Статията по-долу ще разгледа въпросите за намиране на координатите на средата на сегмент, ако координатите на неговите крайни точки са налични като първоначални данни. Но преди да започнем да изучаваме въпроса, въвеждаме редица определения.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Линеен сегмент– права линия, свързваща две произволни точки, наречени краища на отсечка. Като пример, нека това са точки A и B и съответно отсечката A B.
Ако отсечката A B се продължи в двете посоки от точки A и B, получаваме права A B. Тогава отсечката A B е част от получената права линия, ограничена от точки A и B. Отсечката A B обединява точки A и B, които са нейните краища, както и множеството от точки, разположени между тях. Ако, например, вземем произволна точка K, разположена между точки A и B, можем да кажем, че точка K лежи на отсечката A B.
Определение 2
Дължина на сегмента– разстоянието между краищата на сегмент в даден мащаб (сегмент с единица дължина). Нека означим дължината на отсечката A B така: A B .
Определение 3
Средна точка на сегмента– точка, лежаща на отсечка и равноотдалечена от краищата му. Ако средата на сегмента A B е обозначена с точка C, тогава равенството ще бъде вярно: A C = C B
Изходни данни: координатна линия O x и несъвпадащи точки върху нея: A и B. Тези точки съответстват на реални числа x A и x B . Точка C е средата на сегмента A B: необходимо е да се определи координатата x C .
Тъй като точка C е средата на отсечката A B, равенството ще бъде вярно: | A C | = | C B | . Разстоянието между точките се определя от модула на разликата в техните координати, т.е.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Тогава са възможни две равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)
От първото равенство извеждаме формулата за координатите на точка C: x C = x A + x B 2 (половината от сбора на координатите на краищата на отсечката).
От второто равенство получаваме: x A = x B, което е невъзможно, т.к в изходните данни - несъвпадащи точки. По този начин, формула за определяне на координатите на средата на сегмента A B с краища A (x A) и B(xB):
Получената формула ще бъде основата за определяне на координатите на средата на сегмент в равнина или в пространството.
Изходни данни: правоъгълна координатна система на равнината O x y, две произволни несъвпадащи точки с дадени координати A x A, y A и B x B, y B. Точка C е средата на отсечката A B. Необходимо е да се определят координатите x C и y C за точка C.
Нека вземем за анализ случая, когато точките A и B не съвпадат и не лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. A x, A y; B x, B y и C x, C y - проекции на точки A, B и C върху координатните оси (правите O x и O y).
Според конструкцията правите A A x, B B x, C C x са успоредни; линиите също са успоредни една на друга. Заедно с това, според теоремата на Талес, от равенството A C = C B следват равенствата: A x C x = C x B x и A y C y = C y B y, а те от своя страна показват, че точката C x е средата на отсечката A x B x и C y е средата на отсечката A y B y. И тогава, въз основа на формулата, получена по-рано, получаваме:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Същите формули могат да се използват в случаите, когато точките A и B лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. Поведение, ръководене подробен анализНяма да разглеждаме този случай, ще го разгледаме само графично:
Обобщавайки всичко по-горе, координати на средата на сегмента A B на равнината с координатите на краищата A (x A, y A) И B(xB, yB) се определят като:
(x A + x B 2, y A + y B 2)
Изходни данни: координатна система O x y z и две произволни точки със зададени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определят координатите на точка C, която е средата на сегмента A B.
A x, A y, A z; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции на всички дадени точкипо оста на координатната система.
Според теоремата на Талес са верни следните равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следователно точките C x , C y , C z са среди съответно на отсечките A x B x , A y B y , A z B z . Тогава, За определяне на координатите на средата на сегмент в пространството са правилни следните формули:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Получените формули са приложими и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните прави; на права линия, перпендикулярна на една от осите; в една координатна равнина или равнина, перпендикулярна на една от координатните равнини.
Определяне на координатите на средата на отсечка чрез координатите на радиус-векторите на нейните краища
Формулата за намиране на координатите на средата на отсечка може да се изведе и според алгебричната интерпретация на векторите.
