Решаване на задачи в 8. аз

Цели:

• Образователни: повторете основните формули и правила за диференциране, геометричния смисъл на производната; формират умението комплексно приложениезнания, умения, способности и пренасянето им в нови условия; тествайте знанията, уменията и способностите на учениците по тази тема в подготовка за Единния държавен изпит.
• Развитие: насърчаване на развитието на умствените операции: анализ, синтез, обобщение; формиране на умения за самочувствие.
• Образователни: насърчаване на желанието за непрекъснато подобряване на знанията

Оборудване:

• Мултимедиен проектор.

Тип урок:систематизация и обобщения.
Обхват на знанията:два урока (90 мин.)
Очакван резултат:Преподавателите използват придобитите знания в практическо приложение, като същевременно развиват комуникативни, творчески и търсещи умения, умение за анализ на получената задача.

Структура на урока:

1. орг. Момент, актуализиращ знанията, необходими за решението практически задачиот материали за единен държавен изпит.
2. Практическа част (проверка на знанията на учениците).
3. Рефлексия, творческа домашна работа

Напредък на консултациите

I. Организационен момент.

Съобщение на темата на урока, цели на урока, мотивация образователни дейности(чрез създаване на проблемна теоретична база от знания).

II. Актуализиране на субективния опит на учениците и техните знания.

Прегледайте правилата и определенията.

1) ако в дадена точка функцията е непрекъсната и в нея производната променя знака от плюс на минус, тогава това е точка на максимум;

2) ако в дадена точка функцията е непрекъсната и в нея производната променя знака от минус на плюс, то това е точка на минимум.

• Критични точки – това са вътрешни точки от областта на дефиниране на функция, при които производната не съществува или е равна на нула.
• Достатъчен знак за увеличение, низходящ функции .
• Ако f "(x)>0 за всички x от интервала (a; b), тогава функцията нараства на интервала (a; b).
• Ако f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Алгоритъм за намиране на най-големия и най-малките стойности на функция на сегмента [a;b], ако е дадена графика на производната на функцията:

Ако производната на сегмент е положителна, тогава a е най-малката стойност, b е най-голямата стойност.

Ако производната на сегмент е отрицателна, тогава a е най-голямата, а b е най-малката стойност.

Геометрично значениепроизводната е както следва. Ако е възможно да се начертае допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точката с абсцисата x0, която не е успоредна на оста y, тогава f "(x0) изразява наклона на допирателната: κ = f "(x0). Тъй като κ = tanα, равенството f "(x0) = tanα е вярно

Нека разгледаме три случая:

1. Допирателната, прекарана към графиката на функцията, образува остър ъгъл с оста OX, т.е. α< 90º. Производная положительная.
2. Допирателната образува тъп ъгъл с оста OX, т.е. α > 90º. Производната е отрицателна.
3. Допирателната е успоредна на оста OX. Производната е нула.

Упражнение 1.Фигурата показва графика функции y = f(x) и допирателната към тази графика, начертана в точката с абциса -1. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0 = -1

Решение: а) Допирателната, прекарана към графиката на функцията, образува тъп ъгъл с оста OX. Използвайки формулата за редукция, намираме тангенса на този ъгъл tg(180º - α) = - tanα. Това означава f "(x) = - tanα. От това, което проучихме по-рано, знаем, че допирателната е равна на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

За да направите това, изграждаме правоъгълен триъгълник, така че върховете на триъгълника да са на върховете на клетките. Преброяваме клетките от противоположната страна и съседната. Разделете противоположната страна на съседната страна (Слайд 44).

б) Допирателната, прекарана към графиката на функцията, образува остър ъгъл с оста OX.

f "(x)= tgα. Отговорът ще бъде положителен. (Слайд 30)

Упражнение 2. Фигурата показва графика производнафункция f(x), дефинирана на интервала (-4; 13). Намерете интервалите на намаляваща функция. В отговора си посочете дължината на най-големия от тях.

Решение: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Практическа част.
35 мин. Подготвените слайдове изискват теоретични познания по темата на урока. Целта на слайдовете е да дадат възможност на учениците да усъвършенстват и приложат на практика знанията.
С помощта на слайдове можете:
- фронтално проучване (отчитат се индивидуалните характеристики на учениците);
- изяснява се информационното формулиране на основните понятия, свойства, определения;
- алгоритъм за решаване на задачи. Учениците трябва да отговорят на слайдовете.

