В тази статия ще разгледаме произведението, което А. С. Пушкин е написал през 1836 г.: ще го опишем резюмеи направете анализ. " Дъщерята на капитана„Жанрът е исторически разказ.Нека припомним краткото съдържание на творбата.
В него разказът се води от името на Пьотър Андреевич Гринев, 50-годишен мъж. Спомня си времето, когато се е запознал с водача на селското въстание.
Произход и детство на Пьотър Гринев
Петър е роден и израснал в семейството на беден благородник. Момчето не получи практически никакво образование - той се научи да чете и пише само до 12-годишна възраст с помощта на Савелич. До 16-годишна възраст Петър води живота на типичен тийнейджър. Той играеше с момчетата от селото и мечтаеше за весел живот в Санкт Петербург, тъй като беше регистриран като сержант, докато беше още в утробата на майка си.
Баща му обаче реши различно - той изпрати Петруша, 17-годишно момче, в армията, а не в Санкт Петербург, за да може да "помирише барут". Сбогувайки се, той даде инструкции на Петър, които са включени в епиграфа на „Дъщерята на капитана“: „Погрижете се за честта си от ранна възраст“. Така Гринев се озова в Оренбургската крепост. Савелич, неговият учител, също отиде тук с Петър.
Пътека към крепостта
Савелич и Петър се изгубиха на входа на града и попаднаха в снежна буря. Те бяха спасени само с помощта на непознат, който изведе героите по пътя към дома им. Петруша, в знак на благодарност за спасението му, даде на този непознат кожух от заешка кожа и го почерпи с вино.
Запознаване с Белогорската крепост
Тук Петър идва в Белгородската крепост за служба. Не приличаше на укрепена структура. Само няколко „инвалиди“ съставляват армията; единственото й оръжие е оръдие. Миронов Иван Кузмич управлява крепостта. Той е честен и въпреки че не се отличава с образование. Всички дела в крепостта се ръководят от съпругата му Василиса Егоровна. Гринев става доста близък със семейството на коменданта. Той прекарва много време с него.
Връзка между Гринев и Швабрин
Отначало офицерът Швабрин, който служи в тази крепост, също става негов приятел. Въпреки това скоро се карат, защото Швабрин говори неласкаво за Маша, дъщерята на Миронов, която Гринев харесва (образът на дъщерята на капитана ще бъде обсъден по-долу). Петър предизвиква Швабрин на дуел и е ранен. Маша, докато се грижи за него, казва на Гринев, че Швабрин веднъж е поискал ръката й, но тя му е отказала. Гринев решава да се ожени за това момиче и пише писмо до баща си с молба за благословията му. Но той не е съгласен с такъв брак, тъй като дъщерята на капитана е без зестра. Следователно главните герои на произведението не могат да се оженят. Маша не иска да се омъжи без благословията на баща си.
Пугачевци в Белогорската крепост
През 1773 г., през октомври, Миронов получава писмо. В него се съобщава за Пугачов, който се представя за починалия Петър III. Той вече беше събрал голяма армия, състояща се от селяни, и успя да превземе няколко крепости. Той се готви да се срещне с Пугачов и комендантът ще изпрати дъщеря си в Оренбург, но няма време да направи това - пугачевите вече са тук. Селяните посрещат нашествениците с хляб и сол. Всички, които служат в крепостта, са взети в плен. Те трябва да се закълнат във вярност на Пугачов. Комендантът обаче отказва да положи клетва и той е обесен. Жена му също умира. Но Гринев се оказва неочаквано свободен. Савелич му казва, че Пугачов е непознатият, на когото Гринев някога е подарил палто от заешка овча кожа.
