повишаване нана интервала \(X\), ако за всеки \(x_1, x_2\в X\), такъв че \(x_1

Функцията се извиква ненамаляващ

\(\blacktriangleright\) Извиква се функцията \(f(x)\). намаляващина интервала \(X\), ако за всеки \(x_1, x_2\в X\), такъв че \(x_1 f(x_2)\) .

Функцията се извиква ненарастващна интервала \(X\), ако за всеки \(x_1, x_2\в X\), такъв че \(x_1

\(\blacktriangleright\) Извикват се нарастващи и намаляващи функции строго монотонен, а ненарастващи и ненамаляващи са просто монотонен.

\(\blacktriangleright\) Основни свойства:

азАко функцията \(f(x)\) е строго монотонна върху \(X\) , тогава от равенството \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) следва \(f( x_1)= f(x_2)\) и обратно.

Пример: функцията \(f(x)=\sqrt x\) е строго нарастваща за всички \(x\in \) , следователно уравнението \(x^2=9\) има най-много едно решение на този интервал, или по-скоро едно: \(x=-3\) .

функцията \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) е строго нарастваща за всички \(x\in (-1;+\infty)\), така че уравнението \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) няма повече от едно решение на този интервал или по-скоро нито едно, защото числителят на лявата страна никога не може да бъде равен на нула.

III.Ако функцията \(f(x)\) е ненамаляваща (ненарастваща) и непрекъсната на сегмента \(\), а в краищата на сегмента приема стойностите \(f(a)= A, f(b)=B\), тогава за \(C\in \) (\(C\in \) ) уравнението \(f(x)=C\) винаги има поне едно решение.

Пример: функцията \(f(x)=x^3\) е строго нарастваща (т.е. строго монотонна) и непрекъсната за всички \(x\in\mathbb(R)\), следователно за всяко \(C\ в ( -\infty;+\infty)\) уравнението \(x^3=C\) има точно едно решение: \(x=\sqrt(C)\) .

Задача 1 #3153

Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит

има точно два корена.

Нека пренапишем уравнението като: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Разгледайте функцията \(f(t)=t^3+t\) . Тогава уравнението ще бъде пренаписано във формата: \ Нека изучим функцията \(f(t)\) . \ Следователно, функцията \(f(t)\) нараства за всички \(t\) . Това означава, че всяка стойност на функцията \(f(t)\) съответства на точно една стойност на аргумента \(t\) . Следователно, за да има корени уравнението, е необходимо: \ За да има два корена полученото уравнение, неговият дискриминант трябва да е положителен: \

Отговор:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Задача 2 #2653

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\), за които уравнението \

има два корена.

(Задача от абонати.)

Нека направим замяна: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тогава уравнението ще приеме формата: \ Разгледайте функцията \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тогава нашето уравнение ще приеме формата: \

Нека намерим производната \ Обърнете внимание, че за всички \(w\ne 0\) производната е \(f"(w)>0\) , тъй като \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Забележете също че самата функция \(f(w)\) е дефинирана за всички \(w\) , тъй като \(f(w)\) също е непрекъсната, можем да заключим, че \(f (w)\) нараства върху. цяло \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че равенството \(f(t)=f(u)\) е възможно тогава и само ако \(t=u\) . Нека се върнем към първоначалните променливи и да решим полученото уравнение:

\ За да има два корена това уравнение, то трябва да е квадратно и неговият дискриминант трябва да е положителен:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Отговор:

\((-\infty;1)\чаша(1;2)\)

Задача 3 #3921

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички положителни стойности на параметъра \(a\), за които уравнението

има поне \(2\) решения.

Нека преместим всички членове, съдържащи \(ax\) наляво, и тези, съдържащи \(x^2\) надясно, и разгледаме функцията
\

Тогава първоначалното уравнение ще приеме формата:
\

Нека намерим производната:
\

защото \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), тогава \(f"(t)\geqslant 0\) за всяко \(t\in \mathbb(R)\) .

Освен това \(f"(t)=0\), ако \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos(2t)=0\) едновременно, което не е вярно за всяко \ (t\) . Следователно \(f"(t)> 0\) за всяко \(t\in \mathbb(R)\) .

По този начин функцията \(f(t)\) е строго нарастваща за всички \(t\in \mathbb(R)\) .

Това означава, че уравнението \(f(ax)=f(x^2)\) е еквивалентно на уравнението \(ax=x^2\) .

Уравнението \(x^2-ax=0\) за \(a=0\) има един корен \(x=0\), а за \(a\ne 0\) има два различни корени\(x_1=0\) и \(x_2=a\) .
Трябва да намерим стойностите на \(a\), при които уравнението ще има поне два корена, също като вземем предвид факта, че \(a>0\) .
Следователно отговорът е: \(a\in (0;+\infty)\) .

