Ще разгледаме изрази на реда на Фурие в тригонометрична и сложна форма, а също така ще обърнем внимание на условията на Дирихле за сходимост на реда на Фурие. Освен това ще се спрем подробно на обяснението на такова понятие като отрицателната честота на спектъра на сигнала, което често създава затруднения при запознаване с теорията на спектралния анализ.
Периодичен сигнал. Тригонометрични редове на Фурие
Нека има периодичен сигнал с непрекъснато време, който се повтаря с период c, т.е. , където е произволно цяло число.
Като пример Фигура 1 показва поредица от правоъгълни импулси с продължителност c, повтарящи се с период c.
Фигура 1. Периодична последователност
правоъгълни импулси
От курса на математическия анализ е известно, че системата от тригонометрични функции
С множество честоти, където rad/s е цяло число, той формира ортонормална основа за разлагане на периодични сигнали с период, удовлетворяващ условията на Дирихле. Условията на Дирихле за конвергенцията на реда на Фурие изискват периодичен сигнал да бъде специфициран на сегмента и да отговаря на следните условия:
Например периодичната функция 
не удовлетворява условията на Дирихле, тъй като функцията има прекъсвания от втори вид и приема безкрайни стойности при , където е произволно цяло число. Така че функцията не може да бъде представен близо до Фурие. Можете също да дадете пример за функцията 
, което е ограничено, но също така не отговаря на условията на Дирихле, тъй като има безкраен брой точки на екстремум, когато се доближава до нула. Графика на функция показано на фигура 2.
Фигура 2. Функционална графика :
а - два периода на повторение; b - в близост
Фигура 2а показва два периода на повторение на функцията , а на Фигура 2б - зоната в околностите на . Може да се види, че когато се приближава до нула, честотата на трептене нараства безкрайно и такава функция не може да бъде представена чрез ред на Фурие, тъй като не е монотонна на части.
Трябва да се отбележи, че на практика няма сигнали с безкрайни стойности на тока или напрежението. Функции с безкраен брой екстремуми от тип също не се срещат в приложни задачи. Всички реални периодични сигнали отговарят на условията на Дирихле и могат да бъдат представени чрез безкраен тригонометричен ред на Фурие от формата:
В израз (2) коефициентът определя постоянната компонента на периодичния сигнал.
Във всички точки, където сигналът е непрекъснат, редът на Фурие (2) се сближава към стойностите на дадения сигнал, а в точките на прекъсване от първи вид - към средната стойност , където и са границите вляво и вдясно от точката на прекъсване, съответно.
От курса на математическия анализ също е известно, че използването на пресечен ред на Фурие, съдържащ само първите членове вместо безкрайна сума, води до приблизително представяне на сигнала:
При което се осигурява минималната средноквадратична грешка. Фигура 3 илюстрира приближението на периодична правоъгълна поредица от вълни и периодична наклонена вълна при използване на различен брой членове на реда на Фурие.
Фигура 3. Апроксимация на сигнали с помощта на пресечен ред на Фурие:
а - правоъгълни импулси; б - сигнал на трион
Редици на Фурие в сложна форма
В предишния раздел разгледахме тригонометричния ред на Фурие за разширяване на произволен периодичен сигнал, удовлетворяващ условията на Дирихле. Използвайки формулата на Ойлер, можем да покажем:
Тогава тригонометричният ред на Фурие (2), като се вземе предвид (4):
По този начин, периодичен сигнал може да бъде представен чрез сумата от постоянен компонент и комплексни експоненциали, въртящи се при честоти с коефициенти за положителни честоти и за комплексни експоненциали, въртящи се при отрицателни честоти.
Нека разгледаме коефициентите за комплексни експоненциали, въртящи се с положителни честоти:
По същия начин коефициентите за сложни експоненциали, въртящи се с отрицателни честоти, са:
Изразите (6) и (7) съвпадат, освен това постоянната компонента може да бъде записана и чрез комплексна експонента при нулева честота:
По този начин (5), като се вземе предвид (6)-(8), може да бъде представено като единична сума, когато се индексира от минус безкрайност до безкрайност:
От израз (2) следва, че за реален сигнал коефициентите на ред (2) също са реални. Въпреки това (9) свързва реален сигнал с набор от сложни спрегнати коефициенти, свързани както с положителните, така и с отрицателните честоти.
Някои обяснения на реда на Фурие в сложна форма
В предишния раздел направихме прехода от тригонометричния ред на Фурие (2) към реда на Фурие в сложна форма (9). В резултат на това, вместо разлагане на периодични сигнали в основата на реални тригонометрични функции, ние получихме разширение в основата на комплексни експоненти, с комплексни коефициенти, като в разширението се появиха дори отрицателни честоти! Тъй като този въпрос често се разбира погрешно, е необходимо известно пояснение.
