Закон за разпределение. Разпределителен полигон

Страница 2

Графично законът за разпределение дискретна стойностсе дава под формата на така наречения разпределителен полигон.

Графичното представяне на серия на разпределение (виж фиг. 5) се нарича полигон на разпределение.

За характеризиране на закона за разпределение, прекъснат случайна величинаЧесто се използва ред (таблица) и разпределителен полигон.

За да се изобрази, точките (Y Pi) (x - i Pa) се конструират в правоъгълна координатна система и се свързват с отсечки. Полигонът на разпределението дава приблизително визуално представяне на характера на разпределението на случайна променлива.

За по-голяма яснота законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде изобразен и графично, за което точките (x/, p) се конструират в правоъгълна координатна система и след това се свързват с отсечки.Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.

M (xn; pn) (hp - - възможни стойности Xt pi - съответните вероятности) и ги свържете с прави отсечки. Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.

Помислете за вероятностното разпределение на сумата от точки на зарове. Фигурите по-долу показват полигони на разпределение за случай на една, две и три кости.

В този случай вместо многоъгълник на разпределение на случайна величина се построява функция на плътност на разпределение, която се нарича диференциална функция на разпределение и представлява диференциалния закон на разпределение. В теорията на вероятностите плътността на разпределение на случайна променлива x (x Xr) се разбира като границата на отношението на вероятността стойността x да попадне в интервала (x, x - Ax) към Ax, когато Al; клони към нула. В допълнение към диференциалната функция, интегралната функция на разпределение, която често се нарича просто функция на разпределение или интегрален закон за разпределение, се използва за характеризиране на разпределението на случайна променлива.

С тази конструкция относителните честоти на попадане в интервалите ще бъдат равни на площите на съответните хистограмни ленти, точно както вероятностите са равни на площите на съответните криволинейни трапеци.Ако предполагаемото теоретично разпределение се съгласува добре с експеримента, тогава с достатъчно голямо n и успешен избор на интервали (YJ-I, y Понякога, за яснота на сравнението, се изгражда многоъгълник на разпределение чрез последователно свързване на средните точки на горните основи на стълбовете на хистограмата.

Чрез задаване на m различни стойности от 0 до i се получават вероятностите PQ, P RF - Pn, които се нанасят на графиката. Като се има предвид p; z11, изградете полигон за разпределение на вероятностите.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е всяко съответствие между нейните възможни стойности и техните вероятности. Законът може да бъде определен таблично (серия на разпределение), графично (полигон на разпределение и др.) и аналитично.

Намирането на кривата на разпределение, с други думи, установяването на разпределението на самата случайна променлива, дава възможност за по-задълбочено изследване на явление, което далеч не е напълно изразено от дадена конкретна серия на разпределение. Като начертае както намерената крива на разпределение на изравняването, така и полигона на разпределение, конструиран от частичната популация, изследователят може ясно да види характеристикиприсъщи на изследваното явление. Благодарение на това статистическият анализ фокусира вниманието на изследователя върху отклоненията на наблюдаваните данни от някакво естествено изменение на явлението и изследователят е изправен пред задачата да открие причините за тези отклонения.

След това от средата на интервалите се изтеглят абсцисите (по скала), съответстващи на броя на месеците с потребление в този интервал. Краищата на тези абсциси се свързват и така се получава многоъгълник, или разпределителен многоъгълник.

Точките, които дават графично представяне на закона за разпределение на дискретна случайна величина в координатната равнина на стойността на величината - вероятността от стойности, обикновено се свързват с прави сегменти и полученият резултат се нарича геометрична фигураразпределителен полигон. На фиг. 3 в таблица 46 (както и на фигури 4 и 5) са показани разпределителните полигони.

Отделен наречена случайна променлива, която може да приема отделни, изолирани стойности с определени вероятности.

ПРИМЕР 1.Броят пъти, в които гербът се появява при три хвърляния на монети. Възможни стойности: 0, 1, 2, 3, техните вероятности са съответно равни:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ПРИМЕР 2.Броят повредени елементи в устройство, състоящо се от пет елемента. Възможни стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5; техните вероятности зависят от надеждността на всеки елемент.