Отговор:

\((0;+\infty)\) .

Задача 4 #1232

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \

има уникално решение.

Нека умножим дясната и лявата страна на уравнението по \(2^(\sqrt(x+1))\) (тъй като \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) и пренапишем уравнението във формата: \

Помислете за функцията \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)за \(t\geqslant 0\) (тъй като \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Производна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\вдясно)\).

защото \(2^t>0, \dfrac(1)(t+2)>0, \\ln((t+2))>0\)за всички \(t\geqslant 0\) , тогава \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Следователно, като \(t\geqslant 0\) функцията \(y\) намалява монотонно.

Уравнението може да се разглежда във формата \(y(t)=y(z)\) , където \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . От монотонността на функцията следва, че равенството е възможно само ако \(t=z\) .

Това означава, че уравнението е еквивалентно на уравнението: \(ax=\sqrt(x+1)\), което от своя страна е еквивалентно на системата: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Когато \(a=0\) системата има едно решение \(x=-1\), което удовлетворява условието \(ax\geqslant 0\) .

Разгледайте случая \(a\ne 0\) . Дискриминант на първото уравнение на системата \(D=1+4a^2>0\) за всички \(a\) . Следователно уравнението винаги има два корена \(x_1\) и \(x_2\) и те са с различни знаци (тъй като според теоремата на Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Това означава, че за \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условието е изпълнено от положителен корен. Следователно системата винаги има уникално решение.

И така, \(a\in \mathbb(R)\) .

Отговор:

\(a\в \mathbb(R)\) .

Задача 5 #1234

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \

има поне един корен от сегмента \([-1;0]\) .

Помислете за функцията \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)за някои фиксирани \(a\) . Нека намерим неговата производна: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Обърнете внимание, че \(f"(x)\geqslant 0\) за всички стойности на \(x\) и \(a\) и е равно на \(0\) само за \(x=a=1 \). Но за \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Стрелка надясно f(x)=2(x-1)^3 \Стрелка надясно\)уравнението \(2(x-1)^3=0\) има един корен \(x=1\), който не отговаря на условието. Следователно \(a\) не може да бъде равно на \(1\) .

Това означава, че за всички \(a\ne 1\) функцията \(f(x)\) е строго нарастваща, следователно уравнението \(f(x)=0\) може да има не повече от един корен. Като се вземат предвид свойствата на кубичната функция, графиката на \(f(x)\) за някои фиксирани \(a\) ще изглежда така:

Това означава, че за да има уравнението корен на сегмента \([-1;0]\), е необходимо: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Така \(a\in [-2;0]\) .

Отговор:

\(a\in [-2;0]\) .

Задача 6 #2949

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

има корени.

(Задача от абонати)

ODZ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Следователно, за да има корени на едно уравнение, е необходимо поне едно от уравненията \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\]имало решения по ОДЗ.

1) Разгледайте първото уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]Това уравнение трябва да има корени в \(\) . Помислете за кръг:

Така виждаме, че за всяко \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнението ще има едно решение, а за всички останали то няма да има решения. Следователно, когато \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)уравнението има решения.

2) Разгледайте второто уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Разгледайте функцията \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Нека намерим неговата производна: \ В ODZ производната има една нула: \(x=\frac34\) , която също е максималната точка на функцията \(f(x)\) .
Обърнете внимание, че \(f(0)=f(1)=0\) . И така, схематично графиката \(f(x)\) изглежда така:

Следователно, за да има решения на уравнението, е необходимо графиката \(f(x)\) да се пресича с правата \(y=-a\) (фигурата показва един от подходящите варианти). Тоест, необходимо е това \ . За тези \(x\):

Функцията \(y_1=\sqrt(x-1)\) е строго нарастваща. Графиката на функцията \(y_2=5x^2-9x\) е парабола, чийто връх е в точката \(x=\dfrac(9)(10)\) . Следователно, за всички \(x\geqslant 1\), функцията \(y_2\) също е строго нарастваща (десният клон на параболата). защото сумата от строго нарастващи функции е строго нарастваща, тогава \(f_a(x)\) е строго нарастваща (константата \(3a+8\) не влияе върху монотонността на функцията).

Функцията \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) за всички \(x\geqslant 1\) представлява част от десния клон на хиперболата и е строго намаляваща.

Решаването на уравнението \(f_a(x)=g_a(x)\) означава намиране на пресечните точки на функциите \(f\) и \(g\) . От противоположната им монотонност следва, че уравнението може да има най-много един корен.