Първо, работата със сложни експоненти в повечето случаи е по-лесна от работата с тригонометрични функции. Например при умножаване и деление на сложни експоненти е достатъчно само да се добавят (изваждат) експонентите, докато формулите за умножение и деление на тригонометрични функции са по-тромави.
Диференцирането и интегрирането на експоненциали, дори комплексни, също е по-лесно от тригонометричните функции, които постоянно се променят, когато се диференцират и интегрират (синусът се превръща в косинус и обратно).
Ако сигналът е периодичен и реален, тогава тригонометричният ред на Фурие (2) изглежда по-ясен, тъй като всички коефициенти на разширение , и остават реални. Често обаче трябва да се работи със сложни периодични сигнали (например при модулиране и демодулиране се използва квадратурно представяне на комплексната обвивка). В този случай, когато се използва тригонометричният ред на Фурие, всички коефициенти и разширения (2) ще станат комплексни, докато когато се използва редът на Фурие в сложна форма (9), ще се използват същите коефициенти на разширение както за реални, така и за комплексни входни сигнали .
И накрая, трябва да се спрем на обяснението на отрицателните честоти, които се появиха в (9). Този въпрос често предизвиква недоразумения. IN Ежедневиетоне срещаме отрицателни честоти. Например, ние никога не настройваме радиото си на отрицателна честота. Нека разгледаме следната аналогия от механиката. Нека има механично пружинно махало, което трепти свободно с определена честота. Може ли махало да трепти с отрицателна честота? Разбира се, че не. Както няма радиостанции, излъчващи на отрицателни честоти, така и честотата на трептенията на махалото не може да бъде отрицателна. Но пружинното махало е едноизмерен обект (махалото осцилира по една права линия).
Можем да дадем и друга аналогия от механиката: колело, което се върти с честота . Колелото, за разлика от махалото, се върти, т.е. точка от повърхността на колелото се движи в равнина, а не просто осцилира по една права линия. Следователно, за да се определи еднозначно въртенето на колелото, настройката на скоростта на въртене не е достатъчна, тъй като е необходимо да се зададе и посоката на въртене. Точно затова можем да използваме знака за честота.
Така че, ако колелото се върти с ъглова честота rad/s обратно на часовниковата стрелка, тогава считаме, че колелото се върти с положителна честота, а ако по посока на часовниковата стрелка, тогава честотата на въртене ще бъде отрицателна. Така за команда за въртене отрицателната честота престава да бъде глупост и показва посоката на въртене.
И сега най-важното, което трябва да разберем. Трептенията на едномерен обект (например пружинно махало) могат да бъдат представени като сбор от завъртанията на два вектора, показани на фигура 4.
Фигура 4. Трептене на пружинно махало
като сбор от завъртания на два вектора
на сложната равнина
Махалото се колебае по реалната ос на комплексната равнина с честота според хармоничния закон. Движението на махалото е показано като хоризонтален вектор. Горният вектор се върти в комплексната равнина с положителна честота (обратно на часовниковата стрелка), а долният вектор се върти с отрицателна честота (по часовниковата стрелка). Фигура 4 ясно илюстрира добре познатата връзка от курса по тригонометрия:
Така серията на Фурие в комплексна форма (9) представя периодични едномерни сигнали като сума от вектори в комплексната равнина, въртящи се с положителни и отрицателни честоти. В същото време нека отбележим, че в случай на реален сигнал, съгласно (9), коефициентите на разширение за отрицателни честоти са комплексно спрегнати на съответните коефициенти за положителни честоти. В случай на сложен сигнал това свойство на коефициентите не е валидно поради факта, че и също са комплексни.
Спектър на периодични сигнали
Серията на Фурие в комплексна форма е разлагане на периодичен сигнал в сума от комплексни експоненциали, въртящи се при положителни и отрицателни честоти в кратни на rad/c със съответните комплексни коефициенти, които определят спектъра на сигнала. Комплексните коефициенти могат да бъдат представени с помощта на формулата на Ойлер като , където е амплитудният спектър, a е фазовият спектър.
Тъй като периодичните сигнали се подреждат в ред само върху фиксирана честотна мрежа, спектърът на периодичните сигнали е линеен (дискретен).
Фигура 5. Спектър на периодична последователност
правоъгълни импулси:
а - амплитуден спектър; b - фазов спектър
Фигура 5 показва пример на амплитудния и фазовия спектър на периодична последователност от правоъгълни импулси (вижте Фигура 1) при c, продължителност на импулса c и амплитуда на импулса B.
Редица на Фурие от периодични функции с период 2π.
Редът на Фурие ни позволява да изучаваме периодични функции, като ги разлагаме на компоненти. Характерни са променливи токове и напрежения, премествания, скорост и ускорение на коляно-мотовилковите механизми и акустичните вълни практически примериприложение на периодични функции в инженерните изчисления.
