ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য সংযোজন সূত্রের উদাহরণ। সংযোজন সূত্র: প্রমাণ, উদাহরণ

আমি আপনাকে প্রতারণার শীট না লিখতে বোঝানোর চেষ্টা করব না। লেখ! ত্রিকোণমিতির উপর চিট শীট সহ। পরে আমি কেন চিট শীট প্রয়োজন এবং কেন চিট শীট দরকারী তা ব্যাখ্যা করার পরিকল্পনা করি। এবং এখানে কীভাবে শিখবেন না, তবে কিছু ত্রিকোণমিতিক সূত্র মনে রাখবেন সে সম্পর্কে তথ্য রয়েছে। তাই - একটি চিট শীট ছাড়া ত্রিকোণমিতি আমরা মুখস্থ জন্য সমিতি ব্যবহার!

1. সংযোজন সূত্র:

কোসাইন সবসময় "জোড়ায় আসে": কোসাইন-কোসাইন, সাইন-সাইন। এবং আরও একটি জিনিস: কোসাইনগুলি "অপ্রতুল"। তাদের জন্য "সবকিছুই ভুল", তাই তারা চিহ্নগুলি পরিবর্তন করে: "-" থেকে "+", এবং তদ্বিপরীত।

সাইনাস - "মিশ্রন": সাইন-কোসাইন, কোসাইন-সাইন।

2. যোগফল এবং পার্থক্য সূত্র:

কোসাইন সবসময় "জোড়ায় আসে"। দুটি কোসাইন যোগ করে - "কলোবোকস", আমরা একজোড়া কোসাইন পাই - "কলোবোকস"। এবং বিয়োগ করার মাধ্যমে, আমরা অবশ্যই কোন কোলোবোকস পাব না। আমরা সাইন একটি দম্পতি পেতে. এছাড়াও একটি মাইনাস এগিয়ে.

সাইনাস - "মিশ্রন" :

3. একটি যোগফল এবং পার্থক্য একটি পণ্য রূপান্তর জন্য সূত্র.

যখন আমরা একটি কোসাইন জোড়া পেতে পারি? যখন আমরা কোসাইন যোগ করি। এই জন্য

আমরা যখন সাইন একটি দম্পতি পেতে পারি? কোসাইন বিয়োগ করার সময়। এখান থেকে:

সাইন যোগ এবং বিয়োগ করার সময় "মিশ্রন" উভয়ই পাওয়া যায়। আরো মজা কি: যোগ বা বিয়োগ? এটা ঠিক, ভাঁজ. এবং সূত্রের জন্য তারা যোগ করে:

প্রথম এবং তৃতীয় সূত্রে, যোগফল বন্ধনীতে রয়েছে। শর্তাবলীর স্থান পুনর্বিন্যাস যোগফল পরিবর্তন করে না. আদেশ শুধুমাত্র দ্বিতীয় সূত্র জন্য গুরুত্বপূর্ণ. কিন্তু, বিভ্রান্ত না হওয়ার জন্য, মনে রাখার সহজতার জন্য, প্রথম বন্ধনীর তিনটি সূত্রেই আমরা পার্থক্যটি গ্রহণ করি

এবং দ্বিতীয়ত - পরিমাণ

আপনার পকেটে চিট শীটগুলি আপনাকে মানসিক শান্তি দেয়: আপনি যদি সূত্রটি ভুলে যান তবে আপনি এটি অনুলিপি করতে পারেন। এবং তারা আপনাকে আত্মবিশ্বাস দেয়: আপনি যদি চিট শীট ব্যবহার করতে ব্যর্থ হন তবে আপনি সহজেই সূত্রগুলি মনে রাখতে পারেন।

আমরা ত্রিকোণমিতির সর্বাধিক ব্যবহৃত সূত্র সম্পর্কে আমাদের কথোপকথন চালিয়ে যাচ্ছি। তাদের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল সংযোজন সূত্র।

সংজ্ঞা 1

সংযোজন সূত্র আপনাকে ব্যবহার করে দুটি কোণের পার্থক্য বা যোগফলের ফাংশন প্রকাশ করতে দেয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশনএই কোণগুলি

শুরু করার জন্য, আমরা দেব সম্পুর্ণ তালিকাসংযোজন সূত্র, তারপর আমরা সেগুলি প্রমাণ করব এবং বেশ কয়েকটি দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ বিশ্লেষণ করব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ত্রিকোণমিতির মৌলিক সংযোজন সূত্র

