Във връзка с
може да се постави задачата да се намери някое от трите числа от другите две дадени. Ако са дадени a и след това N, те се намират чрез степенуване. Ако N и след това a са дадени чрез вземане на корен от степен x (или повдигане на степен). Сега разгледайте случая, когато при дадени a и N трябва да намерим x.
Нека числото N е положително: числото a е положително и не е равно на единица: .
Определение. Логаритъмът на числото N при основа a е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи числото N; логаритъмът се обозначава с
По този начин в равенство (26.1) показателят се намира като логаритъм от N при основа а. Публикации
имат същото значение. Равенството (26.1) понякога се нарича основната идентичност на теорията на логаритмите; в действителност той изразява дефиницията на понятието логаритъм. от това определениеОсновата на логаритъма a винаги е положителна и различна от единица; логаритмичното число N е положително. Отрицателните числа и нулата нямат логаритми. Може да се докаже, че всяко число с дадена основа има точно определен логаритъм. Следователно равенството включва . Обърнете внимание, че условието е съществено тук; в противен случай заключението не би било оправдано, тъй като равенството е вярно за всякакви стойности на x и y.
Пример 1. Намерете
Решение. За да получите число, трябва да повдигнете основата 2 на степен Следователно.
Можете да правите бележки при решаването на такива примери в следната форма:
Пример 2. Намерете .
Решение. Ние имаме
В примери 1 и 2 лесно намерихме желания логаритъм, като представихме логаритмичното число като степен на основата с рационален показател. IN общ случай, например за и т.н., това не може да се направи, тъй като логаритъма има ирационална стойност. Нека обърнем внимание на един въпрос, свързан с това твърдение. В параграф 12 дадохме концепцията за възможността за определяне на всяка реална степен на дадено положително число. Това беше необходимо за въвеждането на логаритми, които, най-общо казано, могат да бъдат ирационални числа.
Нека разгледаме някои свойства на логаритмите.
Свойство 1. Ако числото и основата са равни, то логаритъма е равен на едно и, обратно, ако логаритъма е равен на едно, то числото и основата са равни.
Доказателство. Нека По дефиницията на логаритъм имаме и откъде
Обратно, нека Тогава по дефиниция
Свойство 2. Логаритъмът от единица към всяка основа е равен на нула.
Доказателство. По дефиниция на логаритъм (нулевата степен на всяка положителна основа е равна на единица, виж (10.1)). Оттук
Q.E.D.
Обратното твърдение също е вярно: ако , тогава N = 1. Наистина имаме .
Преди да формулираме следващото свойство на логаритмите, нека се съгласим да кажем, че две числа a и b лежат от една и съща страна на третото число c, ако и двете са по-големи от c или по-малки от c. Ако едно от тези числа е по-голямо от c, а другото е по-малко от c, тогава ще кажем, че те лежат на противоположните страни на c.
Свойство 3. Ако числото и основата лежат от една и съща страна на единица, тогава логаритъма е положителен; Ако числото и основата лежат на противоположните страни на едно, тогава логаритъмът е отрицателен.
Доказателството за свойство 3 се основава на факта, че степента на a е по-голяма от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е положителна или основата е по-малка от единица и степента е отрицателна. Степента е по-малка от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е отрицателна или основата е по-малка от единица и степента е положителна.
Има четири случая за разглеждане:
Ще се ограничим до анализа на първия от тях, останалите читателят ще разгледа сам.
Нека тогава в равенството степента не може да бъде нито отрицателна, нито равна на нула, следователно е положителна, т.е., както се изисква да се докаже.
Пример 3. Открийте кои от логаритмите по-долу са положителни и кои са отрицателни:
Решение, а) тъй като числото 15 и основата 12 са разположени от една и съща страна на едно;
б) тъй като 1000 и 2 са разположени от едната страна на единицата; в този случай не е важно основата да е по-голяма от логаритмичното число;
в) тъй като 3.1 и 0.8 лежат на противоположните страни на единица;
G) ; Защо?
д) ; Защо?
Следните свойства 4-6 често се наричат правила за логаритмиране: те позволяват, знаейки логаритмите на някои числа, да намерите логаритмите на техния продукт, коефициент и степен на всяко от тях.
Свойство 4 (правило за произведение логаритъм). Логаритъм от произведението на няколко положителни числа по тази основа равно на суматалогаритми на тези числа при една и съща основа.
Доказателство. Нека дадените числа са положителни.
За логаритъма на тяхното произведение записваме равенството (26.1), което определя логаритъма:
От тук ще намерим
Сравнявайки показателите на първия и последния израз, получаваме необходимото равенство:
Имайте предвид, че условието е съществено; логаритъм от произведението на две отрицателни числаима смисъл, но в този случай получаваме
Като цяло, ако продуктът на няколко фактора е положителен, тогава неговият логаритъм е равен на сумата от логаритмите на абсолютните стойности на тези фактори.