Разширяването на реда на Фурие се основава на предположението, че всички функции с практическо значение в интервала -π ≤x≤ π могат да бъдат изразени под формата на сходящи тригонометрични редове (редът се счита за сходящ, ако последователността от частични суми, съставена от неговите членове се сближава):
Стандартна (=обикновена) нотация чрез сумата от sinx и cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
където a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. са реални константи, т.е.
Където за диапазона от -π до π коефициентите на реда на Фурие се изчисляват по формулите:
Коефициентите a o , a n и b n се наричат Коефициенти на Фурие, и ако те могат да бъдат намерени, тогава се извиква серия (1). до Фурие,съответстваща на функцията f(x). За ред (1) членът (a 1 cosx+b 1 sinx) се нарича първо или основен хармоник,
Друг начин да напишете серия е да използвате релацията acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Където a o е константа, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 са амплитудите на различните компоненти и е равно на a n =arctg a n /b n.
За серия (1), терминът (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) се нарича първи или основен хармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) се нарича втори хармоники така нататък.
За точно представяне на сложен сигнал обикновено са необходими безкраен брой термини. Въпреки това, в много практически задачи е достатъчно да се разгледат само първите няколко члена.
Редица на Фурие от непериодични функции с период 2π.
Разширение на непериодични функции.
Ако функцията f(x) е непериодична, това означава, че тя не може да бъде разширена в серия на Фурие за всички стойности на x. Въпреки това е възможно да се дефинира серия на Фурие, представляваща функция във всеки диапазон с ширина 2π.
Като се има предвид непериодична функция, може да се конструира нова функция чрез избиране на стойности на f(x) в определен диапазон и повтарянето им извън този диапазон на интервали от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период 2π, тя може да бъде разширена в ред на Фурие за всички стойности на x. Например функцията f(x)=x не е периодична. Ако обаче е необходимо да се разшири в серия на Фурие в интервала от o до 2π, тогава извън този интервал се конструира периодична функция с период 2π (както е показано на фигурата по-долу).
За непериодични функции като f(x)=x, сумата от реда на Фурие е равна на стойността на f(x) във всички точки в даден диапазон, но не е равна на f(x) за точки извън диапазона. За да се намери редът на Фурие на непериодична функция в диапазона 2π, се използва същата формула на коефициентите на Фурие.
Четни и нечетни функции.
Те казват, че функцията y=f(x) дори, ако f(-x)=f(x) за всички стойности на x. Графиките на четните функции винаги са симетрични спрямо оста y (т.е. те са огледални изображения). Два примера за четни функции: y=x2 и y=cosx.
Те казват, че функцията y=f(x) странно,ако f(-x)=-f(x) за всички стойности на x. Графиките на нечетните функции винаги са симетрични спрямо началото.
Много функции не са нито четни, нито нечетни.
Разлагане в ред на Фурие по косинуси.
Редът на Фурие на четна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само косинусови членове (т.е. няма синусови членове) и може да включва постоянен член. следователно
където са коефициентите на реда на Фурие,
Редът на Фурие на нечетна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само членове със синуси (т.е. не съдържа членове с косинуси).
следователно
където са коефициентите на реда на Фурие,
Редица на Фурие на половин цикъл.
Ако дадена функция е дефинирана за диапазон, да речем от 0 до π, а не само от 0 до 2π, тя може да бъде разширена в серия само по синуси или само по косинуси. Полученият ред на Фурие се нарича близо до Фурие на половин цикъл.
Ако искате да получите разлагането Полупериод на Фурие по косинусифункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се построи четна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като дори функциясиметрично спрямо оста f(x), начертайте линия AB, както е показано на фиг. По-долу. Ако приемем, че извън разглеждания интервал получената триъгълна формае периодична с период от 2π, тогава крайната графика изглежда, покажете. на фиг. По-долу. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие в косинуси, както преди, изчисляваме коефициентите на Фурие a o и a n
Ако трябва да получите Разширение по синус на полупериод на Фуриефункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се построи нечетна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като нечетната функция е симетрична спрямо началото, ние конструираме линията CD, както е показано на фиг. Ако приемем, че извън разглеждания интервал резултантният сигнал на трион е периодичен с период от 2π, тогава крайната графика има формата, показана на фиг. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие на полупериода по отношение на синусите, както преди, изчисляваме коефициента на Фурие. b
Редица на Фурие за произволен интервал.
Разгъване на периодична функция с период L.
Периодична функция f(x) се повтаря, когато x нараства с L, т.е. f(x+L)=f(x). Преходът от разгледаните по-рано функции с период от 2π към функции с период от L е доста прост, тъй като може да се направи с промяна на променлива.
