Производната на функция е една от трудни теми V училищна програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.
Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.
Нека си припомним определението:
Производната е скоростта на промяна на функция.
Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?
Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.
Ето още един пример.
Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:
Графиката показва всичко наведнъж, нали? Приходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различен. Що се отнася до Матвей, неговият доход като цяло е отрицателен.
Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?
Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се изкачва (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различен смисълпроизводна - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.
Производната на функция се обозначава.
Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.
Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се изкачва графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.
Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.
Моля, имайте предвид, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.
Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в този раздел и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.
Нека го намерим. Спомняме си, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълникравно на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:
Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.
Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението
Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.
.
Разбираме това
Нека запомним тази формула. Тя изразява геометричен смисълпроизводна.
Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.
Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.
Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.
В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл; с положителна посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.
В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл; с положителна посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.
Ето какво се случва:
Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.
Ако намалява, производната му е отрицателна.
Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.
Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".
В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".
Извод: използвайки производната, можем да научим всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.
Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.
Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.
В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".
В минималната точка производната също е нула и променя знака от „минус“ на „плюс“.
Нека напишем тези изводи под формата на таблица:
| се увеличава | максимална точка | намалява | минимална точка | се увеличава | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате задачата. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.
Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :
В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.
Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.
Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага
Операцията за намиране на производната се нарича диференциране.
В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Първите, които работят в областта на намирането на производни, са Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).
Следователно, в наше време, за да намерите производната на която и да е функция, не е необходимо да изчислявате горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а трябва само да използвате таблицата на производни и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.
За намиране на производната, имате нужда от израз под главния знак разделят прости функции на компонентии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. След това намираме производните на елементарни функции в таблицата с производни, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата за производни и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.
Пример 1.Намерете производната на функция
Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сума от функции е сумата от производните функции, т.е.
От таблицата на производните откриваме, че производната на "x" е равна на единица, а производната на синус е равна на косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата от производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:
Пример 2.Намерете производната на функция
Решение. Диференцираме като производна на сума, в която вторият член има постоянен фактор, той може да бъде изваден от знака на производната:
Ако все пак възникнат въпроси за това откъде идва нещо, те обикновено се изясняват след запознаване с таблицата на производните и най-простите правила за диференциране. В момента преминаваме към тях.
Таблица с производни на прости функции
| 1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги равно на нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често | |
| 2. Производна на независимата променлива. Най-често "Х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните за дълго време | |
| 3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степени. | |
| 4. Производна на променлива на степен -1 | |
| 5. Производна корен квадратен | |
| 6. Производна на синус | |
| 7. Производна на косинус |  |
| 8. Производна на тангенс |  |
| 9. Производна на котангенс |  |
| 10. Производна на арксинус |  |
| 11. Производна на аркосинус |  |
| 12. Производна на арктангенс |  |
| 13. Производна на аркотангенс |  |
| 14. Производна на натурален логаритъм | |
| 15. Производна на логаритмична функция |  |
| 16. Производна на показателя | |
| 17. Производна на експоненциална функция |
Правила за диференциране
| 1. Производна на сбор или разлика |  |
| 2. Производна на продукта |  |
| 2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител | |
| 3. Производна на частното |  |
| 4. Производна на сложна функция |  |
Правило 1.Ако функциите
са диференцируеми в дадена точка, тогава функциите са диференцируеми в една и съща точка
и
тези. производната на алгебрична сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.
Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с постоянен член, тогава техните производни са равни, т.е.
Правило 2.Ако функциите
са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт е диференцируем в същата точка
и
тези. Производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.
Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:
Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки фактор и всички останали.
Например за три множителя:
Правило 3.Ако функциите
диференцируеми в даден момент И , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемоu/v и
тези. производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на бившият числител.
Къде да търсите неща на други страници
При намиране на производната на произведение и частно в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че в статията има повече примери за тези производни"Производна на произведение и частно на функции".
Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сума и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това типична грешка, което се случва в началния етап на изучаване на производни, но тъй като средният ученик решава няколко примера от една и две части, той вече не допуска тази грешка.
И ако, когато диференцирате продукт или коефициент, имате термин u"v, в който u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (този случай е разгледан в пример 10).
други често срещана грешка- механично решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияе посветена отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни прости функции.