Свойство 5 (правило за логаритмиране на частни). Логаритъмът на частно от положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя, взети към една и съща основа. Доказателство. Постоянно намираме
Q.E.D.
Свойство 6 (правило за степенен логаритъм). Логаритъмът на степента на всяко положително число е равен на логаритъма на това число, умножен по степента.
Доказателство. Нека напишем отново основната идентичност (26.1) за числото:
Q.E.D.
Последица. Логаритъмът на корен от положително число е равен на логаритъма на радикала, разделен на експонентата на корена:
Валидността на това следствие може да бъде доказана, като си представите как и използвате свойство 6.
Пример 4. Вземете логаритъм при основа a:
а) (приема се, че всички стойности b, c, d, e са положителни);
б) (приема се, че ).
Решение, а) Удобно е да се премине към дробни степени в този израз:
Въз основа на равенства (26.5)-(26.7), сега можем да запишем:
Забелязваме, че върху логаритмите на числата се извършват по-прости операции, отколкото върху самите числа: при умножаване на числа техните логаритми се добавят, при деление се изваждат и т.н.
Ето защо логаритмите се използват в изчислителната практика (вижте параграф 29).
Обратното действие на логаритъма се нарича потенциране, а именно: потенцирането е действието, чрез което самото число се намира от даден логаритъм на число. По същество потенцирането не е специално действие: свежда се до повдигане на основата на степен (равна на логаритъма на числото). Терминът "потенциране" може да се счита за синоним на термина "потенциране".
Когато потенцирате, трябва да използвате правилата, обратни на правилата за логаритмиране: заменете сбора от логаритми с логаритъм от произведението, разликата от логаритми с логаритъм от частното и т.н. По-специално, ако има фактор отпред на знака на логаритъма, тогава по време на потенцирането трябва да се прехвърли в експонентните степени под знака на логаритъма.
Пример 5. Намерете N, ако е известно, че
Решение. Във връзка с току-що изложеното правило за потенциране, ще прехвърлим факторите 2/3 и 1/3, стоящи пред знаците на логаритмите от дясната страна на това равенство, в експоненти под знаците на тези логаритми; получаваме
Сега заместваме разликата на логаритмите с логаритъма на частното:
за да получим последната дроб в тази верига от равенства, ние освободихме предишната дроб от ирационалност в знаменателя (клауза 25).
Свойство 7. Ако основата е по-голяма от единица, тогава по-голям бройима по-голям логаритъм (а по-малкото число има по-малък), ако основата е по-малка от единица, тогава по-голямото число има по-малък логаритъм (а по-малкото число има по-голям).
Това свойство е формулирано и като правило за вземане на логаритми на неравенства, двете страни на които са положителни:
При логаритмиране на неравенства при основа, по-голяма от едно, знакът на неравенството се запазва, а при логаритмиране при основа, по-малка от едно, знакът на неравенството се променя на противоположния (вижте също параграф 80).
Доказателството се основава на свойства 5 и 3. Разгледайте случая, когато Ако , тогава и, като логаритмираме, получаваме
(a и N/M лежат от една и съща страна на единица). Оттук
Следва случай а, читателят ще разбере сам.
Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.
Дефиниция в математиката
Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до която трябва да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.
Видове логаритми
За много ученици тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни видовелогаритмични изрази:
- Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
- Десетично a, където основата е 10.
- Логаритъм на произволно число b при основа a>1.
Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.
Правила и някои ограничения
В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, числата не могат да бъдат разделени на нула и също така е невъзможно да се извлече коренът дори степенот отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:
- Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
- ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.
Как се решават логаритми?
Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.
Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.
За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:
Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!
Уравнения и неравенства
Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.
Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.
Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат един или повече конкретни отговори. числови стойности, докато при решаването на неравенството се определят както обхватът на допустимите стойности, така и точките на прекъсване на тази функция. В резултат на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а по-скоро непрекъсната серияили набор от числа.
Основни теореми за логаритмите
При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.
- Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
- Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай предпоставкае: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
- Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.
Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.
Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;
но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.
Примери за задачи и неравенства
Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички сборници със задачи, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни изпити по математика, трябва да знаете как правилно да решавате такива задачи.
За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне неизвестна стойностНяма такова нещо като логаритъм, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека бързо да ги опознаем.
Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.
Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на логаритмични задачи от различни видове.
Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения
И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.
- Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.
Задачи от Единния държавен изпит
Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.
Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.
Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.
- Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
- Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели на общественото здраве. важни случаи.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
С развитието на обществото и усложняването на производството се разви и математиката. Движение от просто към сложно. От обикновеното счетоводство с помощта на метода на събиране и изваждане, с многократното им повторение, стигнахме до концепцията за умножение и деление. Намаляването на повтарящата се операция на умножение се превърна в концепцията за степенуване. Първите таблици на зависимостта на числата от основата и броя на степенуването са съставени още през 8 век от индийския математик Варасена. От тях можете да преброите времето на възникване на логаритмите.
Исторически очерк
Възраждането на Европа през 16 век стимулира и развитието на механиката. T изискваше голямо количество изчислениясвързани с умножение и деление на многоцифрени числа. Старинните маси бяха от голяма полза. Те направиха възможно замяната на сложните операции с по-прости - събиране и изваждане. Голяма крачка напред е работата на математика Михаел Щифел, публикувана през 1544 г., в която той реализира идеята на много математици. Това направи възможно използването на таблици не само за мощности под формата на прости числа, но и за произволни рационални.
През 1614 г. шотландецът Джон Напиер, развивайки тези идеи, за първи път въвежда новия термин „логаритъм на число“. Нов сложни таблициза изчисляване на логаритми на синуси и косинуси, както и на тангенси. Това значително намали работата на астрономите.
Започнаха да се появяват нови таблици, които бяха успешно използвани от учените в продължение на три века. Мина много време преди нова операцияв алгебрата придоби завършената си форма. Дадена е дефиницията на логаритъма и са изследвани неговите свойства.
Едва през 20-ти век, с появата на калкулатора и компютъра, човечеството изоставя древните таблици, които са работили успешно през 13-ти век.
Днес ние наричаме логаритъм от b по основа а числото x, което е степента на a, за да направи b. Това се записва като формула: x = log a(b).
Например, log 3(9) ще бъде равно на 2. Това е очевидно, ако следвате определението. Ако повдигнем 3 на степен 2, получаваме 9.
Така формулираната дефиниция поставя само едно ограничение: числата a и b трябва да са реални.
Видове логаритми
Класическата дефиниция се нарича реален логаритъм и всъщност е решението на уравнението a x = b. Вариант a = 1 е граничен и не представлява интерес. Внимание: 1 на произволна степен е равно на 1.
Реална стойност на логаритъмдефинирани само когато основата и аргументът са по-големи от 0 и основата не трябва да е равна на 1.
Особено място в областта на математикатаиграят логаритми, които ще бъдат именувани в зависимост от размера на тяхната основа:
Правила и ограничения
Основното свойство на логаритмите е правилото: логаритъмът на произведение е равен на логаритмичната сума. log abp = log a(b) + log a(p).
Като вариант на това твърдение ще бъде: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), частното е равно на разликата на функциите.
От предишните две правила е лесно да се види, че: log a(b p) = p * log a(b).
Други имоти включват:
Коментирайте. Няма нужда да правите често срещана грешка - логаритъмът от сбор не е равен на сбора от логаритми.
В продължение на много векове операцията по намиране на логаритъм е била доста трудоемка задача. Използвани математици добре позната формулалогаритмична теория на полиномното разширение:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), където n - естествено числопо-голямо от 1, което определя точността на изчислението.
Логаритмите с други основи бяха изчислени с помощта на теоремата за прехода от една основа към друга и свойството логаритъм на произведението.
Тъй като този метод е много трудоемък и при решаване на практически задачитруден за изпълнение, използвахме предварително компилирани таблици с логаритми, което значително ускори цялата работа.
В някои случаи са използвани специално проектирани логаритмични графики, които дават по-малка точност, но значително ускоряват търсенето желаната стойност. Кривата на функцията y = log a(x), построена върху няколко точки, ви позволява да използвате обикновена линийка, за да намерите стойността на функцията във всяка друга точка. Инженери дълго времеЗа тези цели се използва така наречената милиметрова хартия.
През 17 век се появяват първите спомагателни аналогови изчислителни условия, които 19 векпридоби завършен вид. Най-успешното устройство се нарича плъзгач. Въпреки простотата на устройството, неговият външен вид значително ускори процеса на всички инженерни изчисления и това е трудно да се надцени. В момента малко хора са запознати с това устройство.
Появата на калкулаторите и компютрите обезсмисля използването на всякакви други устройства.
Уравнения и неравенства
За решаване на различни уравнения и неравенства с помощта на логаритми се използват следните формули:
- Преминаване от една база към друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Като следствие от предишната опция: log a(b) = 1 / log b(a).
За решаване на неравенства е полезно да знаете:
- Стойността на логаритъма ще бъде положителна само ако основата и аргументът са по-големи или по-малки от едно; ако поне едно условие е нарушено, стойността на логаритъма ще бъде отрицателна.