Изходни данни: правоъгълна декартова координатна система O x y, точки с дадени координати A (x A, y A) и B (x B, x B). Точка C е средата на отсечката A B.
Според геометричната дефиниция на действията върху векторите ще бъде вярно следното равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C при в такъв случай– пресечната точка на диагоналите на успоредник, построен на базата на векторите O A → и O B →, т.е. точката на средата на диагоналите. Координатите на радиус вектора на точката са равни на координатите на точката, тогава равенствата са верни: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Нека извършим някои операции върху вектори в координати и ще получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2
Следователно точка C има координати:
x A + x B 2, y A + y B 2
По аналогия се определя формула за намиране на координатите на средата на сегмент в пространството:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Примери за решаване на задачи за намиране на координатите на средата на сегмент
Сред проблемите, които включват използването на формулите, получени по-горе, има такива, при които директният въпрос е да се изчислят координатите на средата на сегмента, и тези, които включват привеждане на дадените условия към този въпрос: терминът „медиана“ се използва често, целта е да се намерят координатите на един от краищата на сегмент, а проблемите със симетрията също са често срещани, чието решение като цяло също не би трябвало да създава трудности след изучаване на тази тема. Нека да разгледаме типичните примери.
Пример 1
Първоначални данни:на равнината - точки с дадени координати A (- 7, 3) и B (2, 4). Необходимо е да се намерят координатите на средата на сегмента A B.
Решение
Нека означим средата на отсечката A B с точка C. Неговите координати ще бъдат определени като половината от сумата на координатите на краищата на сегмента, т.е. точки А и Б.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Отговор: координати на средата на сегмента A B - 5 2, 7 2.
Пример 2
Първоначални данни:координатите на триъгълник A B C са известни: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Необходимо е да се намери дължината на медианата A M.
Решение
- Според условията на задачата A M е медианата, което означава, че M е средата на отсечката B C . Първо, нека намерим координатите на средата на сегмента B C, т.е. М точки:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Тъй като вече знаем координатите на двата края на медианата (точки A и M), можем да използваме формулата, за да определим разстоянието между точките и да изчислим дължината на медианата A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Отговор: 58
Пример 3
Първоначални данни:в правоъгълна координатна система триизмерно пространстводаден паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Дадени са координатите на точка C 1 (1, 1, 0), дефинирана е и точка M, която е средата на диагонала B D 1 и има координати M (4, 2, - 4). Необходимо е да се изчислят координатите на точка А.
Решение
Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, която е средата на всички диагонали. Въз основа на това твърдение можем да имаме предвид, че известната от условията на задачата точка M е средата на отсечката A C 1. Въз основа на формулата за намиране на координатите на средата на отсечка в пространството намираме координатите на точка A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Отговор:координати на точка А (7, 3, - 8).
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Има три основни координатни системи, използвани в геометрията, теоретична механика, други клонове на физиката: декартова, полярна и сферична. В тези координатни системи цялата точка има три координати. Познавайки координатите на 2 точки, можете да определите разстоянието между тези две точки.