IV. Индивидуална работа. Решаване на задачи с помощта на слайдове.

V. Обобщение на урока, рефлексия.

Решение. Максималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от плюс на минус. На отсечката функцията има две максимални точки x = 4 и x = 4. Отговор: 2. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (10; 8). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката.

Решение. На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (1; 12). Определете броя на целите числа, при които производната на функцията е отрицателна. Производната на функцията е отрицателна на тези интервали, на които функцията намалява, т.е. на интервалите (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). Те съдържат цели точки 1, 2, 7, 8 и 9. Има общо 5 точки. Отговор: 5.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (10; 4). Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-големия от тях. Решение. Намаляващите интервали на функцията f(x) съответстват на интервалите, на които производната на функцията е отрицателна, т.е. интервалът (9; 6) с дължина 3 и интервалът (2; 3) с дължина 5. дължината на най-голямата от тях е 5. Отговор: 5.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (7; 14). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Максималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от положителен на отрицателен. На отсечката функцията има една максимална точка x = 7. Отговор: 1.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (8; 6). Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-големия от тях. Решение. Интервалите на нарастване на функцията f(x) съответстват на интервалите, на които производната на функцията е положителна, т.е. интервалите (7; 5), (2; 5). Най-големият от тях е интервалът (2; 5), чиято дължина е 3.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (7; 10). Намерете броя на минималните точки на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Минималните точки съответстват на точките, в които знакът на производната се променя от минус на плюс. На отсечката функцията има една минимална точка x = 4. Отговор: 1.

На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (16; 4). Намерете броя на екстремните точки на функцията f(x) върху отсечката. Решение. Точките на екстремума съответстват на точките, в които се променя знакът на производната и нулите на производната, показани на графиката. Производната се нулира в точки 13, 11, 9, 7. Функцията има 4 точки на екстремум на отсечката. Отговор: 4.

На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (2; 12). Намерете сумата от точките на екстремум на функцията f(x). Решение. Дадената функция има максимуми в точки 1, 4, 9, 11 и минимуми в точки 2, 7, 10. Следователно сумата от точките на екстремум е = 44. Отговор: 44.

На фигурата е показана графика на функцията y=f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0. Решение. Стойността на производната в точката на допирателна е равна на наклона на тангентата, която от своя страна е равна на тангенса на ъгъла на наклона на тази допирателна спрямо абсцисната ос. Нека построим триъгълник с върхове в точки A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Ъгълът на наклона на допирателната към оста x ще бъде равен на ъгъла, съседен на ъгъл ACB

Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към тази графика в точката на абсцисата, равна на 3. Намерете стойността на производната на тази функция в точката x = 3. За да решим, използваме геометричен смисъл на производната: стойността на производната на функцията в точката е равна на наклона на допирателната към графиката на тази функция, начертана в тази точка. Ъгълът на допирателната е равен на тангенса на ъгъла между допирателната и положителната посока на оста x (tg α). Ъгъл α = β, като напречни ъгли с успоредни прави y=0, y=1 и секуща-тангенса. За триъгълник ABC

На фигурата е показана графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0. Въз основа на свойства на допирателната, формулата за допирателната към функцията f(x) в точката x 0 е равна на y=f (x 0) x+b, b=const Фигурата показва, че допирателната към функцията f( x) в точката x 0 минава през точките (-3;2), (5,4). Следователно можем да създадем система от уравнения

Източници

Индивидуални уроци по SKYPE за ефективно онлайн обучениеза Единния държавен изпит по математика.

Задачи от тип B8 са задачи за прилагане на производни функции. Цели в задачите:

• намерете производната в определена точка
• определяне на екстремуми на функцията, точки на максимум и минимум
• интервали на нарастване и намаляване

Нека да разгледаме няколко примера. Задача v8.1: фигурата показва графиката на функцията y=f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x0. Намерете стойността на производната на функцията y=f (x) в точката x0.