- Ако функцията логаритъм се приложи към дясната и лявата страна на неравенството и основата на логаритъма е по-голяма от единица, тогава знакът на неравенството се запазва; иначе се променя.
Примерни проблеми
Нека разгледаме няколко варианта за използване на логаритми и техните свойства. Примери за решаване на уравнения:
Обмислете опцията за поставяне на логаритъма в степен:
- Задача 3. Изчислете 25^log 5(3). Решение: в условията на задачата записът е подобен на следния (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Нека го запишем по различен начин: 5^log 5(3*2), или квадратът на число като аргумент на функция може да бъде записан като квадрат на самата функция (5^log 5(3))^2. Използвайки свойствата на логаритмите, този израз е равен на 3^2. Отговор: в резултат на изчислението получаваме 9.
Практическа употреба
Тъй като е чисто математически инструмент, изглежда далеч от това Истински животче логаритъмът изведнъж придоби голямо значение за описване на обекти в реалния свят. Трудно е да се намери наука, където да не се използва. Това в пълна степен се отнася не само за природните, но и за хуманитарните области на знанието.
Логаритмични зависимости
Ето няколко примера за числени зависимости:
Механика и физика
В исторически план механиката и физиката винаги са се развивали с помощта на математически методиизследвания и в същото време послужи като стимул за развитието на математиката, включително логаритмите. Теорията на повечето закони на физиката е написана на езика на математиката. Нека дадем само два примера за описания физични закониизползвайки логаритъм.
Проблемът с изчисляването на такава сложна величина като скоростта на ракета може да бъде решен с помощта на формулата на Циолковски, която постави основата на теорията за изследване на космоса:
V = I * ln (M1/M2), където
- V е крайната скорост на самолета.
- I – специфичен импулс на двигателя.
- M 1 – начална маса на ракетата.
- M 2 – крайна маса.
Друг важен пример- това се използва във формулата на друг велик учен Макс Планк, която служи за оценка на равновесното състояние в термодинамиката.
S = k * ln (Ω), където
- S – термодинамично свойство.
- k – Болцманова константа.
- Ω е статистическото тегло на различните състояния.
Химия
По-малко очевидно е използването на формули в химията, съдържащи отношението на логаритмите. Нека дадем само два примера:
- Уравнение на Нернст, условието на редокс потенциала на средата във връзка с активността на веществата и константата на равновесието.
- Изчисляването на такива константи като индекса на автолиза и киселинността на разтвора също не може да се направи без нашата функция.
Психология и биология
И изобщо не е ясно какво общо има психологията с това. Оказва се, че силата на усещането се описва добре от тази функция като обратното съотношение на стойността на интензитета на стимула към стойността на по-ниския интензитет.
След горните примери вече не е изненадващо, че темата за логаритмите се използва широко в биологията. Могат да се изпишат цели томове за биологични форми, съответстващи на логаритмични спирали.
Други области
Изглежда, че съществуването на света е невъзможно без връзка с тази функция, а тя управлява всички закони. Особено когато законите на природата са свързани с геометрична прогресия. Струва си да се обърнете към уебсайта MatProfi и има много такива примери в следните области на дейност:
Списъкът може да бъде безкраен. След като сте усвоили основните принципи на тази функция, можете да се потопите в света на безкрайната мъдрост.
Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.
Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Помислете за два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:
- дневник а х+ дневник а г= дневник а (х · г);
- дневник а х− дневник а г= дневник а (х : г).
И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не са взети предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:
Log 6 4 + log 6 9.
Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.
Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.
Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.
Извличане на показателя от логаритъма
Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:
Лесно е да забележите това последното правилоследва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .
Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис към снимката]
Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
[Надпис към снимката] Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.
Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.
Преход към нова основа
Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?
Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:
Нека логаритъмът е даден а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1 равенството е вярно:
[Надпис към снимката]
По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:
[Надпис към снимката]
От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.
Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:
Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.
Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Сега нека "обърнем" втория логаритъм:
[Надпис към снимката]Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.
Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:
[Надпис към снимката]Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:
[Надпис към снимката]Основно логаритмично тъждество
Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:
В първия случай броят нстава индикатор за степента на позиция в спора. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто логаритъм.
Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Това се нарича: основна логаритмична идентичност.
Всъщност какво ще се случи, ако броят bповдигнете до такава степен, че числото bна тази степен дава числото а? Точно така: получавате същото число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.
Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис към снимката]
Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:
[Надпис към снимката]Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)
Логаритмична единица и логаритмична нула
В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.
- дневник а а= 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм по произволна основа аот същата тази основа е равно на едно.
- дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.
Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.