Ще имаш нужда
- Декартови, полярни и сферични координати на краищата на отсечка
Инструкции
1. Първо, разгледайте правоъгълна декартова координатна система. Определя се местоположението на точка от пространството в тази координатна система координати x,y и z. От началото до точката се изчертава радиус-вектор. Проекциите на този радиус-вектор върху координатните оси ще бъдат координатиНека сега имате две точки с координати x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 съответно. Отбелязваме с r1 и r2 съответно радиус-векторите на първата и втората точка. Очевидно разстоянието между тези две точки ще бъде равно на модула на вектора r = r1-r2, където (r1-r2) е векторната разлика. Координатите на вектора r очевидно ще бъдат както следва: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогава големината на вектора r или разстоянието между две точки ще бъде равно на: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Сега разгледайте полярна координатна система, в която координатата на точка ще бъде дадена от радиалната координата r (радиус вектор в равнината XY), ъглова координата? (ъгълът между вектора r и оста X) и координатата z, подобно на координатата z в декартовата система, могат да бъдат преобразувани в декартови координати по следния начин: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Тогава разстоянието между две точки с координати r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 ще бъдат равни на R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Сега погледнете сферичната координатна система. В него местоположението на точката е посочено с три координати r, ? И?. r – разстояние от началото до точката, ? И? – съответно азимутален и зенитен ъгъл. Ъгъл? подобен на ъгъл със същото обозначение в полярната координатна система, а? – ъгълът между радиус вектора r и оста Z, с 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координати r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 ще бъдат равни на R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Видео по темата
По сегментнаричаме част от права линия, състояща се от всички точки на тази линия, които са разположени между тези две точки - те се наричат краища на сегмента.
Нека разгледаме първия пример. Нека определена отсечка е определена от две точки в координатната равнина. В този случай можем да намерим дължината му с помощта на Питагоровата теорема.
И така, в координатната система начертаваме сегмент с дадените координати на краищата му(x1; y1) И (x2; y2) . На ос х И Y Начертайте перпендикуляри от краищата на сегмента. Нека маркираме в червено сегментите, които са проекции от оригиналния сегмент върху координатната ос. След това прехвърляме проекционните сегменти успоредно на краищата на сегментите. Получаваме триъгълник (правоъгълен). Хипотенузата на този триъгълник ще бъде самият сегмент AB, а краката му са прехвърлените проекции.
Нека изчислим дължината на тези проекции. И така, към оста Y дължината на проекцията е y2-y1 , и на оста х дължината на проекцията е х2-х1 . Нека приложим Питагоровата теорема: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В такъв случай |AB| е дължината на сегмента.
Ако използвате тази диаграма, за да изчислите дължината на сегмент, тогава дори не е нужно да конструирате сегмента. Сега нека изчислим дължината на сегмента с координати (1;3) И (2;5) . Прилагайки Питагоровата теорема, получаваме: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Това означава, че дължината на нашия сегмент е равна на 5:1/2 .
Разгледайте следния метод за намиране на дължината на сегмент. За да направим това, трябва да знаем координатите на две точки в някаква система. Нека разгледаме тази опция с помощта на двумерна декартова координатна система.
И така, в двумерна координатна система са дадени координатите на крайните точки на сегмента. Ако начертаем прави линии през тези точки, те трябва да са перпендикулярни на координатната ос, тогава получаваме правоъгълен триъгълник. Първоначалният сегмент ще бъде хипотенузата на получения триъгълник. Краката на триъгълника образуват сегменти, чиято дължина е равна на проекцията на хипотенузата върху координатните оси. Въз основа на теоремата на Питагор заключаваме: за да намерите дължината на даден сегмент, трябва да намерите дължините на проекциите върху две координатни оси.
Нека намерим дължините на проекциите (X и Y) оригиналния сегмент върху координатните оси. Изчисляваме ги, като намираме разликата в координатите на точки по отделна ос: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Изчислете дължината на отсечката А , за това намираме квадратния корен:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Ако нашата отсечка се намира между точки, чиито координати 2;4 И 4;1 , тогава неговата дължина е съответно равна на √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.
Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата
Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата
Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: И , но първият вариант е по-стандартен
Пример 3
Решение:по съответната формула:
Отговор: 
За по-голяма яснота ще направя чертеж 
Линеен сегмент - това не е вектори, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.
Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни момента, които бих искал да изясня:
Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.
Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:
обръщам внимание на важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: 
. Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.
Ето и други често срещани случаи: 
Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, беше напълно разделено, така че: 
. Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: 
. Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . Като резултат:
Готов.
Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.
Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.
Нека също повторим корени на квадрат и други степени: 
Правилата за работа със степените в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.
Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:
Пример 4
Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.
Решението и отговорът са в края на урока.
Ако докоснете лист от тетрадка с добре подострен молив, ще остане следа, която дава представа за смисъла. (фиг. 3).