Малко теория. Ако тангенсът нараства, тогава производната ще бъде положителна, а ако тангенсът намалява, тогава производната ще бъде отрицателна. Производна на функцията y’= tgА, където A е ъгълът на наклон на допирателната към оста X

Решение: в нашия пример тангенсът нараства, което означава, че производната ще бъде положителна. Разгледайте правоъгълния триъгълник ABC и намерете от него tan A = BC/AB, където BC е разстоянието между характерните точки по оста y, AB е разстоянието между точките по оста x. Характерните точки на графиката са подчертани с удебелени точки и обозначени с буквите A и C. Характерните точки трябва да бъдат ясни и пълни. От графиката става ясно, че AB = 5+3 = 8 и слънце = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, следователно производната y’=0,25

Отговор: 0,25

Задача B8.2 Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-9;4). Намерете сумата от абсцисите на екстремалните точки на функциите f(x)

Решение: Първо, нека дефинираме какво представляват екстремалните точки? Това са точките, в които производната променя знака си на противоположния, с други думи, всички „хълмове“ и „долини“. В нашия пример имаме 4 „хълма“ и 4 „долини“. Нека преместим всички „пейзажни“ точки върху оста X и да намерим стойността на абсцисата, сега съберете цялата стойност на тези точки по оста X.

получаваме -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Отговор: -21

гледайте видео урок как да решите тази задача

Решаване на задачи B8 с използване на материали отворена банкаЗадачи от Единния държавен изпит по математика 2012 г. Правата y = 4x + 11 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y = x2 + 8x + 6. Намерете абсцисата на точката на допиране № 1 Решение: Ако правата е успоредна на допирателната към графиката на функцията в дадена точка (да я наречем xo), тогава нейният наклон (в нашия случай k = 4 от уравнението y = 4x +11) е равен на стойността на производната на функция в точката xo: k = f ′(xo) = 4Производна на функцията f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8. Това означава, че за намиране на желаната точка на допиране е необходимо 2xo + 8 = 4, от което xo = – 2. Отговор: – 2. Правата y = 3x + 11 е допирателна към графиката