По пътя не можете да правите без трансформиране на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководството в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .
Ако търсите решения за производни на дроби със степени и корени, т.е. когато функцията изглежда като 
, след това следвайте урока „Производна на суми от дроби със степени и корени.“
Ако имате задача като 
, тогава ще вземете урока „Производни на прости тригонометрични функции“.
Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната
Пример 3.Намерете производната на функция
Решение. Дефинираме частите на израза на функцията: целият израз представлява продукт, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции по производната на другата:
След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай във всяка сума вторият член има знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "X" се превръща в едно, а минус 5 се превръща в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че ние умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните производни стойности:
Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:
Пример 4.Намерете производната на функция
Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частното: производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменател, а знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:
Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се приема със знак минус:
Ако търсите решения на задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например 
, тогава добре дошли в класа "Производна на суми от дроби със степени и корени" .
Ако трябва да научите повече за производните на синуси, косинуси, тангенс и други тригонометрични функции, тоест когато функцията изглежда така , тогава урок за вас "Производни на прости тригонометрични функции" .
Пример 5.Намерете производната на функция
Решение. В тази функция виждаме произведение, един от множителите на което е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Използвайки правилото за диференциране на произведението и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:
Пример 6.Намерете производната на функция
Решение. В тази функция виждаме частно, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Използвайки правилото за диференциране на частните, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:
За да се отървете от дроб в числителя, умножете числителя и знаменателя по .
Дата: 20.11.2014 г
Какво е дериват?
Таблица на производните.
Производната е едно от основните понятия на висшата математика. В този урок ще представим това понятие. Да се опознаем, без строги математически формулировки и доказателства.
Това запознанство ще ви позволи да:
Разбират същността на простите задачи с производни;
Решете успешно тези най-прости задачи;
Подгответе се за по-сериозни уроци по производни.
Първо - приятна изненада.)
Строгото определение на производната се основава на теорията на границите и нещата са доста сложни. Това е разстройващо. Но практическото приложение на производните, като правило, не изисква толкова обширни и дълбоки познания!
За успешното изпълнение на повечето задачи в училище и университета е достатъчно да знаете само няколко термина- да разбере задачата и само няколко правила- да го решим. Това е всичко. Това ме радва.
Да започнем да се запознаваме?)
Термини и обозначения.
В елементарната математика има много различни математически операции. Събиране, изваждане, умножение, степенуване, логаритъм и др. Ако към тези операции добавим още една операция, елементарната математика става по-висока. Това нова операцияНаречен диференциация.Дефиницията и значението на тази операция ще бъдат обсъдени в отделни уроци.
Тук е важно да се разбере, че диференцирането е просто математическа операция върху функция. Ние вземаме всяка функция и я трансформираме според определени правила. Резултатът ще бъде нова функция. Тази нова функция се нарича: производна.
Диференциация- действие върху функция.
Производна- резултатът от това действие.
точно както напр. сума- резултатът от събирането. Или частен- резултатът от разделянето.
Познавайки термините, можете поне да разберете задачите.) Формулировките са както следва: намиране на производната на функция; вземете производната; диференциране на функцията; изчисляване на производнаи така нататък. Това е всичко един и същ.Разбира се, има и по-сложни задачи, при които намирането на производната (диференцирането) ще бъде само една от стъпките в решаването на проблема.
Производната се обозначава с тире в горния десен ъгъл на функцията. Като този: y"или f"(x)или S"(t)и така нататък.
Четене igrik удар, ef удар от x, es удар от te,добре, разбирате...)
Простото число може също да показва производната на определена функция, например: (2x+3)", (х 3 )" , (sinx)"и т.н. Често производните се обозначават с помощта на диференциали, но ние няма да разглеждаме такова означение в този урок.
Да приемем, че сме се научили да разбираме задачите. Всичко, което остава, е да се научите как да ги решавате.) Нека ви напомня още веднъж: намирането на производната е трансформация на функция по определени правила.Изненадващо, има много малко от тези правила.
За да намерите производната на функция, трябва да знаете само три неща. Три стълба, върху които се крепи всяка диференциация. Това са трите стълба:
1. Таблица на производните (формули за диференциране).
3. Производна сложна функция.
Да започнем по ред. В този урок ще разгледаме таблицата с производни.