আটটি মৌলিক সূত্র রয়েছে: যোগফলের সাইন এবং দুটি কোণের পার্থক্যের সাইন, যোগফল এবং পার্থক্যের কোসাইন, যোগফল এবং পার্থক্যের স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্ট যথাক্রমে। নীচে তাদের আদর্শ ফর্মুলেশন এবং গণনা আছে।

1. দুটি কোণের সমষ্টির সাইন নিম্নরূপ পাওয়া যেতে পারে:

আমরা প্রথম কোণের সাইনের গুণফল এবং দ্বিতীয় কোণের কোসাইন গণনা করি;

প্রথম কোণের কোসাইনকে প্রথমটির সাইন দ্বারা গুণ করুন;

ফলস্বরূপ মান যোগ করুন।

সূত্রটির গ্রাফিকাল লেখা দেখতে এইরকম: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. পার্থক্যের সাইন প্রায় একই ভাবে গণনা করা হয়, শুধুমাত্র ফলস্বরূপ পণ্য যোগ করা প্রয়োজন হয় না, কিন্তু একে অপরের থেকে বিয়োগ করা হয়। এইভাবে, আমরা প্রথম কোণের সাইনের গুণফল দ্বিতীয়টির কোসাইন দ্বারা এবং প্রথম কোণের কোসাইন দ্বিতীয়টির সাইন দ্বারা গণনা করি এবং তাদের পার্থক্য খুঁজে পাই। সূত্রটি এভাবে লেখা: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. যোগফলের কোসাইন। এটির জন্য, আমরা যথাক্রমে দ্বিতীয়টির কোসাইন দ্বারা প্রথম কোণের কোসাইন এবং দ্বিতীয় কোণের সাইন দ্বারা প্রথম কোণের সাইনগুলির গুণফল খুঁজে পাই এবং তাদের পার্থক্য খুঁজে পাই: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. পার্থক্যের কোসাইন: এই কোণগুলির সাইন এবং কোসাইনগুলির গুণফলগুলি আগের মতো গণনা করুন এবং তাদের যোগ করুন। সূত্র: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. যোগফলের স্পর্শক। এই সূত্রটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যার লবটি প্রয়োজনীয় কোণের স্পর্শকগুলির সমষ্টি এবং হর হল একটি একক যা থেকে পছন্দসই কোণের স্পর্শকগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয়। এর গ্রাফিকাল স্বরলিপি থেকে সবকিছু পরিষ্কার: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. পার্থক্যের স্পর্শক। আমরা এই কোণের স্পর্শকগুলির পার্থক্য এবং গুণফলের মান গণনা করি এবং একইভাবে তাদের সাথে এগিয়ে যাই। হর-এ আমরা একটি যোগ করি, বিপরীতে নয়: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. পরিমাণের কোট্যাঞ্জেন্ট। এই সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করার জন্য, আমাদের প্রয়োজন হবে গুণফল এবং এই কোণগুলির কোট্যানজেন্টের যোগফল, যা আমরা নিম্নরূপ এগিয়ে যাবো: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. পার্থক্যের কোট্যাঞ্জেন্ট . সূত্রটি আগেরটির মতোই, তবে লব এবং হর বিয়োগ নয়, প্লাস c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β।

আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন যে এই সূত্রগুলি জোড়ায় একই রকম। ± (প্লাস-বিয়োগ) এবং ∓ (মাইনাস-প্লাস) চিহ্নগুলি ব্যবহার করে, আমরা রেকর্ডিংয়ের সুবিধার জন্য তাদের গ্রুপ করতে পারি:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

তদনুসারে, প্রতিটি মানের যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য আমাদের কাছে একটি রেকর্ডিং সূত্র রয়েছে, শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে আমরা মনোযোগ দিই শীর্ষ চিহ্ন, অন্যটিতে - নীচের দিকে।

সংজ্ঞা 2

আমরা যেকোন কোণ α এবং β নিতে পারি এবং কোসাইন এবং সাইনের যোগ সূত্র তাদের জন্য কাজ করবে। যদি আমরা এই কোণগুলির স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্টের মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে পারি, তাহলে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের যোগ সূত্রগুলিও তাদের জন্য বৈধ হবে।

বীজগণিতের বেশিরভাগ ধারণার মতো, সংযোজন সূত্রগুলি প্রমাণিত হতে পারে। প্রথম সূত্রটি আমরা প্রমাণ করব পার্থক্য কোসাইন সূত্র। বাকি প্রমাণগুলো তখন সহজেই অনুমান করা যায়।

