер, както и както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения могат да бъдат решени около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Използвайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, в допълнение към непълните, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, предоставят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методирешаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез построяване на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело подбира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Проблем 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант разсъждава по следния начин: от условията на задачата следва, че търсените числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им не би било равно на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от сумата им, т.е. 10 + х, другото е по-малко, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от търсените числа е равно на 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от търсените числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решение на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че като избира полуразликата на търсените числа като неизвестно, Диофант опростява решението; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат „Aryabhattiam“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общо правилорешения на квадратни уравнения, приведени до една канонична форма:

ах 2 + b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1), коефициентите, с изключение на А, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.

IN Древна ИндияПубличните състезания за решаване на трудни проблеми бяха обичайни. Една от старите индийски книги казва следното за такива състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човекще засенчи славата на друг народни събрания, предлагане и решаване на алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

Това е един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскари.

Проблем 13.

„Ято бързи маймуни и дванадесет по лозите...

Властите, като ядоха, се забавляваха. Започнаха да скачат, да висят...

Има ги на площада, осма част Колко маймуни имаше?

Забавлявах се на поляната. Кажи ми, в тази опаковка?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел, че корените на квадратните уравнения са двузначни (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието:

x 2 - 64x = -768

и, за да завършим лявата страна на това уравнение до квадрат, добавя към двете страни 32 2 , след което получаваме:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

В алгебричния трактат на ал-Хорезми е дадена класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

2) “Квадратите са равни на числа”, т.е. брадва 2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

5) “Квадратите и корените са равни на числата”, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = брадва 2 .

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждаеми. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът излага методи за решаване на тези уравнения, използвайки техниките на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото в конкретни практически задачи то няма значение. При решаване на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми върху частични числени примериизлага правилата за решението и след това геометричните доказателства.

Проблем 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (което предполага корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, това, което остава, е 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5 , получавате 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което дава 7, това също е корен.

Трактатът на ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, която систематично излага класификацията на квадратните уравнения и дава формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII bb

Формулите за решаване на квадратни уравнения по линията на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в Книгата на абака, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както в ислямските страни, така и в Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и пръв в Европа се приближава към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от Книгата на абака са използвани в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2 + bx = c,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициента b , се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в общ вид е достъпно от Viète, но Viète признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. В допълнение към положителните се вземат предвид и отрицателните корени. Едва през 17в. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, наречена на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + д, умножено по А - А 2 , равно на BD, Че Аравно на INи равни д ».

За да разберем Виета, трябва да помним това А, като всяка гласна буква, означаваше неизвестното (нашата х), гласни IN, д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако има

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията общи формулинаписан с помощта на символи, Виет установява еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това, символиката на Виет все още е далеч модерен вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени бяха положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Намерени са квадратни уравнения широко приложениепри решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Надявам се, че след изучаването на тази статия ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения; за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? Това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решим пълно квадратно уравнение, трябва да изчислим дискриминанта D.

D = b 2 – 4ac.

В зависимост от стойността на дискриминанта ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x = (-b)/2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. Решете уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Отговор: – 3,5; 1.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения, използвайки диаграмата на Фигура 1.

С помощта на тези формули можете да решите всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином стандартен изглед

А х 2 + bx + c,в противен случай може да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином от стандартната форма (мономът с най-голям показател трябва да е първи, т.е. А х 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член с.

Когато решавате редуцирано квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент във втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълно квадратно уравнение вторият член има четен коефициент (b = 2k), тогава можете да решите уравнението, като използвате формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при х 2 е равно на едно и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решение или може да бъде получено чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента А, застанал на х 2 .

Фигура 3 показва диаграма за решаване на редуцирания квадрат
уравнения. Нека да разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3х 2 + 6x – 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът на x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението, като използваме формулите, показани в диаграмата на фигура D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършвайки делението, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x – 2 = 0. Решете това уравнение, като използвате формулите за намаленото квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3.

Както можете да видите, при решаването на това уравнение с помощта на различни формули получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили напълно формулите, показани на диаграмата на фигура 1, вие винаги ще можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

IN модерно обществоспособността да се извършват операции с уравнения, съдържащи променлива на квадрат, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко на практика в научните и технически разработки. Доказателство за това може да се намери в дизайна на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. Използвайки такива изчисления, траекториите на движение на най-много различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при туристически походи, на спортни събития, в магазини, когато правите покупки и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставните му множители

Степента на уравнението се определя от максималната стойност на степента на променливата, която изразът съдържа. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно.