Когато \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Следователно уравнението ще има уникално решение, ако:

\\чаша

Отговор:

\(a\in (-\infty;-1]\чаша , ограничен в този сегмент;

· сумата от нарастващи (намаляващи) функции е нарастваща (намаляваща) функция;

· if функция fувеличава (намалява) и н– нечетно число, също се увеличава (намалява);

· Ако f"(x)>0за всички xО(a,b),след това функцията y=f(x)нараства на интервала (a,b);

· Ако f"(x)<0 за всички xО(a,b),след това функцията y=f(x)намалява на интервала (a,b);

· Ако f(x) –непрекъсната и монотонна функция на множеството х, тогава уравнението f(x)=C, Където СЪС– тази константа може да има хне повече от едно решение;

· ако върху областта на дефиниране на уравнението f(x)=g(x)функция f(x)увеличава, а функцията g(x)намалява, то уравнението не може да има повече от едно решение.

Теорема. (достатъчно условие за монотонност на функция). Ако е непрекъснат на сегмента [ а, б] функция y = f(х) във всяка точка от интервала ( а, б) има положителна (отрицателна) производна, тогава тази функция нараства (намалява) на сегмента [ а, б].

Доказателство. Нека >0 за всички xО(а,б). Помислете за две произволни стойности x 2 > x 1,принадлежи на [ а, б]. Според формулата на Лагранж х 1<с < х 2 . (с) > 0 И x 2 – x 1 > 0, следователно > 0, откъдето > , тоест функцията f(x) нараства на интервала [ а, б]. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.

Теорема 3. (необходим признак за съществуването на екстремум на функция). Ако функцията, диференцируема в точка c при=f(х) има екстремум в тази точка, тогава .

Доказателство. Нека, например, функцията при= f(х) има максимум в точка c. Това означава, че има пунктирана околност на точка c, така че за всички точки хтози квартал е доволен f(х) < f (° С), това е f(° С) е най-голямата стойност на функцията в този квартал. След това по теоремата на Ферма.

Случаят на минимум в точка c се доказва по подобен начин.

Коментирайте. Една функция може да има екстремум в точка, в която нейната производна не съществува. Например функция има минимум в точка x = 0, въпреки че не съществува. Точките, в които производната на функцията е нула или не съществува, се наричат ​​критични точки на функцията. Функцията обаче няма екстремум във всички критични точки. Например функцията y = x 3няма екстремуми, въпреки че е негова производна =0.

Теорема 4. (достатъчен признак за съществуването на екстремум). Ако непрекъсната функция y = f(х) има производна във всички точки на определен интервал, съдържащ критичната точка C (освен може би самата тази точка), и ако производната, когато аргументът преминава отляво надясно през критичната точка C, променя знака от плюс към минус, тогава функцията в точка C има максимум, а когато знакът се промени от минус на плюс, минимум.

Доказателство. Нека c е критична точка и нека, например, когато аргументът преминава през точката c, променя знака от плюс на минус. Това означава, че на някакъв интервал (c–e; c)функцията нараства, а на интервала (c; c+e)– намалява (при д>0). Следователно в точка c функцията има максимум. Случаят на минимум се доказва по подобен начин.

Коментирайте. Ако производната не променя знака, когато аргументът преминава през критичната точка, тогава функцията в тази точка няма екстремум.

Тъй като определенията за граница и непрекъснатост за функция на няколко променливи практически съвпадат със съответните определения за функция на една променлива, тогава за функциите на няколко променливи се запазват всички свойства на границите и непрекъснатите функции

©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно ползване.
Дата на създаване на страницата: 2016-02-12

Теорема за границата на монотонна функция. Доказателството на теоремата е дадено с помощта на два метода. Дадени са и дефиниции на строго нарастващи, ненамаляващи, строго намаляващи и ненарастващи функции. Дефиниция на монотонна функция.

Дефиниции

Дефиниции на нарастващи и намаляващи функции
Нека функцията f (х)е дефинирано върху някакъв набор от реални числа X.
Функцията се извиква строго нарастващ (строго намаляващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (х')< f(x′′) ( е (x′) > f(x′′) ) .
Функцията се извиква ненамаляващ (ненарастващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)( е (x′) ≥ f(x′′) ) .

От това следва, че една строго нарастваща функция е и ненамаляваща. Строго намаляваща функция също е ненарастваща.

Дефиниция на монотонна функция
Функцията се извиква монотонен, ако не намалява или не нараства.