За да намерим реда на Фурие на функцията f(x) в диапазона -L/2≤x≤L/2, въвеждаме нова променлива u, така че функцията f(x) да има период от 2π спрямо u. Ако u=2πx/L, тогава x=-L/2 за u=-π и x=L/2 за u=π. Нека също f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Редът на Фурие F(u) има формата
(Границите на интегриране могат да бъдат заменени с всеки интервал с дължина L, например от 0 до L)
Редици на Фурие върху полупериод за функции, определени в интервала L≠2π.
За заместването u=πх/L интервалът от x=0 до x=L съответства на интервала от u=0 до u=π. Следователно функцията може да бъде разширена в серия само по косинуси или само по синуси, т.е. V Редица на Фурие на половин цикъл.
Косинусното разширение в диапазона от 0 до L има формата
, Където
.
Редът на Фурие на функция f(x) в интервала (-l;l) е тригонометричен ред от вида: 
, Където
.
Предназначение. Онлайн калкулаторе предназначен да разшири функцията f(x) в ред на Фурие.
За модулни функции (като |x|), използвайте косинусово разширение.
Правила за въвеждане на функции:
За модулни функции използвайте разширение по косинус. Например за |x| необходимо е да се въведе функция без модул, т.е. х.Частично непрекъснати редове на Фурие, частично монотонни и ограничени в интервала (- л;л) на функцията се събира на цялата числова ос.
Сума от редове на Фурие S(x):
- е периодична функция с период 2 л. Функция u(x) се нарича периодична с период T (или T-периодична), ако за всички x от областта R, u(x+T)=u(x).
- на интервала (- л;л) съвпада с функцията f(х), с изключение на точките на прекъсване
- в точки на прекъсване (от първи вид, тъй като функцията е ограничена) на функцията f(х) и в края на интервала приема средни стойности:
Казват, че функцията се разширява в ред на Фурие на интервала (- л;л):
.
Ако f(х) е четна функция, то в нейното разширяване участват само четни функции, т.е b n=0.
Ако f(х) е нечетна функция, то в нейното разширение участват само нечетни функции, т.е a n=0
Близо до Фурие
функции f(х) на интервала (0; л) чрез косинуси на множество дъги
редът се нарича: 
, Където 
.
Близо до Фурие
функции f(х) на интервала (0; л) по синусите на множество дъги
редът се нарича: 
, Където 
.
Сумата от редовете на Фурие върху косинусите на множество дъги е четна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.
Сумата от редовете на Фурие върху синусите на множество дъги е нечетна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.
Серията на Фурие за дадена функция на даден интервал има свойството уникалност, т.е. ако разширението се получава по друг начин освен с помощта на формули, например чрез избиране на коефициенти, тогава тези коефициенти съвпадат с тези, изчислени от формулите .
Пример №1. Функция за разгъване f(х)=1:
а) в пълен ред на Фурие на интервала(-π ;π);
б) в серия по синусите на множество дъги на интервала(0;π); начертайте получения ред на Фурие
Решение:
а) Разлагането в ред на Фурие върху интервала (-π;π) има формата: 
,
и всички коефициенти b n=0, защото тази функция е четна; По този начин,
Очевидно равенството ще бъде спазено, ако приемем
А 0 =2, А 1 =А 2 =А 3 =…=0
Поради свойството уникалност, това са необходимите коефициенти. По този начин, необходимото разлагане: 
или просто 1=1.
В този случай, когато една редица съвпада идентично със своята функция, графиката на реда на Фурие съвпада с графиката на функцията върху цялата числова ос.
б) Разширението върху интервала (0;π) по отношение на синусите на множество дъги има формата:
Очевидно е невъзможно да се изберат коефициентите, така че равенството да се запази еднакво. Нека използваме формулата за изчисляване на коефициентите:
По този начин, за дори н (н=2к) ние имаме b n=0, за нечетно ( н=2к-1) - 
накрая 
.
Нека начертаем получения ред на Фурие, използвайки неговите свойства (вижте по-горе).
Първо, изграждаме графика на тази функция на даден интервал. След това, като се възползваме от нечетността на сбора на серията, продължаваме графиката симетрично към началото: 
Продължаваме периодично по цялата числова линия: 
И накрая, в точките на прекъсване попълваме средните (между дясната и лявата граница) стойности: 
Пример №2. Разширяване на функция 
на интервала (0;6) по синусите на множество дъги.
Решение: Необходимото разширение има формата:
Тъй като и лявата, и дясната страна на равенството съдържат само функции гряхот различни аргументи, трябва да проверите дали за всякакви стойности на n (естествени!), аргументите на синусите вляво и десни частиравенство:
или , от което n =18. Това означава, че такъв член се съдържа от дясната страна и неговият коефициент трябва да съвпада с коефициента от лявата страна: b 18 =1;
или , от което n =4. означава, b 4 =-5.