Дискретна случайна променлива хможе да се даде чрез серия на разпределение или функция на разпределение (законът за интегрално разпределение).

Близо до разпределение е набор от всички възможни стойности хази съответните им вероятности Рi = P(X = xаз), може да се посочи като таблица:

x i				x n
p i				р n

В същото време вероятностите Разотговарят на условието

Раз= 1 защото

където е броят на възможните стойности нможе да бъде ограничено или безкрайно.

Графично представяне на серията на разпределение наречен разпределителен полигон . За да го конструирате, възможните стойности на случайната променлива ( хаз) са нанесени по оста x и вероятностите Раз- по ординатната ос; точки Аазс координати ( хi,раз) са свързани с прекъснати линии.

Разпределителна функция случайна величина хнаречена функция Е(х), чиято стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива хще бъде по-малко от тази стойност х, това е

F(x) = P(X< х).

функция Е(х) За дискретна случайна променливаизчислено по формулата

Е(Х) = Раз , (1.10.1)

където сумирането се извършва върху всички стойности аз, за което хаз< х.

ПРИМЕР 3.От партида, съдържаща 100 продукта, от които има 10 дефектни, пет продукта се избират на случаен принцип, за да се провери качеството им. Конструирайте поредица от разпределения произволно число хдефектни продукти, съдържащи се в пробата.

Решение. Тъй като в извадката броят на дефектните продукти може да бъде всяко цяло число от 0 до 5 включително, тогава възможните стойности хазслучайна величина хса равни:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Вероятност Р(X = k) че пробата съдържа точно к(к = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектни продукти, равни

P (X = k) = .

В резултат на изчисленията, използващи тази формула с точност до 0,001, получаваме:

Р 1 = П(X = 0) @ 0,583;Р 2 = П(X = 1) @ 0,340;Р 3 = П(X = 2) @ 0,070;

Р 4 = П(X = 3) @ 0,007;Р 5 = П(х= 4) @ 0;Р 6 = П(X = 5) @ 0.

Използване на равенство за проверка Рк=1, ние се уверяваме, че изчисленията и закръгляването са извършени правилно (виж таблицата).

x i
p i

ПРИМЕР 4.Дадена е серия на разпределение на случайна променлива х :

x i
p i

Намерете функцията на разпределение на вероятностите Е(х) на тази случайна променлива и я конструирайте.

Решение. Ако х£10 тогава Е(х)= П(х<х) = 0;

ако 10<х£20 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 ;

ако 20<х£30 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ако 30<х£40 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ако 40<х£50 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Ако х> 50 тогава Е(х)= П(х<х) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Отговор: Помислете за прекъсната случайна променлива хс възможни стойности. Всяка от тези стойности е възможна, но не сигурна и стойността хможе да приеме всеки от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността хще приеме една от тези стойности, т.е. ще се случи едно от пълната група несъвместими събития:

Нека означим с букви вероятностите за тези събития Рсъс съответните индекси:

Тоест, вероятностното разпределение на различни стойности може да бъде определено чрез таблица на разпределение, в която всички стойности, взети от дадена дискретна случайна променлива, са посочени в горния ред, а вероятностите на съответните стойности са посочени в долния ред. Тъй като несъвместимите събития (3.1) образуват пълна група, тогава, т.е. сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива е равна на единица. Вероятностното разпределение на непрекъснати случайни променливи не може да бъде представено под формата на таблица, тъй като броят на стойностите на такива случайни променливи е безкраен дори в ограничен интервал. Освен това вероятността да получите някаква конкретна стойност е нула. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако уточним това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. С това ще установим така наречения закон за разпределение на случайна променлива. Законът за разпределение на случайна променлива е всяка връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности. За една случайна величина ще кажем, че се подчинява на даден закон на разпределение. Нека установим формата, в която може да бъде определен законът за разпределение на прекъсната случайна променлива Х.Най-простата форма за определяне на този закон е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности:

x i	х 1	х 2	× × ×	x n
p i	стр 1	стр 2	× × ×	p n

Такава таблица ще наричаме поредица от разпределения на случайна променлива Х.

