У дома Протезиране и имплантиране Основни логаритмични формули. Нека дадем няколко примера за числени зависимости

Протезиране и имплантиране

Основни логаритмични формули. Нека дадем няколко примера за числени зависимости

Логаритъм на числото b (b > 0) при основа a (a > 0, a ≠ 1)– показател, до който трябва да се повиши числото a, за да се получи b.

Логаритъмът с основа 10 на b може да бъде записан като дневник (б), а логаритъма при основа e (натурален логаритъм) е ln(b).

Често се използва при решаване на задачи с логаритми:

Свойства на логаритмите

Има четири основни свойства на логаритмите.

Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логаритъм на произведението

Логаритъм на произведението равно на суматалогаритми:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Свойство 2. Логаритъм на частното

Логаритъм на частноторавно на разликата на логаритмите:

log a (x / y) = log a x – log a y

Свойство 3. Логаритъм на степен

Логаритъм от степенравно на произведението на степента и логаритъма:

Ако основата на логаритъма е в степента, тогава се прилага друга формула:

Свойство 4. Логаритъм на корена

Това свойство може да се получи от свойството на логаритъм на степен, тъй като n-тият корен на степента е равен на степента на 1/n:

Формула за преобразуване от логаритъм по една основа в логаритъм по друга основа

Тази формула също често се използва при решаване на различни задачи върху логаритми:

Специален случай:

Сравняване на логаритми (неравенства)

Нека имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми с еднакви основи и между тях има знак за неравенство:

За да ги сравните, първо трябва да погледнете основата на логаритмите a:

Ако a > 0, тогава f(x) > g(x) > 0
Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как да решаваме задачи с логаритми: примери

Задачи с логаритмивключени в Единния държавен изпит по математика за 11 клас в задача 5 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Освен това задачите с логаритми се намират в банката със задачи по математика. Можете да намерите всички примери, като потърсите в сайта.

Какво е логаритъм

Логаритмите винаги са били смятани за трудна тема в училищните курсове по математика. Има много различни дефиниции на логаритъм, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и неуспешни от тях.

Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. За да направите това, нека създадем таблица:

И така, имаме степени на две.

Логаритми - свойства, формули, как се решават

Ако вземете числото от долния ред, можете лесно да намерите степента, до която ще трябва да повишите две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

А сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

основата a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.

Обозначение: log a x = b, където a е основата, x е аргументът, b е действително равен на логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Със същия успех, регистрирайте 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число по дадена основа се нарича. И така, нека добавим нов ред към нашата таблица:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

За съжаление, не всички логаритми се изчисляват толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в интервала. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват безкрайно и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъм. Помня: логаритъмът е степен, в който трябва да бъде вградена базата, за да се получи аргумент. Това е основата, която се повдига на степен - тя е подчертана в червено на снимката. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам на учениците си това прекрасно правило още на първия урок - и не възниква объркване.

Как да броим логаритми

Разбрахме определението - остава само да се научим да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от дефиницията на степен чрез рационален показател, до който се свежда дефиницията на логаритъм.
Базата трябва да е различна от едно, тъй като едното във всяка степен си остава едно. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат диапазон от приемливи стойности(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма). Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1.

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем VA на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от авторите на проблемите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства влязат в действие, изискванията за DL ще станат задължителни. В крайна сметка основата и аргументът може да съдържат много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега нека да разгледаме общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изразете основата a и аргумента x като степен с минималната възможна основа, по-голяма от едно. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните знаци;
Решете уравнението за променлива b: x = a b ;
Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още в първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много важно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Същото с десетични знаци: ако веднага ги конвертирате в обикновени, ще има много по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема, използвайки конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

Нека си представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получихме отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Нека съставим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Получихме отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Нека съставим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Получихме отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

Нека си представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не може да бъде представено като степен на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
От предходния параграф следва, че логаритъма не се брои;
Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последния пример. Как можете да сте сигурни, че едно число не е точна степен на друго число? Много е просто - просто го разложете на прости множители. Ако разширението има поне два различни фактора, числото не е точна степен.

Задача. Разберете дали числата са точни степени: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точна степен, т.к има само един множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 = 7 · 2 - отново не е точна степен;

Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и символ.

на аргумента x е логаритъма при основа 10, т.е. Степента, на която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: lg x.

Например, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните логаритми.

Натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има свое собствено обозначение. В някои отношения това е дори по-важно от десетичната запетая. Говорим за натурален логаритъм.

на аргумента x е логаритъма по основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x.