По този начин чрез избиране на коефициентите беше възможно да се получи желаното разширение:
Федерален държавен бюджет образователна институция висше образование
„ВОЛЖКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОМУНИКАЦИИ И ИНФОРМАТИКА"
Катедра Висша математика
О.В.СТАРОЖИЛОВА
СПЕЦИАЛНИ ГЛАВИ ПО МАТЕМАТИКАТА
протокол No45 от 10.03.2017г
Старожилова, О.В.
C Специални глави по математика: учебник //Старожилова О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 с.
Урокзасяга специални клонове на математиката: математическа логика и теория на автоматите, пропозиционална алгебра, пропозиционално смятане, елементи от теорията на алгоритмите, регресионен анализ, методи за оптимизация.
За студенти и магистри, обучаващи се в направление 09.03.02 г. Информационни системи и технологии“, които искат да изучават сами специални глави от математиката.
Всеки раздел завършва с контролни въпроси, които ще помогнат за проверка на теоретичното овладяване на курса, съдържа голям брой задачи за независимо решениеи отговори за проверка.
Ръководството съдържа лабораторен комплекс и редица инженерни задачи с акцент върху софтуерната реализация на методите на изчислителната математика.
Старожилова О.В., 2017
Глава 1 Хармоничен анализ 6
1.1 Проблем със звучаща струна 7
1.2 Ортогонални системи от функции 8
1.3 Ред на Фурие за тригонометричната система от функции 10
1.4 Достатъчни условияразширяване на функция в ред на Фурие 13
1.5 Разлагане в ред на Фурие на непериодична функция 17
1.6 Редица на Фурие за четни и нечетни функции 18
1.7 Редица на Фурие за функции от произволен период 21
1.8 Интеграл на Фурие 27
1.9 Интеграл на Фурие за четни и нечетни функции 29
1.10 Сложна формаИнтеграл на Фурие 30
1.11 Преобразуване на Фурие 32
Глава 2 Математическа логика и IV 33
2.1 Етапи на развитие на логиката 34
2.2 Пропозиционална логика 38
2.3Логически връзки 40
2.4 Логически операции 41
2.5 Азбука на пропозиционалното смятане 42
2.6. Тавтология 42
2.7 Закони на пропозиционалната логика 44
2.8 Формални теории. Излюпваемост. Тълкуване 46
2.9 Аксиоматичен метод 47
2.10 Система от аксиоми на пропозиционалното смятане (PS) 52
2.11 Правила за заключение 53
2.12 Изведени правила за извод 56
2.13 Конструиране на заключение в пропозиционалната логика 62
2.14 Връзка между алгебра и пропозиционално смятане 66
Глава 3 Проблеми с регресионен анализ 70
3.1 Метод най-малки квадрати 74
3.2 Линеен регресионен анализ 76
3.3 Оценка на регресионния модел 79
3.4 Проблеми при прилагането на метода на линейната регресия 83
3.5 Предпоставки на статистическия модел LR 85
3.6 Проблеми на регресионния анализ 86
3.7 Многовариантна норма регресионен модел 90
3.8 Вариация на зависимата променлива 92
Тестови въпроси 94
Глава 4 Обща формулировка и видове проблеми при вземане на решения 95
4.1 Математическа формулировка на задачата за оптимизация 97
4.2 Локален и глобален минимум TF 99
4.3 Методи безусловна оптимизация 102
4.4 Метод на координатно спускане 102
4.5 Метод на Розенброк 105
4.6 Метод на конфигуриране 105
4.7 Методи за произволно търсене 108
4.8 Метод на Нютон 112
Глава 5 Преобразуване на Фурие 114
5.1 Апроксимация на функцията на Фурие 114
5.2 Преобразуване на Фурие 117
5.3 Бързо преобразуване на Фурие 120
ЛАБОРАТОРЕН КОМПЛЕКС 123
Хармоничен и спектрален анализ 123
Тема 1. “Пропозиционална логика” 131
Варианти на индивидуални задания за тема LP 133
Тема 2. Линейна регресия по двойки 140
Лабораторна работа № 1 141
Изчисляване на коефициенти на LR уравнение 141
Лабораторна работа № 2 144
Изчисляване на коефициента на корелация на извадката 144
Лабораторна работа № 3 145
Изчисляване на оценки на дисперсии на сдвоени LR 145
Лабораторна работа № 4 147
Функции на Excel за сдвоени LR коефициенти 147
Лабораторна работа № 5 149
Конструиране на интервална оценка за сдвоената LR функция 149
Лабораторна работа № 6 151
Проверка на значимостта на уравнението LR с помощта на критерия на Фишер 151
Тема 3 Нелинейна регресия по двойки 153
Лабораторна работа № 7 153
Изграждане на нелинейна регресия с помощта на 153
Добавяне на команди за линия на тенденция 153
Лабораторна работа № 8 158
Избор на най-добрата нелинейна регресия 158
Тема 4. Линеен множествена регресия 161
Лабораторна работа № 9 162
Изчисляване на LMR коефициенти 162
Лабораторна работа № 10 166
Тестване на значимостта в режим на регресия 166
Тема 5. Нелинейна множествена регресия 175
Лабораторна работа № 11 175
Изчисление за функцията на Коб-Дъглас 175
Тест № 1 179
Сдвоена регресия 179
Тест No2 181
множествено число линейна регресия 181
Числени методи за търсене на безусловен екстремум 185
Графичен анализ на функция 185
Задача за едномерно търсене 187
Алгоритъм на Свен 190
Метод на груба сила 193
Метод за побитово търсене 195
Метод на дихотомия. 198
Метод на Фибоначи 201
Метод на златното сечение 205
Метод на средната точка 210
Метод на Нютон 214
Литература 218
Глава 1 Хармоничен анализ
ОпределениеХармоничен анализ-клон на математиката, свързан с разлагането на вибрациите в хармонични вибрации.