আসুন মৌলিক ধারণাগুলি স্পষ্ট করা যাক। আমরা একটি ইউনিট বৃত্ত প্রয়োজন হবে. এটি কার্যকর হবে যদি আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু A গ্রহণ করি এবং কেন্দ্রের (বিন্দু O) চারপাশে α এবং β কোণগুলি ঘোরান। তাহলে O A 1 → এবং O A → 2 ভেক্টরের মধ্যে কোণ হবে (α - β) + 2 π · z বা 2 π - (α - β) + 2 π · z (z যেকোনো পূর্ণসংখ্যা)। ফলস্বরূপ ভেক্টরগুলি একটি কোণ গঠন করে যা α - β বা 2 π - (α - β) এর সমান, অথবা এটি পূর্ণ বিপ্লবের একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা এই মানগুলির থেকে পৃথক হতে পারে। ছবি দেখে নিন:

আমরা হ্রাস সূত্র ব্যবহার করেছি এবং নিম্নলিখিত ফলাফল পেয়েছি:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

ফলাফল: O A 1 → এবং O A 2 → ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন α - β কোণের কোসাইনের সমান, অতএব, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β)।

সাইন এবং কোসাইনের সংজ্ঞাগুলি স্মরণ করা যাক: সাইন হল কোণের একটি ফাংশন, বিপরীত কোণের পায়ের অনুপাতের অনুপাতের সমান, কোসাইন হল পরিপূরক কোণের সাইন। অতএব, পয়েন্ট ক ঘএবং ক 2স্থানাঙ্ক আছে (cos α, sin α) এবং (cos β, sin β)।

আমরা নিম্নলিখিত পেতে:

O A 1 → = (cos α, sin α) এবং O A 2 → = (cos β, sin β)

যদি এটি পরিষ্কার না হয় তবে ভেক্টরগুলির শুরুতে এবং শেষে অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেখুন।

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য 1 এর সমান, কারণ আমরা একটি ইউনিট বৃত্ত আছে.

এখন আমরা O A 1 → এবং O A 2 → ভেক্টরের স্কেলার গুণফল বিশ্লেষণ করি। স্থানাঙ্কে এটি এই মত দেখায়:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

এটি থেকে আমরা সমতা অর্জন করতে পারি:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

এইভাবে, পার্থক্য কোসাইন সূত্র প্রমাণিত হয়.

এখন আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রমাণ করব - যোগফলের কোসাইন। এটি সহজ কারণ আমরা পূর্ববর্তী গণনা ব্যবহার করতে পারি। α + β = α - (- β) উপস্থাপনাটি ধরা যাক। আমাদের আছে:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = cos α cos β + sin α sin β

এটি কোসাইন যোগ সূত্রের প্রমাণ। শেষ লাইনটি বিপরীত কোণের সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে।

একটি যোগফলের সাইনের সূত্রটি একটি পার্থক্যের কোসাইনের সূত্র থেকে নেওয়া যেতে পারে। এর জন্য কমানোর সূত্রটি নেওয়া যাক:

of the form sin (α + β) = cos (π 2 (α + β))। তাই
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β == sin α cos β + cos α sin β

এবং এখানে পার্থক্য সাইন সূত্রের প্রমাণ:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
শেষ গণনায় বিপরীত কোণের সাইন এবং কোসাইন বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার লক্ষ্য করুন।

পরবর্তীতে আমাদের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের যোগ সূত্রের প্রমাণ দরকার। আসুন প্রাথমিক সংজ্ঞাগুলি মনে রাখি (ট্যানজেন্ট হল সাইনের সাথে কোসাইনের অনুপাত, এবং কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত) এবং আগে থেকেই প্রাপ্ত সূত্রগুলি গ্রহণ করি। আমরা এটি তৈরি করেছি:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

আমরা একটি জটিল ভগ্নাংশ আছে. এরপরে, আমাদের এর লব এবং হরকে cos α · cos β দ্বারা ভাগ করতে হবে, যে cos α ≠ 0 এবং cos β ≠ 0 দিলে আমরা পাই:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

এখন আমরা ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করি এবং নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β।
আমরা পেয়েছি t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β। এটি স্পর্শক যোগ সূত্রের প্রমাণ।

পরবর্তী সূত্র যা আমরা প্রমাণ করব তা হল পার্থক্য সূত্রের স্পর্শক। গণনায় সবকিছু পরিষ্কারভাবে দেখানো হয়েছে:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

কোট্যাঞ্জেন্টের সূত্রগুলি একইভাবে প্রমাণিত হয়:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin β α · sin + cos α · sin β sin α · sin β = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
আরও:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β