Много хора ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число точна стойностневъзможно за намиране и записване. Ще дам само първите цифри:
e = 2,718281828459…

Няма да навлизаме в подробности какво представлява този номер и защо е необходим. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. Като цяло, естественият логаритъм на който и да е рационално числоирационален. С изключение, разбира се, на едно: ln 1 = 0.

За естествени логаритмивсички правила, които са верни за обикновените логаритми, са валидни.

Вижте също:

Логаритъм. Свойства на логаритъма (степен на логаритъма).

Как да представим число като логаритъм?

Използваме определението за логаритъм.

Логаритъмът е показател, към който трябва да се повдигне основата, за да се получи числото под знака на логаритъма.

По този начин, за да представите определено число c като логаритъм при основа a, трябва да поставите степен със същата основа като основата на логаритъма под знака на логаритъма и да запишете това число c като експонента:

Като логаритъм може да се представи абсолютно всяко число - положително, отрицателно, цяло число, дробно, рационално, ирационално:

За да не объркате a и c при стресови условия на тест или изпит, можете да използвате следното правило за запаметяване:

това, което е отдолу, отива надолу, това, което е отгоре, се изкачва.

Например, трябва да представите числото 2 като логаритъм при основа 3.

Имаме две числа - 2 и 3. Тези числа са основата и степента, които ще запишем под знака на логаритъма. Остава да се определи кое от тези числа трябва да се запише надолу, към основата на степента, и кое – нагоре, към степента.

Основата 3 в записа на логаритъм е най-отдолу, което означава, че когато представяме две като логаритъм при основа 3, ние също ще запишем 3 надолу при основата.

2 е по-високо от три. И в нотация на степен две пишем над трите, тоест като експонент:

Логаритми. Първо ниво.

Логаритми

Логаритъмположително число bбазиран на а, Където a > 0, a ≠ 1, се нарича степента, до която трябва да се повдигне числото а, Придобивам b.

Дефиниция на логаритъмможе да се напише накратко така:

Това равенство е валидно за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обикновено се нарича логаритмично тъждество.
Действието намиране на логаритъм на число се нарича чрез логаритъм.

Свойства на логаритмите:

Логаритъм на произведението:

Логаритъм на частното:

Замяна на основата на логаритъма:

Логаритъм от степен:

Логаритъм на корена:

Логаритъм със степенна основа:

Десетични и естествени логаритми.

Десетичен логаритъмчисла наричат логаритъм на това число при основа 10 и пишат lg b
Натурален логаритъмчислата се наричат логаритъм на това число спрямо основата д, Където д- ирационално число приблизително равно на 2,7. В същото време те пишат ln b.

Други бележки по алгебра и геометрия

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: log a x и log a y. След това те могат да се събират и изваждат и:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно е да забележите това последното правилоследва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм log a x. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичен логаритъм, преместване в нова база:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа.

В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

log a a = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
log a 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

дневник а х+ дневник а г=дневник а (х · г);
дневник а х− дневник а г=дневник а (х : г).

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не са взети предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис към снимката]

[Надпис към снимката]

Преход към нова основа

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъмът е даден а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:
[Надпис към снимката]
По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:
[Надпис към снимката]

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

[Надпис към снимката]

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

[Надпис към снимката]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

[Надпис към снимката]

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай броят нстава индикатор за степента на позиция в спора. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Това се нарича: основна логаритмична идентичност.

Всъщност какво ще се случи, ако броят bповдигнете до такава степен, че числото bна тази степен дава числото а? Точно така: получавате същото число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Задача. Намерете значението на израза:
[Надпис към снимката]

[Надпис към снимката]

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

дневник а а= 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм по произволна основа аот същата тази основа е равно на едно.
дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Логаритъмът на положително число b при основа a (a>0, a не е равно на 1) е число c, такова че a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Имайте предвид, че логаритъма на неположително число е недефиниран. Освен това основата на логаритъма трябва да е положително число, което не е равно на 1. Например, ако повдигнем на квадрат -2, получаваме числото 4, но това не означава, че логаритъма при основа -2 от 4 е равно на 2.

Основно логаритмично тъждество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно е обхватът на дефиницията на дясната и лявата страна на тази формула да е различен. Лява странаопределени само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Дясна часте дефинирано за всяко b, но изобщо не зависи от a. По този начин прилагането на основното логаритмично „тъждество” при решаване на уравнения и неравенства може да доведе до промяна в OD.