Когато изучаваме периодични (т.е. повтарящи се във времето) явления, ние вземаме предвид периодични функции.
Например, хармонично трептене се описва от периодична функция на времето T:
Ø ОпределениеПериодична функция- функция, чиято стойност не се променя при извикване на определено различно от нула число Периодфункции.
Тъй като сборът и разликата на два периода отново е период и следователно всяко кратно на период също е период, тогава всяка периодична функция има безкраен брой периоди.
Ако една периодична функция има реален период, е непрекъсната и е различна от константа, тогава тя има най-малкия положителен период T; всеки друг реален период на същата функция ще има формата kT, Където k =±1, ±2,...
Сумата, произведението и частното на периодични функции с еднакъв период са периодична функция с еднакъв период.
Периодичните функции играят изключително важна роля в теорията на трептенията и в математическата физика като цяло. В хода на математическия анализ се запознахме с концепцията за функционален ред, работихме с неговия важен частен случай - степенни редове. Нека разгледаме друг много важен (включително за физически приложения) специален случайфункционални редове - тригонометрични редове.
Ø Определение Функционален диапазон –серия от формата
където са функции, зависещи от една променлива или няколко променливи.
За всяка фиксирана стойност функционалната серия се превръща в числова серия
които могат да се сближават или да се разминават.
Ø Определение Точка на сходимост на функционални редове- точката, в която се събира функционалната редица.
Ø ОпределениеМножеството от всички точки на сходимост се нарича област на конвергенция на серията.
възможно ли е тази функцияпредставят под формата на тригонометрична серия, т.е. възможно ли е да се намерят коефициентите? a nИ b nтака че да има равенство за всички
Сборът на редицата очевидно е периодична функция. Това означава, че само периодични функции могат да бъдат разширени в тригонометрична серия f.
Освен това е ясно, че ако две периодични функции съвпадат на интервал, чиято дължина е равна на периода, то те съвпадат навсякъде. Следователно е достатъчно да проверите определен интервал от дължина, например .
1.1 Проблем със звучащата струна
Проучването на тригонометричните серии беше доведено до проблема със звучащата струна, поставен през 18 век.
При дадена функция възможно ли е да се намери тригонометричен ред, който се събира и има като своя сума функцията. Необходимо е да му се наложат ограничения, за да може да се търси сходящ се към него тригонометричен ред.
Подобна задача беше и за степенни редове, ако е разрешима, тогава такава редица е серия на Тейлър.
1.2 Ортогонални системи от функции
Систематичното изследване на ортогоналните системи от функции започна във връзка с метода на Фурие за решаване на гранични задачи на уравнения на математическата физика. Един от основните проблеми в теорията на ортогоналните системи от функции е проблемът за разлагане на функция f(х) в серия от формата , където е ортогонална система от функции.
Ø ОпределениеФункциите се наричат ортогоналенна , ако е изпълнено:
р Пример , 
- функции са ортогонални на , защото 
р Пример on е ортогонален на всяка функция, дефинирана на.
Ø ОпределениеБезкрайна система от функции се нарича ортогоналенна ако
р ПримерЕдна безкрайна система от функции не образува ортогонална система от функции
р Пример -тригонометрична функционална системаобразува система от ортогонални на него функции.
, 
, 
.
Ø ОпределениеНека произволна система от функции, ортогонални на . Редете
където са произволни числени коефициенти, т.нар една до друга според ортогонална система от функции.
Ø ОпределениеРедици според тригонометричната система от функции
Наречен тригонометрични серии.
ü КоментирайтеАко е сумата от тригонометрична серия, събираща се във всяка точка, тогава тя е периодична, тъй като , са периодични функции с период, тогава в равенството 
нищо няма да се промени, следователно периодично.
ü КоментирайтеАко е дадено на сегмента, но не и , тогава чрез изместване на началото на координатите може да бъде намалено до изследвания случай.