Ориз. 3.1

За да придадат по-визуален вид на серията разпределение, те често прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. За по-голяма яснота получените точки са свързани с прави сегменти. Такава фигура се нарича разпределителен полигон (фиг. 3.1). Полигонът на разпределение, както и серията на разпределение, напълно характеризират случайната променлива. това е една от формите на закона за разпределение. Понякога така наречената „механична“ интерпретация на серията за разпределение е удобна. Нека си представим, че определена маса, равна на единица, е разпределена по абсцисната ос, така че в нмасите се концентрират в отделни точки, респ . Тогава серията на разпределение се интерпретира като система от материални точки с някои маси, разположени по абсцисната ос.

Случайна величинае величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга неизвестна предварително стойност. Има случайни променливи прекъснат (дискретен)И непрекъснатоТип. Възможните стойности на прекъснати количества могат да бъдат изброени предварително. Възможните стойности на непрекъснати количества не могат да бъдат изброени предварително и непрекъснато да запълват определена празнина.

Пример за дискретни случайни променливи:

1) Броят пъти, в които гербът се появява при три хвърляния на монети. (възможни стойности 0;1;2;3)

2) Честота на появяване на герба в същия експеримент. (възможни стойности)

3) Броят на повредените елементи в устройство, състоящо се от пет елемента. (Възможни стойности 0;1;2;3;4;5)

Примери за непрекъснати случайни променливи:

1) Абсцисата (ордината) на точката на попадение при изстрел.

2) Разстояние от точката на удара до центъра на целта.

3) Време на работа на устройството (радиолампа).

Случайните променливи се означават с главни букви, а възможните им стойности - със съответните малки букви. Например, X е броят на попаденията с три изстрела; възможни стойности: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Нека разгледаме прекъсната случайна променлива X с възможни стойности X 1, X 2, ..., X n. Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността X може да приеме всяка от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността на X ще приеме една от тези стойности, тоест ще се случи едно от пълната група несъвместими събития.

Нека означим вероятностите за тези събития с буквите p със съответните индекси:

Тъй като несъвместимите събития образуват пълна група, тогава

това означава, че сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайна променлива е равна на 1. Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако дефинираме това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. (Това ще установи така наречения закон за разпределение на случайните променливи.)

Закон за разпределение на случайна величинае всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответната вероятност. (Ще кажем за случайна променлива, че тя се подчинява на даден закон за разпределение)

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности.

Маса 1.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	П 1	P2	…	P n

Тази таблица се нарича близко разпространениеслучайни променливи.

За да придадат на серията разпределение по-визуален вид, те прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. (За по-голяма яснота, получените точки са свързани с прави сегменти.)

Фигура 1 – разпределителен полигон

Тази фигура се нарича разпределителен полигон. Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, напълно характеризира случайната променлива; това е една от формите на закона за разпределение.

Пример:

провежда се един експеримент, в който може да се появи или да не се появи събитие А. Вероятността за събитие А = 0,3. Разглеждаме случайна променлива X - броят на появяванията на събитие A в даден експеримент. Необходимо е да се построи серия и полигон на разпределението на стойността X.

Таблица 2.

X i
P i	0,7	0,3

Фигура 2 - Функция на разпределение

Разпределителна функцияе универсална характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, тоест тя е една от формите на закона за разпределение.

За количествено характеризиране на това вероятностно разпределение е удобно да се използва не вероятността за събитие X=x, а вероятността за събитие X

Функцията на разпределение F(x) понякога се нарича още кумулативна функция на разпределение или кумулативен закон на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение на случайна величина

1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за ;

2. При минус безкрайност:

3. На плюс безкрайност:

Фигура 3 – графика на функцията на разпределение

Графика на функцията на разпределениекато цяло това е графика на ненамаляваща функция, чиито стойности започват от 0 и отиват до 1.

Познавайки реда на разпределение на случайна променлива, е възможно да се конструира функцията на разпределение на случайната променлива.

Пример:

за условията на предишния пример, конструирайте функцията на разпределение на случайната променлива.

Нека изградим функцията на разпределение X:

Фигура 4 – функция на разпределение X

Разпределителна функцияна всяка прекъсната дискретна случайна променлива винаги има прекъсната стъпкова функция, чиито скокове се случват в точки, съответстващи на възможните стойности на случайната променлива и са равни на вероятностите на тези стойности. Сумата от всички скокове на функцията на разпределение е равна на 1.