Две очевидни следствия от дефиницията на логаритъм

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Наистина, при повишаване на числото a на първа степен получаваме същото число, а при повдигане на нулева степен получаваме единица.

Логаритъм от произведението и логаритъм от частното

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Бих искал да предупредя учениците да не използват необмислено тези формули при решаване на логаритмични уравнения и неравенства. Когато ги използвате „отляво надясно“, ODZ се стеснява, а когато се движите от сумата или разликата на логаритмите към логаритъма на произведението или частното, ODZ се разширява.

Наистина, изразът log a (f (x) g (x)) е дефиниран в два случая: когато и двете функции са строго положителни или когато f(x) и g(x) са и двете по-малки от нула.

Преобразувайки този израз в сумата log a f (x) + log a g (x), ние сме принудени да се ограничим само до случая, когато f(x)>0 и g(x)>0. Има стесняване на обхвата на допустимите стойности, което е категорично недопустимо, тъй като може да доведе до загуба на решения. Подобен проблем съществува и за формула (6).

Степента може да бъде извадена от знака на логаритъма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И отново искам да призова за точност. Разгледайте следния пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Лявата страна на равенството очевидно е дефинирана за всички стойности на f(x) с изключение на нула. Дясната страна е само за f(x)>0! Като извадим степента от логаритъма, ние отново стесняваме ODZ. Обратната процедура води до разширяване на обхвата на допустимите стойности. Всички тези забележки се отнасят не само за степен 2, но и за всяка четна степен.

Формула за преминаване към нова основа

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Този рядък случай, когато ODZ не се променя по време на трансформация. Ако сте избрали разумно база c (положителна и не равна на 1), формулата за преминаване към нова база е напълно безопасна.

Ако изберем числото b като нова основа c, получаваме важно специален случайформули (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Няколко прости примера с логаритми

Пример 1. Изчислете: log2 + log50.
Решение. log2 + log50 = log100 = 2. Използвахме формулата за сумата от логаритми (5) и дефиницията на десетичния логаритъм.

Пример 2. Изчислете: lg125/lg5.
Решение. log125/log5 = log 5 125 = 3. Използвахме формулата за преместване към нова база (8).

Таблица с формули, свързани с логаритми

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Проверете дали под знака на логаритъма има отрицателни числа или едно. Този методприложими към изрази на формата log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Въпреки това, той не е подходящ за някои специални случаи:
- Логаритъм отрицателно числоне е определено на никаква основа (напр. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))или log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). В този случай напишете "няма решение".
- Логаритъмът от нула спрямо която и да е основа също е недефиниран. Ако те хванат ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), запишете "няма решение".
- Логаритъм от едно към произволна основа ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) винаги е нула, защото x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)за всички стойности х. Напишете 1 вместо този логаритъм и не използвайте метода по-долу.
- Ако логаритмите имат различни основи, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), и не се свеждат до цели числа, стойността на израза не може да бъде намерена ръчно.
Преобразувайте израза в един логаритъм.Ако изразът не е един от горните специални случаи, то може да бъде представено като единичен логаритъм. Използвайте следната формула за това: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Пример 1: Разгледайте израза log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Първо, нека представим израза като единичен логаритъм, използвайки горната формула: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Тази формула за „заместване на основата“ на логаритъм е извлечена от основните свойства на логаритмите.
Ако е възможно, оценете стойността на израза ръчно.Да намеря log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), представете си израза " а? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, тоест задайте следния въпрос: „До каква сила трябва да издигнете а, Придобивам х?. Отговорът на този въпрос може да изисква калкулатор, но ако имате късмет, може да успеете да го намерите ръчно.
- Пример 1 (продължение): Препишете като 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Трябва да намерите какво число трябва да стои на мястото на знака "?". Това може да стане чрез проба и грешка:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Така че числото, което търсим, е 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Оставете отговора си в логаритмична форма, ако не можете да го опростите.Много логаритми са много трудни за изчисляване на ръка. В този случай, за да получите точен отговор, ще ви е необходим калкулатор. Въпреки това, ако решавате задача в час, учителят най-вероятно ще бъде доволен от отговора в логаритмична форма. Обсъденият по-долу метод се използва за решаване на по-сложен пример:
- пример 2: на какво е равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Нека преобразуваме този израз в един логаритъм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Обърнете внимание, че основата 3, обща за двата логаритма, изчезва; това е вярно по някаква причина.
- Нека пренапишем израза във формата 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)и нека се опитаме да намерим стойността?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Тъй като 58 е между тези две числа, то не се изразява като цяло число.
- Оставяме отговора в логаритмична форма: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).