ü КоментирайтеАко периодична функция с период не е , тогава тя се разширява в тригонометрична серия
р ТеоремаАко числова серия се сближава, тогава тригонометричната серия
се събира абсолютно и равномерно по цялата ос.
Доказателство
следователно
серия - мажорира дадена тригонометрична серия и според теста на Вайерщрас се сближава равномерно.
Абсолютната конвергенция е очевидна.
1.3 Ред на Фурие за тригонометричната система от функции
Жан Батист Жозеф Фурие 1768 – 1830 – френски математик.
За да изчислим коефициентите на реда на Фурие, изчисляваме интегралите
, 
, 
, 
,
р ТеоремаАко има равенство за всички
и тригонометричната серия се събира равномерно по цялата ос, тогава коефициентите на тази серия се определят
, 
,
Доказателство
Серията се сближава равномерно по цялата числова линия, нейните членове са непрекъснати функции, тогава нейната сума също е непрекъсната и интегрирането член по член на серията е възможно в рамките
Всеки интеграл е равен на нула, т.к тригонометрична система от функции е ортогонална на , и тогава
За да го докажете, умножете двете страни по
Това няма да наруши равномерното сближаване на серията.
Поради равномерната сходимост на реда
а това означава равномерна сходимост на редицата.
Интегрирайки върху , имаме
Поради ортогоналността на тригонометричната система от функции на
, 
, и от 
интеграл при ,
, това и т.н.
Нека помним това
Валидността на тези равенства следва от прилагането на тригонометричните формули към интегралната функция.
Формулата за се доказва по подобен начин.
ü КоментирайтеТеоремата остава валидна за всеки интервал, а границите на интегриране се заменят съответно с и .
Ø ОпределениеТригонометрични серии
,
чиито коефициенти се определят по формулите
, ,
,
Наречен близо до Фуриеза функцията, а коефициентите се извикват Коефициенти на Фурие.
Ако редът на Фурие на функция f(x)се събира във всичките си точки на непрекъснатост, тогава казваме, че функцията f(x) се разширява в ред на Фурие.
ü КоментирайтеНе всеки тригонометричен ред е ред на Фурие, дори ако се събира на цялата числова ос.
Сумата от неравномерно сходящи се редове може да бъде прекъсната и неинтегрируема, така че определянето на коефициентите на Фурие е невъзможно.
ü КоментирайтеРедът на Фурие е специален случай на функционален ред.
1.4 Достатъчни условия за разлагане на функция в ред на Фурие
Ø ОпределениеФункцията се извиква частично монотонно върху сегмента,ако този сегмент може да бъде разделен на краен брой точки x 1 , x 2 , ..., x n-1на интервали ( а,х 1), (х 1,х 2), ..., (xn-1,b), така че на всеки от интервалите функцията е монотонна, т.е. или не нараства, или не намалява.
ü КоментирайтеОт дефиницията следва, че ако една функция е частично монотонна и ограничена до [ а,b], то има само прекъсвания от първи вид.
Ø ОпределениеФункцията се извиква гладка на части, ако на всеки краен интервал то и неговата производна имат най-много краен брой точки на прекъсване от 1-ви род.
р Теорема (условие на Дирихледостатъчно условие за разложимостта на функция в ред на Фурие): Ако периодична функция с период удовлетворява едно от условията:
тогава редът на Фурие, конструиран за тази функция, се събира във всички точки
и се свежда до числото 
във всяка точка от нейното прекъсване.
Сумата от получената серия е равна на стойността на функцията в точките на непрекъснатост на функцията
Функции, разлагането им на компоненти. Променливите токове и напрежения, преместванията, скоростта и ускорението на коляно-мотовилковите механизми и акустичните вълни са типични практически примери за използването на периодични функции в инженерните изчисления.
Разширяването на реда на Фурие се основава на предположението, че всички функции с практическо значение в интервала -π ≤x≤ π могат да бъдат изразени под формата на сходящи тригонометрични редове (редът се счита за сходящ, ако последователността от частични суми, съставена от неговите членове се сближава):
Стандартна (=обикновена) нотация чрез сумата от sinx и cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
където a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. са реални константи, т.е.
Където за диапазона от -π до π коефициентите на реда на Фурие се изчисляват по формулите:
Коефициентите a o , a n и b n се наричат Коефициенти на Фурие, и ако те могат да бъдат намерени, тогава се извиква серия (1). до Фурие,съответстваща на функцията f(x). За ред (1) членът (a 1 cosx+b 1 sinx) се нарича първо или основен хармоник,
Друг начин да напишете серия е да използвате релацията acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Където a o е константа, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 са амплитудите на различните компоненти и е равно на a n =arctg a n /b n.
За серия (1), терминът (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) се нарича първи или основен хармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) се нарича втори хармоники така нататък.