Съдбата на Маша след пристигането в крепостта на Пугачов
Макар че главен геройТой открито се кълне във вярност на Емелян, който го пуска. Гринев напуска крепостта, но дъщерята на капитана остава в нея. Основните герои, любящ приятелприятел, не може да се събере отново. Момичето е болно и се крие под прикритието на племенница на местен свещеник. Швабрин е назначен за комендант на крепостта. Той се закле във вярност на Пугачов. Това тревожи Гринев. В Оренбург главният герой моли за помощ, но не я намира. Скоро той получава писмо от Маша. Момичето пише, че Швабрин я принуждава да се омъжи за него. Ако тя откаже, той обещава да каже на хората на Пугачов, че тя е дъщерята на капитана. Описанието на всички тези събития в работата е дадено подробно - подчертахме само основните точки.
Пугачов освобождава Маша
Гринев и Савелич пътуват към Белогорската крепост. Но по пътя те са заловени от пугачевците и отново се срещат с водача си.
Петър честно казва на Емелян къде отива и защо; и неочаквано за Гринев, Пугачов решава да му помогне да „накаже сирачето, което го е малтретирало“. Пугачов освобождава Маша в крепостта. Дори историята на Швабрин за това коя е тя всъщност не го спира.
Помилване на Гринев от императрицата
Историческият разказ "Капитанската дъщеря" завършва със следните събития. Гринев отвежда момичето при родителите си. Самият той се връща в армията. Изпълнението на Пугачов се проваля, но Гринев е арестуван, тъй като Швабрин казва на процеса, че Петър е шпионин на Пугачов. Главният герой е осъден на изгнание в Сибир и само посещението при императрицата, което Маша прави, помага да се постигне помилване на Гринев. Но Швабрин е изпратен на тежък труд.
Темата на произведението "Дъщерята на капитана"
Проблемите, разгледани в работата, са многобройни. Най-важният от тях, разбира се, е въпросът за честта. Като цяло, по отношение на широчината на обхващане на действителността, значимостта на поставената от автора тема и художественото съвършенство на произведението, разказът „Капитанската дъщеря“ е върхово постижение, шедьовър, създаден от Пушкин реалист . Завършена е 3 месеца преди смъртта на автора. Така „Капитанската дъщеря” става последната му голяма работа.
Проблемите, поставени от автора, до голяма степен се отнасят до една много важна тема за това време - темата за селската война, селското въстание. За Пушкин изучаването на историята на въстанието на Пугачов направи възможно вярно и точно да се говори за събитията, описани в историята. Целта на "Капитанската дъщеря" беше по-специално да покаже психологията на участниците.
Бащата на Петър, Гринев Андрей Петрович
Гринев Андрей Петрович имаше отрицателно отношение към нечестните и лесни начининаправи кариера в съда. Затова той не искаше да изпрати сина си Петър в Санкт Петербург, за да служи в гвардията. Искал той да „помирише барут“ и да стане войник, а не лентяй. Именно той изрича думите, включени в епиграфа на „Капитанската дъщеря“: „Грижете се за честта си от млади години“.
Бащата Гринев не е лишен от характеристиките на представител на онова време отрицателни черти. Нека си спомним например грубото му отношение към неговата неоплакваща се и любяща съпруга, майката на Петър, репресиите, които извърши срещу учител по френски език, възмутително грубия тон на писмото до Савелич, в което го нарича „старо куче“. В тези епизоди виждаме типичен дворянин-крепостник. Бащата на Гринев обаче също има такъв. Тази сила на характера, праволинейност, черти предизвикват естествената и неволна симпатия на читателя към него - към този строг човек към другите и към себе си.
Характерът на Петър Гринев
Характерът на Петър Гринев, 16-годишно момче, е показан от автора в движение, развитие, настъпило под влияние на условията на живот, в които се намира. Първоначално Петруша е несериозен и невнимателен син на земевладелец, мързелив невежа, на практика Фонвизин Митрофанушка. Мечтае за лекия, изпълнен с удоволствия живот на гвардеец в столицата.