Нека отбележим две точки A и B на лист хартия. Тези точки могат да бъдат свързани с различни линии (фиг. 4). Как да свържа точки A и B с най-късата линия? Това може да стане с помощта на линийка (фиг. 5). Получената линия се нарича сегмент.
Точка и права - примери геометрични форми.
Точките А и Б се наричат краища на сегмента.
Има една отсечка, чиито краища са точките A и B. Следователно отсечката се означава, като се изпишат точките, които са нейните краища. Например, сегментът на фигура 5 е обозначен по един от двата начина: AB или BA. Прочетете: "сегмент AB" или "сегмент BA".
Фигура 6 показва три сегмента. Дължината на отсечката AB е 1 см. Тя пасва точно три пъти в отсечката MN и точно 4 пъти в отсечката EF. Да кажем това дължина на сегмента MN е равно на 3 cm, а дължината на отсечката EF е 4 cm.
Също така е обичайно да се казва: „сегментът MN е равен на 3 cm“, „сегментът EF е равен на 4 cm“. Пишат: MN = 3 cm, EF = 4 cm.
Измерихме дължините на отсечките MN и EF единичен сегмент, чиято дължина е 1 см. За измерване на сегменти можете да изберете други единици за дължина, например: 1 mm, 1 dm, 1 km. На фигура 7 дължината на сегмента е 17 mm. Измерва се с един сегмент, чиято дължина е 1 mm, с градуирана линийка. Също така с помощта на линийка можете да конструирате (начертаете) сегмент с дадена дължина (вижте фиг. 7).
Изобщо, да измериш сегмент означава да преброиш колко единични сегмента се побират в него.
Дължината на сегмент има следното свойство.
Ако маркирате точка C на отсечка AB, тогава дължината на отсечка AB е равна на сумата от дължините на отсечки AC и CB(фиг. 8).
Напишете: AB = AC + CB.
Фигура 9 показва два сегмента AB и CD. Тези сегменти ще съвпадат, когато се наслагват.
Два сегмента се наричат равни, ако съвпадат при наслагване.
Следователно отсечките AB и CD са равни. Пишат: AB = CD.
Еднаквите сегменти имат равни дължини.
От два неравни сегмента ще считаме този с по-голяма дължина за по-голям. Например на фигура 6 сегментът EF е по-голям от сегмента MN.
Дължината на отсечката AB се нарича разстояниемежду точки А и Б.
Ако няколко сегмента са подредени, както е показано на фигура 10, ще получите геометрична фигура, наречена прекъсната линия. Обърнете внимание, че всички сегменти на фигура 11 не образуват прекъсната линия. Счита се, че сегментите образуват начупена линия, ако краят на първия сегмент съвпада с края на втория, а другият край на втория сегмент съвпада с края на третия и т.н.
Точки A, B, C, D, E − върхове на начупена линия ABCDE, точки A и E − краища на полилинията, а отсечките AB, BC, CD, DE са неговите връзки(виж Фиг. 10).
Дължина на линиятанаричаме сумата от дължините на всички негови връзки.
Фигура 12 показва две прекъснати линии, чиито краища съвпадат. Такива прекъснати линии се наричат затворен.
Пример 1 . Отсечката BC е с 3 cm по-малка от отсечката AB, чиято дължина е 8 cm (фиг. 13). Намерете дължината на отсечката AC.
Решение. Имаме: BC = 8 − 3 = 5 (cm).
Използвайки свойството дължина на отсечка, можем да запишем AC = AB + BC. Следователно AC = 8 + 5 = 13 (cm).
Отговор: 13 см.
Пример 2 . Известно е, че MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (фиг. 14). Намерете дължината на отсечката NK.
Решение. Имаме: MN = MP − NP.
Следователно MN = 50 − 32 = 18 (cm).
Имаме: NK = MK − MN.
Следователно NK = 24 − 18 = 6 (cm).
Отговор: 6 см.