Таблица на производните.
В света има безкраен брой функции. Сред този набор има функции, които са най-важни за практическа употреба. Тези функции се намират във всички закони на природата. От тези функции, като от тухли, можете да конструирате всички останали. Този клас функции се нарича елементарни функции.Именно тези функции се изучават в училище – линейна, квадратна, хипербола и др.
Диференциране на функциите "от нулата", т.е. Въз основа на определението за производна и теорията на границите, това е доста трудоемко нещо. И математиците също са хора, да, да!) Така че те опростиха живота си (и нас). Те пресмятаха производните на елементарни функции преди нас. Резултатът е таблица с производни, където всичко е готово.)
Ето я тази плоча за най-популярните функции. Наляво - елементарна функция, вдясно е неговата производна.
| функция г |
Производна на функция y y" |
|
| 1 | C (постоянна стойност) | C" = 0 |
| 2 | х | x" = 1 |
| 3 | x n (n - произволно число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | грях х | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| арктан х |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ах |  |
| дх | ||
| 5 | дневник ах |  |
| ln x ( a = e) |
Препоръчвам да обърнете внимание на третата група функции в тази таблица с производни. Производна степенна функция- една от най-често срещаните формули, ако не и най-често срещаната! Разбирате ли подсказката?) Да, препоръчително е да знаете таблицата с производни наизуст. Между другото, това не е толкова трудно, колкото може да изглежда. Опитайте се да решите повече примери, самата таблица ще бъде запомнена!)
намирам таблична стойностпроизводна, както разбирате, задачата не е най-трудната. Ето защо много често в такива задачи има допълнителни чипове. Или във формулировката на задачата, или в оригиналната функция, която изглежда я няма в таблицата...
Нека да разгледаме няколко примера:
1. Намерете производната на функцията y = x 3
В таблицата няма такава функция. Но има производна на степенната функция в общ изглед(трета група). В нашия случай n=3. Така че заместваме три вместо n и внимателно записваме резултата:
(х 3) " = 3 х 3-1 = 3x 2
Това е.
Отговор: y" = 3x 2
2. Намерете стойността на производната на функцията y = sinx в точката x = 0.
Тази задача означава, че първо трябва да намерите производната на синуса и след това да замените стойността х = 0в същата тази производна. Точно в този ред!В противен случай се случва веднага да заменят нула в оригиналната функция... От нас се иска да намерим не стойността на оригиналната функция, а стойността неговата производна.Нека ви напомня, че производната е нова функция.
С помощта на таблета намираме синуса и съответната производна:
y" = (sin x)" = cosx
Заменяме нула в производната:
y"(0) = cos 0 = 1
Това ще бъде отговорът.
3. Разграничете функцията:
Какво, вдъхновява ли?) В таблицата с производни няма такава функция.
Позволете ми да ви напомня, че да диференцирате функция е просто да намерите производната на тази функция. Ако забравите елементарната тригонометрия, търсенето на производната на нашата функция е доста обезпокоително. Масата не помага...
Но ако видим, че нашата функция е косинус двоен ъгъл , тогава всичко се подобрява веднага!
Да да! Не забравяйте, че трансформирането на оригиналната функция преди диференциациясъвсем приемливо! И се случва да направи живота много по-лесен. Използване на формулата за двоен ъглов косинус:
Тези. нашата сложна функция не е нищо повече от y = cosx. И това е таблична функция. Веднага получаваме:
Отговор: y" = - sin x.
Пример за напреднали и студенти:
4. Намерете производната на функцията:
Разбира се, няма такава функция в таблицата с производни. Но ако си спомняте елементарна математика, операции със степени... Тогава е напълно възможно да опростите тази функция. Като този:
А x на степен една десета вече е таблична функция! Трета група, n=1/10. Пишем директно по формулата:
Това е всичко. Това ще бъде отговорът.
Надявам се, че всичко е ясно с първия стълб на диференциацията - таблицата на производните. Остава да се справим с двата останали кита. В следващия урок ще научим правилата за диференциране.
Какво е дериват?
Дефиниция и значение на производна функция
Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното поставяне на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В края на краищата, както е от училище: стандартният учебник първо дава дефиницията на производната, нейното геометрично, механично значение. След това учениците намират производни на функции по дефиниция и всъщност едва тогава те усъвършенстват техниката на диференциране, използвайки производни таблици.
Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да РАЗБЕРЕТЕ ДОБРЕ граница на функция, и по-специално, безкрайно малки количества. Факт е, че определението за производна се основава на концепцията за лимит, което е слабо разгледано в училищния курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранита на знанието не разбират самата същност на производното. По този начин, ако имате малко познания по диференциално смятане или мъдър мозък за дълги годиниуспешно се отървах от този багаж, моля, започнете с функционални граници. В същото време овладейте/запомнете тяхното решение.
Същият практически смисъл диктува, че първо е изгодно научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции. Теорията си е теория, но, както се казва, винаги искаш да правиш разлика. В това отношение е по-добре да работите през изброените основни уроци и може би майстор на диференциациятабез дори да осъзнават същността на действията си.
Препоръчвам да започнете с материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-прости задачи с производни, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но можете да почакате. Факт е, че много приложения на производното не изискват разбирането му и не е изненадващо, че теоретичният урок се появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на нарастващи/намаляващи интервали и екстремумифункции. Освен това той беше по темата доста дълго време. Функции и графики”, докато най-накрая реших да го сложа по-рано.
Затова, мили чайници, не бързайте да поглъщате есенцията на производното като гладни животни, защото насищането ще е безвкусно и непълно.
Концепцията за нарастване, намаляване, максимум, минимум на функция
много учебни помагалаводят до концепцията за производна, използвайки някои практически проблеми, и също измислих интересен пример. Представете си, че ни предстои пътуване до град, до който може да се стигне по различни начини. Нека веднага да отхвърлим кривите криволичещи пътеки и да разгледаме само правите магистрали. Правите посоки обаче също са различни: можете да стигнете до града по гладка магистрала. Или по хълмиста магистрала - нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг се спуска през цялото време. Екстремните ентусиасти ще изберат маршрут през дефиле със стръмна скала и стръмно изкачване.
Но каквито и да са вашите предпочитания, препоръчително е да познавате района или поне да имате топографска карта за него. Ами ако такава информация липсва? В крайна сметка можете да изберете например гладка пътека, но в резултат да се натъкнете на ски писта с весели финландци. Не е факт, че навигатор или дори сателитно изображение ще предостави надеждни данни. Следователно би било хубаво да формализираме релефа на пътя с помощта на математика.
Нека да разгледаме някакъв път (страничен изглед): 
За всеки случай напомням един елементарен факт: пътуванията се случват от ляво на дясно. За простота приемаме, че функцията непрекъснатов разглеждания район.
Какви характеристики има тази графика?
На интервали 
функция се увеличава, тоест всяка следваща негова стойност Повече ▼предишното. Грубо казано, графикът върви надолу нагоре(изкачваме хълма). И на интервала функцията намалява– всяка следваща стойност по-малкопредишен и графикът ни е в сила отгоре надолу(слизаме по склона).
Нека обърнем внимание и на специални точки. В точката, до която достигаме максимум, това е съществуватакъв участък от пътя, където стойността ще бъде най-голямата (най-високата). В същата точка се постига минимум, И съществуванеговия квартал, в който стойността е най-малка (най-ниска).
Ще разгледаме по-строга терминология и дефиниции в клас. относно екстремумите на функцията, но засега нека проучим още един важна характеристика: на интервали 
функцията се увеличава, но се увеличава на различни скорости. И първото нещо, което хваща окото ви е, че графиката се издига по време на интервала много по-готино, отколкото на интервала . Възможно ли е да се измери стръмността на пътя с помощта на математически инструменти?
Скорост на промяна на функцията
Идеята е следната: нека вземем някаква стойност (прочетете "делта x"), което ще извикаме увеличение на аргументаи нека започнем да го „пробваме“ на различни точки по нашия път: 
1) Нека погледнем най-лявата точка: преминавайки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Количеството се нарича увеличение на функцията, и в в такъв случайтова увеличение е положително (разликата в стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека създадем отношение, което ще бъде мярка за стръмността на нашия път. Очевидно това е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни, тогава .
внимание! Обозначенията са ЕДНОсимвол, тоест не можете да „откъснете“ „делтата“ от „X“ и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и до символа за увеличаване на функцията.