В Пьотър Гринев любовните неща бяха обединени, добро сърцемайка му със смелостта, почтеността, честността, присъщи на баща му. Отец Гринев укрепи тези качества в него в твърдото си наставление да служи вярно, да се подчинява на началниците си и най-важното - да се грижи за честта от младини.
Добротата на главния герой се проявява в щедър подарък за „селянина“, който му показва пътя по време на снежна буря и играе решаваща роля в по-нататъшната съдба на героя. И тогава, рискувайки всичко, Гринев се втурна да спаси Савелич, който беше заловен. Дълбочината на неговата природа се отразява в чистото и велико чувство, което се зароди в него към Маша Миронова.
Честта в "Капитанската дъщеря" е много важна характеристикаличност. И Пьотър Гринев с поведението си доказа своята лоялност към заветите на баща си, не предаде това, което смяташе за своя чест и свой дълг. Добрите наклонности и черти, присъщи на него, се каляват, укрепват и накрая възтържествуват под влиянието на суровото житейско училище, на което баща му го изпраща, като го изпраща в отдалечените степни покрайнини вместо в Петербург. Големите събития в историята, в които Гринев стана участник, не му позволиха след лична скръб (баща му не се съгласи да се ожени за Маша) да падне духом и да падне сърце; те предадоха „силен и добър шок“ на младите душата на човека.
Швабрин Алексей Иванович
„Капитанската дъщеря” е книга, в която сред главните герои ще открием Алексей Иванович Швабрин, съперник на Гринев – пълна противоположност на директния и честен Петър. Авторът не лишава и този персонаж положителни черти. Той е наблюдателен, умен, образован, интересен събеседник и има остър език. Въпреки това, в името на лични цели, Алексей е готов да извърши непочтен акт. Той наклевети Маша Миронова и също хвърля сянка върху майка й. Швабрин нанася коварен удар на Гринев в дуел и освен това пише фалшив денонс на Петър на баща му. Алексей Иванович не преминава на страната на Пугачов от идеологически убеждения: той се надява по този начин да спаси живота си и ако успее, се надява да направи кариера при Емелян. Но най-важното е, че той иска да се справи с Гринев и насила да се ожени за Маша, която не го обича.
Семейство Миронови и Иван Игнатиевич
Нека накратко да се запознаем с героите на други герои, създадени от Пушкин в произведението "Дъщерята на капитана". Герои около Ще говорим, принадлежат на обикновени офицери, като Швабрин. Те са тясно свързани с масата войници. Става дума за Иван Игнатиевич, измамен гарнизонен лейтенант, и за самия капитан Миронов, който дори не е дворянин по рождение - той се издигна от деца на войници до офицер. И Василиса Егоровна, и съпругата му, и самият капитан, и измамният лейтенант от пиесата „Капитанската дъщеря“ - тези герои бяха необразовани хора, с ограничен мироглед, което не им даде възможност да разберат целите и причините за народното въстание.
Те не бяха лишени от характерни за онова време недостатъци. Нека си припомним поне „справедливостта” на капитана. Тя казва, че не можете да кажете кой е прав и кой крив - Прохор или Устиня. И двамата трябва да бъдат наказани. Миронови обаче бяха мили и прости хора, отдадени на дълга, готови безстрашно да умрат за „светилището на своята съвест“.
Изображение на Маша Миронова
Да продължим анализа. Дъщерята на капитана (на чието име е кръстена работата, която ни интересува) е много ярка героиня. Пушкин създава образа на Маша Миронова с особена топлина и симпатия. Скрива се под нежност външен видсила и постоянство, разкрити в любовта към Гринев, съпротива срещу Швабрин, пътуването й до Санкт Петербург при императрицата, за да спаси годеника си. Това е дъщерята на капитана в произведението, създадено от Пушкин. Анализирайки действията на тази героиня, Александър Сергеевич ясно й съчувства.