За да изследвате монотонността на функция на определен набор X, трябва да намерите разликата на нейните стойности в две произволни точки, принадлежащи на този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Ако на определен набор функцията е положителна: , тогава за да определите монотонността, можете да изследвате коефициента на разделяне на нейните стойности в две произволни точки от този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Теорема
Нека функцията f (х)не намалява на интервала (а, б), Където .
Ако тя е ограничена отгоре с числото M:, тогава има крайна лява граница в точка b:. Ако f (х)не е ограничено отгоре, тогава .
Ако f (х)е ограничено отдолу от числото m : , тогава има крайна дясна граница в точката a : . Ако f (х)не е ограничен отдолу, тогава .

Ако точките a и b са в безкрайност, тогава в изразите граничните знаци означават, че .
Тази теорема може да се формулира по-компактно.

Нека функцията f (х)не намалява на интервала (а, б), Където . След това има едностранни граници в точки a и b:
;
.

Подобна теорема за ненарастваща функция.

Нека функцията не нараства на интервала, където . След това има едностранни ограничения:
;
.

Последица
Нека функцията е монотонна на интервала. Тогава във всяка точка от този интервал има едностранни крайни граници на функцията:
И .

Доказателство на теоремата

Функцията не намалява

b - крайно число

Функцията е ограничена отгоре

1.1.1. Нека функцията е ограничена отгоре с числото M: за .

.
;
.

Тъй като функцията не намалява, тогава когато . Тогава
при .
Нека трансформираме последното неравенство:
;
;
.
Защото тогава. Тогава
при .

при .
„Дефиниции на едностранни граници на функция в крайна точка“).

Функцията не е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала.
1.1. Нека числото b е крайно: .
1.1.2. Нека функцията не е ограничена отгоре.
Нека докажем, че в този случай има граница.

.

при .

Нека обозначим . Тогава за всеки има, така че
при .
Това означава, че границата отляво в точка b е (вижте "Дефиниции на едностранни безкрайни граници на функция в крайна точка").

b рано плюс безкрайност

Функцията е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала.
1.2.1. Нека функцията е ограничена отгоре с числото M: за .
Нека докажем, че в този случай има граница.

Тъй като функцията е ограничена отгоре, има краен супремум
.
Според дефиницията на точната горна граница, следните условия:
;
за всяко положително има аргумент, за който
.

Тъй като функцията не намалява, тогава когато . След това в . Или
при .

И така, открихме, че за всеки има число, така че
при .
„Дефиниции на едностранни граници в безкрайност“).

Функцията не е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала.
1.2. Нека числото b е равно на плюс безкрайност: .
1.2.2. Нека функцията не е ограничена отгоре.
Нека докажем, че в този случай има граница.

Тъй като функцията не е ограничена отгоре, тогава за всяко число M има аргумент, за който
.

Тъй като функцията не намалява, тогава когато . След това в .

Така че за всяко има число, така че
при .
Това означава, че границата при е равна на (вижте "Дефиниции на едностранни безкрайни граници при безкрайност").

Функцията не се увеличава

Сега разгледайте случая, когато функцията не се увеличава. Можете, както по-горе, да разгледате всяка опция поотделно. Но ние ще ги покрием веднага. За това използваме. Нека докажем, че в този случай има граница.

Помислете за крайния infimum на набора от стойности на функцията:
.
Тук B може да бъде или крайно число, или точка в безкрайност. Съгласно определението за точна долна граница са изпълнени следните условия:
;
за всяка околност на точка B има аргумент, за който
.
Според условията на теоремата, . Ето защо .

Тъй като функцията не нараства, тогава когато . От тогава
при .
Или
при .
След това отбелязваме, че неравенството определя лявата пунктирана околност на точка b.

И така, открихме, че за всяка околност на точката има пробита лява околност на точка b, така че
при .
Това означава, че границата отляво в точка b е:

(виж универсалната дефиниция на лимита на функция по Коши).

Ограничение в точка а

Сега ще покажем, че има граница в точка а и ще намерим нейната стойност.

Нека разгледаме функцията. Съгласно условията на теоремата функцията е монотонна за . Нека заменим променливата x с - x (или направим заместване и след това заменим променливата t с x). Тогава функцията е монотонна за . Умножение на неравенства по -1 и променяйки техния ред стигаме до извода, че функцията е монотонна за .

По подобен начин е лесно да се покаже, че ако не намалява, значи не се увеличава. Тогава, според доказаното по-горе, има граница
.
Ако не се увеличава, не намалява. В този случай има ограничение
.

Сега остава да покажем, че ако има граница на функция при , тогава има граница на функцията при , и тези граници са равни:
.

Нека въведем обозначението:
(1) .
Нека изразим f чрез g:
.
Нека вземем произволно положително число. Нека има епсилон околност на точка А. Околността на епсилон се определя както за крайни, така и за безкрайни стойности на A (вижте „Околност на точка“). Тъй като има граница (1), тогава, според дефиницията на граница, за всяко има такова, че
при .