Нека изследваме естеството на получената дроб по-смислено. Нека първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). След като изминахме разстоянието от метри (лявата червена линия), ще се окажем на надморска височина от 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде 
метри (зелена линия) и: . По този начин, на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличава средно аритметичнос 4 метра...забравихте оборудването си за катерене? =) С други думи, построената връзка характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ИЗМЕНЕНИЕ (в този случай растеж) на функцията.
Забележка : числови стойностиРазглежданият пример отговаря само приблизително на пропорциите на чертежа.
2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук нарастването е по-плавно, така че увеличението (пурпурна линия) е относително малко и съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде много скромно. Относително казано, 
метри и темп на растеж на функциятае . Тоест тук за всеки метър от пътеката има средно аритметичнополовин метър височина.
3) Малко приключение на планинския склон. Да погледнем отгоре черна точка, разположен на ординатната ос. Да приемем, че това е знакът от 50 метра. Отново преодоляваме разстоянието, в резултат на което се озоваваме по-ниско - на ниво 30 метра. Тъй като движението се извършва отгоре надолу(в посока „контра“ на оста), след това финал увеличението на функцията (височината) ще бъде отрицателно: 
метра (кафяв сегмент на чертежа). И в този случай вече говорим за темп на намаляванеХарактеристика: 
, тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява средно аритметичнос 2 метра. Погрижете се за дрехите си в петата точка.
Сега нека си зададем въпроса: каква стойност на „измервателния стандарт” е най-добре да използваме? Това е напълно разбираемо, 10 метра е много грубо. На тях лесно могат да се поберат добра дузина хълмове. Независимо от неравностите, отдолу може да има дълбока клисура, а след няколко метра другата му страна с още едно стръмно изкачване. По този начин с десет метра няма да получим разбираемо описание на такива участъци от пътя чрез съотношението .
От горната дискусия следва следното заключение: как по-малка стойност , толкова по-точно описваме топографията на пътя. Освен това следните факти са верни:
– За всекиповдигащи точки 
можете да изберете стойност (дори и много малка), която се вписва в границите на определено увеличение. Това означава, че съответното нарастване на височината ще бъде гарантирано положително и неравенството ще показва правилно растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.
- По същия начин, за всякаквиточка на наклона, има стойност, която напълно ще пасне на този наклон. Следователно, съответното увеличение на височината е очевидно отрицателно и неравенството ще покаже правилно намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.
– Особено интересен случай е, когато скоростта на изменение на функцията е нула: . Първо, нулево увеличение на височината () е знак за плавен път. И второ, има и други интересни ситуации, примери за които виждате на фигурата. Представете си, че съдбата ни е довела до самия връх на хълм с реещи се орли или дъното на дере с квакащи жаби. Ако направите малка стъпка в която и да е посока, промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията всъщност е нула. Точно такава картина се наблюдава по точките.
Така стигнахме до невероятна възможност да характеризираме съвършено точно скоростта на промяна на функция. След всичко математически анализви позволява да насочите нарастването на аргумента към нула: , тоест да го направите безкрайно малък.
В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функция, който ще ни уведомиза всички равнинни участъци, изкачвания, спускания, върхове, долини, както и скоростта на растеж/намаляване във всяка точка по пътя?
Какво е дериват? Дефиниция на производна.
Геометричен смисъл на производна и диференциал
Моля, прочетете внимателно и не прекалено бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, че е полезно да изучавате теорията няколко пъти, за да разберете напълно всички точки (съветът е особено подходящ за „технически“ студенти, за които висшата математика играе важна роля в образователния процес).
Естествено, в самата дефиниция на производната в точка я заместваме с:
До какво стигнахме? И стигнахме до извода, че за функцията по закон 
се поставя в съответствие друга функция, което се нарича производна функция(или просто производна).
Производната характеризира темп на промянафункции как? Идеята минава като червена нишка от самото начало на статията. Нека разгледаме някои точки област на дефиницияфункции Нека функцията е диференцируема в дадена точка. Тогава:
1) Ако , тогава функцията нараства в точката . И очевидно има интервал(дори много малка), съдържаща точка, в която функцията расте, а графиката й върви „отдолу нагоре“.