функции y = x3−3x2− 6x + 6.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

№ 2 Решение: Обърнете внимание, че ако правата е допирателна към графиката, тогава нейният наклон (k = 3) трябва да бъде равен на производната на функцията в точката на допиране, от което имаме Zx2 − 6x − 6 = 3 , тоест Zx2 − 6x − 9 = 0 или x2 − 2x − 3 = 0. Това квадратно уравнение има два корена: −1 и 3. Следователно има две точки, в които допирателната към графиката на функцията y = x3 − 3x2 − 6x + 6 има наклон, равен на 3. За да определим коя от тези две точки правата y = 3x + 11 докосва графиката на функцията, изчисляваме стойностите на функцията при тези точки и проверете дали те удовлетворяват уравнението на допирателната. Стойността на функцията в точка −1 е y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а стойността в точка 3 е y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Обърнете внимание, че точката с координати (−1; 8) удовлетворява уравнението на допирателната, тъй като 8 = −3 + 11. Но точката (3; −12) не удовлетворява уравнението на допирателната, тъй като −12 ≠ 9 + 11. Това означава, че изискваната Абсцисата на допирателната точка е −1. Отговор: −1 Фигурата показва графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–10; 8). В коя точка на отсечката [–8; –4] функция f(x) приема най-малката стойност № 3 Решение: Обърнете внимание, че на сегмента [–8; –4] производната на функцията е отрицателна, което означава, че самата функция е намаляваща, което означава, че тя приема най-малката стойност на този сегмент в десния край на сегмента, тоест в точката –4.у = f ′(x) f(x) –Отговор: –4 . Фигурата показва графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 8). Намерете броя на точките на екстремума на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [– 6; 6].No 4Решение: В точката на екстремума производната на функцията е равна на 0 или не съществува. Вижда се, че има такива точки, принадлежащи на отсечката [–6; 6] три. В този случай във всяка точка производната променя знака или от “+” на “–”, или от “–” на “+”. у = f ′(x) ++––Отговор: 3. Фигурата показва графика на у = f ′(x) – производна на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 10). Намерете точката на екстремума на функцията f(x) на интервала (– 4; 8). Решение: Забележете, че на интервала (–4; 8) производната в точката xo = 4 се превръща в 0 и. при преминаване през тази точка знакът на производната се променя от „–” на „+”, точка 4 е желаната екстремна точка на функцията на даден интервал. y = f ′(x) +–Отговор: 4. На фигурата е показана графика на y = f ′(x) – производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (–8; 8). Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията f(x) е успоредна на правата y = –2x + 2 или съвпада с нея No 6 Решение: Ако допирателната към графиката на функцията f (x) е успоредна на правата y = –2x+ 2 или съвпада с нея, тогава нейният наклон k = –2, което означава, че трябва да намерим броя на точките, в които производната на функцията f ′(x) = – 2. За да направите това, начертайте права y = –2 върху графиката на производната и пребройте броя на точките върху графиката на производната, лежащи на тази линия. Такива точки са 4. y = f ′(x) y = –2. Определете броя на целите числа, в които производната на функцията е отрицателна № 7y Решение: Забележете, че производната на функцията е отрицателна, ако самата функция f(x) намалява, което означава, че е необходимо да се намери числото. на цели точки, включени в интервалите на намаляваща функция. Има 6 такива точки: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x). ) x–6–45–1–20–33 Отговор: 6. На фигурата е показана графика на функцията y = f(x), определена на интервала (–6; 6). на графиката на функцията е успоредна на правата y = –5. № 8y Решение: Правата y = −5 е хоризонтална, което означава, че ако допирателната към графиката на функцията е успоредна на нея, тогава тя също е хоризонтална. Следователно наклонът в търсените точки k = f′(x)= 0. В нашия случай това са точки на екстремум. Има 6 такива точки на абсцисата xo. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката xo. № 9 Решение: Стойността на производната на функцията f′(хo) = tanα = k към равноъгълния коефициент на допирателната, прекарана към графиката на тази функция в дадена точка. В нашия случай k > 0, тъй като α е остър ъгъл (tgα > 0), за да намерим ъгловия коефициент, избираме две точки A и B, лежащи на допирателната, чиито абсциси и ординати са цели числа. Сега нека определим модула на ъгловия коефициент. За да направим това, ще построим триъгълник ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АОтговор: 1,25. то в точка с абциса xo Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точка xo. № 10 Решение: Стойността на производната на функцията f′(хo) = tanα = k спрямо равноъгълния коефициент на допирателната, прекарана към графиката на тази функция в дадена точка. В нашия случай k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, праволинейно движениеизпълнена съгласно закона x = x(t), е равна на стойността на производната на функцията xnput = to, желаната скорост ще бъде x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s Отговор: 4. Материална точка се движи праволинейно по закона x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, където x е разстоянието от референтната точка в метри t е времето в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) скоростта му е била равна на 4 m/s № 16 Решение? Тъй като моментната скорост на точка в момента to, праволинейно движение, извършено съгласно закона x = x(t), е равна на стойността на производната на функцията xnput = to, желаната скорост ще бъде x ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2, Защото по условие, x ′(to) = 4, тогава to – 2 = 4, откъдето to = 4 + 2 = 6 m/s Отговор: 6. На фигурата е показана графика на дефинираната функция y = f(x). на интервала (– 8; 6).Намерете сумата от точките на екстремум на функцията f(x).No 17Решение: Точките на екстремум са точките на минимум и максимум. Вижда се, че има пет такива точки, принадлежащи на интервала (–8; 6). Нека намерим сбора на техните абсциси: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Отговор: 6. На фигурата е показана графика на производната y = f ′ (x) – функция f (x), дефинирана на интервала (–10; 8). Намерете интервалите на нарастваща функция f(x). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали. Решение: Обърнете внимание, че функцията f(x) нараства, ако производната на функцията е положителна; което означава, че е необходимо да се намери сумата от цели числа, включени в интервалите на нарастваща функция. Има 7 такива точки: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x =. 6, x = 7. Сборът им: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Отговор: 20. Използвани материали

Единен държавен изпит 2012. Математика. Задача B8. Геометрично значение на производната. Работна тетрадка/ Ед. А.Л. Семенов и И.В. Ященко. 3-то изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.

http://mathege.ru/or/ege/Main− Материали на отворената банка от задачи по математика 2012 г.