Нека a е крайно число. Нека изразим лявата пунктирана околност на точката -a с помощта на неравенствата:
при .
Нека заменим x с -x и вземем предвид, че:
при .
Последните две неравенства определят пунктираната дясна околност на точка a. Тогава
при .

Нека a е безкрайно число, . Повтаряме разсъжденията.
в ;
в ;
в ;
при .

И така, открихме, че за всеки има такова нещо
при .
Означава, че
.

Теоремата е доказана.

Урок и презентация по алгебра в 10 клас на тема: "Изследване на функция за монотонност. Алгоритъм за изследване"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Алгебрични задачи с параметри 9–11 клас
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Намаляващи и нарастващи функции.
2. Връзка между производна и монотонност на функция.
3. Две важни теореми за монотонността.
4. Примери.

Момчета, по-рано разгледахме много различни функциии построиха своите графики. Сега нека въведем нови правила, които работят за всички функции, които разгледахме и ще продължим да разглеждаме.

Намаляващи и нарастващи функции

Нека да разгледаме концепцията за нарастващи и намаляващи функции. Момчета, какво е функция?

Функция е съответствие y= f(x), в което всяка стойност на x е свързана с една стойност на y.

Нека да разгледаме графиката на някаква функция:

Нашата графика показва: колкото по-голямо е x, толкова по-малко е y. Нека да дефинираме намаляваща функция. Една функция се нарича намаляваща, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Ако x2 > x1, тогава f(x2) Сега нека погледнем графиката на тази функция:
Тази графика показва, че колкото по-голямо е x, толкова по-голямо е y. Нека дефинираме нарастваща функция. Една функция се нарича нарастваща, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.
Ако x2 > x1, тогава f(x2 > f(x1) или: колкото по-голямо е x, толкова по-голямо е y.

Ако една функция нараства или намалява през определен интервал, тогава се казва, че тя е монотонна на този интервал.

Връзка между производна и монотонност на функция

Момчета, сега нека помислим как можете да приложите концепцията за производна, когато изучавате функционални графики. Нека начертаем графика на нарастваща диференцируема функция и няколко допирателни към нашата графика.

Ако погледнете нашите допирателни или визуално начертаете друга допирателна, ще забележите, че ъгълът между допирателната и положителната посока на оста x ще бъде остър. Това означава, че тангентата има положителен наклон. Наклон на допирателната равно на стойносттапроизводна по абсцисата на точката на допиране. По този начин стойността на производната е положителна във всички точки на нашата графика. За нарастваща функция е валидно следното неравенство: f"(x) ≥ 0, за всяка точка x.

Момчета, нека сега да разгледаме графиката на някаква намаляваща функция и да построим допирателни към графиката на функцията.

Нека разгледаме допирателните и визуално да начертаем всяка друга допирателна. Ще забележим, че ъгълът между тангентата и положителната посока на оста x е тъп, което означава, че тангентата има отрицателен наклон. По този начин стойността на производната е отрицателна във всички точки на нашата графика. За намаляваща функция е валидно следното неравенство: f"(x) ≤ 0, за всяка точка x.

И така, монотонността на функция зависи от знака на производната:

Ако функция расте на интервал и има производна на този интервал, тогава тази производна няма да е отрицателна.

Ако една функция намалява на интервал и има производна на този интервал, тогава тази производна няма да е положителна.

важно, така че интервалите, на които разглеждаме функцията, са отворени!

Две важни теореми за монотонността

Теорема 1. Ако неравенството f'(x) ≥ 0 е в сила във всички точки на отворен интервал X (и равенството на производната на нула или не е в сила, или е в сила, но само в краен набор от точки), тогава функция y= f(x) нараства на интервала X.

Теорема 2. Ако неравенството f'(x) ≤ 0 е в сила във всички точки на отворен интервал X (и равенството на производната на нула или не е в сила, или е в сила, но само в краен набор от точки), тогава функция y= f(x) намалява на интервала X.

Теорема 3. Ако във всички точки на отворения интервал X равенството
f’(x)= 0, тогава функцията y= f(x) е постоянна на този интервал.

Примери за изследване на функция за монотонност

1) Докажете, че функцията y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 е нарастваща на цялата числова ос.

Решение: Нека намерим производната на нашата функция: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Тъй като степента при x е четна, тогава степенна функцияприема само положителни стойности. Тогава y" > 0 за всяко x, което означава според теорема 1, че нашата функция нараства на цялата числова ос.