За точно представяне на сложен сигнал обикновено са необходими безкраен брой термини. Въпреки това, в много практически задачи е достатъчно да се разгледат само първите няколко члена.
Редица на Фурие от непериодични функции с период 2π.
Разлагане на непериодични функции в ред на Фурие.
Ако функцията f(x) е непериодична, това означава, че тя не може да бъде разширена в серия на Фурие за всички стойности на x. Въпреки това е възможно да се дефинира серия на Фурие, представляваща функция във всеки диапазон с ширина 2π.
Като се има предвид непериодична функция, може да се конструира нова функция чрез избиране на стойности на f(x) в определен диапазон и повтарянето им извън този диапазон на интервали от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период 2π, тя може да бъде разширена в ред на Фурие за всички стойности на x. Например функцията f(x)=x не е периодична. Ако обаче е необходимо да се разшири в серия на Фурие в интервала от o до 2π, тогава извън този интервал се конструира периодична функция с период 2π (както е показано на фигурата по-долу).
За непериодични функции като f(x)=x, сумата от реда на Фурие е равна на стойността на f(x) във всички точки в даден диапазон, но не е равна на f(x) за точки извън диапазона. За да се намери редът на Фурие на непериодична функция в диапазона 2π, се използва същата формула на коефициентите на Фурие.
Четни и нечетни функции.
Те казват, че функцията y=f(x) дори, ако f(-x)=f(x) за всички стойности на x. Графиките на четните функции винаги са симетрични спрямо оста y (т.е. те са огледални изображения). Два примера за четни функции: y=x2 и y=cosx.
Те казват, че функцията y=f(x) странно,ако f(-x)=-f(x) за всички стойности на x. Графиките на нечетните функции винаги са симетрични спрямо началото.
Много функции не са нито четни, нито нечетни.
Разлагане в ред на Фурие по косинуси.
Редът на Фурие на четна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само косинусови членове (т.е. няма синусови членове) и може да включва постоянен член. следователно
където са коефициентите на реда на Фурие,
Редът на Фурие на нечетна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само членове със синуси (т.е. не съдържа членове с косинуси).
следователно
където са коефициентите на реда на Фурие,
Редица на Фурие на половин цикъл.
Ако дадена функция е дефинирана за диапазон, да речем от 0 до π, а не само от 0 до 2π, тя може да бъде разширена в серия само по синуси или само по косинуси. Полученият ред на Фурие се нарича близо до Фурие на половин цикъл.
Ако искате да получите разлагането Полупериод на Фурие по косинусифункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се построи четна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като четната функция е симетрична спрямо оста f(x), начертаваме линия AB, както е показано на фиг. По-долу. Ако приемем, че извън разглеждания интервал получената триъгълна форма е периодична с период от 2π, тогава крайната графика изглежда така: на фиг. По-долу. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие в косинуси, както преди, изчисляваме коефициентите на Фурие a o и a n
Ако е необходимо да се получат функции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се конструира нечетна периодична функция. На фиг. По-долу е функцията f(x)=x, построена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като нечетната функция е симетрична спрямо началото, ние конструираме линията CD, както е показано на фиг. Ако приемем, че извън разглеждания интервал резултантният сигнал на трион е периодичен с период от 2π, тогава крайната графика има формата, показана на фиг. Тъй като трябва да получим разширението на Фурие на полупериода по отношение на синусите, както преди, изчисляваме коефициента на Фурие. b
Редица на Фурие за произволен интервал.
Разгъване на периодична функция с период L.
Периодичната функция f(x) се повтаря, когато x нараства с L, т.е. f(x+L)=f(x). Преходът от разгледаните по-рано функции с период от 2π към функции с период от L е доста прост, тъй като може да се направи с промяна на променлива.
За да намерим реда на Фурие на функцията f(x) в диапазона -L/2≤x≤L/2, въвеждаме нова променлива u, така че функцията f(x) да има период от 2π спрямо u. Ако u=2πx/L, тогава x=-L/2 за u=-π и x=L/2 за u=π. Нека също f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Редът на Фурие F(u) има формата
Къде са коефициентите на реда на Фурие,
По-често обаче горната формула води до зависимост от x. Тъй като u=2πx/L, това означава du=(2π/L)dx и границите на интегриране са от -L/2 до L/2 вместо от -π до π. Следователно редът на Фурие за зависимостта от x има формата
където в диапазона от -L/2 до L/2 са коефициентите на реда на Фурие,
(Границите на интегриране могат да бъдат заменени с всеки интервал с дължина L, например от 0 до L)
Редици на Фурие върху полупериод за функции, определени в интервала L≠2π.
За заместването u=πх/L интервалът от x=0 до x=L съответства на интервала от u=0 до u=π. Следователно функцията може да бъде разширена в серия само по косинуси или само по синуси, т.е. V Редица на Фурие на половин цикъл.
Косинусното разширение в диапазона от 0 до L има формата