Савелич, чичо на Гринев
Авторът много правдиво показва образа на Савелич, чичото на Гринев, чиято преданост към господарите далеч не е просто робство, както показва нашият анализ. "Капитанската дъщеря" е история, в която Савелич не е показан като слуга, унижаващ се пред господарите си. Така, в отговор на несправедливите и груби упреци на бащата Гринев, в писмото си той се нарича „ваш верен слуга“, „роб“, както беше обичайно по това време, когато се обръщаше към крепостни господари. Тонът на писмото на този герой обаче е пропит с чувство за човешко достойнство. Духовното богатство, вътрешното благородство на неговата природа се разкриват напълно в дълбоко човешката и напълно безкористна обич на самотен, беден старец към домашния любимец.
Образът на Емелян Пугачов в творбата
Пушкин („Капитанската дъщеря“) анализира образа на Емелян Пугачов. През 30-те години на XIX век той усилено изучава историята на своето въстание. Образът на Емелян, създаден в работата, която ни интересува, се различава рязко от предишните образи на Пугачов. Без никакво разкрасяване Пушкин показа този лидер на народния бунт. Неговият образ е даден в цялата сурова реалност, понякога жестока.
В портрета на автора Емелян се отличава със своята „острота“ - бунтовен и свободен дух, яснота на ума, героична дързост и спокойствие и широта на природата. Той разказва на Гринев приказка за гарван и орел. Значението му е, че моментът на светъл и свободен живот е по-добър за дълги годинирастителност. Пугачов казва за себе си, че неговият обичай е „да екзекутира, да екзекутира, да има милост, да има милост“.
Композиционен паралелизъм
Александър Сергеевич нарече историята "Дъщерята на капитана". В последната глава на произведението отново се пренасяме в благородното имение на Гриневите, в същата обстановка. Такъв паралелизъм на началото и края на композицията на историята дава пълнота и хармония. Пушкин обаче добавя нови щрихи към описанието на ситуацията. И така, бащата Гринев прелиства разсеяно календара си, майката този път не прави сладко от мед, а плете суичър за Петруша, който трябва да бъде заточен във вечно заселване в Сибир. Тежката семейна драма беше заменена от семейна идилия.
Езикови особености
Езикът, на който е написана творбата, е забележителен аспект на историята. всеки актьорПушкин дава специален езиков маниер, който съответства на нивото на неговото развитие, умствен мироглед, характер, социален статус. Следователно от забележките на героите и техните изявления към читателите възникват необичайно живи и ярки човешки образи. Те обобщават характерните страни от живота на руското общество от онова време.
С това анализът приключва. „Капитанската дъщеря” е произведение, за което мога да пиша много дълго. Той, както каза Н. В. Гогол, се отличава с „чистота и безобразие“, издигнати до такава степен, че реалността изглежда карикатурна и изкуствена пред него. Гогол отбеляза, че всички руски истории и романи изглеждат просто „подслаждащ боклук“ пред творбата „Капитанската дъщеря“, чието описание е представено в тази статия.
През 30-те години Пушкин се обръща към Смутни времена XVIII и. до въстанието на Пугачов (1773 - 1774). Писателят изучава документите и през 1833 г. прави пътуване до местата, където преди 60 години бушува въстанието. Той посети Нижни Новгород, Казан, Симбирск, Оренбург, Уралск, Бердская слобода - столицата на Пугачов. В продължение на няколко месеца Пушкин чете нови документи и се среща с хора, които си спомнят Пугачов. С творението писателят завършва своето изследване исторически очерк"Историята на Пугачов".
Императорът, който беше личен цензор на поета, намери работата на Пушкин за интересна, но направи 23 поправки и предложи да я нарече „История на бунта на Пугачов“. Пушкин се съгласи с поправката: „...Кралското име, признаваме, е по-точно“, каза той.
През 1834 г. е публикувана „История...“. И през 1836 г. е публикувана историята „Дъщерята на капитана“, която ще анализираме.