2) Докажете, че функцията е намаляваща: y= sin(2x) - 3x.

Нека намерим производната на нашата функция: y"= 2cos(2x) - 3.
Да решим неравенството:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
защото -1 ≤ cos(x) ≤ 1, което означава, че нашето неравенство е изпълнено за всяко x, тогава съгласно теорема 2 функцията y= sin(2x) - 3x намалява.

3) Изследвайте монотонността на функцията: y= x 2 + 3x - 1.

Решение: Нека намерим производната на нашата функция: y"= 2x + 3.
Да решим неравенството:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Тогава нашата функция нараства за x ≥ -3/2 и намалява за x ≤ -3/2.
Отговор: За x ≥ -3/2, функцията нараства, за x ≤ -3/2, функцията намалява.

4) Проверете монотонността на функцията: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Решение: Нека намерим производната на нашата функция: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Нека решим неравенството: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Нашето неравенство е по-голямо или равно на нула:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Да решим неравенството:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Но това е невъзможно, т.к Корен квадратенсе дефинира само за положителни изрази, което означава, че нашата функция няма намаляващи интервали.
Отговор: при x ≥ 1/3 функцията нараства.

Проблеми за самостоятелно решаване

а) Докажете, че функцията y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 е нарастваща на цялата числова ос.
б) Докажете, че функцията е намаляваща: y= cos(5x) - 7x.
в) Изследвайте монотонността на функцията: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
г) Изследвайте монотонността на функцията: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Нарастване, намаляване и екстремуми на функция

Намирането на интервалите на нарастване, намаляване и екстремуми на функция е както независима задача, така и съществена част от други задачи, по-специално, пълно функционално изследване. Първоначалната информация за нарастването, намаляването и екстремумите на функцията е дадена в теоретична глава за производната, което силно препоръчвам за предварително проучване (или повторение)– и поради причината, че следващият материал е базиран на самия по същество производно,като хармонично продължение на тази статия. Въпреки че, ако времето е малко, тогава е възможно и чисто формално практикуване на примери от днешния урок.

И днес във въздуха витае дух на рядко срещано единомислие и директно усещам, че всички присъстващи горят от желание научете се да изследвате функция, използвайки нейната производна. Следователно разумна, добра, вечна терминология веднага се появява на екраните на вашите монитори.

За какво? Една от причините е най-практичната: така че да е ясно какво обикновено се изисква от вас в конкретна задача!

Монотонност на функцията. Точки на екстремум и екстремуми на функция

Нека разгледаме някаква функция. Казано по-просто, предполагаме, че тя непрекъснатона цялата числова ос:

За всеки случай, нека веднага да се отървем от възможните илюзии, особено за онези читатели, които наскоро са се запознали с интервали с постоянен знак на функцията. Сега ние НЕ СЕ ИНТЕРЕСУВАМ, как е разположена графиката на функцията спрямо оста (горе, долу, където се пресича оста). За да сте убедителни, мислено изтрийте осите и оставете една графика. Защото там е интересът.

функция се увеличавана интервал, ако за всеки две точки от този интервал, свързани с отношението , неравенството е вярно. Тоест по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията и нейната графика върви „отдолу нагоре“. Демонстрационната функция нараства през интервала.

По същия начин функцията намалявана интервал, ако за всеки две точки от даден интервал, така че , Неравенството е вярно. Тоест, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията, а нейната графика върви „отгоре надолу“. Нашата функция намалява на интервали .

Ако дадена функция нараства или намалява през интервал, тогава тя се извиква строго монотоненна този интервал. Какво е монотонност? Приемете го буквално – монотонност.

Можете също така да определите ненамаляващфункция (спокойно състояние в първата дефиниция) и ненарастващфункция (смекчено условие във 2-ро определение). Ненамаляваща или ненарастваща функция на интервал се нарича монотонна функция на даден интервал (строга монотонност - специален случай„просто“ монотонност).

Теорията разглежда и други подходи за определяне на нарастването/намаляването на функция, включително на полуинтервали, сегменти, но за да не излеем масло-масло-масло върху главата ви, ще се съгласим да оперираме с отворени интервали с категорични определения - това е по-ясно и напълно достатъчно за решаване на много практически проблеми.

По този начин, в моите статии формулировката „монотонност на функция“ почти винаги ще бъде скрита интервали строга монотонност (стриктно нарастваща или строго намаляваща функция).

