Урок и презентация на тема: "Степенни функции. Свойства. Графики"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“
Степенни функции, област на дефиниране.
Момчета, в последния урок научихме как да работим с числа с рационални степени. В този урок ще разгледаме степенните функции и ще се ограничим до случая, когато показателят е рационален.Ще разгледаме функции от вида: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Нека първо разгледаме функции, чийто показател $\frac(m)(n)>1$.
Нека ни е дадена конкретна функция $y=x^2*5$.
Според дефиницията, която дадохме в миналия урок: ако $x≥0$, то дефиниционната област на нашата функция е лъчът $(x)$. Нека начертаем графиката на нашата функция.
Свойства на функцията $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Тя не е нито четна, нито нечетна.
3. Увеличава се с $$,
б) $(2,10)$,
в) на лъч $$.
Решение.
Момчета, помните ли как намерихме най-голямата и най-малката стойност на функция върху отсечка в 10 клас?
Точно така, използвахме производната. Нека решим нашия пример и повторим алгоритъма за намиране на най-малкото и най-висока стойност.
1. Намерете производната на дадената функция:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Производната съществува в цялата област на дефиниране на оригиналната функция, тогава няма критични точки. Да намерим стационарни точки:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt(64)=4$.
Даден сегмент съдържа само едно решение $x_2=4$.
Нека изградим таблица със стойностите на нашата функция в краищата на сегмента и в екстремалната точка:
Отговор: $y_(име)=-862,65$ при $x=9$; $y_(макс.)=38,4$ при $x=4$.
Пример. Решете уравнението: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Решение. Графиката на функцията $y=x^(\frac(4)(3))$ нараства, а графиката на функцията $y=24-x$ намалява. Момчета, вие и аз знаем: ако една функция нараства, а другата намалява, тогава те се пресичат само в една точка, тоест имаме само едно решение.
Забележка:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Тоест, с $x=8$ получихме правилното равенство $16=16$, това е решението на нашето уравнение.
Отговор: $x=8$.
Пример.
Графика на функцията: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Решение.
Графиката на нашата функция се получава от графиката на функцията $y=x^(\frac(3)(4))$, премествайки я 3 единици надясно и 2 единици нагоре. 
Пример. Напишете уравнение за допирателната към правата $y=x^(-\frac(4)(5))$ в точката $x=1$.
Решение. Уравнението на допирателната се определя от известната ни формула:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашия случай $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Нека намерим производната:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Нека изчислим:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Нека намерим уравнението на допирателната:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Отговор: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Проблеми за самостоятелно решаване
1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: $y=x^\frac(4)(3)$ на отсечката:а) $$.
б) $(4,50) $.
в) на лъч $$.
3. Решете уравнението: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Постройте графика на функцията: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Създайте уравнение за допирателната към правата $y=x^(-\frac(3)(7))$ в точката $x=1$.
Функция къде х– променливо количество, А– извиква се даден номер Силова функция .
Ако тогава е линейна функция, нейната графика е права линия (вижте параграф 4.3, Фиг. 4.7).
Ако тогава - квадратична функция, неговата графика е парабола (виж параграф 4.3, Фиг. 4.8).
Ако тогава нейната графика е кубична парабола (виж параграф 4.3, фиг. 4.9).
Това е обратната функция за
1. Домейн: 
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията е странна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули: х= 0 – единствената нула.
6. Функцията няма максимална или минимална стойност.
7.
8. Графика на функцияСиметричен на графиката на кубична парабола спрямо права линия Y=хи е показано на фиг. 5.1.
 |
Силова функция
1. Домейн: 
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията е четна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули:единична нула х = 0.
6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:приема най-малката стойност за х= 0, то е равно на 0.
7. Интервали на нарастване и намаляване:функцията е намаляваща на интервала и нарастваща на интервала
8. Графика на функция(за всеки н Î н) е „подобна“ на графиката на квадратна парабола (функционалните графики са показани на фиг. 5.2).
Силова функция
1. Домейн:
2. Множество значения: 
3. Четно и нечетно:функцията е странна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули: х= 0 – единствената нула.
6. Най-високи и най-ниски стойности:
7. Интервали на нарастване и намаляване:функцията нараства в цялата област на дефиниция.
8. Графика на функция(за всяко ) е „подобно“ на графиката на кубична парабола (функционалните графики са показани на фиг. 5.3).
 |
Силова функция
1. Домейн:
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията е странна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули:няма нули.
6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:функцията няма най-големите и най-малките стойности за никоя
7. Интервали на нарастване и намаляване:функцията намалява в своята област на дефиниция.