И двете творби са написани върху един и същ исторически материал. Но ако в „История...“ се изследва такова понятие като „пугачовщина“, то в „Капитанската дъщеря“ фокусът е върху съдбата на хората, попаднали във водовъртежа на кървавия бунт.
Замисляйки произведение за времето на Пугачов, Александър Сергеевич искаше да направи главния герой офицер, който премина на страната на Пугачов. Но след като проучих документи и разкази на очевидци, разбрах, че подобен акт е нетипичен за благородниците.
Пропастта между двете русии
Бунтът на Пугачов по същество бележи пропастта между две Руси - благородническа и селска (народна). Всеки от тях имаше своята истина.
Народният лагер се оглавява от Пугачов, наричащ себе си цар Петър III. В разказа „Капитанската дъщеря“ на Пушкин е изобразено, че той, както подобава на „цар“, живее в „дворец“ - обикновена селска колиба, покрита само със златна хартия. Неговото обкръжение също е "кралско" - "господа енарали", които всъщност са били прости мъже и казаци. На върха на селските палта от овча кожа имат сини панделки (сините панделки показват получаването на Ордена на Св. Андрей Първозвани - най-високият орден Руска империя). Целият този маскарад каза по-добре от всякакви думи, че самият „суверен“ Пугачов и неговите „енари“ изобщо не са тези, за които се представят.
Народният цар е безпощаден към благородниците. С необикновена лекота („размахва бяла кърпичка”) той ги изпраща на бесилото. Точно така се справи с капитан Миронов. Но в същото време Пугачов смята за свой дълг да защитава (както всеки крал в народна приказка) слаб и обиден. Той дори взема Маша Миронова, дъщерята на своя враг, под своя защита...
А самият Пугачов и целият му бунтовнически лагер са плът от плътта на народа. Това се виждаше особено ясно в техните речи и песни. Речта на Пугачов е изпъстрена с пословици, поговорки и популярни изрази: „така екзекутирайте, така екзекутирайте, благоволете така“, „отидете в четирите посоки“, „дългът си струва да се плати“, „Ще се смил ти този път."
Срещу пугачевците се противопоставя благородническият лагер. В историята това са „стари хора“ - Гриневите, Миронови, Савелич, жители на Белогорската крепост. Пушкин ги описва със съчувствие и симпатия.
И така избухва конфликт между тези социални слоеве... В борбата, която те водят, не остава място за личната доброта - тя е погълната от класовата омраза.
Съдбите на героите, композиция "Дъщерята на капитана"
На фона на кървавите събития от селската война се разкриват съдби обикновените хора- Гринев и Миронов. И преди всичко младият Петруша Гринев. Съзряването на това безгрижно момче се случва бързо.
Изпитанията и злополуките, които сполетяват героя, съставляват сюжета на историята. Изложба на творбата- информация за Гриневите. Научаваме, че Петруша е от провинциалните благородници, той е получил образованието си от Бопре, фризьор от Франция, и възпитанието си от нетърпеливия Савелич, и до седемнадесет години е преследвал гълъби. И тогава баща му го изпраща да служи в армията. По пътя към мястото му на служба съдбата среща Гринев с избягал казак, който по-късно се оказва Пугачов. Среща с него - последователност от действия. И тогава идва неговото развитие: Пьотър Гринев идва в Белогорската крепост и се влюбва в дъщерята на коменданта на крепостта Миронов. Превземането на Белогорската крепост от пугачевците и екзекуцията на офицери е кулминацията на сюжета. Тук всеки от героите се показва в истинската си светлина. Един от офицерите - Швабрин - се оказва предател. Гринев беше помилван от Пугачов, който си спомни, че при първата им среща Петър му подари палто от заешка овча кожа, което го спаси от зимния студ. В тази ситуация Пугачов, разбира се, се отклонява от правилата си и действа според сърцето си. Въпреки милостта на Емелян, Гринев отказва да премине на страната на бунтовниците, което показва неговата вътрешна силаи непоколебимостта на моралните принципи.