Околност на точка. Думи, след които учениците бягат накъдето могат и се крият ужасени по ъглите. ...Макар и след пост Граници на КошиВероятно вече не се крият, а само леко потръпват =) Не се притеснявайте, сега няма да има никакви доказателства за теоремите математически анализ– Имах нужда от обкръжението, за да формулирам по-строго определения екстремни точки. Да си припомним:

Околност на точканаречен интервал, който съдържа тази точка, докато за удобство интервалът често се приема за симетричен. Например точка и нейния стандартен квартал:

Всъщност дефинициите:

Точката се нарича строга максимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . В нашия конкретен пример това е точка.

Точката се нарича строга минимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . На чертежа има точка "а".

Забележка : изискването за симетрия на квартала изобщо не е необходимо. Освен това е важно самия факт на съществуванеквартал (независимо дали е малък или микроскопичен), който отговаря на определените условия

Точките се наричат строго екстремни точкиили просто екстремни точкифункции. Тоест, това е обобщен термин за максимални точки и минимални точки.

Как разбираме думата „екстремно“? Да, също толкова директно, колкото монотонността. Крайни точки на влакчета.

Както в случая с монотонността, съществуват свободни постулати, които са дори по-често срещани на теория (което, разбира се, попада в разглежданите строги случаи!):

Точката се нарича максимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всички
Точката се нарича минимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всичкистойности на този квартал, неравенството е в сила.

Обърнете внимание, че според последните две дефиниции, всяка точка на постоянна функция (или „плоско сечение“ на функция) се счита както за максимална, така и за минимална точка! Функцията, между другото, е както ненарастваща, така и ненамаляваща, тоест монотонна. Ние обаче ще оставим тези съображения на теоретиците, тъй като на практика почти винаги съзерцаваме традиционните „хълмове“ и „кухини“ (вижте чертежа) с уникален „цар на планината“ или „принцеса на блатото“. Като разновидност се среща бакшиш, насочен нагоре или надолу, например минимумът на функцията в точката.

О, и като говорим за кралски особи:
– смисълът се нарича максимумфункции;
– смисълът се нарича минимумфункции.

Често срещано име – крайностифункции.

Моля, внимавайте с думите си!

Екстремни точки– това са стойности „X“.
Крайности– значения на „игра“.

! Забележка : понякога изброените термини се отнасят до точките „X-Y“, които лежат директно върху ГРАФИКАТА НА САМАТА функция.

Колко екстремуми може да има една функция?

Няма, 1, 2, 3, ... и т.н. до безкрайност. Например синусът има безкрайно много минимуми и максимуми.

ВАЖНО!Терминът "максимална функция" не е идентичентерминът „максимална стойност на функция“. Лесно се забелязва, че стойността е максимална само в местния квартал, а в горния ляв ъгъл има „по-готини другари“. По същия начин „минимум на функция“ не е същото като „минимална стойност на функция“ и на чертежа виждаме, че стойността е минимална само в определена област. В тази връзка се наричат ​​и екстремни точки локални екстремни точки, а екстремумите – локални крайности . Те ходят и се скитат наблизо и глобаленбратя. И така, всяка парабола има връх глобален минимумили глобален максимум. Освен това няма да правя разлика между видовете крайности, а обяснението е изразено по-скоро за общообразователни цели - допълнителните прилагателни „местен“/„глобален“ не трябва да ви изненадват.

Нека обобщим нашата кратка екскурзия в теорията с тестова снимка: какво означава задачата „намерете интервалите на монотонност и точките на екстремум на функцията“?

Формулировката ви насърчава да намерите:

– интервали на нарастваща/намаляваща функция (ненамаляваща, ненарастваща се появява много по-рядко);

– максимални и/или минимални точки (ако има такива). Е, за да избегнете провал, по-добре е сами да намерите минимумите/максимумите ;-)

Как да определим всичко това?Използване на производната функция!

Как да намерите интервали на нарастване, намаляване,
точки на екстремум и екстремуми на функцията?

Всъщност много правила вече са известни и разбрани урок за значението на производната.

Тангенсна производна носи радостната новина, че функцията се увеличава навсякъде област на дефиниция.

С котангенс и неговата производна положението е точно обратното.

Арксинусът нараства през интервала - производната тук е положителна: .
Когато функцията е дефинирана, но недиференцируема. В критичната точка обаче има дясна производна и дясна допирателна, а на другия ръб има техните леви двойници.

Мисля, че няма да ви е много трудно да направите подобно разсъждение за аркосинус и неговата производна.

Всички горепосочени случаи, много от които са таблични производни, напомням ви, следвайте директно от производни определения.

Защо да изследваме функция, използвайки нейната производна?

За да разберете по-добре как изглежда графиката на тази функция: къде отива „отдолу нагоре“, къде „отгоре надолу“, къде достига минимуми и максимуми (ако изобщо достига). Не всички функции са толкова прости - в повечето случаи нямаме никаква представа за графиката на определена функция.