8. Асимптоти:(ос OU) – вертикална асимптота;
(ос о) – хоризонтална асимптота.
9. Графика на функция(за всеки н) е „подобна“ на графиката на хипербола (функционалните графики са показани на фиг. 5.4).
 |
Силова функция
1. Домейн:
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията е четна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Най-големите и най-малките стойности на функцията:функцията няма най-големите и най-малките стойности за никоя
6. Интервали на нарастване и намаляване:функцията нараства с и намалява с
7. Асимптоти: х= 0 (ос OU) – вертикална асимптота;
Y= 0 (ос о) – хоризонтална асимптота.
8. Функционални графикиТе са квадратни хиперболи (фиг. 5.5).
 |
Силова функция
1. Домейн:
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията няма свойството четно и нечетно.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули: х= 0 – единствената нула.
6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:най-малката стойност, равна на 0, функцията приема в точката х= 0; няма най-голямо значение.
7. Интервали на нарастване и намаляване:функцията нараства в цялата област на дефиниция.
8. Всяка такава функция за определен показател е обратна на предоставената функция
9. Графика на функция"наподобява" графиката на функция за всяка ни е показано на фиг. 5.6.
Силова функция
1. Домейн:
2. Множество значения:
3. Четно и нечетно:функцията е странна.
4. Функционална честота:непериодични.
5. Функционални нули: х= 0 – единствената нула.
6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:функцията няма най-големите и най-малките стойности за никоя
7. Интервали на нарастване и намаляване:функцията нараства в цялата област на дефиниция.
8. Графика на функцияПоказано на фиг. 5.7.
 |
Нека си припомним свойствата и графиките на степенните функции с цяло число отрицателен показател.
За четно n, :
Примерна функция:
Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;1). Особеността на функциите от този тип е тяхната четност; графиките са симетрични спрямо оста на операционния усилвател.
Ориз. 1. Графика на функция
За нечетно n, :
Примерна функция:
Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;-1). Особеността на функциите от този тип е, че те са нечетни по отношение на началото.
Ориз. 2. Графика на функция
Нека си припомним основното определение.
Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.
Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.
За равенството:
Например: 
; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, защото експонентата е цяло число, 
Нека да преминем към разглеждане на степенни функции с рационален отрицателен показател.
Например:
За да начертаете графика на тази функция, можете да създадете таблица. Ще го направим по различен начин: първо ще изградим и изучим графиката на знаменателя - тя ни е известна (Фигура 3).
Ориз. 3. Графика на функция
Графиката на функцията знаменател минава през фиксирана точка (1;1). При изчертаване на оригиналната функция дадена точкаостава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).
Ориз. 4. Функционална графика
Нека разгледаме друга функция от семейството на изучаваните функции.
Важно е, че по дефиниция
Нека разгледаме графиката на функцията в знаменателя: , графиката на тази функция ни е известна, тя нараства в своята област на дефиниране и преминава през точката (1;1) (Фигура 5).
Ориз. 5. Графика на функция
При начертаване на графиката на оригиналната функция точката (1;1) остава, докато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).
Ориз. 6. Графика на функция
Разгледаните примери помагат да се разбере как протича графиката и какви са свойствата на изучаваната функция - функция с отрицателен рационален показател.
Графиките на функциите на това семейство преминават през точката (1;1), функцията намалява по цялата област на дефиниция.
Обхват на дефиницията на функцията: 
Функцията не е ограничена отгоре, но е ограничена отдолу. Функцията няма нито най-голямо, нито най-ниска стойност.
Функцията е непрекъсната и приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.
Функцията е изпъкнала надолу (Фигура 15.7)
Точките A и B са взети на кривата, през тях е начертан сегмент, цялата крива е под сегмента, това състояниее изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.
Ориз. 7. Изпъкналост на функцията
Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но нямат най-малка стойност.
Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция в интервала \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Графика (фиг. 2).
Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$
Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател
Областта на дефиниция са всички реални числа.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функцията е странна.
$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.
Диапазонът е изцяло реални числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функцията нараства в цялата област на дефиниция.
$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.
Графика (фиг. 3).
Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Степенна функция с цяло число
Първо, нека въведем концепцията за степен с цяло число.
Определение 3
Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се определя по формулата:
Фигура 4.
Нека сега разгледаме степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.
Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция$y=1$. Разглеждането му ще оставим на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число
Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число
Домейнът на дефиницията е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетна, тогава функцията е нечетна.
$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.
Обхват:
Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$; ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
За нечетен показател функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ако показателят е четен, функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ върху цялата област на дефиниция