Петър живее според закона народна мъдрост, вдъхновен от баща си: „Погрижете се за честта си от ранна възраст.“ Младият офицер два пъти отказва предложенията на своя спасител, но Пугачов, проявявайки щедрост, спасява Маша Миронова от преследването на Швабрин и го освобождава с Гринев.
Изглежда, че това е краят на всички ужаси - героите са спасени. Но го нямаше. Животът, изместен от толкова ужасно по силата и безпощадността си явление като народния бунт, не може бързо да се върне в предишните си рамки. Следователно Гринев трябваше да премине през друго ужасно изпитание - арест и обвинение във връзка с Пугачов.
Той може да се оправдае, но честта и достойнството му не му позволяват да споменава името на Маша Миронова в тази история. Защитавайки я от възможни подозрения, Гринев практически се признава за виновен без вина.
Петър спасява честта и живота на Маша Миронова. Тя също го спасява, когато се обръща към императрица Екатерина II с молба да помилва Гринев. Огледалният характер на действията на Петър Гринев и Маша Миронова говори за общността на техните морални принципи. Въпреки ужасните катаклизми в обществото, те останаха непоклатими.
Кралицата се смили над Гринев. Тоест, тя, както някога Пугачов, действа не според закона, а според сърцето си.
Развръзка на сюжета и завършек на историята- семейното щастие на Пьотър Андреевич Гринев и Мария Ивановна Миронова и екзекуцията на Пугачов. С този завършек Пушкин изразява вярата си в спасителната сила на истината, милостта и любовта в един „жесток век“ както за отделния човек, така и за обществото като цяло.
Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки.
Днес ще разгледаме геометрична фигура- четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но ние ще разгледаме останалите характеристики и свойства на тази фигура по-долу.
Какво е четириъгълник
Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.
Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на права линия.
Видове четириъгълници
- Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.
- Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
- Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
- Четириъгълник с равни страни е ромб.
- Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.
Четириъгълникът може да бъде:
Самопресичащи се
Неконвексен
Изпъкнал
Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).
Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешните ъгли е повече от 180 градуса (посочен в оранжево на фигурата).
Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.
Специални видове четириъгълници
Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видове геометрични фигури:
- Успоредник
- Правоъгълник
- Квадрат
- Трапец
- Делтоид
- Контрауспоредник
Четириъгълник и кръг
Четириъгълник, описан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).
Основното свойство на описания четириъгълник:
Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините на срещуположните страни са равни.
Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, описана около четириъгълник)
Основното свойство на вписан четириъгълник:
Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е равен на 180 градуса.
Свойства на дължините на страните на четириъгълник
Модул на разликата между произволни две страни на четириъгълникне надвишава сумата от другите му две страни.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Чертежът е предоставен единствено за по-лесно възприемане.
Във всеки четириъгълник сборът от дължините на трите му страни е не по-малък от дължината на четвъртата страна.
важно. При решаване на проблеми в рамките на училищна програмаможете да използвате строго неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!
Тема на урока
- Дефиниция на четириъгълник.
Цели на урока
- Образователни – повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Четириъгълник”; развитие на основни умения.
- Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
- Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.
Цели на урока
- Развийте умения за конструиране на четириъгълник с помощта на мащабна линийка и чертожен триъгълник.
- Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.
План на урока
- Историческа справка. Неевклидова геометрия.
- Четириъгълник.
- Видове четириъгълници.
Неевклидова геометрия
Неевклидова геометрия, геометрия, подобна на геометрията Евклидв това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от петте й постулата (вторият или петият) е заменен с нейното отрицание. Отрицанието на един от постулатите на Евклид (1825 г.) е значимо събитие в историята на мисълта, защото служи като първата стъпка към теория на относителността.
Вторият постулат на Евклид гласи това всеки сегмент от права линия може да бъде удължен за неопределено време. Евклид очевидно е вярвал, че този постулат също съдържа твърдението, че правата линия има безкрайна дължина. въпреки това в „елиптичната“ геометрия всяка права линия е крайна и подобно на кръга е затворена.