Време е да преминем към по-смислени примери и да помислим алгоритъм за намиране на интервали на монотонност и екстремуми на функция:

Пример 1

Намерете интервали на нарастване/намаляване и екстремуми на функцията

Решение:

1) Първата стъпка е да намерите област на функция, а също така вземете под внимание точките на прекъсване (ако съществуват). IN в такъв случайфункцията е непрекъсната на цялата числова ос и това действие е до известна степен формално. Но в редица случаи тук пламват сериозни страсти, така че нека се отнасяме към параграфа без пренебрежение.

2) Втората точка от алгоритъма се дължи на

необходимо условие за екстремум:

Ако има екстремум в дадена точка, тогава или стойността не съществува.

Объркани сте от края? Екстремум на функцията “модул x”. .

Условието е необходимо, но не достатъчно, а обратното не винаги е вярно. Така че от равенството все още не следва, че функцията достига максимум или минимум в точка . Класически пример вече беше подчертан по-горе - това е кубична парабола и нейната критична точка.

Но както и да е, необходимо условиеекстремум диктува необходимостта от намиране на подозрителни точки. За да направите това, намерете производната и решете уравнението:

В началото на първата статия относно функционалните графикиКазах ви как бързо да изградите парабола, използвайки пример : “...взимаме първата производна и я приравняваме на нула: ...И така, решението на нашето уравнение: - именно в тази точка се намира върхът на параболата...”. Сега мисля, че всеки разбира защо върхът на параболата се намира точно в тази точка =) Като цяло трябва да започнем с подобен пример тук, но е твърде прост (дори за чайник). Освен това има аналог в самия край на урока за производна на функция. Затова нека увеличим градуса:

Пример 2

Намерете интервали на монотонност и екстремуми на функцията

Това е пример за независимо решение. Цялостно решениеи приблизителен окончателен образец на задачата в края на урока.

Настъпи дългоочакваният момент на среща с дробно-рационални функции:

Пример 3

Изследвайте функция, използвайки първата производна

Обърнете внимание колко променливо може да се преформулира една и съща задача.

Решение:

1) Функцията търпи безкрайни прекъсвания в точки.

2) Откриваме критични точки. Нека намерим първата производна и я приравним към нула:

Да решим уравнението. Една дроб е нула, когато нейният числител е нула:

Така получаваме три критични точки:

3) Начертаваме ВСИЧКИ открити точки на числовата ос и интервален методдефинираме знаците на ПРОИЗВОДНАТА:

Напомням ви, че трябва да вземете някаква точка от интервала и да изчислите стойността на производната в нея и определете неговия знак. По-изгодно е дори да не броите, а да „оценявате“ устно. Да вземем, например, точка, принадлежаща на интервала, и да извършим заместването: .

Следователно два „плюса“ и един „минус“ дават „минус“, което означава, че производната е отрицателна през целия интервал.

Действието, както разбирате, трябва да се извърши за всеки от шестте интервала. Между другото, имайте предвид, че числителят и знаменателят са строго положителни за всяка точка във всеки интервал, което значително опростява задачата.

И така, производната ни каза, че САМАТА ФУНКЦИЯ се увеличава с и намалява с . Удобно е да свързвате интервали от един и същи тип с иконата за свързване.

В момента функцията достига своя максимум:
В момента функцията достига минимум:

Помислете защо не трябва да преизчислявате втората стойност ;-)

При преминаване през точка производната не променя знака, така че функцията там НЯМА ЕКСТРЕМУМ - хем намаляваше, хем си оставаше намаляваща.

! Да повторим важен момент : точките не се считат за критични - те съдържат функция неопределен. Съответно тук По принцип не може да има крайности(дори ако производната промени знака).

Отговор: функцията се увеличава с и намалява с В точката, в която е достигнат максимумът на функцията: , а в точката – минимумът: .

Познаване на интервали на монотонност и екстремуми, съчетани с установени асимптотивече дава много добра представа за външен видфункционална графика. Човек със средна подготовка може устно да определи, че графиката на функция има две вертикални асимптоти и една наклонена асимптота. Ето го нашия герой:

Опитайте отново да свържете резултатите от изследването с графиката на тази функция.
В критичната точка няма екстремум, но има инфлексна точка(което по правило се случва в подобни случаи).

Пример 4

Намерете екстремумите на функцията

Пример 5

Намерете интервали на монотонност, максимуми и минимуми на функцията

…това е почти като някакъв празник „X в куб“ днес....
Тааааа, кой от галерията предложи да пие за това? =)

Всяка задача има своите съществени нюанси и технически тънкости, които се коментират в края на урока.