2) Ако , тогава функцията намалява в точката . И има интервал, съдържащ точка, в която функцията намалява (графиката върви „отгоре надолу“).
3) Ако , тогава безкрайно близоблизо до точка функцията поддържа скоростта си постоянна. Това се случва, както беше отбелязано, с постоянна функция и в критичните точки на функцията, в частност при минимални и максимални точки.
Малко семантика. Какво означава глаголът „диференцирам“ в широк смисъл? Да се разграничи означава да се подчертае дадена характеристика. Чрез диференциране на функция ние "изолираме" скоростта на нейното изменение под формата на производна на функцията. Какво, между другото, се разбира под думата „производно“? функция се случиот функция.
Термините много сполучливо се интерпретират от механичния смисъл на производното
:
Нека разгледаме закона за промяна на координатите на тялото в зависимост от времето и функцията на скоростта на движение дадено тяло. Функцията характеризира скоростта на промяна на координатите на тялото, следователно е първата производна на функцията по отношение на времето: . Ако понятието „движение на тялото“ не съществуваше в природата, тогава нямаше да има производнапонятието "скорост на тялото".
Ускорението на тялото е скоростта на промяна на скоростта, следователно: 
. Ако първоначалните концепции за „движение на тялото“ и „скорост на тялото“ не съществуваха в природата, тогава нямаше да съществуват производнапонятието „ускорение на тялото“.
Определение.Нека функцията \(y = f(x) \) е дефинирана в определен интервал, съдържащ точката \(x_0\) в себе си. Нека дадем на аргумента увеличение \(\Delta x \), така че да не напуска този интервал. Нека намерим съответното нарастване на функцията \(\Delta y \) (при преместване от точка \(x_0 \) до точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставим отношението \(\frac(\Delta y)(\Делта x) \). Ако има ограничение за това съотношение при \(\Delta x \rightarrow 0\), тогава определеното ограничение се извиква производна на функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означете \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се нарича така: производна на функцията y = f(x).
Геометрично значение на производнатае както следва. Ако е възможно да се начертае допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точката с абсцисата x=a, която не е успоредна на оста y, тогава f(a) изразява наклона на допирателната :
\(k = f"(a)\)
Тъй като \(k = tg(a) \), тогава равенството \(f"(a) = tan(a) \) е вярно.
Сега нека тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителните равенства. Нека функцията \(y = f(x)\) има производна в определена точка \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Делта x\). Значението на полученото приблизително равенство е следното: увеличението на функцията е „почти пропорционално“ на увеличението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точкаХ. Например за функцията \(y = x^2\) е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ако анализираме внимателно дефиницията на производна, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.
Нека го формулираме.
Как да намеря производната на функцията y = f(x)?
1. Фиксирайте стойността на \(x\), намерете \(f(x)\)
2. Дайте на аргумента \(x\) увеличение \(\Delta x\), отидете до нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете нарастването на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Създайте релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията в точка x.
Ако функция y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y = f(x). диференциацияфункции y = f(x).
Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани помежду си непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в дадена точка?
Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M(x; f(x)) и, припомнете си, ъгловият коефициент на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се „счупи“ в точка M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в точка x.
Това бяха „практически“ аргументи. Нека дадем по-строги аргументи. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ако в това равенство \(\Delta x \) клони към нула, тогава \(\Delta y\) ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точка.
Така, ако една функция е диференцируема в точка x, тогава тя е непрекъсната в тази точка.
Обратното твърдение не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент допирателната не може да бъде начертана към графиката на функция, тогава производната не съществува в тази точка.
Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x)\) е непрекъсната на цялата числова ос, включително в точката x = 0. А допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 . Но в тази точка допирателната съвпада с оста y, т.е. тя е перпендикулярна на абсцисната ос, нейното уравнение има формата x = 0. Такава права линия няма ъглов коефициент, което означава, че \(f „(0)\) не съществува.
И така, ние се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как може да се заключи от графиката на функция, че тя е диференцируема?
Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в дадена точка е възможно да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията е диференцируема. Ако в дадена точка допирателната към графиката на функция не съществува или е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията не е диференцируема.
Правила за диференциране
Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и „функции на функции“, тоест сложни функции. Въз основа на определението за производна можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следните са верни правила за диференциране:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