Тъй като броят на възможните стойности на случайна променлива се увеличава и интервалите между тях намаляват, броят на скоковете става по-голям, а самите скокове стават по-малки:

Фигура 5

Стъпалообразната крива става по-плавна:

Фигура 6

Случайната променлива постепенно се доближава до непрекъсната стойност, а нейната функция на разпределение се доближава до непрекъсната функция. Има и случайни променливи, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал, но за които функцията на разпределение не е непрекъсната навсякъде. И в определени моменти се чупи. Такива случайни променливи се наричат ​​смесени.

Фигура 7

Концепцията за случайна променлива. Закон за разпределение на случайна величина

Случайните величини (съкратено: r.v.) се означават с главни латински букви X, Y, Z,...(или малки гръцки букви ξ (xi), η (eta), θ (тета), ψ (psi) и т.н.), а стойностите, които приемат, са съответно с малки букви x 1 , х 2 ,…, на 1 , на 2 , на 3 …

Примерис. V. може да служи: 1) х- броя на точките, които се появяват при хвърляне на зар; 2) Y - броят на изстрелите преди първото попадение в целта; 3) З- време на безпроблемна работа на устройството и др. (ръст на човек, курс на долара, брой дефектни части в партида, температура на въздуха, печалби на играча, координата на точка, ако е избрана на случаен принцип, печалба на фирмата, . ..).

Случайна променлива XΏ w

X(w), т.е. х= X(w), wО Ώ (или X = f(w)) (31)

Пример 1. Експериментът се състои в хвърляне на монета 2 пъти. На PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), където w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, можете да разгледате p. V. х- брой появявания на герба. С.в. хе функция на елементарното събитие w i : Х( w 1 ) = 2, Х( w 2 ) = 1, Х( w 3 ) = 1, Х( w 4 )= 0; х- д.с. V. със стойности x 1 = 0, х 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< Х).

х- д.с. В.,

x 1, x 2, x 3,…,x n,…

p i ,Където аз = 1,2,3, ...,n,... .

Закон за разпределениед.с. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

с. V. хх аз :

х	х 1	х 2	….	x n	…
П	стр. 1	p2	….	p n	…

От събитията (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), т.е. .

(х 1 , стр. 1 ), (x 2 , p 2),..., (x n , p n) се наричат многоъгълник(или многоъгълник) разпространение(виж Фиг. 17).

Случайна стойност X е дискретен,ако има краен или изброим набор от числа x 1 , х 2 , ..., x n така че P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) стр. 1 + p2 + стр. 3 +…= 1 (32)

Количествод.с. V. X, приемайки стойности x i с вероятности p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, и d.s. V. Y, приемащ стойности y j с вероятности p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, се нарича d.s. V. Z = X + Y, като се вземат стойности z ij = x i + y j с вероятности p ij = P( X = x i,Y = y j), за всички посочени стойности ази j. Ако някои суми x i + y j съвпадат, съответните вероятности се добавят.

По разликад.с. V. X, приемайки стойности x i с вероятности p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, и d.s. V. Y, приемащ стойности y j с вероятности p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, се нарича d.s. V. Z = X - Y, приемайки стойности z ij = x i – y j с вероятности p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), за всички посочени стойности ази j. Ако някои разлики x i – y j съвпадат, се добавят съответните вероятности.

Работатад.с. V. X, приемайки стойности x i с вероятности p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, и d.s. V. Y, приемащ стойности y j с вероятности p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, се нарича d.s. V. Z = X × Y, като се вземат стойности z ij = x i × y j с вероятности p ij = P( X = x i,Y = y j), за всички посочени стойности ази j. Ако някои продукти x i × y j съвпадат, съответните вероятности се добавят.

д.с. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X и Y събития (X = x i) = A i и (Y = y j) = B j са независими за всяко i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, т.е.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Пример 2.В урната има 8 топки, 5 от които са бели, останалите са черни. От него произволно се изтеглят 3 топки. Намерете закона за разпределение на броя на белите топки в извадката.