Ако говорим на езика на формулите, тогава посочените изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат доведени до формата, когато лява странаизразът се състои от три члена. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че на такъв полином липсва един от съставните му членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Примери за решаване на такива проблеми, стойностите на променливите, в които са лесни за намиране, трябва да бъдат разгледани първо.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна, по-точно ax 2 и bx, най-лесният начин да намерите x е като поставите променливата извън скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). След това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на тела под въздействието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало на координатите. Тук математическа нотацияприема следния вид: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна на 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, което минава от момента, в който тялото се издига до момента, в който пада, както и много други количества. Но ще говорим за това по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, дава възможност за решаване на тези проблеми в повече трудни случаи. Нека да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

Това квадратен тричлензавършено е. Първо, нека трансформираме израза и го разложим на множители. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примерите за решаване на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само от втория, но дори от третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагаме дясната страна на множители с променлива, има три от тях, а именно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -1; 3.

Корен квадратен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, представен на езика на буквите по такъв начин, че дясна часте изграден от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля към правилната страна, и след това се изважда корен квадратен от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в в такъв случайОбикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения могат да бъдат равенства, които изобщо не съдържат член с, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат извършени с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се е появила в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се определя от необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Трябва също така да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения въз основа на проблеми от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълен парцел земя, чиято дължина е с 16 метра по-голяма от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако знаете, че площта му е 612 m2.

За да започнем, нека първо създадем необходимото уравнение. Нека означим с x ширината на областта, тогава нейната дължина ще бъде (x+16). От написаното следва, че площта се определя от израза x(x+16), който според условията на нашата задача е 612. Това означава, че x(x+16) = 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна все още съдържа два фактора, техният продукт изобщо не е равен на 0, така че тук се използват различни методи.

Дискриминанта

Първо, нека направим необходимите трансформации външен видна този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във форма, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да е пример за решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант. Тук необходими изчислениясе произвеждат по схемата: D = b 2 - 4ac. Това спомагателно количество не само прави възможно намирането на необходимите количества в уравнение от втори ред, то определя количеството възможни варианти. Ако D>0, има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е равен на: 256 - 4(-612) = 2704. Това предполага, че нашият проблем има отговор. Ако знаете k, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерите на парцела не могат да бъдат измерени в отрицателни величини, което означава, че x (т.е. ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18 +16=34, а периметър 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продължаваме с изучаването на квадратни уравнения. Примери и подробни решения на някои от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Нека преместим всичко в лявата страна на равенството, да направим трансформация, тоест ще получим типа уравнение, което обикновено се нарича стандартно, и ще го приравним към нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Добавяйки подобни, ние определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Това означава, че нашето уравнение ще има два корена. Нека ги изчислим по горната формула, което означава, че първото от тях ще бъде равно на 4/3, а второто на 1.

2) Сега нека разрешим мистерии от различен вид.

Нека разберем дали тук има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, нека редуцираме полинома до съответната обичайна форма и изчислим дискриминанта. В горния пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, защото това изобщо не е същността на проблема. В този случай D = 16 - 20 = -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения, като се използват горните формули и дискриминантът, когато квадратният корен се взема от стойността на последния. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини за получаване на стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Тя носи името на живялия през 16 век във Франция и направил блестяща кариера благодарение на математическия си талант и връзки в двора. Неговият портрет можете да видите в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че корените на уравнението се събират числено до -p=b/a, а произведението им съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Нека използваме теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След проверка ще се уверим, че стойностите на тези променливи наистина се вписват в израза.

Парабола и уравнение

Понятията квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме малко по-подробно някои математически гатанки. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава връзка, начертана като графика, се нарича парабола. Различните му видове са представени на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е абсцисната координата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени с помощта на току-що дадената формула x 0 = -b/2a. И чрез заместване на получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, която принадлежи на ординатната ос.

Пресечната точка на клоновете на парабола с абсцисната ос

Има много примери за решаване на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека да ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на параболата можете да определите и корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И знаейки точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се изгради графика.

От историята

Използвайки уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена те не само правеха математически изчисления и определяха площите на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за големи открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са били сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Не бяха запознати и с други тънкости, които всеки съвременен ученик знае.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия Баудхаяма започва да решава квадратни уравнения. Това се случи около осем века преди ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в своите трудове от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

След това приемаме, че това са реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако начертаете функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
При , графиката пресича оста x (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
Където
; .

И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението

извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме факторизацията на квадратния трином:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма реални корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма реални корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.