Петият постулат гласи, че ако една права пресича две дадени прави по такъв начин, че двата вътрешни ъгъла от едната й страна се събират до по-малко от два прави ъгъла, тогава тези две прави, ако се удължат за неопределено време, ще се пресичат от страната, където сборът от тези ъгли е по-малък от сбора на две прави линии. Но в „хиперболичната“ геометрия може да има права CB (виж фигурата), перпендикулярна в точка C на дадена права r и пресичаща друга права s под остър ъгъл в точка B, но въпреки това безкрайните прави r и s ще никога не се пресичат.
От тези ревизирани постулати следва, че сумата от ъглите на триъгълник, равна на 180° в евклидовата геометрия, е по-голяма от 180° в елиптичната геометрия и по-малка от 180° в хиперболичната геометрия.
Четириъгълник
Предмети > Математика > Математика 8 класТеорема: Четириъгълникът е успоредник, ако:
- противоположните му ъгли са равни;
- противоположните му страни са равни по двойки;
- неговите диагонали са разделени наполовина от точката на пресичане;
- двете му срещуположни страни са успоредни и равни.
Доказателство:
A. Нека ъглите K и M в четириъгълника KLMN са равни един на друг и равни на a, нека ъглите L и N също са равни един на друг и равни на r (фигура). Като се има предвид, че сумата от ъглите на четириъгълник е 360°, получаваме, че 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Като се има предвид, че ъглите K и L, равни съответно на въздух, са вътрешни едностранни ъгли с прави KN и LM, пресечени от права KL, заключаваме, че страните KN и LM са успоредни. Освен това въз основа на ъглите K и N заключаваме, че страните KL и NM са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, ние твърдим, че четириъгълникът KLMN е успоредник.
B. Нека страните CD и FE, както и CF и DE са равни по двойки в четириъгълника CDEF (фигура). Нека начертаем един от диагоналите на четириъгълника, например CE. Триъгълниците CDE и EFC са равни по три страни. Следователно ъглите DEC и FCE са равни. Тъй като тези ъгли са вътрешни ъгли, лежащи на кръст с правите DE и CF, пресечени от правата CE, тогава страните DE и CF са успоредни. Освен това от равенството на ъглите DCE и FEC получаваме, че страните CD и FE са успоредни. Сега, чрез дефиницията на успоредник, заявяваме, че четириъгълникът CDEF е успоредник.
C. Нека точката B от пресечната точка на диагоналите IL и KM на четириъгълника IKLM разделя тези диагонали наполовина: IB = BL и KB = BM (фигура). Тогава триъгълниците KBL и MBI са равни по две страни и ъгъл между тях. Това ни позволява да твърдим, че ъглите 1MB и LKB са равни, което означава, че страните IM и KL са успоредни. По същия начин от равенството на триъгълниците KBI и MBL заключаваме, че страните IK и LM са успоредни. Сега, по дефиницията на успоредник, можем да кажем, че четириъгълникът IKLM е успоредник. Много често трябва да знаете това, когато решавате олимпиадни задачи на училищни състезания.
D. Нека срещуположните страни OP и RQ в четириъгълника OPQR са успоредни и равни (фигура). Нека начертаем диагонала OQ. Получените ъгли POQ и RQO са равни, тъй като са вътрешни напречно лежащи с успоредни прави OP и RQ, пресечени от правата OQ. Следователно триъгълниците OPQ и RQO са равни по двете страни и ъгъла между тях. Това означава, че съответните им ъгли PQO и ROQ са равни.
И тъй като те са вътрешни напречни ъгли на правите PQ и OR, пресечени от правата OQ, тогава страните PQ и OR са успоредни. Отчитайки успоредността на страните OP и RQ, по определението за успоредник твърдим, че четириъгълникът OPQR е успоредник.
